Solucionário Capitulo4 FOX

CAPÍTULO 4
Problema 4.4
Dados: Uma pequena bola de aço, de raio r, colocada em cima de uma esfera muito maior, de raio R, começa a rolar sob a
influência da gravidade. Desprezar as resistências do ar e de rolamento.
Determine: O ponto em que a bola perde o contato com a esfera.
Solução: Some forças na direção n.
ΑF F mg ma
a
V
R r
O contato é perdido quando F o ou
mg m
V
R r
ou
V R r g
n n n
n
n
ϭ Ϫ ϭ
ϭϪ
ϩ
Ϫ ϭϪ
ϩ
ϭ ϩ
cos
( )
,
cos
( )
( ) cos
␪
␪
␪
2
2
2
→
(1)
A energia deve conservar-se, se não existe resistência. Portanto,
E mgz m
V
mg R r m
V
E mg R roϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϭ ϩ
2 2
2 2
( )cos ( )␪
Dessa forma, das considerações de energia
V g R r
Combinando as Eqs e
V g R r R r g
ou cas
Assim e graus
2
2
1
2 1
1 2
2 1
2 1 2 2
2
3
2
3
48 2
ϭ ϩ Ϫ
ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ
Ϫ ϭ Ϫ ϭ
ϭ ϭ ϭϪ
( ) ( cos )
. ,
( ) ( cos ) ( ) cos
( ) cos cos
, cos cos ,
␪
␪ ␪
␪ ␪ ␪
␪ ␪ ␪


 ← 
(2)
Problema 4.8
Dados: Uma lata de alumínio de bebida, ml ϭ 20 g, D ϭ 65 mm, H ϭ 120 mm. O nível de conteúdo máximo é hmáx, quando
Vb ϭ 354 mL de líquido. SG da bebida é 1,05.
Posição inicial
CAP004/1 11/8/02, 9:40 AM1

Determine:
(a) O centro de massa yc como função do nível h.
(b) O nível para a menor tendência de tombamento da lata.
(c) O coeficiente mínimo de atrito estático, µs, para o qual a lata cheia tombaria sem deslizamento.
(d) O gráfico de µs)mínimo para inclinar (não deslizar) a lata como função do nível de líquido na lata.
Solução:
M SG
g
cm
mL
cm
mL
g máx
h
A D
mL
cm
cm
mL
mm
cm
mm
Em qualquer nível m
h
h
M m g
h mm
mm
g h mm
b b
máx
b b
b
máx
b b
ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϭ
␳
␲ ␲
∀
∀ ∀
1 05 1 0 354 372
4 4
354
1
6 5
10 107
107
372 3 47
3
3
2 2 2
3
, , ( )
( , )
, ; ( )
( )
, ( )
Das considerações de quantidade de movimento,
y M
h
m
H
m h h h
M m m h
y
h
h
h em mm y
c b c
b
c c
ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ
ϭ ϩ ϭ ϩ
ϭ
ϩ
ϩ
2 2
1
2
3 47 120 20
1
2
3 47 2400
3 47 20
3 47 2400
6 94 40
2
2
( , ) ( ) ( , )
,
,
,
( )
[ ]
← 
l
A tendência para tombar será menor quando yc for mínimo. Portanto,
dy
dh
h
h
h
h
h h
h
c
ϭ
ϩ
ϩ Ϫ
ϩ
ϩ
ϭ
ϩ Ϫ
ϩ
ϭ
2 3 47
6 94 40
1 6 95
3 47 2400
6 94 40
24 1 278 16 700
6 94 40
0
2
2
2
2
( , )
,
( )( , )
,
( , )
, .
( , )
Usando a fórmula quadrática,
h para y mín mm
h
y mínc c
( )
( ) ( , ) ,
( , )
, ( )ϭ
Ϫ Ϯ ϩ
ϭ
278 278 4 24 1 16 700
2 24 1
21 2
2
← 
Traçando o gráfico
Trace um diagrama de corpo livre da lata para tombamento iminente
AlturadoCG,yc(mm)
Nível de líquido, h (mm)
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM2

Para o centro de rotação
Coeficientedeatritomínimoparatombar,␮s(––)
Nível de líquido, h (mm)
Α
Α
F F ma
F F mg ma
F mg
Como F F então F ma
x f x
y n y
n
f s n s n x
ϭ ϭ
ϭ Ϫ ϭ ϭ
ϭ
Յ ␮ Ն
0
µ , ,
Somando os momentos sobre o ponto D:
ΑM y ma
D
F
ou y ma
D
F
Mas ma F o
y F
D
F
Assim para inclinar
D
y
b c x n
c x n
x s n
c s n n
s
c s
ϩ
ϭ Ϫ ϭ
ϭ
Յ
Ն
Ն
2
0
2
2
2
µ
µ
µ
µ
← 
, log ,
, ,
Traçando o gráfico
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM3

Para a lata cheia com yc ϭ 53,8 mm,
µ µ
← s mm
mm
sՆ ϫ ϫ ϭ
1
2
65
1
53 8
0 604
,
,
Este valor é muito maior do que aquele que a lata poderia desenvolver. Portanto, a lata não irá inclinar ou tombar; ela irá
deslizar.
A aceleração correspondente é
a g m sx sϭ ϭµ 0 593 2
, /
Problema 4.9
Dados: O campo de velocidades na região mostrada é
r
r r
V az J b k
onde a s e b m s
Para a profundidade w ao longo do eixo x
dA w dz j e dA wdy k
ϭ ϩ
ϭ ϭ
ϭϪ ϭϪ
Ϫ
ˆ ˆ
/ .
,
ˆ ˆ
10 51
1 2
Determine: (a) Uma expressão para
r r
V dAи 1
(b) O valor de
r r
V dAи 1
1A
∫
(c) Uma expressão para
r r
V dAи 2
(d) Uma expressão para
r r r
V V dAи 2( )
(e) O valor de
r r r
V
A2
2∫ ( )V dAи
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM4

Solução:
( ) ( ˆ ˆ) ( ˆ)
( )
a V dA az j b k wdzj awz dz V dA
b V dA awz dz aw
z
aw
z
V dA
z
A
z
A
r r r r
r r r r
и ϭ ϩ и Ϫ ϭϪ и
и ϭ Ϫ ϭϪ ϭϪ и
1
1
01
2
0
1
2
1
1 1
1 12 2
← 

 ∫
← 
∫∫ 
← 
← 
( ) ( ˆ ˆ) ( ˆ)
( ) ( ) ( ˆ ˆ)( ) ˆ ˆ ( )
c V dA azj bk wdyk bwdy
V dA
d V V dA azj bk bwdy abwzdy j b wdy k
V V dA
r r
r r
r r r
r r r
и ϭ ϩ и Ϫ ϭϪ
и
и ϭ ϩ Ϫ ϭϪ Ϫ
и
2
2
2
1
2

←
∫∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ,
. ,
( ) , ˆ ( )
s
ˆ ˆ / ( )
e V V dA abwz dz j b wdy k b wdy k
pois z ao longo de A Dessa forma
V V dA b wy k
m
w m k w k m s e
y
A
y
A
x
r r r
r r r
и ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ
ϭ
и ϭϪ ϭϪ ϫ ϭϪ
2
02
2 2
0
1
2
2
2
2 2
2
2
3 2
1
0
5 1 25 
Problema 4.13
Dado: Um campo de escoamento dado por
r
V ayi bjϭ ϩˆ ˆ
onde a ϭ 2 sϪ1
, b ϭ 1 ft/s e as dimensões são em pés.
Determine: (a) Vazão volumétrica.
(b) Fluxo de quantidade de movimento através da superfície inclinada.
Solução:
A vazão volumétrica é Q V dAϭ и
r r
∫
Para a superfície inclinada
dA dA ı dA j c dyı c dxj
onde c ft
Q ayı bj cdyı cdxj acy dy bcdx
Q ac y bcx ft
ft
ft ft
Q ft s Vazão volumétrica
x y
A y o x
r
ϭ ϩ ϭ ϩ
ϭ
ϭ ϩ и ϩ ϭ ϩ
ϭ ϩ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ
ϭ
ϭ ϭ
Ϫ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ)
/
2
25 2 1
2
2 3
8
1
0
3
2
2 0
1
0
3 1
2
3
∫ ∫ ∫
] ]
← 
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM5

O fluxo de quantidade de movimento é dado por
f m V V dA. . ( )ϭ и␳
r r
∫
Então,
f m ayı bj acy dy bc dx
f m ı a cy dy abcy dx j abcy dy b cdx
Ao longo da erfície inclinada y
x
f m ı a c y abc
x
A
. . ( ˆ ˆ) ( )
. . ˆ ˆ
sup
. . ˆ
ϭ ϩ ϩ
ϭ ϩ ϩ ϩ
ϭϪ ϩ
ϭ ϩ Ϫ ϩ
∫
∫ ∫ ∫∫
















]
␳
␳ ␳
␳
0
1
2 2
0
3
2
0
3
0
1
2 3
3 0
1
3
1
3
11
2 2
3
2 2
2
1 2 3
0
3
2
2 0
1 2
0
3
1 2
3 2
0
3
1
2 2
2










] ]{ }





















∫ dx j abc y b cx
ı s ft
ft
abc
x
b
x j s
ft
s
ft
ft ft
s
ft ft
ϩ ϩ
ϭ ϫ ϫ ϩ Ϫ ϩ ϩ␳ ϫ ϫ ϩ ϫ ϫϪ Ϫ
␳
␳
ˆ
ˆ ( ) ˆ


















{ } ← 
ϭ ϩ ϫ ϫ ϫ ϩ ϩ
ϭ ϩ
Ϫ
␳ ␳
␳
ˆ , ˆ
. . , ˆ ˆ
ı
ft
s
s
ft
s
ft ft j
ft
s
ft
s
f m ı j
ft
s
Fluxo da quantidade de movimento
8
3
2 2 2 5 2 6
7 67 8
4
2
1 2
4
2
4
2
4
2

Notas: As unidades de massa específica são slug/ft3
.
O fluxo de quantidade de movimento tem unidades slug.
ft/s2
(ou lbf).
Problema 4.19
Dados: Escoamento permanente e incompressível através do dispositivo mostrado.
A m A m A m
V ı m s V j m s
1
2
2
2
3
2
1 2
0 05 0 01 0 06
4 8
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϭ Ϫ
, , , , ,
ˆ / , ˆ /
r r
Determine: A velocidade
r
V3.
Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.
Equação básica:
ϭ
ϭ ␳ ϩ ␳ и
0 1
0
( )
∂
∂
∀∫ ∫t VC SC
d V dA
r r
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM6

Considerações: (1) Regime permanente.
(2) Escoamento incompressível, ␳ ϭ constante.
(3) Escoamento uniforme em cada seção.
Então,
SC
V dA V A V A V A∫
r r r r r r r r
и ϭ и ϩ и ϩ и ϭ1 1 2 2 3 3 0
ou
r r r r r r
r r
V A V A V A ı
m
s
ı m j
m
s
j m
V A m s
3 3 1 1 2 2
2 2
3 3
3
4 0 05 8 0 01
0 28
и ϭϪ и Ϫ и ϭϪ и Ϫ Ϫ Ϫ ϫ
и ϭ
ˆ , ( ˆ) ( ˆ) , ˆ
, /
Como
r r
V A3 3 0и Ͼ , o escoamento na seção ቤ é para fora do volume de controle. Portanto,
r r
V A V A
V
A
m
s m
m
s
m s
3 3 3 3
3
3
3
2
3
1
0 28
1
0 06
0 28 4 67
и ϭ
ϭ ϫ ϭ ϫ ϭ,
,
, , /
Finalmente, a partir da geometria do desenho
r
r r
V V sen ı V j
m
s
sen ı
m
s
j
V ı j m s V
3 3 3
3
4 67 60 4 67 60
4 04 2 34 3
ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϫ
ϭ Ϫ
␪ ␪ˆ cos ˆ , ˆ , cos ˆ
, ˆ , ˆ /
° °
← 
Problema 4.20
Dados: Óleo escoa para baixo em um plano inclinado.
u
gsen
hy
y
ϭ Ϫ
␳ ␪
µ






2
2
Determine: Uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura.
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM7

Solução: Na seção transversal sombreada,
˙
, arg
˙
˙
˙ /
m udA
dA wdy onde w l ura
m
g sen
hy
y
wdy
gsen
hy
y
wdy
m
gsen
w
hy y gsen
w
h gsen wh
Dessa forma
m w
gsen
o
h
o
h
o
h
ϭ
ϭ ϭ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ ϭ
ϭ
∫
µ






µ






µ



 µ µ
∫ ∫
␳
␳
␳ ␪ ␳ ␪
␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪
␳
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3
2
2 2
2 6 3 3
␪␪ h
m u
3
3µ ← 
˙ /
Problema 4.23
Dados: Água escoa em um tubo conforme mostrado. R ϭ 3 in, umáx ϭ 10 ft/s.
Determine: A velocidade uniforme na entrada, U.
Solução: Aplique a equação da continuidade usando o VC mostrado.
Equação básica:
ϭ
ϭ ϩ и
0 1
0
( )
∂
∂
∀∫ ∫t
␳ ␳d V dA
VC SC
r r
Considerações: (1) Escoamento permanente.
(2) Escoamento incompressível.
(3) Escoamento uniforme na seção de entrada.
Então,
0 2
0 1 2
1
1 2 2 1
1 1 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
ϭ и ϩ и ϭ ϭ
ϭϪ ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
r r r r r r
V A V dA V uı dA rdr ı
U R u
r
R
rdr
ou
U
R
u
r
R
rdr u
r
R
máx
o
R
máx
o
R
máx
ባ∫
∫
∫ ∫


















; ˆ, ˆ␲
␲ ␲
␲
␲
rr
R
d
r
R
U
r
R
r
R
ft s U





















 ← ϭ Ϫ ϭ20
1
2
1
4
5 00
2 4
0
1
, /
{A velocidade do escoamento uniforme na entrada é a metade da velocidade máxima na seção de saída.}
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM8

Problema 4.24
Dados: Curva redutora bidimensional conforme mostrada.
Determine: A magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção ቤ.
Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.
Equação básica:
ϭ
ϭ ϩ и
0 1
0
( )
∂
∂
∀∫ ∫t VC SC
d V dA␳ ␳
r r
(3) Escoamento uniforme nas seções ባ e ቤ.
Então,
0
2
1 1 2 2 3 3
3 3 1 1 2 2 1
1
2 2
3 3 1
2
1
2
1
1
1
1
ϭ и ϭ и ϩ и ϩ и
и ϭ Ϫ и Ϫ и ϭϩ Ϫ
и ϭ Ϫ
r r r r r r r r
r r r r r r
r r
V dA V dA V A V A
ou
V A V dA V A V
y
h
wdy V wh
V A V w
y
h
V wh
ASC
A
máx
o
h
máx
o
h
∫∫
∫ ∫






,
, 22
1 1
2 2
3 3 2
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3
2
1
2
10 2 15 1 5
0
5
ϭ Ϫ
и
ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ϫ
и Ͻ
и
ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ
V wh
V wh
o
V A
w
ft
s
ft
ft
s
ft ft s
Como V A o escoamento em é do VC Sentido
Dessa forma
V A
w
V A
w
V wh
w
V h
máx,
log /
,
,
r r
r r
r r
ቤ para dentro ← 
ftft s
V
h
ft
s ft
ft
s
ft s do VC V
2
3
3
2 2
1
5
1
1 5
5 3 33 3
/
,
, / ( )ϭ ϫ ϭ ϫ ϭ para dentro
← 
CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM9

Problema 4.27
Dados: Um acumulador hidráulico, projetado para reduzir as pulsações de pressão no sistema hidráulico de uma máquina
operatriz, está operando sob as condições mostradas, em um dado instante.
Determine: A taxa na qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico.
Solução: Use o volume de controle mostrado.
Equação básica:
0 ϭ ϩ и
∂
∂
∀∫ ∫t
d V dA
VC SC
␳ ␳
r r
Considerações: (1) Escoamento uniforme na seção ባ.
(2) Massa específica constante.
Então,
0 1 1 2 2
1 1 1
21
1
ϭ ϩ Ϫ ϩ
ϭ
∂
∂






