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MECÂNICA DOS
FLUIDOS I
Engenharia Mecânica
IFES CAMPUS ARACRUZ
2016
Prof. HermesVazzoler Junior
Capitulo 4 – Assuntos Abordados
1. Leis Básicas na forma Integral para um Sistema
2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de
Controle (TTR - Teorema do Transporte de Reynolds)
3. Aplicação do TTR a Conservação de Massa
4. Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear
5. Equação de Bernoulli
6. Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Angular
7. Aplicação do TTR a 1ª Lei da Termodinâmica
8. Aplicação do TTR a 2ª Lei da Termodinâmica
Capitulo 4 – Aula 01
1. Leis Básicas para um Sistema:
• Conservação de Massa
• O Princípio da Quantidade de Movimento Linear (2ª Lei de Newton)
• O Princípio da Quantidade de Movimento Angular
• A Primeira Lei da Termodinâmica
• A Segunda Lei da Termodinâmica
4.1 Leis Básicas para um Sistema
𝑑𝑀
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 0
𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡
ρ 𝑑V
Conservação da Massa de um Sistema: Como um sistema é, por definição, uma porção
arbitrária de matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade de matéria
em todos os instantes. A massa do sistema é constante, daí:
4.1 Leis Básicas para um Sistema
Quantidade de Movimento Linear de um Sistema: Para um sistema movendo-se em relação a
um referencial fixo, a soma de todas as forças externas agindo sobre ele é igual à taxa de
variação da quantidade de movimento linear.
𝐹 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑉 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑉 ρ𝑑V
4.1 Leis Básicas para um Sistema
Quantidade de Movimento Angular de um Sistema: a taxa de variação da quantidade de
movimento angular de um sistema é igual a soma de todos os torques atuando no sistema.
𝑇 =
𝑑𝐻
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑟 × 𝑉𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑟 × 𝑉 ρ𝑑V
Define-se Torque como
𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑟 × 𝑔𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜
Torque oriundo
de forças de
superfície
Torque oriundo de
forças de campo
(gravidade)
Torque oriundo do
movimento de eixos que
atravessam a fronteira do
sistema
Onde
4.1 Leis Básicas para um Sistema
1ª Lei da Termodinâmica: Conservação de energia para um sistema.
𝑑𝐸
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 𝑄 − 𝑊
𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡 =
𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑒 𝑑𝑚 =
∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑒 ρ𝑑𝑉
𝑒 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
𝑸 = Taxa de Transferência de Calor
“+” calor adicionado ao sistema
“-” calor retirado do sistema
𝑾 = Taxa de realização de Trabalho
“+” trabalho realizado pelo sistema
“- ” trabalho realizado sobre o sistema
𝒖 = Energia interna específica
V = Velocidade linear
z = Altura de um elemento de massa dm
Onde:
𝑑𝑢 = 𝑐 𝑣 𝑑𝑇
Energia
Mecânica
𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊
4.1 Leis Básicas para um Sistema
2ª Lei da Termodinâmica: A variação da entropia de um sistema é governada por
𝑑𝑆 𝑠𝑖𝑠𝑡 ≥
𝛿𝑄
𝑇
𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑠 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑠 ρ𝑑V
Ou, em uma base de taxa de
variação no tempo
𝑑𝑆
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
≥
1
𝑇
𝑄
Exemplo 1 (Exercício 4.4 Fox)
Um jato comercial BOEING 777-200 pesa, totalmente carregado, 325.000kg. O piloto leva as duas
turbinas ao empuxo máximo de decolagem de 450kN cada uma, antes de liberar os freios.
Desprezando as resistências aerodinâmicas e de rolamento, estime o comprimento de pista e o
tempo mínimo necessário para este avião atingir a velocidade de decolagem de 225km/h. Considere
que o empuxo das turbinas permaneça constante durante o trajeto da aeronave no solo.
𝐹 = 𝑚 𝑎
Equação de Governo:
Exemplo 2 (Exercício 4.2 Fox)
Uma forma de cubos de gelo contendo 250 ml de água fria a 15ºC é colocada no freezer a -5ºC.
Determine a variação de energia interna (kJ) e a de Entropia (kJ/K) da água quando ela for
congelada.
𝑑𝑆 ≥
𝛿𝑄
𝑇
Equações de Governo:
𝑑𝑢 = 𝑐 𝑣 𝑑𝑇
𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊
𝑐 𝑣 ≅ 4000 J/(kg.K)
Adotar para todo o
processo:
Capitulo 4 – Aula 02
2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação
para Volume de Controle: Dedução do Teorema do Transporte
de Reynolds (TTR)
4.2 Relações Integrais entre Sistema e
Volume de Controle
Comumente classificamos as propriedades de interesse a mecânica dos fluidos em intensivas ou
extensivas.
As propriedades intensivas são aquelas que são independentes do tamanho do sistema, tais como a
temperatura, a pressão e a densidade. (podem ser funções da posição e do tempo)
Pelo contrário, os valores das propriedades extensivas dependem do tamanho (ou extensão) do sistema.
A massa, o volume e a energia total, são alguns exemplos. (podem variar somente com o tempo)
Propriedade Extensiva Propriedade Intensiva
Energia Mecânica E Energia Mecânica Específica e
Volume V Volume específico ϑ
Quantidade de Movimento mV Velocidade V
4.2 Relações Integrais entre Sistema e
Volume de Controle
• A massa do conjunto, assim como o volume, é equivalente a soma das
partes (propriedades extensivas).
• No entanto, a temperatura não é a soma da temperatura das partes; é a
mesma para cada parte (propriedade intensiva).
4.2 Relações Integrais entre Sistema e
Volume de Controle
Propriedade extensiva do sistema:
Propriedade intensiva:
Para a conservação da massa:
Para a quantidade de movimento linear:
Para a primeira lei da termodinâmica:
Para quantidade movimento angular:
Para a segunda lei da termodinâmica:
𝑁
η =
𝑁
𝑚
η =
𝑚
𝑚
= 1𝑁 = 𝑚
η =
𝑃
𝑚
=
𝑚𝑉
𝑚
= 𝑉𝑁 = 𝑃
η =
𝑒𝑚
𝑚
= 𝑒𝑁 = 𝐸
 
SistemaSistema VM
Sistema dVdmN 
η =
𝑠𝑚
𝑚
= 𝑠𝑁 = 𝑆
η =
𝐻
𝑚
=
𝑚 𝑟 × 𝑉
𝑚
= 𝑟 × 𝑉𝑁 = 𝐻
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
Região I e II: juntas formam o VC
Região III : junto com II delimita o Sistema no instante 𝑡0 + ∆𝑡
Streamlines = linhas de corrente
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
Nosso objetivo é relacionar a taxa de variação da qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, do
sistema com quantidades associadas ao V.C. Da definição de derivada temos:
Da figura:
   
t
NN
dt
dN tSttS
t
S 






 

00
0lim
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
   
t
NN
dt
dN tSttS
t
S 






 

00
0lim
II III
I
Sub 1
Sub 3
SVC
     
     0
00
000
000
)()()(
tVCtVCtS
ttIIIttIttVC
ttIIIIVCttIIIIItts
VdNN
e
VdVdVd
NNNNNN









4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
Substituindo na definição de derivada do sistema:
   
t
NN
dt
dN tSttS
t
S 






 

00
0lim
       
t
VdVdVdVd
tVCttIttIIIttVC
t



 

0000
0lim

Como o limite da soma é igual a soma dos limites:
       
t
Vd
t
Vd
t
VdVd
dt
dN ttI
t
ttIII
t
tVCttVC
t
S 










 





 0000
000 limlimlim

Termo 1 Termo 3Termo 2
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
       
t
Vd
t
Vd
t
VdVd
dt
dN ttI
t
ttIII
t
tVCttVC
t
S 










 





 0000
000 limlimlim

O Termo 1 é simplesmente a derivada :


