1) O documento apresenta as primitivas imediatas, que são as integrais indefinidas que podem ser deduzidas diretamente das regras de derivação. 2) São apresentadas várias primitivas imediatas comuns, como a integral de funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas. 3) Dois exemplos mostram como calcular integrais indefinidas usando as primitivas imediatas e como calcular uma primitiva quando se conhece a derivada e um valor inicial.

1. Aula nº 02 – :
Autor: Wadiley Nascimento Facebook: Factos Matemáticos
Primitivas
Imediatas

2. Funções Reais de Variável Real – Integral Indefinida
Integral Indefinida é o mesmo que dizer Primitiva.
1ª Questão (Derivada): Dada a função 𝑓(𝑥), qual é a função 𝑭(𝒙), que é
igual à derivada da função dada 𝑓′(𝑥) .
𝐹(𝑥) = 𝑓′(𝑥)
2ª Questão (Invesa da Derivada): Dada a função 𝑓(𝑥), qual é a função
𝑭(𝒙), cuja a sua derivada é igual à função dada 𝑓(𝑥) .
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

3. Integral Indefinida
1.1 - Integrais Imediatas
Definição 1: Sejam 𝑓(𝑥) e 𝐹(𝑥) duas funções definidas num intervalo 𝐼.
Diz-se que 𝐹(𝑥) é uma primitiva de 𝑓 em 𝐼 se 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼.
Definição 1.1.1: Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem
directamente de uma regra de derivação.
A partir das regras de derivação obtém-se facilmente.
Primitivas
Imediatas

4. න 𝑢(𝑥) 𝛼
∗ 𝑢′
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢(𝑥) 𝛼+1
𝛼 + 1
+ 𝐶 , 𝛼 ≠ −1න 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 =
𝑥 𝛼+1
𝛼 + 1
+ 𝐶 , 𝛼 ≠ −1
න
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔(|𝑥|) + 𝐶 න
𝑢′ 𝑥
𝑢 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔(|𝑢 𝑥 |) + 𝐶
න 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 න 𝑒 𝑢 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢′ 𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 + 𝐶
න 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎
+ 𝐶, 𝛼 > 0 න 𝑎 𝑢 𝑥 ∗ 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎 𝑢 𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎
+ 𝐶, 𝛼 > 0
න
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 න
𝑢′ 𝑥
1 + 𝑢 𝑥 2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑥 + 𝐶
න −
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 න −
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶

5. න
𝑢′ 𝑥
1 + 𝑢 𝑥 2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 𝑥 + 𝐶
න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 න 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑥 ∗ 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑢(𝑥) + 𝐶
න cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 න cos 𝑢 𝑥 ∗ 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢(𝑥) + 𝐶
න 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 න 𝑠𝑒𝑐2
𝑢 𝑥 ∗ 𝑢′
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑢(𝑥) + 𝐶
න 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶
න 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑢 𝑥 ∗ 𝑢′
𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝑥 + 𝐶
න
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶
Fórmulas
I. Imediatas

6. Ex. 1: Calcule o seguinte integral:
⇔ න 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥
⇔
𝑥2+1
2 + 1
+
𝑥1+1
1 + 1
+ 𝑥 + 𝐶
⇔
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝐶;
Segredo: Conhecer as Primitivas Imediatas
Recordar:
න 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 =
𝑥 𝛼+1
𝛼 + 1
+ 𝐶 , 𝛼 ≠ −1
න 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙
= න 𝑥2 𝑑𝑥 + න 𝑥 𝑑𝑥 + න 1 𝑑𝑥

7. Teorema 1.1.1: Seja f uma função primitivável num intervalo I. Então, para cada
𝑥0 ∈ 𝐼 e cada 𝑦0 ∈ ℝ, existe uma, e uma só, primitiva 𝑭(𝒙) de 𝑓(𝑥) tal que
𝐹(𝑥0) = 𝑦0.
Em particular, existe uma, e uma só, primitiva de 𝑓(𝑥) que se anula em 𝑥0.
Ex.2: Calculemos 𝑓 𝑥 sabendo que 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 𝑥 e 𝑓(1) = 2.
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥
Sabendo que, 𝑓 1 = 2 ⇔
(1)
5
2
Τ5 2
+ 𝐶 = 2 ⇔
1
Τ5 2
+ 𝐶 = 2 ⇔
1
1
∗
2
5
+ 𝐶 = 2
= න 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑥 ∗ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = න 𝑥
3
2 𝑑𝑥 =
𝑥
3
2
+1
3
2
+ 1
+ 𝐶 =
𝑥
5
2
5
2
+ 𝐶

8. ⇔
1
1
∗
2
5
+ 𝐶 = 2
Portanto,
𝑓 𝑥 =
2
5
𝑥
5
2 +
8
5
𝑻𝒆𝒍. +𝟐𝟑𝟗 𝟗𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟒𝟓
⇔ 𝑓 𝑥 =
2 𝑥5 + 8
5
⇔
2
5
+ 𝐶 = 2 ⇔ 𝐶 = 2 −
2
5
⇔ 𝐶 =
8
5