∫∫
∫
t
M V dA V dA
Mas
V dA Q
vc
AA
A
( ) ␳ ␳
␳ ␳
onde Q ϭ vazão volumétrica e ␳ ␳ϭ иSG H O2
Portanto,
0
4
0 88 2
0 88 1 94 5 75
7 48 60
4 35
4
1 25
1 2 2
1 2 2
1 2
2
2
3
3
2 2
2
ϭ Ϫ ϩ
ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ
ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ
∂
∂
∂
∂






t
M Q V A
ou
M
t
Q V A
SG Q V
D
onde SG Tabela A
slug
ft
gal
mim
ft
gal s
ft
s
in
ft
vc
vc
H O
␳ ␳
␳
␳ ␲
␲
( )
, ( . )
, , ,
,
min
, ( , )
22
2
2
144
4 14 10 1 33
in
M
t
slug
s
ou lbm s
M
t
A massa está inuindo no VC
vc
vc






∂
∂
∂
∂← ϭϪ ϫ ϪϪ
, , /
( dim .)
CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM10

Como
M
M
t t t
SG
t
t SG
M
t
ft
slugs
slug
s
t
ft
s
ou gal s t
VC óleo óleo
VC
óleo óleo óleo
óleo
óleo H O
óleo
óleo
óleo H O
VC
óleo
óleo
ϭ
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ
ϭϪ ϫ
␳
␳ ␳ ␳
␳
∀
∂
∂
∂
∂
∀
∂∀
∂
∂∀
∂
∂∀
∂
∂
∂
∂∀
∂
∂∀
∂← 
( )
, ,
( , )
, , /
2
2
1 1
0 88
1
1 94
4 14 10
2 43 10 0 181
3
2
2
3

Problema 4.28
Dados: Um tanque retangular, com dimensões H ϭ 230 mm, W ϭ 150 mm e L ϭ 230 mm, fornece água para um tubo de
saída com diâmetro D ϭ 6,35 mm. Quando o tanque está metade cheio, o escoamento no tubo tem um número de Reynolds
Re ϭ 2000. Neste instante, não existe escoamento de água para dentro do tanque.
Determine: A taxa de variação do nível de água no tanque nesse instante.
Solução: Aplique a equação de conservação da massa para o VC que inclui o tanque e o tubo.
Equação básica:
o
t
d V dA
VC SC
ϭ ϩ и
∂
∂
∀∫ ∫␳ ␳
r r
Definição: R
DV DV
v
e ϭ ϭ␳
µ
Considerações: (1) Escoamento uniforme na saída do tubo.
(3) Despreze o ar entrando no volume de controle.
Então,
o
t
WLh
D
L V
D
o WL
dh
dt
V
D
note que L cons te
dh
dt
V D
WL
o
o
o
ϭ ϩ ϩ ϩ
ϭ ϩ ϭ
ϭϪ
∂
∂










∴
␳ ␲␳ ␳
␲
␲
␲
2
1
2
2
1
2
4 4
4
4
( tan )
CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM11

Para determinar
r
V, use a definição do número de Reynolds
V
R
D
Para água a C m s Tabela A
V
m
s m
m s
dh
dt
V
D
WL
m
s
mm
mm mm
mm
m
dh
dt
mm s caindo
dh
o
e
o
o
ϭ
ϭ ϫ
ϭ ϫ ϫ ϫ
ϫ
ϭ
ϭϪ ϭϪ ϫ
ϫ
ϫ
ϭϪ
Ϫ
Ϫ
Ϫ
␷
␷20 1 10 8
2000 1 10
1
6 35 10
0 315
4
0 315
4
6 35
150 230
10
0 289
6 2
6
2
3
2 2 2
3
° , / ( . )
,
, /
, ( , )
, / ( )
␲ ␲
dtdt← 
Problema 4.38
Dados: Escoamento em regime permanente de água através de uma placa plana porosa. A sucção é constante. O perfil de
velocidades na seção cd é:
u
U
y y
ϱ
ϭ
␦
Ϫ
␦
3 2
1 5








,
Determine: A vazão mássica através da seção bc.
Solução: Aplique a lei da conservação de massa usando o VC mostrado.
Equação básica:
o
t
d V dA
VC SC
ϭ ϩ и
∂
∂
∀∫ ∫␳ ␳
r r
Considerações: (1) Regime permanente.
(3)
r
V v j ao longo de adϭϪ 0
ˆ .
Largura,
CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM12

Então,
o V dA V dA m V dA V dA
ou o U w m U
y y
wdy wL
Assim
m U w U w
abSC
bc
cd da
bc
o
o
bc
o
ϭ и ϭ и ϩ ϩ и ϩ и
ϭϪ ␦ ϩ ϩ
␦
Ϫ
␦
ϩ ␷
ϭ ␦ Ϫ ␦
ϱ ϱ
␦
ϱ ϱ
␳ ␳ ␳ ␳
␳ ␳ ␳
␳ ␳
r r r r r r r r
∫∫ ∫ ∫
∫
∫














˙
˙
,
˙
,
3 2
3
1 5
1
yy y
d
y
wL
w U U
y y
L
w U U
o
o
o
␦
Ϫ
␦ ␦
Ϫ
ϭ ␦ Ϫ ␦
␦
Ϫ
␦
Ϫ
ϭ ␦ Ϫ ␦ Ϫ Ϫ
ϱ ϱ
ϱ ϱ














































2
3
2
2
2 5
3
2
2
2 5
1 5
2 2 5
0
1
,
,
,
,
␳
␳
␳
υ
υ
υ LL w U L
kg
m
m
m
s
m
m
s
m
m kg s m o do VC m
o
bc bc










← 
ϭ ␦ Ϫ
ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϫ
ϭ Ͼ
ϱ␳ ( , )
, , , ,
˙ , / ( ˙ , log , ) ˙
0 3
999 1 5 0 3 3 0 0015 0 0002 2
1 42 0
3
υ
para fora
Problema 4.40
Dados: Funil de líquido sendo drenado através de um pequeno orifício de diâmetro d ϭ 5 mm (área, A), conforme mostrado;
y0 é a profundidade inicial.
Determine: (a) Uma expressão para o tempo requerido para esvaziar o funil.
(b) Expressões para o resultado em termos
. do volume inicial, V0 e
. da vazão volumétrica inicial
Q AV A gyo o oϭ ϭ 2 .
CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM13

Plote: Gráfico de t em função de y0 (0,1 Յ y0 Յ 1 m) com o ângulo ␪ como um parâmetro para 15° Յ ␪ Յ 45°.
Solução:
Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.
Equação básica:
o
t
d V dA
VC SC
ϭ ϩ и
∂
∂
∀∫ ∫␳ ␳
r r
Considerações: (1) Escoamento incompressível.
(3) Despreze ␳ar comparada com ␳H O2
.
Então,
Ϸ Ϸo o
o
t
d
t
d V A V Aar H O
ar
ar H O
H O
( ) ( )3 3
2
2
21 1ϭ ϩ ϩ Ϫ ϩ
∂
∂
∀
∂
∂
∀ { } { }∀∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳
Para o VC,
d A dy r dy y dy
y
Dessa forma
o
t
y
A gy
o y
dy
dt
A g y
s
H O H O
∀ ∀
∂
∂






ϭ ϭ ϭ ␪ ϭ
ϭ ϩ
ϭ ϩ
␲ ␲ ␲ ␪
␳ ␲ ␪ ␳
␲ ␪
2 2 2
3
2
3
2 2 1 2
3
3
2
2
2 2
( tan ) ; tan
,
tan
tan /
Separando variáveis,
y dy
g A
dt3 2
2
2/
tan
ϭ
Ϫ
␪␲
Integrando de y0 em t ϭ 0 até y ϭ 0 em t
y dy y
g H
t
ou
t
y
g A t
y
3 2
0
0
5 2
2
2
0
5 2
2
5
2
2
5 2
0
/ /
/
( )
tan
tan
ϭ Ϫ ϭϪ
ϭ
∫
← 
␲ ␪
␲ ␪
Mas
y
e Q AV gy então
t
y
g A
y
y Q t
o
∀
∀
← 
0
2
3
0 0 0
2
0
5 2
0
1 2
0
1 2
0
0
3
2
2
5 2
3
3
6
5
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϫ ϫ ϭ
␲ ␪
␲ ␪
tan ,
tan / /
/
CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM14

Como A ϭ ␲d2
/4, podemos escrever
t
y
g
d
y
y
d g
ϭ
␲ ␪
␲
ϭ
2
5 2
8
5 2
2
0
5 2
2
2
0
5 2
2
tan tan/ /
␪
t é traçado em função de y0 com ␪ como um parâmetro.
Drenagem de um tanque cônico de líquido
Dados de entrada:
Diâmetro do orifício: d ϭ 3 mm.
Resultados dos cálculos:
Tempo de Drenagem t (s)
Altura Inicial, Ângulo de Meio
y0 (mm) Cone, ␪ (graus) 60 45 30 15
300 5935 1978 659 142
275 4775 1592 531 114
250 3763 1254 418 90,0
225 2891 964 321 69,2
200 2154 718 329 51,5
175 1543 514 171 36,9
150 1049 350 117 25,1
125 665 222 74 15,9
100 381 127 42 9,11
75 185 62 21 4,44
50 67 22 7 1,61
25 12 4 1 0,285
0 0 0 0 0
Tempo versus Profundidade Inicial
Tempo,t(s)
Profundidade inicial, y0 (mm)
CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM15

Problema 4.41
Dados: Tanque contendo salmoura com corrente de entrada de água em regime permanente. A massa específica inicial é
␳ ␳i Ͼ H O2
.
Determine: (a) A taxa de variação da massa específica do líquido no tanque.
(b) O tempo requerido para atingir a massa específica, ␳f, onde ␳ ␳ ␳i fϾ Ͼ H O2
.
Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.
Equação básica:
0 ϭ ϩ и 〈
∂
∂
∀∫ ∫t
d V d
VC SC
␳ ␳
r r
Considerações: (1) ᭙tanque ϭ constante.
(2) Massa específica uniforme no tanque.
(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.
Então, V1A1 ϭ V2A2, posto que o volume do tanque é constante e
0 2 2 2
ϭ ϩ Ϫ ␳ ϭ ϩ Ϫ ϭ
␳
ϩ Ϫ
∂
∂
∫ ∀
∂
∂
∀ ∀
t
d VA VA
t
VA
d
dt
VAvc H O H O H O␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳( ) ( )
E daí
d
dt
VA
d
dtH O␳
ϭ Ϫ
Ϫ
᭙
( )␳ ␳
␳
2
← 
Separando variáveis,
d VA
dt
H O
␳
Ϫ
ϭϪ
␳ ␳ 2
∀
Integrando de ␳i em t ϭ 0 até ␳f em t,
d VA
dt
VA
t
H O
H O
f H O
i H O
t
i
f
i
f␳
␳ ␳
␳ ␳
␳ ␳
␳ ␳␳
␳
␳
␳
Ϫ
ϭ Ϫ ϭ
Ϫ
Ϫ
ϭ Ϫ ϭϪ
2
2
2
2
0∫ ∫]





 ∀ ∀
ln ( ) ln
Finalmente,
t
VA t
f H O
i H O
ϭϪ
Ϫ
Ϫ
∀ 





← 
ln
␳ ␳
␳ ␳
2
2
{Note que ␳ ␳f → H O2
assintoticamente quando t → ϱ.}
entra
constante
sai
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM16

Problema 4.42
Dados: A vazão mássica instantânea de vazamento de ar, ˙,m de um pneu de bicicleta é proporcional à massa específica, ␳, e
à pressão manométrica, pg,no pneu. O ar no pneu é aproximadamente isotérmico (porque o vazamento é pequeno).
A pressão inicial do ar é p0 ϭ 0,60 MPa (manométrica) e a taxa inicial de perda de pressão é de 1 psi por dia.
Determine: (a) A pressão no pneu após 30 dias.
(b) Incerteza da regra corrente segundo a qual perde-se “1 libra por dia” no período total de 30 dias.
Plote: A pressão no pneu como uma função do tempo para o período de 30 dias; compare os resultados obtidos com aqueles
da regra corrente de “1 libra por dia”.
Solução:
Aplique a conservação de massa ao pneu conforme o VC.
Equação básica:
0 ϭ ᭙ ϩ и
∂
∂ ∫ ∫t
d V dA
VC SC
␳ ␳
r r
Considerações: (1) Propriedades uniformes no pneu.
(2) O ar no interior do VC comporta-se como gás ideal.
(3) A temperatura, T, e o volume, ᭙, do ar no pneu são constantes.
(4) ˙ ( ) .m p pϭ Ϫc atm ␳
Então, podemos escrever
0
1
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0
ϭ ϩ ϭ ϩ Ϫ ␳
ϭ
␳
ϭ
ϭ ϩ Ϫ
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϩ Ϫ ϭϪ
Ϫ
∀
∂
∂
∀
∂
∂
∂
∀
)
∀ 

∀
␳ ␳
␳
t
m
t
p p c
Mas p RT e
dt RT
dp
dt
o
RT
dp
dt
cp
RT
p
para t p p e dp dt dp dt Assim
dp
dt
cp p p e c
p p p
dp
dt
atm
atm
atm
atm
˙ ( )
/ , log ,
( )
, / / . ,
( )
( )
p

 0
(1)
Substituindo na Eq. 1, obtemos
0
0 0 0
ϭ Ϫ
Ϫ
Ϫ
dp
dt
p p p
p p p
dp
dt
atm
atm
( )
( )


CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM17

Separando variáveis e integrando,
dp
p p p
dp dt
p p p
dt
p
p p p
p p p
dp dt
p p p
t
p p
p p
dp dt
p p p
t
atm atm
t
p
p
atm
atm
atm atm
atm
atm atm
( )
/
( )
ln
( )
( )
/
( )
ln
/
/
/
( / )
Ϫ
ϭ
Ϫ
Ϫ
Ϫ
ϭ
Ϫ
Ϫ
Ϫ
ϭ
Ϫ
)






)






)
∫∫ 0
0 0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
1
1
1 1
Tomando os antilogaritmos,
1 1 1
1
1
6 895 1
701
1
701 101 1
0 00166
1
0
1
0
0
0 0
1
0
0 0
Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ
ϭ
Ϫ
ϭ Ϫ ϫ ϫ
Ϫ
ϭ
ϭ
Ϫ
Ϫ
p
p
p
p
e
p
p
e
onde
k
dp dt
p p p
psi
kPa
psi kPa
k dia
e
p
p
atm atm
dp dt
p p p atm kt
atm
atm
atm











)
)







/
( / )
/
( / )
,
( / )
,
ϪϪ
Ϫ
ϭ
Ϫ
Ϫ
p p
p
e
Assim
p
p
p p
p
e
atm kt
atm
o atm kt
0
0
0
1












,
(2)
Avaliando para t ϭ 30 dias,
p
kPa
l
kPa
dia
p diast
ϭ
Ϫ
ϭ ϭ
Ϫ
101
1
600
701
544 30
30 0 00166( , ) ← 
A regra corrente “uma libra por dia” dá
p p
kPa
dia
t
Para t dias p kPa kPa kPa pregra
ϭ Ϫ
ϭ ϭ Ϫ ϭ
0 6 895
30 600 207 493
,
← 
(3)
A regra corrente “uma libra por dia” prediz uma maior queda de pressão.
Resultados para ambos os modelos são apresentados na figura a seguir.
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM18

Problema 4.49
Dados: Carrinho com pá defletora, movido por jato de água.
V m s A mj jϭ ϭ15 0 05 2
/ ,
Determine: (a) A massa necessária para manter o carrinho estacionário para ␪ ϭ 50°.
Plote: A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 0 Յ ␪ Յ 180 graus.
Solução:
Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento para o VC inercial mostrado.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϩ ϭ ᭙ ϩ ␳ и
0 2 0 3( ) ( )
F F
t
upd u V dAsx Bx
SCVC
∂
∂ ∫∫
r r
Pressãodopneu,p(kPa)(manométrica)
Pressão do Pneu versus Tempo
Tempo, t (dias)
Modelo exato
Regra corrente
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM19

