Este documento descreve a modelagem matemática do movimento de um pêndulo simples utilizando a equação diferencial ordinária de segunda ordem e o método de Runge-Kutta de segunda ordem para resolver numericamente a equação no programa MATLAB. Os resultados mostram a variação da elongação e velocidade angular em função do tempo para diferentes intervalos de tempo.

1. UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Escola Superior de Ciências Marinhas e Costeiras
Oceanografia
III nível
MODELAÇÂO E SIMULAÇÂO DOS PROCESSOS OCEANICOS
Modelação de um pêndulo simples
Discentes: Docente:
Edson da Conceição Matos Prof.Dr. Fialho Nehama
Quelimane, Agosto de 2013

2. Modelo de Pêndulo Simples
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3. Modelo de Pêndulo Simples
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Índice pag
Introdução......................................................................................................................................... 4
Objectivos Geral................................................................................................................................ 5
Especifico...................................................................................................................................... 5
Métodos Utilizados............................................................................................................................ 5
Cálculo da E.D.O. de 2ª. Ordem do pêndulo simples no Programa Matlab 7.0................................ 8
Resultados....................................................................................................................................... 11
Discussão........................................................................................................................................ 12
Conclusão ....................................................................................................................................... 13
Referência Bibliográfica.................................................................................................................. 14

4. Modelo de Pêndulo Simples
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1. Introdução
Actual mente, a automação de sistemas de controles está se tornando cada vez mais associada com o
expressivo sector da informática. Vários tipos de controle são construídos, de maneira acelerada,
por sofisticados métodos e recursos da computação. Abundantemente, podemos encontrar no campo
industrial, alguns desses sistemas de controles automáticos: inovação espacial e bélica, robótica,
transportes, sector de montagem automatizada, produção de equipamentos, controle de qualidade,
entre outros.
Desta forma, o controle torna-se indispensável na vida moderna, de forma contínua e diversificada de
actuação, com abrangência completa e ampla, em que o uso de sistemas automáticos de controle tem
se difundido em larga escala, podendo mesmo ser considerados como alicerces para o
desenvolvimento tecnológico. E entre os muitos desses sistemas existentes, podemos citar o pêndulo
simples e o invertido.
A principal relevância do pêndulo simples é a conveniência de possibilitar a determinação da
gravidade e também na verificação do movimento rotacional terrestre. E no caso específico do
pêndulo invertido, do ponto de vista tecnológico, este sistema é de extrema relevância aos estudos e
pesquisas nesta área, pois possibilita o esclarecimento dos problemas práticos integrados, que são
empregados no controle de sistemas na actualidade.
O pêndulo simples é constituído por um corpo suspenso num fio leve e inextensível. Quando
é afastado da posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscila no plano vertical, em torno do
ponto de fixação do fio, por acção da gravidade. O seu movimento, rege-se pela lei de
Newton.
A originalidade do pêndulo reside no fato de possuir liberdade de oscilação em qualquer
direcção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação deste se dá com a rotação da Terra e
sua velocidade e direcção de rotação permitem, igualmente, determinar a latitude do local da
experiência sem nenhuma observação astronómica exterior.

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2. Objectivos Geral
O objectivo geral do trabalho é de modelar o movimento do pêndulo, a variação da
velocidade e da elongação em função do tempo para a solução numérica e analítica.
2.1. Especifico
Analisar e modelar o movimento do pêndulo especificamente a variação da velocidade e da
elongação versus tempo de no intervalo de zero a três mil e seiscentos segundos para a
solução numérica e analítica.
3. Métodos Utilizados
A revisão bibliográfica foi utilizada durante o desenvolvimento do trabalho, visando a
fundamentação teórica dos assuntos referentes ao tema em questão, explorando
principalmente os aspectos de modelação, tanto de âmbito físico e matemático. Para isto
foram consultadas páginas electrónicas, relatórios, e livros. usou-se o programa Matlab7.0
instalado no computador portátil INSYS StyleNote 2 CT49 Para se fazer correr o modelo do
pêndulo simples Fig.1,
Fig.1 O pêndulo simples e as forcas actuantes consideradas na modelagem simplificada

