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Solucionário Capitulo4 FOX

1) O documento apresenta a resolução de dois problemas envolvendo cálculos de campos de velocidade e fluxo. O primeiro problema calcula a velocidade em diferentes regiões de um campo de escoamento dado. O segundo problema calcula a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através de uma superfície inclinada para um campo de velocidade dado.

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CAPÍTULO 4 Problema 4.4 Dados: Uma pequena bola de aço, de raio r, colocada em cima de uma esfera muito maior, de raio R, começa a rolar sob a influência da gravidade. Desprezar as resistências do ar e de rolamento. Determine: O ponto em que a bola perde o contato com a esfera. Solução: Some forças na direção n. ΑF F mg ma a V R r O contato é perdido quando F o ou mg m V R r ou V R r g n n n n n ϭ Ϫ ϭ ϭϪ ϩ Ϫ ϭϪ ϩ ϭ ϩ cos ( ) , cos ( ) ( ) cos ␪ ␪ ␪ 2 2 2 → (1) A energia deve conservar-se, se não existe resistência. Portanto, E mgz m V mg R r m V E mg R roϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϭ ϩ 2 2 2 2 ( )cos ( )␪ Dessa forma, das considerações de energia V g R r Combinando as Eqs e V g R r R r g ou cas Assim e graus 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 48 2 ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭϪ ( ) ( cos ) . , ( ) ( cos ) ( ) cos ( ) cos cos , cos cos , ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪    ←  (2) Problema 4.8 Dados: Uma lata de alumínio de bebida, ml ϭ 20 g, D ϭ 65 mm, H ϭ 120 mm. O nível de conteúdo máximo é hmáx, quando Vb ϭ 354 mL de líquido. SG da bebida é 1,05. Posição inicial CAP004/1 11/8/02, 9:40 AM1
Determine: (a) O centro de massa yc como função do nível h. (b) O nível para a menor tendência de tombamento da lata. (c) O coeficiente mínimo de atrito estático, µs, para o qual a lata cheia tombaria sem deslizamento. (d) O gráfico de µs)mínimo para inclinar (não deslizar) a lata como função do nível de líquido na lata. Solução: M SG g cm mL cm mL g máx h A D mL cm cm mL mm cm mm Em qualquer nível m h h M m g h mm mm g h mm b b máx b b b máx b b ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϭ ␳ ␲ ␲ ∀ ∀ ∀ 1 05 1 0 354 372 4 4 354 1 6 5 10 107 107 372 3 47 3 3 2 2 2 3 , , ( ) ( , ) , ; ( ) ( ) , ( ) Das considerações de quantidade de movimento, y M h m H m h h h M m m h y h h h em mm y c b c b c c ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ 2 2 1 2 3 47 120 20 1 2 3 47 2400 3 47 20 3 47 2400 6 94 40 2 2 ( , ) ( ) ( , ) , , , ( ) [ ] ←  l A tendência para tombar será menor quando yc for mínimo. Portanto, dy dh h h h h h h h c ϭ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϭ 2 3 47 6 94 40 1 6 95 3 47 2400 6 94 40 24 1 278 16 700 6 94 40 0 2 2 2 2 ( , ) , ( )( , ) , ( , ) , . ( , ) Usando a fórmula quadrática, h para y mín mm h y mínc c ( ) ( ) ( , ) , ( , ) , ( )ϭ Ϫ Ϯ ϩ ϭ 278 278 4 24 1 16 700 2 24 1 21 2 2 ←  Traçando o gráfico Trace um diagrama de corpo livre da lata para tombamento iminente AlturadoCG,yc(mm) Nível de líquido, h (mm) CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM2
Para o centro de rotação Coeficientedeatritomínimoparatombar,␮s(––) Nível de líquido, h (mm) Α Α F F ma F F mg ma F mg Como F F então F ma x f x y n y n f s n s n x ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ Յ ␮ Ն 0 µ , , Somando os momentos sobre o ponto D: ΑM y ma D F ou y ma D F Mas ma F o y F D F Assim para inclinar D y b c x n c x n x s n c s n n s c s ϩ ϭ Ϫ ϭ ϭ Յ Ն Ն 2 0 2 2 2 µ µ µ µ ←  , log , , , Traçando o gráfico CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM3
Para a lata cheia com yc ϭ 53,8 mm, µ µ ← s mm mm sՆ ϫ ϫ ϭ 1 2 65 1 53 8 0 604 , , Este valor é muito maior do que aquele que a lata poderia desenvolver. Portanto, a lata não irá inclinar ou tombar; ela irá deslizar. A aceleração correspondente é a g m sx sϭ ϭµ 0 593 2 , / Problema 4.9 Dados: O campo de velocidades na região mostrada é r r r V az J b k onde a s e b m s Para a profundidade w ao longo do eixo x dA w dz j e dA wdy k ϭ ϩ ϭ ϭ ϭϪ ϭϪ Ϫ ˆ ˆ / . , ˆ ˆ 10 51 1 2 Determine: (a) Uma expressão para r r V dAи 1 (b) O valor de r r V dAи 1 1A ∫ (c) Uma expressão para r r V dAи 2 (d) Uma expressão para r r r V V dAи 2( ) (e) O valor de r r r V A2 2∫ ( )V dAи CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM4
Solução: ( ) ( ˆ ˆ) ( ˆ) ( ) a V dA az j b k wdzj awz dz V dA b V dA awz dz aw z aw z V dA z A z A r r r r r r r r и ϭ ϩ и Ϫ ϭϪ и и ϭ Ϫ ϭϪ ϭϪ и 1 1 01 2 0 1 2 1 1 1 1 12 2 ←    ∫ ←  ∫∫  ←  ←  ( ) ( ˆ ˆ) ( ˆ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ)( ) ˆ ˆ ( ) c V dA azj bk wdyk bwdy V dA d V V dA azj bk bwdy abwzdy j b wdy k V V dA r r r r r r r r r r и ϭ ϩ и Ϫ ϭϪ и и ϭ ϩ Ϫ ϭϪ Ϫ и 2 2 2 1 2  ← ∫∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ, . , ( ) , ˆ ( ) s ˆ ˆ / ( ) e V V dA abwz dz j b wdy k b wdy k pois z ao longo de A Dessa forma V V dA b wy k m w m k w k m s e y A y A x r r r r r r и ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ ϭ и ϭϪ ϭϪ ϫ ϭϪ 2 02 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 5 1 25  Problema 4.13 Dado: Um campo de escoamento dado por r V ayi bjϭ ϩˆ ˆ onde a ϭ 2 sϪ1 , b ϭ 1 ft/s e as dimensões são em pés. Determine: (a) Vazão volumétrica. (b) Fluxo de quantidade de movimento através da superfície inclinada. Solução: A vazão volumétrica é Q V dAϭ и r r ∫ Para a superfície inclinada dA dA ı dA j c dyı c dxj onde c ft Q ayı bj cdyı cdxj acy dy bcdx Q ac y bcx ft ft ft ft Q ft s Vazão volumétrica x y A y o x r ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ и ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ ϭ ϭ ϭ Ϫ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) / 2 25 2 1 2 2 3 8 1 0 3 2 2 0 1 0 3 1 2 3 ∫ ∫ ∫ ] ] ←  CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM5
O fluxo de quantidade de movimento é dado por f m V V dA. . ( )ϭ и␳ r r ∫ Então, f m ayı bj acy dy bc dx f m ı a cy dy abcy dx j abcy dy b cdx Ao longo da erfície inclinada y x f m ı a c y abc x A . . ( ˆ ˆ) ( ) . . ˆ ˆ sup . . ˆ ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϩ ϭϪ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϩ ∫ ∫ ∫ ∫∫                 ] ␳ ␳ ␳ ␳ 0 1 2 2 0 3 2 0 3 0 1 2 3 3 0 1 3 1 3 11 2 2 3 2 2 2 1 2 3 0 3 2 2 0 1 2 0 3 1 2 3 2 0 3 1 2 2 2           ] ]{ }                      ∫ dx j abc y b cx ı s ft ft abc x b x j s ft s ft ft ft s ft ft ϩ ϩ ϭ ϫ ϫ ϩ Ϫ ϩ ϩ␳ ϫ ϫ ϩ ϫ ϫϪ Ϫ ␳ ␳ ˆ ˆ ( ) ˆ                   { } ←  ϭ ϩ ϫ ϫ ϫ ϩ ϩ ϭ ϩ Ϫ ␳ ␳ ␳ ˆ , ˆ . . , ˆ ˆ ı ft s s ft s ft ft j ft s ft s f m ı j ft s Fluxo da quantidade de movimento 8 3 2 2 2 5 2 6 7 67 8 4 2 1 2 4 2 4 2 4 2  Notas: As unidades de massa específica são slug/ft3 . O fluxo de quantidade de movimento tem unidades slug. ft/s2 (ou lbf). Problema 4.19 Dados: Escoamento permanente e incompressível através do dispositivo mostrado. A m A m A m V ı m s V j m s 1 2 2 2 3 2 1 2 0 05 0 01 0 06 4 8 ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ , , , , , ˆ / , ˆ / r r Determine: A velocidade r V3. Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ␳ ϩ ␳ и 0 1 0 ( ) ∂ ∂ ∀∫ ∫t VC SC d V dA r r CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM6
Considerações: (1) Regime permanente. (2) Escoamento incompressível, ␳ ϭ constante. (3) Escoamento uniforme em cada seção. Então, SC V dA V A V A V A∫ r r r r r r r r и ϭ и ϩ и ϩ и ϭ1 1 2 2 3 3 0 ou r r r r r r r r V A V A V A ı m s ı m j m s j m V A m s 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 0 05 8 0 01 0 28 и ϭϪ и Ϫ и ϭϪ и Ϫ Ϫ Ϫ ϫ и ϭ ˆ , ( ˆ) ( ˆ) , ˆ , / Como r r V A3 3 0и Ͼ , o escoamento na seção ቤ é para fora do volume de controle. Portanto, r r V A V A V A m s m m s m s 3 3 3 3 3 3 3 2 3 1 0 28 1 0 06 0 28 4 67 и ϭ ϭ ϫ ϭ ϫ ϭ, , , , / Finalmente, a partir da geometria do desenho r r r V V sen ı V j m s sen ı m s j V ı j m s V 3 3 3 3 4 67 60 4 67 60 4 04 2 34 3 ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ϫ ␪ ␪ˆ cos ˆ , ˆ , cos ˆ , ˆ , ˆ / ° ° ←  Problema 4.20 Dados: Óleo escoa para baixo em um plano inclinado. u gsen hy y ϭ Ϫ ␳ ␪ µ       2 2 Determine: Uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura. CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM7
Solução: Na seção transversal sombreada, ˙ , arg ˙ ˙ ˙ / m udA dA wdy onde w l ura m g sen hy y wdy gsen hy y wdy m gsen w hy y gsen w h gsen wh Dessa forma m w gsen o h o h o h ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ∫ µ       µ       µ     µ µ ∫ ∫ ␳ ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 6 3 3 ␪␪ h m u 3 3µ ←  ˙ / Problema 4.23 Dados: Água escoa em um tubo conforme mostrado. R ϭ 3 in, umáx ϭ 10 ft/s. Determine: A velocidade uniforme na entrada, U. Solução: Aplique a equação da continuidade usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ и 0 1 0 ( ) ∂ ∂ ∀∫ ∫t ␳ ␳d V dA VC SC r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme na seção de entrada. Então, 0 2 0 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 ϭ и ϩ и ϭ ϭ ϭϪ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ r r r r r r V A V dA V uı dA rdr ı U R u r R rdr ou U R u r R rdr u r R máx o R máx o R máx ባ∫ ∫ ∫ ∫                   ; ˆ, ˆ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ rr R d r R U r R r R ft s U                       ← ϭ Ϫ ϭ20 1 2 1 4 5 00 2 4 0 1 , / {A velocidade do escoamento uniforme na entrada é a metade da velocidade máxima na seção de saída.} CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM8
Problema 4.24 Dados: Curva redutora bidimensional conforme mostrada. Determine: A magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção ቤ. Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ и 0 1 0 ( ) ∂ ∂ ∀∫ ∫t VC SC d V dA␳ ␳ r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme nas seções ባ e ቤ. Então, 0 2 1 1 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 ϭ и ϭ и ϩ и ϩ и и ϭ Ϫ и Ϫ и ϭϩ Ϫ и ϭ Ϫ r r r r r r r r r r r r r r r r V dA V dA V A V A ou V A V dA V A V y h wdy V wh V A V w y h V wh ASC A máx o h máx o h ∫∫ ∫ ∫       , , 22 1 1 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 10 2 15 1 5 0 5 ϭ Ϫ и ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ϫ и Ͻ и ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ V wh V wh o V A w ft s ft ft s ft ft s Como V A o escoamento em é do VC Sentido Dessa forma V A w V A w V wh w V h máx, log / , , r r r r r r ቤ para dentro ←  ftft s V h ft s ft ft s ft s do VC V 2 3 3 2 2 1 5 1 1 5 5 3 33 3 / , , / ( )ϭ ϫ ϭ ϫ ϭ para dentro ←  CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM9
Problema 4.27 Dados: Um acumulador hidráulico, projetado para reduzir as pulsações de pressão no sistema hidráulico de uma máquina operatriz, está operando sob as condições mostradas, em um dado instante. Determine: A taxa na qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico. Solução: Use o volume de controle mostrado. Equação básica: 0 ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫t d V dA VC SC ␳ ␳ r r Considerações: (1) Escoamento uniforme na seção ባ. (2) Massa específica constante. Então, 0 1 1 2 2 1 1 1 21 1 ϭ ϩ Ϫ ϩ ϭ ∂ ∂       ∫∫ ∫ t M V dA V dA Mas V dA Q vc AA A ( ) ␳ ␳ ␳ ␳ onde Q ϭ vazão volumétrica e ␳ ␳ϭ иSG H O2 Portanto, 0 4 0 88 2 0 88 1 94 5 75 7 48 60 4 35 4 1 25 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ ∂ ∂ ∂ ∂       t M Q V A ou M t Q V A SG Q V D onde SG Tabela A slug ft gal mim ft gal s ft s in ft vc vc H O ␳ ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ( ) , ( . ) , , , , min , ( , ) 22 2 2 144 4 14 10 1 33 in M t slug s ou lbm s M t A massa está inuindo no VC vc vc       ∂ ∂ ∂ ∂← ϭϪ ϫ ϪϪ , , / ( dim .) CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM10
Como M M t t t SG t t SG M t ft slugs slug s t ft s ou gal s t VC óleo óleo VC óleo óleo óleo óleo óleo H O óleo óleo óleo H O VC óleo óleo ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭϪ ϫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ∀ ∂ ∂ ∂ ∂ ∀ ∂∀ ∂ ∂∀ ∂ ∂∀ ∂ ∂ ∂ ∂∀ ∂ ∂∀ ∂←  ( ) , , ( , ) , , / 2 2 1 1 0 88 1 1 94 4 14 10 2 43 10 0 181 3 2 2 3  Problema 4.28 Dados: Um tanque retangular, com dimensões H ϭ 230 mm, W ϭ 150 mm e L ϭ 230 mm, fornece água para um tubo de saída com diâmetro D ϭ 6,35 mm. Quando o tanque está metade cheio, o escoamento no tubo tem um número de Reynolds Re ϭ 2000. Neste instante, não existe escoamento de água para dentro do tanque. Determine: A taxa de variação do nível de água no tanque nesse instante. Solução: Aplique a equação de conservação da massa para o VC que inclui o tanque e o tubo. Equação básica: o t d V dA VC SC ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Definição: R DV DV v e ϭ ϭ␳ µ Considerações: (1) Escoamento uniforme na saída do tubo. (2) Escoamento incompressível. (3) Despreze o ar entrando no volume de controle. Então, o t WLh D L V D o WL dh dt V D note que L cons te dh dt V D WL o o o ϭ ϩ ϩ ϩ ϭ ϩ ϭ ϭϪ ∂ ∂           ∴ ␳ ␲␳ ␳ ␲ ␲ ␲ 2 1 2 2 1 2 4 4 4 4 ( tan ) CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM11
Para determinar r V, use a definição do número de Reynolds V R D Para água a C m s Tabela A V m s m m s dh dt V D WL m s mm mm mm mm m dh dt mm s caindo dh o e o o ϭ ϭ ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭϪ ϭϪ ϫ ϫ ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ Ϫ ␷ ␷20 1 10 8 2000 1 10 1 6 35 10 0 315 4 0 315 4 6 35 150 230 10 0 289 6 2 6 2 3 2 2 2 3 ° , / ( . ) , , / , ( , ) , / ( ) ␲ ␲ dtdt←  Problema 4.38 Dados: Escoamento em regime permanente de água através de uma placa plana porosa. A sucção é constante. O perfil de velocidades na seção cd é: u U y y ϱ ϭ ␦ Ϫ ␦ 3 2 1 5         , Determine: A vazão mássica através da seção bc. Solução: Aplique a lei da conservação de massa usando o VC mostrado. Equação básica: o t d V dA VC SC ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) Regime permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) r V v j ao longo de adϭϪ 0 ˆ . Largura, CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM12
Então, o V dA V dA m V dA V dA ou o U w m U y y wdy wL Assim m U w U w abSC bc cd da bc o o bc o ϭ и ϭ и ϩ ϩ и ϩ и ϭϪ ␦ ϩ ϩ ␦ Ϫ ␦ ϩ ␷ ϭ ␦ Ϫ ␦ ϱ ϱ ␦ ϱ ϱ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r r r r r ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫               ˙ ˙ , ˙ , 3 2 3 1 5 1 yy y d y wL w U U y y L w U U o o o ␦ Ϫ ␦ ␦ Ϫ ϭ ␦ Ϫ ␦ ␦ Ϫ ␦ Ϫ ϭ ␦ Ϫ ␦ Ϫ Ϫ ϱ ϱ ϱ ϱ                                               2 3 2 2 2 5 3 2 2 2 5 1 5 2 2 5 0 1 , , , , ␳ ␳ ␳ υ υ υ LL w U L kg m m m s m m s m m kg s m o do VC m o bc bc           ←  ϭ ␦ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ͼ ϱ␳ ( , ) , , , , ˙ , / ( ˙ , log , ) ˙ 0 3 999 1 5 0 3 3 0 0015 0 0002 2 1 42 0 3 υ para fora Problema 4.40 Dados: Funil de líquido sendo drenado através de um pequeno orifício de diâmetro d ϭ 5 mm (área, A), conforme mostrado; y0 é a profundidade inicial. Determine: (a) Uma expressão para o tempo requerido para esvaziar o funil. (b) Expressões para o resultado em termos . do volume inicial, V0 e . da vazão volumétrica inicial Q AV A gyo o oϭ ϭ 2 . CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM13
Plote: Gráfico de t em função de y0 (0,1 Յ y0 Յ 1 m) com o ângulo ␪ como um parâmetro para 15° Յ ␪ Յ 45°. Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado. Equação básica: o t d V dA VC SC ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) Escoamento incompressível. (2) Escoamento uniforme em cada seção. (3) Despreze ␳ar comparada com ␳H O2 . Então, Ϸ Ϸo o o t d t d V A V Aar H O ar ar H O H O ( ) ( )3 3 2 2 21 1ϭ ϩ ϩ Ϫ ϩ ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ { } { }∀∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ Para o VC, d A dy r dy y dy y Dessa forma o t y A gy o y dy dt A g y s H O H O ∀ ∀ ∂ ∂       ϭ ϭ ϭ ␪ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ␲ ␲ ␲ ␪ ␳ ␲ ␪ ␳ ␲ ␪ 2 2 2 3 2 3 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 ( tan ) ; tan , tan tan / Separando variáveis, y dy g A dt3 2 2 2/ tan ϭ Ϫ ␪␲ Integrando de y0 em t ϭ 0 até y ϭ 0 em t y dy y g H t ou t y g A t y 3 2 0 0 5 2 2 2 0 5 2 2 5 2 2 5 2 0 / / / ( ) tan tan ϭ Ϫ ϭϪ ϭ ∫ ←  ␲ ␪ ␲ ␪ Mas y e Q AV gy então t y g A y y Q t o ∀ ∀ ←  0 2 3 0 0 0 2 0 5 2 0 1 2 0 1 2 0 0 3 2 2 5 2 3 3 6 5 ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ ␲ ␪ ␲ ␪ tan , tan / / / CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM14
Como A ϭ ␲d2 /4, podemos escrever t y g d y y d g ϭ ␲ ␪ ␲ ϭ 2 5 2 8 5 2 2 0 5 2 2 2 0 5 2 2 tan tan/ / ␪ t é traçado em função de y0 com ␪ como um parâmetro. Drenagem de um tanque cônico de líquido Dados de entrada: Diâmetro do orifício: d ϭ 3 mm. Resultados dos cálculos: Tempo de Drenagem t (s) Altura Inicial, Ângulo de Meio y0 (mm) Cone, ␪ (graus) 60 45 30 15 300 5935 1978 659 142 275 4775 1592 531 114 250 3763 1254 418 90,0 225 2891 964 321 69,2 200 2154 718 329 51,5 175 1543 514 171 36,9 150 1049 350 117 25,1 125 665 222 74 15,9 100 381 127 42 9,11 75 185 62 21 4,44 50 67 22 7 1,61 25 12 4 1 0,285 0 0 0 0 0 Tempo versus Profundidade Inicial Tempo,t(s) Profundidade inicial, y0 (mm) CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM15
Problema 4.41 Dados: Tanque contendo salmoura com corrente de entrada de água em regime permanente. A massa específica inicial é ␳ ␳i Ͼ H O2 . Determine: (a) A taxa de variação da massa específica do líquido no tanque. (b) O tempo requerido para atingir a massa específica, ␳f, onde ␳ ␳ ␳i fϾ Ͼ H O2 . Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado. Equação básica: 0 ϭ ϩ и 〈 ∂ ∂ ∀∫ ∫t d V d VC SC ␳ ␳ r r Considerações: (1) ᭙tanque ϭ constante. (2) Massa específica uniforme no tanque. (3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída. Então, V1A1 ϭ V2A2, posto que o volume do tanque é constante e 0 2 2 2 ϭ ϩ Ϫ ␳ ϭ ϩ Ϫ ϭ ␳ ϩ Ϫ ∂ ∂ ∫ ∀ ∂ ∂ ∀ ∀ t d VA VA t VA d dt VAvc H O H O H O␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳( ) ( ) E daí d dt VA d dtH O␳ ϭ Ϫ Ϫ ᭙ ( )␳ ␳ ␳ 2 ←  Separando variáveis, d VA dt H O ␳ Ϫ ϭϪ ␳ ␳ 2 ∀ Integrando de ␳i em t ϭ 0 até ␳f em t, d VA dt VA t H O H O f H O i H O t i f i f␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳␳ ␳ ␳ ␳ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ 2 2 2 2 0∫ ∫]       ∀ ∀ ln ( ) ln Finalmente, t VA t f H O i H O ϭϪ Ϫ Ϫ ∀       ←  ln ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 {Note que ␳ ␳f → H O2 assintoticamente quando t → ϱ.} entra constante sai CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM16
Problema 4.42 Dados: A vazão mássica instantânea de vazamento de ar, ˙,m de um pneu de bicicleta é proporcional à massa específica, ␳, e à pressão manométrica, pg,no pneu. O ar no pneu é aproximadamente isotérmico (porque o vazamento é pequeno). A pressão inicial do ar é p0 ϭ 0,60 MPa (manométrica) e a taxa inicial de perda de pressão é de 1 psi por dia. Determine: (a) A pressão no pneu após 30 dias. (b) Incerteza da regra corrente segundo a qual perde-se “1 libra por dia” no período total de 30 dias. Plote: A pressão no pneu como uma função do tempo para o período de 30 dias; compare os resultados obtidos com aqueles da regra corrente de “1 libra por dia”. Solução: Aplique a conservação de massa ao pneu conforme o VC. Equação básica: 0 ϭ ᭙ ϩ и ∂ ∂ ∫ ∫t d V dA VC SC ␳ ␳ r r Considerações: (1) Propriedades uniformes no pneu. (2) O ar no interior do VC comporta-se como gás ideal. (3) A temperatura, T, e o volume, ᭙, do ar no pneu são constantes. (4) ˙ ( ) .m p pϭ Ϫc atm ␳ Então, podemos escrever 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ϭ ϩ ϭ ϩ Ϫ ␳ ϭ ␳ ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭϪ Ϫ ∀ ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∂ ∀ ) ∀   ∀ ␳ ␳ ␳ t m t p p c Mas p RT e dt RT dp dt o RT dp dt cp RT p para t p p e dp dt dp dt Assim dp dt cp p p e c p p p dp dt atm atm atm atm ˙ ( ) / , log , ( ) , / / . , ( ) ( ) p   0 (1) Substituindo na Eq. 1, obtemos 0 0 0 0 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ dp dt p p p p p p dp dt atm atm ( ) ( )   CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM17
Separando variáveis e integrando, dp p p p dp dt p p p dt p p p p p p p dp dt p p p t p p p p dp dt p p p t atm atm t p p atm atm atm atm atm atm atm ( ) / ( ) ln ( ) ( ) / ( ) ln / / / ( / ) Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ )       )       ) ∫∫ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Tomando os antilogaritmos, 1 1 1 1 1 6 895 1 701 1 701 101 1 0 00166 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ ϭ Ϫ Ϫ p p p p e p p e onde k dp dt p p p psi kPa psi kPa k dia e p p atm atm dp dt p p p atm kt atm atm atm            ) )        / ( / ) / ( / ) , ( / ) , ϪϪ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ p p p e Assim p p p p p e atm kt atm o atm kt 0 0 0 1             , (2) Avaliando para t ϭ 30 dias, p kPa l kPa dia p diast ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ 101 1 600 701 544 30 30 0 00166( , ) ←  A regra corrente “uma libra por dia” dá p p kPa dia t Para t dias p kPa kPa kPa pregra ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ 0 6 895 30 600 207 493 , ←  (3) A regra corrente “uma libra por dia” prediz uma maior queda de pressão. Resultados para ambos os modelos são apresentados na figura a seguir. CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM18
Problema 4.49 Dados: Carrinho com pá defletora, movido por jato de água. V m s A mj jϭ ϭ15 0 05 2 / , Determine: (a) A massa necessária para manter o carrinho estacionário para ␪ ϭ 50°. Plote: A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 0 Յ ␪ Յ 180 graus. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento para o VC inercial mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ᭙ ϩ ␳ и 0 2 0 3( ) ( ) F F t upd u V dAsx Bx SCVC ∂ ∂ ∫∫ r r Pressãodopneu,p(kPa)(manométrica) Pressão do Pneu versus Tempo Tempo, t (dias) Modelo exato Regra corrente CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM19
Considerações: (1) Pressão atmosférica em torno do VC. (2) FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente. (4) A velocidade do jato (e área) permanece constante na pá. (5) Escoamento uniforme em cada seção. (6) Escoamento incompressível. Então, Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Mg u V A u V A u V u V V V V A A A Mg V VA V VA V A M V A g 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ; cos ; ( ) cos ( ) (cos ) ( cos ) ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ { } { }    (1) Avaliando para ␪ ϭ 50° M kg m m s m s m kg Mϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ999 15 0 05 9 81 1 50 4093 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) , ( cos )° ←  M é traçada como uma função de ␪ Problema 4.52 Dados: Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel. Os grãos são despejados em sua caminhonete por um carregador afunilado conforme mostrado. O fluxo de grãos é interrompido quando a leitura da balança atinge o valor bruto desejado. Determine: A verdadeira carga paga. Massaparareterocarrinho,M(kg) Ângulo da pá defletora, ␪ (graus) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM20
Solução: Aplique a componente y da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado. Equação básica: Ӎ 0 2( ) F F t d V dAS B VC SC y y ϩ ϭ ␳ ϩ ␳ и ∂ ∂ ∀∫ ∫v v r r Considerações: (1) Não existe força de pressão líquida, F RS yy ϭ . (2) Despreze ␷ dentro do VC. (3) O escoamento dos grãos é uniforme na seção de entrada ቢ. Então, R M M g m V m A y t lϪ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ( ) ˙ ˙ v v 1 1 1 { } ␳ ou R M M g m A indicado durante o escoamento de grãosy t lϭ ϩ ϩ( ) ˙ ( ) 2 ␳ O carregamento é terminado quando R g M M m pgA kg Assim M kg m gA kg kg s m kg s m m M kg M y t l l l l Ϫ ϭ ϩ ϭ ϭ Ϫ ␳ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ˙ ˙ ( ) , ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 675 675 675 40 600 9 81 4 1 0 3 671 ␲ ←  Balança CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM21
Problema 4.54 Dados: Prato circular com orifício central atingido concentricamente por jato d’água conforme mostrado. Determine: (a) Expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar. (b) Valor da força para V ϭ 5 m/s, D ϭ 100 mm e d ϭ 20 mm. Plote: A força requerida como uma função de ␪ (0 Յ ␪ Յ 90°) com d/D como um parâmetro. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) ( )F F t u d u V dAS B VC SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) A pressão atmosférica age em todas as superfícies do VC. (2) FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Escoamento incompressível. (6) Nenhuma variação na velocidade do jato sobre o disco: V1 ϭ V2 ϭ V3 ϭ V. Então, R u V A u V A u V A u V A D u V A d u V sen A A A R V D V d V sen D d V x x ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ϭ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ␪ ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ ␪ ␲ ␳ ␲ { } { } { } 11 4 1 1 2 2 2 2 2 ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ sen d D R V D sen d D R x x ␪ ␳ ␲ ␪ ) )( ( )           ←  Avaliando para d ϭ 25 mm R kg m m s m sen N s kg m N Rx xϭϪ ϫ ϫ ϫ ϩ Ϫ и и ϭϪ ␲ 4 999 5 0 10 1 45 1 25 100 3143 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )°           ←  CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM22
Como Rx Ͻ 0, a força deve ser aplicada para a esquerda. Rx é traçada como uma função de ␪ para diferentes valores de d/D. Problema 4.60 Dados: Escoamento através de bocal semicircular, conforme mostrado. Determine: (a) A vazão volumétrica. (b) A componente y da força necessária para manter o bocal no lugar. Solução: Escolha o VC e as coordenadas mostradas. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção y. Equações básicas: Q V dA F F t d V dA A S B VC SC x y ϭ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ∫ ∫ ∫ ∂ ∂ ∀ r r r r 0 2 0 3( ) ( ) v v␳ ␳ Considerações: (1) Escoamento uniforme através da seção de saída. (2) FBy ϭ 0. (3) Escoamento permanente. Forçaparareteroprato,؊Rx(N) Razão de diâmetros, d/D ‫؍‬ 0 Ângulo de deflexão, ␪ (graus) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM23
Na seção ባ, r r V.dA VRtdϭ ␪ , visto que o fluxo é para fora do VC. Então, Q VRtd VRt VRt Q m s m m m s Qs ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ Ϫ Ϫ ␪ ␪ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ [ ] ←  ∫ / / / / , , , / 2 2 2 2 15 0 3 0 03 0 424 Da quantidade de movimento R V dA V dA V dA com V R V VRtd V Rt sen V Rt R kg m m s m y SC A A y y ϭ и ϭ Ϫ ϩ ϩ ␯ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ Ϫ␲ ␲ ∫ ∫ ∫ ∫ { } { } [ ] v v v v ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␲ ␲ r r 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 0 2 2 999 15 0 3 0 cos cos ( ) , / / / / ,, ,03 4 05 2 m N s kg m KN Ryϫ и и ϭ ←  Problema 4.61 Dados: Motor a jato em banco de ensaio. O combustível entra verticalmente a uma vazão ˙ ˙ , ˙ .m mf ϭ ϭmcombustível ar0 02 Determine: (a) A vazão mássica de ar. (b) Estime o empuxo do motor. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ 0 1 0 2 1 1 1 ( ) ( ) ˙ , / F F t u d u V dA m V A p RT S B SCVC ar x x ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ r r Considerações: (1) FBx ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída. (4) O ar comporta-se como gás ideal, T ϭ 70°F. (5) O combustível entra verticalmente (dado). CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM24