Considerações:
(1) Pressão atmosférica em torno do VC.
(2) FBx
ϭ 0.
(3) Escoamento permanente.
(4) A velocidade do jato (e área) permanece constante na pá.
Então,
Ϫ ϭ Ϫ ϩ
ϭ ϭ
ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ
Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ
Mg u V A u V A
u V u V
V V V A A A
Mg V VA V VA V A
M
V A
g
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2 1 2
2
2
1
1
( ) ( )
; cos
;
( ) cos ( ) (cos )
( cos )
␳ ␳
␪
␳ ␪ ␳ ␳ ␪
␳ ␪
{ } { } 


(1)
Avaliando para ␪ ϭ 50°
M
kg
m
m
s
m
s
m
kg Mϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ999 15 0 05
9 81
1 50 4093
2
2
2
2
2
( ) ( , )
,
( cos )°
← 
M é traçada como uma função de ␪
Problema 4.52
Dados: Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel. Os grãos são despejados em sua caminhonete por um carregador
afunilado conforme mostrado. O fluxo de grãos é interrompido quando a leitura da balança atinge o valor bruto desejado.
Determine: A verdadeira carga paga.
Massaparareterocarrinho,M(kg)
Ângulo da pá defletora, ␪ (graus)
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM20

Solução: Aplique a componente y da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.
Equação básica:
Ӎ 0 2( )
F F
t
d V dAS B
VC SC
y y
ϩ ϭ ␳ ϩ ␳ и
∂
∂
∀∫ ∫v v
r r
Considerações:
(1) Não existe força de pressão líquida, F RS yy
ϭ .
(2) Despreze ␷ dentro do VC.
(3) O escoamento dos grãos é uniforme na seção de entrada ቢ.
Então,
R M M g m
V
m
A
y t lϪ ϩ ϭ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
( ) ˙
˙
v
v
1
1 1
{ }
␳
ou
R M M g
m
A
indicado durante o escoamento de grãosy t lϭ ϩ ϩ( )
˙
( )
2
␳
O carregamento é terminado quando
R
g
M M
m
pgA
kg
Assim
M kg
m
gA
kg
kg
s
m
kg
s
m m
M kg M
y
t l
l
l l
Ϫ ϭ ϩ ϭ
ϭ Ϫ
␳
ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ
ϭ
˙
˙
( )
, ( , )
2
2
2
2
2
3 2
2 2
675
675
675 40
600 9 81
4 1
0 3
671
␲
← 
Balança
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM21

Problema 4.54
Dados: Prato circular com orifício central atingido concentricamente por jato d’água conforme mostrado.
Determine: (a) Expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar.
(b) Valor da força para V ϭ 5 m/s, D ϭ 100 mm e d ϭ 20 mm.
Plote: A força requerida como uma função de ␪ (0 Յ ␪ Յ 90°) com d/D como um parâmetro.
Solução:
Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 2 0 3( ) ( )
( )F F
t
u d u V dAS B
VC SC
x x
∂
∂
∀∫ ∫␳ ␳
r r
Considerações:
(1) A pressão atmosférica age em todas as superfícies do VC.
(2) FBx
ϭ 0.
(6) Nenhuma variação na velocidade do jato sobre o disco: V1 ϭ V2 ϭ V3 ϭ V.
Então,
R u V A u V A u V A
u V A
D
u V A
d
u V sen A A A
R V
D
V
d
V sen D d V
x
x
ϭ Ϫ ϩ ϩ
ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ϭ
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1
2
2 2
2
3 3 1 2
2
2
2
2
2 2 2 2
4 4
4 4 4 4
( ) ( ) ( )
( ) (
␳ ␳ ␳
␲ ␲
␪
␳
␲
␳
␲
␳ ␪
␲
␳
␲
{ } { } { }
11
4
1 1
2 2
2
2 2
ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϩ Ϫ
sen d D
R V
D
sen
d
D R
x
x
␪
␳
␲
␪
) )(
( ) 









← 
Avaliando para d ϭ 25 mm
R
kg
m
m
s
m sen
N s
kg m
N Rx xϭϪ ϫ ϫ ϫ ϩ Ϫ
и
и
ϭϪ
␲
4
999 5 0 10 1 45 1
25
100
3143
2
2
2
2 2
2 2
( ) ( , ) ( )° 








 ← 
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM22

Como Rx Ͻ 0, a força deve ser aplicada para a esquerda. Rx é traçada como uma função de ␪ para diferentes valores de d/D.
Problema 4.60
Dados: Escoamento através de bocal semicircular, conforme mostrado.
Determine: (a) A vazão volumétrica.
(b) A componente y da força necessária para manter o bocal no lugar.
Solução: Escolha o VC e as coordenadas mostradas. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na
direção y.
Equações básicas:
Q V dA
F F
t
d V dA
A
S B
VC SC
x y
ϭ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
∫
∫ ∫
∂
∂
∀
r r
r r
0 2 0 3( ) ( )
v v␳ ␳
Considerações:
(1) Escoamento uniforme através da seção de saída.
(2) FBy
ϭ 0.
Forçaparareteroprato,؊Rx(N)
Razão de diâmetros, d/D ‫؍‬ 0
Ângulo de deflexão, ␪ (graus)
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM23

Na seção ባ,
r r
V.dA VRtdϭ ␪ , visto que o fluxo é para fora do VC. Então,
Q VRtd VRt VRt
Q
m
s
m m m s Qs
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ
Ϫ
Ϫ
␪ ␪ ␲
␲
␲
␲
␲
␲
[ ]
← 
∫ /
/
/
/
, , , /
2
2
2
2
15 0 3 0 03 0 424
Da quantidade de movimento
R V dA V dA V dA
com V
R V VRtd V Rt sen V Rt
R
kg
m
m
s
m
y
SC A A
y
y
ϭ и ϭ Ϫ ϩ ϩ
␯ ϭ ϭ
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ
Ϫ
Ϫ␲
␲
∫ ∫ ∫
∫
{ } { }
[ ]
v v v
v
␳ ␳ ␳
␪
␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳
␲
␲
r r
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
2
2
2
2
2 2
3
2
2
2
0
2
2 999 15 0 3 0
cos
cos
( ) ,
/
/
/
/
,, ,03 4 05
2
m
N s
kg m
KN Ryϫ
и
и
ϭ ← 
Problema 4.61
Dados: Motor a jato em banco de ensaio. O combustível entra verticalmente a uma vazão ˙ ˙ , ˙ .m mf ϭ ϭmcombustível ar0 02
Determine: (a) A vazão mássica de ar.
(b) Estime o empuxo do motor.
Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC mostrado.
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
ϭ ϭ
0 1 0 2
1 1 1
( ) ( )
˙ , /
F F
t
u d u V dA
m V A p RT
S B
SCVC
ar
x x
∂
∂
∀ ∫∫ ␳ ␳
␳ ␳
r r
Considerações:
(1) FBx
ϭ 0.
(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.
(4) O ar comporta-se como gás ideal, T ϭ 70°F.
(5) O combustível entra verticalmente (dado).
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM24

␳
␳
1
1
1
2
2
2 2 3
1 1 1 3
2
14 7 144 298
53 3
1
530
0 0644
0 0644 500 64 2060
ϭ ϫ Ϫ ϫ
и
ϫ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ
p
RT
lbf
in
in
ft
lbf
ft
lbm R
ft lbf R
lbm
ft
m V A
lbm
ft
ft
s
ft lbm s mar
,
,
,
˙ , / ˙






°
°
← 
Da equação da quantidade de movimento segundo x,
ϭ ϭ
Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ
0 0 5
1 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 2 1
( )
˙ ˙ ˙
, , ˙ ˙ ˙
R p A p A u m u m u m
u V u V m m m
x g f f
f
{ } { } { }
Também o empuxo T ϭ Kx (força do motor sobre o meio ambiente)ϭ ϪRx.
Então,
Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ
ϭ Ϫ Ϫ
ϭ ϫ Ϫ ϫ ϫ
и
и
Ϫ Ϫ
ϭ
T p A m V m V m V m V
T m V V p A
T
lbm
s
ft
s
ft
s
slug
lbm
lbf s
ft slug
lbf
ft
ft
T lbf T
ig
ig
1 1 1 2 2 1 1 1 2
1 2 1 1
2
2
2
1 02
1 02
2060 1 02 1200 500
32 2
298 64
65 400
˙ ˙ ˙ ( , ˙ )
˙ ( , )
,
,
.








← 
Problema 4.63
Dados: Escoamento incompressível, sem atrito, através de uma expansão súbita conforme mostrado.
Mostrar: Que o aumento de pressão, ⌬p ϭ p2 Ϫ p1, é dado por
⌬
␳
ϭ Ϫ
p
V
d
D
d
D1
2 2
1
2 2
2 1













Plote: O aumento de pressão adimensional como uma função de d/D para determinar o valor ótimo de d/D e o aumento de
pressão adimensional correspondente.
Solução:
Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 2 0 3( ) ( )
( )F F
t
u d u V dAS B
SCVC
x x
∂
∂
∀ ∫∫ ␳ ␳
r r
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM25

Considerações:
(1) Não há atrito, as forças superficiais são devidas somente à pressão.
(2) FBx
ϭ 0.
(3) Regime permanente.
(4) Escoamento incompressível (dado).
(5) Escoamento uniforme nas seções ቢ e ባ.
(6) Pressão uniforme p1 sobre a superfície vertical da expansão.
Então,
p A p A u V A u V A u V u V1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2Ϫ ϭ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭ ϭ( ) ( ) ,{ } { }
Da continuidade para escoamento uniforme,
˙ ;
, ( )
m A V A V V V
A
A
Assim p p V
A
A
V V
A
A
V V
A
A
V V
p p V
A
A
V
V
V
A
A
A
A
e
p
ϭ ϭ ϭ
Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ
Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ
␳ ␳
␳ ␳ ␳
␳ ␳
1 1 2 2 2 1
1
2
2 1 1
1
2
1 1
1
2
2 1
1
2
1 2
2 1 1
2 1
2
2
1
1
2 1
2
1
2
2
1 1
r 











ϪϪ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
p
V
A
A
A
A
d
D
d
D C Q D
1
1
2 1
2
1
2
1
2
2 2
2 1 2 1
␳




















← 
. .
A partir do gráfico mostrado adiante, vemos que
⌬p
1
2
1
2
␳V
tem um valor ótimo em torno de Ϸ 0,5 para d/D ϭ 0,70.
Nota: Como esperado,
• Para d ϭ D, ⌬p ϭ 0 para tubo reto.
• Para d/D → 0, ⌬p ϭ 0 para jato livre.
Note também que a localização da seção ባ deve ser escolhida com cuidado para fazer com que a consideração (5) seja
razoável.
Aumentodapressão,⌬p/pV2
/2(––)
Razão de diâmetros, d/D (––)
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM26

Problema 4.68
Dados: Bomba a jato d’água conforme mostrado no desenho esquemático.
O jato e a corrente secundária são bem misturados na seção ባ, e as pressões de entrada são as mesmas.
Determine: (a) A velocidade na saída da bomba.
(b) O aumento de pressão, p2 Ϫ p1.
Solução:
Aplique a equação da continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado.
ϭ
ϭ ϩ ␳ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ ␳ и
0 1
0
0 5 0 1
( )
( ) ( )
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫∫
∫∫
t
d V dA
F F
t
u d u V dA
SCVC
S B
SCCV
x x
␳
␳
r r
r r
Considerações:
(4) Nenhuma força viscosa age no volume de controle.
(5) FBx
ϭ 0.
Então, da continuidade,
0
1
0 075 0 01 0 065
1
0 075
3 0 065 30 0 01
2 2 2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
ϭ Ϫ ␳ ϩ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭϪ␳ Ϫ␳ ϩ ␳
ϭ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ
ϭ ϫ ϩ ϫ
V A V A V A V A V A V A
V
A
V A V A A A A m m
V
m
m
s
m
m
s
m
s s j j s s j j
s s j j s j
{ } { } { }

( ); ( , , ) ,
,
, ,


 ← 
{ } { } { }
ϭ
Ϫ ϭ Ϫ ␳ ϩ Ϫ ␳ ϩ ␳
ϭ ϭ ϭ
⌬ ϭ Ϫ ϭ ϩ ␳ ϩ ␳ Ϫ ␳ ϭ
␳
ϩ
6 60
1
2
1 2 2 2 2 2 2
2 2
2 1
2
2 2
2
2
2
1
,
( ) (
m
s
e
p A p A u VsA u V A u V A
u V u V u V
p p p
A
V A V A V A
A
V
V
s s j j j
s s j j
s s j j s
22 2
2
2
2A V A V As j jϩ Ϫ )
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM27

ϭ ϫ ϩ Ϫ ϫ
и
и
Ϫ ϭ Ϫ
999
1
0 075
3 0 0 065 30 0 01 6 6 0 075
84 2
3 2
2 2 2
2
2
2
2
2 1 2 1
kg
m m
m
s
m
N s
kg m
p p kPa p p
,
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )
,
[ ]
← 
Problema 4.69
Dados: Cotovelo redutor conforme mostrado. O fluido é água.
Determine: As componentes da força necessária para manter o cotovelo no lugar.
Solução: Aplique as componentes x e y da equação da quantidade de movimento usando a SC e o CV mostrados.
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 4 0 1
0 1
( ) ( )
( )
F F
t
u d u V dA
F F
t
d V dA
S B
SCVC
S B
SCVC
x x
y y
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫∫
∫∫
␳ ␳
␳ ␳
r r
r r
v v
Considerações:
(3) Use pressões manométricas.
(4) Eixo x horizontal.
Componente segundo x:
R p A p A u Q u Q
u V u V
R V V Q p A p A V
Q
A
m
s m
m
s
m
s
m
s
x g g
x g g
ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ
ϭ ϭ
ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϫ ϭ
ϭ Ϫ ϩ ϫ
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 1 2 2 1
1
3
2
0 11
1
0 0182
6 04
6 04 13 6 30
cos
cos
( cos ) cos ,
,
,
( , , cos
␪ ␳ ␳
␪
␪ ␳ ␪
{ } { }
°°
°
← 
) ,
,
,
, ( ) , ( ) , cos
999 0 11
1
0 0082
13 6
0 11 200 101 10 0 0182 120 101 10 0 0081 30
631 1800 133 1040
2 2
2
3
2
3 2
3
2
2 3
2
2
kg
m
V
Q
A
m
s m
m
s
m
s
N s
kg m
N
m
m
N
m
m
R N N R
x
x x
ϭ ϭ ϫ ϭ
ϫ ϫ
и
и
Ϫ Ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϫ
ϭϩ Ϫ ϩ ϭϪ 
Massa do cotovelo, m ϭ 10 kg
Volume interno V ϭ 0,006 m3
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM28

Componente segundo y:
R p A sen mg g Q Q
V sen
R V sen Q mg g p A sen
m
s
sen
kg
m
m
s
N s
kg m
kg
m
s
N s
kg
y g
y g
ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ
ϭ ϭϪ
ϭϪ ϩ ϩ Ϫ
ϭϪ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϩ ϫ ϫ
и
и
2 2 1 2
1 2 2
2 2 2
3
3 2
2
2
0
13 6 30 999 0 11 10 9 81
␪ ␳ ␳ ␳
␪
␪ ␳ ␳ ␪
∀ { } { }
∀
°
v v
v v
, , ,
mm
kg
m
m
m
s
N s
kg m
N
m
m sen
R N Ry
y
ϩ ϫ ϫ ϫ
и
и
Ϫ Ϫ ϫ ϫ
ϭϪ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ
999 0 006 9 81 120 101 10 0 0081 30
747 98 1 58 8 77 667
3
3
2
2
3
2
2
, , ( ) ,
, ,
°
← 
{Rx e Ry são as componentes horizontal e vertical da força que deve ser suprida pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo
(o volume de controle) sem movimento.}
Problema 4.73
Dados: Água sendo descarregada de modo não uniforme por um entalhe estreito, conforme mostrado.
p kPag1 30ϭ ˙
Determine: (a) A vazão volumétrica.
(b) As forças requeridas para reter o tubo.
Solução: Aplique as componentes x e y da quantidade de movimento, usando a SC e o VC mostrados.
ϭ ϭ ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и ϩ ϭ ϩ и
0 1 0 2 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( )
;F F
t
u d u V dA F F
t
d V dAS B
VC SC
S B
SCVC
x x y y
∂
∂
∀
∂
∂
∀∫ ∫ ∫∫␳ ␳ ␳ ␳
r r r r
v v
Considerações:
(1) F FB Bx y
ϭ ϭ 0.
(3) Escoamento uniforme na seção de entrada.
(4) Use pressões manométricas para cancelar patm.
Espessura, t ϭ 15 mm
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM29

