Este documento fornece informações sobre geometria espacial, especificamente sobre prisma. Ele define prisma, lista os elementos de um prisma e classifica diferentes tipos de prismas. Também fornece fórmulas para calcular áreas, volumes e outras medidas de prisma.

1. Blog Cálculo Básico
"Matemática para concursos"
Geometria Espacial
Comentário:
Sobre a teoria exposta neste material, as demonstrações dos resultados obtidos, foram omitidas pela
finalidade deste material que é a aplicação direta do resultado.
Thieres Machado
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www.calculobasico.blogspot.com.br

2. Geometria Espacial - Prismas
1. Prismas chamado de diagonal do prisma. Por exemplo, B1 A4 é
uma diagonal.
Sejam  e  dois planos paralelos distintos,
uma reta r secante a esses planos e uma região 1.2. A altura de um prisma é a distância h entre os
poligonal convexa A1 A2 A3 ... An contida em  . planos das bases.
1.3. Secção
Secção é a interseção do prisma com um plano
que intercepta todas as arestas laterais. Veja que a
secção de um prisma é um polígono com vértices em
cada aresta lateral. Secção reta ou secção normal é
uma secção cujo plano é perpendicular às arestas
laterais.
Consideremos todos os segmentos de reta,
paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um
extremo pertencente à região poligonal e o outro
extremo pertencente a  .
1.4. Classificação
1.4.1. Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases.
A reunião de todos esses segmentos de reta é um
1.4.2. Prisma oblíquo é aquele cujas arestas laterais
poliedro chamado de prisma limitado ou
são oblíquas aos planos das bases.
simplesmente de prisma.
1.4.3. Prisma regular é um prisma reto cujas bases são
polígonos regulares.
1.1. Elementos
1.5. Natureza de um prisma
a) As regiões poligonais A1 A2 A3 ... An e B1B2 B3 ...Bn são
chamadas de bases do prisma. Um prisma será triangular, quadrangular,
b) As demais faces, exceto as bases, são chamadas de pentagonal, etc., conforme a base for um triângulo,
faces laterais. Por exemplo, A1B1B2 A2 , A2 B2 B3 A3 ,... são um quadrilátero, um pentágono, etc.
faces laterais.
c) Os vértices do prisma são A1 , A2 ,..., B1 , B2 ,... . 1.6. A soma dos ângulos de todas as faces de um
prisma de n faces laterais vale:
d) Os lados das bases são chamados de arestas das
bases. Por exemplo, A1 A2 , A2 A3 ,..., B1B2 , B2 B3 ,... . S  (n  1).8r , em que r  90 .
e) Arestas laterais são A1B1 , A2 B2 , A3 B3 ,... .
f) Todo segmento de reta cujos extremos são vértices Exemplo 1: Ache a natureza de um prisma, sabendo
que não pertencem a uma mesma face do prisma é que a soma dos ângulos das faces é 72 retos.
Solução:
720.(n -1) = 72.90 ou n = 10 faces laterais.
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3. Geometria Espacial - Prismas
Natureza decagonal. 1.10. Áreas e Volume
1.7. Um prisma cuja base é um polígono convexo de n 1.10.1. Área da base: A b
lados, tem um total de:
A área da base de um prisma é a área de um
polígono.
n.(n  3) diagonais.
1.10.2. Área lateral: Al
A superfície lateral de um prisma é a soma das áreas
das faces laterais.
Al = 2p.a, em que
Exemplo 2: Calcule a soma dos ângulos internos de
2p é a medida do perímetro da base e a é a medida da
todas as faces de um prisma que possui 40 diagonais.
aresta da lateral.
Solução:
40 = n(n - 3) ou n = 8 faces (polígono da base), então
1.10.3. Área total: At
terá 8 faces laterais.
S = (8 - 1).8.90 ou S = 5040°.
A superfície total de um prisma é a reunião da
superfície lateral com as bases.