␳ ␳ 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 3 2 14 7 144 298 53 3 1 530 0 0644 0 0644 500 64 2060 ϭ ϫ Ϫ ϫ и ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ p RT lbf in in ft lbf ft lbm R ft lbf R lbm ft m V A lbm ft ft s ft lbm s mar , , , ˙ , / ˙       ° ° ←  Da equação da quantidade de movimento segundo x, ϭ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ 0 0 5 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 ( ) ˙ ˙ ˙ , , ˙ ˙ ˙ R p A p A u m u m u m u V u V m m m x g f f f { } { } { } Também o empuxo T ϭ Kx (força do motor sobre o meio ambiente)ϭ ϪRx. Então, Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϫ ϫ и и Ϫ Ϫ ϭ T p A m V m V m V m V T m V V p A T lbm s ft s ft s slug lbm lbf s ft slug lbf ft ft T lbf T ig ig 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 02 1 02 2060 1 02 1200 500 32 2 298 64 65 400 ˙ ˙ ˙ ( , ˙ ) ˙ ( , ) , , .         ←  Problema 4.63 Dados: Escoamento incompressível, sem atrito, através de uma expansão súbita conforme mostrado. Mostrar: Que o aumento de pressão, ⌬p ϭ p2 Ϫ p1, é dado por ⌬ ␳ ϭ Ϫ p V d D d D1 2 2 1 2 2 2 1              Plote: O aumento de pressão adimensional como uma função de d/D para determinar o valor ótimo de d/D e o aumento de pressão adimensional correspondente. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) ( )F F t u d u V dAS B SCVC x x ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ r r CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM25
Considerações: (1) Não há atrito, as forças superficiais são devidas somente à pressão. (2) FBx ϭ 0. (3) Regime permanente. (4) Escoamento incompressível (dado). (5) Escoamento uniforme nas seções ቢ e ባ. (6) Pressão uniforme p1 sobre a superfície vertical da expansão. Então, p A p A u V A u V A u V u V1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2Ϫ ϭ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭ ϭ( ) ( ) ,{ } { } Da continuidade para escoamento uniforme, ˙ ; , ( ) m A V A V V V A A Assim p p V A A V V A A V V A A V V p p V A A V V V A A A A e p ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 r             ϪϪ ϭ Ϫ ϭ Ϫ p V A A A A d D d D C Q D 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 ␳                     ←  . . A partir do gráfico mostrado adiante, vemos que ⌬p 1 2 1 2 ␳V tem um valor ótimo em torno de Ϸ 0,5 para d/D ϭ 0,70. Nota: Como esperado, • Para d ϭ D, ⌬p ϭ 0 para tubo reto. • Para d/D → 0, ⌬p ϭ 0 para jato livre. Note também que a localização da seção ባ deve ser escolhida com cuidado para fazer com que a consideração (5) seja razoável. Aumentodapressão,⌬p/pV2 /2(––) Razão de diâmetros, d/D (––) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM26
Problema 4.68 Dados: Bomba a jato d’água conforme mostrado no desenho esquemático. O jato e a corrente secundária são bem misturados na seção ባ, e as pressões de entrada são as mesmas. Determine: (a) A velocidade na saída da bomba. (b) O aumento de pressão, p2 Ϫ p1. Solução: Aplique a equação da continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ␳ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ␳ и 0 1 0 0 5 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫∫ t d V dA F F t u d u V dA SCVC S B SCCV x x ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Nenhuma força viscosa age no volume de controle. (5) FBx ϭ 0. Então, da continuidade, 0 1 0 075 0 01 0 065 1 0 075 3 0 065 30 0 01 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ϭ Ϫ ␳ ϩ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭϪ␳ Ϫ␳ ϩ ␳ ϭ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ V A V A V A V A V A V A V A V A V A A A A m m V m m s m m s m s s j j s s j j s s j j s j { } { } { }  ( ); ( , , ) , , , ,    ←  { } { } { } ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␳ ϩ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭ ϭ ϭ ⌬ ϭ Ϫ ϭ ϩ ␳ ϩ ␳ Ϫ ␳ ϭ ␳ ϩ 6 60 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 , ( ) ( m s e p A p A u VsA u V A u V A u V u V u V p p p A V A V A V A A V V s s j j j s s j j s s j j s 22 2 2 2 2A V A V As j jϩ Ϫ ) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM27
ϭ ϫ ϩ Ϫ ϫ и и Ϫ ϭ Ϫ 999 1 0 075 3 0 0 065 30 0 01 6 6 0 075 84 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 kg m m m s m N s kg m p p kPa p p , ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , [ ] ←  Problema 4.69 Dados: Cotovelo redutor conforme mostrado. O fluido é água. Determine: As componentes da força necessária para manter o cotovelo no lugar. Solução: Aplique as componentes x e y da equação da quantidade de movimento usando a SC e o CV mostrados. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 4 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) F F t u d u V dA F F t d V dA S B SCVC S B SCVC x x y y ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r v v Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento uniforme em cada seção. (3) Use pressões manométricas. (4) Eixo x horizontal. Componente segundo x: R p A p A u Q u Q u V u V R V V Q p A p A V Q A m s m m s m s m s x g g x g g ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϫ ϭ ϭ Ϫ ϩ ϫ 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 3 2 0 11 1 0 0182 6 04 6 04 13 6 30 cos cos ( cos ) cos , , , ( , , cos ␪ ␳ ␳ ␪ ␪ ␳ ␪ { } { } °° ° ←  ) , , , , ( ) , ( ) , cos 999 0 11 1 0 0082 13 6 0 11 200 101 10 0 0182 120 101 10 0 0081 30 631 1800 133 1040 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 kg m V Q A m s m m s m s N s kg m N m m N m m R N N R x x x ϭ ϭ ϫ ϭ ϫ ϫ и и Ϫ Ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϫ ϭϩ Ϫ ϩ ϭϪ  Massa do cotovelo, m ϭ 10 kg Volume interno V ϭ 0,006 m3 CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM28
Componente segundo y: R p A sen mg g Q Q V sen R V sen Q mg g p A sen m s sen kg m m s N s kg m kg m s N s kg y g y g ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭϪ ϭϪ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϩ ϫ ϫ и и 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 0 13 6 30 999 0 11 10 9 81 ␪ ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ␳ ␳ ␪ ∀ { } { } ∀ ° v v v v , , , mm kg m m m s N s kg m N m m sen R N Ry y ϩ ϫ ϫ ϫ и и Ϫ Ϫ ϫ ϫ ϭϪ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ 999 0 006 9 81 120 101 10 0 0081 30 747 98 1 58 8 77 667 3 3 2 2 3 2 2 , , ( ) , , , ° ←  {Rx e Ry são as componentes horizontal e vertical da força que deve ser suprida pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo (o volume de controle) sem movimento.} Problema 4.73 Dados: Água sendo descarregada de modo não uniforme por um entalhe estreito, conforme mostrado. p kPag1 30ϭ ˙ Determine: (a) A vazão volumétrica. (b) As forças requeridas para reter o tubo. Solução: Aplique as componentes x e y da quantidade de movimento, usando a SC e o VC mostrados. Equações básicas: ϭ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 2 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) ;F F t u d u V dA F F t d V dAS B VC SC S B SCVC x x y y ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫∫␳ ␳ ␳ ␳ r r r r v v Considerações: (1) F FB Bx y ϭ ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme na seção de entrada. (4) Use pressões manométricas para cancelar patm. Espessura, t ϭ 15 mm CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM29
A partir da continuidade, Q VA V V Lt m s m m m s Q V Q A m s m m s ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϭ 1 2 1 2 7 5 11 3 1 0 015 0 141 0 141 4 1 0 15 7 98 1 2 3 3 3 3 2 2 ( ) ( , , ) , , / , ( , ) , / ←  ␲ Da componente x da quantidade de movimento, posto que o escoamento sai verticalmente do entalhe (u ϭ 0), R p A u Q V Q R p A V Q R N m m m s kg m m s N s kg m R kN para a R x g x g x x x ϩ ϭ Ϫ ϭϪ ϭϪ Ϫ ϭϪ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭϪ 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 2 30 10 4 0 15 7 98 999 0 141 1 65 ␳ ␳ ␳ ␲ { } ←  ; ( , ) , , , ( )esquerda  Da componente y da quantidade de movimento, visto que v3 ϭ 0, ϭ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϩ 0 2 2 3 999 0 015 7 5 7 5 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 R v Q v Vt dx t V V V L x dx t V x V V V L x V V L x kg m m m s m y o L o L o L ␳ ␳ ␳ ␳ { }                   ∫∫ , ( , ) , ss m s m m m s m m R kN para Ry y ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϫ ϭ Ϫ ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) , ( ) 11 3 7 5 1 1 1 11 3 7 5 1 1 1 3 1 34 2 2 2 2 2 2 2 3 3       ← baixo {Um momento também será requerido no acoplamento.} Problema 4.75 Dados: Bocal descarregando uma cortina d’água plana e radial, conforme mostrado. Espessura, t água CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM30
Determine: A força axial exercida pelo bocal sobre o acoplamento. Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento, usando as coordenadas e o VC mostrados. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 2( ) ( ) F F t u d u V dAS B VC SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) FBx ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme em cada seção (4) Use pressão manométrica para cancelar patm. A partir da equação da continuidade Q V A V A V Rt m s m m m s V Q A Q D m s m m s ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 2 2 10 0 05 0 0015 0 00236 4 4 0 00236 1 0 035 2 45 ␲ ␲ ␲ ␲ , , , / , ( , ) , / {Note que A D1 1 2 2 4 0 000962ϭ ϭ␲ / , m } Da quantidade de movimento, R p A u Q u V dA u V u V dA Rt d V V Rtd V Rt d V Rt Assim R p A V Q V Rt x g A A o x g ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 150 ␳ ␳ ␪ ␪ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ␲ { } ∫ ∫∫ ∫ cos ; cos cos ( / / / 101101 10 0 000962 2 45 999 0 00256 2 999 10 0 05 0 0015 37 9 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 ) , , , ( ) , , , N m m m s kg m m s N s kg m kg m m s m m N s kg m R Nx ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϩ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ Ϫ Mas Rx é uma força sobre o VC; a força sobre o acoplamento é Kx, K R N para a Kx x xϭϪ ϭ 37 9, ( )direita ←  CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM31
Problema 4.76 Dados: Pequeno objeto redondo testado em um túnel de vento. Atrito desprezível. Determine: a) A vazão mássica. b) V2, máx. c) O arrasto sobre o objeto. Solução: Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ ϭ 0 1 0 4 0 1 999 9 81 0 02 196 98 0 1 1 3 2 2 ( ) ( ) ( ) , , ( ) , ( ) o t d V dA F F t u d u V dA p gh kg m m s m Pa manométrica p Pa manométrica VC SC S B SCVC x x ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Massa específica uniforme em cada seção. (3) Escoamento uniforme na seção ቢ, portanto ˙m V Aϭ ␳ 1 (4) Escoamento horizontal; FBx ϭ 0. Então, ˙ , ( ) , / ˙m V A kg m m s m kg s mϭ ϭ ϫ ϫ ϭ␳ ␲ 1 1 3 2 2 1 23 10 4 1 9 67 ←  Da equação da continuidade, ˙ ˙ , , ( , ) , , , , , m u dA V r R rdr V R r R d r R V R V m R kg s m kg m V A máx o R máx máx máx ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ ␳ ␳ ␲ ␲ ␳ ␲ ␳ ␲␳ ␲ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 9 67 1 23 1 0 5 15 0 ∫ ∫ ∫         m/s 22, máx ←  (manométrica) (manométrica) CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM32
Da equação da quantidade de movimento, R p A p A u m u V dA V m V R r R d r R u V u V r R R p p A V m V R x A máx máx x máx ϩ и Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭϪ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϭ 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 1 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 98 ˙ ˙ ( ) ˙ ( , , , , { }             ∫ ∫␳ ␲␳ ␲␳ 00 196 4 1 10 9 67 2 1 23 15 0 5 65 0 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϩ ϫ ϫ ϫ и и ϭϪ ) ( ) , , ( ) ( , ) , N m m m s kg s kg m m s m N s kg m R Nx ␲ ␲    Rx é a força para manter o VC no lugar. O VC corta a haste de apoio, portanto Rx é a força para reter o objeto. O arrasto do objeto e da haste de sustentação é F R N FD x Dϭ ϭ 65 0, ←  Problema 4.78 Dados: Escoamento incompressível na região de entrada de um tubo circular de raio R. u u r R máx2 2 1ϭ Ϫ           Determine: (a) A velocidade máxima na seção ባ. (b) A queda de pressão, se o atrito viscoso fosse desprezado. Solução: Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção x. Use o VC e a SC mostrados. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ t d V dA F F t u d u V dA VC SC S B SCVC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento uniforme na seção ቢ. (3) FBx ϭ 0. (4) Despreze o atrito na parede do tubo. (5) Escoamento incompressível. CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM33
Então, 0 1 2 2 1 2 1 2 1 4 1 2 0 2 1 2 2 21 2 2 4 0 1 ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␳ ␲ ␳ ␲ ␲␳ ␲␳ ␲␳ U R u r R rdr ou U R u R r R r R d r R u R r R r R máx R máx o máx { }                                           ∫ ∫ AssimAssim u U ft ft s umáx máx, /ϭ ϭ ϫ ϭ2 2 30 3 601 ←  Da equação da quantidade de movimento, p R p R u U R u u dA U R u R r R r R d r R u U u u r R ou p p U R máx máx 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 ␲ ␲ ␳ ␲ ␳ ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ { }                             ∫ ∫ 11 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 4 2 0 1 4 6 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 6 1 6 2 4 8 6 ϩ Ϫ ␩ ␩ ␩ ␩ ϭ Ϫ ␩ ␩ ␩ ϭ Ϫ ␩ ϩ ␩ ␩ ␩ ϭ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ␳ ␳ ␳ ␳ u d r R Mas d d e u U U p p U U U máx máx ( ) ; ( ) ( ) ( ) , ∫ ∫ ∫ ] logo, 11 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 4 3 1 1 3 1 3 0 075 30 32 2 0 699 1 2 Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и Ϫ ϭ Ϫ     µ ←  ␳U lbm ft ft s s g lbm lbf s slug ft p p lbf ft p p s , ( ) / , , / Problema 4.82 Dados: Escoamento incompressível em camada limite, conforme mostrado. O fluido é ar padrão. Na camada limite: u U y y o ϭ ␦ Ϫ ␦ 3 2 1 2 3         Fronteira da CL Largura CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM34
Determine: A força horizontal por unidade de largura para manter a placa estacionária. Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ t d VdA F F t u d u V dA VC SC S B SCVC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Não existe força líquida de pressão; (3) FBx ϭ 0. (4) Escoamento uniforme na seção ab. (5) Escoamento incompressível. Então, da equação da continuidade, 0 ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ␳ Ϫ ␦ ␦␦ ␳ ␻␦ ␳ ␻ ␦U m u dy dy m U u dyo bc o bc o oo { }      ∫ ∫∫˙ ; ; ˙ ( ) ␻ Da equação da quantidade de movimento, Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ␦ F U U w U m u uwdy U u U U u wdyf o o o bc o o o o o ␳ ␦ ␳ ␦ { }       [ ]∫ ∫˙ ( )2 2 Força de arrasto ϭ F u U u wdy U u U u U wdyf o o o o o ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␦ ␳ ␳ ␦ ( )∫ ∫      0 2 1 Na seção cd, u U dy d F w U u U u U d U d U o f o o o o o o o ϭ ␩ Ϫ ␩ ϭ ␦ ␩ ϭ ␦ Ϫ ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ Ϫ ␩ ␩ ϭ 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 2 9 4 1 2 3 2 1 4 3 2 1 2 3 3 1 2 2 3 4 6 ; ␳ ␳ ␳ ∫ ∫                       ←  ∫ d U U kg m m s m N s kg m F w N m para a F w o o o o f f ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ Ϫ ␩ ϭ ␦ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ 1 2 2 3 4 5 7 1 2 3 2 2 2 2 3 4 3 4 1 8 3 10 1 28 0 139 0 139 1 23 10 0 0023 0 0393 ␳ ␳ ( , ) , , ( ) , , / ( )direita  CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM35
Problema 4.83 Enunciado: Considere o jato de água e a placa vertical do Problema-Exemplo 4.4. Uma consideração implícita feita para resolver o problema foi que o jato permanecesse horizontal até atingir a placa. Discuta as implicações de se incluir a gravida- de na solução. Concentre-se especificamente na trajetória do jato antes de ele atingir a placa e na velocidade do líquido sobre a placa acima e abaixo do ponto de impacto do jato. As dimensões da placa vertical são importantes? As propriedades da corrente de líquido são importantes? Discussão: A gravidade poderia ser incluída na solução com relativa facilidade. A gravidade produziria uma componente vertical para baixo na velocidade da corrente de água no jato. O jato teria uma trajetória parabólica; a corrente do jato cairia mais à medida que ela se afastasse do bocal. Como uma primeira aproximação, o escoamento sobre a placa vertical é suposto ser sem atrito. Portanto, não existe força de atrito do jato sobre a placa. Uma força de pressão agindo sobre a placa não possui componente vertical. Conseqüentemen- te, não pode existir força vertical resultante sobre a placa. O jato líquido dividir-se-á em duas correntes quando atingir a placa. Cada uma das duas correntes terá a mesma velocida- de do jato, porque não existe força de atrito ao longo da placa para modificar a velocidade do líquido. Entretanto, a corrente inferior irá carregar mais da metade do escoamento; a corrente superior carregará menos da metade do fluxo. Posto que nenhuma força vertical age sobre o escoamento, este dividir-se-á de modo a dar às duas correntes a mesma quantidade de movimento do jato tocando a placa. A placa vertical deve ser larga o bastante para redirecionar todo o escoamento do jato de forma que ele saia paralelo à superfície da placa. Quando a gravidade é incluída, a placa deve estender-se mais para baixo da linha de centro do jato do que no caso hipotético sem gravidade. As propriedades da corrente de líquido incluem sua massa específica, área, velocidade e viscosidade. A força horizontal exercida sobre a placa vertical é proporcional à massa específica, área e ao quadrado da velocidade da corrente líquida. A viscosidade do líquido não é importante, quando ela é pequena o suficiente para fazer com que a aproximação de um escoa- mento sem atrito seja um modelo razoável. Problema 4.87 Dados: Modelo de escoamento de gás em um bocal de propulsão como uma fonte esférica; Ve ϭ constante. Determine: (a) Uma expressão para o empuxo axial, Ta; compare com a aproximação unidimensional, T mVeϭ ˙ . (b) O erro percentual para ␣ ϭ 15°. Plote: O erro percentual em função de ␣, para 0 22 5Յ Յ␣ , .° Solução: Aplique as definições: ˙ ,m VdA T u Vdaa A A ϭ ϭ␳ ␳∫ ∫ Use escoamento esférico, simétrico. A vazão mássica é admitindo m VdA V Rsen Rd V R V R e e e e e e oA o e e ␳ ␳ ␪ ␳ ␳ ␲ ␪ ␪ ␲ ␳ ␪ ␲ ␳ ␣ ␣ ␣ ( ) ˙ ( ) cos ( cos ) [ ] [ ]∫∫ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ2 2 2 12 2 CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM36
A aproximação unidimensional para o empuxo é, portanto, T mV V R Te e e Dϭ ϭ Ϫ Ϫ˙ ( cos )2 12 2 1␲␳ ␣ ←  O empuxo axial é dado por T u VdA V V Rsen Rd V R sen d T V R sen V R sen T a e e e o e e o a e e o e e a ϭ ϭ ␳ ␲ ϭ ϭ ␪ ϭ ␣ ␣ ␣ ␳ ␪ ␪ ␪ ␲␳ ␪ ␪ ␪ ␲ ␳ ␲ ␳ ␣ cos ( ) cos∫∫ ∫     ←  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 O erro na aproximação unidimensional é e T T T T T V R V R sen sen D a a D a e e e e ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ␲ ␳ ␣ ␲␳ ␣ ␣ ␣ ( cos ) ( cos ) (1) O erro percentual é traçado como uma função de ␣. Para ␣ ϭ 15° e sen e ou e 15 2 15 2 1 15 15 1 0 0173 1 73 15 ϭ Ϫ Ϫ ϭ ( cos ) , , % ° ←  Erronoempuxo1-D,e(%) Metade do ângulo de descarga do bocal, ␣ (graus) CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM37
Problema *4.89 Dados: Jato de ar atingindo um disco de diâmetro D ϭ 200 mm, conforme mostrado. Determine: (a) A deflexão do manômetro. (b) A força para reter o disco. Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado. Equações básicas: ( ) tan ( ) ( ) 5 2 0 5 0 1 2 p V gz cons te F F t u d u V dAS B SCVC x x ␳ ␳ ␳ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀ ∫∫ r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (4) Despreze o atrito. (5) FBx ϭ 0. (6) Escoamento uniforme no jato. Aplique Bernoulli entre a saída do jato e o ponto de estagnação p V p o p p Vo o ␳ ␳ ␳ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ 2 2 2 1 2 ; Da hidrostática, p p SG g h Assim h V SG g V SG g h kg m m s m kg s m m ou mm h o H O H O H O Ϫ ϭ ⌬ ⌬ ϭ ϭ ⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ⌬ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 2 1 2 2 1 23 50 1 2 1 75 999 9 81 0 0896 89 6 2 2 3 2 2 2 3 2 , , ( ) ( , ) , , , ←  CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM38
Da quantidade de movimento, R u VA u VA V A u V u R kg m m s m N s kg m N para a R x x x ϭ Ϫ ϩ ϭϪ ϭ ϭ ϭϪ ϫ ϫ ϫ и и ϭϪ 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 0 1 23 50 4 0 01 0 242 ␳ ␳ ␳ ␲ { } { } ←  , ( ) ( , ) , ( )esquerda Essa é a força necessária para manter a placa estacionária. A “força” do jato sobre a placa é K R N para ax xϭ Ϫ ϭ 0 242, ( )direita Problema *4.91 Dados: Jato escoando para baixo, atingindo um disco horizontal, conforme mostrado. Determine: (a) A velocidade do jato em h. (b) Uma expressão para a força necessária para manter o disco estacionário. (c) Avalie para h ϭ 1,5 m. Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado. Equações básicas: ( ) tan ( ) ( ) 5 2 0 6 0 1 2 p V gz cons te F F t w d w V dAS B VC SC z z ␳ ␳ ␳ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫ r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (4) Escoamento sem atrito. (5) Pressão atmosférica agindo ao longo do jato. (6) Despreze a massa de água sobre o disco, FBz ϭ 0. (7) Escoamento uniforme em cada seção. CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM39
A equação de Bernoulli torna-se V gh V g o ou V V gh V V gh V0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ( ) ; ←  Da equação da quantidade de movimento R VA V A V A V z o oϭ ␻ Ϫ ϩ ␻ ϩ ϭ ϩ ␻ ϭ Ϫ ␻ ϭ 1 2 2 1 2 0 ␳ ␳ ␳{ } { } Mas, da continuidade ˙ . , , , , , ( , ) ( , ) , , m V A VA Assim VA V A e R V A V V A V gh R Para h m R kg m m s m m s m s m o o o o z o o o o o z z ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ ϫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␲ 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 5 999 1 5 4 0 015 1 5 2 9 81 1 5 ←      ←  1 2 2 1 49 / , ( ) N s kg m R N força Rz z и и ϭ para cima Problema *4.93 Dados: Corrente de ar na condição padrão atinge um defletor curvo. Um tubo de estagnação conectado a um manômetro de água está instalado no plano de saída do bocal. Determine: (a) A velocidade do ar deixando o bocal. (b) A componente horizontal da força exercida pelo jato sobre o defletor. (c) Comente sobre cada uma das considerações feitas na solução do problema. Solução: Aplique a definição de pressão de estagnação e a componente x da equação da quantidade de movimento. Por definição, p p Var0 2 1 2 ϭ ϩ ␳ Tubo de estagnação Defletor fixo Ar Aberto Água Jato de ar livre CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM40
Da estática dos fluidos, p p g hágua0 Ϫ ϭ ␳ ⌬ Combinando, ␳ ␳ ␳ ␳ água ar água ar g h V ou V g h V slug ft ft s in ft slug ft in ft s V ⌬ ϭ ϭ ⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ 1 2 2 2 1 94 32 2 7 0 00238 12 175 2 3 2 3 1 2 , , . , . /       ←  A equação da quantidade de movimento é ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) F F t u d u V dAS B SCVC x x ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ r r Considerações: (1) Não existem forças de pressão. (2) FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme. (5) Velocidade constante no defletor. Então, R u VA u VA V A u V u V R slug ft ft s ft lbf x x ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϭ Ϫ 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 0 00238 175 4 2 12 1 30 2 97 ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ␲ { } { }     ° ( cos ) cos , ( ) ( cos ) , A força do ar no defletor é K R lbf para a Kx x xϭϪ ϭϩ2 97, ( )direita ←  Comentários sobre cada consideração usada para resolver este problema: • Escoamento sem atrito no bocal é uma boa aproximação. • Escoamento incompressível é uma boa aproximação para esse escoamento de baixa velocidade. • Nenhuma componente horizontal da força de campo é exata. • Nenhuma força de pressão resultante sobre o volume de controle é exata. • Escoamento sem atrito ao longo do defletor não é realista; o escoamento de ar ao longo do defletor deve ser desacelerado por atrito, reduzindo o fluxo de quantidade de movimento na saída. Problema *4.96 Dados: Bocal plano descarregando água em regime permanente e atingindo uma placa inclinada. Despreze o atrito no bocal e ao longo da superfície da placa. CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM41
Determine: (a) A pressão manométrica mínima requerida na entrada do bocal. (b) Magnitude e sentido da força exercida pela corrente d’água sobre a placa inclinada. (c) Esboce um gráfico da distribuição de pressão ao longo da superfície da placa. Solução: Aplique as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de Bernoulli, usando as coordenadas e o VC mostrados. Equações básicas: V A V A p V gz p V gz R F t v d v V dAy B SCVC y 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 6 0 3 ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ␳ ␳ ␳ ␳ ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∫∫ r r Considerações: (1) Escoamento sem atrito. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (5) Escoamento uniforme em cada seção. Então, da equação da continuidade, V A A V W V mm mm m s m s1 2 1 2 2 12 7 51 8 12 2 2 99ϭ ϭ ␻ ϭ ϫ ϭ , , , , / Bocal Água CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM42
Da equação de Bernoulli, ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ ϫ и и ϭ 0 2 1 2 999 12 2 2 99 999 9 81 0 15 68 4 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 1 1 p V V g z z p z z h p kg m m s kg m m s m N s kg m kPa manométrica p g g g g ␳ ␳( ) ( ) ; ( , ) ( , ) , , , ( )[ ]    ←  Calcule V3 na ausência da placa usando Bernoulli (p2 ϭ p3) V V g H m s m s m s3 2 2 2 2 2 2 2 12 2 2 9 81 4 85 15 6 1 2 ϭ ϩ ϭ ϩ ϫ ϫ ϭ( , ) , , , /     Da quantidade de movimento: Rx ϭ 0, posto que não existe atrito na superfície da placa. Considerações: (6) Despreze as massas da placa e da água sobre a placa. (7) Pressão atmosférica age sobre todo o volume de controle; F RS yy ϭ . Então, 0 0 15 6 30 999 0 0155 209 209 3 3 4 4 5 5 3 3 3 3 3 R v m v m v m V Q visto que v V R m s kg m m s N s kg m N K N K y y y y ϭ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ ␳ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ ϭ Ϫ ˙ ˙ ˙ cos , cos , cos , , { } { } { } ° ←  ␪ ␪ A pressão é máxima no ponto de estagnação e mínima (patm) em ብ e ቦ. A pressão em a é maior que em b devido à curvatura da linha de corrente. CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM43
Problema *4.100 Dados: Escoamento uniforme em espaço estreito entre placas paralelas, conforme mostrado. O fluido preenchendo esse espaço tem movimento horizontal apenas. Determine: Expressão para p(x). Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 5 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫ ∫ t d V dA F F t u d u V dA SCVC S B VC SC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Atrito desprezível. (5) FBx ϭ 0. Então, 0 0 0 0 ϭ и ϭ Ϫ ␻ ϩ Ϫ ␻ ␻ ϩ ϩ ␻ ␻ ϭ ϭ ␻ ϩ ϭ ϭ ϭ ␻ r r V dA V h Q L dx V dV h hdV Q L dx V Q h x L c c pois V V x Q h x L VC∫ { }       { }( ) ; ; ( ) ; ( ) Da quantidade de movimento, p h p dp h u V h u Q h dx u V dV h u V u u d V dV x dx x dx x dx x x ␻ Ϫ ϩ ␻ ϭ Ϫ ␻ ϩ Ϫ ␻ ␻ ϩ ϩ ϩ ␻ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ( ) ( )␳ ␳ ␳{ }       { } 0 CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM44
Da continuidade, ( )V dV h V h Q dx L ϩ ␻ ϭ ␻ ϩ logo Ϫ ␻ ϭϪ ␻ ϩ ϩ ϩ ␻ ϩ ϭϪ ␻ ϩ ␻ ϩ ␻ ϩ ϩ dp h V h V dV V h Q dx L V h V h V hdV V Q dx L Q dV dx L ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 2 0 ) (    Desprezando produtos de diferenciais (dVdx Ӷ dx), e com dV Q h dx L ϭ ␻ Ϫ ϭ ϩ ␻ ϭ ␻ ϩ ␻ ␻ Ϫ ϭ ␻ ϭϪ ␻ ϩ ϭ ϭ Ϫ ␻ dp VdV V Q h dx L V Q h dx L V Q h x L Q h dx L dp Q hL xdx p x Q hL x C Se p p então p x Q h x L p x ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 0 2 2 2 0 0 2 2                 ←  ( ) ( ) , ( ) ( ) p Problema 4.107 Dados: Jato de água atingindo uma pá móvel conforme mostrado. Determine: A força necessária para manter a velocidade da pá constante. Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3 0 2 0 3 ( ) ( ) ( ) ( ) F F t u d u V dA F F t v d v V dA S B xyz VC xyz SC xyz S B xyz xyz xyz SCVC x x y y ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM45
Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre VC; F R F RS x S yx y ϭ ϭ, (2) FBx ϭ 0.; despreze FBy . (3) Escoamento permanente relativo à pá. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Área do jato e velocidade relativa à pá constantes. Todas as velocidades devem ser relativas ao VC. Então, R u V U A u V U A u V U u V U e R V U A kg m m s mm m mm N s kg m R N para a R x x x x ϭ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ Ϫ и и ϭϪ 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 6 2 1 999 30 15 600 10 90 1 135 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ( ) ( ) ( )cos ( ) (cos ) ( ) (cos ) ( ) { } { } ° ← esquerda  Também, R v V U A v V U A v v V U sen R V U A sen kg m m s mm m mm sen N s kg m N R N a força deve ser para R y y y y ϭ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ ϭ 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 6 2 2 0 999 30 15 600 10 90 135 135 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } ° ← cima  Problema 4.109 Dados: Prato circular com orifício e jato movendo-se conforme mostrado. Determine: A força requerida para manter o movimento do prato. CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM46
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC movendo-se com o prato como mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫ ∫ t d V dA F F t u d u V dA xyz SCVC B S xyz VC xyz SC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente relativo ao VC. (2) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC. (3) Horizontal; FBx ϭ 0. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Nenhuma variação na velocidade do jato relativa à pá. (6) Escoamento incompressível. Então, 0 4 4 4 4 0 020 0 010 2 36 10 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 2 4 2 ϭ и ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ r r V dA V U D d A A D d m m xyz SC∫ [ ] ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) , , , ␲ ␲ ␲ ␲ Da equação da quantidade de movimento, R u V U D u V U d u V U A u V U u V U u V U R V U D V U d V U x x ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ ϭϪ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ Ϫ 1 2 2 2 3 3 4 1 2 3 2 2 2 2 2 4 4 40 4 4 ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) ,             { } ° ␲␲ ␳ ␲ 4 40 4 1 40 999 30 10 2 36 10 1 40 167 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 ( ) cos ( ) ( ) ( cos ) ( ) , ( cos ) ( ) D d V U D d kg m m s m N s kg m R N a força deve ser aplicada para a Rx x Ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ ϩ ϭϪ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϫ и и ϭϪ Ϫ ° ° ° ← direita {Nota: Ry ϭ Mg, pois não há fluxo líquido de quantidade de movimento na direção y.} CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM47
Problema 4.114 Dados: Uma série de pás atingidas por jatos contínuos, conforme mostrado. Determine: (a) O ângulo do bocal, ␣. (b) A força para manter a velocidade das pás constante. Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel com as pás como mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) F F t u d u V dAS B xyz VC xyz xyz SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC. (2) Horizontal; FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente relativo ao VC. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre a pá. (6) Escoamento entra e sai tangencialmente às pás. O ângulo do bocal pode ser obtido por trigonometria. O triângulo de velocidades para a entrada é mostrado no esquema: Da lei de senos, sen V sen V sen U sen U V sen sen sen Do esquema de velocidades o Também V rb rb ␣ ␪ ␤ ␤ ␪ ␣ ␤ ␪ ␣ ␤ ␪ ␪ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ␣ Ϫ Ϫ ( ( ) , ( ) , , log , cos 90 90 50 86 6 120 30 90 90 90 30 30 30 1 1 1 1 1 1 ) 1     °       ° ° ° ° ° ° ° ←  ,, ; cos , cos , /ϭ ϭ ϭ ϫ ϭV sen V V sen m s sen m srb␣ ␣ ␪1 86 6 30 30 50 0 ° ° CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM48
Da equação da quantidade de movimento (considere a vazão total ˙m dos escoamentos através das pás) R u m u m V sen m V sen m V m sen sen u V sen u V sen R m V x rb rb rb rb rb y rb ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϭϪ ϭ Ϫ ϩ 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ˙ ˙ ( ˙ ) ( ˙ ) ˙ ( ) , ; ˙ ( cos cos ) { } { } ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ Dessa forma, como ˙ ,m Qϭ ␳ R V Q sen sen m s kg m m s sen sen N s kg m R kN para a R x rb x x ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ и и ϭϪ ␳ ␪ ␪( ) , ( ) , ( ) 1 2 3 3 2 50 999 0 170 30 45 10 3 ° ° ← esquerda {Nota: A força resultante sobre o VC na direção y é Ry ϭ Ϫ1,35 kN.} Problema 4.122 Dados: Catapulta hidráulica do Problema 4.118 deslocando-se sobre trilha horizontal com resistência F kUD ϭ 2 , velocidade U, partindo do repouso em t ϭ 0. Determine: (a) Instante de aceleração máxima. (b) Esquema da aceleração versus tempo. (c) Valor de ␪ para maximizar aceleração, por quê? (d) Se U alcançará V em algum momento; explique. Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento ao VC em aceleração. Equação básica: ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( )Ϸ F F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz xyz xyz SCVC x x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫∫ r r Considerações: (1) F F kUS Dx ϭϪ ϭϪ 2 , onde k ϭ 0,92 Nиs2 /m2 . (2) Horizontal; FBx ϭ 0 . (3) Despreze a massa da água sobre o defletor. (4) Escoamento uniforme no jato. (5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre o defletor. CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM49
Então, Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ ϭ ϩ Ϫ Ϫ kU a M u V U A u V U A sen V U A u V U u V U sen ou dU dt A sen M V U kU M rfx vc vc vc 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / { } { } (1) (a) A aceleração é máxima para t ϭ 0, quando U ϭ 0. ←  (b) A aceleração como função do tempo será (c) Da Eq. 1, dU/dt é máximo quando ␪ ϭ ␲/2 e sen ␪ ϭ 1 du dt máx. ←  (d) Da Eq. 1, dU/dt irá a zero quando U Ͻ V; isto corresponderá à velocidade terminal para o veículo, Ut. Da Eq. 1, dU/dt ϭ 0 quando ou ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ A sen V U kU U A sen k A sen k V V ( ( ) ( ) ( , / / 1 1 1 1 0 472 2 2 1 2 1 2 ϩ Ϫ ϭ ϭ ϩ ϩ ϩ ϭ )         U será assintótico em relação a V. Problema 4.124 Dados: Veículo com pá defletora deslocando-se com resistência desprezível. a m s cons terfx ϭ ϭ2 2 / tan A área do jato é A(t), programada. tendência assintótica a zero CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM50
Determine: (a) Expressão para A(t). (b) Esquematize para t Յ 4s. (c) Avalie para t ϭ 2s. Solução: Aplique a quantidade de movimento segundo x ao VC com aceleração linear. Equação básica: ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )Ϸ F F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz VC xyz SC xyzx x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Considerações: (1) Nenhuma resistência ao movimento. (2) Movimento horizontal, logo FBx ϭ 0. (3) Despreze massa de líquido no VC. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Todas as velocidades medidas em relação ao VC. (6) Nenhuma variação na área da corrente ou na velocidade sobre a pá. Então (com a arfx ϭ ), Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ␳ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ a M u V U A u V U A V U A u V U u V U V U 1 2 2 1 2 3 2 120 1 2 ␳ ␳( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) { } { } ° Como a ϭ constante, U ϭ at e A A t a M V at A t Em t A A aM V Assim A A at ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ( ) ( ) ( ) , ( ) . , ( ) 2 3 0 0 2 3 1 1 2 0 2 0 2 ␳ ␳ ←  Esquema: Para t ϭ 2s, A m s kg m kg m s m s s mm m mm Aϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϭ 2 3 2 3 999 1 10 2 2 10 111 22 3 2 2 6 2 2 2     ←  ( ) CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM51
Problema 4.127 Dados: Foguete trenó desacelerado por concha arrastando água. Arrasto aerodinâmico proporcional a U2 . Para U0 ϭ 300 m/ s, FD ϭ 90 kN. Largura da concha, w ϭ 0,3 m. Determine: A profundidade de imersão da concha para reduzir a velocidade a 100 m/s após percorrer a distância L. Solução: Aplique a componente x da equação de quantidade de movimento usando o VC com aceleração linear mostrado. Equação básica: ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 1 0 2( ) ( )Ϸ F F a d t u d u V dAS B VC rfx xyz xyz xyz SCVC x x ∫ ∫∫∀ ∂ ∂ ∀␳ ␳ ␳ r r Considerações: (1) FBx ϭ 0. (2) Despreze taxa de variação de u dentro do VC. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Nenhuma variação na velocidade relativa do líquido na concha. Então, Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ и и ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭ Ϫ F Ma u Uwh u Uwh h imersão da concha u U u U Mas F kU k F U kN s m N kN kg m N s kg m kU M dU dt U wh posto que a dU dt Assim D rfx D D rtx 1 2 1 2 2 0 0 2 2 2 3 2 2 2 2 90 300 10 1 00 1 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ { } { }; cos ; ( ) , / ( cos ), / . , MM dU dt k wh U MU dU dX ou dU U CdX onde C k wh M Integrando U U CX o C X U U C m m ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ Ϫ ␳ ␪ ␳ ␪ ( cos , ( cos ) , ln , log ln ln , 1 1 1 1 800 100 300 1 37 10 2 0 0 3 1 )[ ]     CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM52
Resolvendo para h h MC k w h kg m kg m m kg m m h mm h , ( cos ) , , , cos , , ϭ Ϫ ϩ ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ␳ ␪1 8000 1 37 10 1 00 999 1 0 3 1 1 30 0 0179 17 9 3 3     °( ) ←  Problema 4.143 Dados: Foguete trenó com massa inicial de 4000 kg, incluindo 1000 kg de combustível. A resistência ao movimento é dada por kU com k ϭ 75 N/m/s. Determine: A velocidade do trenó 10 s após a partida do repouso. Plote: A velocidade e a aceleração do trenó como funções do tempo. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado. Equação básica: ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) ( )F F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz VC xyz xyz SC x x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Considerações: (1) pe ϭ patm (dado), logo F FS Rx ϭϪ . (2) FBx ϭ 0. (3) Despreze efeitos transientes dentro do VC. (4) Escoamento uniforme no plano de saída. Então, Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭϪ ϭ ϭϪF a M u m V m F kU VR rfx e e R e ˙ ˙ ,{ } { }ue Da continuidade, M M mtϭ Ϫ0 ˙ . Substituindo com a dU dt rfx ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ kU M mt dU dt V m dU dt V m kU M mt ou dU V m kU dt M mt Integrando k V m kU m M mt e e e e U t ( ˙ ) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ , ln ( ˙ ) ln ( ˙ ) 0 0 0 0 0 0 1 1 ] ] CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM53
e V m kU V m kU V m k m M mt M k m mt M Então kU V m mt M e U V m k mt M e e e e k m e k m ln ˙ ˙ ln ( ˙ ˙ ln ˙ ˙ ln ( ˙ , ˙ ( ˙ ˙ ˙ / ˙ / ˙ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ          ( )                 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0                 ←  Para t s U m s kg s m N s N s kg m kg s s kg N s m s kg kg m N s U m s U ϭ ϭ ϫ ϫ и ϫ и и Ϫ Ϫ ϫ ϫ и ϫ ϫ и и ϭ 10 1500 90 75 1 1 90 10 1 4000 75 90 344 2 2 / (1) Problema 4.145 Dados: Motocicleta com foguete de propulsão, para saltos, acelerando-se em pista horizontal. Velocidade necessária, Uj ϭ 875 km/h. Velocidade de descarga do foguete, Ve ϭ 2510 m/s. Massa total, MB ϭ 375 kg (sem combustível). Determine: A massa mínima de combustível necessária para alcançar Uj. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC em aceleração mostrado. Da continuidade, M M mtvc ϭ Ϫ0 ˙ Equação básica: Ϸ Ϸ0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )ϭ ϩ Ϫ ϫ ϭ ϩ иF F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz VC xyz SC xyzx x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Considerações: (1) Despreze resistências do ar e de rolamento. (2) Movimento horizontal, logo FBx ϭ 0. (3) Despreze efeitos transientes dentro do VC. (4) Escoamento uniforme no plano de saída do bocal. (5) Pe ϭ Patm. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM54
Então, Ϫ ϭ ϩ ϭϪ ϭ ϭ Ϫ ϭϪ a M u m V m ou dU dt V m M V m M mt u V rfx vc e e e vc e o e e ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ { } Separando variáveis e integrando, dU V mdt M mt ou U V M mt V M M mt Mas M M M e M mt por to U V M M M M M M M e o j e o o t e o o o B F F j e B F B F B F ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ˙ ˙ ln( ˙ ) ln ˙ ˙ , tan , ln ln ;                        1 1 BB U V F B Uj V F B Uj V F F e M M e Finalmente M M e M kg km h s m m km h s M kg M j e e e F ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ / / / ; , ( ) exp , 1 1 375 875 2510 1000 3600 1 38 1       ←  A massa de combustível requerida é cerca de 10% da massa da motocicleta ϩ motociclista. Problema 4.155 Dados: Tanque movimentado por jato ao longo de pista horizontal. Resistência desprezível. Aceleração a partir do repouso. Massa inicial, M0. Determine: (a) Aplique a continuidade e a componente x da quantidade de movimento para mostrar que M ϭ Mo V/(V Ϫ U) (b) Expressão geral para U/V como uma função do tempo. Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM55
Equações básicas: 0 0 1 0 2 0 3 ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀ ( ) ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t d V dA F F a d t u d u V dA VC xyz SC S B rfx VC xyz VC xyz SC xyzx x ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r ( ) ( ) )Ϸ Considerações: (1) FSx ϭ 0. (2) FBx ϭ 0. (3) Despreze u dentro do VC. (4) Escoamento uniforme no jato. Da continuidade, 0 ϭ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ∂ ∂ { }t M V U A ou dM dt V U Avc ␳ ␳( ) ( ) Da quantidade de movimento, Ϫ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϭϪ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ ϭ ϭ ϭ a M dU dt M u V U A V U V U A u V U Mas da continuidade V U A dM dt e dU d V U por to dU dt M d V U dt M V U dM dt ou M V U cons te M V Assim M M rfx o o ␳ ␳ ␳ ( ) ( ) ( ) ; , ( ) , ( ), tan , ( ) ( ) ( ) tan , { } [ ] VV V U M/( )Ϫ ←  Substituindo na quantidade de movimento, Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ dU dt M d V U dt M V V U V U Ao( ) ( ) ( )␳ 2 ou d V U V U A VM dt o ( ) ( ) Ϫ Ϫ ϭ Ϫ3 ␳ Integrando, d V U V U V U V A VM dt A VM t V V U oo t o ( ) ( ) ( ) Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ ϭϪ ϭϪ ␳Ϫ 3 2 2 1 2 1 1 ∫ ∫       ␳ Resolvendo, U V VA M t U V ϭ Ϫ ϩ ␳ 1 1 1 2 0 1 2                     ←  / CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM56
Problema 4.158 Enunciado: Vários fabricantes de brinquedos vendem “foguetes” de água que consistem de tanques de plástico que são parcialmente enchidos com água e pressurizados, em seguida, com ar. Quando liberado, o ar comprimido força a água rapidamente para fora do bocal, impulsionando o foguete. Você foi chamado para auxiliar na especificação das condições ótimas para o sistema de propulsão a jato d’água. Para simplificar a análise, considere apenas o movimento horizontal. Faça a análise e o projeto necessários para definir o desempenho de aceleração do foguete com propulsão a jato d’água e ar comprimido. Identifique a fração do volume do tanque que deveria ser inicialmente preenchido com ar comprimido para alcançar o desempenho ótimo (isto é, a máxima velocidade obtida com a carga d’água). Descreva o efeito da mudança na pressão inicial do ar no tanque. Discussão: O processo pode ser modelado como uma expansão politrópica do ar aprisionado que força um jato d’água a sair pelo bocal, causando a aceleração do “foguete”. O expoente politrópico pode ser variado para modelar qualquer coisa entre um processo de expansão isotérmica (n ϭ 1) até um processo de expansão adiabática (n ϭ k), o qual é provavelmente o modelo mais adequado para a expansão súbita do ar. A velocidade do jato d’água deixando o “foguete” é proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão entre o tanque e a atmosfera. Qualitativamente, é aparente que, quanto menor for a fração inicial em volume de ar aprisionado, maior será a razão de expansão do ar e mais rápida será a redução da pressão quando o ar se expande. Isto causará uma queda rápida na velocidade do jato d’água. A combinação da baixa velocidade do jato d’água e a massa relativamente grande de água produzirá uma aceleração lenta. O aumento na fração inicial em volume de ar reduzirá a razão de expansão, logo, pressões mais altas serão mantidas por mais tempo no tanque e o jato d’água manterá velocidades maiores por tempos mais longos. Isto, combinado com a massa relativamente pequena de água no tanque, produzirá aceleração rápida. Se a fração inicial em volume de ar é muito grande, toda a água será gasta antes que a pressão do ar seja reduzida significativamente. Nesta situação, uma parte da energia do ar armazenado será dissipada num jato de ar relativamente ineficaz. Conseqüentemente, para cada pressão inicial no tanque existe uma fração ótima de ar. Este problema não pode ser resolvido com formulação analítica devido às variações na pressão e na vazão mássica do ar e na massa de água no tanque; ele só pode ser resolvido numericamente. Um possível esquema de integração é dar incrementos de tempo e resolver para todas as propriedades do sistema em cada instante. A desvantagem deste esquema é que a água é exaurida em um incremento de tempo par, o que não é de todo razoável. Um segundo esquema é dar incrementos ao volume de água remanescente e resolver para as propriedades, usando a vazão média durante o intervalo. Este esquema é delineado a seguir. Modele o “foguete” com propulsão a jato de água e ar, usando o VC e as coordenadas mostradas. Primeiro, escolha as dimensões e a massa do “foguete” a ser simulado: Dados de Entrada: Diâmetro do jato: Dj ϭ 0,003 m Diâmetro do tanque: Dt ϭ 0,035 m Comprimento do tanque: L ϭ 0,1 m Massa do tanque: Mt ϭ 0,01 kg Expoente politrópico: n ϭ 1,4 — Em seguida, escolha condições iniciais para a simulação (veja exemplo de cálculos a seguir): Água Ar CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM57
Condições Iniciais: Fração de ar no tanque: ␣ ϭ 0,5 — Pressão no tanque: p0 ϭ 200 kPa (manométrica) Incremento de volume: ⌬␣ ϭ 0,02 — Calcule parâmetros de referência: Parâmetros Calculados: Área do jato: Aj ϭ 7,07E-06 m2 Volume do tanque: ᭙t ϭ 9,62E-05 m3 Massa inicial de ar: ᭙0 ϭ 4,81E-05 m3 Massa inicial de água: M0 ϭ 0,0481 kg (Estes parâmetros são usados na planilha a seguir.) Diminua, então, a fração de água no tanque de ⌬␣: Resultados dos Cálculos: Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração Velocidade Fração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do de Água Manométrica de Água Mw Vj (m/s) dm/dt ⌬t t (s) “Foguete”, a “foguete”, U ᭙w/᭙t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2 ) (m/s) 0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 0 0,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668 O cálculo é feito como segue: (1) Diminua ␣ de ⌬␣ (2) Calcule p de p po o n ϭ ∀ ∀     p kPa kPa manométricaϭ ϩ Ϫ ϭ( , ) , , , , ( ) , 200 101 325 0 50 0 52 101 325 183 9 1 4       (3) Use Bernoulli para calcular a velocidade do jato V p N m m kg kg m N s m sj ϭ ⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ 2 2 183 9 10 999 19 103 2 3 2 1 2 ␳ , , / *       (4) Calcule a massa de água usando ␣ (5) Use a conservação da massa para calcular a vazão CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM58
˙ , , , /m V A kg m m s m kg sj jϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭϪ ␳ 999 19 10 7 07 10 0 13493 6 2 (6) Use a vazão média durante o intervalo para aproximar ⌬t: ⌬ ϭ ⌬ ϭ ⌬ ϭ Ϫ ϫ ϭt m dm dt m m kg s kg s / ˙ ( , , ) , , *0 0481 0 0461 0 138 0 01449 (7) Use a quantidade de movimento para calcular a aceleração (note que M ϭ Mw ϩ Mt): a mV M kg s m s kg m srfx j ϭ ϭ ϫ ϫ ϩ ϭ ˙ , , , , , / * 0 135 19 2 1 0 0461 0 0100 46 2 2 (8) Finalmente, use a aceleração média para obter a velocidade U U a t m s m sϭ ϩ ⌬ ϭ ϩ ϫ ϭ0 2 0 48 1 0 01395 0 669, , , / * Repita esses cálculos até que a água seja esgotada ou a pressão do ar caia a zero, como mostrado a seguir: Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração Velocidade Fração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do de Água Manométrica de Água, Mw Vj (m/s) dm/dt ⌬t t (s) “Foguete”, a “Foguete”, U ᭙w/᭙t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2 ) (m/s) 0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 0 0,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668 0,46 169 0,0442 18,4 0,130 0,0145 0,0284 45,2 1,34 0,44 156 0,0423 17,7 0,125 0,0151 0,0435 43,1 2,01 0,42 143 0,0404 16,9 0,120 0,0157 0,0592 41,2 2,67 0,40 132 0,0384 16,3 0,115 0,0164 0,0756 39,4 3,33 0,38 122 0,0365 15,6 0,110 0,0171 0,0927 37,8 3,99 0,36 112 0,0346 15,0 0,106 0,0178 0,110 36,2 4,65 0,34 103 0,0327 14,4 0,101 0,0186 0,129 34,8 5,31 0,32 94,6 0,0308 13,8 0,0972 0,0194 0,148 33,5 5,97 0,30 86,8 0,0288 13,2 0,0931 0,0202 0,169 32,2 6,63 0,28 79,5 0,0269 12,6 0,0891 0,0211 0,190 31,0 7,30 0,26 72,7 0,0250 12,1 0,0852 0,0221 0,212 29,9 7,97 0,24 66,3 0,0231 11,5 0,0814 0,0231 0,235 28,9 8,65 0,22 60,4 0,0211 11,0 0,0776 0,0242 0,259 27,9 9,34 0,20 54,7 0,0192 10,5 0,0739 0,0254 0,284 26,9 10,0 0,18 49,4 0,0173 9,95 0,0702 0,0267 0,311 26,0 10,7 0,16 44,4 0,0154 9,43 0,0666 0,0281 0,339 25,2 11,5 0,14 39,7 0,0135 8,92 0,0630 0,0297 0,369 24,3 12,2 0,12 35,2 0,0115 8,40 0,0593 0,0314 0,400 23,5 12,9 0,10 31,0 0,00961 7,88 0,0556 0,0334 0,434 22,7 13,7 0,08 27,0 0,00769 7,35 0,0519 0,0357 0,469 22,0 14,5 0,06 23,2 0,00577 6,81 0,0481 0,0384 0,508 21,2 15,3 0,04 19,6 0,00384 6,26 0,0442 0,0416 0,550 20,4 16,2 0,02 16,1 0,00192 5,68 0,0401 0,0456 0,595 19,5 17,1 0,00 12,9 0,0000 5,07 0,0358 0,0506 0,646 18,6 18,1 *Note o efeito do erro de arredondamento. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM59
Nesta simulação, a água é esgotada quando t Ϸ 0,65 s; Vmáx ϭ 18,1 m/s. Mudanças na fração inicial de ar produzem o seguinte: Para essa combinação de parâmetros, uma velocidade máxima de cerca de 20,8 m/s é atingida com uma fração inicial de ar de 0,66, aproximadamente. Problema 4.159 Dados: Jato vertical incidindo sobre um disco. O disco pode mover-se livremente na vertical. Determine: (a) Equação diferencial para h(t), se o disco for solto de uma altura H Ͼ h0, sendo h0 a altura de equilíbrio. (b) Esboce h(t) e explique. Solução: Aplique a equação de Bernoulli ao jato e, em seguida, a componente y da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear. Equações básicas: ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 2 2 0 6 0 7 0 0 2 0 1 1 2 1 p V gz p V gz F a d t v d v V dAB rfy VC xyz VC xyz SC xyzy ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ( ) ( )Ϸ FSy ∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Velocidademáxima,Vmáx(m/s) Fração inicial de ar, ␣(––) (manométrica) CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM60
Considerações: (Os itens de 1 a 4 aplicam-se apenas ao jato.) (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Atrito desprezível. (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (5) p1 ϭ p0 ϭ patm. (6) Nenhuma força de pressão sobre VC, logo FSy ϭ 0. (7) Massa de líquido desprezível no VC e v Ϸ 0 no VC. (8) Escoamento uniforme em cada seção. (9) Velocidades medidas em relação ao VC. Da quantidade de movimento Ϸ Ϸ Ϸ 0 7 0 7 0 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ , , Ϫ ϩ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ ␻ ␻M m g a M m v V U A v m v V U v Com a d h dt U dh dt então Mg M d h dt V dh dt A rfy rfy ␳ ␳ { } { }     Mas, de Bernoulli, V V gz por to V V gh pois z h t1 2 0 2 1 1 0 2 1 2 2 2ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ, tan , , ( ) Também da continuidade, V1A1 ϭ V0A0, logo, A1 ϭ A0V0/V1. Substituindo, d h dt V gh dh dt A V M V gh g Eq Diferencial p h t Para a altura de equilíbrio h h dh dt e d h dt Então V gh A V Mg E assim V gh Mg V o o o o o o o o o o o o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ␳ ␳ ␳     ←  . / ( ) , , . , , AAo       2 Esta equação pode ser resolvida para obter h V g Mg V A V g Mg mV o o o o o o ϭ Ϫ ϭ Ϫ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ␳                            ˙ CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM61
Quando o disco é liberado, H Ͼ h0 e dh/dt ϭ 0. Visto que a equação para d2 h/dt2 é não-linear, oscilações ocorrerão. O comportamento esperado é esboçado a seguir: Notas: (1) Oscilações esperadas. (2) ⌬h3 Ͻ ⌬h2 Ͻ ⌬h1, devido à equação não-linear. Problema *4.163 Enunciado: Uma demonstração em classe da quantidade de movimento linear é planejada, usando-se um sistema de propulsão a jato d’água para um carrinho trafegando sobre uma pista reta horizontal. O comprimento da pista é de 5 m e a massa do carrinho é de 155 g. O objetivo do projeto é obter o melhor desempenho para o carrinho, usando 1L de água contida em um tanque cilíndrico aberto feito de folha plástica com massa específica de 0,0819 g/cm3 . Para estabilidade, a altura máxima do tanque de água não pode exceder 0,5 m. O diâmetro do orifício bem arredondado do jato d’água não pode exceder 10% do diâmetro do tanque. Determine as melhores dimensões para o tanque e para o jato d’água, modelando o desempenho do sistema. Plote aceleração, velocidade e distância como funções do tempo. Determine as dimensões ótimas para o tanque de água e para o orifício do jato no tanque. Discuta as limitações de sua análise. Discuta como as suposições afetam o desempenho previsto para o carrinho. Seria o desempenho real do carrinho melhor ou pior do que o previsto? Por quê? Que fatores influenciam a(s) diferença(s)? Discussão: A solução é uma extensão do Problema *4.162. A análise para o nível do tanque, aceleração e velocidade é idêntica; retorne à solução do Problema *4.162 para as equações que descrevem cada uma dessas variáveis como funções do tempo. Um novo aspecto deste problema é o cálculo da distância percorrida. A Eq. 7 do Problema *4.162 poderia ser integrada analiticamente para fornecer uma equação para a distância percorrida como uma função do tempo. Contudo, a integral seria confusa e não levaria a um bom entendimento da dependência dos parâmetros chaves. Conseqüentemente, uma análise numérica foi escolhida neste problema. Os resultados são apresentados em gráficos e planilhas a seguir. Nós decidimos escolher velocidade como a saída a ser maximizada. Um segundo novo aspecto deste problema é a restrição geométrica: o comprimento máximo da pista é de 5 m. Intuitivamente, o diâmetro do jato seria escolhido como a maior fração possível do diâmetro do tanque para o desempenho ótimo. Usando a planilha para variar ␤ ϭ d/D confirmamos esta escolha. Então, usamos a razão máxima permitida, ␤ ϭ 0,1, para todos os cálculos. A altura do tanque deve ser um fator de desempenho. A intuição sugere que aumentar a altura do tanque melhora o desempenho. A planilha mostra uma dependência muito fraca com a altura. O desempenho é melhor para alturas pequenas do tanque, correspondendo ao mínimo de massa no tanque. Quando a altura do tanque diminui, o diâmetro aumenta porque o volume do tanque é mantido constante. Como a razão de diâmetros é constante, o diâmetro do jato aumenta com a diminuição da altura do tanque. Este efeito praticamente anula o efeito da altura do tanque. As principais limitações na análise são as suposições de resistência desprezível ao movimento e de inclinação zero para a superfície livre da água no tanque. O desempenho real do carrinho seria, provavelmente, menor do que o previsto por causa da resistência ao movimento. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM62
A distância é modelada como x x U t a ti i x iϩ ϭ ϩ ⌬ ϩ ⌬1 1 2 1 2 , A incerteza deste modelo para a posição é consistente com a incerteza do modelo do sistema de propulsão a jato d´água. Análise do carrinho impulsionado por jato d´água criado por gravidade: Dados de Entrada: g ϭ 9,81 m/s2 Aceleração da gravidade H ϭ 500 mm Altura do tanque Mc ϭ 0,155 kg Massa do carrinho ᭙ ϭ 1,00 L Volume do tanque ␤ ϭ 0,100 (—) Razão do diâmetro do jato para o diâmetro do tanque ␳ ϭ 999 kg/m3 Massa específica da água ␳ЈЈ ϭ 0,819 kg/m2 Massa específica do material do tanque (por área) Parâmetros Calculados: a ϭ 0,471 (—) (a2 ϭ) Razão da massa do tanque para a massa inicial de água b ϭ 0,0313 sϪ1 Parâmetro geométrico da solução d ϭ 5,05 mm Diâmetro do jato d’água D ϭ 50,5 mm Diâmetro do tanque Mc ϭ 1,00 kg Massa inicial de água no tanque Mp ϭ 0,0666 kg Massa de plástico do tanque Mt ϭ 0,222 kg Massa de plástico do tanque mais carrinho Resultados dos Cálculos: Tempo, Nível Aceleração Velocidade Posição t y/H ax U X (s) (—) (m/s2 ) (m/s) (m) 0 1 0,161 0 0 0,5 0,903 0,160 0,080 0,0201 1,0 0,810 0,159 0,160 0,080 1,5 0,723 0,158 0,239 0,180 2,0 0,640 0,157 0,317 0,319 2,5 0,583 0,158 0,395 0,497 3,0 0,490 0,154 0,473 0,714 3,5 0,423 0,153 0,550 0,97 4,0 0,360 0,152 0,626 1,26 4,5 0,303 0,151 0,702 1,60 5,0 0,250 0,150 0,777 1,97 5,5 0,203 0,148 0,852 2,37 6,0 0,160 0,147 0,925 2,82 6,5 0,123 0,145 1,00 3,30 7,0 0,0900 0,144 1,07 3,82 7,5 0.0625 0,142 1,14 4,37 8,0 0,0400 0,141 1,21 4,96 8,03 0,0388 0,141 1,22 5,00 9,0 0,0100 0,137 1,35 9,5 0,0025 0,135 1,42 10,0 0,0000 0,133 1,49 CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM63
