SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 20
Baixar para ler offline
MATEMÁTICA



                                                                                 GEOMETRIA
                                                                                  ESPACIAL




                                            chamados bases do cilindro.            ANOTAÇÕES
1. Cilindro
                                            A reta OO’ é chamada eixo do ci-
                                            lindro.
     Considere dois planos σ e γ pa-
ralelos, C um círculo em α de raio r,       A altura h do cilindro é a distân-
e s uma reta secante aos planos σ e         cia entre os planos que contém
                                            as bases.
 γ . Chamamos de cilindro circular, ou
apenas cilindro, a figura geométrica                 Área da Base
formada pela reunião de todos os             A área da base de um cilindro é
segmentos de reta paralelos à reta s,    exatamente a área do círculo C, isto
com uma as extremidades em um            é,
ponto de C e a outra em um ponto de                      Ab = πr 2 .
 γ.
                                                        Área Lateral




    Observe que as extremidades que
pertencem ao plano σ formam um
círculo C’ congruente a C.

       Elementos do Cilindro




                                                 A área lateral de um cilindro
                                         de raio da base r e altura h é dada
                                         por
                                                        Al = 2 πrh
                                                       Área Total

                                                   At = 2 AB + Al
                                                   At = 2 πr 2 + 2 πrh
   os círculos C e C’ de raio r e cen-
   tros O e O’, respectivamente, são               At = 2 πr ( r + h )
      COLÉGIO VIA MEDICINA                      PSS 2                                          PÁGINA 1
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                    GEOMETRIA ESPACIAL

             Volume do cilindro              c) 10
                                                                                             ANOTAÇÕES
    O volume de um cilindro é calcu-         d) 20
lado como se fosse um prisma, multi-
plicando-se a área da base pela sua          e) 40
altura. Assim,
                  V = πr 2 h                 3.   (Unesp) Num tonel de forma cilíndri-
                                                  ca, está depositada uma quantidade
                                                  de vinho que ocupa a metade de sua
Observação: Quando a secção meridi-               capacidade. Retirando-se 40 litros de
ana de um cilindro é um quadrado,                 seu conteúdo, a altura do nível do vi-
chamamos este cilindro de eqüilátero.             nho baixa de 20%. O número que ex-
Isto significa que a altura mede o do-            pressa a capacidade desse tonel, em
bro da medida do raio da base. Veja a             litros é:
figura.
                                             a) 200

                                             b) 300.

                                             c) 400.

                                             d) 500.

                                             e) 800.

                                             4.   Um cilindro reto mede 8 m de altura
                                                  e a área total de sua superfície mede
       EXERCÍCIOS PROPOSTOS                       306π m3. determine, em m3, o volu-
                                                  me desse cilindro.
1.   A área total de um cilindro de altura
     4 cm e diâmetro da base 6 cm, em        5.   Se aumentarmos o raio da base ou a
       m 2 , é:                                   altura de um cilindro reto em 4 cm,
                                                  os volumes dos novos cilindros coinci-
a) 24
                                                  dirão. Calcule o raio da base, em cm,
                                                  do cilindro inicial sabendo que a altu-
b) 36                                             ra mede 2 cm.

c) 33
                                             6.   (Uel) Dois recipientes cilíndricos têm
                                                  altura de 40 cm e raios da base me-
d) 47                                             dindo 10 cm e 5 cm. O maior deles
                                                  contém água até 1/5 de sua capaci-
e) 9                                              dade.

2.   (UFPB – 2006) Uma tora de madeira,
     em forma de um cilindro circular re-
     to, com 4m de altura e 2m de diâme-
     tro, foi serrada, formando uma sec-
     ção plana ABCD, conforme ilustra a
     figura ao lado. Se AB e CD são,
     respectivamente, diâmetros das bases
     inferior e superior, a área da região
     ABCD, em m2, é igual a:

                                             Essa água é despejada no recipiente menor,
                                             alcançando a altura h, de
                                             a) 32 cm

                                             b) 24 cm

                                             c) 16 cm

a) 6                                         d) 12 cm

b) 8                                         e) 10 cm

PÁGINA 2                                                                                    COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                            MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

