Material de aula

1. Cálculo Univariado Aplicado à
Ciência, Tecnologia e Inovação
Prof. Wanderley de Jesus Souza
Teixeira de Freitas
BAHIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL DA
BAHIA
Campus Paulo Freire

2. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e
Regra da Cadeia
ANÁLISES PARA FUNÇÕES COMPOSTAS
Uma função é composta ou comumente denominada função de
função quando nela há combinação de duas ou mais variáveis.
Seja dada a seguinte função como exemplo: y= (x4-3x+2)10
Tomemos as seguintes condições:
Consideremos f(x) = x4-3x+2. Podemos dizer também que u = x4-3x+2, uma
vez que u será dado em função da variável x, neste caso. Então podemos
chamar y = g(u) , dado por y = u10 ou ainda, dizemos que y = g[f(x)]
OBS: Esta condição nos possibilita estudar derivada de funções compostas.

3. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia
• REGRA DA CADEIA
Consideremos duas funções deriváveis, g e f, em que y = g(u) e u = f(x),
tendo-se uma função composta de g com f (g 0 f).
Se dy/du (a derivada de y em relação a u) e du/dx (a derivada de
u em relação a x) existem, então y = g[f(x)] tem derivada dada por:
y= (x4-3x+2)10
f(x) = x4-3x+2
u = x4-3x+2
y = g(u)
y = g[f(x)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
→ 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, → 𝑦´ = 𝑔´ 𝑢 . 𝑓´(𝑥)

4. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da
Cadeia
EXEMPLOS – Calcular a derivada das funções seguintes:
a) y= (4x2+5)2
b) y= (5x3+3x2+x)10
c) y= (-x5+2x)3 (4x + 3)4
d) 𝑦 =
(5x3 − x)8
(x3 +2 )5
e) 𝑦 =
𝑡+1
𝑡−1

5. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia
RESOLUÇÃO
a) y= (4x2+5)2
Sendo: u = 4x2+5, então y = u2
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=2u;
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 8x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
→ 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, → 𝑦´ = 𝑔´ 𝑢 . 𝑓´ 𝑥 .
Vamos usar a primeira definição e substituir o valor de u
𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑢. 8x = 2 (4x2+5) 8x = 16x (4x2+5) RESPOSTA: y´= 64x3+80x
NOTA: dy/dx e y´ são formas idênticas de expressar a derivada primeira da função. O
processo de cálculo das derivadas é mecânico e exige treinamento.

6. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia
RESOLUÇÃO
b) y= (5x3+3x2+x)10
Sendo: u = 5x3+3x2+x, então y = u10
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=10u9;
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 15x 2+6x+1
y´= 10u9 (15x 2+6x+1) = 10 (5x3+3x2+x)9 (15x 2+6x+1)
RESPOSTA: y´= 10 (5x3+3x2+x)9 (15x 2+6x+1)
NOTA: Para o propósito de derivar as funções não é necessário desenvolver as
multiplicações das funções, podendo ficar na forma como está a resposta

7. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia
RESOLUÇÃO
c) y= (-x5+2x)3 (4x + 3)4
Neste caso vamos fazer a derivada de cada função [ f(x) e g(x)] e associar a regra do
produto que aprendemos na aula passada, ou seja: y' = f ' (x) • g(x)+g' (x) • f(x)
Sendo: f(x) = (-x5+2x)3 e g(x) = (4x + 3)4
Fazemos u = (-x5+2x) e v = 4x + 3para derivar cada função e usar a
regra do produto
f ´(x) = 3 (-x5+2x)2 ( -5x4+2)
g´(x) =4 (4x + 3)3(4) = 16 (4x + 3)3
Montando a expressão para y´ com base na regra do produto temos:
RESPOSTA: y´ = 3 (-x5+2x)2 ( -5x4+2) (4x + 3)4+16 (4x + 3)3 (-x5+2x)3

8. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia
RESOLUÇÃO
d) 𝑦 =
(5x3 − x)8
(x3 +2 )5
Neste caso vamos fazer a derivada de cada função [ f(x) e g(x)] e associar a regra do
quociente que aprendemos na aula passada, ou seja: y´ =
[f ′ (x) • g(x)− g′ (x) • f(x)]
[g(x)]2
Sendo: f(x) = (5x3 - x)8 e g(x) (x3 + 2)5
Fazemos u = 5x3 - x e v = x3 + 2 para derivar cada função e usar a
regra do quociente
f ´(x) = 8 (5x3 - x)7 ( 15x2 - 1)
g´(x) =5 (x3 + 2 )4(3x2) = 15x2 (x3 + 2 )4
Montando a expressão para y´ com base na regra do quociente temos:
RESPOSTA: y´ =
8 (5x3 − x)7 ( 15x2 − 1)(x3 + 2)5 −15x2 (x3 + 2 )4(5x3 − x)8
(x3 + 2)10

9. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia
RESOLUÇÃO
e) 𝑦 =
𝑡+1
𝑡−1
→ ou seja, podemos reescrever 𝑦 =
𝑡+1
𝑡−1
1/2
Neste caso vamos fazer a derivada usando a regra da potência e do quociente, ou seja:
Sendo: f(x) = (t+1) e g(x) (t-1)
f ´(x) = 1 e g´(x) = 1
Usando a regra da potência e do quociente e montando a expressão para y´
temos:
y´ =
1
2
𝑡+1
𝑡−1
−1/2
1(t−1) − 1(t+1)
(t−1)2
RESPOSTA: y´ =
1
2
𝑡+1
𝑡−1
−1/2
−2
(t−1)2

10. AULA 3
3.1 Derivadas de Funções compostas e Regra da cadeia
TABELA para auxílio em derivação: Considere: u = u(x) e v = v(x)
funções deriváveis e c uma constante qualquer

11. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
Funções do tipo:
exponencial, logarítmica, exponencial
composta, trigonométrica.

12. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
FUNÇÃO EXPONENCIAL – caso específico para variável x
Consideremos:
y = ax, (a > O e a ≠ 1) então,
y'= ax ln a (a > 0 e a ≠ 1). (ln a = logaritmo na base a)
EX1. y= 2x → y´ = 2x ln 2
EX2. y= ex (e = número neperiano que vale 2,7182...)
y´ = ex ln e = ex , pois ln e = 1. (ln e = logaritmo na base e)

13. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
FUNÇÃO LOGARÍTMICA– caso específico para variável x
Consideremos:
y = log a x (a > 0 e a ≠ 1), então
y ' = 1/x log a e
EX1. y= log 5 x → y´ = 1/x log 5 e

14. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPOSTA – caso específico
para variável x
Consideremos:
y = uv, onde u = u (x) e v = v (x) são funções de x,
deriváveis num intervalo I e, u (x) >0, então,
y' = v.uv-1 . u' + uv . ln u .v‘
VEREMOS UM EXEMPLO ADIANTE.

15. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
Tabela de derivadas para condições gerais da variável u

16. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
EXEMPLOS – Calcular a derivada das funções seguintes:
a) 𝑦 = 2(3x4−2x+5)
b) 𝑦 = 𝑒
(x2 + 5)
(x3− 4)
c) 𝑦 = l𝑜𝑔
4
𝑥3 + 3𝑥
d) 𝑦 = (3𝑥2 + 7)(𝑥3
−5)

17. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
RESOLUÇÃO
a) 𝑦 = 2(3x4−2x+5)
Para y = au → y´ = u´. au. ln a (TABELA de derivadas). Temos:
u = 3x4−2x+5 → u´ = 12x3−2 ; a = 2
b) 𝑦 = 𝑒
(x2+5)
(x3− 4)
Para y = eu → y´ = u´. eu (TABELA de derivadas). Temos:
u =
(x2+5)
(x3− 4)
→ u´ =
2x(x3− 4) − 3x2(x2+5)
(x3− 4)
2
y´ = (12x3−2). 2(3x4−2x+5) . ln 2
y´ =
2x(x3− 4) − 3x2(x2+5)
(x3− 4)
2 𝑒
(x2+5)
(x3− 4)

18. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
RESOLUÇÃO
𝑐) 𝑦 = l𝑜𝑔
4
𝑥3 + 3𝑥
Para y = log𝑎 𝑢 → y´ =
𝑢´
𝑢
log𝑎 𝑒 (TABELA de derivadas). Temos:
u = x3+3x → u´ = 3x2+3 ; a = 4
d) 𝑦 = (3𝑥2 + 7)(𝑥3
−5)
Para y = uV → u = 3𝑥2 + 7 ; v = 𝑥3 − 5
Para y´ = v.uv-1.u´+ uv.ln u.v´(TABELA de derivadas). Temos:
y´ = (x3-5). (3x2+7)(𝑥3
−5)−1. 6x + (3𝑥2 + 7)(𝑥3
−5). ln (3𝑥2 + 7 ). 3x2
y´ =
3x2+3
x3+3x
log4 𝑒
u´= 6x
V´= 3x2
y´ = (x3-5). (3x2+7)(𝑥3
−6)
. 6x + (3𝑥2 + 7)(𝑥3
−5). ln (3𝑥2 + 7 ). 3x2

19. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
• SENO
• COSSENO
• TANGENTE
• COSSECANTE
• SECANTE
• COTANGENTE

20. 3.2 Derivadas de
Funções
Elementares
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Antes de vermos
a tabela de derivadas de
funções trigonométricas
vamos entender um
pouco mais sobre estas
funções, cuja base é o
seno e o cosseno. Assim
temos as seguintes
considerações para o
ângulo u em que u pode
ser qualquer função:
Função Denominação Forma de Obtenção
seno y = sen (u) Cat. oposto/hipotenusa
cosseno Y = cos (u) Cat. adj/hipotenusa
tangente y= tg (u) sen (u)/cos (u)
cossecante Y = cosec (u) 1/sen (u)
secante Y= sec (u) 1/cos (u)
cotangente y = cotg (u) 1/tg (u)

21. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
Para determinação das derivadas para FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS, consideremos u como uma função e u´ como sua
derivada. A solução é simples, basta usarmos a Tabela abaixo, associado
às técnicas de derivação que já aprendemos.

22. AULA 3
3.2 Derivadas de Funções Elementares
EXEMPLOS – Calcular a derivada das funções seguintes:
a) y = sen (x3)
u = x3 → u´= 3x2
y ´= u´. cos (u) (TABELA de derivadas)
b) y= 4 tg (x3+2x)
u = x3+ 2x → u´= 3x2+2
y ´= u´. sec2 (u) (TABELA de derivadas). Vamos usar também a regra da
derivada de uma constante por uma função.
NOTA: É comum usar u´
multiplicando a função
derivada, para se evitar
confundir o valor e u´ com o
ângulo da função.
y ´= 4. (3x2+2)sec2(x3+2x)
y ´= 3x2 cos x3