Paralelepípedo e pirâmide

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Paralelepípedo e pirâmide

  1. 1. Geometria Espacial(Paralelepípedo e Pirâmide) Paralelepípedo: Definição, Tipos, Área da Base (AB), Área Lateral (AL), Área Total (AT) e Volume (V). Pirâmide: Definição, Elementos, Classificação, Planificação, Área da Base (AB), Área Lateral (AL), Área Total (AT) e Volume (V). Prof. Ary de Oliveira
  2. 2. Paralelepípedos – Definição Paralelepípedo é um prisma composto por 6 faces as quais são paralelogramos. Prof. Ary de Oliveira
  3. 3. Tipos de Paralelepípedos Os paralelepípedos podem ser: Paralelepípedo Oblíquo: Paralelepípedo Reto: Paralelepípedo Reto-retângulo: (ou Paralelepípedo Retângulo, ou Ortoedro ou Bloco Retangular) Prof. Ary de Oliveira
  4. 4. Tipos de Paralelepípedos EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01 Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto: (A) (B) (C) (D) Prof. Ary de Oliveira
  5. 5. Tipos de Paralelepípedos EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01 Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto: (A) Oblíquo (B) Reto (C) Reto (D) Oblíquo Prof. Ary de Oliveira
  6. 6. Área da Base (AB) Como o paralelepípedo é composto por quadriláteros, então a área da base será a área do quadrilátero (que depende do caso). Retângulo Quadrado 2 A = b×h A=l Prof. Ary de Oliveira
  7. 7. Área Lateral (AL) Para o exemplo a seguir a área lateral de um paralelepípedo é dada por: AL = 2(ac + bc) Prof. Ary de Oliveira
  8. 8. Área Total (AT) Para o exemplo a seguir a área total de um paralelepípedo é dada por: AT = 2(ab + ac + bc) Prof. Ary de Oliveira
  9. 9. Área Total (AT) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02 Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto uma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida da aresta do cubo em centímetros? Prof. Ary de Oliveira
  10. 10. Área Total (AT) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02 Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto uma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida da aresta do cubo em centímetros? SOLUÇÃO AT = 2(a2 + a2 + a2) = 24 dm2 2(3a2) = 24 6a2 = 24 a2 = 4 a = 2 dm x 10 a = 20 cm Prof. Ary de Oliveira
  11. 11. Volume Assim como os prismas o volume do PARALELEPÍPEDO é dado pelo produto da área da base (AB) pela altura do paralelepípedo (h). V = AB x h No exemplo acima o volume é: V = abc Prof. Ary de Oliveira
  12. 12. Volume EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03 Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1 metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros de altura? Prof. Ary de Oliveira
  13. 13. Volume EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03 Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1 metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros de altura? SOLUÇÃO a = 1 m x 10 = 10 dm V = 10 x 20 x 15 b = 2 m x 10 = 20 dm V = 3000 dm3 c = 1,5 m x 10 = 25 dm OU V = abc = ? V = 3000 L Prof. Ary de Oliveira
  14. 14. Pirâmide – Definição Pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com extremidades em V (no vértice) e a outra nos pontos do polígono contido no plano. Prof. Ary de Oliveira
  15. 15. Elementos do Pirâmide (Parte I) Prof. Ary de Oliveira
  16. 16. Elementos do Pirâmide (Parte II) Altura: É a distância entre o vértice e a base. Aresta da Base: Os segmentos que unem os vértices do polígono da base. Aresta Lateral: Os segmentos que unem os vértices do polígono da base ao vértice da pirâmide. Base: É a região poligonal na qual a pirâmide se apoia. Face: É a região triangular delimitada pelas aresta da base, aresta lateral e o vértice da pirâmide. Vértice: É o ponto mais distante da base da pirâmide. Prof. Ary de Oliveira
  17. 17. Elementos do Pirâmide (Parte II) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04 Identifique os elementos da pirâmide a seguir: Prof. Ary de Oliveira
  18. 18. Elementos do Pirâmide (Parte II) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04 Identifique os elementos da pirâmide a seguir: Prof. Ary de Oliveira
  19. 19. Classificação da Pirâmide (Parte I) A pirâmide pode ser classificada quanto: Polígono da base: A projeção ortogonal do vértice: Prof. Ary de Oliveira
  20. 20. Classificação da Pirâmide (Parte II) OBS.: Na Pirâmide Reta a projeção ortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base, enquanto na Pirâmide Oblíqua a projeção ortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da base NÃO coincide com o centro da base. Prof. Ary de Oliveira
  21. 21. Classificação da Pirâmide (Parte II) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05 Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da base e quanto a projeção ortogonal do vértice. (A) (C) (B) (D) Prof. Ary de Oliveira
  22. 22. Classificação da Pirâmide (Parte II) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05 Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da base e quanto a projeção ortogonal do vértice. (A) (C) Quadrangular Reta Pentagonal Oblíqua (B) (D) Quadrangular Oblíqua Hexagonal Reta Prof. Ary de Oliveira
  23. 23. Planificações de Pirâmides Até o presente momento mostramos as pirâmides, apenas, em perspectiva. Agora iremos apresentar algumas representações planas de pirâmides. Abaixo temos as planificações de Pirâmides de base: Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal Prof. Ary de Oliveira
  24. 24. Planificações de Pirâmides EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06 Classifique as planificações das pirâmides abaixo quanto ao seu polígono da base. (A) (C) (B) (D) Prof. Ary de Oliveira
  25. 25. Planificações de Pirâmides EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06 Classifique as planificações das pirâmides abaixo quanto ao seu polígono da base. (A) Triangular (C) Quadrangular (B) Hexagonal (D) Pentagonal Prof. Ary de Oliveira
  26. 26. Área da Base (AB) Nesse caso a área da base da pirâmide é a área do polígono que compõe sua base. Retângulo Quadrado Triângulo Hexágono A = b×h A=l 2 b×h 3l 2 3 A= A= 2 2 Prof. Ary de Oliveira
  27. 27. Área da Base (AB) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07 Calcule a área da base de uma pirâmide de base quadrada cuja aresta da base mede 8 cm. Prof. Ary de Oliveira
  28. 28. Área da Base (AB) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07 Calcule a área da base de uma pirâmide de base quadrada cuja aresta da base mede 8 cm. SOLUÇÃO l = 8 cm AB = l² = 8² = 64 cm² l = 8 cm Prof. Ary de Oliveira
  29. 29. Área Lateral – AL (Parte I) Para começo de história devemos saber encontrar a apótema da pirâmide regular. Para só então encontrarmos a área lateral. Antes vejamos um exemplo: Prof. Ary de Oliveira
  30. 30. Área Lateral – AL (Parte II) Perceba que o apótema da pirâmide será a hipotenusa do triângulo VMN e também será a altura do triângulo que compõe a face BCV. Note que na pirâmide regular as face são congruente. Portanto a área lateral (AL) da pirâmide é a soma das áreas da face da pirâmide que é dada por: 1 AL = 4 × A∆ ⇒ AL = 4 ⋅ la perímetro 2 1 2p AL = 4l × a ⇒ AL = ×a 2 2 AL = p × a Prof. Ary de Oliveira
  31. 31. Área Lateral – AL (Parte III) Onde: AL : área lateral; A : área de um face; l : lado do polígono da base; a : apótema da pirâmide; 2p : perímetro; p : semiperímetro. Prof. Ary de Oliveira
  32. 32. Área Lateral – AL (Parte IV) Generalizando a área lateral para uma pirâmide regular de “n” lados temos: AL = pa Prof. Ary de Oliveira
  33. 33. Área Lateral – AL (Parte IV) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08 Uma pirâmide regular de base quadrada tem área da base 36 4 cm cm² e altura 4 cm. Qual a área lateral da pirâmide dada? Prof. Ary de Oliveira
  34. 34. Área Lateral – AL (Parte IV) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08 Uma pirâmide regular de base quadrada tem área da base 36 4 cm cm² e altura 4 cm. Qual a área lateral da pirâmide dada? SOLUÇÃO Encontrando o lado do quadrado (l): A = l² = 36 cm² l = 6 cm Encontrando o apótema (a) h = 4 cm a² = h² + (l/2)² = 4² + 3² = 16 + 9 a² = 25 a = 5 cm Encontrando a área lateral (AL): AL = pa = 8x5 AL = 40 cm² l/2 = 3 cm Prof. Ary de Oliveira
  35. 35. Área Total (AT) A área total de uma pirâmide regular é dada pela mesma equação da área total do prisma, ou seja, a soma da área da base (AB) com a área lateral (AL). Desse modo obtemos o seguinte: AT = AB + AL Prof. Ary de Oliveira
  36. 36. Área Total (AT) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09 De posse das informações do exercício anterior. Calcule a área total. Prof. Ary de Oliveira
  37. 37. Área Total (AT) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09 De posse das informações do exercício anterior. Calcule a área total. SOLUÇÃO AB = 36 cm² AT = AB + AL AL = 40 cm² AT = 36 + 40 AT = ? AT = 76 cm² Prof. Ary de Oliveira
  38. 38. Volume (V) O volume da pirâmide é um terço do volume do prisma que tem mesma base da pirâmide. Não é tão elementar ver isso, mas esta observação ajuda consideravelmente no cálculo do volume da pirâmide. 1 V = AB × h 3 Prof. Ary de Oliveira
  39. 39. Volume (V) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10 Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme a figura a seguir: Prof. Ary de Oliveira
  40. 40. Volume (V) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10 Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme a figura a seguir: SOLUÇÃO AB = l² = 4² = 16 cm² h = 6/2 = 3 cm 1 2 × 16 × 3 V = 2 × AB × h ⇒ V = 3 3 V = 32 cm3 Prof. Ary de Oliveira

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