Problema *4.167 Dados: Borrifador de irrigação montado sobre um carrinho. V ϭ 40 m/s ␪ ϭ 30° D ϭ 50 mm Escoamento de água h ϭ 3 m M ϭ 350 kg Nível de Água, Aceleração,Velocidade e Distância versus Tempo Nível,Aceleração,VelocidadeeDistância Tempo, t (s) Tempo, t (s) Distância Nível de água Velocidade Aceleração Distância,X(m) Distância versus Tempo CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM64
Determine: (a) Magnitude do momento que tende a derrubar o carrinho. (b) Valor de V de movimento iminente; natureza do movimento iminente. (c) Efeito da inclinação do jato sobre os resultados. Plote: Velocidade do jato como uma função de ␪ para o caso de movimento iminente. Solução: Aplique a equação de momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo mostrado. A origem de coordenadas está no chão junto à roda esquerda do carrinho. Com este sistema de coordenadas, momentos no sentido anti-horário são positivos (em torno do eixo z). Equação básica: ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и 0 1 0 2( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r F r g d T t r V dV r V V dAs VC s SC VC ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂∫ ∫∫∫ Considerações: (1) r Ts ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme na saída do bocal. (4) Despreze r r r Vϫ do escoamento de entrada. (5) Centro de massa localizado em x ϭ w/2. (6) O comprimento do bocal é pequeno; as coordenadas da saída do bocal são (x2, y2) ϭ (W/2, h). Então, ϭ ϫ ϩ ϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ ␪ Ϫ Ϫ ϭ 0 4 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( ) ˆ ˆ (cos ˆ) ˆ ˆ ˙ ˆ cos ˙ ˆ ˙ r r r r r r r r r F r Mg r V V A r V V A r W ı hj V V i sen j e WN k W Mg k W V sen m k h V m k WN W Mg mV W S ␳ ␳ ␪ ␪ ␪ { } { } 22 sen h␪ ␪Ϫ cos    (1) CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM65
Reescrevendo a Eq. 1 na forma ΑM3 ϭ 0 {para equilíbrio estático} WN W Mg m V h W sen4 2 2 0Ϫ ϩ Ϫ ϭ˙ cos␪ ␪    (2) O último termo na Eq. 2 é o momento (devido ao jato) que tende a derrubar o carrinho. Avaliando, ˙ ˙ ( , ) / , / m A V D V m kg m m m s kg s ϭ ␳ ϭ ␳ ␲ ϭ ϫ ␲ ϫ ϭ 2 2 2 2 3 2 2 4 999 4 0 05 40 78 5 Portanto, com V2 ϭ 40 m/s, Momento do jato kg s m s N s kg m m m sen Momento kN m Momentojato jato ϭ ϫ ϫ и и Ϫ ϭ и 78 5 40 3 30 1 5 2 30 6 98 2 , cos , , ° °    ←  Para o caso de tombamento iminente (em torno do ponto 3), N4 → 0 e, da Eq. 2, Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϪϪ W Mg m V h W sen o Para resolver para V escreva m A V V WMg A h W sen V m kg m s m kg m sen m V 2 2 2 2 1 5 2 350 9 81 999 1 1 96 10 1 3 30 0 75 30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 ˙ cos , ˙ cos , , , ( cos , ) ␪ ␪ ␳ ␳ ␪ ␪         ° 22 2 2 2592 24 3 2ϭ ϭm s V m s V/ , /∴ ←  (3) Assim, a velocidade máxima permitida sem tombamento é menor do que o valor sugerido. O movimento iminente será de inclinação desde que F3 Ͻ µN3. Da equação de quantidade de movimento segundo x f mV3 2ϭ ˙ cos ␪ Da equação de quantidade de movimento segundo y N Mg mV sen3 2ϭ ϩ ˙ ␪ CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM66
Para inclinação, µ Ͼ 0,377 Da Eq. 2, deduzimos que, quando ␪ aumenta, a tendência para tombar diminui. Para tombamento iminente, da Eq. 3, V W Mg A h W sen ϭ Ϫ2 2 2 1 2 ␳ ␪ ␪cos /                 Problema *4.172 Dados: Regador de jardim girando no plano horizontal. Despreze o atrito. Q ϭ 68 L/min. Determine: A velocidade angular em regime permanente para ␪ ϭ 30°. Plote: Velocidade angular em regime permanente para 0 Յ ␪ Յ 90°. Solução: Escolha VC rotativo. Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, Eq. 4.53. Velocidadedojato,Vjato(m/s) Velocidade do jato para tombamento iminente Ângulo, ␪ (graus) (Gira) CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM67
Equação básica: ϭ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ и 0 1 0 2 0 3 0 5 0 6 2 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r r F r g d T r V r r d t r V d r V V dA S VC eixo xyz VC xyz VC xyz SC xyz ∫ ∫ ∫ ∫ ∀ [ ] ∀ ∂ ∂ ∀ ␳ ␳ ␳ ␳ Considerações: (1) r FS ϭ 0. (2)Torques de campo anulam-se. (3) r Teixo ϭ 0. (4)Arrasto aerodinâmico desprezível. (5) Nenhuma componente ˆk da aceleração centrípeta. (6) Escoamento permanente. (7) L Ӷ R. Analise um braço do regador. Da geometria, r r r ri r Riϭ ϭˆ , ˆno VC no jato. Então, Ϫ ϫ ␻ ϫ ϭ ϫ Ϫ ϭϪ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ Ϫ ϭϪ␻ Ϫ␻ ϭϪ ϭ ␻ ϭ ϭ r r r r V d Ri Vsen j Q QRV sen k ri k Vi Vr k VR A k E inando k VR A QRV sen por to com VA Q V R sen V Q xyz VC VC 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 [ ] ∀∫ ∫ ␳ ␪ ␳ ␳ ␪ ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ˆ ( ˆ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ) ˆ; ˆ lim ˆ, , tan , / , ; AA Q d m m s m s m s m sen sen rad s ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϭ ␪ ␻ Ϫ 4 3 4 3 68 10 1 0 00635 60 11 9 11 9 1 0 152 78 3 2 3 3 2 2 ␲ ␲ ␪ min ( , ) min , / , , , / ←  Traçando os gráficos: (graus) Para Gráfico CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM68
Problema *4.174 Dados: Tubo rotativo simples com água. Q ϭ 13,8 L/min. Determine: O torque que deve ser aplicado para manter rotação em regime permanente usando: (a) Volume de controle rotativo. (b) Volume de controle fixo. Solução: Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, ␻ ϭ ϭ33 1 3 3 49 rev rad s min , /      (a) VC rotativo: use velocidades relativas, Eq. 4.53. Equação básica: ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ␳ и 0 1 0 2 0 3 0 4 2 0 5 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r r r r F r g d T r V r r d t r V d r V V d S VC eixo xyz VC xyz VC xyz SC xyz ␳ ␳ ␳ ∀ [ ] ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫ ∫ AA Considerações: (1) r FS ϭ 0. (2) Torques de campo anulam-se. (3) Nenhuma componente ˆk da aceleração centrípeta. (4) r˙ .␻ ϭ 0 (5) Escoamento permanente. (6) r r r Vϫ ϭ 0. Então, T k r V d rı k Vı Adr VAR k Q R k T rad s kg m m m s N s kg m N m T eixo o R VC eixo ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ) ˆ ˆ , , min ( , ) min , ϭ ϫ ␻ ϫ ϭ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ иϪ r r r 2 2 3 49 999 13 8 10 0 3 60 0 0722 2 2 3 3 3 2 2 2 ␳ ␳ ␳ ␳∀ ←  ∫∫ (b) VC fixo: use velocidades absolutas, Eq. 4.47. CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM69
Equação básica: ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и 0 1 0 2( ) ( ) r r r r r r r r r r r F r g d T t r V d r V V dAS eixo VC xyz SCVC ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫∫ Em relação às coordenadas fixas XY, r r r r r r ı sen j V V ı sen j r sen ı j r V i j k r rsen o V r sen Vsen r o k rVsen r rvsen r sen r k Dessa forma ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ␻ Ϫ ϩ ϫ ϭ Ϫ ␻ ϩ ␻ ϭ ϩ ␻ Ϫ ϩ ␻ ϭ␻ (cos ˆ ˆ) (cos ˆ ˆ) ( ˆ cos ˆ) ˆ ˆ ˆ cos cos cos ˆ ( cos cos cos ) ˆ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ 2 2 2 2 2 2 2 ,, / ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( )); , ∂ ∂ { } ←  ∫t e r V V dA R k Q Q R k e T k Q R k como no caso a T N m T SC xyz eixo ϭ ϫ и ϭ ␻ ϩ ϭ ␻ ϭ ␻ ϭ и 0 0 0722 2 2 2 r r r r ␳ ␳ ␳ ␳ {Note que, quando aplicadas corretamente, as duas escolhas de VC produzem o mesmo resultado.} Problema *4.175 Dados: Pequeno regador rotativo de jardim conforme mostrado. O torque de atrito no pivô é zero. I ϭ 0,1 kgиm2 . A vazão é Q ϭ 4,0 L/min. Determine: Aceleração angular inicial, a partir do repouso. Solução: Aplique o momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo confinando os braços do regador. Equação básica: Ӎ 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и r r r r r r r r r r r r F r g d T t r V d r V V dAS VC eixo VC SC ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ suprimento (manométrica) CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM70
Considerações: (1) Despreze torque devido a forças de superfície. (2) Torques de forças de campo cancelam-se por simetria. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada jato. Então, Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϫ ϫ ϭ ϭ ␻ Ϫ ϩ␪ T k r V Q r V Q r V r Ri V R V i V sen i eixo entrada jato entrada r rel re z ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ( cos )ˆ ˆ r r r r r r r r ␳ ␳ ␣ ␣ { }       2 1 2 0 1 Ӎ O jato sai do regador a r V abs V i sen irel z( ) cos ( ˆ ) (ˆ )ϭ Ϫ ϩ␣ ␣␪[ ] Portanto, r r r V Ri V i sen i RV i sen ir rel z rel zϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫˆ cos ( ˆ ) (ˆ ) cos ( ˆ ) ( ˆ )␣ ␣ ␣ ␣␪ ␪[ ] [ ] Somando os momentos sobre o rotor, Α r r M Iϭ ␻ . Dessa forma, ˙ cos min , , min , , ˙ , / ˙ ␻ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ и ϫ и и и ␻ ϭ ␻ ΑT I QRV T I kg m L m m s m L s N m kg m N s kg m rad s rel eixo␳ ␣ 999 4 0 2 17 0 866 1000 60 0 18 1 0 1 0 161 3 3 2 2 2       ←  {Não é necessário usar um VC rotativo porque, para o instante considerado, r ␻ ϭ 0 e I é conhecido.} Problema *4.178 Dados: Conjunto de bocal girando em regime permanente, conforme mostrado no esquema Coordenadas xyz giram com VC VC rotativo Coordenadas XYZ são fixas CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM71
Determine: (a) Torque requerido para mover o conjunto. (b) Torques de reação no flange. Solução: Aplique a equação do momento da quantidade de movimento ao VC rotativo mostrado. Equação básica: Ϸ 0 2 0 3 0 5 0 7 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r F r g d T r V r r d t r V d r V V dA S VC eixo VC xyz xyz VC xyz VC xyz ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ϭ ϫ ϩ ϫ и ∫ ∫ ∫ ∫ ∀ [ ] ∀ ∂ ∂ ∀ ␳ ␳ ␳ ␳ Considerações: (1) r TVC representa todos os torques atuando sobre o VC. (2) Despreze torque devido à força de campo. (3) Velocidade angular constante. (4) Despreze a massa do braço comparada com a massa de água no seu interior. (5) Escoamento permanente no VC. (6) Despreze comprimento do bocal comparado com L. (7) r r colinear com r V, logo, r r r Vxyzϫ ϭ 0. Então, r r r r r r r r r r r r r r r r r r T r V r d Posto que k e r l sen ı k então r l sen j r k l sen j l sen ı e r r VC xyz VC ϭ ϫ ␻ ϫ ϩ␻ ϫ ␻ ϫ ␻ ϭ ␻ ϭ ϩ ␻ ϫ ϭ ␻ ␻ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ ϫ␻ ϭ ␻ Ϫ ϫ ␻ ϫ ␻ ϫ 2 2 ( ) ˆ ( ˆ cos ˆ), ˆ ( ) ˆ ˆ ( ˆ) ( ) [ ] ∀ [ ∫ ␳ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ]] [ ] ϭ ϩ ϫ␻ Ϫ ϭ ␻ Ϫ ϭ ϩ ␻ ϫ ϭ ␻ ϫ ϩ ϭ ␻ ϫ ␻ ϫ ϭ l sen ı k l sen ı l sen j Posto que V V sen ı k então V k V sen ı k V sen j e r V l sen ı xyz VC xyz VC VC xyz ( ˆ cos ˆ) ( ˆ) cos ( ˆ) ( ˆ cos ˆ), ˆ ( ˆ cos ˆ) ˆ ( ˆ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r ϩϩ ϫ ␻ ϭ ␻ ϩ ␻ Ϫ cos ˆ) ˆ ˆ cos ( ˆ) ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ k V sen j l V sen k l V sen ı VC VC VC 2 2 2 2 Substituindo e introduzindo d dl∀ ∀ϭ , r r T lV sen i l sen j lV sen k Adl T L V sen i L sen j L V sen k A VC VC VC L VC VC VC ϭ Ϫ ␻ Ϫ ␻ ϩ ␻ ␳ ϭ Ϫ ␻ Ϫ ␻ ϩ␻ ( cos ˆ cos ˆ ˆ) cos ˆ cos ˆ ˆ 2 2 3 2 2 2 0 2 2 3 2 2 ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␳ ∫     CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM72
O torque de eixo necessário para manter a rotação do conjunto em regime permanente é T T L V sen A L Q A sen A Q L sen kg m m s rev m rad rev s N s kg m T N m T eixo VCz VC eixo eixo ϭ ϭ ␻ ␳ ϭ ␻ ␳ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ и 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 999 0 15 30 0 5 0 5 2 60 29 4 ␪ ␪ ␳ ␪ ␲, min ( , ) ( , ) min , ←  Os momentos de reação atuando sobre o flange são M T L V sen A QU L sen kg m m s rev m rad rev s N s kg m M N m aplicado a flange VC M x VC VC x x x ϭϪ ϭ ␻ ␳ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ и 2 2 3 3 2 2 2 999 0 15 30 0 5 0 5 0 866 2 60 51 0 ␪ ␪ ␳ ␪ ␪ ␲ cos cos , min ( , ) ( , )( , ) min , ( sobre pelo ←  MM T L A sen kg m rev rad rev s m m N s kg m M N m aplicado a flange VC M y VC y y y ϭϪ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ и 1 3 1 3 999 30 2 60 0 5 4 0 1 0 5 0 866 140 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 ␳ ␪ ␪ ␲ ␲ cos min min ( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( )       ← sobre pelo  {Torques causados por massas de água, tubo e bocal devem ser considerados no projeto global.} Problema 4.182 Dados: Compressor, ˙ ,m ϭ1 0 kg/s. p kPa abs T K V m s 1 1 1 101 288 75 ϭ ϭ ϭ ( ) / CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM73
Determine: A potência requerida. Solução: Aplique a primeira lei da termodinâmica, usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ и 0 1 0 2( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ( )Q W W t e d e pv V dAs cisalhamento SCVC ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ r r Considerações: (1) ˙ .Wcisalhamento ϭ 0 (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Despreze ⌬z. (5) Gás ideal, p RT h Cp T Cp kJ kg kϭ ⌬ ϭ ⌬ ϭ и␳ , ; , / .1 00 (6) Da continuidade, ˙ ˙ ˙.m m m1 2ϭ ϭ Então, Ϸ Ϸ0 4 0 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ˙ ˙ ( ) ˙ ( ) ˙ , ˙ ˙ , tan , ˙ ˙ ˙ Q W u V gz p v m u V gz p v m Note que h u pv e Q m dQ dm por to W W m V V h h dQ dm s entrada s Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϭ ϩ ϭ ϭϪ ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ { } { }       ϭϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϫ и и ϫ и ϩ и Ϫ Ϫ Ϫ и ϭ ˙ ( ) ˙ , ( ) ( ) , ( ) ˙ , ˙ m V V cp T T dQ dm ou W kg s m s N s kg m kJ N m kJ kg k K kJ kg kW s kJ W kW entrada entrada 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 125 75 1000 1 00 345 288 18 80 0        [ ]          WWentrada ←  Problema 4.184 Dados: Escoamento através de turbomáquina conforme mostrado. O fluido é ar. (da atmosfera) (manométrica) CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM74
˙ , / ( ) m kg s T K p kPa abs i ϭ ϭ ϭ 0 8 288 1011 Determine: O trabalho de eixo. Solução: Aplique a equação da energia, usando o VC mostrado. Equação básica: p RT h C T Q W W W t e d u v V gz V dAs cisalhamento outros VC SC ϭ ⌬ ϭ ⌬ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) 0 1 2 0 2 0 3 0 5 2 2 ∂ ∂ ∀∫ ∫ r r Considerações: (1) Ar comporta-se como gás ideal com calor específico constante. (2) ˙Wcisalhamento ϭ 0 pela escolha do VC; ˙ .Woutros ϭ 0 (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Despreze ⌬z. (6) V1 Ϸ 0. (7) ˙ .Q ϭ 0 Por definição, h ϵ u ϩ pv, logo, Ӎ 0 (1) Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ , W h V m h V m m h h V ou W m h h V m C T T V kg s s s p 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 8 1       { }       { }             ( )    ,, . ( ) ( ) ˙ , ˙ , ˙ 00 403 288 100 10 96 0 96 0 2 2 2 2 3 kJ kg k K m s N s kg m kJ N m kW s kJ W kW ou W kW Ws s s Ϫ ϩ ϫ и и ϫ и и Ϫ ϭ ϭ Ϫ       ←  {A potência entra no VC porque ˙ .Ws Ͻ 0 } CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM75
Problema 4.186 Dados: Garrafa, ᭙ ϭ 10 ft3 , contém ar comprimido a p ϭ 3000 psia, T ϭ 140°F. Em t ϭ 0, ˙ , / .m ϭ 0 105 lbm s Determine: ∂ ∂ T t em t ϭ 0. Solução: Use o VC mostrado. Equação básica: 0 0 1 0 2 0 3 0 3 0 4 0 5 2 2 2 2 ϭ ϩ и Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и ϭ ϩ ϩ ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ t d V dA Q W W W t e d u pv V gz V dA e u V gz VC SC S cisalhamento outros SCVC ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) Ϸ Ϸ Considerações: (1) ˙Q ϭ 0 (isolado). (2) ˙ .Ws ϭ 0 (3) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (4) Despreze V2 . (5) Despreze ⌬z. (6) Gás perfeito, u ϭ cvT. (7) Propriedades uniformes na garrafa e na saída. Da continuidade, O M t m M t mVC VC ϭ ϩ ϭϪ ∂ ∂ ∴ ∂ ∂ ˙ ˙ Da primeira lei, O t u d u p m u M t M u t u p m O u m M T t u p mCV ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϩ ∂ ∂ ∀       ∂ ∂ ∂ ∂       ∂ ∂       ∫ ␳ ␳ ␳ ␳ ˙ ˙ ( ˙ ) ˙ CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM76
Dessa forma, ∂ ∂ ∀ ∀ ° ° ∴ ∂ ∂ ° T t m p M c m p c m p c Onde p RT lbf in in ft lbm R ft lbf R lbm ft T t lbm s lbf in in ft ft lbm R Btu Btu ft V V V ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ и и ϫ ϭ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и ϫ и ˙ / ˙ ˙ , , , , ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3000 144 53 3 1 600 13 5 0 1 3000 144 1 10 0 171 778 lbflbf ft lbm T t R s T t ϫ ϭ Ϫ 1 13 5 0 178 2 6 2 ( , ) , / ∂ ∂ ° ∂ ∂←  Problema 4.187 Dados: Sistema de bombeamento conforme mostrado. ␩bomba ϭ 0,75. Determine: A potência requerida. Solução: Aplique a primeira lei ao VC mostrado, notando que o escoamento entra com velocidade desprezível na seção ቢ. Equação básica: ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ и ϭ ϩ ϩ 0 1 0 1 0 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( )Q W W W t e d e p V dA e u V gz eixo cisalhamento outros SCVC ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ r r Considerações: (1) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (2) Escoamento permanente. (3) V1 Ϸ 0. (4) z1 Ϸ 0. (5) p1 ϭ 0 (manométrica). (6) Escoamento uniforme em cada seção. (7) Escoamento incompressível; V1A1 ϭ V2A2. (manométrica) água CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM77
Então, Ӎ 0 3 0 4 0 5 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ Ϫ Ϫ ␦ Q W u V gz p m u V gz p m ou W m p V gz u u Q dm s s ␳ ␳ ␳       { }       { }           Obtenha a potência de entrada ideal ou mínima desprezando efeitos térmicos. Assim, Ϫ ϭ ␳ ϩ ϩ˙ ˙,W m p V gzs ideal 2 2 2 2 2       Para o sistema, ˙ ( , ) , / ˙ , , ( ) , ˙ , , m V A kg m m s m kg s e W kg s N m m kg m s N s kg m m s m N s kg m W N m s ideal s ideal ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ и и ϩ ϫ ϫ и и ϭϪ и ␳ ␲ 2 2 3 2 2 5 2 3 2 2 2 2 2 2 999 3 4 0 075 13 2 13 2 1 70 10 999 1 2 3 9 81 2 2560       ss kW s N m kW Finalmente W W kW kW Ws real s ideal s real ϫ и и ϭϪ ϭ ␩ ϭ Ϫ ϭϪ 10 2 56 2 56 0 75 3 41 3 , , ˙ ˙ , , , ˙ , , , ←  Problema 4.188 Dados: Bomba centrífuga para água operando sob as seguintes condições: D1 ϭ D2 ϭ 4 in. Q ϭ 300 gpm p1 ϭ 8 in de Hg (vácuo), p2 ϭ 35 psig z1 ϭ z2 ℘entrada ϭ 9,1 hp Determine: A eficiência da bomba. Solução:Aplique a equação da energia aoVC mostrado. Despreze todas as perdas para determinar a energia cedida ao fluido. CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM78
Equações básicas: ␩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и ˙ ˙ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ W onde W potência para o fluido Q W W W t k d u pv V gz V dA s entrada s s cisalhamento outros SCVC ᏼ 0 1 0 2 0 2 0 3 0 4 0 5 2 2 ∂ ∂ ∀      ∫∫ ␳ ␳ r r Considerações: (1) ˙Q ϭ 0 (isolado). (2) ˙Wcisalhamento ϭ 0 (pela escolha do VC); ˙ .Woutros ϭ 0 (3) Escoamento permanente. (4) Despreze ⌬u. (5) ⌬z ϭ 0. (6) Escoamento incompressível. (7) Escoamento uniforme na entrada e na saída. Então, Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) ˙ ( ) ( ) , , W p V m p V m Visto que m Q e V V da continuidade W Q p p Q p p p gh SG gh p slug ft s i s H O 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 3 2 2 13 6 1 94 2 v v v v       { }       { } ␳ ␳ ␳ ␳ 3232 2 8 12 144 3 93 300 7 48 60 35 3 93 144 550 2 2 2 2 3 2 2 2 , ( ) , ˙ min , min ( , ) ft s in ft in lbf s ft slug ft in psig W gal ft gal s lbf in in ft hp s ft lbf s ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ и ϫ ϭϪ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ ϫ и и ∴ [ ] ˙ ,Ws ϭϪ6 81 hp (o sinal negativo indica energia adicionada) Portanto, ␩ ϭ ϭ ϭ ␩ ˙ , , , , W ou por centos entradaᏼ 6 81 9 1 0 748 74 8 ←  Problema 4.189 Dados: Barco de combate a incêndio. superfície da água CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM79
Determine: (a) Q2. (b) zmáx. (c) Força, se horizontal. Solução: Aplique a primeira lei ao VC “a” mostrado na figura. Equação básica: ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ( ) ( ) 1 0 2 0 2 0 3 1 2 2 ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ и ϭ ϩ ϩ Q W W W t e d e V dA e u V gz s cisalhamento outros VC Sc ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳pv r r Considerações: (1) Despreze perdas, isto é, u u dQ dm 2 1 0Ϫ Ϫ Ϸ (2) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Despreze V1. (6) z1 ϭ 0. (7) Escoamento incompressível, v v v2 1 1 2 3ϭ ϭ ϭ ϭ, ˙ ˙ ˙m m m (8) p2 ϭ p1 ϭ patm ϭ 0 (manométrica). Então, Ϸ 0 5 0 6 0 8 2 2 0 8 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ , ˙ ˙ ( ) ˙ ˙ ; ˙ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ Q W u V gz p m u V gz m ou W V gz m m V A s s v p v       ( )      ( )       ␳ Note que esta equação contém V2 à terceira potência, logo, não pode ser resolvida diretamente. Como uma primeira aproximação, despreze z2: Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϫ и и Ϫ Ϫ ˙ ; ( , ) , ˙ , W V V A V A A D m m V W A kW m kg m N m kW s kg m N s entrada s Ӎ Ӎ 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 3 3 4 2 3 2 2 1 2 4 4 0 025 4 91 10 2 2 10 999 1 4 91 10 10             ␳ ␳ ␲ ␲ ␳       1 3 34 4ϭ , /m s Comparando termos, V m s gz m s m m s2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 34 4 2 592 9 81 3 29 4Ӎ , / ; , , / ( ) ϭ ϭ ϫ ϭ , cerca de 5%. Então, esse valor de V2 é cerca de 5/3 por cento maior. Admita V m s e Q V A m s m m s Q2 2 2 4 2 3 33 8 33 8 4 91 10 0 0166Ӎ , / , , , , /ϭ ϭ ϫ ϫ ϭϪ ←  CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM80
Para calcular zmáx, aplique a primeira lei ao VC “b” usando as considerações citadas anteriormente, mais (9) V3 ϭ 0. Então, ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ ␳ ϭ ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ и и ϫ и и ϭ 0 9 2 999 0 0166 16 6 10 9 81 16 6 10 61 4 3 2 3 3 2 3 2 ( ) ˙ ˙ ; ˙ , , / ˙ ˙ , , , W V gz m m Q kg m m s kg s ou z Ws gm kW s m s kg N m kW s kg m N s m z s máx máx máx       ←  Para determinar a força horizontal, aplique a componente x da equação da quantidade de movimento, usando o VC “a”, com escoamento saindo em ባ horizontalmente. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 11 0 3( ) ( ) F F t u d u V dAS B VC SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (10) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC; F RS xx ϭ . (11) FBx ϭ 0. Portanto, R u m u m mV ou u ou K mV kg s m s N s kg m N K x i x x ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ и и ϭ Ϫ ˙ ˙ ˙ , . ˙ , , 1 2 2 1 2 2 0 16 6 33 8 561 { } { } ←  {O sinal menos indica reação sobre o barco no sentido oposto ao da corrente de saída.} Problema *4.190 Dados: Aparelho tipo helicóptero mostrado. Massa M ϭ 1500 kg. Admita pressão atmosférica na saída e trate o escoamento como permanente, uniforme e incompressível. Considere o ar na condição padrão. CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM81
Determine: (a) Velocidade do ar saindo do aparelho. (b) Potência mínima requerida. Solução: Use oVC inercial e as coordenadas mostradas.Aplique a continuidade e a quantidade de movimento para determinar V2, em seguida, aplique a primeira lei para determinar a potência. Equações básicas: p RT h c T p V gz cons te t d V dA F F t d V dA p VC SC S B VC SC z z ϭ ⌬ ϭ ⌬ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ и ϭ ϩ ϭ ␻ ϩ ␻ и ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ; ; tan ( ) ( ) 2 2 0 2 0 0 2 ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫ ∫ r r r r Considerações: (1) O ar é um gás ideal, cp ϭ constante. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento incompressível. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Pressão uniforme na entrada; F p p A p AS atm gz ϭ Ϫ ϭϪ( ) .1 1 1 1 Então, ␳ ϭ ϭ ϫ ϫ и и ϫ ϭ p RT N m kg k N m k kg m1 01 10 287 1 288 1 225 2 3 , , / e da continuidade 0 4 4 3 3 8 55 4 4 3 3 3 0 1 48 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ␲ ␲ V A V A V A V A ou V V A A Então A D m m A D D m m { } { }       ( ) ( )[ ] ( ) ( , ) , ( ) , , , Da quantidade de movimento Ϫ Ϫ ϭ ␻ Ϫ ϩ␻ ␻ ϭϪ ␻ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ p A Mg V A V A V V e V A V A p A Mg V V A V V A V A V V g g 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ { } { } ( ) Para escoamento permanente, incompressível, sem atrito, ao longo de uma linha de corrente da atmosfera para ቢ, Bernoulli fornece, desprezando ⌬z, Ϸ 0 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 p V gz p V gz por to p Vatm o gϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭϪ␳ ␳ ␳, tan CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM82
Usando a continuidade, p A V A V A V V A A A g1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ϭϪ ϭϪ ϭϪ␳ ␳ ␳ Substituindo na equação de quantidade de movimento e usando de novo a continuidade, 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1500 9 81 1 22 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ V A A A Mg V A V V V A A A ou Mg V A A A Assim V Mg A A A kg m s m kg Ϫ ϭϪ Ϫ ϭϪ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ                   , ( ) , , ,, , , , / 48 1 1 1 2 1 48 8 55 94 52 1 2 2 m m s V Ϫ ϭ                   ←  Equação básica: ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и 0 6 0 6 0 2 0 7 0 8 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) Ϸ Q W W W t c d u v V gz V dAs cisalhamento outros VC SC ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳p r r Considerações adicionais: (6) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (7) pv ϭ constante. (8) Despreze ⌬z. Então, Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) W u V m u V m Q W m V V m u u dQ dm s s 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2       { }       { }       O termo (u2 Ϫ u1 Ϫ dQ/dm) representa energia não-mecânica. O trabalho mínimo possível será alcançado quando a energia não-mecânica for zero. Assim, Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ˙ ˙ ˙ ˙ , , ( , ) , /minW m V V m V V V A V A A W kg m m m s s s 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 3 3 3 2 2 1 2 1 1 2 1 22 1 48 94 5 1 1 48 8                                   ␳ ,, ˙ ( ) ˙ /min 55 10 739 2 2 3               ←  N s kg m kW s N m W kW entrada Ws s и и ϫ и и ϭϪ {A potência requerida para pairar o aparelho real será maior devido às perdas do escoamento, não-uniformidades etc.} CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM83

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Solucionário Capitulo4 FOX

  • 1.
    CAPÍTULO 4 Problema 4.4 Dados:Uma pequena bola de aço, de raio r, colocada em cima de uma esfera muito maior, de raio R, começa a rolar sob a influência da gravidade. Desprezar as resistências do ar e de rolamento. Determine: O ponto em que a bola perde o contato com a esfera. Solução: Some forças na direção n. ΑF F mg ma a V R r O contato é perdido quando F o ou mg m V R r ou V R r g n n n n n ϭ Ϫ ϭ ϭϪ ϩ Ϫ ϭϪ ϩ ϭ ϩ cos ( ) , cos ( ) ( ) cos ␪ ␪ ␪ 2 2 2 → (1) A energia deve conservar-se, se não existe resistência. Portanto, E mgz m V mg R r m V E mg R roϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϭ ϩ 2 2 2 2 ( )cos ( )␪ Dessa forma, das considerações de energia V g R r Combinando as Eqs e V g R r R r g ou cas Assim e graus 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 48 2 ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭϪ ( ) ( cos ) . , ( ) ( cos ) ( ) cos ( ) cos cos , cos cos , ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪    ←  (2) Problema 4.8 Dados: Uma lata de alumínio de bebida, ml ϭ 20 g, D ϭ 65 mm, H ϭ 120 mm. O nível de conteúdo máximo é hmáx, quando Vb ϭ 354 mL de líquido. SG da bebida é 1,05. Posição inicial CAP004/1 11/8/02, 9:40 AM1
  • 2.