VC
Vd
t

4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
       
t
Vd
t
Vd
t
VdVd
dt
dN ttI
t
ttIII
t
tVCttVC
t
S 










 





 0000
000 limlimlim

Para se calcular a integral (em toda a região III) do Termo 2,
considere a sub-região 3 assinalada, que tem fronteira esquerda
como parte da SC (por onde pode passar massa), fronteira direita
como parte do Sistema (não pode passar massa) e fronteiras laterais
formadas por linhas de fluxo. Com isso, todo o material que está na
Região III atravessou a fronteira esquerda, no intervalo de tempo ∆t.
II III
I
Sub 1
Sub 3
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
A quantidade dN3 contida na sub-região
3 é dada por :
tttt dAldN   00
)]cos([)3 
Para a Região III inteira, tem-se então :
ttSCesq
dAl




  0
cos
Observando uma vista ampliada da
sub-região 3 :
tttt VddN   00
][)3 
𝑑𝑁3 𝑡0+∆𝑡
= 𝜂 𝜌 𝑉. 𝑑𝐴 ∆𝑡
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
II III
I
Sub 1
Sub 3
A integral na SCesq indica a quantidade total que entrou na região III durante o
intervalo de tempo Δt e portanto o Termo 2 pode ser escrito como :
 
AdVdA
t
l
t
dAl
t
Vd
esqesq
esq
SCSC
t
tt
SC
t
ttIII
t



coscoslim
cos
limlim
0
00
00










 







De modo análogo pode-se calcular o Termo 3, considerando a
sub-região 1 e toda a quantidade N que ingressou na região I
no intervalo de tempo Δt :
dA
V
dA α
Como o ângulo α é maior do que 90° , o
cosα será negativo. O Termo 3 será dado
então pela integral na SCesq,complementar :
 
















arcomplementesqarcomplementesq
arcomplementesq
SCSC
t
SC
t
ttI
t
AdVdA
t
l
t
dAl
t
dV
,,
,0
coscoslim
cos
limlim
0
00



4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
II III
I
Sub 1
Sub 3
Como a soma do Termo 2 com o Termo 3 resulta na integral
em toda a superfície de controle, obtém-se:
)(
cos
AdVVd
tdt
dN
AdVVd
tdt
dN
SCVC
Sist
SCVC
Sist
























Equação Geral do Teorema
de Transportes de Reynolds
(TTR)
Ou seja,
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
Interpretação Física:
)( AdVVd
tdt
dN
SCVC
Sist










 
“O TTR relaciona a taxa de variação de qualquer propriedade
extensiva arbitrária, N, de um Sistema com variações dessa
propriedade associadas com o VC no instante em que o
Sistema e o VC coincidem.”
Vazão volumétrica:
AdVQ
Área

 
Fluxo de massa:
AdVm
Área

   
4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
Sistdt
dN






Taxa de variação de qualquer propriedade extensiva do sistema
Taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária N
dentro do volume de controle
:
Vd:
É a propriedade intensiva correspondente a N;
É um elemento de massa contido no V.C.
VC
Vd: É a quantidade total da propriedade extensiva N contida
dentro do V.C.


VC
Vd
t

4.2 Relações Integrais entre Sistema
eVolume de Controle
)( AdV
SC

  Taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da S.C.
)(: AdV

 Taxa de fluxo de massa através do elemento de área por
unidade de tempo.
)(: AdV

 Taxa de fluxo da propriedade extensiva N através do
elemento de área.
V

:
Vetor velocidade medido em relação à superfície do V.C. Em geral,
o vetor velocidade faz um ângulo com dA (vetor elemento de área),
o sentido de dA é o da normal à superfície para fora do elemento.
Capitulo 4 – Aula 03
2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação
para Volume de Controle: Aplicações do Teorema do
Transporte de Reynolds a Conservação da Massa
4.3 Aplicações doTTR a
Conservação da Massa
Conservação da massa: aplicamos a relação entre as formulações integrais de sistema e de V.C. ao
princípio de conservação da massa, onde a massa de um sistema permanece constante.
𝑑𝑀
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 0
η = 1𝑁 = 𝑀 𝝏
𝛛𝒕 𝑽𝑪
𝛒 𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
Taxa líquida de fluxo
massa através da SC
(vazão)
Taxa de variação de
massa no VC
EQUAÇÃO DA
CONTINUIDADE
)( AdVVd
tdt
dN
SCVC
Sist










 
𝑽. 𝒅𝑨
Cuidado com
4.3 Aplicação doTTR a
Conservação da Massa
Casos Especiais:
a) Para Escoamento em Regime Permanente
𝑺𝑪
𝝆(𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
b) Para Escoamento Incompressível 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒
𝝏
𝛛𝒕 𝑽𝑪
𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
𝝏
𝛛𝒕 𝑽𝑪
𝛒 𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
𝑺𝑪
𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
c) Para Escoamento incompressível e em Regime Permanente
Se os fluxos de massa que entram
ou saem do VC ocorrem por áreas
fixas e com velocidades constantes: 𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔
𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
Exemplo 3
Considere o escoamento permanente de água na junção apresentada.
𝐴1 = 0,2 𝑚2
𝐴2 = 0,2 𝑚2
𝐴3= 0,15 𝑚2
𝑄4= 0,1 𝑚3
𝑠
𝑉1= 5 𝑚 𝑠
𝑉3= 12 𝑚 𝑠
𝜌 = 999 𝑘𝑔 𝑚3
Determine a velocidade do escoamento na seção 2.
𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔
𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
Equação de Governo:
Exemplo 4
O escoamento a montante da placa é uniforme com velocidade 𝑉 = 𝑈 𝑖; 𝑈 = 30 𝑚 𝑠. A distribuição
de velocidade dentro da camada limite ao longo de cd é aproximada por 𝑢 𝑈 = 2 𝑦 𝛿 − 𝑦 𝛿 2.
A espessura da camada limite é de 5mm. O fluido é o ar. Supondo a largura da placa
perpendicular ao papel igual a 0,6 m, calcula a vazão em massa através da superfície bc do VC
abcd.
𝑺𝑪
𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
Equação de Governo:
Exemplo 5
Um tanque, com volume de 0,05m³, contém ar a 800kPa (pressão absoluta) e 15ºC. Em t=0s, ar
começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de 65mm². O ar
passando pela válvula tem velocidade de 300m/s e massa específica de 6kg/m³. Determine a taxa
instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em t=0s.
Tanque
𝝏
𝛛𝒕 𝑽𝑪
𝛒 𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
Equação de Governo:
Capitulo 4 – Aula 04
2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação
para Volume de Controle: Aplicações do Teorema do
Transporte de Reynolds a Quantidade de Movimento Linear
4.4 Aplicação doTTR ao princípio da
Quantidade de Movimento Linear
𝐹 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
2ª Lei de Newton
Força Resultante
𝐹 = 𝐹𝑆 + 𝐹𝐵 + 𝐹𝐸
O TTR aplicado a
quantidade de
movimento linear
)( AdVVVdV
t
FFF
SCVC
EBS