A partir da continuidade,
Q VA V V Lt
m
s
m m m s Q
V
Q
A
m
s m
m s
ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϫ ϫ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϭ
1
2
1
2
7 5 11 3 1 0 015 0 141
0 141
4 1
0 15
7 98
1 2
3
3
3
3
2 2
( ) ( , , ) , , /
,
( , )
, /
← 
␲
Da componente x da quantidade de movimento, posto que o escoamento sai verticalmente do entalhe (u ϭ 0),
R p A u Q V Q R p A V Q
R
N
m
m
m
s
kg
m
m
s
N s
kg m
R kN para a R
x g x g
x
x x
ϩ ϭ Ϫ ϭϪ ϭϪ Ϫ
ϭϪ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭϪ
3 3 3 3 3 3 3
3
2
2 2
3
3 2
30 10
4
0 15 7 98 999 0 141
1 65
␳ ␳ ␳
␲
{ }
← 
;
( , ) , ,
, ( )esquerda

Da componente y da quantidade de movimento, visto que v3 ϭ 0,
ϭ
ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ
Ϫ
ϭ Ϫ ϩ
Ϫ
ϩ
Ϫ
ϭ Ϫ ϫ ϩ
0
2
2 3
999 0 015 7 5 7 5
3 1
2 1
2
1
2
1
2 1
2
2 1
2 3
3
2
2
2
R v Q v Vt dx t V
V V
L
x dx
t V x V
V V
L
x V V
L
x
kg
m
m
m
s
m
y
o
L
o
L
o
L
␳ ␳ ␳
␳
{ } 

















∫∫
, ( , ) ,
ss
m
s m
m
m
s m
m
R kN para Ry y
ϫ Ϫ ϫ ϫ
ϩ Ϫ ϫ ϫ
ϭ Ϫ
( , , ) ( )
( , , )
( )
( )
, ( )
11 3 7 5
1
1
1
11 3 7 5
1
1
1
3
1 34
2 2
2
2
2 2 2
3
3






← baixo
{Um momento também será requerido no acoplamento.}
Problema 4.75
Dados: Bocal descarregando uma cortina d’água plana e radial, conforme mostrado.
Espessura, t
água
CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM30

Determine: A força axial exercida pelo bocal sobre o acoplamento.
Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento, usando as coordenadas e o VC mostrados.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 1 0 2( ) ( )
F F
t
u d u V dAS B
VC SC
x x
∂
∂
∀∫ ∫␳ ␳
r r
Considerações:
(1) FBx
ϭ 0.
(3) Escoamento uniforme em cada seção
(4) Use pressão manométrica para cancelar patm.
A partir da equação da continuidade
Q V A V A V Rt
m
s
m m m s
V
Q
A
Q
D
m
s m
m s
ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ
ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ
1 1 2 2 2
3
1
1 1
2
3
2 2
10 0 05 0 0015 0 00236
4 4
0 00236
1
0 035
2 45
␲ ␲
␲ ␲
, , , /
,
( , )
, /
{Note que A D1 1
2 2
4 0 000962ϭ ϭ␲ / , m }
Da quantidade de movimento,
R p A u Q u V dA
u V u V dA Rt d
V V Rtd V Rt d V Rt
Assim
R p A V Q V Rt
x g
A
A o
x g
ϩ ϭ Ϫ ϩ
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϭ ϭ
ϭ Ϫ Ϫ ϩ
ϭ Ϫ Ϫ
Ϫ
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
1 1 1 2
2
2
2
2 2
2
150
␳ ␳
␪ ␪
␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳
␳ ␳
␲
␲ ␲
{ } ∫
∫∫ ∫
cos ;
cos cos
(
/
/ /
101101 10 0 000962 2 45 999 0 00256
2 999 10 0 05 0 0015
37 9
3
2
2
3
3 2
3
2
2
2
2
) , , ,
( ) , ,
,
N
m
m
m
s
kg
m
m
s
N s
kg m
kg
m
m
s
m m
N s
kg m
R Nx
ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϩ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ Ϫ
Mas Rx é uma força sobre o VC; a força sobre o acoplamento é Kx,
K R N para a Kx x xϭϪ ϭ 37 9, ( )direita ← 
CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM31

Problema 4.76
Dados: Pequeno objeto redondo testado em um túnel de vento. Atrito desprezível.
Determine:
a) A vazão mássica.
b) V2, máx.
c) O arrasto sobre o objeto.
Solução:
ϭ
ϭ ϩ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ
ϭ
0 1
0 4 0 1
999 9 81 0 02 196
98 0
1 1 3 2
2
( )
( ) ( )
, , ( )
, ( )
o
t
d V dA
F F
t
u d u V dA p gh
kg
m
m
s
m Pa manométrica
p Pa manométrica
VC SC
S B
SCVC
x x
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫ ∫
∫∫
␳ ␳
␳ ␳ ␳
r r
r r
Considerações:
(2) Massa específica uniforme em cada seção.
(3) Escoamento uniforme na seção ቢ, portanto ˙m V Aϭ ␳ 1
(4) Escoamento horizontal; FBx
ϭ 0.
Então,
˙ , ( ) , / ˙m V A
kg
m
m
s
m kg s mϭ ϭ ϫ ϫ ϭ␳
␲
1 1 3
2 2
1 23 10
4
1 9 67 ← 
Da equação da continuidade,
˙
˙
,
, ( , )
,
, , ,
,
m u dA V
r
R
rdr V R
r
R
d
r
R
V R
V
m
R
kg
s
m
kg m
V
A
máx
o
R
máx máx
máx
ϭ ϭ ϭ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ
␳ ␳ ␲ ␲ ␳
␲
␳
␲␳ ␲
2 2 2 2 2 2 2
2
2
0
1
2 2
2
2
2
2
3
2 2
2
2 2
2
3
3
2
3
2
9 67
1 23
1
0 5
15 0
∫ ∫ ∫








m/s 22, máx
← 
(manométrica) (manométrica)
CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM32

Da equação da quantidade de movimento,
R p A p A u m u V dA V m V R
r
R
d
r
R
u V u V
r
R
R p p A V m V R
x
A
máx
máx
x máx
ϩ и Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭϪ ϩ
ϭ ϭ
ϭ Ϫ Ϫ ϩ
ϭ
1 2 1 2 2 2 1 2 2
2 2
0
1 3
1 1 2 2
2 1 1 2 2
2 2
2
2
2
1
4
98
˙ ˙
( ) ˙
( ,
,
,
,
{ } 











∫ ∫␳ ␲␳
␲␳
00 196
4
1 10 9 67
2
1 23 15 0 5
65 0
2
2 2
3
2
2
2
2 2
2
Ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϩ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭϪ
) ( ) , , ( ) ( , )
,
N
m
m
m
s
kg
s
kg
m
m
s
m
N s
kg m
R Nx
␲ ␲



Rx é a força para manter o VC no lugar. O VC corta a haste de apoio, portanto Rx é a força para reter o objeto. O arrasto do
objeto e da haste de sustentação é
F R N FD x Dϭ ϭ 65 0, ← 
Problema 4.78
Dados: Escoamento incompressível na região de entrada de um tubo circular de raio R.
u u
r
R
máx2
2
1ϭ Ϫ 









Determine: (a) A velocidade máxima na seção ባ.
(b) A queda de pressão, se o atrito viscoso fosse desprezado.
Solução: Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção x. Use o VC e a SC mostrados.
ϭ
ϭ ϩ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 1
0
0 3 0 1
( )
( ) ( )
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫ ∫
∫∫
t
d V dA
F F
t
u d u V dA
VC SC
S B
SCVC
x x
␳ ␳
␳ ␳
r r
r r
(2) Escoamento uniforme na seção ቢ.
(3) FBx
ϭ 0.
(4) Despreze o atrito na parede do tubo.
CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM33

Então,
0 1 2
2 1 2
1
2
1
4
1
2
0
2
1
2 2
21
2
2 4
0
1
ϭ Ϫ ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
␳ ␲ ␳ ␲
␲␳ ␲␳ ␲␳
U R u
r
R
rdr
ou U R u R
r
R
r
R
d
r
R
u R
r
R
r
R
máx
R
máx
o
máx
{ } 









































∫
∫
AssimAssim u U
ft
ft s umáx máx, /ϭ ϭ ϫ ϭ2 2 30
3
601 ← 
p R p R u U R u u dA U R u R
r
R
r
R
d
r
R
u U u u
r
R
ou
p p U
R
máx
máx
1
2
2
2
1 1
2
2 2
0
2 1
2 2 2
2
0
1
1 1 2
2
1 2
2 1
1
␲ ␲ ␳ ␲ ␳ ␳ ␲ ␳ ␲
␳
Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ
ϭ ϭ Ϫ
Ϫ ϭ Ϫ
{ } 



























∫ ∫
11
2 2 2 2
0
1
2
0
1
2 4 2
0
1
4 6
0
1
2
1
2
1
2
1 2 1
2
1
2
2 1
1 1 2
1
2
1
2
1
6
1
6
2 4
8
6
ϩ Ϫ ␩ ␩ ␩ ␩ ϭ
Ϫ ␩ ␩ ␩ ϭ Ϫ ␩ ϩ ␩ ␩ ␩ ϭ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ ϭ
ϭ ϭ
Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ
␳
␳ ␳ ␳
u d
r
R
Mas d d
e u U U
p p U U U
máx
máx
( ) ;
( ) ( )
( ) ,
∫
∫ ∫ ]
logo,
11
2
1
2
2
2
2
2
1 2
2
4
3
1
1
3
1
3
0 075 30
32 2
0 699 1 2
Ϫ ϭ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
Ϫ ϭ Ϫ




µ
← 
␳U
lbm
ft
ft
s
s g
lbm
lbf s
slug ft
p p lbf ft p p
s
, ( )
/
,
, /
Problema 4.82
Dados: Escoamento incompressível em camada limite, conforme mostrado. O fluido é ar padrão.
Na camada limite:
u
U
y y
o
ϭ
␦
Ϫ
␦
3
2
1
2
3








Fronteira da CL
Largura
CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM34

Determine: A força horizontal por unidade de largura para manter a placa estacionária.
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.
ϭ
ϭ ϩ
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 1
0
0 3 0 1
( )
( ) ( )
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫ ∫
∫∫
t
d VdA
F F
t
u d u V dA
VC SC
S B
SCVC
x x
␳ ␳
␳ ␳
r r
r r
(2) Não existe força líquida de pressão;
(3) FBx
ϭ 0.
(4) Escoamento uniforme na seção ab.
Então, da equação da continuidade,
0 ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ␳ Ϫ
␦ ␦␦
␳ ␻␦ ␳ ␻ ␦U m u dy dy m U u dyo bc
o
bc o
oo
{ } 




∫ ∫∫˙ ; ; ˙ ( ) ␻
Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ Ϫ
␦
F U U w U m u uwdy U u U U u wdyf o o o bc
o
o o o
o
␳ ␦ ␳
␦
{ } 





[ ]∫ ∫˙ ( )2 2
Força de arrasto ϭ F u U u wdy U
u
U
u
U
wdyf o
o o o o
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
␦
␳ ␳
␦
( )∫ ∫





0
2
1
Na seção cd,
u
U
dy d
F
w
U
u
U
u
U
d U d
U
o
f
o
o o o
o
o
o
ϭ ␩ Ϫ ␩ ϭ ␦ ␩
ϭ ␦ Ϫ ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ ␩
ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ Ϫ ␩
␩ ϭ
3
2
1
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
2
3
2
9
4
1
2
3
2
1
4
3
2
1
2 3 3
1
2 2 3 4 6
;
␳ ␳
␳
∫ ∫






















← 
∫ d
U U
kg
m
m
s
m
N s
kg m
F
w
N m para a
F
w
o
o
o
o
f f
␩
ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ Ϫ ␩ ϭ ␦
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ
1
2 2 3 4 5 7
1
2
3
2
2
2
2
3
4
3
4
1
8
3
10
1
28
0 139
0 139 1 23 10 0 0023
0 0393
␳ ␳ ( , )
, , ( ) ,
, / ( )direita

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM35

Problema 4.83
Enunciado: Considere o jato de água e a placa vertical do Problema-Exemplo 4.4. Uma consideração implícita feita para
resolver o problema foi que o jato permanecesse horizontal até atingir a placa. Discuta as implicações de se incluir a gravida-
de na solução. Concentre-se especificamente na trajetória do jato antes de ele atingir a placa e na velocidade do líquido sobre
a placa acima e abaixo do ponto de impacto do jato. As dimensões da placa vertical são importantes? As propriedades da
corrente de líquido são importantes?
Discussão: A gravidade poderia ser incluída na solução com relativa facilidade. A gravidade produziria uma componente
vertical para baixo na velocidade da corrente de água no jato. O jato teria uma trajetória parabólica; a corrente do jato cairia
mais à medida que ela se afastasse do bocal.
Como uma primeira aproximação, o escoamento sobre a placa vertical é suposto ser sem atrito. Portanto, não existe força
de atrito do jato sobre a placa. Uma força de pressão agindo sobre a placa não possui componente vertical. Conseqüentemen-
te, não pode existir força vertical resultante sobre a placa.
O jato líquido dividir-se-á em duas correntes quando atingir a placa. Cada uma das duas correntes terá a mesma velocida-
de do jato, porque não existe força de atrito ao longo da placa para modificar a velocidade do líquido. Entretanto, a corrente
inferior irá carregar mais da metade do escoamento; a corrente superior carregará menos da metade do fluxo. Posto que
nenhuma força vertical age sobre o escoamento, este dividir-se-á de modo a dar às duas correntes a mesma quantidade de
movimento do jato tocando a placa.
A placa vertical deve ser larga o bastante para redirecionar todo o escoamento do jato de forma que ele saia paralelo à
superfície da placa. Quando a gravidade é incluída, a placa deve estender-se mais para baixo da linha de centro do jato do que
no caso hipotético sem gravidade.
As propriedades da corrente de líquido incluem sua massa específica, área, velocidade e viscosidade. A força horizontal
exercida sobre a placa vertical é proporcional à massa específica, área e ao quadrado da velocidade da corrente líquida. A
viscosidade do líquido não é importante, quando ela é pequena o suficiente para fazer com que a aproximação de um escoa-
mento sem atrito seja um modelo razoável.
Problema 4.87
Dados: Modelo de escoamento de gás em um bocal de propulsão como uma fonte esférica; Ve ϭ constante.
Determine: (a) Uma expressão para o empuxo axial, Ta; compare com a aproximação unidimensional, T mVeϭ ˙ .
(b) O erro percentual para ␣ ϭ 15°.
Plote: O erro percentual em função de ␣, para 0 22 5Յ Յ␣ , .°
Solução:
Aplique as definições: ˙ ,m VdA T u Vdaa
A A
ϭ ϭ␳ ␳∫ ∫
Use escoamento esférico, simétrico.
A vazão mássica é
admitindo
m VdA V Rsen Rd V R V R
e e
e e e e
oA o
e e
␳ ␳ ␪
␳ ␳ ␲ ␪ ␪ ␲ ␳ ␪ ␲ ␳ ␣
␣ ␣
( )
˙ ( ) cos ( cos )
[ ]
[ ]∫∫ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ2 2 2 12 2
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM36