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Calculou-se Equações Diferenciais Ordenarias (E.D.O) da segunda ordem
Usou-se equação diferencial ordinária que descreve o movimento angular do pêndulo que é
obtida a partir das leis de Newton:
F = m.a (1)
(2)
(3)
Neste caso a condição inicial (condição de contorno) do problema é q (0) =q0 (ângulo inicial
do pêndulo).
Calculando a solução da E.D.O de 2ª ordem (3) através do Método de Runge_Kutta de 2ª
ordem, de seguida converteu-se em um sistema de E.D.O de 1ª ordem:
(4)
De modo a obter o sistema de E.D.O de 1ª ordem:
(5)
Com condições iniciais Ө(0) = Ө0 e P(0) = P0.
De seguida calculou-se a equação (5) de forma a resolver este sistema de equações afim de
obter o valor da variável p, e a equação (6) para obter a solução Ө em cada intervalo de
tempo.
A partir da aplicação de método de Runge-Kutta nas equações (5) e (6) resultou:
)
(6)

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K1 = Pi , K2 = Pi
Considerou-se os seguintes valores numéricos: g = 9.8m/s2
, l = 0.5m , (0) = 60º e p(0) =
d/dt = 0 (velocidade inicial), usando o Método de Runge-Kutta de 2ª ordem (h = t = 0,01
s), verifica se instabilidade das soluções para os valores crescentes de tempo Fig2.
Fig. 2. 1º Gráfico ilustra elongação na solução numérica o 2º gráfico ilustra a variação da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-
10segundos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
-5
0
5
10
Elongação dum pêndulo simples
T [s]
Elongação[m]
Solução Numérica
Solução Analítica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
-5
0
5
10
Velocidade dum pêndulo simples
Tempo [s]
Velocidade[m/s]
Solução Numérica
Solução Analítica

8. Modelo de Pêndulo Simples
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Usando o Método de Runge-Kutta de 2ª ordem com (h = t = 0,001 s) com valores
numéricos: g = 9.8m/s2
, l = 0.5m , (0) = 60º e p(0) = d/dt = 0 (velocidade inicial), as
soluções são estáveis e não apresenta instabilidade na resposta para tempos crescentes fig3.
Fig3 1º Gráfico ilustra elongação na solução numérica o 2º gráfico ilustra a variação da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-10
segundos.
4. Cálculo da E.D.O. de 2ª. Ordem do pêndulo simples no Programa Matlab 7.0
Usou-se o Método de Runge - Kutta de 2ª ordem com condições de contorno: p(0) = 0, q(0) =
60
clear;
% constantes para o cálculo da elongação e velocidade:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
0
5
Elongação dum pêndulo simples
T [s]
Elongação[m]
Solução Numérica
Solução Analítica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
0
5
Velocidade dum pêndulo simples
Tempo [s]
Velocidade[m/s]
Solução Numérica
Solução Analítica

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t(1) = 0; % tempo inicial
p(1) = 0; % velocidade angular
q(1) = 60; q(1) = q(1)*pi/180; % Conversão de ângulo de graus para radianos
g = 9.81; % Aceleração da gravidade
L = 0.5; % Comprimento do pêndulo
%Condições
h = input('Incremento h: '); % (h = t)
tf = input('Valor final de t: ');% tempo final
n = floor((tf - t(1)) / h + 1); % Número de intervalos
for i = 1:n-1
t(i+1) = t(i) + h;
% Método de Runghe-Kutta de 2a ordem
% Calculo da p(t) para a solução numérica
k11 = -g/L*sin(q(i));
k21 = -g/L*sin(q(i));
p(i+1) = p(i) + h/2*(k11 + k21);
% Calculo de q(t) para a solução analítica
k12 = p(i);
k22 = p(i);
q(i+1) = q(i) + h/2*(k12 + k22);
end
% Gráficos das soluções analítica e numérica de p(t) e q(t)
% Graficos das solucoes de p(t) e q(t)
figure(2); clf;
subplot(2,1,1)
plot(t,p,'color','g');
subplot(2,1,2)
plot(t,p,'color','k');
figure(3);clf;
subplot(2,1,1)
plot(t,p,'.b')

10. Modelo de Pêndulo Simples
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hold on
plot(t,q,'k')
title('Elongação dum pêndulo simples','fontsize',14)
legend('Solução Numérica','Solução Analítica')
xlabel('T [s]')
ylabel('Elongação [m]')
grid
subplot(2,1,2)
plot(t,p,'.r')
hold on
plot(t,q,'color','k')
title('Velocidade dum pêndulo simples','fontsize',14)
legend('Solução Numérica',' Solução Analítica')
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('Velocidade [m/s]')
grid