  
)( AdVVd
tdt
dN
SCVC
Sist










 
Onde 𝐹𝑆, 𝐹𝐵 𝑒 𝐹𝐸 são as
forças resultantes de
superfície (pressão), de corpo
(gravidade) e outras forças
externas aplicadas a SC
4.4 Aplicação doTTR ao princípio da
Quantidade de Movimento Linear
A equação da quantidade de movimento é vetorial, com 𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 . Logo, pode ser
escrita em função de suas componentes escalares:
𝑭 𝑺 𝒙
+ 𝑭 𝑩 𝒙
+ 𝑭 𝑬 𝒙
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒖𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑭 𝑺 𝒚
+ 𝑭 𝑩 𝒚
+ 𝑭 𝑬 𝒚
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒗𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑭 𝑺 𝒛
+ 𝑭 𝑩 𝒛
+ 𝑭 𝑬 𝒛
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒘𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒘𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Exemplo 6 (Exercício 4.15 Fox)
Obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de movimento
através da seção transversal (1) do volume de controle mostrado no diagrama (este volume de
controle encontra-se limitado por duas placas planas).
Equações de Governo:
𝐹𝑄𝑀 =
𝑠𝑒çã𝑜 1
𝑢𝜌(𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝑄 =
𝑠𝑒çã𝑜 1
𝑉. 𝑑 𝐴
placas
Exemplo 7
𝐴 𝐵 = 0,01 𝑚2
𝑉𝐴 = 15 𝑚/𝑠
A água sai de um bocal estacionário e atinge a placa plana, conforme figura. A água deixa o
bocal a 15 𝑚 𝑠; a área do bocal é 0,01 𝑚2
. Admitindo que a água é dirigida normal à placa e
que escoa totalmente ao longo da placa, determine a força horizontal sobre o suporte.
Equação de Governo:
𝑭 𝑺 𝒙
+ 𝑭 𝑩 𝒙
+ 𝑭 𝑬 𝒙
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒖𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Exemplo 8
Um recipiente de metal, com o,61 metros de altura e seção reta interna de 0,09m², pesa 22,2N quando
vazio. O recipiente é colocado sobre uma balança e a água escoa para o seu interior por uma abertura
centralizada em seu topo e para fora por meio de duas aberturas iguais nas laterais, conforme ilustrado
na figura. Sob condições de escoamento permanente a altura da agua no interior do tanque é h=0,58m.
Se A1 = 0,009m² , V1 = 3m/s , A2 = A3 = 0,009m², qual será o peso medido na balança?
Equação de Governo:
𝑭 𝑺 𝒚
+ 𝑭 𝑩 𝒚
+ 𝑭 𝑬 𝒚
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒗𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Exemplo 9
Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 90° mostrado no diagrama. Na
entrada a pressão é 220𝐾𝑃𝑎 e a área transversal é 0,01𝑚2
. Na saída, a área é 0,0025𝑚2
e a velocidade
média é 16 𝑚 𝑠. O cotovelo descarrega para atmosfera. Determine a força necessária para manter o
cotovelo estático.
DADOS:
P1, A1
A2, V2
𝑭 𝑺 𝒙
+ 𝑭 𝑩 𝒙
+ 𝑭 𝑬 𝒙
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒖𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑭 𝑺 𝒚
+ 𝑭 𝑩 𝒚
+ 𝑭 𝑬 𝒚
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒗𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Equações de Governo:
Exemplo 10
DADOS:
𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎
𝑄 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎
𝜌 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎
Uma correia transportadora horizontal movendo-se a 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 recebe areia de uma
carregador. A areia cai verticalmente sobre a correia com velocidade 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 e vazão 𝑄 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎, a
massa específica é 𝜌 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎. A correia transportadora está inicialmente vazia e vai se enchendo
gradativamente com areia. Se o atrito do sistema de acionamento e nos roletes for
desprezível, determine a força de tração necessária para puxar a correia enquanto é
carregada.
Capitulo 4 – Aula 05
2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação
para Volume de Controle: Equação de Bernoulli
4.5 Equação de Bernoulli
Apliquemos as equações da continuidade e da quantidade de movimento a um escoamento
permanente, incompressível e sem atrito ao longo de uma linha de corrente, conforme
figura abaixo:
VC diferencial fixo no
espaço e limitado
pelas linhas de
corrente
4.5 Equação de Bernoulli
Sendo o VC limitado pelas linhas de corrente, escoamentos cruzando a SC ocorrem somente
nas seções transversais. Aplicando a Equação da Continuidade, temos:
𝝏
𝛛𝒕 𝑽𝑪
𝛒 𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝛒 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
0 (regime permanente)
−𝜌𝑉𝑠 𝐴 + {𝜌 𝑉𝑠 + 𝑑𝑉𝑠 𝐴 + 𝑑𝐴 } = 0
𝜌 𝑉𝑠 + 𝑑𝑉𝑠 𝐴 + 𝑑𝐴 = 𝜌𝑉𝑠 𝐴
𝑉𝑠 𝑑𝐴 + 𝐴 𝑑𝑉𝑠 + 𝑑𝐴 𝑑𝑉𝑠 = 0
Muito pequeno
𝑉𝑠 𝑑𝐴 + 𝐴 𝑑𝑉𝑠 = 0
4.5 Equação de Bernoulli
Aplicando a componente da Equação da Quantidade de Movimento na direção da linha de
corrente para um escoamento sem atrito, temos:
𝑭 𝑺 𝒔
+ 𝑭 𝑩 𝒔
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒖 𝒔 𝝆𝒅𝑽 +
𝑺𝑪
𝒖 𝒔 𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨
0 (hipótese de regime permanente)
Como não há atrito, a força de
superfície terá três termos devido
somente a pressão:
𝐹𝑆 𝑠
= 𝑝𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 + 𝑑𝐴 + 𝑝 +
𝑑𝑝
2
𝑑𝐴
Pressão sobre as faces
Pressão atuando na direção s (𝐹𝑆 𝑏
) = pressão média na superfície do tubo
4.5 Equação de Bernoulli
Simplificando a equação da Força de Superfície, temos:
𝐹𝑆 𝑠 = −𝐴 𝑑𝑝 −
1
2
𝑑𝑝 𝑑𝐴
A componente da força de campo (gravidade)
na direção s é:
𝐹𝐵 𝑠 = 𝜌 −𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴 +
𝑑𝐴
2
𝑑𝑠
𝐹𝐵 𝑠 = 𝜌 𝑔𝑠 𝑑∀
Mas 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑠 = 𝑑𝑧, de modo que:
𝐹𝐵 𝑠 = −𝜌𝑔 𝐴 +
𝑑𝐴
2
𝑑𝑧
4.5 Equação de Bernoulli
Dividindo por 𝜌𝐴 e notando que os termos com produtos de diferenciais são desprezíveis em
relação aos demais, obtemos:
−
𝒅𝒑
𝝆
− 𝒈 𝒅𝒛 = 𝑽 𝒔 𝒅𝑽 𝒔 = 𝒅
𝑽 𝒔
𝟐
𝟐
𝒅𝒑
𝝆
+ 𝒅
𝑽 𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒅𝒛 = 𝟎
𝒑
𝝆
+
𝑽 𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Equação
de
Bernoulli
Considerações:
• Escoamento em regime permanente;
• Fluido incompressível;
• Sem atrito (escoamento suposto não viscoso)
• Escoamento se dá ao longo de uma linha de corrente.
𝑑
𝒑
𝝆
+
𝑽 𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 = 0
4.5 Equação de Bernoulli
𝒑 𝟏
𝝆
+
𝑽 𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 𝟏 =
𝒑 𝟐
𝝆
+
𝑽 𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 𝟐
Outras formas úteis de reescrever a
equação de Bernoulli:
𝒑 𝟏 + 𝝆
𝑽 𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝝆𝒈𝒛 𝟏 = 𝒑 𝟐 + 𝝆
𝑽 𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝝆𝒈𝒛 𝟐
𝒑 𝟏
𝝆𝒈
+
𝑽 𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒛 𝟏 =
𝒑 𝟐
𝝆𝒈
+
𝑽 𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒛 𝟐
𝒑 𝟏
γ
+
𝑽 𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒉 𝟏 =
𝒑 𝟐
γ
+
𝑽 𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒉 𝟐
Ou mais
comumente
𝒑
𝝆
+
𝑽 𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Bastante aplicada no estudo
de bombas e operações de
bombeamento
4.5 Equação de Bernoulli
• A Eq. de Bernoulli é uma relação poderosa entre pressão, velocidade e
elevação, embora baseada em inúmeras hipóteses simplificadoras.
Consiste de satisfatória solução, mesmo que aproximada, para muitos
casos particulares de escoamento em curtas distâncias.
• Imagine, por exemplo, um escoamento horizontal e sem atrito. A única
força horizontal que uma partícula fluida neste escoamento pode
experimentar é aquela devido à força líquida de pressão. A única forma
dessa tal partícula se acelerar (aumentar sua velocidade) é movendo-se de
uma região de pressão mais alta para outra de pressão mais baixa.
4.5.1 Equação de Bernoulli: Medição
de Pressão por meio deTubos
(a) Tubo piezométrico (b) Tubo de Pitot (b) Tubo de Pitot Estático
𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌
𝑉2
2
𝑝2 − 𝑝1 = 𝜌
𝑉2
2
4.5.2 Equação de Bernoulli:
Escoamentos a pequenas distâncias
A Equação de Bernoulli é aplicada bastante aplicada a escoamentos internos onde as