A aproximação unidimensional para o empuxo é, portanto,
T mV V R Te e e Dϭ ϭ Ϫ Ϫ˙ ( cos )2 12 2
1␲␳ ␣ ← 
O empuxo axial é dado por
T u VdA V V Rsen Rd V R sen d
T V R
sen
V R sen T
a e e e
o
e e
o
a e e
o
e e a
ϭ ϭ ␳ ␲ ϭ
ϭ
␪
ϭ
␣ ␣
␣
␳ ␪ ␪ ␪ ␲␳ ␪ ␪ ␪
␲ ␳ ␲ ␳ ␣
cos ( ) cos∫∫ ∫



 ← 
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
O erro na aproximação unidimensional é
e
T T
T
T
T
V R
V R sen sen
D a
a
D
a
e e
e e
ϭ
Ϫ
ϭ Ϫ ϭ
Ϫ
Ϫ ϭ
Ϫ
Ϫ
Ϫ Ϫ1 1
2 2
2 2 2 2
1
2 1
1
2 1
1
␲ ␳ ␣
␲␳ ␣
␣
␣
( cos ) ( cos )
(1)
O erro percentual é traçado como uma função de ␣.
Para ␣ ϭ 15°
e
sen
e ou e
15 2
15
2 1 15
15
1
0 0173 1 73 15
ϭ
Ϫ
Ϫ
ϭ
( cos )
, , %
°
← 
Erronoempuxo1-D,e(%)
Metade do ângulo de descarga do bocal, ␣ (graus)
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM37

Problema *4.89
Dados: Jato de ar atingindo um disco de diâmetro D ϭ 200 mm, conforme mostrado.
Determine: (a) A deflexão do manômetro.
(b) A força para reter o disco.
Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado.
( )
tan
( ) ( )
5
2
0 5 0 1
2
p V
gz cons te
F F
t
u d u V dAS B
SCVC
x x
␳
␳ ␳
ϩ ϩ ϭ
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
∂
∂
∀ ∫∫
r r
(3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
(4) Despreze o atrito.
(5) FBx
ϭ 0.
(6) Escoamento uniforme no jato.
Aplique Bernoulli entre a saída do jato e o ponto de estagnação
p V p
o p p Vo
o
␳ ␳
␳ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ
2
2
2
1
2
;
Da hidrostática,
p p SG g h
Assim h
V
SG g
V
SG g
h
kg
m
m
s
m
kg
s
m
m ou mm h
o H O
H O H O
Ϫ ϭ ⌬
⌬ ϭ ϭ
⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ⌬
␳
␳
␳
␳
␳
2
2 2
1
2
2
1 23 50
1
2 1 75 999 9 81
0 0896 89 6
2
2
3
2
2
2
3 2
,
, ( )
( , ) ,
, , ← 
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM38

R u VA u VA V A
u V u
R
kg
m
m
s
m
N s
kg m
N para a R
x
x x
ϭ Ϫ ϩ ϭϪ
ϭ ϭ
ϭϪ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭϪ
1 2
2
1 2
3
2
2
2
2 2
2
0
1 23 50
4
0 01 0 242
␳ ␳ ␳
␲
{ } { }
← 
, ( ) ( , ) , ( )esquerda
Essa é a força necessária para manter a placa estacionária.
A “força” do jato sobre a placa é
K R N para ax xϭ Ϫ ϭ 0 242, ( )direita
Problema *4.91
Dados: Jato escoando para baixo, atingindo um disco horizontal, conforme mostrado.
Determine: (a) A velocidade do jato em h.
(b) Uma expressão para a força necessária para manter o disco estacionário.
(c) Avalie para h ϭ 1,5 m.
Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado.
( )
tan
( ) ( )
5
2
0 6 0 1
2
p V
gz cons te
F F
t
w d w V dAS B
VC SC
z z
␳
␳ ␳
ϩ ϩ ϭ
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
∂
∂
∀∫ ∫
r r
(4) Escoamento sem atrito.
(5) Pressão atmosférica agindo ao longo do jato.
(6) Despreze a massa de água sobre o disco, FBz
ϭ 0.
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM39

A equação de Bernoulli torna-se
V
gh
V
g o ou V V gh V V gh V0
2 2
2
0
2
0
2
2 2
2 2ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ( ) ; ← 
Da equação da quantidade de movimento
R VA V A V A
V
z o oϭ ␻ Ϫ ϩ ␻ ϩ ϭ ϩ
␻ ϭ Ϫ ␻ ϭ
1 2
2
1 2 0
␳ ␳ ␳{ } { }
Mas, da continuidade
˙ . , ,
, ,
, ( , ) ( , ) , ,
m V A VA Assim VA V A e
R V A V V A V gh R
Para h m
R
kg
m
m
s
m
m
s
m
s
m
o o o o
z o o o o o
z
z
ϭ ϭ ϭ
ϭ ϭ ϩ
ϭ
ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ ϫ
␳ ␳
␳ ␳
␲
2
3
2 2 2
2
2 2
2
1 5
999 1 5
4
0 015 1 5 2 9 81 1 5
← 




← 
1 2 2
1 49
/
, ( )
N s
kg m
R N força Rz z
и
и
ϭ para cima
Problema *4.93
Dados: Corrente de ar na condição padrão atinge um defletor curvo. Um tubo de estagnação conectado a um manômetro de
água está instalado no plano de saída do bocal.
Determine: (a) A velocidade do ar deixando o bocal.
(b) A componente horizontal da força exercida pelo jato sobre o defletor.
(c) Comente sobre cada uma das considerações feitas na solução do problema.
Solução: Aplique a definição de pressão de estagnação e a componente x da equação da quantidade de movimento.
Por definição,
p p Var0
2
1
2
ϭ ϩ ␳
Tubo de
estagnação
Defletor fixo
Ar
Aberto
Água
Jato de
ar livre
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM40

Da estática dos fluidos,
p p g hágua0 Ϫ ϭ ␳ ⌬
Combinando,
␳ ␳
␳
␳
água ar
água
ar
g h V ou V
g h
V
slug
ft
ft
s
in
ft
slug
ft
in
ft s V
⌬ ϭ ϭ
⌬
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ
1
2
2
2 1 94 32 2 7
0 00238 12
175
2
3 2
3
1
2
, , .
, .
/





 ← 
A equação da quantidade de movimento é
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 2 0 3( ) ( )
F F
t
u d u V dAS B
SCVC
x x
∂
∂
∀ ∫∫ ␳ ␳
r r
Considerações: (1) Não existem forças de pressão.
(2) FBx
ϭ 0.
(4) Escoamento uniforme.
(5) Velocidade constante no defletor.
Então,
R u VA u VA V A
u V u V
R
slug
ft
ft
s
ft lbf
x
x
ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ
ϭ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϭ Ϫ
1 2
2
1 2
3
2
2
2
2
2
1
0 00238 175
4
2
12
1 30 2 97
␳ ␳ ␳ ␪
␪
␲
{ } { }




°
( cos )
cos
, ( ) ( cos ) ,
A força do ar no defletor é
K R lbf para a Kx x xϭϪ ϭϩ2 97, ( )direita ← 
Comentários sobre cada consideração usada para resolver este problema:
• Escoamento sem atrito no bocal é uma boa aproximação.
• Escoamento incompressível é uma boa aproximação para esse escoamento de baixa velocidade.
• Nenhuma componente horizontal da força de campo é exata.
• Nenhuma força de pressão resultante sobre o volume de controle é exata.
• Escoamento sem atrito ao longo do defletor não é realista; o escoamento de ar ao longo do defletor deve ser desacelerado
por atrito, reduzindo o fluxo de quantidade de movimento na saída.
Problema *4.96
Dados: Bocal plano descarregando água em regime permanente e atingindo uma placa inclinada. Despreze o atrito no bocal
e ao longo da superfície da placa.
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM41

Determine: (a) A pressão manométrica mínima requerida na entrada do bocal.
(b) Magnitude e sentido da força exercida pela corrente d’água sobre a placa inclinada.
(c) Esboce um gráfico da distribuição de pressão ao longo da superfície da placa.
Solução: Aplique as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de Bernoulli, usando as coordenadas e o VC
mostrados.
V A V A
p V
gz
p V
gz
R F
t
v d v V dAy B
SCVC
y
1 1 2 2
1 1
2
1
2 2
2
2
2 2
0 6 0 3
ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
␳ ␳
␳ ␳
( ) ( )
∂
∂
∀ ∫∫
r r
Considerações: (1) Escoamento sem atrito.
Então, da equação da continuidade,
V
A
A
V
W
V
mm
mm
m
s
m s1
2
1
2 2
12 7
51 8
12 2 2 99ϭ ϭ
␻
ϭ ϫ ϭ
,
,
, , /
Bocal
Água
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM42

Da equação de Bernoulli,
ϭ
ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ
ϭ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ
0
2
1
2
999 12 2 2 99 999 9 81 0 15 68 4
1 2
2
1
2
1 2 2 1 2
1 2
2 2
2
2 3
1
1
p V V g z z p z z h
p
kg
m
m
s
kg
m
m
s
m
N s
kg m
kPa manométrica p
g g
g
g
␳
␳( ) ( ) ;
( , ) ( , ) , , , ( )[ ]


 ← 
Calcule V3 na ausência da placa usando Bernoulli (p2 ϭ p3)
V V g H
m
s
m
s
m s3 2
2 2
2
2 2
2 12 2 2 9 81 4 85 15 6
1
2
ϭ ϩ ϭ ϩ ϫ ϫ ϭ( , ) , , , /




Da quantidade de movimento: Rx ϭ 0, posto que não existe atrito na superfície da placa.
Considerações:
(6) Despreze as massas da placa e da água sobre a placa.
(7) Pressão atmosférica age sobre todo o volume de controle; F RS yy
ϭ .
Então,
0 0
15 6 30 999 0 0155 209 209
3 3 4 4 5 5 3 3 3
3
3
R v m v m v m V Q visto que v V
R
m
s
kg
m
m
s
N s
kg m
N K N K
y
y y
y
ϭ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ ␳ ϭ Ϫ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ ϭ Ϫ
˙ ˙ ˙ cos , cos
, cos , ,
{ } { } { }
° ← 
␪ ␪
A pressão é máxima no ponto de estagnação e mínima (patm) em ብ e ቦ. A pressão em a é maior que em b devido à curvatura da
linha de corrente.
CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM43

Problema *4.100
Dados: Escoamento uniforme em espaço estreito entre placas paralelas, conforme mostrado. O fluido preenchendo esse
espaço tem movimento horizontal apenas.
Determine: Expressão para p(x).
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.
ϭ
ϭ ϩ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 1
0
0 5 0 1
( )
( ) ( )
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫∫
∫ ∫
t
d V dA
F F
t
u d u V dA
SCVC
S B
VC SC
x x
␳ ␳
␳ ␳
r r
r r
(4) Atrito desprezível.
(5) FBx
ϭ 0.
Então,
0
0 0 0
ϭ и ϭ Ϫ ␻ ϩ Ϫ
␻
␻ ϩ ϩ ␻ ␻ ϭ
ϭ
␻
ϩ ϭ ϭ ϭ
␻
r r
V dA V h
Q
L
dx V dV h hdV
Q
L
dx
V
Q
h
x
L
c c pois V V x
Q
h
x
L
VC∫ { } 





{ }( ) ;
; ( ) ; ( )
p h p dp h u V h u
Q
h
dx u V dV h
u V u u d V dV
x dx x dx
x dx x x
␻ Ϫ ϩ ␻ ϭ Ϫ ␻ ϩ Ϫ
␻
␻ ϩ ϩ ϩ ␻
ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ
ϩ( ) ( )␳ ␳ ␳{ } 





{ }
0
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM44

Da continuidade,
( )V dV h V h Q
dx
L
ϩ ␻ ϭ ␻ ϩ
logo
Ϫ ␻ ϭϪ ␻ ϩ ϩ ϩ ␻ ϩ
ϭϪ ␻ ϩ ␻ ϩ ␻ ϩ ϩ
dp h V h V dV V h Q
dx
L
V h V h V hdV V Q
dx
L
Q dV
dx
L
␳ ␳
␳ ␳ ␳ ␳ ␳
2
2 2
0 ) (



Desprezando produtos de diferenciais (dVdx Ӷ dx), e com dV
Q
h
dx
L
ϭ
␻
Ϫ ϭ ϩ
␻
ϭ
␻
ϩ
␻ ␻
Ϫ ϭ
␻
ϭϪ
␻
ϩ
ϭ ϭ Ϫ
␻
dp VdV
V Q
h
dx
L
V
Q
h
dx
L
V Q
h
x
L
Q
h
dx
L
dp
Q
hL
xdx p x
Q
hL
x C
Se p p então p x
Q
h
x
L p x
␳
␳
␳
␳
␳ ␳
␳
2
0
2 2
2
0 0
2 2
















← 
( )
( ) , ( )
( )
p
Problema 4.107
Dados: Jato de água atingindo uma pá móvel conforme mostrado.
Determine: A força necessária para manter a velocidade da pá constante.
Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel mostrado.
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 2 0 3
0 2 0 3
( ) ( )
( ) ( )
F F
t
u d u V dA
F F
t
v d v V dA
S B xyz
VC
xyz
SC
xyz
S B xyz xyz xyz
SCVC
x x
y y
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫ ∫
∫∫
␳ ␳
␳ ␳
r r
r r
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM45

Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre VC; F R F RS x S yx y
ϭ ϭ,
(2) FBx
ϭ 0.; despreze FBy
.
(3) Escoamento permanente relativo à pá.
(5) Área do jato e velocidade relativa à pá constantes.
Todas as velocidades devem ser relativas ao VC. Então,
R u V U A u V U A
u V U u V U
e
R V U A
kg
m
m
s
mm
m
mm
N s
kg m
R N para a R
x
x
x x
ϭ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ Ϫ
ϭ Ϫ ϫ ϫ Ϫ
и
и
ϭϪ
1 2
1 2
2
3
2
2
2
2
2
6 2
1
999 30 15 600
10
90 1
135
␳ ␳
␪
␳ ␪
( ) ( )
( )cos
( ) (cos )
( ) (cos )
( )
{ } { }
°
← esquerda 
Também,
R v V U A v V U A
v v V U sen
R V U A sen
kg
m
m
s
mm
m
mm
sen
N s
kg m
N
R N a força deve ser para R
y
y
y
y
ϭ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ
ϭ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ
ϭ
1 2
1 2
2
3
2
2
2
2
2
6 2
2
0
999 30 15 600
10
90 135
135
␳ ␳
␪
␳ ␪
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{ } { }
°
← cima 
Problema 4.109
Dados: Prato circular com orifício e jato movendo-se conforme mostrado.
Determine: A força requerida para manter o movimento do prato.
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM46

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC movendo-se com o prato
como mostrado.
ϭ
ϭ ϩ и
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 1
0
0 3 0 1
( )
( ) ( )
∂
∂
∀
∂
∂
∀
∫∫
∫ ∫
t
d V dA
F F
t
u d u V dA
xyz
SCVC
B S xyz
VC
xyz
SC
x x
␳ ␳
␳ ␳
r r
r r
Considerações: (1) Escoamento permanente relativo ao VC.
(2) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.
(3) Horizontal; FBx
ϭ 0.
(5) Nenhuma variação na velocidade do jato relativa à pá.
Então,
0
4 4
4 4
0 020 0 010 2 36 10
2 2
3 4
3 4
2 2 2 2 2 4 2
ϭ и ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ
r r
V dA V U
D d
A
A D d m m
xyz
SC∫
[ ]
( ) ( )
( ) ( , ) ( , ) ,
,
,
␲ ␲
␲ ␲
R u V U
D
u V U
d
u V U A
u V U u V U u V U
R V U
D
V U
d
V U
x
x
ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ
ϭϪ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ Ϫ
1
2
2
2
3 3 4
1 2 3
2
2
2
2
2
4 4
40
4 4
␳
␲
␳
␲
␳
␳
␲
␳
␲
␳
( ) ( ) ( )
( ) cos
( ) ( ) ( )
,












