O documento discute um curso de resistência dos materiais, enfatizando a importância da parte prática em relação à teoria. Também destaca a participação ativa dos alunos para um melhor aprendizado e fornecimento de exercícios resolvidos.

1. ST 402 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Devemos salientar aos alunos deste curso que a finalidade desta matéria é em
principio transmitir-lhes conceitos práticos sobre RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS e por este motivo
procuramos resumir ao máximo a parte teórica da mesma, salientando-lhe sobremaneira a parte
prática.
Atente-se também para o fato de que não queremos aqui, apresentar um tratado
sobre a matéria, porém, na medida do possível e, com a ajuda dos próprios alunos, derrubar o mito
que há sobre a mesma, mito este que deve-se muito mais a estórias e ao des- preparo dos alunos em
algumas das matérias básicas, o que procuraremos na medida do possível corrigir.
É importantissima portanto a participação efetiva dos alunos nos cursos para
conseguirmos o melhor rendimento possível, de nossa parte procuramos resolver um grande número de
exemplos em classe e fornecer aos mesmos inúmeras cópias de exercicios resolvidos para consulta.
Prof. Milton Giacon Júnior
CARGAS AXIAIS - CARGAS TANGENCIAIS - TENSÕES
1. Cargas Axiais - Denominam-se axiais às cargas que são paralelas aos eixos da peças e que
conseguentemente são perpendiculares às secções transversais das mesmas.
2. Cargas Tangenciais- Analogamente, denominam-se tangenciais às cargas que são per-pendiculares
aos eixos das peças e conseguentemente paralelas às secções das mesmas.
3. Tensões - Diz-se da atuação de uma determinada carga sobre uma certa área de superficie qualquer.
TENSÃO NORMAL EM VIGAS BI-APOIADAS
1.1 Conceito de tensão normal : É aquela tensão que atua perpendicularmente à secção transversal
de uma viga e representa a atuação de cargas que aparecem nesta secção trans- versal devido a
esforços provocados pelos esforços solicitantes nas mesmas. É representa-
da pela letra grega σ e sua unidade é kg/cm2
.
σ - é tensão normal
σ = N/ S ( kg/cm2
) onde : N - é o esforço aplicado
S - é a área solicitada por N
Como devemos sempre considerar um coeficiente de segurança em nossos cálculos, eles devem
também existir quanto à capacidade de carga dos materiais que utilizaremos , pois não poderemos
trabalhar com a capacidade real do material, o que seria muito arriscado em função das próprias
condições de obtenção dos mesmos. Assim foi introduzido o concei- to de coeficiente de segurança,
que nada mais é do que se minimizar a capacidade de carga real do material através da divisào do seu
valor por um número maior do que 1 ( hum) e que evidentemente obedece a rigorosos critérios
normalizados, aparecendo então o conceito de tensão admissível σ.
σ ≤ σ = N/S => N = S.σ
As tensões admissíveis são fixadas nas normas técnicas e levam em conta um fator de
segurança muito grande, pois ele deve cobrir:
1.- Todas as falhas nas suposições dos cálculos.
2.- As variações involuntárias na qualidade dos materiais.
3.- Os excessos excepcionais das cargas previstas e etc.

2. Exemplos:
σ (kg/cm2
) σ ruptura (kg/cm2
)
Aço comum 1400 3700
Aço de mola 6000 - 15000 9500 - 17000
Concreto à compressão 30 - 150 100 - 700
Madeira à tração 80 - 170 250 - 2500
LEI DE HOOKE
ε = ∆l/l (alongamento específico) Este gráfico foi obtido em labo-
ratório de ensaio, aplicando-se
carga sobre um corpo de prova
padronizado. O trecho curvo e
para baixo representa a inércia
da prensa.
No trecho retilíneo => proporcionalidade entre σ e ε ( fase elástica)
No trecho horizontal => escoamento => grandes deformações sem aumentar a carga.
No trecho final => endurecimento => ruptura.
Obs.: A segurança contra a ruptura, exige tensões admissíveis contidas sempre na zona de
proporcionalidade.
No trecho retilíneo do diagrama ocorre uma proporcionalidade entre os valores de
σ e ε dado por E ( módulo de elasticidade ou de YOUNG).
ε = σ / E ( HOOKE) ε é admensional.
Os alongamentos são calculados com ε = ∆ / e σ = N / S
ε = σ / E
∆ l / l = N / S.E => ∆ l = N.l / E.S
Valores do módulo de elasticidade:
E aço 2.100.000 kg/cm2
E concreto 140.000 - 210.000 kg/cm2
E madeira 75.000 - 200.000 kg/cm2
Paralelamente ao alongamento ( encurtamento) há uma diminuição (aumento) da secção
transversal da peça dado pela relação ∆d/d, que é menor que ∆l / l.
O fator de redução duma relação na outra é o coeficiente de POISSON µ
aço ≅ 1/3
∆d/d = µ ∆l/l concreto ≅ 1/6