distâncias de interesse são pequenas. Nestes casos os efeitos viscosos do fluido podem
ser desprezados. São casos de escoamentos considerados não viscosos aquele que
ocorre através de uma redução de seção (a) e de um tanque pressurizado (b).
4.5.3 Equação de Bernoulli:
Aerodinâmica
A asa de um avião é mais curva na parte de
cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido
na parte de cima do que na de baixo. De
acordo com a equação de Bernoulli, a pressão
do ar em cima da asa será menor do que na
parte de baixo, criando uma força de empuxo
que sustenta o avião no ar.
Var
4.5.4 Equação de Bernoulli:
Vaporizadores
Uma bexiga de borracha quando comprimida faz com
que o ar seja empurrado paralelamente ao furo que
localiza-se no extremo superior de um tubo que está
imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e
a diferença de pressão com o outro extremo do tubo
empurra o fluido para cima, com o fluxo de liquido
ocorrendo conjuntamente com a corrente de ar.
V
tubo
4.5.5 Equação de Bernoulli:
Estática de Fluidos
Fluido em repouso: V = 0
Logo:
𝑝
𝜌
+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 ∴ 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
Como 𝑃𝐴= 𝑎𝑡𝑚
𝑝 𝐴+𝜌 𝐴 𝑔 𝐴ℎ 𝐴 = 𝑝 𝐵 + 𝜌 𝐵 𝑔 𝐵ℎ 𝐵
𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 + ρ𝑔ℎ 𝐴 − ρ𝑔ℎ 𝐵
𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 + ρ𝑔(ℎ 𝐴−ℎ 𝐵
𝑝 𝐵 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 +𝜌𝑔ℎ Lei de Stevin
A
B
h
z
4.5.6 Equação de Bernoulli:
Teorema deTorricelli
Qual a velocidade se saída do fluido?
𝑃𝑎 = 𝑃𝑏 = 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ + 0 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 0 +
1
2
𝜌𝑉2
Da Equação de Bernoulli:
𝑉 = 2𝑔ℎ Teorema de Torricelli
patm
patm
patm
patm
A
B
Linha de
corrente
Exemplo 11
Um Tubo de Pitot e um Tubo Piezométrico medem as seguintes pressões, respectivamente,
400kPa e 300kPa, conforme ilustra a figura a seguir. Determine a velocidade no ponto 1, na
linha de corrente que possui trajetória coincidente com o centro do bocal do Tubo de Pitot.
(ρ = 1000kg/m³)
Equação de Governo:
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2
Exemplo 12
Água escoa, em regime permanente, através de um bocal horizontal que a
descarrega para a atmosfera. Na entrada, o diâmetro do bocal é 𝐷1 e, na saída, 𝐷2.
Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada
do bocal para produzir uma vazão volumétrica dada, 𝑄.
Equação de Governo:
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2
Exemplo 13
A figura a seguir esquematiza o principio de funcionamento de um Tubo de Venturi.
Conhecendo-se as áreas das seções 1 e 2, a massa específica ρ do fluido, e ainda, a
diferença de pressão Δp entre estas regiões, determine:
a) uma expressão para o calculo de 𝑣1
b) uma expressão para a diferença de nível h
Equação de Governo:
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
Capitulo 4 – Aula 06
2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação
para Volume de Controle: A Primeira Lei da Termodinâmica
4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei
daTermodinâmica
Aplicando TTR a Energia Mecânica
Como o sistema e o volume de controle coincidem no instante 𝒕 𝟎:
𝒅𝑬
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑄 − 𝑊 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 𝑄 − 𝑊 𝑉.𝐶.
𝑄 − 𝑊 =
𝑑𝐸
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡 =
𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑒 𝑑𝑚 =
∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑒 ρ𝑑∀ 𝑒 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
Para formulação de Sistema, a Primeira Lei da Termodinâmica é expressa por
4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei
daTermodinâmica
𝑸 − 𝑾 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝒅𝑬
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Teremos,
𝑾 𝒔 + 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 + 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 + 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔
𝑾 𝒔 é a taxa de trabalho decorrente da movimentação de um eixo que atravessa SC; 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 é a taxa de
trabalho realizado por tensões normais a SC; 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 é a taxa de trabalho realizada por tensões
cisalhantes sobre a SC; e 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 é a taxa de trabalho realizada por outros meios sobre a SC.
4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei
daTermodinâmica
1) TRABALHO REALIZADO POR
E 𝐈𝐗𝐎 𝑾 𝒔
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑉 = 𝑇𝜔
2) TRABALHO REALIZADO POR
TENSÕES NORMAIS 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍
𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = −
𝑺𝑪
𝝈 𝒏𝒏(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = −
𝑺𝑪
(𝝉 ∙ 𝑽 𝒅𝑨
3) TRABALHO REALIZADO POR TENSÕES
DE CISALHAMENTO 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
4) OUTROS TRABALHOS ( 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔)
Nesta condição encontram-se porções
de trabalho oriundos de efeitos de
campos eletromagnéticos, radares,
feixes de laser, dentre outros.
Em geral, para muitas situações, 𝝈 𝒏𝒏= - p
𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 =
𝑺𝑪
𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei
daTermodinâmica
𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Deste modo,
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
(𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
(𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Esta última equação ainda pode ser desenvolvida, se a expressão do 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = 𝑺𝑪
𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 for
aplicada diretamente ali.
4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei
daTermodinâmica
𝑸 − 𝑾 𝒔 −
𝑺𝑪
𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
(𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
(𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 +
𝑺𝑪
𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 +
𝑺𝑪
𝒑𝝑𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
= 1
𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝑢 + 𝒑𝝑 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Entalpia h
Exemplo 14
Um volume de controle fixo é ilustrado na figura a seguir. Sabe-se que o escoamento se dá em
regime permanente e as propriedades relativas ao fluxos de massa em suas seções abertas
apresentam-se na tabela. Determine: as vazões volumétricas nas três seções; os fluxos de
massa nas três seções (faça um balanço do fluxo de massa do sistema); e a taxa de variação
da energia do sistema que ocupa o volume de controle.
Seção Tipo ρ [kg/m³] V [m/s] A [m²] e [J/kg]
1 Entrada 800 5 2 300
2 Entrada 800 8 3 100
3 Saída 800 17 2 150
𝒅𝑬
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
=
𝝏
𝝏𝒕
𝑽𝑪
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑺𝑪
𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
Equação de
Governo:
Exemplo 15
Ar a 101 kPa e 21°C entra em um compressor com velocidade desprezível e é descarregado a 344
kPa e 38°C através de um tubo com área transversal de 0,09𝑚2
. A vazão em massa é 9kg/s. A
potência fornecida ao compressor é 447kW. Determine a taxa de transferência de calor.
𝑄 − 𝑊𝑠 − 𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 =
𝜕
𝜕𝑡
𝑽𝑪
𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑑∀ +
𝑺𝑪
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴
Equação de
Governo:
𝑉1 = 0, 5𝑚/𝑠
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Livro: FOX; MCDONALD; PRITCHARD. INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS - 8ª Ed
Capítulo 4: 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 35, 36, 39, 40, 41, 45, 51, 52, 53, 60, 63, 65,
69, 71, 72, 73, 80, 84, 85, 91, 96, 102, 103, 203, 204, 205, 206, 207, 208.
Esse é o escoamento do exercício 4.15,
que já resolvemos em sala de aula!
P4.23
P4.89
P4.85
P4.102 P4.103
Mecânica dos fluídos i   capitulo 4