{ }
°
␲␲
␳
␲
4
40
4
1 40
999 30 10 2 36 10 1 40
167
2 2
2 2 2
3
2
2
2
4 2
2
( ) cos
( ) ( ) ( cos )
( ) , ( cos )
( )
D d
V U D d
kg
m
m
s
m
N s
kg m
R N a força deve ser aplicada para a Rx x
Ϫ
ϭϪ Ϫ Ϫ ϩ
ϭϪ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϫ
и
и
ϭϪ
Ϫ
°
°
°
← direita
{Nota: Ry ϭ Mg, pois não há fluxo líquido de quantidade de movimento na direção y.}
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM47

Problema 4.114
Dados: Uma série de pás atingidas por jatos contínuos, conforme mostrado.
Determine: (a) O ângulo do bocal, ␣.
(b) A força para manter a velocidade das pás constante.
Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel com as pás como mostrado.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϩ ϭ ϩ и
0 2 0 3( ) ( )
F F
t
u d u V dAS B xyz
VC
xyz xyz
SC
x x
∂
∂
∀∫ ∫␳ ␳
r r
Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.
(2) Horizontal; FBx
ϭ 0.
(3) Escoamento permanente relativo ao VC.
(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre a pá.
(6) Escoamento entra e sai tangencialmente às pás.
O ângulo do bocal pode ser obtido por trigonometria. O triângulo de velocidades para a entrada é mostrado no esquema:
Da lei de senos,
sen
V
sen
V
sen
U
sen
U
V
sen sen sen
Do esquema de velocidades o
Também V
rb
rb
␣ ␪ ␤
␤ ␪
␣ ␤ ␪ ␣ ␤ ␪
␪
ϭ
ϩ
ϭ
ϭ ϩ ϭ ϭ
ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ␣
Ϫ Ϫ
(
( )
,
( )
, , log ,
cos
90
90
50
86 6
120 30
90 90 90 30 30 30
1
1
1
1
1
1
)
1



 °





 °
° ° ° ° ° ° ← 
,, ;
cos
,
cos
, /ϭ ϭ ϭ ϫ ϭV sen V V
sen m
s
sen
m srb␣
␣
␪1
86 6
30
30
50 0
°
°
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM48

Da equação da quantidade de movimento (considere a vazão total ˙m dos escoamentos através das pás)
R u m u m V sen m V sen m V m sen sen
u V sen u V sen R m V
x rb rb rb
rb rb y rb
ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ
ϭ ϭϪ ϭ Ϫ ϩ
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
˙ ˙ ( ˙ ) ( ˙ ) ˙ ( )
, ; ˙ ( cos cos )
{ } { } ␪ ␪ ␪ ␪
␪ ␪ ␪ ␪
Dessa forma, como ˙ ,m Qϭ ␳
R V Q sen sen
m
s
kg
m
m
s
sen sen
N s
kg m
R kN para a R
x rb
x x
ϭ Ϫ Ϫ
ϭ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ
и
и
ϭϪ
␳ ␪ ␪( )
, ( )
, ( )
1 2
3
3 2
50 999 0 170 30 45
10 3
° °
← esquerda
{Nota: A força resultante sobre o VC na direção y é Ry ϭ Ϫ1,35 kN.}
Problema 4.122
Dados: Catapulta hidráulica do Problema 4.118 deslocando-se sobre trilha horizontal com resistência F kUD ϭ 2
, velocidade
U, partindo do repouso em t ϭ 0.
Determine: (a) Instante de aceleração máxima.
(b) Esquema da aceleração versus tempo.
(c) Valor de ␪ para maximizar aceleração, por quê?
(d) Se U alcançará V em algum momento; explique.
Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento ao VC em aceleração.
Equação básica:
ϭ
ϩ Ϫ ϭ ϩ и
0 2 0 3( ) ( )Ϸ
F F a d
t
u d u V dAS B rfx
VC
xyz xyz xyz
SCVC
x x
␳ ␳ ␳∀
∂
∂
∀∫ ∫∫
r r
Considerações: (1) F F kUS Dx
ϭϪ ϭϪ 2
, onde k ϭ 0,92 Nиs2
/m2
.
(2) Horizontal; FBx
ϭ 0 .
(3) Despreze a massa da água sobre o defletor.
(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre o defletor.
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM49

Então,
Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ϩ Ϫ
ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ
ϭ
ϩ
Ϫ Ϫ
kU a M u V U A u V U A sen V U A
u V U u V U sen
ou
dU
dt
A sen
M
V U kU M
rfx vc
vc
vc
2
1 2
2
1 2
2 2
1
1
␳ ␳ ␪ ␳
␪
␳ ␪
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) /
{ } { }
(1)
(a) A aceleração é máxima para t ϭ 0, quando U ϭ 0. ← 
(b) A aceleração como função do tempo será
(c) Da Eq. 1, dU/dt é máximo quando ␪ ϭ ␲/2 e sen ␪ ϭ 1
du
dt
máx.
← 
(d) Da Eq. 1, dU/dt irá a zero quando U Ͻ V; isto corresponderá à velocidade terminal para o veículo, Ut. Da Eq. 1, dU/dt ϭ
0 quando
ou
␳ ␪
␳ ␪
␳ ␪
A sen V U kU
U
A sen
k
A sen
k
V V
( ( )
( )
(
,
/
/
1
1
1
1
0 472
2 2
1 2
1 2
ϩ Ϫ ϭ
ϭ
ϩ
ϩ
ϩ
ϭ
)








U será assintótico em relação a V.
Problema 4.124
Dados: Veículo com pá defletora deslocando-se com resistência desprezível.
a m s cons terfx
ϭ ϭ2 2
/ tan
A área do jato é A(t), programada.
tendência assintótica a zero
CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM50

Determine: (a) Expressão para A(t).
(b) Esquematize para t Յ 4s.
(c) Avalie para t ϭ 2s.
Solução: Aplique a quantidade de movimento segundo x ao VC com aceleração linear.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϩ Ϫ ϭ ϩ и
0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )Ϸ
F F a d
t
u d u V dAS B rfx
VC
xyz
VC
xyz
SC
xyzx x
␳ ␳ ␳∀
∂
∂
∀∫ ∫ ∫
r r
Considerações: (1) Nenhuma resistência ao movimento.
(2) Movimento horizontal, logo FBx
ϭ 0.
(3) Despreze massa de líquido no VC.
(5) Todas as velocidades medidas em relação ao VC.
(6) Nenhuma variação na área da corrente ou na velocidade sobre a pá.
Então (com a arfx
ϭ ),
Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ␳ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ
a M u V U A u V U A V U A
u V U u V U V U
1 2
2
1 2
3
2
120
1
2
␳ ␳( ) ( ) ( )
( ) cos ( )
{ } { }
°
Como a ϭ constante, U ϭ at e
A A t
a M
V at A t
Em t A A
aM
V
Assim
A
A at
ϭ ϭ
Ϫ
ϭ ϭ ϭ
ϭ
Ϫ
( )
( ) ( )
, ( ) .
,
( )
2
3
0 0
2
3
1
1
2
0 2
0
2
␳
␳
← 
Esquema:
Para t ϭ 2s,
A
m
s
kg
m
kg m
s
m
s
s
mm
m
mm Aϭ ϫ ϫ
Ϫ ϫ
ϫ ϭ
2
3
2 3
999
1
10 2 2
10 111 22
3
2
2
6
2
2
2




← 
( )
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM51

Problema 4.127
Dados: Foguete trenó desacelerado por concha arrastando água. Arrasto aerodinâmico proporcional a U2
. Para U0 ϭ 300 m/
s, FD ϭ 90 kN. Largura da concha, w ϭ 0,3 m.
Determine: A profundidade de imersão da concha para reduzir a velocidade a 100 m/s após percorrer a distância L.
Solução: Aplique a componente x da equação de quantidade de movimento usando o VC com aceleração linear mostrado.
Equação básica:
ϭ
ϩ Ϫ ϭ ϩ и
0 1 0 2( ) ( )Ϸ
F F a d
t
u d u V dAS B
VC
rfx xyz xyz xyz
SCVC
x x ∫ ∫∫∀
∂
∂
∀␳ ␳ ␳
r r
Considerações: (1) FBx ϭ 0.
(2) Despreze taxa de variação de u dentro do VC.
(4) Nenhuma variação na velocidade relativa do líquido na concha.
Então,
Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ
ϭ Ϫ ϭ
ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ
Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭ
Ϫ
F Ma u Uwh u Uwh h imersão da concha
u U u U
Mas F kU k
F
U
kN
s
m
N
kN
kg m
N s
kg m
kU M
dU
dt
U wh posto que a dU dt
Assim
D rfx
D
D
rtx
1 2
1 2
2 0
0
2
2 2
3
2
2 2
2
90
300
10
1 00
1
␳ ␳
␪
␳ ␪
{ } { };
cos
;
( )
, /
( cos ), / .
, MM
dU
dt
k wh U MU
dU
dX
ou
dU
U
CdX onde C
k wh
M
Integrando
U
U
CX o C
X
U
U
C
m
m
ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ
ϩ ϩ
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ Ϫ
␳ ␪
␳ ␪
( cos
,
( cos )
, ln , log ln
ln ,
1
1
1
1
800
100
300
1 37 10
2
0 0
3 1
)[ ]




CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM52

Resolvendo para h h
MC k
w
h kg
m
kg
m
m
kg m
m
h mm h
,
( cos )
,
,
, cos
,
,
ϭ
Ϫ
ϩ
ϭ ϫ
ϫ
Ϫ ϫ ϫ
ϩ
ϭ
ϭ
Ϫ
␳ ␪1
8000
1 37 10
1 00
999
1
0 3
1
1 30
0 0179
17 9
3 3



 °( )
← 
Problema 4.143
Dados: Foguete trenó com massa inicial de 4000 kg, incluindo 1000 kg de combustível. A resistência ao movimento é dada
por kU com k ϭ 75 N/m/s.
Determine: A velocidade do trenó 10 s após a partida do repouso.
Plote: A velocidade e a aceleração do trenó como funções do tempo.
Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado.
Equação básica:
ϭ
ϩ Ϫ ϭ ϩ и
0 2 0 3( ) ( )
( )F F a d
t
u d u V dAS B rfx
VC
xyz
VC
xyz xyz
SC
x x
␳ ␳ ␳∀
∂
∂
∀∫ ∫ ∫
r r
Considerações: (1) pe ϭ patm (dado), logo F FS Rx
ϭϪ .
(2) FBx
ϭ 0.
(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.
(4) Escoamento uniforme no plano de saída.
Então,
Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭϪ ϭ ϭϪF a M u m V m F kU VR rfx e e R e
˙ ˙ ,{ } { }ue
Da continuidade, M M mtϭ Ϫ0
˙ . Substituindo com a
dU
dt
rfx ϭ
Ϫ Ϫ Ϫ ϭϪ
ϭ
Ϫ
Ϫ Ϫ
ϭ
Ϫ
Ϫ ϭ Ϫ
kU M mt
dU
dt
V m
dU
dt
V m kU
M mt
ou
dU
V m kU
dt
M mt
Integrando
k
V m kU
m
M mt
e
e
e
e
U t
( ˙ ) ˙
˙
˙ ˙ ˙
, ln ( ˙ ) ln ( ˙ )
0
0 0
0 0 0
1 1
] ]
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM53

e
V m kU
V m
kU
V m
k
m
M mt
M
k
m
mt
M
Então
kU
V m
mt
M
e
U
V m
k
mt
M
e
e e
e
k m
e
k m
ln
˙
˙
ln (
˙ ˙
ln
˙
˙
ln (
˙
,
˙
(
˙
˙ ˙
/ ˙
/ ˙
Ϫ
Ϫ ϭ
Ϫ
ϭ Ϫ
Ϫ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ Ϫ









( ) 















1 1
1 1
1 1
0
0 0
0
0
















← 
Para t s
U
m
s
kg
s
m
N s
N s
kg m
kg
s
s
kg
N s
m
s
kg
kg m
N s
U m s
U
ϭ
ϭ ϫ ϫ
и
ϫ
и
и
Ϫ Ϫ ϫ ϫ
и
ϫ ϫ
и
и
ϭ
10
1500 90
75
1 1 90 10
1
4000
75
90
344
2
2
/
(1)
Problema 4.145
Dados: Motocicleta com foguete de propulsão, para saltos, acelerando-se em pista horizontal. Velocidade necessária, Uj ϭ
875 km/h. Velocidade de descarga do foguete, Ve ϭ 2510 m/s. Massa total, MB ϭ 375 kg (sem combustível).
Determine: A massa mínima de combustível necessária para alcançar Uj.
Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC em aceleração mostrado.
Da continuidade,
M M mtvc ϭ Ϫ0
˙
Equação básica:
Ϸ Ϸ0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )ϭ
ϩ Ϫ ϫ ϭ ϩ иF F a d
t
u d u V dAS B rfx
VC
xyz
VC
xyz
SC
xyzx x
␳ ␳ ␳∀
∂
∂
∀∫ ∫ ∫
r r
Considerações: (1) Despreze resistências do ar e de rolamento.
(2) Movimento horizontal, logo FBx
ϭ 0.
(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.
(4) Escoamento uniforme no plano de saída do bocal.
(5) Pe ϭ Patm.
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM54

Então,
Ϫ ϭ ϩ ϭϪ ϭ ϭ
Ϫ
ϭϪ
a M u m V m ou
dU
dt
V m
M
V m
M mt
u V
rfx vc e e
e
vc
e
o
e e
˙ ˙
˙ ˙
˙
{ }
Separando variáveis e integrando,
dU V
mdt
M mt
ou U V M mt V
M
M mt
Mas M M M e M mt por to
U
V
M M
M
M
M
M
M
e
o
j e o o
t
e
o
o
o B F F
j
e
B F
B
F
B
F
ϭ Ϫ
Ϫ
Ϫ
ϭ Ϫ Ϫ ϭ
Ϫ
ϭ ϩ ϭ
ϭ
ϩ
ϭ ϩ ϩ
˙
˙
ln( ˙ ) ln
˙
˙ , tan ,
ln ln ;























1 1
BB
U V F
B
Uj V
F B
Uj V
F
F
e
M
M
e
Finalmente M M e
M kg
km
h
s
m
m
km
h
s
M kg M
j e e
e
F
ϭ ϭ Ϫ
ϭ Ϫ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ
ϭ
/ /
/
;
, ( )
exp
,
1
1
375 875
2510
1000
3600
1
38 1






← 
A massa de combustível requerida é cerca de 10% da massa da motocicleta ϩ motociclista.
Problema 4.155
Dados: Tanque movimentado por jato ao longo de pista horizontal. Resistência desprezível. Aceleração a partir do repouso.
Massa inicial, M0.
Determine: (a) Aplique a continuidade e a componente x da quantidade de movimento para mostrar que
M ϭ Mo V/(V Ϫ U)
(b) Expressão geral para U/V como uma função do tempo.
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear
mostrado.
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM55

0
0 1 0 2 0 3
ϭ ϩ и
ϭ ϭ
ϩ Ϫ ϭ ϩ и
∂
∂
∀
( )
∀
∂
∂
∀
∫ ∫
∫ ∫ ∫
t
d V dA
F F a d
t
u d u V dA
VC
xyz
SC
S B rfx
VC
xyz
VC
xyz
SC
xyzx x
␳ ␳
␳ ␳ ␳
r r
r r
( ) ( ) )Ϸ
Considerações: (1) FSx
ϭ 0.
(2) FBx
ϭ 0.
(3) Despreze u dentro do VC.
Da continuidade,
0 ϭ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ
∂
∂
{ }t
M V U A ou
dM
dt
V U Avc ␳ ␳( ) ( )
Ϫ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ
Ϫ ϭ ϭϪ Ϫ
Ϫ ϭ
Ϫ
ϭϪ Ϫ Ϫ ϭ ϭ
ϭ
a M
dU
dt
M u V U A V U V U A u V U
Mas da continuidade V U A
dM
dt
e dU d V U por to
dU
dt
M
d V U
dt
M V U
dM
dt
ou M V U cons te M V
Assim M M
rfx
o
o
␳ ␳
␳
( ) ( ) ( ) ;
, ( ) , ( ), tan ,
( )
( ) ( ) tan
,
{ } [ ]
VV V U M/( )Ϫ ← 
Substituindo na quantidade de movimento,
Ϫ ϭ
Ϫ
Ϫ
ϭϪ Ϫ
dU
dt
M
d V U
dt
M V
V U
V U Ao( )
( )
( )␳ 2
ou
d V U
V U
A
VM
dt
o
( )
( )
Ϫ
Ϫ
ϭ Ϫ3
␳
Integrando,
d V U
V U V U V
A
VM
dt
A
VM
t
V
V U
oo
t
o
( )
( ) ( )
Ϫ
Ϫ
ϭϪ
Ϫ
Ϫ ϭϪ ϭϪ
␳Ϫ
3 2 2
1
2
1 1
∫ ∫