11. Modelo de Pêndulo Simples
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5. Resultados
No estudo feito resulto se na Fig.4 a ilustração da variação da elongação e velocidade angular
p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de zero a três mil e
seiscentos segundos, a elongação os valores da solução numérica e analítica não
apresentaram variações considerável nos primeiros segundos na condição de h = t = 0.001 s,
mais com o aumento do tempo verifica se uma instabilidade cresce provavelmente por terem
percorrido diferente espaço e em unidade de tempo similares.
Fig. 4 o 1º Gráfico ilustra elongação na solução numérica o 2º gráfico ilustra a variação da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo.
0 20 40 60 80 100 120
-10
-5
0
5
10
Elongação dum pêndulo simples
T [s]
Elongação[m]
Solução Numérica
Solução Analítica
0 20 40 60 80 100 120
-10
-5
0
5
10
Velocidade dum pêndulo simples
Tempo [s]
Velocidade[m/s]
Solução Numérica
Solução Analítica

12. Modelo de Pêndulo Simples
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Na Fig.5 com a condição de h = t = 0.01 s no intervalo de 0-3600 segundos, verifica se a
instabilidade os valores das soluções crescem na medida em que o tempo aumenta nota se um
aumento brusco nos primeiros segundos para a elongação tanto para a velocidade, a diferença
é de pequena escala no espaço da na solução analítica Fig.2 e no mesmo tempo.
Fig. 5. 1º Gráfico ilustra elongação na solução numérica o 2º gráfico ilustra a variação da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-
10segundos.
6. Discussão
Tendo usado o Método de Runge-Kutta de 2ª ordem para a modelagem de pêndulos simples
com (h = t = 0,001s no intervalo de tempo(s) de 0-100 na Fig.4, e para h = t = 0,01 no
intervalo de 0-3600s na Fig.4) e valores numéricos g = 9.8m/s2
, l = 0.5m , (0) = 60º e p(0)
= d/dt = 0 (velocidade inicial), o processamento de dados levou mais de 6 horas de tempo e
por fim o programa de para a o plote dos gráficos, num computador com a Unidade de
Central de Processamento (CPU) de 1.86GHz e Memória de acesso aleatório (RAM) de 2Gb,
com estas condições precisaremos de fazer uma diminuição do tempo caso for para analises
imediatas no intervalo de 0-10segundos ilustrado na Fig.2 e Fig.3.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-50
0
50
100
150
Elongação dum pêndulo simples
T [s]
Elongação[m]
Solução Numérica
Solução Analítica
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-50
0
50
100
150
Velocidade dum pêndulo simples
Tempo [s]
Velocidade[m/s]
Solução Numérica
Solução Analítica

13. Modelo de Pêndulo Simples
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7. Conclusão
A pois feito o estudo pode-se concluir que a velocidade na solução analítica ronda nos 1m/s
positivo e negativo e na solução numérica varia de 5m/s, verificando se o mesmo para a
elongação do pêndulo no intervalo de tempo de 0-10segundos sendo h = t = 0,001 s, para o
caso em que tivermos o intervalo de tempo variando de 0-100segundos verifica se a
intabilidade nas soluções, isto deve se ao aumento de tempo, em quanto para a solução a
velocidade e a elongação varia entre 0,5 positivo e negativo nos primeiros segundos, no
incremento de h = t = 0.01s para o intervalo de tempo de 0-3600 segundos, a elongação
aumenta e rondam entre 120 m e tendo se verificado o mesmo na velocidade.

14. Modelo de Pêndulo Simples
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8. Referência Bibliográfica
RIBEIRO, R. Implementação de um Sistema de Controle de um Pêndulo Invertido. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Elétrica) – Programa em Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. Itajubá:
UNIFEI, 2007. Disponível em:<http://adm-net-a.unifei.edu.br/phl/pdf/0030714.pdf> Acesso em: 20
jan. 2012.
PET MATEMÁTICA UFSM; Noções Básicas de Utilização e Programação em MATLAB. Santa
Maria, 2008.
CHAPMAN, S.J.; Programação em MATLAB para engenheiros. Tradução técnica: Flávio Soares
Correa da Silva, São Paulo, Thomson Learning, 2006.
LIMA, F. A. de; et al. Desenvolvimento de uma Plataforma Experimental para o Ensino de
Controle de Processos. In: II Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte Nordeste de
Educação
Tecnológica, 2007. CD-ROM.
http://www.demar.eel.usp.br/metodos/programas.html