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Mecânica dos fluídos i capitulo 4

  • 1. MECÂNICA DOS FLUIDOS I Engenharia Mecânica IFES CAMPUS ARACRUZ 2016 Prof. HermesVazzoler Junior
  • 2. Capitulo 4 – Assuntos Abordados 1. Leis Básicas na forma Integral para um Sistema 2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle (TTR - Teorema do Transporte de Reynolds) 3. Aplicação do TTR a Conservação de Massa 4. Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear 5. Equação de Bernoulli 6. Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Angular 7. Aplicação do TTR a 1ª Lei da Termodinâmica 8. Aplicação do TTR a 2ª Lei da Termodinâmica
  • 3. Capitulo 4 – Aula 01 1. Leis Básicas para um Sistema: • Conservação de Massa • O Princípio da Quantidade de Movimento Linear (2ª Lei de Newton) • O Princípio da Quantidade de Movimento Angular • A Primeira Lei da Termodinâmica • A Segunda Lei da Termodinâmica
  • 4. 4.1 Leis Básicas para um Sistema 𝑑𝑀 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 0 𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡 ρ 𝑑V Conservação da Massa de um Sistema: Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária de matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes. A massa do sistema é constante, daí:
  • 5. 4.1 Leis Básicas para um Sistema Quantidade de Movimento Linear de um Sistema: Para um sistema movendo-se em relação a um referencial fixo, a soma de todas as forças externas agindo sobre ele é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear. 𝐹 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑉 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑉 ρ𝑑V
  • 6. 4.1 Leis Básicas para um Sistema Quantidade de Movimento Angular de um Sistema: a taxa de variação da quantidade de movimento angular de um sistema é igual a soma de todos os torques atuando no sistema. 𝑇 = 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑟 × 𝑉𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑟 × 𝑉 ρ𝑑V Define-se Torque como 𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑟 × 𝑔𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 Torque oriundo de forças de superfície Torque oriundo de forças de campo (gravidade) Torque oriundo do movimento de eixos que atravessam a fronteira do sistema Onde
  • 7. 4.1 Leis Básicas para um Sistema 1ª Lei da Termodinâmica: Conservação de energia para um sistema. 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑄 − 𝑊 𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑒 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑒 ρ𝑑𝑉 𝑒 = 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝑸 = Taxa de Transferência de Calor “+” calor adicionado ao sistema “-” calor retirado do sistema 𝑾 = Taxa de realização de Trabalho “+” trabalho realizado pelo sistema “- ” trabalho realizado sobre o sistema 𝒖 = Energia interna específica V = Velocidade linear z = Altura de um elemento de massa dm Onde: 𝑑𝑢 = 𝑐 𝑣 𝑑𝑇 Energia Mecânica 𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊
  • 8. 4.1 Leis Básicas para um Sistema 2ª Lei da Termodinâmica: A variação da entropia de um sistema é governada por 𝑑𝑆 𝑠𝑖𝑠𝑡 ≥ 𝛿𝑄 𝑇 𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑠 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑠 ρ𝑑V Ou, em uma base de taxa de variação no tempo 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 ≥ 1 𝑇 𝑄
  • 9. Exemplo 1 (Exercício 4.4 Fox) Um jato comercial BOEING 777-200 pesa, totalmente carregado, 325.000kg. O piloto leva as duas turbinas ao empuxo máximo de decolagem de 450kN cada uma, antes de liberar os freios. Desprezando as resistências aerodinâmicas e de rolamento, estime o comprimento de pista e o tempo mínimo necessário para este avião atingir a velocidade de decolagem de 225km/h. Considere que o empuxo das turbinas permaneça constante durante o trajeto da aeronave no solo. 𝐹 = 𝑚 𝑎 Equação de Governo:
  • 10. Exemplo 2 (Exercício 4.2 Fox) Uma forma de cubos de gelo contendo 250 ml de água fria a 15ºC é colocada no freezer a -5ºC. Determine a variação de energia interna (kJ) e a de Entropia (kJ/K) da água quando ela for congelada. 𝑑𝑆 ≥ 𝛿𝑄 𝑇 Equações de Governo: 𝑑𝑢 = 𝑐 𝑣 𝑑𝑇 𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 𝑐 𝑣 ≅ 4000 J/(kg.K) Adotar para todo o processo:
  • 11. Capitulo 4 – Aula 02 2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle: Dedução do Teorema do Transporte de Reynolds (TTR)
  • 12. 4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle Comumente classificamos as propriedades de interesse a mecânica dos fluidos em intensivas ou extensivas. As propriedades intensivas são aquelas que são independentes do tamanho do sistema, tais como a temperatura, a pressão e a densidade. (podem ser funções da posição e do tempo) Pelo contrário, os valores das propriedades extensivas dependem do tamanho (ou extensão) do sistema. A massa, o volume e a energia total, são alguns exemplos. (podem variar somente com o tempo) Propriedade Extensiva Propriedade Intensiva Energia Mecânica E Energia Mecânica Específica e Volume V Volume específico ϑ Quantidade de Movimento mV Velocidade V
  • 13. 4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle • A massa do conjunto, assim como o volume, é equivalente a soma das partes (propriedades extensivas). • No entanto, a temperatura não é a soma da temperatura das partes; é a mesma para cada parte (propriedade intensiva).
  • 14. 4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle Propriedade extensiva do sistema: Propriedade intensiva: Para a conservação da massa: Para a quantidade de movimento linear: Para a primeira lei da termodinâmica: Para quantidade movimento angular: Para a segunda lei da termodinâmica: 𝑁 η = 𝑁 𝑚 η = 𝑚 𝑚 = 1𝑁 = 𝑚 η = 𝑃 𝑚 = 𝑚𝑉 𝑚 = 𝑉𝑁 = 𝑃 η = 𝑒𝑚 𝑚 = 𝑒𝑁 = 𝐸   SistemaSistema VM Sistema dVdmN  η = 𝑠𝑚 𝑚 = 𝑠𝑁 = 𝑆 η = 𝐻 𝑚 = 𝑚 𝑟 × 𝑉 𝑚 = 𝑟 × 𝑉𝑁 = 𝐻
  • 15. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle Região I e II: juntas formam o VC Região III : junto com II delimita o Sistema no instante 𝑡0 + ∆𝑡 Streamlines = linhas de corrente
  • 16. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle Nosso objetivo é relacionar a taxa de variação da qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, do sistema com quantidades associadas ao V.C. Da definição de derivada temos: Da figura:     t NN dt dN tSttS t S           00 0lim
  • 17. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle     t NN dt dN tSttS t S           00 0lim II III I Sub 1 Sub 3 SVC            0 00 000 000 )()()( tVCtVCtS ttIIIttIttVC ttIIIIVCttIIIIItts VdNN e VdVdVd NNNNNN         
  • 18. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle Substituindo na definição de derivada do sistema:     t NN dt dN tSttS t S           00 0lim         t VdVdVdVd tVCttIttIIIttVC t       0000 0lim  Como o limite da soma é igual a soma dos limites:         t Vd t Vd t VdVd dt dN ttI t ttIII t tVCttVC t S                    0000 000 limlimlim  Termo 1 Termo 3Termo 2
  • 19. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle         t Vd t Vd t VdVd dt dN ttI t ttIII t tVCttVC t S                    0000 000 limlimlim  O Termo 1 é simplesmente a derivada :   VC Vd t 