␳
Resolvendo,
U
V VA
M
t
U
V
ϭ Ϫ
ϩ
␳
1
1
1
2
0
1 2



















 ← 
/
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM56

Problema 4.158
Enunciado: Vários fabricantes de brinquedos vendem “foguetes” de água que consistem de tanques de plástico que são
parcialmente enchidos com água e pressurizados, em seguida, com ar. Quando liberado, o ar comprimido força a água
rapidamente para fora do bocal, impulsionando o foguete. Você foi chamado para auxiliar na especificação das condições
ótimas para o sistema de propulsão a jato d’água. Para simplificar a análise, considere apenas o movimento horizontal. Faça
a análise e o projeto necessários para definir o desempenho de aceleração do foguete com propulsão a jato d’água e ar
comprimido. Identifique a fração do volume do tanque que deveria ser inicialmente preenchido com ar comprimido para
alcançar o desempenho ótimo (isto é, a máxima velocidade obtida com a carga d’água). Descreva o efeito da mudança na
pressão inicial do ar no tanque.
Discussão: O processo pode ser modelado como uma expansão politrópica do ar aprisionado que força um jato d’água a sair
pelo bocal, causando a aceleração do “foguete”. O expoente politrópico pode ser variado para modelar qualquer coisa entre
um processo de expansão isotérmica (n ϭ 1) até um processo de expansão adiabática (n ϭ k), o qual é provavelmente o
modelo mais adequado para a expansão súbita do ar.
A velocidade do jato d’água deixando o “foguete” é proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão entre o tanque
e a atmosfera.
Qualitativamente, é aparente que, quanto menor for a fração inicial em volume de ar aprisionado, maior será a razão de
expansão do ar e mais rápida será a redução da pressão quando o ar se expande. Isto causará uma queda rápida na velocidade
do jato d’água. A combinação da baixa velocidade do jato d’água e a massa relativamente grande de água produzirá uma
aceleração lenta.
O aumento na fração inicial em volume de ar reduzirá a razão de expansão, logo, pressões mais altas serão mantidas por
mais tempo no tanque e o jato d’água manterá velocidades maiores por tempos mais longos. Isto, combinado com a massa
relativamente pequena de água no tanque, produzirá aceleração rápida.
Se a fração inicial em volume de ar é muito grande, toda a água será gasta antes que a pressão do ar seja reduzida
significativamente. Nesta situação, uma parte da energia do ar armazenado será dissipada num jato de ar relativamente
ineficaz. Conseqüentemente, para cada pressão inicial no tanque existe uma fração ótima de ar.
Este problema não pode ser resolvido com formulação analítica devido às variações na pressão e na vazão mássica do ar
e na massa de água no tanque; ele só pode ser resolvido numericamente. Um possível esquema de integração é dar incrementos
de tempo e resolver para todas as propriedades do sistema em cada instante. A desvantagem deste esquema é que a água é
exaurida em um incremento de tempo par, o que não é de todo razoável. Um segundo esquema é dar incrementos ao volume
de água remanescente e resolver para as propriedades, usando a vazão média durante o intervalo. Este esquema é delineado
a seguir.
Modele o “foguete” com propulsão a jato de água e ar, usando o VC e as coordenadas mostradas.
Primeiro, escolha as dimensões e a massa do “foguete” a ser simulado:
Dados de Entrada:
Diâmetro do jato: Dj ϭ 0,003 m
Diâmetro do tanque: Dt ϭ 0,035 m
Comprimento do tanque: L ϭ 0,1 m
Massa do tanque: Mt ϭ 0,01 kg
Expoente politrópico: n ϭ 1,4 —
Em seguida, escolha condições iniciais para a simulação (veja exemplo de cálculos a seguir):
Água Ar
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM57

Condições Iniciais:
Fração de ar no tanque: ␣ ϭ 0,5 —
Pressão no tanque: p0 ϭ 200 kPa (manométrica)
Incremento de volume: ⌬␣ ϭ 0,02 —
Calcule parâmetros de referência:
Parâmetros Calculados:
Área do jato: Aj ϭ 7,07E-06 m2
Volume do tanque: ᭙t ϭ 9,62E-05 m3
Massa inicial de ar: ᭙0 ϭ 4,81E-05 m3
Massa inicial de água: M0 ϭ 0,0481 kg
(Estes parâmetros são usados na planilha a seguir.)
Diminua, então, a fração de água no tanque de ⌬␣:
Resultados dos Cálculos:
Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração Velocidade
Fração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do
de Água Manométrica de Água Mw Vj (m/s) dm/dt ⌬t t (s) “Foguete”, a “foguete”, U
᭙w/᭙t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2
) (m/s)
0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 0
0,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668
O cálculo é feito como segue:
(1) Diminua ␣ de ⌬␣
(2) Calcule p de
p po
o
n
ϭ
∀
∀




p kPa kPa manométricaϭ ϩ Ϫ ϭ( , )
,
,
, , ( )
,
200 101 325
0 50
0 52
101 325 183 9
1 4






(3) Use Bernoulli para calcular a velocidade do jato
V
p N
m
m
kg
kg m
N s
m sj ϭ
⌬
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ
2
2 183 9 10
999
19 103
2
3
2
1
2
␳
, , / *






(4) Calcule a massa de água usando ␣
(5) Use a conservação da massa para calcular a vazão
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM58

˙ , , , /m V A
kg
m
m
s
m kg sj jϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭϪ
␳ 999 19 10 7 07 10 0 13493
6 2
(6) Use a vazão média durante o intervalo para aproximar ⌬t:
⌬ ϭ
⌬
ϭ
⌬
ϭ Ϫ ϫ ϭt
m
dm dt
m
m
kg
s
kg
s
/ ˙
( , , )
,
, *0 0481 0 0461
0 138
0 01449
(7) Use a quantidade de movimento para calcular a aceleração (note que M ϭ Mw ϩ Mt):
a
mV
M
kg
s
m
s kg
m srfx
j
ϭ ϭ ϫ ϫ
ϩ
ϭ
˙
, ,
, ,
, / *
0 135 19 2
1
0 0461 0 0100
46 2 2
(8) Finalmente, use a aceleração média para obter a velocidade
U U a t
m
s
m sϭ ϩ ⌬ ϭ ϩ ϫ ϭ0 2
0 48 1 0 01395 0 669, , , / *
Repita esses cálculos até que a água seja esgotada ou a pressão do ar caia a zero, como mostrado a seguir:
Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração Velocidade
Fração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do
de Água Manométrica de Água, Mw Vj (m/s) dm/dt ⌬t t (s) “Foguete”, a “Foguete”, U
᭙w/᭙t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2
) (m/s)
0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 0
0,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668
0,46 169 0,0442 18,4 0,130 0,0145 0,0284 45,2 1,34
0,44 156 0,0423 17,7 0,125 0,0151 0,0435 43,1 2,01
0,42 143 0,0404 16,9 0,120 0,0157 0,0592 41,2 2,67
0,40 132 0,0384 16,3 0,115 0,0164 0,0756 39,4 3,33
0,38 122 0,0365 15,6 0,110 0,0171 0,0927 37,8 3,99
0,36 112 0,0346 15,0 0,106 0,0178 0,110 36,2 4,65
0,34 103 0,0327 14,4 0,101 0,0186 0,129 34,8 5,31
0,32 94,6 0,0308 13,8 0,0972 0,0194 0,148 33,5 5,97
0,30 86,8 0,0288 13,2 0,0931 0,0202 0,169 32,2 6,63
0,28 79,5 0,0269 12,6 0,0891 0,0211 0,190 31,0 7,30
0,26 72,7 0,0250 12,1 0,0852 0,0221 0,212 29,9 7,97
0,24 66,3 0,0231 11,5 0,0814 0,0231 0,235 28,9 8,65
0,22 60,4 0,0211 11,0 0,0776 0,0242 0,259 27,9 9,34
0,20 54,7 0,0192 10,5 0,0739 0,0254 0,284 26,9 10,0
0,18 49,4 0,0173 9,95 0,0702 0,0267 0,311 26,0 10,7
0,16 44,4 0,0154 9,43 0,0666 0,0281 0,339 25,2 11,5
0,14 39,7 0,0135 8,92 0,0630 0,0297 0,369 24,3 12,2
0,12 35,2 0,0115 8,40 0,0593 0,0314 0,400 23,5 12,9
0,10 31,0 0,00961 7,88 0,0556 0,0334 0,434 22,7 13,7
0,08 27,0 0,00769 7,35 0,0519 0,0357 0,469 22,0 14,5
0,06 23,2 0,00577 6,81 0,0481 0,0384 0,508 21,2 15,3
0,04 19,6 0,00384 6,26 0,0442 0,0416 0,550 20,4 16,2
0,02 16,1 0,00192 5,68 0,0401 0,0456 0,595 19,5 17,1
0,00 12,9 0,0000 5,07 0,0358 0,0506 0,646 18,6 18,1
*Note o efeito do erro de arredondamento.
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM59

Nesta simulação, a água é esgotada quando t Ϸ 0,65 s; Vmáx ϭ 18,1 m/s.
Mudanças na fração inicial de ar produzem o seguinte:
Para essa combinação de parâmetros, uma velocidade máxima de cerca de 20,8 m/s é atingida com uma fração inicial de ar
de 0,66, aproximadamente.
Problema 4.159
Dados: Jato vertical incidindo sobre um disco. O disco pode mover-se livremente na vertical.
Determine: (a) Equação diferencial para h(t), se o disco for solto de uma altura H Ͼ h0, sendo h0 a altura de
equilíbrio.
(b) Esboce h(t) e explique.
Solução: Aplique a equação de Bernoulli ao jato e, em seguida, a componente y da equação da quantidade de movimento ao
VC com aceleração linear.
ϭ
ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ
ϭ
ϩ Ϫ ϭ ϩ и
0
2 2
0 6 0 7
0 0
2
0
1 1
2
1
p V
gz
p V
gz
F a d
t
v d v V dAB rfy
VC
xyz
VC
xyz
SC
xyzy
␳ ␳
␳ ␳ ␳
( ) ( )Ϸ
FSy
∀
∂
∂
∀∫ ∫ ∫
r r
Velocidademáxima,Vmáx(m/s)
Fração inicial de ar, ␣(––)
(manométrica)
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM60

Considerações: (Os itens de 1 a 4 aplicam-se apenas ao jato.)
(3) Atrito desprezível.
(5) p1 ϭ p0 ϭ patm.
(6) Nenhuma força de pressão sobre VC, logo FSy
ϭ 0.
(7) Massa de líquido desprezível no VC e v Ϸ 0 no VC.
(9) Velocidades medidas em relação ao VC.
Da quantidade de movimento
Ϸ Ϸ
Ϸ
0 7 0 7
0
1 1 1 2
1
2
1 1 2
2
2
2
2 1
2
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ˙
, ,
Ϫ ϩ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϩ
ϭ Ϫ
ϭ ϭ
Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ
␻ ␻M m g a M m v V U A v m
v V U v
Com a
d h
dt
U
dh
dt
então
Mg M
d h
dt
V
dh
dt
A
rfy
rfy
␳
␳
{ } { }




Mas, de Bernoulli,
V V
gz por to V V gh pois z h t1
2
0
2
1 1 0
2
1
2 2
2ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ, tan , , ( )
Também da continuidade, V1A1 ϭ V0A0, logo, A1 ϭ A0V0/V1. Substituindo,
d h
dt
V gh
dh
dt
A V
M V gh
g
Eq Diferencial p h t
Para a altura de equilíbrio h h
dh
dt
e
d h
dt
Então
V gh A V Mg
E assim V gh
Mg
V
o
o o
o
o
o o o o
o o
o
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 0
2 0
2
ϭ Ϫ Ϫ
Ϫ
Ϫ
ϭ ϭ ϭ
Ϫ Ϫ ϭ
Ϫ ϭ
␳
␳
␳




← 
. / ( )
, , . ,
,
AAo






2
Esta equação pode ser resolvida para obter
h
V
g
Mg
V A
V
g
Mg
mV
o
o
o o
o
o
ϭ Ϫ ϭ Ϫ
2
2
2
2
2
2
1
2
1
␳



























˙
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM61

Quando o disco é liberado, H Ͼ h0 e dh/dt ϭ 0. Visto que a equação para d2
h/dt2
é não-linear, oscilações ocorrerão. O
comportamento esperado é esboçado a seguir:
Notas: (1) Oscilações esperadas.
(2) ⌬h3 Ͻ ⌬h2 Ͻ ⌬h1, devido à equação não-linear.
Problema *4.163
Enunciado: Uma demonstração em classe da quantidade de movimento linear é planejada, usando-se um sistema de propulsão
a jato d’água para um carrinho trafegando sobre uma pista reta horizontal. O comprimento da pista é de 5 m e a massa do
carrinho é de 155 g. O objetivo do projeto é obter o melhor desempenho para o carrinho, usando 1L de água contida em um
tanque cilíndrico aberto feito de folha plástica com massa específica de 0,0819 g/cm3
. Para estabilidade, a altura máxima do
tanque de água não pode exceder 0,5 m. O diâmetro do orifício bem arredondado do jato d’água não pode exceder 10% do
diâmetro do tanque. Determine as melhores dimensões para o tanque e para o jato d’água, modelando o desempenho do
sistema. Plote aceleração, velocidade e distância como funções do tempo. Determine as dimensões ótimas para o tanque de
água e para o orifício do jato no tanque. Discuta as limitações de sua análise. Discuta como as suposições afetam o desempenho
previsto para o carrinho. Seria o desempenho real do carrinho melhor ou pior do que o previsto? Por quê? Que fatores
influenciam a(s) diferença(s)?
Discussão: A solução é uma extensão do Problema *4.162. A análise para o nível do tanque, aceleração e velocidade é
idêntica; retorne à solução do Problema *4.162 para as equações que descrevem cada uma dessas variáveis como funções do
tempo.
Um novo aspecto deste problema é o cálculo da distância percorrida. A Eq. 7 do Problema *4.162 poderia ser integrada
analiticamente para fornecer uma equação para a distância percorrida como uma função do tempo. Contudo, a integral seria
confusa e não levaria a um bom entendimento da dependência dos parâmetros chaves. Conseqüentemente, uma análise
numérica foi escolhida neste problema. Os resultados são apresentados em gráficos e planilhas a seguir.
Nós decidimos escolher velocidade como a saída a ser maximizada.
Um segundo novo aspecto deste problema é a restrição geométrica: o comprimento máximo da pista é de 5 m. Intuitivamente,
o diâmetro do jato seria escolhido como a maior fração possível do diâmetro do tanque para o desempenho ótimo. Usando a
planilha para variar ␤ ϭ d/D confirmamos esta escolha. Então, usamos a razão máxima permitida, ␤ ϭ 0,1, para todos os
cálculos.
A altura do tanque deve ser um fator de desempenho. A intuição sugere que aumentar a altura do tanque melhora o
desempenho. A planilha mostra uma dependência muito fraca com a altura. O desempenho é melhor para alturas pequenas
do tanque, correspondendo ao mínimo de massa no tanque.
Quando a altura do tanque diminui, o diâmetro aumenta porque o volume do tanque é mantido constante. Como a razão de
diâmetros é constante, o diâmetro do jato aumenta com a diminuição da altura do tanque. Este efeito praticamente anula o
efeito da altura do tanque.
As principais limitações na análise são as suposições de resistência desprezível ao movimento e de inclinação zero para a
superfície livre da água no tanque. O desempenho real do carrinho seria, provavelmente, menor do que o previsto por causa
da resistência ao movimento.
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM62