    Determine: (a) O centrode massa yc como função do nível h. (b) O nível para a menor tendência de tombamento da lata. (c) O coeficiente mínimo de atrito estático, µs, para o qual a lata cheia tombaria sem deslizamento. (d) O gráfico de µs)mínimo para inclinar (não deslizar) a lata como função do nível de líquido na lata. Solução: M SG g cm mL cm mL g máx h A D mL cm cm mL mm cm mm Em qualquer nível m h h M m g h mm mm g h mm b b máx b b b máx b b ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϭ ␳ ␲ ␲ ∀ ∀ ∀ 1 05 1 0 354 372 4 4 354 1 6 5 10 107 107 372 3 47 3 3 2 2 2 3 , , ( ) ( , ) , ; ( ) ( ) , ( ) Das considerações de quantidade de movimento, y M h m H m h h h M m m h y h h h em mm y c b c b c c ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ 2 2 1 2 3 47 120 20 1 2 3 47 2400 3 47 20 3 47 2400 6 94 40 2 2 ( , ) ( ) ( , ) , , , ( ) [ ] ←  l A tendência para tombar será menor quando yc for mínimo. Portanto, dy dh h h h h h h h c ϭ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϭ 2 3 47 6 94 40 1 6 95 3 47 2400 6 94 40 24 1 278 16 700 6 94 40 0 2 2 2 2 ( , ) , ( )( , ) , ( , ) , . ( , ) Usando a fórmula quadrática, h para y mín mm h y mínc c ( ) ( ) ( , ) , ( , ) , ( )ϭ Ϫ Ϯ ϩ ϭ 278 278 4 24 1 16 700 2 24 1 21 2 2 ←  Traçando o gráfico Trace um diagrama de corpo livre da lata para tombamento iminente AlturadoCG,yc(mm) Nível de líquido, h (mm) CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM2
  • 3.
    Para o centrode rotação Coeficientedeatritomínimoparatombar,␮s(––) Nível de líquido, h (mm) Α Α F F ma F F mg ma F mg Como F F então F ma x f x y n y n f s n s n x ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ Յ ␮ Ն 0 µ , , Somando os momentos sobre o ponto D: ΑM y ma D F ou y ma D F Mas ma F o y F D F Assim para inclinar D y b c x n c x n x s n c s n n s c s ϩ ϭ Ϫ ϭ ϭ Յ Ն Ն 2 0 2 2 2 µ µ µ µ ←  , log , , , Traçando o gráfico CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM3
  • 4.
    Para a latacheia com yc ϭ 53,8 mm, µ µ ← s mm mm sՆ ϫ ϫ ϭ 1 2 65 1 53 8 0 604 , , Este valor é muito maior do que aquele que a lata poderia desenvolver. Portanto, a lata não irá inclinar ou tombar; ela irá deslizar. A aceleração correspondente é a g m sx sϭ ϭµ 0 593 2 , / Problema 4.9 Dados: O campo de velocidades na região mostrada é r r r V az J b k onde a s e b m s Para a profundidade w ao longo do eixo x dA w dz j e dA wdy k ϭ ϩ ϭ ϭ ϭϪ ϭϪ Ϫ ˆ ˆ / . , ˆ ˆ 10 51 1 2 Determine: (a) Uma expressão para r r V dAи 1 (b) O valor de r r V dAи 1 1A ∫ (c) Uma expressão para r r V dAи 2 (d) Uma expressão para r r r V V dAи 2( ) (e) O valor de r r r V A2 2∫ ( )V dAи CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM4
  • 5.
    Solução: ( ) (ˆ ˆ) ( ˆ) ( ) a V dA az j b k wdzj awz dz V dA b V dA awz dz aw z aw z V dA z A z A r r r r r r r r и ϭ ϩ и Ϫ ϭϪ и и ϭ Ϫ ϭϪ ϭϪ и 1 1 01 2 0 1 2 1 1 1 1 12 2 ←    ∫ ←  ∫∫  ←  ←  ( ) ( ˆ ˆ) ( ˆ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ)( ) ˆ ˆ ( ) c V dA azj bk wdyk bwdy V dA d V V dA azj bk bwdy abwzdy j b wdy k V V dA r r r r r r r r r r и ϭ ϩ и Ϫ ϭϪ и и ϭ ϩ Ϫ ϭϪ Ϫ и 2 2 2 1 2  ← ∫∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ, . , ( ) , ˆ ( ) s ˆ ˆ / ( ) e V V dA abwz dz j b wdy k b wdy k pois z ao longo de A Dessa forma V V dA b wy k m w m k w k m s e y A y A x r r r r r r и ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ ϭ и ϭϪ ϭϪ ϫ ϭϪ 2 02 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 5 1 25  Problema 4.13 Dado: Um campo de escoamento dado por r V ayi bjϭ ϩˆ ˆ onde a ϭ 2 sϪ1 , b ϭ 1 ft/s e as dimensões são em pés. Determine: (a) Vazão volumétrica. (b) Fluxo de quantidade de movimento através da superfície inclinada. Solução: A vazão volumétrica é Q V dAϭ и r r ∫ Para a superfície inclinada dA dA ı dA j c dyı c dxj onde c ft Q ayı bj cdyı cdxj acy dy bcdx Q ac y bcx ft ft ft ft Q ft s Vazão volumétrica x y A y o x r ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ и ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ ϭ ϭ ϭ Ϫ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) / 2 25 2 1 2 2 3 8 1 0 3 2 2 0 1 0 3 1 2 3 ∫ ∫ ∫ ] ] ←  CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM5
  • 6.
    O fluxo dequantidade de movimento é dado por f m V V dA. . ( )ϭ и␳ r r ∫ Então, f m ayı bj acy dy bc dx f m ı a cy dy abcy dx j abcy dy b cdx Ao longo da erfície inclinada y x f m ı a c y abc x A . . ( ˆ ˆ) ( ) . . ˆ ˆ sup . . ˆ ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϩ ϭϪ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϩ ∫ ∫ ∫ ∫∫                 ] ␳ ␳ ␳ ␳ 0 1 2 2 0 3 2 0 3 0 1 2 3 3 0 1 3 1 3 11 2 2 3 2 2 2 1 2 3 0 3 2 2 0 1 2 0 3 1 2 3 2 0 3 1 2 2 2           ] ]{ }                      ∫ dx j abc y b cx ı s ft ft abc x b x j s ft s ft ft ft s ft ft ϩ ϩ ϭ ϫ ϫ ϩ Ϫ ϩ ϩ␳ ϫ ϫ ϩ ϫ ϫϪ Ϫ ␳ ␳ ˆ ˆ ( ) ˆ                   { } ←  ϭ ϩ ϫ ϫ ϫ ϩ ϩ ϭ ϩ Ϫ ␳ ␳ ␳ ˆ , ˆ . . , ˆ ˆ ı ft s s ft s ft ft j ft s ft s f m ı j ft s Fluxo da quantidade de movimento 8 3 2 2 2 5 2 6 7 67 8 4 2 1 2 4 2 4 2 4 2  Notas: As unidades de massa específica são slug/ft3 . O fluxo de quantidade de movimento tem unidades slug. ft/s2 (ou lbf). Problema 4.19 Dados: Escoamento permanente e incompressível através do dispositivo mostrado. A m A m A m V ı m s V j m s 1 2 2 2 3 2 1 2 0 05 0 01 0 06 4 8 ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ , , , , , ˆ / , ˆ / r r Determine: A velocidade r V3. Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ␳ ϩ ␳ и 0 1 0 ( ) ∂ ∂ ∀∫ ∫t VC SC d V dA r r CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM6
  • 7.
    Considerações: (1) Regimepermanente. (2) Escoamento incompressível, ␳ ϭ constante. (3) Escoamento uniforme em cada seção. Então, SC V dA V A V A V A∫ r r r r r r r r и ϭ и ϩ и ϩ и ϭ1 1 2 2 3 3 0 ou r r r r r r r r V A V A V A ı m s ı m j m s j m V A m s 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 0 05 8 0 01 0 28 и ϭϪ и Ϫ и ϭϪ и Ϫ Ϫ Ϫ ϫ и ϭ ˆ , ( ˆ) ( ˆ) , ˆ , / Como r r V A3 3 0и Ͼ , o escoamento na seção ቤ é para fora do volume de controle. Portanto, r r V A V A V A m s m m s m s 3 3 3 3 3 3 3 2 3 1 0 28 1 0 06 0 28 4 67 и ϭ ϭ ϫ ϭ ϫ ϭ, , , , / Finalmente, a partir da geometria do desenho r r r V V sen ı V j m s sen ı m s j V ı j m s V 3 3 3 3 4 67 60 4 67 60 4 04 2 34 3 ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ϫ ␪ ␪ˆ cos ˆ , ˆ , cos ˆ , ˆ , ˆ / ° ° ←  Problema 4.20 Dados: Óleo escoa para baixo em um plano inclinado. u gsen hy y ϭ Ϫ ␳ ␪ µ       2 2 Determine: Uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura. CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM7
  • 8.
    Solução: Na seçãotransversal sombreada, ˙ , arg ˙ ˙ ˙ / m udA dA wdy onde w l ura m g sen hy y wdy gsen hy y wdy m gsen w hy y gsen w h gsen wh Dessa forma m w gsen o h o h o h ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ∫ µ       µ       µ     µ µ ∫ ∫ ␳ ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 6 3 3 ␪␪ h m u 3 3µ ←  ˙ / Problema 4.23 Dados: Água escoa em um tubo conforme mostrado. R ϭ 3 in, umáx ϭ 10 ft/s. Determine: A velocidade uniforme na entrada, U. Solução: Aplique a equação da continuidade usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ и 0 1 0 ( ) ∂ ∂ ∀∫ ∫t ␳ ␳d V dA VC SC r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme na seção de entrada. Então, 0 2 0 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 ϭ и ϩ и ϭ ϭ ϭϪ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ r r r r r r V A V dA V uı dA rdr ı U R u r R rdr ou U R u r R rdr u r R máx o R máx o R máx ባ∫ ∫ ∫ ∫                   ; ˆ, ˆ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ rr R d r R U r R r R ft s U                       ← ϭ Ϫ ϭ20 1 2 1 4 5 00 2 4 0 1 , / {A velocidade do escoamento uniforme na entrada é a metade da velocidade máxima na seção de saída.} CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM8
  • 9.
    Problema 4.24 Dados: Curvaredutora bidimensional conforme mostrada. Determine: A magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção ቤ. Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ и 0 1 0 ( ) ∂ ∂ ∀∫ ∫t VC SC d V dA␳ ␳ r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme nas seções ባ e ቤ. Então, 0 2 1 1 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 ϭ и ϭ и ϩ и ϩ и и ϭ Ϫ и Ϫ и ϭϩ Ϫ и ϭ Ϫ r r r r r r r r r r r r r r r r V dA V dA V A V A ou V A V dA V A V y h wdy V wh V A V w y h V wh ASC A máx o h máx o h ∫∫ ∫ ∫       , , 22 1 1 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 10 2 15 1 5 0 5 ϭ Ϫ и ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ϫ и Ͻ и ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ V wh V wh o V A w ft s ft ft s ft ft s Como V A o escoamento em é do VC Sentido Dessa forma V A w V A w V wh w V h máx, log / , , r r r r r r ቤ para dentro ←  ftft s V h ft s ft ft s ft s do VC V 2 3 3 2 2 1 5 1 1 5 5 3 33 3 / , , / ( )ϭ ϫ ϭ ϫ ϭ para dentro ←  CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM9
  • 10.
    Problema 4.27 Dados: Umacumulador hidráulico, projetado para reduzir as pulsações de pressão no sistema hidráulico de uma máquina operatriz, está operando sob as condições mostradas, em um dado instante. Determine: A taxa na qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico. Solução: Use o volume de controle mostrado. Equação básica: 0 ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫t d V dA VC SC ␳ ␳ r r Considerações: (1) Escoamento uniforme na seção ባ. (2) Massa específica constante. Então, 0 1 1 2 2 1 1 1 21 1 ϭ ϩ Ϫ ϩ ϭ ∂ ∂       ∫∫ ∫ t M V dA V dA Mas V dA Q vc AA A ( ) ␳ ␳ ␳ ␳ onde Q ϭ vazão volumétrica e ␳ ␳ϭ иSG H O2 Portanto, 0 4 0 88 2 0 88 1 94 5 75 7 48 60 4 35 4 1 25 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ ∂ ∂ ∂ ∂       t M Q V A ou M t Q V A SG Q V D onde SG Tabela A slug ft gal mim ft gal s ft s in ft vc vc H O ␳ ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ( ) , ( . ) , , , , min , ( , ) 22 2 2 144 4 14 10 1 33 in M t slug s ou lbm s M t A massa está inuindo no VC vc vc       ∂ ∂ ∂ ∂← ϭϪ ϫ ϪϪ , , / ( dim .) CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM10
  • 11.
    Como M M t t t SG t tSG M t ft slugs slug s t ft s ou gal s t VC óleo óleo VC óleo óleo óleo óleo óleo H O óleo óleo óleo H O VC óleo óleo ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭϪ ϫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ∀ ∂ ∂ ∂ ∂ ∀ ∂∀ ∂ ∂∀ ∂ ∂∀ ∂ ∂ ∂ ∂∀ ∂ ∂∀ ∂←  ( ) , , ( , ) , , / 2 2 1 1 0 88 1 1 94 4 14 10 2 43 10 0 181 3 2 2 3  Problema 4.28 Dados: Um tanque retangular, com dimensões H ϭ 230 mm, W ϭ 150 mm e L ϭ 230 mm, fornece água para um tubo de saída com diâmetro D ϭ 6,35 mm. Quando o tanque está metade cheio, o escoamento no tubo tem um número de Reynolds Re ϭ 2000. Neste instante, não existe escoamento de água para dentro do tanque. Determine: A taxa de variação do nível de água no tanque nesse instante. Solução: Aplique a equação de conservação da massa para o VC que inclui o tanque e o tubo. Equação básica: o t d V dA VC SC ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Definição: R DV DV v e ϭ ϭ␳ µ Considerações: (1) Escoamento uniforme na saída do tubo. (2) Escoamento incompressível. (3) Despreze o ar entrando no volume de controle. Então, o t WLh D L V D o WL dh dt V D note que L cons te dh dt V D WL o o o ϭ ϩ ϩ ϩ ϭ ϩ ϭ ϭϪ ∂ ∂           ∴ ␳ ␲␳ ␳ ␲ ␲ ␲ 2 1 2 2 1 2 4 4 4 4 ( tan ) CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM11
  • 12.
    Para determinar r V, usea definição do número de Reynolds V R D Para água a C m s Tabela A V m s m m s dh dt V D WL m s mm mm mm mm m dh dt mm s caindo dh o e o o ϭ ϭ ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭϪ ϭϪ ϫ ϫ ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ Ϫ ␷ ␷20 1 10 8 2000 1 10 1 6 35 10 0 315 4 0 315 4 6 35 150 230 10 0 289 6 2 6 2 3 2 2 2 3 ° , / ( . ) , , / , ( , ) , / ( ) ␲ ␲ dtdt←  Problema 4.38 Dados: Escoamento em regime permanente de água através de uma placa plana porosa. A sucção é constante. O perfil de velocidades na seção cd é: u U y y ϱ ϭ ␦ Ϫ ␦ 3 2 1 5         , Determine: A vazão mássica através da seção bc. Solução: Aplique a lei da conservação de massa usando o VC mostrado. Equação básica: o t d V dA VC SC ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) Regime permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) r V v j ao longo de adϭϪ 0 ˆ . Largura, CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM12
  • 13.
    Então, o V dAV dA m V dA V dA ou o U w m U y y wdy wL Assim m U w U w abSC bc cd da bc o o bc o ϭ и ϭ и ϩ ϩ и ϩ и ϭϪ ␦ ϩ ϩ ␦ Ϫ ␦ ϩ ␷ ϭ ␦ Ϫ ␦ ϱ ϱ ␦ ϱ ϱ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r r r r r ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫               ˙ ˙ , ˙ , 3 2 3 1 5 1 yy y d y wL w U U y y L w U U o o o ␦ Ϫ ␦ ␦ Ϫ ϭ ␦ Ϫ ␦ ␦ Ϫ ␦ Ϫ ϭ ␦ Ϫ ␦ Ϫ Ϫ ϱ ϱ ϱ ϱ                                               2 3 2 2 2 5 3 2 2 2 5 1 5 2 2 5 0 1 , , , , ␳ ␳ ␳ υ υ υ LL w U L kg m m m s m m s m m kg s m o do VC m o bc bc           ←  ϭ ␦ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϭ Ͼ ϱ␳ ( , ) , , , , ˙ , / ( ˙ , log , ) ˙ 0 3 999 1 5 0 3 3 0 0015 0 0002 2 1 42 0 3 υ para fora Problema 4.40 Dados: Funil de líquido sendo drenado através de um pequeno orifício de diâmetro d ϭ 5 mm (área, A), conforme mostrado; y0 é a profundidade inicial. Determine: (a) Uma expressão para o tempo requerido para esvaziar o funil. (b) Expressões para o resultado em termos . do volume inicial, V0 e . da vazão volumétrica inicial Q AV A gyo o oϭ ϭ 2 . CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM13
  • 14.
    Plote: Gráfico det em função de y0 (0,1 Յ y0 Յ 1 m) com o ângulo ␪ como um parâmetro para 15° Յ ␪ Յ 45°. Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado. Equação básica: o t d V dA VC SC ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) Escoamento incompressível. (2) Escoamento uniforme em cada seção. (3) Despreze ␳ar comparada com ␳H O2 . Então, Ϸ Ϸo o o t d t d V A V Aar H O ar ar H O H O ( ) ( )3 3 2 2 21 1ϭ ϩ ϩ Ϫ ϩ ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ { } { }∀∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ Para o VC, d A dy r dy y dy y Dessa forma o t y A gy o y dy dt A g y s H O H O ∀ ∀ ∂ ∂       ϭ ϭ ϭ ␪ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ␲ ␲ ␲ ␪ ␳ ␲ ␪ ␳ ␲ ␪ 2 2 2 3 2 3 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 ( tan ) ; tan , tan tan / Separando variáveis, y dy g A dt3 2 2 2/ tan ϭ Ϫ ␪␲ Integrando de y0 em t ϭ 0 até y ϭ 0 em t y dy y g H t ou t y g A t y 3 2 0 0 5 2 2 2 0 5 2 2 5 2 2 5 2 0 / / / ( ) tan tan ϭ Ϫ ϭϪ ϭ ∫ ←  ␲ ␪ ␲ ␪ Mas y e Q AV gy então t y g A y y Q t o ∀ ∀ ←  0 2 3 0 0 0 2 0 5 2 0 1 2 0 1 2 0 0 3 2 2 5 2 3 3 6 5 ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ ␲ ␪ ␲ ␪ tan , tan / / / CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM14
  • 15.
    Como A ϭ␲d2 /4, podemos escrever t y g d y y d g ϭ ␲ ␪ ␲ ϭ 2 5 2 8 5 2 2 0 5 2 2 2 0 5 2 2 tan tan/ / ␪ t é traçado em função de y0 com ␪ como um parâmetro. Drenagem de um tanque cônico de líquido Dados de entrada: Diâmetro do orifício: d ϭ 3 mm. Resultados dos cálculos: Tempo de Drenagem t (s) Altura Inicial, Ângulo de Meio y0 (mm) Cone, ␪ (graus) 60 45 30 15 300 5935 1978 659 142 275 4775 1592 531 114 250 3763 1254 418 90,0 225 2891 964 321 69,2 200 2154 718 329 51,5 175 1543 514 171 36,9 150 1049 350 117 25,1 125 665 222 74 15,9 100 381 127 42 9,11 75 185 62 21 4,44 50 67 22 7 1,61 25 12 4 1 0,285 0 0 0 0 0 Tempo versus Profundidade Inicial Tempo,t(s) Profundidade inicial, y0 (mm) CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM15
  • 16.
    Problema 4.41 Dados: Tanquecontendo salmoura com corrente de entrada de água em regime permanente. A massa específica inicial é ␳ ␳i Ͼ H O2 . Determine: (a) A taxa de variação da massa específica do líquido no tanque. (b) O tempo requerido para atingir a massa específica, ␳f, onde ␳ ␳ ␳i fϾ Ͼ H O2 . Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado. Equação básica: 0 ϭ ϩ и 〈 ∂ ∂ ∀∫ ∫t d V d VC SC ␳ ␳ r r Considerações: (1) ᭙tanque ϭ constante. (2) Massa específica uniforme no tanque. (3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída. Então, V1A1 ϭ V2A2, posto que o volume do tanque é constante e 0 2 2 2 ϭ ϩ Ϫ ␳ ϭ ϩ Ϫ ϭ ␳ ϩ Ϫ ∂ ∂ ∫ ∀ ∂ ∂ ∀ ∀ t d VA VA t VA d dt VAvc H O H O H O␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳( ) ( ) E daí d dt VA d dtH O␳ ϭ Ϫ Ϫ ᭙ ( )␳ ␳ ␳ 2 ←  Separando variáveis, d VA dt H O ␳ Ϫ ϭϪ ␳ ␳ 2 ∀ Integrando de ␳i em t ϭ 0 até ␳f em t, d VA dt VA t H O H O f H O i H O t i f i f␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳␳ ␳ ␳ ␳ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ 2 2 2 2 0∫ ∫]       ∀ ∀ ln ( ) ln Finalmente, t VA t f H O i H O ϭϪ Ϫ Ϫ ∀       ←  ln ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 {Note que ␳ ␳f → H O2 assintoticamente quando t → ϱ.} entra constante sai CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM16
  • 17.
    Problema 4.42 Dados: Avazão mássica instantânea de vazamento de ar, ˙,m de um pneu de bicicleta é proporcional à massa específica, ␳, e à pressão manométrica, pg,no pneu. O ar no pneu é aproximadamente isotérmico (porque o vazamento é pequeno). A pressão inicial do ar é p0 ϭ 0,60 MPa (manométrica) e a taxa inicial de perda de pressão é de 1 psi por dia. Determine: (a) A pressão no pneu após 30 dias. (b) Incerteza da regra corrente segundo a qual perde-se “1 libra por dia” no período total de 30 dias. Plote: A pressão no pneu como uma função do tempo para o período de 30 dias; compare os resultados obtidos com aqueles da regra corrente de “1 libra por dia”. Solução: Aplique a conservação de massa ao pneu conforme o VC. Equação básica: 0 ϭ ᭙ ϩ и ∂ ∂ ∫ ∫t d V dA VC SC ␳ ␳ r r Considerações: (1) Propriedades uniformes no pneu. (2) O ar no interior do VC comporta-se como gás ideal. (3) A temperatura, T, e o volume, ᭙, do ar no pneu são constantes. (4) ˙ ( ) .m p pϭ Ϫc atm ␳ Então, podemos escrever 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ϭ ϩ ϭ ϩ Ϫ ␳ ϭ ␳ ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭϪ Ϫ ∀ ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∂ ∀ ) ∀   ∀ ␳ ␳ ␳ t m t p p c Mas p RT e dt RT dp dt o RT dp dt cp RT p para t p p e dp dt dp dt Assim dp dt cp p p e c p p p dp dt atm atm atm atm ˙ ( ) / , log , ( ) , / / . , ( ) ( ) p   0 (1) Substituindo na Eq. 1, obtemos 0 0 0 0 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ dp dt p p p p p p dp dt atm atm ( ) ( )   CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM17
  • 18.
    Separando variáveis eintegrando, dp p p p dp dt p p p dt p p p p p p p dp dt p p p t p p p p dp dt p p p t atm atm t p p atm atm atm atm atm atm atm ( ) / ( ) ln ( ) ( ) / ( ) ln / / / ( / ) Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ )       )       ) ∫∫ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Tomando os antilogaritmos, 1 1 1 1 1 6 895 1 701 1 701 101 1 0 00166 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ ϭ Ϫ Ϫ p p p p e p p e onde k dp dt p p p psi kPa psi kPa k dia e p p atm atm dp dt p p p atm kt atm atm atm            ) )        / ( / ) / ( / ) , ( / ) , ϪϪ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ p p p e Assim p p p p p e atm kt atm o atm kt 0 0 0 1             , (2) Avaliando para t ϭ 30 dias, p kPa l kPa dia p diast ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ 101 1 600 701 544 30 30 0 00166( , ) ←  A regra corrente “uma libra por dia” dá p p kPa dia t Para t dias p kPa kPa kPa pregra ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ 0 6 895 30 600 207 493 , ←  (3) A regra corrente “uma libra por dia” prediz uma maior queda de pressão. Resultados para ambos os modelos são apresentados na figura a seguir. CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM18
  • 19.
    Problema 4.49 Dados: Carrinhocom pá defletora, movido por jato de água. V m s A mj jϭ ϭ15 0 05 2 / , Determine: (a) A massa necessária para manter o carrinho estacionário para ␪ ϭ 50°. Plote: A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 0 Յ ␪ Յ 180 graus. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento para o VC inercial mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ᭙ ϩ ␳ и 0 2 0 3( ) ( ) F F t upd u V dAsx Bx SCVC ∂ ∂ ∫∫ r r Pressãodopneu,p(kPa)(manométrica) Pressão do Pneu versus Tempo Tempo, t (dias) Modelo exato Regra corrente CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM19
  • 20.
    Considerações: (1) Pressão atmosféricaem torno do VC. (2) FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente. (4) A velocidade do jato (e área) permanece constante na pá. (5) Escoamento uniforme em cada seção. (6) Escoamento incompressível. Então, Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Mg u V A u V A u V u V V V V A A A Mg V VA V VA V A M V A g 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ; cos ; ( ) cos ( ) (cos ) ( cos ) ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ { } { }    (1) Avaliando para ␪ ϭ 50° M kg m m s m s m kg Mϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ999 15 0 05 9 81 1 50 4093 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) , ( cos )° ←  M é traçada como uma função de ␪ Problema 4.52 Dados: Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel. Os grãos são despejados em sua caminhonete por um carregador afunilado conforme mostrado. O fluxo de grãos é interrompido quando a leitura da balança atinge o valor bruto desejado. Determine: A verdadeira carga paga. Massaparareterocarrinho,M(kg) Ângulo da pá defletora, ␪ (graus) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM20
  • 21.
    Solução: Aplique acomponente y da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado. Equação básica: Ӎ 0 2( ) F F t d V dAS B VC SC y y ϩ ϭ ␳ ϩ ␳ и ∂ ∂ ∀∫ ∫v v r r Considerações: (1) Não existe força de pressão líquida, F RS yy ϭ . (2) Despreze ␷ dentro do VC. (3) O escoamento dos grãos é uniforme na seção de entrada ቢ. Então, R M M g m V m A y t lϪ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ( ) ˙ ˙ v v 1 1 1 { } ␳ ou R M M g m A indicado durante o escoamento de grãosy t lϭ ϩ ϩ( ) ˙ ( ) 2 ␳ O carregamento é terminado quando R g M M m pgA kg Assim M kg m gA kg kg s m kg s m m M kg M y t l l l l Ϫ ϭ ϩ ϭ ϭ Ϫ ␳ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ˙ ˙ ( ) , ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 675 675 675 40 600 9 81 4 1 0 3 671 ␲ ←  Balança CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM21
  • 22.
    Problema 4.54 Dados: Pratocircular com orifício central atingido concentricamente por jato d’água conforme mostrado. Determine: (a) Expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar. (b) Valor da força para V ϭ 5 m/s, D ϭ 100 mm e d ϭ 20 mm. Plote: A força requerida como uma função de ␪ (0 Յ ␪ Յ 90°) com d/D como um parâmetro. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) ( )F F t u d u V dAS B VC SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) A pressão atmosférica age em todas as superfícies do VC. (2) FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Escoamento incompressível. (6) Nenhuma variação na velocidade do jato sobre o disco: V1 ϭ V2 ϭ V3 ϭ V. Então, R u V A u V A u V A u V A D u V A d u V sen A A A R V D V d V sen D d V x x ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ϭ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ␪ ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ ␪ ␲ ␳ ␲ { } { } { } 11 4 1 1 2 2 2 2 2 ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ sen d D R V D sen d D R x x ␪ ␳ ␲ ␪ ) )( ( )           ←  Avaliando para d ϭ 25 mm R kg m m s m sen N s kg m N Rx xϭϪ ϫ ϫ ϫ ϩ Ϫ и и ϭϪ ␲ 4 999 5 0 10 1 45 1 25 100 3143 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )°           ←  CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM22
  • 23.
    Como Rx Ͻ0, a força deve ser aplicada para a esquerda. Rx é traçada como uma função de ␪ para diferentes valores de d/D. Problema 4.60 Dados: Escoamento através de bocal semicircular, conforme mostrado. Determine: (a) A vazão volumétrica. (b) A componente y da força necessária para manter o bocal no lugar. Solução: Escolha o VC e as coordenadas mostradas. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção y. Equações básicas: Q V dA F F t d V dA A S B VC SC x y ϭ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ∫ ∫ ∫ ∂ ∂ ∀ r r r r 0 2 0 3( ) ( ) v v␳ ␳ Considerações: (1) Escoamento uniforme através da seção de saída. (2) FBy ϭ 0. (3) Escoamento permanente. Forçaparareteroprato,؊Rx(N) Razão de diâmetros, d/D ‫؍‬ 0 Ângulo de deflexão, ␪ (graus) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM23
  • 24.
    Na seção ባ, rr V.dA VRtdϭ ␪ , visto que o fluxo é para fora do VC. Então, Q VRtd VRt VRt Q m s m m m s Qs ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ Ϫ Ϫ ␪ ␪ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ [ ] ←  ∫ / / / / , , , / 2 2 2 2 15 0 3 0 03 0 424 Da quantidade de movimento R V dA V dA V dA com V R V VRtd V Rt sen V Rt R kg m m s m y SC A A y y ϭ и ϭ Ϫ ϩ ϩ ␯ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ Ϫ␲ ␲ ∫ ∫ ∫ ∫ { } { } [ ] v v v v ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␲ ␲ r r 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 0 2 2 999 15 0 3 0 cos cos ( ) , / / / / ,, ,03 4 05 2 m N s kg m KN Ryϫ и и ϭ ←  Problema 4.61 Dados: Motor a jato em banco de ensaio. O combustível entra verticalmente a uma vazão ˙ ˙ , ˙ .m mf ϭ ϭmcombustível ar0 02 Determine: (a) A vazão mássica de ar. (b) Estime o empuxo do motor. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ 0 1 0 2 1 1 1 ( ) ( ) ˙ , / F F t u d u V dA m V A p RT S B SCVC ar x x ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ r r Considerações: (1) FBx ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída. (4) O ar comporta-se como gás ideal, T ϭ 70°F. (5) O combustível entra verticalmente (dado). CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM24
  • 25.
    ␳ ␳ 1 1 1 2 2 2 2 3 11 1 3 2 14 7 144 298 53 3 1 530 0 0644 0 0644 500 64 2060 ϭ ϫ Ϫ ϫ и ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ p RT lbf in in ft lbf ft lbm R ft lbf R lbm ft m V A lbm ft ft s ft lbm s mar , , , ˙ , / ˙       ° ° ←  Da equação da quantidade de movimento segundo x, ϭ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ 0 0 5 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 ( ) ˙ ˙ ˙ , , ˙ ˙ ˙ R p A p A u m u m u m u V u V m m m x g f f f { } { } { } Também o empuxo T ϭ Kx (força do motor sobre o meio ambiente)ϭ ϪRx. Então, Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϫ ϫ и и Ϫ Ϫ ϭ T p A m V m V m V m V T m V V p A T lbm s ft s ft s slug lbm lbf s ft slug lbf ft ft T lbf T ig ig 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 02 1 02 2060 1 02 1200 500 32 2 298 64 65 400 ˙ ˙ ˙ ( , ˙ ) ˙ ( , ) , , .         ←  Problema 4.63 Dados: Escoamento incompressível, sem atrito, através de uma expansão súbita conforme mostrado. Mostrar: Que o aumento de pressão, ⌬p ϭ p2 Ϫ p1, é dado por ⌬ ␳ ϭ Ϫ p V d D d D1 2 2 1 2 2 2 1              Plote: O aumento de pressão adimensional como uma função de d/D para determinar o valor ótimo de d/D e o aumento de pressão adimensional correspondente. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) ( )F F t u d u V dAS B SCVC x x ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ r r CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM25
  • 26.