3. 2. Base de calculo para tensão normal em vigas.
Obs.: Trabalharemos sómente com vigas de secção simétrica.
Vamos considerar a seguinte viga bi-apoiada.
Na solicitação por um momento positivo, as
fibras inferiores serão tracionadas e as superiores serão
comprimidas.
Adotaremos a seguinte suposição: O momento fletor, produz tensões σ linearmente
distribuidas sobre a secção
σ = K.y
onde y é um eixo cuja origem devemos encontrar.
O momento fletor que atua na secção, deverá ser equilibrado pelo material da viga através das
suas tensões
Obtém-se a resultante das tensões atuantes atribuindo-se a cada elemento dS da sec-
ção uma força elementar σ.dS cuja resultante será procurada. Se existisse uma resultante das forças
elementares, ela seria a força normal N, que é nula neste caso pois só atua M.
N = 0 = ∫σ.dS = K∫ y.dS I
Momento Resultante:
M = ∫y.σ.dS = K∫y2
.dS II
Da equação I concluimos qua a origem de y só pode ser sobre o C.G. da secção, pois só assim
anularemos a integral.
Sabemos que : J = ∫s y2
.dS => M = K.J => K = M/J mas K = σ/y
Portanto σ / y = M / J => σ = M / J.y , para vigas simétricas na flexão pura.
Exemplos.:
TENSÃO DE CISALHAMENTO EM VIGAS

4. 1.1 Conceito de Tensão de Cisalhamento.: É aquela que atua perpendicularmente ao eixo da peça
agindo portanto paralelamente à secção transversal da viga sendo resultante da ação dos esforços
solicitantes sobre a viga e é representada pela letra grega τ (tau) tendo kg/cm2
como unidade.
τ = N/ S ( kg/cm2
)
Vamos considerar a viga bi-apoiada abaixo:
No elemento ao lado, para que o elemento esteja em equilibrio, é nescessário a exis-tência de
mais uma força horizontal cujo valor será:
Tx
+dx - Tx = dTx
Esta força sòmente poderá ser fornecida
pela face b.dx, pois naface vertical temos a tensão σ (cujos valores podemos ou queremos cnsiderar
como certos).
Teremos portanto tensões τh - tensões de cisalhamento horizontal.
Daí teremos:
τh.b.dx = dTx
Vamos chamar de Mx e M x+dx os momentos em x e em x + dx e teremos portanto:
Tx = ∫ σx.dS = ∫ Mx / J . y dS = Mx / J . Ms
Analogamente:
Tx+dx = Mx+dx / J.Ms
Como dTx = Tx+dx - Tx = ⎨(Mx+dx- Mx )/J⎬. Ms = Q.dx /J .Ms
pois Mx+dx - Mx = dM = Q.dx
τh.b.dx = dTx = Qdx/J.Ms
τh = Q. Ms/ b.J

7. Exercícios
(σ e )
1) Dada a Viga abaixo e a sua respectiva secção, calcule os valores de σ e para os pontos
indicados na secção X = 2,5m e X= 5,0m
3tf
2,5 2,5
1tf
2,0
+
_
+
1,01,1
1,9
R3
1R 2R
2,75
Y
2,00
Y
Reações de Apoio:
R3=0 1
2
3
X = 2,5m
X = 5,0m
Σ FH= 0 →
Σ FV= 0
R1 + R2 -3 -1=0
Σ MA= 0
(3 x 2,5) – (R2 x 5) + (1 x 7)=0
1
2
3
5
4
202
20
0
020
8
20
7,5 + 7 = R2 x 5
R2 = 14,5 = 2,90 tf
5
3 em 2: → R1 + 2,90 - 4 =0
R1 = 1,10 tf
Jz = bh³ = 20 x 80³ = 853.333,34 cm4
12 12
σ =
M x y = 275.000 .y = 0,32y
J 853.333,34
= Q.Ms
bJ
σ = M.y = 200.000 .y = 0,23y
J
853.333,33
Dos diagramas
temos:
M2,5 = 2,75
M5,0 = 2,0
Q2,5 = - 1,90
Q5,0 = - 1,90
Pto Y σ Ms b Ms/b
01
02
03
04
05
- 40
- 20
0
+ 40
+ 20
- 12,89
- 6,45
0
12,89
6,45
0
12000
16000
0
12000
20
20
20
20
20
0
600
800
0
600
0
- 1,34
- 1,78
0
- 1,34
01
02
03
04
05
+40
+20
0
- 40
- 20
12,89
6,45
0
- 12,89
- 6,45
0
12000
16000
0
12000
20
20
20
20
20
0
600
800
0
600
0
- 1,34
- 1,78
0
- 1,34