1.8. Paralelepípedos e Romboedros
At = Al + 2.Ab
1.8.1. Paralelepípedo é um prisma cujas bases são
Exemplo 3:
paralelogramos.
Calcule a área total de um prisma reto cuja base é um
Um prisma reto cujas bases são retângulos é
triângulo de lados medindo 4 cm, 6 cm e 8 cm e cuja
um paralelepípedo retângulo ou paralelepípedo reto-
altura mede 2 cm.
retângulo, ou ortoedro.
Solução:
Utilizando a fórmula de Heron para o cálculo da área
da base: Ab = 9(9  4)(9  6)(9  8)  135 cm2.
Al = 18.2 = 26 cm2.
Atotal = 26  6 15 cm2.
1.10.4. Princípio de Cavalieri: dois sólidos, nos quais
todo plano secante, paralelo a um dado plano,
determina superfícies de áreas iguais (superfícies
1.8.2. Romboedro é um paralelepípedo que possui as equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos
doze arestas congruentes entre si. equivalentes).
1.8.3. Romboedro reto-retângulo ou cubo é o 1.10.5. Volume: V
romboedro reto cujas bases são quadrados, ou seja, as
arestas são congruentes entre si.
P1 é um prisma de altura h, P2 é um paralelepípedo
retângulo de altura h e B1 , B2 são as áreas das bases
1.9. As diagonais de um paralelepípedo retângulo
com B1  B2 .
interceptam-se nos respectivos pontos médios.
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4. Geometria Espacial - Prismas
Portanto, pelo princípio de Cavalieri, VP1  VP2 e Exercícios - Prismas
VP2  B2 .h . Concluímos então, que o volume de um
1. A diagonal de um cubo mede 16 cm. Determine a
prisma é o produto da área da base pela medida da área total e o volume desse cubo.
altura.
V = A b .h 2. A soma de todas as arestas de um paralelepípedo
vale 60 cm. Sabendo que a área total desse
paralelepípedo é de 136 cm2, determine a medida de
Exemplo 4: sua diagonal.
Determine o volume de um prisma, cuja base é um 3. Determine a altura de um prisma triangular cujo
triângulo retângulo de catetos 3cm e 4cm e cuja altura volume vale 4 cm3 e cuja área lateral é igual à área da
do prisma é de 4cm base.
Solução: 4. A medida do volume de um cubo, em cm3, é igual à
Ab = (3.4) / 2 = 6cm2. medida de sua área total, em cm2. Determine a medida
V = 6.4 = 24cm3. da diagonal desse cubo.
1.10.6. Considere um paralelepípedo reto-retângulo de 5. A área total de um paralelepípedo retângulo mede
dimensões a, b e c. Seja d a medida de uma diagonal
142 cm2 e sua diagonal mede 8cm . Determine o
da base, D uma diagonal do paralelepípedo e V o seu
volume. volume desse sólido, sabendo que suas dimensões
estão em progressão aritmética.
6. São dados dois cubos: a diagonal do primeiro
excede de 5 3m a diagonal do segundo. A diferença
entre as arestas destes cubos mede:
A) 3m B) 2 3m C) 5m D) 3m E) 3 3m
D  a 2  b2  c2 A t  2(ab  ac  bc) V  a.b.c 7. Em um cubo de aresta l, a distância entre o ponto
de encontro de suas diagonais internas e qualquer de
1.10.7. Considere agora, um cubo (hexaedro regular) suas arestas é:
cuja aresta mede a. l 3 l 2 l
A) l 3m B) l 2m C) m D) m E) m
2 2 2
Da 3 8. Considere um paralelepípedo retangular com lados
2, 3 e 6 cm. A distância máxima, em cm, entre dois
A t  6a 2 vértices deste paralelepípedo é:
V  a3
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Exemplo 5: 9. A capacidade máxima de uma caixa d’água com a
forma de um paralelepípedo retângulo, de dimensões
Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5, 4 2 m, 2 m e 1 m, é de:
e 3, calcular: a medida de sua diagonal.
Solução: A) 40 litros B) 400 litros C) 4000 litros
D2 = 52 + 42 + 32 = 50 ou D = 5 2 cm. D) 40000 litros E) 400000 litros
10. A aresta de um cubo, sabendo que a diagonal do
cubo excede em 2 cm a diagonal da face, vale:
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5. Geometria Espacial - Prismas
A) 2 3cm B)  3  2  cm 17. Um prisma reto tem por base um hexágono
regular. Qual é o lado do hexágono e a altura do
C) 2  3  2 cm D)  2 2  3  cm prisma, sabendo que o volume é de 4 m3 e a superfície
lateral de 12 m2?
11. A aresta e a diagonal de um cubo, sabendo que
seu volume é oito vezes o volume de um outro cubo 3 3
A) 4 3m e 3 3m B) 3m e m
que tem 2 cm de aresta valem, respectivamente: 2
4 3 3 3 2 3 3 3
C) m e m D) m e m
A) 4 cm e 3 cm B) 2 cm e 3 cm 9 2 9 2
C) 4 3 cm e 4 cm D) 4 cm e 4 3 cm
E) n.d.a. 18. Um prisma tem por base um triângulo equilátero
cujo lado é a e a altura desse prisma é igual ao dobro
12. Um tanque em forma de paralelepípedo tem por da altura do triângulo da base. Qual o seu volume?
base um retângulo horizontal de lados 1,2 m e 0,8 m.
Um indivíduo, ao mergulhar completamente no 3a 3 3a 2 4
A) a 3 B) 3a3 C) D) E) n.d.a.
tanque faz o nível de água subir 0,075 m. O volume 4 4
do indivíduo em, m3, é:
19. Se a área da base de um prisma diminui 20% e a
A) 0,72 B) 0,072 C) 0,0072 D) 0,075 E) n.d.a. altura aumenta 30%, o seu volume:
13. Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m 2 de A) aumenta 8% B) diminui 4% C) aumenta 104%
parede. Para pintar as paredes de uma sala D) diminui 8% E) aumenta 4%
(retangular) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e
3 m de altura, gasta-se uma lata mais uma parte da 20. Um prisma hexagonal regular tem área da base
segunda lata. A porcentagem de tinta que resta na igual a 96 3cm 2 . Calcule a área lateral do prisma,
segunda lata é: sabendo que sua altura é igual ao apótema da base.
A) 56% B) 20% C) 44% D) 38% E) n.d.a. 21.(EsSA) A altura de um prisma hexagonal regular é
de 5 m. Sabe-se também que sua área lateral é o dobro
14. A base de um prisma reto é um triângulo de lados da área de sua base. O volume desse prisma, em m3, é:
iguais a 5 m, 5 m e 8 m e a altura tem 8 m. Qual o
volume, em m3, desse prisma? A) 200 3 B) 285 3 C) 220 3
D) 270 3 E) 250 3
A) 12 B) 24 C) 96 D) 44 E) n.d.a.
15. A base de um prisma oblíquo é um triângulo
equilátero de lado 6 cm cujas arestas laterais medem 4
cm. Se as aresta laterais formam ângulos de 60° com Gabarito: 1.12cm2 e 2 2cm3 2. 89cm 3. 3 /3cm 4. 6 3cm
o plano da base, qual o volume, em cm3, desse 5.105cm3 6.C 7.D 8.A 9.C 10.C 11.D 12.B 13.A 14.C 15.D 16.E
prisma? 17.C 18.C 19.E 20. 192 3cm2 21.E
A) 30 B) 50 C) 53 D) 54 E) n.d.a. Observação: a bibliografia será indicada no final da
série.
16. A área total de um prisma hexagonal regular cuja
aresta da base é igual a 2a e cuja altura é igual a a,
vale:
A)
3 1
a
B) a  
3 1 C) 12a 2  3 3  Blog Cálculo Básico
"Matemática para concursos"
D) a3  3 1 E) n.d.a.
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