    Considerações: (1) Não háatrito, as forças superficiais são devidas somente à pressão. (2) FBx ϭ 0. (3) Regime permanente. (4) Escoamento incompressível (dado). (5) Escoamento uniforme nas seções ቢ e ባ. (6) Pressão uniforme p1 sobre a superfície vertical da expansão. Então, p A p A u V A u V A u V u V1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2Ϫ ϭ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭ ϭ( ) ( ) ,{ } { } Da continuidade para escoamento uniforme, ˙ ; , ( ) m A V A V V V A A Assim p p V A A V V A A V V A A V V p p V A A V V V A A A A e p ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 r             ϪϪ ϭ Ϫ ϭ Ϫ p V A A A A d D d D C Q D 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 ␳                     ←  . . A partir do gráfico mostrado adiante, vemos que ⌬p 1 2 1 2 ␳V tem um valor ótimo em torno de Ϸ 0,5 para d/D ϭ 0,70. Nota: Como esperado, • Para d ϭ D, ⌬p ϭ 0 para tubo reto. • Para d/D → 0, ⌬p ϭ 0 para jato livre. Note também que a localização da seção ባ deve ser escolhida com cuidado para fazer com que a consideração (5) seja razoável. Aumentodapressão,⌬p/pV2 /2(––) Razão de diâmetros, d/D (––) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM26
  • 27.
    Problema 4.68 Dados: Bombaa jato d’água conforme mostrado no desenho esquemático. O jato e a corrente secundária são bem misturados na seção ባ, e as pressões de entrada são as mesmas. Determine: (a) A velocidade na saída da bomba. (b) O aumento de pressão, p2 Ϫ p1. Solução: Aplique a equação da continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ␳ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ␳ и 0 1 0 0 5 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫∫ t d V dA F F t u d u V dA SCVC S B SCCV x x ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Nenhuma força viscosa age no volume de controle. (5) FBx ϭ 0. Então, da continuidade, 0 1 0 075 0 01 0 065 1 0 075 3 0 065 30 0 01 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ϭ Ϫ ␳ ϩ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭϪ␳ Ϫ␳ ϩ ␳ ϭ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ V A V A V A V A V A V A V A V A V A A A A m m V m m s m m s m s s j j s s j j s s j j s j { } { } { }  ( ); ( , , ) , , , ,    ←  { } { } { } ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␳ ϩ Ϫ ␳ ϩ ␳ ϭ ϭ ϭ ⌬ ϭ Ϫ ϭ ϩ ␳ ϩ ␳ Ϫ ␳ ϭ ␳ ϩ 6 60 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 , ( ) ( m s e p A p A u VsA u V A u V A u V u V u V p p p A V A V A V A A V V s s j j j s s j j s s j j s 22 2 2 2 2A V A V As j jϩ Ϫ ) CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM27
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    ϭ ϫ ϩϪ ϫ и и Ϫ ϭ Ϫ 999 1 0 075 3 0 0 065 30 0 01 6 6 0 075 84 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 kg m m m s m N s kg m p p kPa p p , ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , [ ] ←  Problema 4.69 Dados: Cotovelo redutor conforme mostrado. O fluido é água. Determine: As componentes da força necessária para manter o cotovelo no lugar. Solução: Aplique as componentes x e y da equação da quantidade de movimento usando a SC e o CV mostrados. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 4 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) F F t u d u V dA F F t d V dA S B SCVC S B SCVC x x y y ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r v v Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento uniforme em cada seção. (3) Use pressões manométricas. (4) Eixo x horizontal. Componente segundo x: R p A p A u Q u Q u V u V R V V Q p A p A V Q A m s m m s m s m s x g g x g g ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϫ ϭ ϭ Ϫ ϩ ϫ 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 3 2 0 11 1 0 0182 6 04 6 04 13 6 30 cos cos ( cos ) cos , , , ( , , cos ␪ ␳ ␳ ␪ ␪ ␳ ␪ { } { } °° ° ←  ) , , , , ( ) , ( ) , cos 999 0 11 1 0 0082 13 6 0 11 200 101 10 0 0182 120 101 10 0 0081 30 631 1800 133 1040 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 kg m V Q A m s m m s m s N s kg m N m m N m m R N N R x x x ϭ ϭ ϫ ϭ ϫ ϫ и и Ϫ Ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϫ ϭϩ Ϫ ϩ ϭϪ  Massa do cotovelo, m ϭ 10 kg Volume interno V ϭ 0,006 m3 CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM28
  • 29.
    Componente segundo y: Rp A sen mg g Q Q V sen R V sen Q mg g p A sen m s sen kg m m s N s kg m kg m s N s kg y g y g ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭϪ ϭϪ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϩ ϫ ϫ и и 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 0 13 6 30 999 0 11 10 9 81 ␪ ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ␳ ␳ ␪ ∀ { } { } ∀ ° v v v v , , , mm kg m m m s N s kg m N m m sen R N Ry y ϩ ϫ ϫ ϫ и и Ϫ Ϫ ϫ ϫ ϭϪ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ 999 0 006 9 81 120 101 10 0 0081 30 747 98 1 58 8 77 667 3 3 2 2 3 2 2 , , ( ) , , , ° ←  {Rx e Ry são as componentes horizontal e vertical da força que deve ser suprida pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo (o volume de controle) sem movimento.} Problema 4.73 Dados: Água sendo descarregada de modo não uniforme por um entalhe estreito, conforme mostrado. p kPag1 30ϭ ˙ Determine: (a) A vazão volumétrica. (b) As forças requeridas para reter o tubo. Solução: Aplique as componentes x e y da quantidade de movimento, usando a SC e o VC mostrados. Equações básicas: ϭ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 2 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) ;F F t u d u V dA F F t d V dAS B VC SC S B SCVC x x y y ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫∫␳ ␳ ␳ ␳ r r r r v v Considerações: (1) F FB Bx y ϭ ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme na seção de entrada. (4) Use pressões manométricas para cancelar patm. Espessura, t ϭ 15 mm CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM29
  • 30.
    A partir dacontinuidade, Q VA V V Lt m s m m m s Q V Q A m s m m s ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϭ 1 2 1 2 7 5 11 3 1 0 015 0 141 0 141 4 1 0 15 7 98 1 2 3 3 3 3 2 2 ( ) ( , , ) , , / , ( , ) , / ←  ␲ Da componente x da quantidade de movimento, posto que o escoamento sai verticalmente do entalhe (u ϭ 0), R p A u Q V Q R p A V Q R N m m m s kg m m s N s kg m R kN para a R x g x g x x x ϩ ϭ Ϫ ϭϪ ϭϪ Ϫ ϭϪ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭϪ 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 2 30 10 4 0 15 7 98 999 0 141 1 65 ␳ ␳ ␳ ␲ { } ←  ; ( , ) , , , ( )esquerda  Da componente y da quantidade de movimento, visto que v3 ϭ 0, ϭ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϩ 0 2 2 3 999 0 015 7 5 7 5 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 R v Q v Vt dx t V V V L x dx t V x V V V L x V V L x kg m m m s m y o L o L o L ␳ ␳ ␳ ␳ { }                   ∫∫ , ( , ) , ss m s m m m s m m R kN para Ry y ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϫ ϭ Ϫ ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) , ( ) 11 3 7 5 1 1 1 11 3 7 5 1 1 1 3 1 34 2 2 2 2 2 2 2 3 3       ← baixo {Um momento também será requerido no acoplamento.} Problema 4.75 Dados: Bocal descarregando uma cortina d’água plana e radial, conforme mostrado. Espessura, t água CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM30
  • 31.
    Determine: A forçaaxial exercida pelo bocal sobre o acoplamento. Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento, usando as coordenadas e o VC mostrados. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 2( ) ( ) F F t u d u V dAS B VC SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) FBx ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme em cada seção (4) Use pressão manométrica para cancelar patm. A partir da equação da continuidade Q V A V A V Rt m s m m m s V Q A Q D m s m m s ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 2 2 10 0 05 0 0015 0 00236 4 4 0 00236 1 0 035 2 45 ␲ ␲ ␲ ␲ , , , / , ( , ) , / {Note que A D1 1 2 2 4 0 000962ϭ ϭ␲ / , m } Da quantidade de movimento, R p A u Q u V dA u V u V dA Rt d V V Rtd V Rt d V Rt Assim R p A V Q V Rt x g A A o x g ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 150 ␳ ␳ ␪ ␪ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ␲ { } ∫ ∫∫ ∫ cos ; cos cos ( / / / 101101 10 0 000962 2 45 999 0 00256 2 999 10 0 05 0 0015 37 9 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 ) , , , ( ) , , , N m m m s kg m m s N s kg m kg m m s m m N s kg m R Nx ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϩ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ Ϫ Mas Rx é uma força sobre o VC; a força sobre o acoplamento é Kx, K R N para a Kx x xϭϪ ϭ 37 9, ( )direita ←  CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM31
  • 32.
    Problema 4.76 Dados: Pequenoobjeto redondo testado em um túnel de vento. Atrito desprezível. Determine: a) A vazão mássica. b) V2, máx. c) O arrasto sobre o objeto. Solução: Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ ϭ 0 1 0 4 0 1 999 9 81 0 02 196 98 0 1 1 3 2 2 ( ) ( ) ( ) , , ( ) , ( ) o t d V dA F F t u d u V dA p gh kg m m s m Pa manométrica p Pa manométrica VC SC S B SCVC x x ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Massa específica uniforme em cada seção. (3) Escoamento uniforme na seção ቢ, portanto ˙m V Aϭ ␳ 1 (4) Escoamento horizontal; FBx ϭ 0. Então, ˙ , ( ) , / ˙m V A kg m m s m kg s mϭ ϭ ϫ ϫ ϭ␳ ␲ 1 1 3 2 2 1 23 10 4 1 9 67 ←  Da equação da continuidade, ˙ ˙ , , ( , ) , , , , , m u dA V r R rdr V R r R d r R V R V m R kg s m kg m V A máx o R máx máx máx ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭ ␳ ␳ ␲ ␲ ␳ ␲ ␳ ␲␳ ␲ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 9 67 1 23 1 0 5 15 0 ∫ ∫ ∫         m/s 22, máx ←  (manométrica) (manométrica) CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM32
  • 33.
    Da equação daquantidade de movimento, R p A p A u m u V dA V m V R r R d r R u V u V r R R p p A V m V R x A máx máx x máx ϩ и Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭϪ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϭ 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 1 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 98 ˙ ˙ ( ) ˙ ( , , , , { }             ∫ ∫␳ ␲␳ ␲␳ 00 196 4 1 10 9 67 2 1 23 15 0 5 65 0 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Ϫ ϫ ϩ Ϫ ϫ ϩ ϫ ϫ ϫ и и ϭϪ ) ( ) , , ( ) ( , ) , N m m m s kg s kg m m s m N s kg m R Nx ␲ ␲    Rx é a força para manter o VC no lugar. O VC corta a haste de apoio, portanto Rx é a força para reter o objeto. O arrasto do objeto e da haste de sustentação é F R N FD x Dϭ ϭ 65 0, ←  Problema 4.78 Dados: Escoamento incompressível na região de entrada de um tubo circular de raio R. u u r R máx2 2 1ϭ Ϫ           Determine: (a) A velocidade máxima na seção ባ. (b) A queda de pressão, se o atrito viscoso fosse desprezado. Solução: Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção x. Use o VC e a SC mostrados. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ t d V dA F F t u d u V dA VC SC S B SCVC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento uniforme na seção ቢ. (3) FBx ϭ 0. (4) Despreze o atrito na parede do tubo. (5) Escoamento incompressível. CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM33
  • 34.
    Então, 0 1 2 21 2 1 2 1 4 1 2 0 2 1 2 2 21 2 2 4 0 1 ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␳ ␲ ␳ ␲ ␲␳ ␲␳ ␲␳ U R u r R rdr ou U R u R r R r R d r R u R r R r R máx R máx o máx { }                                           ∫ ∫ AssimAssim u U ft ft s umáx máx, /ϭ ϭ ϫ ϭ2 2 30 3 601 ←  Da equação da quantidade de movimento, p R p R u U R u u dA U R u R r R r R d r R u U u u r R ou p p U R máx máx 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 ␲ ␲ ␳ ␲ ␳ ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ { }                             ∫ ∫ 11 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 4 2 0 1 4 6 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 6 1 6 2 4 8 6 ϩ Ϫ ␩ ␩ ␩ ␩ ϭ Ϫ ␩ ␩ ␩ ϭ Ϫ ␩ ϩ ␩ ␩ ␩ ϭ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ␳ ␳ ␳ ␳ u d r R Mas d d e u U U p p U U U máx máx ( ) ; ( ) ( ) ( ) , ∫ ∫ ∫ ] logo, 11 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 4 3 1 1 3 1 3 0 075 30 32 2 0 699 1 2 Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и Ϫ ϭ Ϫ     µ ←  ␳U lbm ft ft s s g lbm lbf s slug ft p p lbf ft p p s , ( ) / , , / Problema 4.82 Dados: Escoamento incompressível em camada limite, conforme mostrado. O fluido é ar padrão. Na camada limite: u U y y o ϭ ␦ Ϫ ␦ 3 2 1 2 3         Fronteira da CL Largura CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM34
  • 35.
    Determine: A forçahorizontal por unidade de largura para manter a placa estacionária. Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ t d VdA F F t u d u V dA VC SC S B SCVC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Não existe força líquida de pressão; (3) FBx ϭ 0. (4) Escoamento uniforme na seção ab. (5) Escoamento incompressível. Então, da equação da continuidade, 0 ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ ϭ ␳ Ϫ ␦ ␦␦ ␳ ␻␦ ␳ ␻ ␦U m u dy dy m U u dyo bc o bc o oo { }      ∫ ∫∫˙ ; ; ˙ ( ) ␻ Da equação da quantidade de movimento, Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ␦ F U U w U m u uwdy U u U U u wdyf o o o bc o o o o o ␳ ␦ ␳ ␦ { }       [ ]∫ ∫˙ ( )2 2 Força de arrasto ϭ F u U u wdy U u U u U wdyf o o o o o ϭ Ϫ ϭ Ϫ ␦ ␳ ␳ ␦ ( )∫ ∫      0 2 1 Na seção cd, u U dy d F w U u U u U d U d U o f o o o o o o o ϭ ␩ Ϫ ␩ ϭ ␦ ␩ ϭ ␦ Ϫ ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ Ϫ ␩ ␩ ϭ 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 2 9 4 1 2 3 2 1 4 3 2 1 2 3 3 1 2 2 3 4 6 ; ␳ ␳ ␳ ∫ ∫                       ←  ∫ d U U kg m m s m N s kg m F w N m para a F w o o o o f f ␩ ϭ ␦ ␩ Ϫ ␩ Ϫ ␩ ϩ ␩ Ϫ ␩ ϭ ␦ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ 1 2 2 3 4 5 7 1 2 3 2 2 2 2 3 4 3 4 1 8 3 10 1 28 0 139 0 139 1 23 10 0 0023 0 0393 ␳ ␳ ( , ) , , ( ) , , / ( )direita  CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM35
  • 36.
    Problema 4.83 Enunciado: Considereo jato de água e a placa vertical do Problema-Exemplo 4.4. Uma consideração implícita feita para resolver o problema foi que o jato permanecesse horizontal até atingir a placa. Discuta as implicações de se incluir a gravida- de na solução. Concentre-se especificamente na trajetória do jato antes de ele atingir a placa e na velocidade do líquido sobre a placa acima e abaixo do ponto de impacto do jato. As dimensões da placa vertical são importantes? As propriedades da corrente de líquido são importantes? Discussão: A gravidade poderia ser incluída na solução com relativa facilidade. A gravidade produziria uma componente vertical para baixo na velocidade da corrente de água no jato. O jato teria uma trajetória parabólica; a corrente do jato cairia mais à medida que ela se afastasse do bocal. Como uma primeira aproximação, o escoamento sobre a placa vertical é suposto ser sem atrito. Portanto, não existe força de atrito do jato sobre a placa. Uma força de pressão agindo sobre a placa não possui componente vertical. Conseqüentemen- te, não pode existir força vertical resultante sobre a placa. O jato líquido dividir-se-á em duas correntes quando atingir a placa. Cada uma das duas correntes terá a mesma velocida- de do jato, porque não existe força de atrito ao longo da placa para modificar a velocidade do líquido. Entretanto, a corrente inferior irá carregar mais da metade do escoamento; a corrente superior carregará menos da metade do fluxo. Posto que nenhuma força vertical age sobre o escoamento, este dividir-se-á de modo a dar às duas correntes a mesma quantidade de movimento do jato tocando a placa. A placa vertical deve ser larga o bastante para redirecionar todo o escoamento do jato de forma que ele saia paralelo à superfície da placa. Quando a gravidade é incluída, a placa deve estender-se mais para baixo da linha de centro do jato do que no caso hipotético sem gravidade. As propriedades da corrente de líquido incluem sua massa específica, área, velocidade e viscosidade. A força horizontal exercida sobre a placa vertical é proporcional à massa específica, área e ao quadrado da velocidade da corrente líquida. A viscosidade do líquido não é importante, quando ela é pequena o suficiente para fazer com que a aproximação de um escoa- mento sem atrito seja um modelo razoável. Problema 4.87 Dados: Modelo de escoamento de gás em um bocal de propulsão como uma fonte esférica; Ve ϭ constante. Determine: (a) Uma expressão para o empuxo axial, Ta; compare com a aproximação unidimensional, T mVeϭ ˙ . (b) O erro percentual para ␣ ϭ 15°. Plote: O erro percentual em função de ␣, para 0 22 5Յ Յ␣ , .° Solução: Aplique as definições: ˙ ,m VdA T u Vdaa A A ϭ ϭ␳ ␳∫ ∫ Use escoamento esférico, simétrico. A vazão mássica é admitindo m VdA V Rsen Rd V R V R e e e e e e oA o e e ␳ ␳ ␪ ␳ ␳ ␲ ␪ ␪ ␲ ␳ ␪ ␲ ␳ ␣ ␣ ␣ ( ) ˙ ( ) cos ( cos ) [ ] [ ]∫∫ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ2 2 2 12 2 CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM36
  • 37.
    A aproximação unidimensionalpara o empuxo é, portanto, T mV V R Te e e Dϭ ϭ Ϫ Ϫ˙ ( cos )2 12 2 1␲␳ ␣ ←  O empuxo axial é dado por T u VdA V V Rsen Rd V R sen d T V R sen V R sen T a e e e o e e o a e e o e e a ϭ ϭ ␳ ␲ ϭ ϭ ␪ ϭ ␣ ␣ ␣ ␳ ␪ ␪ ␪ ␲␳ ␪ ␪ ␪ ␲ ␳ ␲ ␳ ␣ cos ( ) cos∫∫ ∫     ←  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 O erro na aproximação unidimensional é e T T T T T V R V R sen sen D a a D a e e e e ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ␲ ␳ ␣ ␲␳ ␣ ␣ ␣ ( cos ) ( cos ) (1) O erro percentual é traçado como uma função de ␣. Para ␣ ϭ 15° e sen e ou e 15 2 15 2 1 15 15 1 0 0173 1 73 15 ϭ Ϫ Ϫ ϭ ( cos ) , , % ° ←  Erronoempuxo1-D,e(%) Metade do ângulo de descarga do bocal, ␣ (graus) CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM37
  • 38.
    Problema *4.89 Dados: Jatode ar atingindo um disco de diâmetro D ϭ 200 mm, conforme mostrado. Determine: (a) A deflexão do manômetro. (b) A força para reter o disco. Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado. Equações básicas: ( ) tan ( ) ( ) 5 2 0 5 0 1 2 p V gz cons te F F t u d u V dAS B SCVC x x ␳ ␳ ␳ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀ ∫∫ r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (4) Despreze o atrito. (5) FBx ϭ 0. (6) Escoamento uniforme no jato. Aplique Bernoulli entre a saída do jato e o ponto de estagnação p V p o p p Vo o ␳ ␳ ␳ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ 2 2 2 1 2 ; Da hidrostática, p p SG g h Assim h V SG g V SG g h kg m m s m kg s m m ou mm h o H O H O H O Ϫ ϭ ⌬ ⌬ ϭ ϭ ⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ⌬ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 2 1 2 2 1 23 50 1 2 1 75 999 9 81 0 0896 89 6 2 2 3 2 2 2 3 2 , , ( ) ( , ) , , , ←  CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM38
  • 39.
    Da quantidade demovimento, R u VA u VA V A u V u R kg m m s m N s kg m N para a R x x x ϭ Ϫ ϩ ϭϪ ϭ ϭ ϭϪ ϫ ϫ ϫ и и ϭϪ 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 0 1 23 50 4 0 01 0 242 ␳ ␳ ␳ ␲ { } { } ←  , ( ) ( , ) , ( )esquerda Essa é a força necessária para manter a placa estacionária. A “força” do jato sobre a placa é K R N para ax xϭ Ϫ ϭ 0 242, ( )direita Problema *4.91 Dados: Jato escoando para baixo, atingindo um disco horizontal, conforme mostrado. Determine: (a) A velocidade do jato em h. (b) Uma expressão para a força necessária para manter o disco estacionário. (c) Avalie para h ϭ 1,5 m. Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado. Equações básicas: ( ) tan ( ) ( ) 5 2 0 6 0 1 2 p V gz cons te F F t w d w V dAS B VC SC z z ␳ ␳ ␳ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀∫ ∫ r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (4) Escoamento sem atrito. (5) Pressão atmosférica agindo ao longo do jato. (6) Despreze a massa de água sobre o disco, FBz ϭ 0. (7) Escoamento uniforme em cada seção. CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM39
  • 40.
    A equação deBernoulli torna-se V gh V g o ou V V gh V V gh V0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ ϩ( ) ; ←  Da equação da quantidade de movimento R VA V A V A V z o oϭ ␻ Ϫ ϩ ␻ ϩ ϭ ϩ ␻ ϭ Ϫ ␻ ϭ 1 2 2 1 2 0 ␳ ␳ ␳{ } { } Mas, da continuidade ˙ . , , , , , ( , ) ( , ) , , m V A VA Assim VA V A e R V A V V A V gh R Para h m R kg m m s m m s m s m o o o o z o o o o o z z ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϩ ϭ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ ϫ ␳ ␳ ␳ ␳ ␲ 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 5 999 1 5 4 0 015 1 5 2 9 81 1 5 ←      ←  1 2 2 1 49 / , ( ) N s kg m R N força Rz z и и ϭ para cima Problema *4.93 Dados: Corrente de ar na condição padrão atinge um defletor curvo. Um tubo de estagnação conectado a um manômetro de água está instalado no plano de saída do bocal. Determine: (a) A velocidade do ar deixando o bocal. (b) A componente horizontal da força exercida pelo jato sobre o defletor. (c) Comente sobre cada uma das considerações feitas na solução do problema. Solução: Aplique a definição de pressão de estagnação e a componente x da equação da quantidade de movimento. Por definição, p p Var0 2 1 2 ϭ ϩ ␳ Tubo de estagnação Defletor fixo Ar Aberto Água Jato de ar livre CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM40
  • 41.
    Da estática dosfluidos, p p g hágua0 Ϫ ϭ ␳ ⌬ Combinando, ␳ ␳ ␳ ␳ água ar água ar g h V ou V g h V slug ft ft s in ft slug ft in ft s V ⌬ ϭ ϭ ⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ 1 2 2 2 1 94 32 2 7 0 00238 12 175 2 3 2 3 1 2 , , . , . /       ←  A equação da quantidade de movimento é ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) F F t u d u V dAS B SCVC x x ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ r r Considerações: (1) Não existem forças de pressão. (2) FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme. (5) Velocidade constante no defletor. Então, R u VA u VA V A u V u V R slug ft ft s ft lbf x x ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϭ Ϫ 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 0 00238 175 4 2 12 1 30 2 97 ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ␲ { } { }     ° ( cos ) cos , ( ) ( cos ) , A força do ar no defletor é K R lbf para a Kx x xϭϪ ϭϩ2 97, ( )direita ←  Comentários sobre cada consideração usada para resolver este problema: • Escoamento sem atrito no bocal é uma boa aproximação. • Escoamento incompressível é uma boa aproximação para esse escoamento de baixa velocidade. • Nenhuma componente horizontal da força de campo é exata. • Nenhuma força de pressão resultante sobre o volume de controle é exata. • Escoamento sem atrito ao longo do defletor não é realista; o escoamento de ar ao longo do defletor deve ser desacelerado por atrito, reduzindo o fluxo de quantidade de movimento na saída. Problema *4.96 Dados: Bocal plano descarregando água em regime permanente e atingindo uma placa inclinada. Despreze o atrito no bocal e ao longo da superfície da placa. CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM41
  • 42.
    Determine: (a) Apressão manométrica mínima requerida na entrada do bocal. (b) Magnitude e sentido da força exercida pela corrente d’água sobre a placa inclinada. (c) Esboce um gráfico da distribuição de pressão ao longo da superfície da placa. Solução: Aplique as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de Bernoulli, usando as coordenadas e o VC mostrados. Equações básicas: V A V A p V gz p V gz R F t v d v V dAy B SCVC y 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 6 0 3 ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ␳ ␳ ␳ ␳ ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∫∫ r r Considerações: (1) Escoamento sem atrito. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (5) Escoamento uniforme em cada seção. Então, da equação da continuidade, V A A V W V mm mm m s m s1 2 1 2 2 12 7 51 8 12 2 2 99ϭ ϭ ␻ ϭ ϫ ϭ , , , , / Bocal Água CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM42
  • 43.
    Da equação deBernoulli, ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ ϫ и и ϭ 0 2 1 2 999 12 2 2 99 999 9 81 0 15 68 4 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 1 1 p V V g z z p z z h p kg m m s kg m m s m N s kg m kPa manométrica p g g g g ␳ ␳( ) ( ) ; ( , ) ( , ) , , , ( )[ ]    ←  Calcule V3 na ausência da placa usando Bernoulli (p2 ϭ p3) V V g H m s m s m s3 2 2 2 2 2 2 2 12 2 2 9 81 4 85 15 6 1 2 ϭ ϩ ϭ ϩ ϫ ϫ ϭ( , ) , , , /     Da quantidade de movimento: Rx ϭ 0, posto que não existe atrito na superfície da placa. Considerações: (6) Despreze as massas da placa e da água sobre a placa. (7) Pressão atmosférica age sobre todo o volume de controle; F RS yy ϭ . Então, 0 0 15 6 30 999 0 0155 209 209 3 3 4 4 5 5 3 3 3 3 3 R v m v m v m V Q visto que v V R m s kg m m s N s kg m N K N K y y y y ϭ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ ␳ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ ϭ Ϫ ˙ ˙ ˙ cos , cos , cos , , { } { } { } ° ←  ␪ ␪ A pressão é máxima no ponto de estagnação e mínima (patm) em ብ e ቦ. A pressão em a é maior que em b devido à curvatura da linha de corrente. CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM43
  • 44.
    Problema *4.100 Dados: Escoamentouniforme em espaço estreito entre placas paralelas, conforme mostrado. O fluido preenchendo esse espaço tem movimento horizontal apenas. Determine: Expressão para p(x). Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 5 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫ ∫ t d V dA F F t u d u V dA SCVC S B VC SC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Atrito desprezível. (5) FBx ϭ 0. Então, 0 0 0 0 ϭ и ϭ Ϫ ␻ ϩ Ϫ ␻ ␻ ϩ ϩ ␻ ␻ ϭ ϭ ␻ ϩ ϭ ϭ ϭ ␻ r r V dA V h Q L dx V dV h hdV Q L dx V Q h x L c c pois V V x Q h x L VC∫ { }       { }( ) ; ; ( ) ; ( ) Da quantidade de movimento, p h p dp h u V h u Q h dx u V dV h u V u u d V dV x dx x dx x dx x x ␻ Ϫ ϩ ␻ ϭ Ϫ ␻ ϩ Ϫ ␻ ␻ ϩ ϩ ϩ ␻ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ( ) ( )␳ ␳ ␳{ }       { } 0 CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM44
  • 45.
    Da continuidade, ( )VdV h V h Q dx L ϩ ␻ ϭ ␻ ϩ logo Ϫ ␻ ϭϪ ␻ ϩ ϩ ϩ ␻ ϩ ϭϪ ␻ ϩ ␻ ϩ ␻ ϩ ϩ dp h V h V dV V h Q dx L V h V h V hdV V Q dx L Q dV dx L ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 2 0 ) (    Desprezando produtos de diferenciais (dVdx Ӷ dx), e com dV Q h dx L ϭ ␻ Ϫ ϭ ϩ ␻ ϭ ␻ ϩ ␻ ␻ Ϫ ϭ ␻ ϭϪ ␻ ϩ ϭ ϭ Ϫ ␻ dp VdV V Q h dx L V Q h dx L V Q h x L Q h dx L dp Q hL xdx p x Q hL x C Se p p então p x Q h x L p x ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 0 2 2 2 0 0 2 2                 ←  ( ) ( ) , ( ) ( ) p Problema 4.107 Dados: Jato de água atingindo uma pá móvel conforme mostrado. Determine: A força necessária para manter a velocidade da pá constante. Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3 0 2 0 3 ( ) ( ) ( ) ( ) F F t u d u V dA F F t v d v V dA S B xyz VC xyz SC xyz S B xyz xyz xyz SCVC x x y y ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM45
  • 46.
    Considerações: (1) Nenhumaforça resultante de pressão sobre VC; F R F RS x S yx y ϭ ϭ, (2) FBx ϭ 0.; despreze FBy . (3) Escoamento permanente relativo à pá. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Área do jato e velocidade relativa à pá constantes. Todas as velocidades devem ser relativas ao VC. Então, R u V U A u V U A u V U u V U e R V U A kg m m s mm m mm N s kg m R N para a R x x x x ϭ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ Ϫ и и ϭϪ 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 6 2 1 999 30 15 600 10 90 1 135 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ( ) ( ) ( )cos ( ) (cos ) ( ) (cos ) ( ) { } { } ° ← esquerda  Também, R v V U A v V U A v v V U sen R V U A sen kg m m s mm m mm sen N s kg m N R N a força deve ser para R y y y y ϭ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ ϭ 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 6 2 2 0 999 30 15 600 10 90 135 135 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } ° ← cima  Problema 4.109 Dados: Prato circular com orifício e jato movendo-se conforme mostrado. Determine: A força requerida para manter o movimento do prato. CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM46
  • 47.
    Solução: Aplique acontinuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC movendo-se com o prato como mostrado. Equações básicas: ϭ ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 1 0 0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫∫ ∫ ∫ t d V dA F F t u d u V dA xyz SCVC B S xyz VC xyz SC x x ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r Considerações: (1) Escoamento permanente relativo ao VC. (2) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC. (3) Horizontal; FBx ϭ 0. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Nenhuma variação na velocidade do jato relativa à pá. (6) Escoamento incompressível. Então, 0 4 4 4 4 0 020 0 010 2 36 10 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 2 4 2 ϭ и ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ r r V dA V U D d A A D d m m xyz SC∫ [ ] ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) , , , ␲ ␲ ␲ ␲ Da equação da quantidade de movimento, R u V U D u V U d u V U A u V U u V U u V U R V U D V U d V U x x ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ ϭϪ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ Ϫ 1 2 2 2 3 3 4 1 2 3 2 2 2 2 2 4 4 40 4 4 ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ ␳ ␲ ␳ ␲ ␳ ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) ,             { } ° ␲␲ ␳ ␲ 4 40 4 1 40 999 30 10 2 36 10 1 40 167 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 ( ) cos ( ) ( ) ( cos ) ( ) , ( cos ) ( ) D d V U D d kg m m s m N s kg m R N a força deve ser aplicada para a Rx x Ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ ϩ ϭϪ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϫ и и ϭϪ Ϫ ° ° ° ← direita {Nota: Ry ϭ Mg, pois não há fluxo líquido de quantidade de movimento na direção y.} CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM47
  • 48.