  • 20. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle         t Vd t Vd t VdVd dt dN ttI t ttIII t tVCttVC t S                    0000 000 limlimlim  Para se calcular a integral (em toda a região III) do Termo 2, considere a sub-região 3 assinalada, que tem fronteira esquerda como parte da SC (por onde pode passar massa), fronteira direita como parte do Sistema (não pode passar massa) e fronteiras laterais formadas por linhas de fluxo. Com isso, todo o material que está na Região III atravessou a fronteira esquerda, no intervalo de tempo ∆t. II III I Sub 1 Sub 3
  • 21. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle A quantidade dN3 contida na sub-região 3 é dada por : tttt dAldN   00 )]cos([)3  Para a Região III inteira, tem-se então : ttSCesq dAl       0 cos Observando uma vista ampliada da sub-região 3 : tttt VddN   00 ][)3  𝑑𝑁3 𝑡0+∆𝑡 = 𝜂 𝜌 𝑉. 𝑑𝐴 ∆𝑡
  • 22. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle II III I Sub 1 Sub 3 A integral na SCesq indica a quantidade total que entrou na região III durante o intervalo de tempo Δt e portanto o Termo 2 pode ser escrito como :   AdVdA t l t dAl t Vd esqesq esq SCSC t tt SC t ttIII t    coscoslim cos limlim 0 00 00                    De modo análogo pode-se calcular o Termo 3, considerando a sub-região 1 e toda a quantidade N que ingressou na região I no intervalo de tempo Δt : dA V dA α Como o ângulo α é maior do que 90° , o cosα será negativo. O Termo 3 será dado então pela integral na SCesq,complementar :                   arcomplementesqarcomplementesq arcomplementesq SCSC t SC t ttI t AdVdA t l t dAl t dV ,, ,0 coscoslim cos limlim 0 00   
  • 23. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle II III I Sub 1 Sub 3 Como a soma do Termo 2 com o Termo 3 resulta na integral em toda a superfície de controle, obtém-se: )( cos AdVVd tdt dN AdVVd tdt dN SCVC Sist SCVC Sist                         Equação Geral do Teorema de Transportes de Reynolds (TTR) Ou seja,
  • 24. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle Interpretação Física: )( AdVVd tdt dN SCVC Sist             “O TTR relaciona a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um Sistema com variações dessa propriedade associadas com o VC no instante em que o Sistema e o VC coincidem.” Vazão volumétrica: AdVQ Área    Fluxo de massa: AdVm Área     
  • 25. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle Sistdt dN       Taxa de variação de qualquer propriedade extensiva do sistema Taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária N dentro do volume de controle : Vd: É a propriedade intensiva correspondente a N; É um elemento de massa contido no V.C. VC Vd: É a quantidade total da propriedade extensiva N contida dentro do V.C.   VC Vd t 
  • 26. 4.2 Relações Integrais entre Sistema eVolume de Controle )( AdV SC    Taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da S.C. )(: AdV   Taxa de fluxo de massa através do elemento de área por unidade de tempo. )(: AdV   Taxa de fluxo da propriedade extensiva N através do elemento de área. V  : Vetor velocidade medido em relação à superfície do V.C. Em geral, o vetor velocidade faz um ângulo com dA (vetor elemento de área), o sentido de dA é o da normal à superfície para fora do elemento.
  • 27. Capitulo 4 – Aula 03 2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle: Aplicações do Teorema do Transporte de Reynolds a Conservação da Massa
  • 28. 4.3 Aplicações doTTR a Conservação da Massa Conservação da massa: aplicamos a relação entre as formulações integrais de sistema e de V.C. ao princípio de conservação da massa, onde a massa de um sistema permanece constante. 𝑑𝑀 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 0 η = 1𝑁 = 𝑀 𝝏 𝛛𝒕 𝑽𝑪 𝛒 𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 Taxa líquida de fluxo massa através da SC (vazão) Taxa de variação de massa no VC EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE )( AdVVd tdt dN SCVC Sist             𝑽. 𝒅𝑨 Cuidado com
  • 29. 4.3 Aplicação doTTR a Conservação da Massa Casos Especiais: a) Para Escoamento em Regime Permanente 𝑺𝑪 𝝆(𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 b) Para Escoamento Incompressível 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒 𝝏 𝛛𝒕 𝑽𝑪 𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 𝝏 𝛛𝒕 𝑽𝑪 𝛒 𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 𝑺𝑪 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 c) Para Escoamento incompressível e em Regime Permanente Se os fluxos de massa que entram ou saem do VC ocorrem por áreas fixas e com velocidades constantes: 𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎
  • 30. Exemplo 3 Considere o escoamento permanente de água na junção apresentada. 𝐴1 = 0,2 𝑚2 𝐴2 = 0,2 𝑚2 𝐴3= 0,15 𝑚2 𝑄4= 0,1 𝑚3 𝑠 𝑉1= 5 𝑚 𝑠 𝑉3= 12 𝑚 𝑠 𝜌 = 999 𝑘𝑔 𝑚3 Determine a velocidade do escoamento na seção 2. 𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 Equação de Governo:
  • 31. Exemplo 4 O escoamento a montante da placa é uniforme com velocidade 𝑉 = 𝑈 𝑖; 𝑈 = 30 𝑚 𝑠. A distribuição de velocidade dentro da camada limite ao longo de cd é aproximada por 𝑢 𝑈 = 2 𝑦 𝛿 − 𝑦 𝛿 2. A espessura da camada limite é de 5mm. O fluido é o ar. Supondo a largura da placa perpendicular ao papel igual a 0,6 m, calcula a vazão em massa através da superfície bc do VC abcd. 𝑺𝑪 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 Equação de Governo:
  • 32. Exemplo 5 Um tanque, com volume de 0,05m³, contém ar a 800kPa (pressão absoluta) e 15ºC. Em t=0s, ar começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de 65mm². O ar passando pela válvula tem velocidade de 300m/s e massa específica de 6kg/m³. Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em t=0s. Tanque 𝝏 𝛛𝒕 𝑽𝑪 𝛒 𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 Equação de Governo:
  • 33. Capitulo 4 – Aula 04 2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle: Aplicações do Teorema do Transporte de Reynolds a Quantidade de Movimento Linear
  • 34. 4.4 Aplicação doTTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear 𝐹 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 2ª Lei de Newton Força Resultante 𝐹 = 𝐹𝑆 + 𝐹𝐵 + 𝐹𝐸 O TTR aplicado a quantidade de movimento linear )( AdVVVdV t FFF SCVC EBS        )( AdVVd tdt dN SCVC Sist             Onde 𝐹𝑆, 𝐹𝐵 𝑒 𝐹𝐸 são as forças resultantes de superfície (pressão), de corpo (gravidade) e outras forças externas aplicadas a SC
  • 35. 4.4 Aplicação doTTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear A equação da quantidade de movimento é vetorial, com 𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 . Logo, pode ser escrita em função de suas componentes escalares: 𝑭 𝑺 𝒙 + 𝑭 𝑩 𝒙 + 𝑭 𝑬 𝒙 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒖𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑭 𝑺 𝒚 + 𝑭 𝑩 𝒚 + 𝑭 𝑬 𝒚 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒗𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑭 𝑺 𝒛 + 𝑭 𝑩 𝒛 + 𝑭 𝑬 𝒛 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒘𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒘𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
  • 36. Exemplo 6 (Exercício 4.15 Fox) Obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de movimento através da seção transversal (1) do volume de controle mostrado no diagrama (este volume de controle encontra-se limitado por duas placas planas). Equações de Governo: 𝐹𝑄𝑀 = 𝑠𝑒çã𝑜 1 𝑢𝜌(𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑄 = 𝑠𝑒çã𝑜 1 𝑉. 𝑑 𝐴 placas