A distância é modelada como
x x U t a ti i x iϩ ϭ ϩ ⌬ ϩ ⌬1 1
2
1
2
,
A incerteza deste modelo para a posição é consistente com a incerteza do modelo do sistema de propulsão a jato d´água.
Análise do carrinho impulsionado por jato d´água criado por gravidade:
Dados de Entrada:
g ϭ 9,81 m/s2
Aceleração da gravidade
H ϭ 500 mm Altura do tanque
Mc ϭ 0,155 kg Massa do carrinho
᭙ ϭ 1,00 L Volume do tanque
␤ ϭ 0,100 (—) Razão do diâmetro do jato para o diâmetro do tanque
␳ ϭ 999 kg/m3
Massa específica da água
␳ЈЈ ϭ 0,819 kg/m2
Massa específica do material do tanque (por área)
Parâmetros Calculados:
a ϭ 0,471 (—) (a2
ϭ) Razão da massa do tanque para a massa inicial de água
b ϭ 0,0313 sϪ1
Parâmetro geométrico da solução
d ϭ 5,05 mm Diâmetro do jato d’água
D ϭ 50,5 mm Diâmetro do tanque
Mc ϭ 1,00 kg Massa inicial de água no tanque
Mp ϭ 0,0666 kg Massa de plástico do tanque
Mt ϭ 0,222 kg Massa de plástico do tanque mais carrinho
Resultados dos Cálculos:
Tempo, Nível Aceleração Velocidade Posição
t y/H ax U X
(s) (—) (m/s2
) (m/s) (m)
0 1 0,161 0 0
0,5 0,903 0,160 0,080 0,0201
1,0 0,810 0,159 0,160 0,080
1,5 0,723 0,158 0,239 0,180
2,0 0,640 0,157 0,317 0,319
2,5 0,583 0,158 0,395 0,497
3,0 0,490 0,154 0,473 0,714
3,5 0,423 0,153 0,550 0,97
4,0 0,360 0,152 0,626 1,26
4,5 0,303 0,151 0,702 1,60
5,0 0,250 0,150 0,777 1,97
5,5 0,203 0,148 0,852 2,37
6,0 0,160 0,147 0,925 2,82
6,5 0,123 0,145 1,00 3,30
7,0 0,0900 0,144 1,07 3,82
7,5 0.0625 0,142 1,14 4,37
8,0 0,0400 0,141 1,21 4,96
8,03 0,0388 0,141 1,22 5,00
9,0 0,0100 0,137 1,35
9,5 0,0025 0,135 1,42
10,0 0,0000 0,133 1,49
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM63

Problema *4.167
Dados: Borrifador de irrigação montado sobre um carrinho.
V ϭ 40 m/s ␪ ϭ 30°
D ϭ 50 mm Escoamento de água
h ϭ 3 m M ϭ 350 kg
Nível de Água, Aceleração,Velocidade e Distância versus Tempo
Nível,Aceleração,VelocidadeeDistância
Tempo, t (s)
Tempo, t (s)
Distância
Nível de água
Velocidade
Aceleração
Distância,X(m)
Distância versus Tempo
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM64

Determine: (a) Magnitude do momento que tende a derrubar o carrinho.
(b) Valor de V de movimento iminente; natureza do movimento iminente.
(c) Efeito da inclinação do jato sobre os resultados.
Plote: Velocidade do jato como uma função de ␪ para o caso de movimento iminente.
Solução: Aplique a equação de momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo mostrado.
A origem de coordenadas está no chão junto à roda esquerda do carrinho. Com este sistema de coordenadas, momentos no
sentido anti-horário são positivos (em torno do eixo z).
Equação básica:
ϭ ϭ
ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и
0 1 0 2( ) ( )
( )
r r r r r r r r r r r
r F r g d T
t
r V dV r V V dAs
VC
s
SC
VC
␳ ␳ ␳∀
∂
∂∫ ∫∫∫
Considerações: (1)
r
Ts ϭ 0.
(3) Escoamento uniforme na saída do bocal.
(4) Despreze
r r
r Vϫ do escoamento de entrada.
(5) Centro de massa localizado em x ϭ w/2.
(6) O comprimento do bocal é pequeno; as coordenadas da saída do bocal são (x2, y2) ϭ (W/2, h).
Então,
ϭ
ϫ ϩ ϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϫ Ϫ
ϭ ϩ ϭ ϩ
Ϫ ϭ ␪ Ϫ
Ϫ ϭ
0 4
2
2 2
2
1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 2
4
4
( )
ˆ ˆ (cos ˆ)
ˆ ˆ ˙ ˆ cos ˙ ˆ
˙
r r r r r r r r
r F r Mg r V V A r V V A
r
W
ı hj V V i sen j
e
WN k
W
Mg k
W
V sen m k h V m k
WN
W
Mg mV
W
S ␳ ␳
␪ ␪
␪
{ } { }
22
sen h␪ ␪Ϫ cos



(1)
CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM65

Reescrevendo a Eq. 1 na forma ΑM3 ϭ 0 {para equilíbrio estático}
WN
W
Mg m V h
W
sen4
2 2
0Ϫ ϩ Ϫ ϭ˙ cos␪ ␪


 (2)
O último termo na Eq. 2 é o momento (devido ao jato) que tende a derrubar o carrinho.
Avaliando,
˙
˙ ( , ) / , /
m A V
D
V
m
kg
m
m m s kg s
ϭ ␳ ϭ ␳
␲
ϭ ϫ
␲
ϫ ϭ
2 2
2
2
3
2 2
4
999
4
0 05 40 78 5
Portanto, com V2 ϭ 40 m/s,
Momento do jato
kg
s
m
s
N s
kg m
m
m
sen
Momento kN m Momentojato jato
ϭ ϫ ϫ
и
и
Ϫ
ϭ и
78 5 40 3 30
1 5
2
30
6 98
2
, cos
,
,
° °



← 
Para o caso de tombamento iminente (em torno do ponto 3), N4 → 0 e, da Eq. 2,
Ϫ ϩ Ϫ ϭ
ϭ
ϭ
Ϫ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ
ϫ
ϫ
ϪϪ
W
Mg m V h
W
sen o
Para resolver para V escreva m A V
V
WMg
A h
W
sen
V
m
kg
m
s
m
kg m sen m
V
2 2
2
2
1 5
2
350 9 81
999
1
1 96 10
1
3 30 0 75 30
2 2 2
2
2
2
2
2
2
3
3 2
2
˙ cos
, ˙
cos
,
,
, ( cos , )
␪ ␪
␳
␳ ␪ ␪








°
22 2 2
2592 24 3 2ϭ ϭm s V m s V/ , /∴ ← 
(3)
Assim, a velocidade máxima permitida sem tombamento é menor do que o valor sugerido.
O movimento iminente será de inclinação desde que F3 Ͻ µN3.
Da equação de quantidade de movimento segundo x
f mV3 2ϭ ˙ cos ␪
Da equação de quantidade de movimento segundo y
N Mg mV sen3 2ϭ ϩ ˙ ␪
CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM66

Para inclinação, µ Ͼ 0,377
Da Eq. 2, deduzimos que, quando ␪ aumenta, a tendência para tombar diminui.
Para tombamento iminente, da Eq. 3,
V
W Mg
A h
W
sen
ϭ
Ϫ2
2
2
1 2
␳ ␪ ␪cos
/
















Problema *4.172
Dados: Regador de jardim girando no plano horizontal. Despreze o atrito. Q ϭ 68 L/min.
Determine: A velocidade angular em regime permanente para ␪ ϭ 30°.
Plote: Velocidade angular em regime permanente para 0 Յ ␪ Յ 90°.
Solução: Escolha VC rotativo. Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, Eq. 4.53.
Velocidadedojato,Vjato(m/s)
Velocidade do jato para tombamento iminente
Ângulo, ␪ (graus)
(Gira)
CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM67

Equação básica:
ϭ ϭ ϭ
ϫ ϩ ϫ ϩ
ϭ ϭ
Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ
ϭ
ϭ ϫ ϩ ϫ и
0 1 0 2 0 3
0 5 0 6
2
0 6
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
r r r
r r r r r r r
r r r r r r
r F r g d T
r V r r d
t
r V d r V V dA
S
VC
eixo
xyz
VC
xyz
VC
xyz
SC
xyz
∫
∫
∫ ∫
∀
[ ] ∀
∂
∂
∀
␳
␳
␳ ␳
r
FS ϭ 0. (2)Torques de campo anulam-se. (3)
r
Teixo ϭ 0. (4)Arrasto aerodinâmico desprezível. (5) Nenhuma
componente ˆk da aceleração centrípeta. (6) Escoamento permanente. (7) L Ӷ R.
Analise um braço do regador. Da geometria,
r r
r ri r Riϭ ϭˆ , ˆno VC no jato. Então,
Ϫ ϫ ␻ ϫ ϭ ϫ Ϫ ϭϪ
ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ Ϫ ϭϪ␻
Ϫ␻ ϭϪ ϭ
␻ ϭ ϭ
r r r
r V d Ri Vsen j
Q QRV
sen k
ri k Vi Vr k VR A k
E inando k VR A
QRV
sen por to com VA Q
V
R
sen V
Q
xyz
VC
VC
2
3 3
2 2
3
3
3
2
2
[ ] ∀∫
∫
␳ ␪ ␳ ␳ ␪
␳
␳ ␳ ␪
␪
ˆ ( ˆ) ˆ
ˆ ( ˆ ˆ) ˆ; ˆ
lim ˆ, , tan , / ,
;
AA
Q
d
m
m s
m s
m
s m
sen sen rad s
ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ
␻ ϭ ϫ ϫ ϭ ␪ ␻
Ϫ
4
3
4
3
68 10
1
0 00635 60
11 9
11 9
1
0 152
78 3
2
3
3
2 2
␲ ␲
␪
min ( , )
min
, /
,
,
, / ← 
Traçando os gráficos:
(graus)
Para
Gráfico
CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM68

Problema *4.174
Dados: Tubo rotativo simples com água. Q ϭ 13,8 L/min.
Determine: O torque que deve ser aplicado para manter rotação em regime permanente usando:
(a) Volume de controle rotativo.
(b) Volume de controle fixo.
Solução: Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, ␻ ϭ ϭ33
1
3
3 49
rev
rad s
min
, /





(a) VC rotativo: use velocidades relativas, Eq. 4.53.
Equação básica:
ϭ ϭ
ϫ ϩ ϫ ϩ
ϭ ϭ
Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ
ϭ ϭ
ϭ ϫ ϩ ϫ ␳ и
0 1 0 2
0 3 0 4
2
0 5 0 6
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
r r r r
r r r r r r r r
r r r r r r
r F r g d T
r V r r d
t
r V d r V V d
S
VC
eixo
xyz
VC
xyz
VC
xyz
SC
xyz
␳
␳
␳
∀
[ ] ∀
∂
∂
∀
∫
∫
∫ ∫ AA
r
FS ϭ 0. (2) Torques de campo anulam-se. (3) Nenhuma componente ˆk da aceleração centrípeta. (4)
r˙ .␻ ϭ 0 (5) Escoamento permanente. (6)
r r
r Vϫ ϭ 0.
Então,
T k r V d rı k Vı Adr VAR k Q R k
T
rad
s
kg
m
m
m
s
N s
kg m
N m
T
eixo
o
R
VC
eixo
ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ) ˆ ˆ
, ,
min
( , )
min
,
ϭ ϫ ␻ ϫ ϭ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ ϭ ␻
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ
и
и
ϭ иϪ
r r r
2 2
3 49 999 13 8 10 0 3
60
0 0722
2 2
3
3
3
2 2
2
␳ ␳ ␳ ␳∀
← 
∫∫
(b) VC fixo: use velocidades absolutas, Eq. 4.47.
CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM69

Equação básica:
ϭ ϭ
0 1 0 2( ) ( )
r r r r r r r r r r
r F r g d T
t
r V d r V V dAS eixo
VC
xyz
SCVC
␳ ␳ ␳∀
∂
∂
∀∫ ∫∫
Em relação às coordenadas fixas XY,
r
r
r r
r r ı sen j
V V ı sen j r sen ı j
r V
i j k
r rsen o
V r sen Vsen r o
k rVsen r
rvsen r sen
r k
Dessa forma
ϭ ϩ
ϭ ϩ ϩ ␻ Ϫ ϩ
ϫ ϭ
Ϫ ␻ ϩ ␻
ϭ ϩ ␻
Ϫ ϩ ␻
ϭ␻
(cos ˆ ˆ)
(cos ˆ ˆ) ( ˆ cos ˆ)
ˆ ˆ ˆ
cos
cos cos
ˆ ( cos cos
cos )
ˆ
␪ ␪
␪ ␪ ␪ ␪
␪ ␪
␪ ␪ ␪ ␪
␪ ␪ ␪
␪ ␪ ␪
2 2 2
2 2 2
2
,, / ˆ ˆ
ˆ ˆ ( ( )); ,
∂ ∂ { }
← 
∫t e r V V dA R k Q Q R k e
T k Q R k como no caso a T N m T
SC
xyz
eixo
ϭ ϫ и ϭ ␻ ϩ ϭ ␻
ϭ ␻ ϭ и
0
0 0722
2 2
2
r r r r
␳ ␳ ␳
␳
{Note que, quando aplicadas corretamente, as duas escolhas de VC produzem o mesmo resultado.}
Problema *4.175
Dados: Pequeno regador rotativo de jardim conforme mostrado. O torque de atrito no pivô é zero. I ϭ 0,1 kgиm2
. A vazão é
Q ϭ 4,0 L/min.
Determine: Aceleração angular inicial, a partir do repouso.
Solução: Aplique o momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo confinando os braços do regador.
Equação básica:
Ӎ 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )ϭ ϭ
r r r r r r r r r r r
r F r g d T
t
r V d r V V dAS
VC
eixo
VC SC
␳ ␳ ␳∀
∂
∂
∀∫ ∫ ∫
suprimento
(manométrica)
CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM70

Considerações: (1) Despreze torque devido a forças de superfície.
(2) Torques de forças de campo cancelam-se por simetria.
(4) Escoamento uniforme em cada jato.
Então,
Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϫ
ϫ ϭ
ϭ ␻ Ϫ ϩ␪
T k r V Q r V Q
r V r Ri
V R V i V sen i
eixo entrada jato
entrada r
rel re z
ˆ ( ) ( )
( ) ˆ
( cos )ˆ ˆ
r r r r
r r r
r
␳ ␳
␣ ␣
{ } 





2
1
2
0
1
Ӎ
O jato sai do regador a
r
V abs V i sen irel z( ) cos ( ˆ ) (ˆ )ϭ Ϫ ϩ␣ ␣␪[ ]
Portanto,
r r
r V Ri V i sen i RV i sen ir rel z rel zϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫˆ cos ( ˆ ) (ˆ ) cos ( ˆ ) ( ˆ )␣ ␣ ␣ ␣␪ ␪[ ] [ ]
Somando os momentos sobre o rotor, Α
r r
M Iϭ ␻ . Dessa forma,
˙
cos
min
, ,
min
,
,
˙ , / ˙
␻ ϭ ϭ
Ϫ
ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ и ϫ
и
и и
␻ ϭ ␻
ΑT
I
QRV T
I
kg
m
L
m
m
s
m
L s
N m
kg m
N s kg m
rad s
rel eixo␳ ␣
999 4 0 2 17 0 866
1000 60
0 18
1
0 1
0 161
3
3
2 2
2






← 
{Não é necessário usar um VC rotativo porque, para o instante considerado,
r
␻ ϭ 0 e I é conhecido.}
Problema *4.178
Dados: Conjunto de bocal girando em regime permanente, conforme mostrado no esquema
Coordenadas
xyz giram
com VC
VC rotativo
Coordenadas XYZ
são fixas
CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM71

Solucionário Capitulo4 FOX

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (7)

Semelhante a Solucionário Capitulo4 FOX

Semelhante a Solucionário Capitulo4 FOX (20)

Solucionário Capitulo4 FOX