    Problema 4.114 Dados: Umasérie de pás atingidas por jatos contínuos, conforme mostrado. Determine: (a) O ângulo do bocal, ␣. (b) A força para manter a velocidade das pás constante. Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel com as pás como mostrado. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) F F t u d u V dAS B xyz VC xyz xyz SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC. (2) Horizontal; FBx ϭ 0. (3) Escoamento permanente relativo ao VC. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre a pá. (6) Escoamento entra e sai tangencialmente às pás. O ângulo do bocal pode ser obtido por trigonometria. O triângulo de velocidades para a entrada é mostrado no esquema: Da lei de senos, sen V sen V sen U sen U V sen sen sen Do esquema de velocidades o Também V rb rb ␣ ␪ ␤ ␤ ␪ ␣ ␤ ␪ ␣ ␤ ␪ ␪ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ␣ Ϫ Ϫ ( ( ) , ( ) , , log , cos 90 90 50 86 6 120 30 90 90 90 30 30 30 1 1 1 1 1 1 ) 1     °       ° ° ° ° ° ° ° ←  ,, ; cos , cos , /ϭ ϭ ϭ ϫ ϭV sen V V sen m s sen m srb␣ ␣ ␪1 86 6 30 30 50 0 ° ° CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM48
  • 49.
    Da equação daquantidade de movimento (considere a vazão total ˙m dos escoamentos através das pás) R u m u m V sen m V sen m V m sen sen u V sen u V sen R m V x rb rb rb rb rb y rb ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϭϪ ϭ Ϫ ϩ 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ˙ ˙ ( ˙ ) ( ˙ ) ˙ ( ) , ; ˙ ( cos cos ) { } { } ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ Dessa forma, como ˙ ,m Qϭ ␳ R V Q sen sen m s kg m m s sen sen N s kg m R kN para a R x rb x x ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ и и ϭϪ ␳ ␪ ␪( ) , ( ) , ( ) 1 2 3 3 2 50 999 0 170 30 45 10 3 ° ° ← esquerda {Nota: A força resultante sobre o VC na direção y é Ry ϭ Ϫ1,35 kN.} Problema 4.122 Dados: Catapulta hidráulica do Problema 4.118 deslocando-se sobre trilha horizontal com resistência F kUD ϭ 2 , velocidade U, partindo do repouso em t ϭ 0. Determine: (a) Instante de aceleração máxima. (b) Esquema da aceleração versus tempo. (c) Valor de ␪ para maximizar aceleração, por quê? (d) Se U alcançará V em algum momento; explique. Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento ao VC em aceleração. Equação básica: ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( )Ϸ F F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz xyz xyz SCVC x x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫∫ r r Considerações: (1) F F kUS Dx ϭϪ ϭϪ 2 , onde k ϭ 0,92 Nиs2 /m2 . (2) Horizontal; FBx ϭ 0 . (3) Despreze a massa da água sobre o defletor. (4) Escoamento uniforme no jato. (5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre o defletor. CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM49
  • 50.
    Então, Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ ϭ ϩ Ϫ Ϫ kU a M u V U A u V U A sen V U A u V U u V U sen ou dU dt A sen M V U kU M rfx vc vc vc 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / { } { } (1) (a) A aceleração é máxima para t ϭ 0, quando U ϭ 0. ←  (b) A aceleração como função do tempo será (c) Da Eq. 1, dU/dt é máximo quando ␪ ϭ ␲/2 e sen ␪ ϭ 1 du dt máx. ←  (d) Da Eq. 1, dU/dt irá a zero quando U Ͻ V; isto corresponderá à velocidade terminal para o veículo, Ut. Da Eq. 1, dU/dt ϭ 0 quando ou ␳ ␪ ␳ ␪ ␳ ␪ A sen V U kU U A sen k A sen k V V ( ( ) ( ) ( , / / 1 1 1 1 0 472 2 2 1 2 1 2 ϩ Ϫ ϭ ϭ ϩ ϩ ϩ ϭ )         U será assintótico em relação a V. Problema 4.124 Dados: Veículo com pá defletora deslocando-se com resistência desprezível. a m s cons terfx ϭ ϭ2 2 / tan A área do jato é A(t), programada. tendência assintótica a zero CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM50
  • 51.
    Determine: (a) Expressãopara A(t). (b) Esquematize para t Յ 4s. (c) Avalie para t ϭ 2s. Solução: Aplique a quantidade de movimento segundo x ao VC com aceleração linear. Equação básica: ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )Ϸ F F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz VC xyz SC xyzx x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Considerações: (1) Nenhuma resistência ao movimento. (2) Movimento horizontal, logo FBx ϭ 0. (3) Despreze massa de líquido no VC. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Todas as velocidades medidas em relação ao VC. (6) Nenhuma variação na área da corrente ou na velocidade sobre a pá. Então (com a arfx ϭ ), Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭϪ ␳ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ a M u V U A u V U A V U A u V U u V U V U 1 2 2 1 2 3 2 120 1 2 ␳ ␳( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) { } { } ° Como a ϭ constante, U ϭ at e A A t a M V at A t Em t A A aM V Assim A A at ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ( ) ( ) ( ) , ( ) . , ( ) 2 3 0 0 2 3 1 1 2 0 2 0 2 ␳ ␳ ←  Esquema: Para t ϭ 2s, A m s kg m kg m s m s s mm m mm Aϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϭ 2 3 2 3 999 1 10 2 2 10 111 22 3 2 2 6 2 2 2     ←  ( ) CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM51
  • 52.
    Problema 4.127 Dados: Foguetetrenó desacelerado por concha arrastando água. Arrasto aerodinâmico proporcional a U2 . Para U0 ϭ 300 m/ s, FD ϭ 90 kN. Largura da concha, w ϭ 0,3 m. Determine: A profundidade de imersão da concha para reduzir a velocidade a 100 m/s após percorrer a distância L. Solução: Aplique a componente x da equação de quantidade de movimento usando o VC com aceleração linear mostrado. Equação básica: ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 1 0 2( ) ( )Ϸ F F a d t u d u V dAS B VC rfx xyz xyz xyz SCVC x x ∫ ∫∫∀ ∂ ∂ ∀␳ ␳ ␳ r r Considerações: (1) FBx ϭ 0. (2) Despreze taxa de variação de u dentro do VC. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Nenhuma variação na velocidade relativa do líquido na concha. Então, Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ и и ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭ Ϫ F Ma u Uwh u Uwh h imersão da concha u U u U Mas F kU k F U kN s m N kN kg m N s kg m kU M dU dt U wh posto que a dU dt Assim D rfx D D rtx 1 2 1 2 2 0 0 2 2 2 3 2 2 2 2 90 300 10 1 00 1 ␳ ␳ ␪ ␳ ␪ { } { }; cos ; ( ) , / ( cos ), / . , MM dU dt k wh U MU dU dX ou dU U CdX onde C k wh M Integrando U U CX o C X U U C m m ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ Ϫ Ϫ ␳ ␪ ␳ ␪ ( cos , ( cos ) , ln , log ln ln , 1 1 1 1 800 100 300 1 37 10 2 0 0 3 1 )[ ]     CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM52
  • 53.
    Resolvendo para hh MC k w h kg m kg m m kg m m h mm h , ( cos ) , , , cos , , ϭ Ϫ ϩ ϭ ϫ ϫ Ϫ ϫ ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ␳ ␪1 8000 1 37 10 1 00 999 1 0 3 1 1 30 0 0179 17 9 3 3     °( ) ←  Problema 4.143 Dados: Foguete trenó com massa inicial de 4000 kg, incluindo 1000 kg de combustível. A resistência ao movimento é dada por kU com k ϭ 75 N/m/s. Determine: A velocidade do trenó 10 s após a partida do repouso. Plote: A velocidade e a aceleração do trenó como funções do tempo. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado. Equação básica: ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 2 0 3( ) ( ) ( )F F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz VC xyz xyz SC x x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Considerações: (1) pe ϭ patm (dado), logo F FS Rx ϭϪ . (2) FBx ϭ 0. (3) Despreze efeitos transientes dentro do VC. (4) Escoamento uniforme no plano de saída. Então, Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭϪ ϭ ϭϪF a M u m V m F kU VR rfx e e R e ˙ ˙ ,{ } { }ue Da continuidade, M M mtϭ Ϫ0 ˙ . Substituindo com a dU dt rfx ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ kU M mt dU dt V m dU dt V m kU M mt ou dU V m kU dt M mt Integrando k V m kU m M mt e e e e U t ( ˙ ) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ , ln ( ˙ ) ln ( ˙ ) 0 0 0 0 0 0 1 1 ] ] CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM53
  • 54.
    e V m kU Vm kU V m k m M mt M k m mt M Então kU V m mt M e U V m k mt M e e e e k m e k m ln ˙ ˙ ln ( ˙ ˙ ln ˙ ˙ ln ( ˙ , ˙ ( ˙ ˙ ˙ / ˙ / ˙ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ          ( )                 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0                 ←  Para t s U m s kg s m N s N s kg m kg s s kg N s m s kg kg m N s U m s U ϭ ϭ ϫ ϫ и ϫ и и Ϫ Ϫ ϫ ϫ и ϫ ϫ и и ϭ 10 1500 90 75 1 1 90 10 1 4000 75 90 344 2 2 / (1) Problema 4.145 Dados: Motocicleta com foguete de propulsão, para saltos, acelerando-se em pista horizontal. Velocidade necessária, Uj ϭ 875 km/h. Velocidade de descarga do foguete, Ve ϭ 2510 m/s. Massa total, MB ϭ 375 kg (sem combustível). Determine: A massa mínima de combustível necessária para alcançar Uj. Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC em aceleração mostrado. Da continuidade, M M mtvc ϭ Ϫ0 ˙ Equação básica: Ϸ Ϸ0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )ϭ ϩ Ϫ ϫ ϭ ϩ иF F a d t u d u V dAS B rfx VC xyz VC xyz SC xyzx x ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Considerações: (1) Despreze resistências do ar e de rolamento. (2) Movimento horizontal, logo FBx ϭ 0. (3) Despreze efeitos transientes dentro do VC. (4) Escoamento uniforme no plano de saída do bocal. (5) Pe ϭ Patm. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM54
  • 55.
    Então, Ϫ ϭ ϩϭϪ ϭ ϭ Ϫ ϭϪ a M u m V m ou dU dt V m M V m M mt u V rfx vc e e e vc e o e e ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ { } Separando variáveis e integrando, dU V mdt M mt ou U V M mt V M M mt Mas M M M e M mt por to U V M M M M M M M e o j e o o t e o o o B F F j e B F B F B F ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ˙ ˙ ln( ˙ ) ln ˙ ˙ , tan , ln ln ;                        1 1 BB U V F B Uj V F B Uj V F F e M M e Finalmente M M e M kg km h s m m km h s M kg M j e e e F ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ ϭ / / / ; , ( ) exp , 1 1 375 875 2510 1000 3600 1 38 1       ←  A massa de combustível requerida é cerca de 10% da massa da motocicleta ϩ motociclista. Problema 4.155 Dados: Tanque movimentado por jato ao longo de pista horizontal. Resistência desprezível. Aceleração a partir do repouso. Massa inicial, M0. Determine: (a) Aplique a continuidade e a componente x da quantidade de movimento para mostrar que M ϭ Mo V/(V Ϫ U) (b) Expressão geral para U/V como uma função do tempo. Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM55
  • 56.
    Equações básicas: 0 0 10 2 0 3 ϭ ϩ и ϭ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и ∂ ∂ ∀ ( ) ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t d V dA F F a d t u d u V dA VC xyz SC S B rfx VC xyz VC xyz SC xyzx x ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r ( ) ( ) )Ϸ Considerações: (1) FSx ϭ 0. (2) FBx ϭ 0. (3) Despreze u dentro do VC. (4) Escoamento uniforme no jato. Da continuidade, 0 ϭ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ∂ ∂ { }t M V U A ou dM dt V U Avc ␳ ␳( ) ( ) Da quantidade de movimento, Ϫ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϭϪ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ ϭ ϭ ϭ a M dU dt M u V U A V U V U A u V U Mas da continuidade V U A dM dt e dU d V U por to dU dt M d V U dt M V U dM dt ou M V U cons te M V Assim M M rfx o o ␳ ␳ ␳ ( ) ( ) ( ) ; , ( ) , ( ), tan , ( ) ( ) ( ) tan , { } [ ] VV V U M/( )Ϫ ←  Substituindo na quantidade de movimento, Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ dU dt M d V U dt M V V U V U Ao( ) ( ) ( )␳ 2 ou d V U V U A VM dt o ( ) ( ) Ϫ Ϫ ϭ Ϫ3 ␳ Integrando, d V U V U V U V A VM dt A VM t V V U oo t o ( ) ( ) ( ) Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ Ϫ ϭϪ ϭϪ ␳Ϫ 3 2 2 1 2 1 1 ∫ ∫       ␳ Resolvendo, U V VA M t U V ϭ Ϫ ϩ ␳ 1 1 1 2 0 1 2                     ←  / CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM56
  • 57.
    Problema 4.158 Enunciado: Váriosfabricantes de brinquedos vendem “foguetes” de água que consistem de tanques de plástico que são parcialmente enchidos com água e pressurizados, em seguida, com ar. Quando liberado, o ar comprimido força a água rapidamente para fora do bocal, impulsionando o foguete. Você foi chamado para auxiliar na especificação das condições ótimas para o sistema de propulsão a jato d’água. Para simplificar a análise, considere apenas o movimento horizontal. Faça a análise e o projeto necessários para definir o desempenho de aceleração do foguete com propulsão a jato d’água e ar comprimido. Identifique a fração do volume do tanque que deveria ser inicialmente preenchido com ar comprimido para alcançar o desempenho ótimo (isto é, a máxima velocidade obtida com a carga d’água). Descreva o efeito da mudança na pressão inicial do ar no tanque. Discussão: O processo pode ser modelado como uma expansão politrópica do ar aprisionado que força um jato d’água a sair pelo bocal, causando a aceleração do “foguete”. O expoente politrópico pode ser variado para modelar qualquer coisa entre um processo de expansão isotérmica (n ϭ 1) até um processo de expansão adiabática (n ϭ k), o qual é provavelmente o modelo mais adequado para a expansão súbita do ar. A velocidade do jato d’água deixando o “foguete” é proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão entre o tanque e a atmosfera. Qualitativamente, é aparente que, quanto menor for a fração inicial em volume de ar aprisionado, maior será a razão de expansão do ar e mais rápida será a redução da pressão quando o ar se expande. Isto causará uma queda rápida na velocidade do jato d’água. A combinação da baixa velocidade do jato d’água e a massa relativamente grande de água produzirá uma aceleração lenta. O aumento na fração inicial em volume de ar reduzirá a razão de expansão, logo, pressões mais altas serão mantidas por mais tempo no tanque e o jato d’água manterá velocidades maiores por tempos mais longos. Isto, combinado com a massa relativamente pequena de água no tanque, produzirá aceleração rápida. Se a fração inicial em volume de ar é muito grande, toda a água será gasta antes que a pressão do ar seja reduzida significativamente. Nesta situação, uma parte da energia do ar armazenado será dissipada num jato de ar relativamente ineficaz. Conseqüentemente, para cada pressão inicial no tanque existe uma fração ótima de ar. Este problema não pode ser resolvido com formulação analítica devido às variações na pressão e na vazão mássica do ar e na massa de água no tanque; ele só pode ser resolvido numericamente. Um possível esquema de integração é dar incrementos de tempo e resolver para todas as propriedades do sistema em cada instante. A desvantagem deste esquema é que a água é exaurida em um incremento de tempo par, o que não é de todo razoável. Um segundo esquema é dar incrementos ao volume de água remanescente e resolver para as propriedades, usando a vazão média durante o intervalo. Este esquema é delineado a seguir. Modele o “foguete” com propulsão a jato de água e ar, usando o VC e as coordenadas mostradas. Primeiro, escolha as dimensões e a massa do “foguete” a ser simulado: Dados de Entrada: Diâmetro do jato: Dj ϭ 0,003 m Diâmetro do tanque: Dt ϭ 0,035 m Comprimento do tanque: L ϭ 0,1 m Massa do tanque: Mt ϭ 0,01 kg Expoente politrópico: n ϭ 1,4 — Em seguida, escolha condições iniciais para a simulação (veja exemplo de cálculos a seguir): Água Ar CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM57
  • 58.
    Condições Iniciais: Fração dear no tanque: ␣ ϭ 0,5 — Pressão no tanque: p0 ϭ 200 kPa (manométrica) Incremento de volume: ⌬␣ ϭ 0,02 — Calcule parâmetros de referência: Parâmetros Calculados: Área do jato: Aj ϭ 7,07E-06 m2 Volume do tanque: ᭙t ϭ 9,62E-05 m3 Massa inicial de ar: ᭙0 ϭ 4,81E-05 m3 Massa inicial de água: M0 ϭ 0,0481 kg (Estes parâmetros são usados na planilha a seguir.) Diminua, então, a fração de água no tanque de ⌬␣: Resultados dos Cálculos: Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração Velocidade Fração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do de Água Manométrica de Água Mw Vj (m/s) dm/dt ⌬t t (s) “Foguete”, a “foguete”, U ᭙w/᭙t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2 ) (m/s) 0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 0 0,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668 O cálculo é feito como segue: (1) Diminua ␣ de ⌬␣ (2) Calcule p de p po o n ϭ ∀ ∀     p kPa kPa manométricaϭ ϩ Ϫ ϭ( , ) , , , , ( ) , 200 101 325 0 50 0 52 101 325 183 9 1 4       (3) Use Bernoulli para calcular a velocidade do jato V p N m m kg kg m N s m sj ϭ ⌬ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ 2 2 183 9 10 999 19 103 2 3 2 1 2 ␳ , , / *       (4) Calcule a massa de água usando ␣ (5) Use a conservação da massa para calcular a vazão CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM58
  • 59.
    ˙ , ,, /m V A kg m m s m kg sj jϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϭϪ ␳ 999 19 10 7 07 10 0 13493 6 2 (6) Use a vazão média durante o intervalo para aproximar ⌬t: ⌬ ϭ ⌬ ϭ ⌬ ϭ Ϫ ϫ ϭt m dm dt m m kg s kg s / ˙ ( , , ) , , *0 0481 0 0461 0 138 0 01449 (7) Use a quantidade de movimento para calcular a aceleração (note que M ϭ Mw ϩ Mt): a mV M kg s m s kg m srfx j ϭ ϭ ϫ ϫ ϩ ϭ ˙ , , , , , / * 0 135 19 2 1 0 0461 0 0100 46 2 2 (8) Finalmente, use a aceleração média para obter a velocidade U U a t m s m sϭ ϩ ⌬ ϭ ϩ ϫ ϭ0 2 0 48 1 0 01395 0 669, , , / * Repita esses cálculos até que a água seja esgotada ou a pressão do ar caia a zero, como mostrado a seguir: Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração Velocidade Fração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do de Água Manométrica de Água, Mw Vj (m/s) dm/dt ⌬t t (s) “Foguete”, a “Foguete”, U ᭙w/᭙t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2 ) (m/s) 0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 0 0,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668 0,46 169 0,0442 18,4 0,130 0,0145 0,0284 45,2 1,34 0,44 156 0,0423 17,7 0,125 0,0151 0,0435 43,1 2,01 0,42 143 0,0404 16,9 0,120 0,0157 0,0592 41,2 2,67 0,40 132 0,0384 16,3 0,115 0,0164 0,0756 39,4 3,33 0,38 122 0,0365 15,6 0,110 0,0171 0,0927 37,8 3,99 0,36 112 0,0346 15,0 0,106 0,0178 0,110 36,2 4,65 0,34 103 0,0327 14,4 0,101 0,0186 0,129 34,8 5,31 0,32 94,6 0,0308 13,8 0,0972 0,0194 0,148 33,5 5,97 0,30 86,8 0,0288 13,2 0,0931 0,0202 0,169 32,2 6,63 0,28 79,5 0,0269 12,6 0,0891 0,0211 0,190 31,0 7,30 0,26 72,7 0,0250 12,1 0,0852 0,0221 0,212 29,9 7,97 0,24 66,3 0,0231 11,5 0,0814 0,0231 0,235 28,9 8,65 0,22 60,4 0,0211 11,0 0,0776 0,0242 0,259 27,9 9,34 0,20 54,7 0,0192 10,5 0,0739 0,0254 0,284 26,9 10,0 0,18 49,4 0,0173 9,95 0,0702 0,0267 0,311 26,0 10,7 0,16 44,4 0,0154 9,43 0,0666 0,0281 0,339 25,2 11,5 0,14 39,7 0,0135 8,92 0,0630 0,0297 0,369 24,3 12,2 0,12 35,2 0,0115 8,40 0,0593 0,0314 0,400 23,5 12,9 0,10 31,0 0,00961 7,88 0,0556 0,0334 0,434 22,7 13,7 0,08 27,0 0,00769 7,35 0,0519 0,0357 0,469 22,0 14,5 0,06 23,2 0,00577 6,81 0,0481 0,0384 0,508 21,2 15,3 0,04 19,6 0,00384 6,26 0,0442 0,0416 0,550 20,4 16,2 0,02 16,1 0,00192 5,68 0,0401 0,0456 0,595 19,5 17,1 0,00 12,9 0,0000 5,07 0,0358 0,0506 0,646 18,6 18,1 *Note o efeito do erro de arredondamento. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM59
  • 60.
    Nesta simulação, aágua é esgotada quando t Ϸ 0,65 s; Vmáx ϭ 18,1 m/s. Mudanças na fração inicial de ar produzem o seguinte: Para essa combinação de parâmetros, uma velocidade máxima de cerca de 20,8 m/s é atingida com uma fração inicial de ar de 0,66, aproximadamente. Problema 4.159 Dados: Jato vertical incidindo sobre um disco. O disco pode mover-se livremente na vertical. Determine: (a) Equação diferencial para h(t), se o disco for solto de uma altura H Ͼ h0, sendo h0 a altura de equilíbrio. (b) Esboce h(t) e explique. Solução: Aplique a equação de Bernoulli ao jato e, em seguida, a componente y da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear. Equações básicas: ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ ϩ и 0 2 2 0 6 0 7 0 0 2 0 1 1 2 1 p V gz p V gz F a d t v d v V dAB rfy VC xyz VC xyz SC xyzy ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ( ) ( )Ϸ FSy ∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ r r Velocidademáxima,Vmáx(m/s) Fração inicial de ar, ␣(––) (manométrica) CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM60
  • 61.
    Considerações: (Os itensde 1 a 4 aplicam-se apenas ao jato.) (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Atrito desprezível. (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente. (5) p1 ϭ p0 ϭ patm. (6) Nenhuma força de pressão sobre VC, logo FSy ϭ 0. (7) Massa de líquido desprezível no VC e v Ϸ 0 no VC. (8) Escoamento uniforme em cada seção. (9) Velocidades medidas em relação ao VC. Da quantidade de movimento Ϸ Ϸ Ϸ 0 7 0 7 0 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ , , Ϫ ϩ Ϫ ϩ ϭ Ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭϪ Ϫ ␻ ␻M m g a M m v V U A v m v V U v Com a d h dt U dh dt então Mg M d h dt V dh dt A rfy rfy ␳ ␳ { } { }     Mas, de Bernoulli, V V gz por to V V gh pois z h t1 2 0 2 1 1 0 2 1 2 2 2ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ, tan , , ( ) Também da continuidade, V1A1 ϭ V0A0, logo, A1 ϭ A0V0/V1. Substituindo, d h dt V gh dh dt A V M V gh g Eq Diferencial p h t Para a altura de equilíbrio h h dh dt e d h dt Então V gh A V Mg E assim V gh Mg V o o o o o o o o o o o o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 ϭ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ␳ ␳ ␳     ←  . / ( ) , , . , , AAo       2 Esta equação pode ser resolvida para obter h V g Mg V A V g Mg mV o o o o o o ϭ Ϫ ϭ Ϫ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ␳                            ˙ CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM61
  • 62.
    Quando o discoé liberado, H Ͼ h0 e dh/dt ϭ 0. Visto que a equação para d2 h/dt2 é não-linear, oscilações ocorrerão. O comportamento esperado é esboçado a seguir: Notas: (1) Oscilações esperadas. (2) ⌬h3 Ͻ ⌬h2 Ͻ ⌬h1, devido à equação não-linear. Problema *4.163 Enunciado: Uma demonstração em classe da quantidade de movimento linear é planejada, usando-se um sistema de propulsão a jato d’água para um carrinho trafegando sobre uma pista reta horizontal. O comprimento da pista é de 5 m e a massa do carrinho é de 155 g. O objetivo do projeto é obter o melhor desempenho para o carrinho, usando 1L de água contida em um tanque cilíndrico aberto feito de folha plástica com massa específica de 0,0819 g/cm3 . Para estabilidade, a altura máxima do tanque de água não pode exceder 0,5 m. O diâmetro do orifício bem arredondado do jato d’água não pode exceder 10% do diâmetro do tanque. Determine as melhores dimensões para o tanque e para o jato d’água, modelando o desempenho do sistema. Plote aceleração, velocidade e distância como funções do tempo. Determine as dimensões ótimas para o tanque de água e para o orifício do jato no tanque. Discuta as limitações de sua análise. Discuta como as suposições afetam o desempenho previsto para o carrinho. Seria o desempenho real do carrinho melhor ou pior do que o previsto? Por quê? Que fatores influenciam a(s) diferença(s)? Discussão: A solução é uma extensão do Problema *4.162. A análise para o nível do tanque, aceleração e velocidade é idêntica; retorne à solução do Problema *4.162 para as equações que descrevem cada uma dessas variáveis como funções do tempo. Um novo aspecto deste problema é o cálculo da distância percorrida. A Eq. 7 do Problema *4.162 poderia ser integrada analiticamente para fornecer uma equação para a distância percorrida como uma função do tempo. Contudo, a integral seria confusa e não levaria a um bom entendimento da dependência dos parâmetros chaves. Conseqüentemente, uma análise numérica foi escolhida neste problema. Os resultados são apresentados em gráficos e planilhas a seguir. Nós decidimos escolher velocidade como a saída a ser maximizada. Um segundo novo aspecto deste problema é a restrição geométrica: o comprimento máximo da pista é de 5 m. Intuitivamente, o diâmetro do jato seria escolhido como a maior fração possível do diâmetro do tanque para o desempenho ótimo. Usando a planilha para variar ␤ ϭ d/D confirmamos esta escolha. Então, usamos a razão máxima permitida, ␤ ϭ 0,1, para todos os cálculos. A altura do tanque deve ser um fator de desempenho. A intuição sugere que aumentar a altura do tanque melhora o desempenho. A planilha mostra uma dependência muito fraca com a altura. O desempenho é melhor para alturas pequenas do tanque, correspondendo ao mínimo de massa no tanque. Quando a altura do tanque diminui, o diâmetro aumenta porque o volume do tanque é mantido constante. Como a razão de diâmetros é constante, o diâmetro do jato aumenta com a diminuição da altura do tanque. Este efeito praticamente anula o efeito da altura do tanque. As principais limitações na análise são as suposições de resistência desprezível ao movimento e de inclinação zero para a superfície livre da água no tanque. O desempenho real do carrinho seria, provavelmente, menor do que o previsto por causa da resistência ao movimento. CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM62
  • 63.
    A distância émodelada como x x U t a ti i x iϩ ϭ ϩ ⌬ ϩ ⌬1 1 2 1 2 , A incerteza deste modelo para a posição é consistente com a incerteza do modelo do sistema de propulsão a jato d´água. Análise do carrinho impulsionado por jato d´água criado por gravidade: Dados de Entrada: g ϭ 9,81 m/s2 Aceleração da gravidade H ϭ 500 mm Altura do tanque Mc ϭ 0,155 kg Massa do carrinho ᭙ ϭ 1,00 L Volume do tanque ␤ ϭ 0,100 (—) Razão do diâmetro do jato para o diâmetro do tanque ␳ ϭ 999 kg/m3 Massa específica da água ␳ЈЈ ϭ 0,819 kg/m2 Massa específica do material do tanque (por área) Parâmetros Calculados: a ϭ 0,471 (—) (a2 ϭ) Razão da massa do tanque para a massa inicial de água b ϭ 0,0313 sϪ1 Parâmetro geométrico da solução d ϭ 5,05 mm Diâmetro do jato d’água D ϭ 50,5 mm Diâmetro do tanque Mc ϭ 1,00 kg Massa inicial de água no tanque Mp ϭ 0,0666 kg Massa de plástico do tanque Mt ϭ 0,222 kg Massa de plástico do tanque mais carrinho Resultados dos Cálculos: Tempo, Nível Aceleração Velocidade Posição t y/H ax U X (s) (—) (m/s2 ) (m/s) (m) 0 1 0,161 0 0 0,5 0,903 0,160 0,080 0,0201 1,0 0,810 0,159 0,160 0,080 1,5 0,723 0,158 0,239 0,180 2,0 0,640 0,157 0,317 0,319 2,5 0,583 0,158 0,395 0,497 3,0 0,490 0,154 0,473 0,714 3,5 0,423 0,153 0,550 0,97 4,0 0,360 0,152 0,626 1,26 4,5 0,303 0,151 0,702 1,60 5,0 0,250 0,150 0,777 1,97 5,5 0,203 0,148 0,852 2,37 6,0 0,160 0,147 0,925 2,82 6,5 0,123 0,145 1,00 3,30 7,0 0,0900 0,144 1,07 3,82 7,5 0.0625 0,142 1,14 4,37 8,0 0,0400 0,141 1,21 4,96 8,03 0,0388 0,141 1,22 5,00 9,0 0,0100 0,137 1,35 9,5 0,0025 0,135 1,42 10,0 0,0000 0,133 1,49 CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM63
  • 64.
    Problema *4.167 Dados: Borrifadorde irrigação montado sobre um carrinho. V ϭ 40 m/s ␪ ϭ 30° D ϭ 50 mm Escoamento de água h ϭ 3 m M ϭ 350 kg Nível de Água, Aceleração,Velocidade e Distância versus Tempo Nível,Aceleração,VelocidadeeDistância Tempo, t (s) Tempo, t (s) Distância Nível de água Velocidade Aceleração Distância,X(m) Distância versus Tempo CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM64
  • 65.