8. 2) Calcule σ e , no engaste, para os pontos da secção abaixo:
σ = M .y = 1.050.000
J 57.708,33
= QMs = 5.000 . Ms
b J 57.708,33 b
5
7
7
23,2326,77
7
1
2
4
_
Y (Simetria)
Z
_
Z
76
7
3
3
6
8
7
10,5 7 10,5
1tf/m
2tf
3,0
10,5
5,0
2,0
1,125
355
1
2
4 3
Y
Z
_
_CG
5
6
5 2020
,2528,7511
Z
Y = (35 x 5 x 17,5) + (5 x 45 x 37,5)
(45 x 5) + ( 35 x 5)
Y = 11.500 = 28,75 cm
400
Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(28,75 – 37,5)²]} + {(5 x 35³) + [5 x 35 x (28,75 – 17,5)²}
12 12
Jz = 468,75 + 17226,56 + 17864,58 + 22148,43 = 57.708,33 cm4
Ponto y σ Ms b
01
02
03
04
05
06
11,25
6,25
8,75
8,75
0
- 28,75
204,69
113,72
159,20
159,20
0
-523,10
0
1968,75
875,00
1125,00
2066,40
0
45
5
5
45
5
5
0
34,11
15,16
2,17
35,80
0
Ms2 = 45 x 5 x 8,75 =
Ms3 = 20 x 5 x 8,75 =
Ms4 = 45 x 2,5 x 10 =
Ms5 = 28,75 x 5 x 14,375 =
3) Para X = 1,15m determine σ e para os
pontos dados.

9. _
2,4
2,0
1,2
2tf
2
+
1,2
2,0
2
2tf
1,9
1,2 –2,4
1,15 – x=2,3 tf.m
YCG = (28 x 7 x 3,5) + ( 36 x 7 x 25) + ( 21 x 7 x 46,5) = 23,23 cm
(28 x 7) + (36 x 7) + (21 x 7)
Jz = {(28 x 7³) + [28 x 7 x(23,23–3,5)]²} + {( 7 x 36³) + [36 x 7 x(23,23 – 25)²]} +
12 12
...+ {(21 x 7³) + [21 x7 x(23,23 – 46,5)²]}= 185.303,01 cm4
12
R
4,5 tf.m
1,5
3
1
R
3tf
R
3,0
+
3,0
2
Ponto Y σ b Ms
01
02
03
04
05
06
07
08
- 23,23
- 16,23
- 19,73
- 19,73
0
+ 19,77
+ 26,77
+ 23,27
- 28,83
- 20,14
- 24,49
- 24,49
0
24,54
33,23
28,88
28
7
7
28
7
7
21
7
0
28x7x19,73 = 3.867,08
10,5x7x19,73 = 1.450,16
28x3,5x21,48 = 2.105,40
(28x7x19,73)+(16,23x7x8,12) = 4.789,69
21x7x23,27 = 3.420,69
0
7x7x23,27 = 1.140,23
0
6,963
2,236
0,811
7,385
5,274
0
1,758
σ = M .y = 230.000 .y
J 185.303,01
= QMs = 2000 Ms
1,5
_
bJ 185.303,01 b
4) Calcule os valores de σ e para os pontos dados abaixo:
515
2
4
_
Y (Simetria)
_
Z
530
15
3
1
20,83314,667
5
6
7
Z

10. YCG = (45 x 5 x 2,5) + ( 30 x 15 x 20) = 14,667cm
(45 x 5) + (30 x 15)
Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(17,66 – 2,5)²]}+ {(15 x 30³) + [15 x 30 x(14,66 – 20)²]}
12 12
Jz = 80.156,25 cm4
Ponto Y σ b Ms
01
02
03
04
05
06
07
- 14,166
- 9,166
- 11,166
- 11,166
0
10,416
20,833
- 79,53
- 51,46
- 62,69
- 62,69
0
58,48
116,96
45
15
5
45
15
15
15
0
2.624,85
874,95
1.453,05
3.255,10
2.441,33
0
0
3,27
3,27
0,604
4,06
3,05
0
σ = M .y = 450.000 =5,614y
J 80.156,25
= QMs = 1.500 . Ms
bJ 80.156,25 b
= 0,0187 . Ms =
b
Ms1 = 0
Ms2 = 5 x 45 x 11,67 = 2.624,85
Ms3 = 15 x 5 x 11,67 = 874,95
Ms4 = 2,5 x 45 x 12,92 = 1.453,05
Ms5 = 20,833 x 5 x 0,5 = 3.255,10
Ms6 = 10,42 x 15 x [20,833 – (10,42)] =
Ms7 = 0 2

14. 1) Flexão simples - : Na viga com o carregamento abaixo, teremos os valôres da tensão normal σ
dados pela relação:
σ = M. y
J
⎧ M momento fletor na secção estudada
Onde : ⎨ J momento de inércia da secção
⎩ y cota do ponte em relação ao C.G.
2) Flexão Composta Normal - :
Valor da tensão σ = N + Mz . y
S J
Obs.: deve-se adotar sempre o eixo y positivo para o lado tracionado da secção.
3) Flexão Composta Oblíqua - :
σ = N + Mz . y + My . z
S Jz Jy