  • 37. Exemplo 7 𝐴 𝐵 = 0,01 𝑚2 𝑉𝐴 = 15 𝑚/𝑠 A água sai de um bocal estacionário e atinge a placa plana, conforme figura. A água deixa o bocal a 15 𝑚 𝑠; a área do bocal é 0,01 𝑚2 . Admitindo que a água é dirigida normal à placa e que escoa totalmente ao longo da placa, determine a força horizontal sobre o suporte. Equação de Governo: 𝑭 𝑺 𝒙 + 𝑭 𝑩 𝒙 + 𝑭 𝑬 𝒙 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒖𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
  • 38. Exemplo 8 Um recipiente de metal, com o,61 metros de altura e seção reta interna de 0,09m², pesa 22,2N quando vazio. O recipiente é colocado sobre uma balança e a água escoa para o seu interior por uma abertura centralizada em seu topo e para fora por meio de duas aberturas iguais nas laterais, conforme ilustrado na figura. Sob condições de escoamento permanente a altura da agua no interior do tanque é h=0,58m. Se A1 = 0,009m² , V1 = 3m/s , A2 = A3 = 0,009m², qual será o peso medido na balança? Equação de Governo: 𝑭 𝑺 𝒚 + 𝑭 𝑩 𝒚 + 𝑭 𝑬 𝒚 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒗𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨
  • 39. Exemplo 9 Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 90° mostrado no diagrama. Na entrada a pressão é 220𝐾𝑃𝑎 e a área transversal é 0,01𝑚2 . Na saída, a área é 0,0025𝑚2 e a velocidade média é 16 𝑚 𝑠. O cotovelo descarrega para atmosfera. Determine a força necessária para manter o cotovelo estático. DADOS: P1, A1 A2, V2 𝑭 𝑺 𝒙 + 𝑭 𝑩 𝒙 + 𝑭 𝑬 𝒙 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒖𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑭 𝑺 𝒚 + 𝑭 𝑩 𝒚 + 𝑭 𝑬 𝒚 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒗𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Equações de Governo:
  • 40. Exemplo 10 DADOS: 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑄 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 𝜌 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 Uma correia transportadora horizontal movendo-se a 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 recebe areia de uma carregador. A areia cai verticalmente sobre a correia com velocidade 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 e vazão 𝑄 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎, a massa específica é 𝜌 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎. A correia transportadora está inicialmente vazia e vai se enchendo gradativamente com areia. Se o atrito do sistema de acionamento e nos roletes for desprezível, determine a força de tração necessária para puxar a correia enquanto é carregada.
  • 41. Capitulo 4 – Aula 05 2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle: Equação de Bernoulli
  • 42. 4.5 Equação de Bernoulli Apliquemos as equações da continuidade e da quantidade de movimento a um escoamento permanente, incompressível e sem atrito ao longo de uma linha de corrente, conforme figura abaixo: VC diferencial fixo no espaço e limitado pelas linhas de corrente
  • 43. 4.5 Equação de Bernoulli Sendo o VC limitado pelas linhas de corrente, escoamentos cruzando a SC ocorrem somente nas seções transversais. Aplicando a Equação da Continuidade, temos: 𝝏 𝛛𝒕 𝑽𝑪 𝛒 𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝛒 𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎 0 (regime permanente) −𝜌𝑉𝑠 𝐴 + {𝜌 𝑉𝑠 + 𝑑𝑉𝑠 𝐴 + 𝑑𝐴 } = 0 𝜌 𝑉𝑠 + 𝑑𝑉𝑠 𝐴 + 𝑑𝐴 = 𝜌𝑉𝑠 𝐴 𝑉𝑠 𝑑𝐴 + 𝐴 𝑑𝑉𝑠 + 𝑑𝐴 𝑑𝑉𝑠 = 0 Muito pequeno 𝑉𝑠 𝑑𝐴 + 𝐴 𝑑𝑉𝑠 = 0
  • 44. 4.5 Equação de Bernoulli Aplicando a componente da Equação da Quantidade de Movimento na direção da linha de corrente para um escoamento sem atrito, temos: 𝑭 𝑺 𝒔 + 𝑭 𝑩 𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒖 𝒔 𝝆𝒅𝑽 + 𝑺𝑪 𝒖 𝒔 𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨 0 (hipótese de regime permanente) Como não há atrito, a força de superfície terá três termos devido somente a pressão: 𝐹𝑆 𝑠 = 𝑝𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 + 𝑑𝐴 + 𝑝 + 𝑑𝑝 2 𝑑𝐴 Pressão sobre as faces Pressão atuando na direção s (𝐹𝑆 𝑏 ) = pressão média na superfície do tubo
  • 45. 4.5 Equação de Bernoulli Simplificando a equação da Força de Superfície, temos: 𝐹𝑆 𝑠 = −𝐴 𝑑𝑝 − 1 2 𝑑𝑝 𝑑𝐴 A componente da força de campo (gravidade) na direção s é: 𝐹𝐵 𝑠 = 𝜌 −𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴 + 𝑑𝐴 2 𝑑𝑠 𝐹𝐵 𝑠 = 𝜌 𝑔𝑠 𝑑∀ Mas 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑠 = 𝑑𝑧, de modo que: 𝐹𝐵 𝑠 = −𝜌𝑔 𝐴 + 𝑑𝐴 2 𝑑𝑧
  • 46. 4.5 Equação de Bernoulli Dividindo por 𝜌𝐴 e notando que os termos com produtos de diferenciais são desprezíveis em relação aos demais, obtemos: − 𝒅𝒑 𝝆 − 𝒈 𝒅𝒛 = 𝑽 𝒔 𝒅𝑽 𝒔 = 𝒅 𝑽 𝒔 𝟐 𝟐 𝒅𝒑 𝝆 + 𝒅 𝑽 𝒔 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒅𝒛 = 𝟎 𝒑 𝝆 + 𝑽 𝒔 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Equação de Bernoulli Considerações: • Escoamento em regime permanente; • Fluido incompressível; • Sem atrito (escoamento suposto não viscoso) • Escoamento se dá ao longo de uma linha de corrente. 𝑑 𝒑 𝝆 + 𝑽 𝒔 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒛 = 0
  • 47. 4.5 Equação de Bernoulli 𝒑 𝟏 𝝆 + 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒛 𝟏 = 𝒑 𝟐 𝝆 + 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒛 𝟐 Outras formas úteis de reescrever a equação de Bernoulli: 𝒑 𝟏 + 𝝆 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝝆𝒈𝒛 𝟏 = 𝒑 𝟐 + 𝝆 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝝆𝒈𝒛 𝟐 𝒑 𝟏 𝝆𝒈 + 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐𝒈 + 𝒛 𝟏 = 𝒑 𝟐 𝝆𝒈 + 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐𝒈 + 𝒛 𝟐 𝒑 𝟏 γ + 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐𝒈 + 𝒉 𝟏 = 𝒑 𝟐 γ + 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐𝒈 + 𝒉 𝟐 Ou mais comumente 𝒑 𝝆 + 𝑽 𝒔 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Bastante aplicada no estudo de bombas e operações de bombeamento
  • 48. 4.5 Equação de Bernoulli • A Eq. de Bernoulli é uma relação poderosa entre pressão, velocidade e elevação, embora baseada em inúmeras hipóteses simplificadoras. Consiste de satisfatória solução, mesmo que aproximada, para muitos casos particulares de escoamento em curtas distâncias. • Imagine, por exemplo, um escoamento horizontal e sem atrito. A única força horizontal que uma partícula fluida neste escoamento pode experimentar é aquela devido à força líquida de pressão. A única forma dessa tal partícula se acelerar (aumentar sua velocidade) é movendo-se de uma região de pressão mais alta para outra de pressão mais baixa.
  • 49. 4.5.1 Equação de Bernoulli: Medição de Pressão por meio deTubos (a) Tubo piezométrico (b) Tubo de Pitot (b) Tubo de Pitot Estático 𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌 𝑉2 2 𝑝2 − 𝑝1 = 𝜌 𝑉2 2
  • 50. 4.5.2 Equação de Bernoulli: Escoamentos a pequenas distâncias A Equação de Bernoulli é aplicada bastante aplicada a escoamentos internos onde as distâncias de interesse são pequenas. Nestes casos os efeitos viscosos do fluido podem ser desprezados. São casos de escoamentos considerados não viscosos aquele que ocorre através de uma redução de seção (a) e de um tanque pressurizado (b).
  • 51. 4.5.3 Equação de Bernoulli: Aerodinâmica A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo. De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte de baixo, criando uma força de empuxo que sustenta o avião no ar. Var
  • 52. 4.5.4 Equação de Bernoulli: Vaporizadores Uma bexiga de borracha quando comprimida faz com que o ar seja empurrado paralelamente ao furo que localiza-se no extremo superior de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cima, com o fluxo de liquido ocorrendo conjuntamente com a corrente de ar. V tubo