    Determine: (a) Magnitudedo momento que tende a derrubar o carrinho. (b) Valor de V de movimento iminente; natureza do movimento iminente. (c) Efeito da inclinação do jato sobre os resultados. Plote: Velocidade do jato como uma função de ␪ para o caso de movimento iminente. Solução: Aplique a equação de momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo mostrado. A origem de coordenadas está no chão junto à roda esquerda do carrinho. Com este sistema de coordenadas, momentos no sentido anti-horário são positivos (em torno do eixo z). Equação básica: ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и 0 1 0 2( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r F r g d T t r V dV r V V dAs VC s SC VC ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂∫ ∫∫∫ Considerações: (1) r Ts ϭ 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme na saída do bocal. (4) Despreze r r r Vϫ do escoamento de entrada. (5) Centro de massa localizado em x ϭ w/2. (6) O comprimento do bocal é pequeno; as coordenadas da saída do bocal são (x2, y2) ϭ (W/2, h). Então, ϭ ϫ ϩ ϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϫ Ϫ ϭ ϩ ϭ ϩ Ϫ ϭ ␪ Ϫ Ϫ ϭ 0 4 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( ) ˆ ˆ (cos ˆ) ˆ ˆ ˙ ˆ cos ˙ ˆ ˙ r r r r r r r r r F r Mg r V V A r V V A r W ı hj V V i sen j e WN k W Mg k W V sen m k h V m k WN W Mg mV W S ␳ ␳ ␪ ␪ ␪ { } { } 22 sen h␪ ␪Ϫ cos    (1) CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM65
  • 66.
    Reescrevendo a Eq.1 na forma ΑM3 ϭ 0 {para equilíbrio estático} WN W Mg m V h W sen4 2 2 0Ϫ ϩ Ϫ ϭ˙ cos␪ ␪    (2) O último termo na Eq. 2 é o momento (devido ao jato) que tende a derrubar o carrinho. Avaliando, ˙ ˙ ( , ) / , / m A V D V m kg m m m s kg s ϭ ␳ ϭ ␳ ␲ ϭ ϫ ␲ ϫ ϭ 2 2 2 2 3 2 2 4 999 4 0 05 40 78 5 Portanto, com V2 ϭ 40 m/s, Momento do jato kg s m s N s kg m m m sen Momento kN m Momentojato jato ϭ ϫ ϫ и и Ϫ ϭ и 78 5 40 3 30 1 5 2 30 6 98 2 , cos , , ° °    ←  Para o caso de tombamento iminente (em torno do ponto 3), N4 → 0 e, da Eq. 2, Ϫ ϩ Ϫ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϪϪ W Mg m V h W sen o Para resolver para V escreva m A V V WMg A h W sen V m kg m s m kg m sen m V 2 2 2 2 1 5 2 350 9 81 999 1 1 96 10 1 3 30 0 75 30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 ˙ cos , ˙ cos , , , ( cos , ) ␪ ␪ ␳ ␳ ␪ ␪         ° 22 2 2 2592 24 3 2ϭ ϭm s V m s V/ , /∴ ←  (3) Assim, a velocidade máxima permitida sem tombamento é menor do que o valor sugerido. O movimento iminente será de inclinação desde que F3 Ͻ µN3. Da equação de quantidade de movimento segundo x f mV3 2ϭ ˙ cos ␪ Da equação de quantidade de movimento segundo y N Mg mV sen3 2ϭ ϩ ˙ ␪ CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM66
  • 67.
    Para inclinação, µϾ 0,377 Da Eq. 2, deduzimos que, quando ␪ aumenta, a tendência para tombar diminui. Para tombamento iminente, da Eq. 3, V W Mg A h W sen ϭ Ϫ2 2 2 1 2 ␳ ␪ ␪cos /                 Problema *4.172 Dados: Regador de jardim girando no plano horizontal. Despreze o atrito. Q ϭ 68 L/min. Determine: A velocidade angular em regime permanente para ␪ ϭ 30°. Plote: Velocidade angular em regime permanente para 0 Յ ␪ Յ 90°. Solução: Escolha VC rotativo. Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, Eq. 4.53. Velocidadedojato,Vjato(m/s) Velocidade do jato para tombamento iminente Ângulo, ␪ (graus) (Gira) CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM67
  • 68.
    Equação básica: ϭ ϭϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ и 0 1 0 2 0 3 0 5 0 6 2 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r r F r g d T r V r r d t r V d r V V dA S VC eixo xyz VC xyz VC xyz SC xyz ∫ ∫ ∫ ∫ ∀ [ ] ∀ ∂ ∂ ∀ ␳ ␳ ␳ ␳ Considerações: (1) r FS ϭ 0. (2)Torques de campo anulam-se. (3) r Teixo ϭ 0. (4)Arrasto aerodinâmico desprezível. (5) Nenhuma componente ˆk da aceleração centrípeta. (6) Escoamento permanente. (7) L Ӷ R. Analise um braço do regador. Da geometria, r r r ri r Riϭ ϭˆ , ˆno VC no jato. Então, Ϫ ϫ ␻ ϫ ϭ ϫ Ϫ ϭϪ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ Ϫ ϭϪ␻ Ϫ␻ ϭϪ ϭ ␻ ϭ ϭ r r r r V d Ri Vsen j Q QRV sen k ri k Vi Vr k VR A k E inando k VR A QRV sen por to com VA Q V R sen V Q xyz VC VC 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 [ ] ∀∫ ∫ ␳ ␪ ␳ ␳ ␪ ␳ ␳ ␳ ␪ ␪ ˆ ( ˆ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ) ˆ; ˆ lim ˆ, , tan , / , ; AA Q d m m s m s m s m sen sen rad s ϭ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϭ ␪ ␻ Ϫ 4 3 4 3 68 10 1 0 00635 60 11 9 11 9 1 0 152 78 3 2 3 3 2 2 ␲ ␲ ␪ min ( , ) min , / , , , / ←  Traçando os gráficos: (graus) Para Gráfico CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM68
  • 69.
    Problema *4.174 Dados: Tuborotativo simples com água. Q ϭ 13,8 L/min. Determine: O torque que deve ser aplicado para manter rotação em regime permanente usando: (a) Volume de controle rotativo. (b) Volume de controle fixo. Solução: Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, ␻ ϭ ϭ33 1 3 3 49 rev rad s min , /      (a) VC rotativo: use velocidades relativas, Eq. 4.53. Equação básica: ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϭ Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ␳ и 0 1 0 2 0 3 0 4 2 0 5 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r r r r F r g d T r V r r d t r V d r V V d S VC eixo xyz VC xyz VC xyz SC xyz ␳ ␳ ␳ ∀ [ ] ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫ ∫ AA Considerações: (1) r FS ϭ 0. (2) Torques de campo anulam-se. (3) Nenhuma componente ˆk da aceleração centrípeta. (4) r˙ .␻ ϭ 0 (5) Escoamento permanente. (6) r r r Vϫ ϭ 0. Então, T k r V d rı k Vı Adr VAR k Q R k T rad s kg m m m s N s kg m N m T eixo o R VC eixo ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ) ˆ ˆ , , min ( , ) min , ϭ ϫ ␻ ϫ ϭ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ иϪ r r r 2 2 3 49 999 13 8 10 0 3 60 0 0722 2 2 3 3 3 2 2 2 ␳ ␳ ␳ ␳∀ ←  ∫∫ (b) VC fixo: use velocidades absolutas, Eq. 4.47. CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM69
  • 70.
    Equação básica: ϭ ϭ ϫϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и 0 1 0 2( ) ( ) r r r r r r r r r r r F r g d T t r V d r V V dAS eixo VC xyz SCVC ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫∫ Em relação às coordenadas fixas XY, r r r r r r ı sen j V V ı sen j r sen ı j r V i j k r rsen o V r sen Vsen r o k rVsen r rvsen r sen r k Dessa forma ϭ ϩ ϭ ϩ ϩ ␻ Ϫ ϩ ϫ ϭ Ϫ ␻ ϩ ␻ ϭ ϩ ␻ Ϫ ϩ ␻ ϭ␻ (cos ˆ ˆ) (cos ˆ ˆ) ( ˆ cos ˆ) ˆ ˆ ˆ cos cos cos ˆ ( cos cos cos ) ˆ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ 2 2 2 2 2 2 2 ,, / ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( )); , ∂ ∂ { } ←  ∫t e r V V dA R k Q Q R k e T k Q R k como no caso a T N m T SC xyz eixo ϭ ϫ и ϭ ␻ ϩ ϭ ␻ ϭ ␻ ϭ и 0 0 0722 2 2 2 r r r r ␳ ␳ ␳ ␳ {Note que, quando aplicadas corretamente, as duas escolhas de VC produzem o mesmo resultado.} Problema *4.175 Dados: Pequeno regador rotativo de jardim conforme mostrado. O torque de atrito no pivô é zero. I ϭ 0,1 kgиm2 . A vazão é Q ϭ 4,0 L/min. Determine: Aceleração angular inicial, a partir do repouso. Solução: Aplique o momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo confinando os braços do regador. Equação básica: Ӎ 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )ϭ ϭ ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϫ ϩ ϫ и r r r r r r r r r r r r F r g d T t r V d r V V dAS VC eixo VC SC ␳ ␳ ␳∀ ∂ ∂ ∀∫ ∫ ∫ suprimento (manométrica) CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM70
  • 71.
    Considerações: (1) Desprezetorque devido a forças de superfície. (2) Torques de forças de campo cancelam-se por simetria. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada jato. Então, Ϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϫ ϫ ϭ ϭ ␻ Ϫ ϩ␪ T k r V Q r V Q r V r Ri V R V i V sen i eixo entrada jato entrada r rel re z ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ( cos )ˆ ˆ r r r r r r r r ␳ ␳ ␣ ␣ { }       2 1 2 0 1 Ӎ O jato sai do regador a r V abs V i sen irel z( ) cos ( ˆ ) (ˆ )ϭ Ϫ ϩ␣ ␣␪[ ] Portanto, r r r V Ri V i sen i RV i sen ir rel z rel zϫ ϭ ϫ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫˆ cos ( ˆ ) (ˆ ) cos ( ˆ ) ( ˆ )␣ ␣ ␣ ␣␪ ␪[ ] [ ] Somando os momentos sobre o rotor, Α r r M Iϭ ␻ . Dessa forma, ˙ cos min , , min , , ˙ , / ˙ ␻ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ Ϫ и ϫ и и и ␻ ϭ ␻ ΑT I QRV T I kg m L m m s m L s N m kg m N s kg m rad s rel eixo␳ ␣ 999 4 0 2 17 0 866 1000 60 0 18 1 0 1 0 161 3 3 2 2 2       ←  {Não é necessário usar um VC rotativo porque, para o instante considerado, r ␻ ϭ 0 e I é conhecido.} Problema *4.178 Dados: Conjunto de bocal girando em regime permanente, conforme mostrado no esquema Coordenadas xyz giram com VC VC rotativo Coordenadas XYZ são fixas CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM71
  • 72.
    Determine: (a) Torquerequerido para mover o conjunto. (b) Torques de reação no flange. Solução: Aplique a equação do momento da quantidade de movimento ao VC rotativo mostrado. Equação básica: Ϸ 0 2 0 3 0 5 0 7 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r F r g d T r V r r d t r V d r V V dA S VC eixo VC xyz xyz VC xyz VC xyz ϫ ϩ ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ␻ ϫ ϩ ␻ ϫ ϭ ϫ ϩ ϫ и ∫ ∫ ∫ ∫ ∀ [ ] ∀ ∂ ∂ ∀ ␳ ␳ ␳ ␳ Considerações: (1) r TVC representa todos os torques atuando sobre o VC. (2) Despreze torque devido à força de campo. (3) Velocidade angular constante. (4) Despreze a massa do braço comparada com a massa de água no seu interior. (5) Escoamento permanente no VC. (6) Despreze comprimento do bocal comparado com L. (7) r r colinear com r V, logo, r r r Vxyzϫ ϭ 0. Então, r r r r r r r r r r r r r r r r r r T r V r d Posto que k e r l sen ı k então r l sen j r k l sen j l sen ı e r r VC xyz VC ϭ ϫ ␻ ϫ ϩ␻ ϫ ␻ ϫ ␻ ϭ ␻ ϭ ϩ ␻ ϫ ϭ ␻ ␻ ϫ ␻ ϫ ϭ ␻ ϫ␻ ϭ ␻ Ϫ ϫ ␻ ϫ ␻ ϫ 2 2 ( ) ˆ ( ˆ cos ˆ), ˆ ( ) ˆ ˆ ( ˆ) ( ) [ ] ∀ [ ∫ ␳ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ]] [ ] ϭ ϩ ϫ␻ Ϫ ϭ ␻ Ϫ ϭ ϩ ␻ ϫ ϭ ␻ ϫ ϩ ϭ ␻ ϫ ␻ ϫ ϭ l sen ı k l sen ı l sen j Posto que V V sen ı k então V k V sen ı k V sen j e r V l sen ı xyz VC xyz VC VC xyz ( ˆ cos ˆ) ( ˆ) cos ( ˆ) ( ˆ cos ˆ), ˆ ( ˆ cos ˆ) ˆ ( ˆ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r ϩϩ ϫ ␻ ϭ ␻ ϩ ␻ Ϫ cos ˆ) ˆ ˆ cos ( ˆ) ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ k V sen j l V sen k l V sen ı VC VC VC 2 2 2 2 Substituindo e introduzindo d dl∀ ∀ϭ , r r T lV sen i l sen j lV sen k Adl T L V sen i L sen j L V sen k A VC VC VC L VC VC VC ϭ Ϫ ␻ Ϫ ␻ ϩ ␻ ␳ ϭ Ϫ ␻ Ϫ ␻ ϩ␻ ( cos ˆ cos ˆ ˆ) cos ˆ cos ˆ ˆ 2 2 3 2 2 2 0 2 2 3 2 2 ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␳ ∫     CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM72
  • 73.
    O torque deeixo necessário para manter a rotação do conjunto em regime permanente é T T L V sen A L Q A sen A Q L sen kg m m s rev m rad rev s N s kg m T N m T eixo VCz VC eixo eixo ϭ ϭ ␻ ␳ ϭ ␻ ␳ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ и 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 999 0 15 30 0 5 0 5 2 60 29 4 ␪ ␪ ␳ ␪ ␲, min ( , ) ( , ) min , ←  Os momentos de reação atuando sobre o flange são M T L V sen A QU L sen kg m m s rev m rad rev s N s kg m M N m aplicado a flange VC M x VC VC x x x ϭϪ ϭ ␻ ␳ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ и 2 2 3 3 2 2 2 999 0 15 30 0 5 0 5 0 866 2 60 51 0 ␪ ␪ ␳ ␪ ␪ ␲ cos cos , min ( , ) ( , )( , ) min , ( sobre pelo ←  MM T L A sen kg m rev rad rev s m m N s kg m M N m aplicado a flange VC M y VC y y y ϭϪ ϭ ␻ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϭ и 1 3 1 3 999 30 2 60 0 5 4 0 1 0 5 0 866 140 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 ␳ ␪ ␪ ␲ ␲ cos min min ( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( )       ← sobre pelo  {Torques causados por massas de água, tubo e bocal devem ser considerados no projeto global.} Problema 4.182 Dados: Compressor, ˙ ,m ϭ1 0 kg/s. p kPa abs T K V m s 1 1 1 101 288 75 ϭ ϭ ϭ ( ) / CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM73
  • 74.
    Determine: A potênciarequerida. Solução: Aplique a primeira lei da termodinâmica, usando o VC mostrado. Equação básica: ϭ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ и 0 1 0 2( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ( )Q W W t e d e pv V dAs cisalhamento SCVC ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ r r Considerações: (1) ˙ .Wcisalhamento ϭ 0 (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento uniforme em cada seção. (4) Despreze ⌬z. (5) Gás ideal, p RT h Cp T Cp kJ kg kϭ ⌬ ϭ ⌬ ϭ и␳ , ; , / .1 00 (6) Da continuidade, ˙ ˙ ˙.m m m1 2ϭ ϭ Então, Ϸ Ϸ0 4 0 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ˙ ˙ ( ) ˙ ( ) ˙ , ˙ ˙ , tan , ˙ ˙ ˙ Q W u V gz p v m u V gz p v m Note que h u pv e Q m dQ dm por to W W m V V h h dQ dm s entrada s Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϭ ϩ ϭ ϭϪ ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ { } { }       ϭϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϫ и и ϫ и ϩ и Ϫ Ϫ Ϫ и ϭ ˙ ( ) ˙ , ( ) ( ) , ( ) ˙ , ˙ m V V cp T T dQ dm ou W kg s m s N s kg m kJ N m kJ kg k K kJ kg kW s kJ W kW entrada entrada 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 125 75 1000 1 00 345 288 18 80 0        [ ]          WWentrada ←  Problema 4.184 Dados: Escoamento através de turbomáquina conforme mostrado. O fluido é ar. (da atmosfera) (manométrica) CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM74
  • 75.
    ˙ , / () m kg s T K p kPa abs i ϭ ϭ ϭ 0 8 288 1011 Determine: O trabalho de eixo. Solução: Aplique a equação da energia, usando o VC mostrado. Equação básica: p RT h C T Q W W W t e d u v V gz V dAs cisalhamento outros VC SC ϭ ⌬ ϭ ⌬ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) 0 1 2 0 2 0 3 0 5 2 2 ∂ ∂ ∀∫ ∫ r r Considerações: (1) Ar comporta-se como gás ideal com calor específico constante. (2) ˙Wcisalhamento ϭ 0 pela escolha do VC; ˙ .Woutros ϭ 0 (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Despreze ⌬z. (6) V1 Ϸ 0. (7) ˙ .Q ϭ 0 Por definição, h ϵ u ϩ pv, logo, Ӎ 0 (1) Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ , W h V m h V m m h h V ou W m h h V m C T T V kg s s s p 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 8 1       { }       { }             ( )    ,, . ( ) ( ) ˙ , ˙ , ˙ 00 403 288 100 10 96 0 96 0 2 2 2 2 3 kJ kg k K m s N s kg m kJ N m kW s kJ W kW ou W kW Ws s s Ϫ ϩ ϫ и и ϫ и и Ϫ ϭ ϭ Ϫ       ←  {A potência entra no VC porque ˙ .Ws Ͻ 0 } CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM75
  • 76.
    Problema 4.186 Dados: Garrafa,᭙ ϭ 10 ft3 , contém ar comprimido a p ϭ 3000 psia, T ϭ 140°F. Em t ϭ 0, ˙ , / .m ϭ 0 105 lbm s Determine: ∂ ∂ T t em t ϭ 0. Solução: Use o VC mostrado. Equação básica: 0 0 1 0 2 0 3 0 3 0 4 0 5 2 2 2 2 ϭ ϩ и Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и ϭ ϩ ϩ ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫∫ t d V dA Q W W W t e d u pv V gz V dA e u V gz VC SC S cisalhamento outros SCVC ␳ ␳ ␳ ␳ r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) Ϸ Ϸ Considerações: (1) ˙Q ϭ 0 (isolado). (2) ˙ .Ws ϭ 0 (3) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (4) Despreze V2 . (5) Despreze ⌬z. (6) Gás perfeito, u ϭ cvT. (7) Propriedades uniformes na garrafa e na saída. Da continuidade, O M t m M t mVC VC ϭ ϩ ϭϪ ∂ ∂ ∴ ∂ ∂ ˙ ˙ Da primeira lei, O t u d u p m u M t M u t u p m O u m M T t u p mCV ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϩ ϩ ∂ ∂ ∀       ∂ ∂ ∂ ∂       ∂ ∂       ∫ ␳ ␳ ␳ ␳ ˙ ˙ ( ˙ ) ˙ CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM76
  • 77.
    Dessa forma, ∂ ∂ ∀∀ ° ° ∴ ∂ ∂ ° T t m p M c m p c m p c Onde p RT lbf in in ft lbm R ft lbf R lbm ft T t lbm s lbf in in ft ft lbm R Btu Btu ft V V V ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϫ ϫ и и ϫ ϭ ϭ Ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и ϫ и ˙ / ˙ ˙ , , , , ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3000 144 53 3 1 600 13 5 0 1 3000 144 1 10 0 171 778 lbflbf ft lbm T t R s T t ϫ ϭ Ϫ 1 13 5 0 178 2 6 2 ( , ) , / ∂ ∂ ° ∂ ∂←  Problema 4.187 Dados: Sistema de bombeamento conforme mostrado. ␩bomba ϭ 0,75. Determine: A potência requerida. Solução: Aplique a primeira lei ao VC mostrado, notando que o escoamento entra com velocidade desprezível na seção ቢ. Equação básica: ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ и ϭ ϩ ϩ 0 1 0 1 0 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( )Q W W W t e d e p V dA e u V gz eixo cisalhamento outros SCVC ∂ ∂ ∀ ∫∫ ␳ ␳ ␳ r r Considerações: (1) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (2) Escoamento permanente. (3) V1 Ϸ 0. (4) z1 Ϸ 0. (5) p1 ϭ 0 (manométrica). (6) Escoamento uniforme em cada seção. (7) Escoamento incompressível; V1A1 ϭ V2A2. (manométrica) água CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM77
  • 78.
    Então, Ӎ 0 30 4 0 5 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ Ϫ Ϫ ␦ Q W u V gz p m u V gz p m ou W m p V gz u u Q dm s s ␳ ␳ ␳       { }       { }           Obtenha a potência de entrada ideal ou mínima desprezando efeitos térmicos. Assim, Ϫ ϭ ␳ ϩ ϩ˙ ˙,W m p V gzs ideal 2 2 2 2 2       Para o sistema, ˙ ( , ) , / ˙ , , ( ) , ˙ , , m V A kg m m s m kg s e W kg s N m m kg m s N s kg m m s m N s kg m W N m s ideal s ideal ϭ ϭ ϫ ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϩ ϫ и и ϩ ϫ ϫ и и ϭϪ и ␳ ␲ 2 2 3 2 2 5 2 3 2 2 2 2 2 2 999 3 4 0 075 13 2 13 2 1 70 10 999 1 2 3 9 81 2 2560       ss kW s N m kW Finalmente W W kW kW Ws real s ideal s real ϫ и и ϭϪ ϭ ␩ ϭ Ϫ ϭϪ 10 2 56 2 56 0 75 3 41 3 , , ˙ ˙ , , , ˙ , , , ←  Problema 4.188 Dados: Bomba centrífuga para água operando sob as seguintes condições: D1 ϭ D2 ϭ 4 in. Q ϭ 300 gpm p1 ϭ 8 in de Hg (vácuo), p2 ϭ 35 psig z1 ϭ z2 ℘entrada ϭ 9,1 hp Determine: A eficiência da bomba. Solução:Aplique a equação da energia aoVC mostrado. Despreze todas as perdas para determinar a energia cedida ao fluido. CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM78
  • 79.
    Equações básicas: ␩ ϭϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и ˙ ˙ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ W onde W potência para o fluido Q W W W t k d u pv V gz V dA s entrada s s cisalhamento outros SCVC ᏼ 0 1 0 2 0 2 0 3 0 4 0 5 2 2 ∂ ∂ ∀      ∫∫ ␳ ␳ r r Considerações: (1) ˙Q ϭ 0 (isolado). (2) ˙Wcisalhamento ϭ 0 (pela escolha do VC); ˙ .Woutros ϭ 0 (3) Escoamento permanente. (4) Despreze ⌬u. (5) ⌬z ϭ 0. (6) Escoamento incompressível. (7) Escoamento uniforme na entrada e na saída. Então, Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϫ ϫ ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) ˙ ( ) ( ) , , W p V m p V m Visto que m Q e V V da continuidade W Q p p Q p p p gh SG gh p slug ft s i s H O 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 3 2 2 13 6 1 94 2 v v v v       { }       { } ␳ ␳ ␳ ␳ 3232 2 8 12 144 3 93 300 7 48 60 35 3 93 144 550 2 2 2 2 3 2 2 2 , ( ) , ˙ min , min ( , ) ft s in ft in lbf s ft slug ft in psig W gal ft gal s lbf in in ft hp s ft lbf s ϫ Ϫ ϫ ϫ ϫ и ϫ ϭϪ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ Ϫ ϫ ϫ и и ∴ [ ] ˙ ,Ws ϭϪ6 81 hp (o sinal negativo indica energia adicionada) Portanto, ␩ ϭ ϭ ϭ ␩ ˙ , , , , W ou por centos entradaᏼ 6 81 9 1 0 748 74 8 ←  Problema 4.189 Dados: Barco de combate a incêndio. superfície da água CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM79
  • 80.
    Determine: (a) Q2. (b)zmáx. (c) Força, se horizontal. Solução: Aplique a primeira lei ao VC “a” mostrado na figura. Equação básica: ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ( ) ( ) 1 0 2 0 2 0 3 1 2 2 ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ и ϭ ϩ ϩ Q W W W t e d e V dA e u V gz s cisalhamento outros VC Sc ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳pv r r Considerações: (1) Despreze perdas, isto é, u u dQ dm 2 1 0Ϫ Ϫ Ϸ (2) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Despreze V1. (6) z1 ϭ 0. (7) Escoamento incompressível, v v v2 1 1 2 3ϭ ϭ ϭ ϭ, ˙ ˙ ˙m m m (8) p2 ϭ p1 ϭ patm ϭ 0 (manométrica). Então, Ϸ 0 5 0 6 0 8 2 2 0 8 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ , ˙ ˙ ( ) ˙ ˙ ; ˙ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ Q W u V gz p m u V gz m ou W V gz m m V A s s v p v       ( )      ( )       ␳ Note que esta equação contém V2 à terceira potência, logo, não pode ser resolvida diretamente. Como uma primeira aproximação, despreze z2: Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϫ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ ϫ ϫ и и ϫ и и Ϫ Ϫ ˙ ; ( , ) , ˙ , W V V A V A A D m m V W A kW m kg m N m kW s kg m N s entrada s Ӎ Ӎ 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 3 3 4 2 3 2 2 1 2 4 4 0 025 4 91 10 2 2 10 999 1 4 91 10 10             ␳ ␳ ␲ ␲ ␳       1 3 34 4ϭ , /m s Comparando termos, V m s gz m s m m s2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 34 4 2 592 9 81 3 29 4Ӎ , / ; , , / ( ) ϭ ϭ ϫ ϭ , cerca de 5%. Então, esse valor de V2 é cerca de 5/3 por cento maior. Admita V m s e Q V A m s m m s Q2 2 2 4 2 3 33 8 33 8 4 91 10 0 0166Ӎ , / , , , , /ϭ ϭ ϫ ϫ ϭϪ ←  CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM80
  • 81.
    Para calcular zmáx,aplique a primeira lei ao VC “b” usando as considerações citadas anteriormente, mais (9) V3 ϭ 0. Então, ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ ␳ ϭ ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ и и ϫ и и ϭ 0 9 2 999 0 0166 16 6 10 9 81 16 6 10 61 4 3 2 3 3 2 3 2 ( ) ˙ ˙ ; ˙ , , / ˙ ˙ , , , W V gz m m Q kg m m s kg s ou z Ws gm kW s m s kg N m kW s kg m N s m z s máx máx máx       ←  Para determinar a força horizontal, aplique a componente x da equação da quantidade de movimento, usando o VC “a”, com escoamento saindo em ባ horizontalmente. Equação básica: ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ и 0 11 0 3( ) ( ) F F t u d u V dAS B VC SC x x ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳ r r Considerações: (10) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC; F RS xx ϭ . (11) FBx ϭ 0. Portanto, R u m u m mV ou u ou K mV kg s m s N s kg m N K x i x x ϭ Ϫ ϩ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϫ ϫ и и ϭ Ϫ ˙ ˙ ˙ , . ˙ , , 1 2 2 1 2 2 0 16 6 33 8 561 { } { } ←  {O sinal menos indica reação sobre o barco no sentido oposto ao da corrente de saída.} Problema *4.190 Dados: Aparelho tipo helicóptero mostrado. Massa M ϭ 1500 kg. Admita pressão atmosférica na saída e trate o escoamento como permanente, uniforme e incompressível. Considere o ar na condição padrão. CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM81
  • 82.
    Determine: (a) Velocidadedo ar saindo do aparelho. (b) Potência mínima requerida. Solução: Use oVC inercial e as coordenadas mostradas.Aplique a continuidade e a quantidade de movimento para determinar V2, em seguida, aplique a primeira lei para determinar a potência. Equações básicas: p RT h c T p V gz cons te t d V dA F F t d V dA p VC SC S B VC SC z z ϭ ⌬ ϭ ⌬ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ ϩ и ϭ ϩ ϭ ␻ ϩ ␻ и ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ; ; tan ( ) ( ) 2 2 0 2 0 0 2 ∂ ∂ ∀ ∂ ∂ ∀ ∫ ∫ ∫ ∫ r r r r Considerações: (1) O ar é um gás ideal, cp ϭ constante. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento incompressível. (4) Escoamento uniforme em cada seção. (5) Pressão uniforme na entrada; F p p A p AS atm gz ϭ Ϫ ϭϪ( ) .1 1 1 1 Então, ␳ ϭ ϭ ϫ ϫ и и ϫ ϭ p RT N m kg k N m k kg m1 01 10 287 1 288 1 225 2 3 , , / e da continuidade 0 4 4 3 3 8 55 4 4 3 3 3 0 1 48 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ␳ ␳ ␳ ␲ ␲ ␲ ␲ V A V A V A V A ou V V A A Então A D m m A D D m m { } { }       ( ) ( )[ ] ( ) ( , ) , ( ) , , , Da quantidade de movimento Ϫ Ϫ ϭ ␻ Ϫ ϩ␻ ␻ ϭϪ ␻ ϭϪ ϭ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϭϪ Ϫ p A Mg V A V A V V e V A V A p A Mg V V A V V A V A V V g g 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ { } { } ( ) Para escoamento permanente, incompressível, sem atrito, ao longo de uma linha de corrente da atmosfera para ቢ, Bernoulli fornece, desprezando ⌬z, Ϸ 0 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 p V gz p V gz por to p Vatm o gϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ϭϪ␳ ␳ ␳, tan CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM82
  • 83.
    Usando a continuidade, pA V A V A V V A A A g1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ϭϪ ϭϪ ϭϪ␳ ␳ ␳ Substituindo na equação de quantidade de movimento e usando de novo a continuidade, 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1500 9 81 1 22 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 ␳ ␳ ␳ ␳ ␳ V A A A Mg V A V V V A A A ou Mg V A A A Assim V Mg A A A kg m s m kg Ϫ ϭϪ Ϫ ϭϪ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ                   , ( ) , , ,, , , , / 48 1 1 1 2 1 48 8 55 94 52 1 2 2 m m s V Ϫ ϭ                   ←  Equação básica: ϭ ϭ ϭ ϭ Ϫ Ϫ Ϫ ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ и 0 6 0 6 0 2 0 7 0 8 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) Ϸ Q W W W t c d u v V gz V dAs cisalhamento outros VC SC ∂ ∂ ∀∫ ∫␳ ␳p r r Considerações adicionais: (6) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outrosϭ ϭ 0 (7) pv ϭ constante. (8) Despreze ⌬z. Então, Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ Ϫ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ( ) W u V m u V m Q W m V V m u u dQ dm s s 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2       { }       { }       O termo (u2 Ϫ u1 Ϫ dQ/dm) representa energia não-mecânica. O trabalho mínimo possível será alcançado quando a energia não-mecânica for zero. Assim, Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ ϭ Ϫ Ϫ ϭ ϫ ϫ ϫ Ϫ ˙ ˙ ˙ ˙ , , ( , ) , /minW m V V m V V V A V A A W kg m m m s s s 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 3 3 3 2 2 1 2 1 1 2 1 22 1 48 94 5 1 1 48 8                                   ␳ ,, ˙ ( ) ˙ /min 55 10 739 2 2 3               ←  N s kg m kW s N m W kW entrada Ws s и и ϫ и и ϭϪ {A potência requerida para pairar o aparelho real será maior devido às perdas do escoamento, não-uniformidades etc.} CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM83