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Blog Matemática & Dinheiro
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Prof.: Thieres Machado
aulastm@bol.com.br
Porcentagem
1. Conceito
As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas também de razões
centesimais e podem ser representadas pelo símbolo % (lê-se por cento).
Exemplo 1:
a) 2 em cada 100
2
100
→ (numerador = 2 e denominador = 100)
b) 45 em cada 100
45
100
→
Veja que, outras razões não centesimais podem se facilmente reescritas na forma centesimal;
Exemplo 2:
a) 2 em cada 10
2 20
10 100
→ = →20 em cada 100.
10
10
2 20
10 100
×
×
 
= 
 
b) 3 em cada 5
3 60
5 100
→ = →60 em cada 100.
20
20
3 60
5 100
×
×
 
= 
 
c) 1 em cada 4
1 25
4 100
→ = → 25 em cada 100.
25
25
1 25
4 100
×
×
 
= 
 
d) 2 em cada 7
2
7
→ , neste caso, fica um pouco mais complicado descobrir um número que
multiplicado por 7, dê exatamente 100. Veremos mais adiante como proceder.
Outros nomes usados para uma razão centesimal são: razão porcentual, índice ou taxa
porcentual e percentil.
2. Forma Percentual (%)
Um razão centesimal pode ser indicada na forma percentual, da seguinte forma:
45
45%
100
= , fazendo uso do símbolo %, anotando-o logo após o antecedente da fração.
45% - quarenta e cinco por cento.
Nos exemplos acima, para reescrever as razões não centesimais na forma
centesimal (denominador 100) basta multiplicarmos os termos da fração
(numerador e denominador) por um número que torne o denominador igual a 100.
2
Exemplo 3:
a)
3
3%
100
= (três por cento)
b)
1,5
1,5%
100
= (um e meio por cento)
3. Forma Unitária
A forma unitária da razão
100
p
é o número decimal que obtemos dividindo o valor p por 100.
Exemplo 4:
a)
8
8% 0,08
100
= =
b)
23
23% 0,23
100
= =
c)
1,2
1,2% 0,012
100
= =
4. Operações com Porcentagens
Soma ou Subtração
Para somarmos e subtraírmos números percentuais, operamos como se fossem números
naturais, sem levar em conta o símbolo %, só o acrescentamos ao resultado final.
Exemplo 5: Calcule o valor de:
a) 5% + 12% = (5 + 12)% = 17%
b) 26% - 14% + 3% = (26 - 14 + 3)% = 15%
Multiplicação
Vamos empregar uma técnica muito simples para multiplicarmos dois ou mais valores em
porcentagem. Veja:
Exemplo 6: Calcule o valor de:
a) 25% × 28%
Portanto, uma frase do tipo Marina gasta 1/4 de seu salário com aluguel
pode se expressa do seguinte modo, utilizando-se porcentagem: Marina
gasta 25% de seu salário com aluguel.
Significados de algumas porcentagens, como exemplo:
100% = tudo 20% = um quinto
50% = metade 10% = um décimo
25% = a quarta parte 5% = um vigésimo
Multiplicam-se os números como se fossem números naturais, sem levar
em conta o símbolo %. Ao valor encontrado (produto), colocam-se as
casas decimais em número igual ao dobro do número de símbolos % dos
fatores menos dois e por final acrescenta-se o símbolo %.
3
Primeiro multiplicamos os números como se fossem números naturais: 25 ×28 = 700.
Ao valor encontrado (produto) colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do número
de símbolos % nos fatores menos dois e acrescenta-se o símbolo %:
2 símbolos %, então o dobro é 4 e 4 - 2 = 2 (duas casas decimais).
Assim, 25% × 28% = 25 × 28 = 700, marcando as casas decimais, temos 7,00.
25% × 28% = 7%
b) 1,25% × 12% × 60%
1,25 12 60 900× × =
3 símbolos %, então dobro é 6 e 6 - 2 = 4 casas decimais.
Assim 1,25% × 12% × 60% = 900, marcando as casas decimais, temos 9,00.
1,25% × 12% × 60% = 9%
Veja o exemplo a feito de outro modo, modo "tradicional":
25 28 700 7
25% 28% 7%
100 100 10000 100
× = × = = = .
Divisão
Dividem-se os valores percentuais como se fossem números naturais e ao resultado,
acrescenta-se o símbolo %.
Exemplo 7: Calcule o valor de:
a) 32% ÷8% = (32 ÷8)% = 4%
b) 1% ÷4% = (1 ÷4)% = 0,25%
Potenciação
A potenciação é um produto de fatores iguais, e neste caso, vamos seguir uma regra parecida
com a da multiplicação. Veja:
Exemplo 8: Calcule o valor de:
a) (10%)2
102
= 100
O expoente é 2, então o dobro é 4 e 4 - 2 = 2 casa decimais.
Assim, (10%)2
= 100, marcando as casas decimais, temos 1,00 e (10%)2
= 1%.
b) (25%)3
253
= 15625
Calcula-se a potência como se fosse uma potência de números naturais.
Ao resultado, colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do
expoente menos dois e acrescenta-se o símbolo %.
4
O expoente é 3, então o dobro é 6 e 6 - 2 = 4 casas decimais.
Assim, marcando as casas decimais 1,5625 e (25%)3
= 1,5625%.
c) (20%)3
203
= 8000, o expoente é 3, então o dobro é 6 e 6 - 2 = 4 casas decimais.
Assim, marcando as casas decimais 0,8000 ou 0,8 e (20%)3
= 0,8%.
Veja o exemplo a feito de outro modo, modo "tradicional":
( )
2
2 10 100 1
10% 1%
100 10000 100
 
= = = = 
 
.
Radiciação (raiz quadrada)
Calcula-se a raiz do número como se fosse um número natural, sem levar em conta o
símbolo %. Multiplica-se o resultado por 10 e acrescenta-se o símbolo %.
Exemplo 10: Calcule o valor de:
a) 36%
36 6 6 10 60= → × = e 60%. Assim 36% = (6×10)% = 60%.
b) 1%
1 1 1 10 10= → × = e 10%. Assim 1% = (1 × 10)% = 10%.
5. Problemas com Porcentagens
Os problemas que envolvem porcentagem são, em geral, resolvidos utilizando-se os
conhecimentos sobre frações, razões e regra de três. Vejamos:
Exemplo 11:
a) Calcular 20% de 250.
1ª Solução: utilizando frações
20% de 250 = 20%×250 =
20 20 250
250 50
100 100
×
× = = ou ainda,
20% 250 0,20 250 50× = × = .
2ª Solução: utilizando regra de três
Valor Porcentagem
250 100
x 20
Como as grandezas são proporcionais, vem:
250 100 20 250
100 20 250 50
20 100
x x
x
×
= ⇔ = × ⇔ = = .
Se diminuirmos a porcentagem o valor
também diminuirá, logo as grandezas
são diretamente proporcionais.
5
b) 20% de V equivale a 30, qual o valor de V?
1ª Solução: utilizando frações
20% de V = 30
20 20 100 30
30 30 20 100 30 150
100 100 20
V
V V V
×
→ × = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = = ou ainda,
0,20V = 30
30
150
0,20
V⇔ = = .
2ª Solução: utilizando regra de três
Valor Porcentagem
V 100
30 20
Como as grandezas são proporcionais, vem:
100 30 100
20 30 100 150
30 20 20
V
V V
×
= ⇔ = × ⇔ = = .
c) 21 representa que percentual de 15?
1ª Solução: utilizando frações
Seja p o valor procurado.
p% de 15 = 21 (ou seja, 21 é p% de 15.)
% 15 21p × =
15 100 21
15 21 21 15 100 21 140%
100 100 15
p p
p p
×
⇔ × = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = = .
2ª Solução: utilizando regra de três
Valor Porcentagem
15 100
21 p
Como as grandezas são proporcionais, vem:
15 100 21 100
15 21 100 140%
21 15
p p
p
×
= ⇔ = × ⇔ = = .
3ª Solução: utilizando razão
10021
1,4 140%
15
p ×
= = → , isto é, p = 140%.
Exemplo 12:
a) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes.
Na 3ª solução, dividimos 21 em 15 partes e encontramos 1,4 para cada parte,
multiplicamos por 100 para reescrever este valor em porcentagem, já que queremos
o valor percentual, isto é, cem partes.
6
1ª Solução: como queremos saber o número de rapazes e sabemos que esse número equivale a 42%
do total, então:
42% de 900 =
42 42 900
42% 900 900 378
100 100
×
× = × = = rapazes.
2ª Solução: utilizando regra de três, onde x representa o número de alunos.
Alunos %
900 100
900 100 900 42
100 900 42 288
42 100
x x
x
×
= ⇔ = × ⇔ = = rapazes.
x 42
b) Numa classe de 40 alunos, 25% são meninas. Quantos são os meninos?
1ª Solução: calculando o número de meninas e depois fazendo a diferença do total.
25% de 40 =
25 25 40
25% 40 40 10
100 100
×
× = × = = meninas.
Números de meninos = 40 - 10 = 30.
2ª Solução: Observe que 25% são meninas, logo 100% - 25% = 75% porcentagem de meninos.
Procedendo de maneira análoga a 1ª solução, vem:
75% de 40 =
75
75% 40 40 30
100
× = × = meninos.
c) Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados?
1ª Solução: utilizando regra de três, onde p representa a porcentagem procurada.
Alunos %
40 100
40 100 36 100
40 36 100 90%
36 40
p p
p
×
= ⇔ = × ⇔ = = .
36 p
2ª Solução: utilizando razão
10036
0,9 90%
40
p ×
= = → , isto é, p = 140%. (veja exemplo 11, item c, 3ª solução.)

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Porcentagem

  • 1. 1 Blog Matemática & Dinheiro www.matematicaedinheiro.blogspot.com.br Prof.: Thieres Machado aulastm@bol.com.br Porcentagem 1. Conceito As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas também de razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo % (lê-se por cento). Exemplo 1: a) 2 em cada 100 2 100 → (numerador = 2 e denominador = 100) b) 45 em cada 100 45 100 → Veja que, outras razões não centesimais podem se facilmente reescritas na forma centesimal; Exemplo 2: a) 2 em cada 10 2 20 10 100 → = →20 em cada 100. 10 10 2 20 10 100 × ×   =    b) 3 em cada 5 3 60 5 100 → = →60 em cada 100. 20 20 3 60 5 100 × ×   =    c) 1 em cada 4 1 25 4 100 → = → 25 em cada 100. 25 25 1 25 4 100 × ×   =    d) 2 em cada 7 2 7 → , neste caso, fica um pouco mais complicado descobrir um número que multiplicado por 7, dê exatamente 100. Veremos mais adiante como proceder. Outros nomes usados para uma razão centesimal são: razão porcentual, índice ou taxa porcentual e percentil. 2. Forma Percentual (%) Um razão centesimal pode ser indicada na forma percentual, da seguinte forma: 45 45% 100 = , fazendo uso do símbolo %, anotando-o logo após o antecedente da fração. 45% - quarenta e cinco por cento. Nos exemplos acima, para reescrever as razões não centesimais na forma centesimal (denominador 100) basta multiplicarmos os termos da fração (numerador e denominador) por um número que torne o denominador igual a 100.
  • 2. 2 Exemplo 3: a) 3 3% 100 = (três por cento) b) 1,5 1,5% 100 = (um e meio por cento) 3. Forma Unitária A forma unitária da razão 100 p é o número decimal que obtemos dividindo o valor p por 100. Exemplo 4: a) 8 8% 0,08 100 = = b) 23 23% 0,23 100 = = c) 1,2 1,2% 0,012 100 = = 4. Operações com Porcentagens Soma ou Subtração Para somarmos e subtraírmos números percentuais, operamos como se fossem números naturais, sem levar em conta o símbolo %, só o acrescentamos ao resultado final. Exemplo 5: Calcule o valor de: a) 5% + 12% = (5 + 12)% = 17% b) 26% - 14% + 3% = (26 - 14 + 3)% = 15% Multiplicação Vamos empregar uma técnica muito simples para multiplicarmos dois ou mais valores em porcentagem. Veja: Exemplo 6: Calcule o valor de: a) 25% × 28% Portanto, uma frase do tipo Marina gasta 1/4 de seu salário com aluguel pode se expressa do seguinte modo, utilizando-se porcentagem: Marina gasta 25% de seu salário com aluguel. Significados de algumas porcentagens, como exemplo: 100% = tudo 20% = um quinto 50% = metade 10% = um décimo 25% = a quarta parte 5% = um vigésimo Multiplicam-se os números como se fossem números naturais, sem levar em conta o símbolo %. Ao valor encontrado (produto), colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do número de símbolos % dos fatores menos dois e por final acrescenta-se o símbolo %.
  • 3. 3 Primeiro multiplicamos os números como se fossem números naturais: 25 ×28 = 700. Ao valor encontrado (produto) colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do número de símbolos % nos fatores menos dois e acrescenta-se o símbolo %: 2 símbolos %, então o dobro é 4 e 4 - 2 = 2 (duas casas decimais). Assim, 25% × 28% = 25 × 28 = 700, marcando as casas decimais, temos 7,00. 25% × 28% = 7% b) 1,25% × 12% × 60% 1,25 12 60 900× × = 3 símbolos %, então dobro é 6 e 6 - 2 = 4 casas decimais. Assim 1,25% × 12% × 60% = 900, marcando as casas decimais, temos 9,00. 1,25% × 12% × 60% = 9% Veja o exemplo a feito de outro modo, modo "tradicional": 25 28 700 7 25% 28% 7% 100 100 10000 100 × = × = = = . Divisão Dividem-se os valores percentuais como se fossem números naturais e ao resultado, acrescenta-se o símbolo %. Exemplo 7: Calcule o valor de: a) 32% ÷8% = (32 ÷8)% = 4% b) 1% ÷4% = (1 ÷4)% = 0,25% Potenciação A potenciação é um produto de fatores iguais, e neste caso, vamos seguir uma regra parecida com a da multiplicação. Veja: Exemplo 8: Calcule o valor de: a) (10%)2 102 = 100 O expoente é 2, então o dobro é 4 e 4 - 2 = 2 casa decimais. Assim, (10%)2 = 100, marcando as casas decimais, temos 1,00 e (10%)2 = 1%. b) (25%)3 253 = 15625 Calcula-se a potência como se fosse uma potência de números naturais. Ao resultado, colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do expoente menos dois e acrescenta-se o símbolo %.
  • 4. 4 O expoente é 3, então o dobro é 6 e 6 - 2 = 4 casas decimais. Assim, marcando as casas decimais 1,5625 e (25%)3 = 1,5625%. c) (20%)3 203 = 8000, o expoente é 3, então o dobro é 6 e 6 - 2 = 4 casas decimais. Assim, marcando as casas decimais 0,8000 ou 0,8 e (20%)3 = 0,8%. Veja o exemplo a feito de outro modo, modo "tradicional": ( ) 2 2 10 100 1 10% 1% 100 10000 100   = = = =    . Radiciação (raiz quadrada) Calcula-se a raiz do número como se fosse um número natural, sem levar em conta o símbolo %. Multiplica-se o resultado por 10 e acrescenta-se o símbolo %. Exemplo 10: Calcule o valor de: a) 36% 36 6 6 10 60= → × = e 60%. Assim 36% = (6×10)% = 60%. b) 1% 1 1 1 10 10= → × = e 10%. Assim 1% = (1 × 10)% = 10%. 5. Problemas com Porcentagens Os problemas que envolvem porcentagem são, em geral, resolvidos utilizando-se os conhecimentos sobre frações, razões e regra de três. Vejamos: Exemplo 11: a) Calcular 20% de 250. 1ª Solução: utilizando frações 20% de 250 = 20%×250 = 20 20 250 250 50 100 100 × × = = ou ainda, 20% 250 0,20 250 50× = × = . 2ª Solução: utilizando regra de três Valor Porcentagem 250 100 x 20 Como as grandezas são proporcionais, vem: 250 100 20 250 100 20 250 50 20 100 x x x × = ⇔ = × ⇔ = = . Se diminuirmos a porcentagem o valor também diminuirá, logo as grandezas são diretamente proporcionais.
  • 5. 5 b) 20% de V equivale a 30, qual o valor de V? 1ª Solução: utilizando frações 20% de V = 30 20 20 100 30 30 30 20 100 30 150 100 100 20 V V V V × → × = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = = ou ainda, 0,20V = 30 30 150 0,20 V⇔ = = . 2ª Solução: utilizando regra de três Valor Porcentagem V 100 30 20 Como as grandezas são proporcionais, vem: 100 30 100 20 30 100 150 30 20 20 V V V × = ⇔ = × ⇔ = = . c) 21 representa que percentual de 15? 1ª Solução: utilizando frações Seja p o valor procurado. p% de 15 = 21 (ou seja, 21 é p% de 15.) % 15 21p × = 15 100 21 15 21 21 15 100 21 140% 100 100 15 p p p p × ⇔ × = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = = . 2ª Solução: utilizando regra de três Valor Porcentagem 15 100 21 p Como as grandezas são proporcionais, vem: 15 100 21 100 15 21 100 140% 21 15 p p p × = ⇔ = × ⇔ = = . 3ª Solução: utilizando razão 10021 1,4 140% 15 p × = = → , isto é, p = 140%. Exemplo 12: a) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes. Na 3ª solução, dividimos 21 em 15 partes e encontramos 1,4 para cada parte, multiplicamos por 100 para reescrever este valor em porcentagem, já que queremos o valor percentual, isto é, cem partes.
  • 6. 6 1ª Solução: como queremos saber o número de rapazes e sabemos que esse número equivale a 42% do total, então: 42% de 900 = 42 42 900 42% 900 900 378 100 100 × × = × = = rapazes. 2ª Solução: utilizando regra de três, onde x representa o número de alunos. Alunos % 900 100 900 100 900 42 100 900 42 288 42 100 x x x × = ⇔ = × ⇔ = = rapazes. x 42 b) Numa classe de 40 alunos, 25% são meninas. Quantos são os meninos? 1ª Solução: calculando o número de meninas e depois fazendo a diferença do total. 25% de 40 = 25 25 40 25% 40 40 10 100 100 × × = × = = meninas. Números de meninos = 40 - 10 = 30. 2ª Solução: Observe que 25% são meninas, logo 100% - 25% = 75% porcentagem de meninos. Procedendo de maneira análoga a 1ª solução, vem: 75% de 40 = 75 75% 40 40 30 100 × = × = meninos. c) Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados? 1ª Solução: utilizando regra de três, onde p representa a porcentagem procurada. Alunos % 40 100 40 100 36 100 40 36 100 90% 36 40 p p p × = ⇔ = × ⇔ = = . 36 p 2ª Solução: utilizando razão 10036 0,9 90% 40 p × = = → , isto é, p = 140%. (veja exemplo 11, item c, 3ª solução.)