  • 53. 4.5.5 Equação de Bernoulli: Estática de Fluidos Fluido em repouso: V = 0 Logo: 𝑝 𝜌 + 𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 ∴ 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 Como 𝑃𝐴= 𝑎𝑡𝑚 𝑝 𝐴+𝜌 𝐴 𝑔 𝐴ℎ 𝐴 = 𝑝 𝐵 + 𝜌 𝐵 𝑔 𝐵ℎ 𝐵 𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 + ρ𝑔ℎ 𝐴 − ρ𝑔ℎ 𝐵 𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 + ρ𝑔(ℎ 𝐴−ℎ 𝐵 𝑝 𝐵 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 +𝜌𝑔ℎ Lei de Stevin A B h z
  • 54. 4.5.6 Equação de Bernoulli: Teorema deTorricelli Qual a velocidade se saída do fluido? 𝑃𝑎 = 𝑃𝑏 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ + 0 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 0 + 1 2 𝜌𝑉2 Da Equação de Bernoulli: 𝑉 = 2𝑔ℎ Teorema de Torricelli patm patm patm patm A B Linha de corrente
  • 55. Exemplo 11 Um Tubo de Pitot e um Tubo Piezométrico medem as seguintes pressões, respectivamente, 400kPa e 300kPa, conforme ilustra a figura a seguir. Determine a velocidade no ponto 1, na linha de corrente que possui trajetória coincidente com o centro do bocal do Tubo de Pitot. (ρ = 1000kg/m³) Equação de Governo: 𝑝1 𝜌 + 𝑉1 2 2 + 𝑔𝑧1 = 𝑝2 𝜌 + 𝑉2 2 2 + 𝑔𝑧2
  • 56. Exemplo 12 Água escoa, em regime permanente, através de um bocal horizontal que a descarrega para a atmosfera. Na entrada, o diâmetro do bocal é 𝐷1 e, na saída, 𝐷2. Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica dada, 𝑄. Equação de Governo: 𝑝1 𝜌 + 𝑉1 2 2 + 𝑔𝑧1 = 𝑝2 𝜌 + 𝑉2 2 2 + 𝑔𝑧2
  • 57. Exemplo 13 A figura a seguir esquematiza o principio de funcionamento de um Tubo de Venturi. Conhecendo-se as áreas das seções 1 e 2, a massa específica ρ do fluido, e ainda, a diferença de pressão Δp entre estas regiões, determine: a) uma expressão para o calculo de 𝑣1 b) uma expressão para a diferença de nível h Equação de Governo: 𝑝1 𝜌 + 𝑉1 2 2 + 𝑔𝑧1 = 𝑝2 𝜌 + 𝑉2 2 2 + 𝑔𝑧2 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
  • 58. Capitulo 4 – Aula 06 2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle: A Primeira Lei da Termodinâmica
  • 59. 4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei daTermodinâmica Aplicando TTR a Energia Mecânica Como o sistema e o volume de controle coincidem no instante 𝒕 𝟎: 𝒅𝑬 𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒆𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑄 − 𝑊 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑄 − 𝑊 𝑉.𝐶. 𝑄 − 𝑊 = 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑒 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑒 ρ𝑑∀ 𝑒 = 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 Para formulação de Sistema, a Primeira Lei da Termodinâmica é expressa por
  • 60. 4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei daTermodinâmica 𝑸 − 𝑾 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒆𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝒅𝑬 𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒆𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Teremos, 𝑾 𝒔 + 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 + 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 + 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 𝑾 𝒔 é a taxa de trabalho decorrente da movimentação de um eixo que atravessa SC; 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 é a taxa de trabalho realizado por tensões normais a SC; 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 é a taxa de trabalho realizada por tensões cisalhantes sobre a SC; e 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 é a taxa de trabalho realizada por outros meios sobre a SC.
  • 61. 4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei daTermodinâmica 1) TRABALHO REALIZADO POR E 𝐈𝐗𝐎 𝑾 𝒔 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑉 = 𝑇𝜔 2) TRABALHO REALIZADO POR TENSÕES NORMAIS 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = − 𝑺𝑪 𝝈 𝒏𝒏(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = − 𝑺𝑪 (𝝉 ∙ 𝑽 𝒅𝑨 3) TRABALHO REALIZADO POR TENSÕES DE CISALHAMENTO 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 4) OUTROS TRABALHOS ( 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔) Nesta condição encontram-se porções de trabalho oriundos de efeitos de campos eletromagnéticos, radares, feixes de laser, dentre outros. Em geral, para muitas situações, 𝝈 𝒏𝒏= - p 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = 𝑺𝑪 𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨
  • 62. 4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei daTermodinâmica 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒆𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Deste modo, 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 (𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 (𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Esta última equação ainda pode ser desenvolvida, se a expressão do 𝑾 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = 𝑺𝑪 𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 for aplicada diretamente ali.
  • 63. 4.6 Aplicação doTTR a Primeira Lei daTermodinâmica 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑺𝑪 𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 (𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 (𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 + 𝑺𝑪 𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 + 𝑺𝑪 𝒑𝝑𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 = 1 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝑢 + 𝒑𝝑 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 𝑸 − 𝑾 𝒔 − 𝑾 𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 ℎ + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Entalpia h
  • 64. Exemplo 14 Um volume de controle fixo é ilustrado na figura a seguir. Sabe-se que o escoamento se dá em regime permanente e as propriedades relativas ao fluxos de massa em suas seções abertas apresentam-se na tabela. Determine: as vazões volumétricas nas três seções; os fluxos de massa nas três seções (faça um balanço do fluxo de massa do sistema); e a taxa de variação da energia do sistema que ocupa o volume de controle. Seção Tipo ρ [kg/m³] V [m/s] A [m²] e [J/kg] 1 Entrada 800 5 2 300 2 Entrada 800 8 3 100 3 Saída 800 17 2 150 𝒅𝑬 𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝝏 𝝏𝒕 𝑽𝑪 𝒆𝝆𝒅∀ + 𝑺𝑪 𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Equação de Governo:
  • 65. Exemplo 15 Ar a 101 kPa e 21°C entra em um compressor com velocidade desprezível e é descarregado a 344 kPa e 38°C através de um tubo com área transversal de 0,09𝑚2 . A vazão em massa é 9kg/s. A potência fornecida ao compressor é 447kW. Determine a taxa de transferência de calor. 𝑄 − 𝑊𝑠 − 𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜕 𝜕𝑡 𝑽𝑪 𝑢 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝜌𝑑∀ + 𝑺𝑪 ℎ + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 Equação de Governo: 𝑉1 = 0, 5𝑚/𝑠
  • 66. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Livro: FOX; MCDONALD; PRITCHARD. INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS - 8ª Ed Capítulo 4: 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 35, 36, 39, 40, 41, 45, 51, 52, 53, 60, 63, 65, 69, 71, 72, 73, 80, 84, 85, 91, 96, 102, 103, 203, 204, 205, 206, 207, 208.
  • 67.
  • 68. Esse é o escoamento do exercício 4.15, que já resolvemos em sala de aula!
  • 69.
  • 70. P4.23
  • 71.
  • 72.
  • 73.
  • 74.
  • 75.
  • 77.