7.   (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm         d) 40                                                      ANOTAÇÕES
     de comprimento e 10 cm de diâmetro
     interno encontra-se na posição verti-     e) 50
     cal e possui a base inferior vedada.
     Colocando-se dois litros de água em            EXERCÍCIOS TAREFA
     seu interior, e água.

a) ultrapassa o meio do cano.                  1.   (Ita – SP) O raio de um cilindro de re-
                                                    volução mede 1,5m. Sabe-se que a
b) transborda.                                      área da base do cilindro coincide com
                                                    a área da secção determinada por um
c) não chega ao meio do cano.                       plano que contém o eixo do cilindro.
                                                    Então, a área total do cilindro, em
d) enche o cano até a borda.                        m 2 , vale:

e) atinge exatamente o meio do cano            a) 3 π 2/4

8.   (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30      b) 9 π (2+ π )/4
     cm de altura e área da base igual a 1
     200 cm2, está com água até a metade       c) π (2+ π )
     de sua capacidade. Colocando-se pe-
     dras dentro desse aquário, de modo        d) π 2/2
     que fiquem totalmente submersas, o
     nível da água sobe para 16,5 cm. En-
     tão, o volume das pedras é                e) 3 π ( π +1)/2

a) 1 200 cm 3 .                                2.   (Fuvest – SP) A uma caixa d'água de
                                                    forma cúbica com 1 metro de lado,
                                                    está acoplado um cano cilíndrico com
b) 2 100 cm 3 .                                     4cm de diâmetro e 50m de compri-
                                                    mento. Num certo instante, a caixa
c) 1 500 cm 3                                       está cheia de água e o cano vazio.
                                                    Solta-se a água pelo cano até que fi-
                                                    que cheio. Qual o valor aproximado
d) 1 800 cm 3                                       da altura da água na caixa no instante
                                                    em que o cano ficou cheio?
9.   (Unirio) Seja um cilindro de revolu-
     ção obtido da rotação de um quadra-       a) 90 cm.
     do, cujo lado está apoiado no eixo de
     rotação. Determine a medida deste         b) 92 cm.
     lado (sem unidade), de modo que a
     área total do cilindro seja igual ao      c) 94 cm.
     seu volume.
                                               d) 96 cm.
10.       (Ufpe) Um queijo tem a forma de
     um cilindro circular reto com 40 cm
     de raio e 30cm de altura. Retira-se do    e) 98 cm.
     mesmo uma fatia, através de dois
     cortes planos contendo o eixo do ci-      3.   (Fatec – SP) Um tanque tem a forma
     lindro e formando um ângulo de 60°.            de um cilindro circular reto de altura
     Se V é o volume, em cm¤, do que res-           6m e raio da base 3m. O nível da água
     tou do queijo (veja a figura a seguir),        nele contida está a 2/3 da altura do
                                                    tanque. Se π =3,14, então a quanti-
     determine, em     cm 3 , o valor de
                                                    dade de água, em litros, que o tanque
        V                                           contém é:
                 .
      10 3 ⋅ π
                                               a) 113 040

                                               b) 169 560

                                               c) 56 520
a) 10                                          d) 37 680
b) 20                                          e) 56 520
c) 30
      COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                                  PÁGINA 3
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                    GEOMETRIA ESPACIAL

4.   (UFPE) Um contêiner, na forma de              estimado, sendo necessário, na ver-
                                                   dade, o dobro do volume inicialmente      ANOTAÇÕES
     um cilindro circular reto, tem altura
     igual a 3m e área total (área da              previsto. Qual deverá ser a medida do
     superfície lateral mais áreas da base         raio da base, sabendo que a altura do
     e da tampa) igual a 20 π m2. Calcule,         reservatório não poderá ser alterada?
     em metros, o raio da base deste con-
     têiner.                                  a) 4 m

5.   (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a       b) 3 m
     seguir gira completamente em torno
     do eixo 0x. Calcule o inteiro mais
     próximo do volume do sólido obtido.      c) 2     2   m


                                              d)     2     m

                                              e) 6 m

                                              9.   (Fatec – SP) abe-se que um cilindro
                                                   de revolução de raio igual a 10cm,
                                                   quando cortado por um plano paralelo
                                                   ao eixo, a uma distância de 6 cm des-
                                                   se eixo, apresenta uma secção retan-
6.   (FGV – SP) Um produto é embalado              gular equivalente à base. O volume
     em recipientes com formato de cilin-          desse cilindro, em centímetros cúbi-
     dros retos.                                   cos, é

O cilindro A tem altura 20cm e raio da base a) 1250 π
de 5cm.
O cilindro B tem altura 10cm e raio da base           2
de 10cm.                                    b) 1250 π

a) Em qual das duas embalagens gasta-se                    2
     menos material?
                                              c) 6,25 π

b) O produto embalado no cilindro A é         d) 625 π
     vendido a R$4,00 a unidade, e o do ci-
                                                           2
     lindro B a R$7,00 a unidade. Para o      e) 625 π
     consumidor, qual a embalagem mais
     vantajosa?
                                              10.      (Fei – SP) Um líquido que ocupa
                                                   uma altura de 10cm num determinado
7.  (Faap – SP) Sabendo-se que uma lata            recipiente cilíndrico será transferido
    de azeite cilíndrica tem 8cm de diâ-           para outro recipiente, também cilín-
    metro e 18,5cm de altura e ainda que           drico, com diâmetro 2 vezes maior
    nela vem marcado o conteúdo 900ml,             que o primeiro. Qual será a altura o-
    o volume de ar contido na lata "cheia"         cupada pelo líquido nesse segundo
    e "fechada" é:                                 recipiente?
                           (Adote π = 3,14)
a) 29,44 ml                                 a) 1,5 cm

b) 10,0 ml                                    b) 2 cm

c) 15,60 ml                                   c) 2,5 cm

d) 21,72 ml                                   d) 4,5 cm

e) 35,50 ml                                   e) 5 cm

8.   (Fei – SP) No projeto de um prédio foi   11.       (Unesp) Suponha que o raio e a
     inicialmente prevista a construção de         altura de um recipiente cilíndrico
     um reservatório de água com formato           meçam, respectivamente, r cm e h
     cilíndrico, cujas medidas seriam: raio        cm. Vamos supor ainda que, manten-
     da base igual a 2m e altura igual a           do r fixo e aumentando h de 1cm, o
     3m. Depois foi constatado que o vo-           volume do recipiente dobre e que,
     lume do reservatório havia sido sub-          mantendo h fixo e aumentando r de

PÁGINA 4                                                                                    COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                         MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

1cm, o volume do recipiente quadrupli-             artesã forma cilindros e, em seguida,               ANOTAÇÕES
que. Nessas condições, calcule:                    os preenche completamente com pa-
                                                   rafina.
a) o valor de h;

b) o valor de r.

12.       (UECE) O volume de um cilindro
    circular reto é 36 6 πcm 3 . Se a altura
    desse cilindro mede 6 6 cm , então a
    área total desse cilindro, em cm2 , é:     Supondo-se que o custo da vela seja dire-
                                               tamente proporcional ao volume de parafi-
a) 72 π                                        na empregado, o custo da vela do tipo I, em
                                               relação ao custo da vela do tipo II, será
b) 84 π
                                               a) o triplo.
c) 92 π
                                               b) o dobro.
d) 96 π
                                               c) igual.

13.      (UFG) Uma empresa de engenha-         d) a metade.
    ria fabrica blocos na forma de um
    prisma, cuja base é um octógono re-
                                               e) a terça parte.
    gular de lado 20 cm e altura 1 m. Pa-
    ra fabricar esses blocos, a empresa
    utiliza um molde na forma de um ci-        16.     (UERJ) Para a obtenção do índice
    lindro circular reto, cujo raio da base        pluviométrico, uma das medidas de
    e a altura medem 1 m, conforme a fi-           precipitação de água da chuva, utili-
    gura abaixo. Calcule o volume do ma-           za-se um instrumento meteorológico
    terial necessário para fabricar o mol-         denominado pluviômetro. A ilustração
    de para esses blocos.                          abaixo representa um pluviômetro
                                                   com área de captação de 0,5 m2 e
                                                   raio interno do cilindro de depósito
                                                   de 10 cm.




14.     (Cefet – MG) O diâmetro da base
    de um reservatório cilíndrico mede 2
    metros. Sabendo-se que sua altura          Considere que cada milímetro de água da
    mede 60 centímetros, sua capacidade        chuva depositado no cilindro equivale a 1
    aproximada, em litros, é de                L/m2. No mês de janeiro, quando o índice
                                               pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água
                                               no cilindro, em dm, atingiu a altura de, a-
a) 1.884
                                               proximadamente:
b) 1.970                                       a) 15
c) 2.764                                       b) 25
d) 3.140                                       c) 35

15.      (Enem – 2006) Uma artesã con-         d) 45
    fecciona dois diferentes tipos de vela
    ornamental a partir de moldes feitos
    com cartões de papel retangulares de
    20 cm × 10 cm (conforme ilustram as        17.     (UEL) Um fabricante de latas
    figuras abaixo). Unindo dois lados o-          com formato de um cilindro possui
    postos do cartão, de duas maneiras, a          chapas retangulares de alumínio com

      COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                               PÁGINA 5
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                         GEOMETRIA ESPACIAL

   as dimensões: 25 cm de largura por 9          b) 10.000 π .
   cm de comprimento, conforme a figura                                                           ANOTAÇÕES
   que segue. Ele deseja saber como utili-       c) 5.500 π .
   zar essas chapas de forma a ter maior
   capacidade para as latas oriundas de
   tais chapas. Ele pensou em duas formas        d) 5.000 π .
   deconfeccionar essas latas: unindo o
   lado AD da chapa de alumínio no lado          e) 1.100 π .
   BC formando uma lata que tem o for-
   mato de um cilindro circular reto C1 ou
   unindo o lado AB ao lado DC formando
                                                 19.     (FGV – SP) O sólido da figura 1 foi
                                                     obtido a partir de duas secções em
   uma lata cujo formato é um cilindro
                                                     um cilindro circular reto de altura 24
   circular reto C2 .                                cm e raio da base 10 cm. As secções
                                                     foram feitas na intersecção do cilin-
                                                     dro com um diedro de 60°, como
                                                     mostra a figura 2:




Com base nessas informações, considere as
afirmativas a seguir.

I. A área da superfície lateral do cilindro C1
é igual à área da superfície lateral do cilin-
dro C2
II. A capacidade do cilindro C1 é maior que
a capacidade do cilindro C2 .                    Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C'
III. Se o fabricante dobrar as dimensões da      pertencem às faces do diedro e às circunfe-
chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra.        rências das bases do cilindro, como mostra
IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da       a figura 2, a área da superfície BB'C'C, con-
chapa, a área da superfície lateral do cilin-    tida na face lateral do cilindro, em cm2, é
dro C2 dobra.                                    igual a

Estão corretas apenas as afirmativas:            a) 60 π
a) I e II.
                                                 b) 40     3π
b) I e III.
                                                 c) 80 π
c) II e IV.
                                                 d) 90     3π
d) I, III e IV.

e) II, III e IV.                                 e) 160 π

18.       (Unifesp) A figura indica algumas      20.      (UFV) Preparou-se gelatina que
     das dimensões de um bloco de con-               foi colocada, ainda em estado líqui-
     creto formado a partir de um cilindro           do, em recipientes, como mostram as
     circular oblíquo, com uma base no so-           figuras a seguir.
     lo, e de um semicilindro.




                                          Sabendo que toda a quantidade de gelatina
                                          que foi preparada coube em cinco recipien-
Dado que o raio da circunferência da base tes cilíndricos e em dois recipientes em
do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume forma de paralelepípedo, como representa-
do bloco de concreto, em cm¤, é           do na figura acima, a quantidade prepara-
                                          da, em litros, foi de:
a) 11.000 π .                             (Use π = 3,14)


PÁGINA 6                                                                                         COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                        MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

a) 1,01                                           gua derramada, em dm3, é aproxima-                  ANOTAÇÕES
                                                  damente de:
b) 1,19
                                              a) 155
c) 1,58
                                              b) 263
d) 1,64
                                              c) 353
e) 1,95
                                              d) 392
21.       (Fatec – SP) Um cilindro circular
     reto tem volume igual a 250 π cm3.                        Gabarito
     Um plano, paralelo ao eixo desse ci-
     lindro, à distância de x cm desse ei-    01. B        02. C         03. A
     xo, determina uma seção retangular       04. 2m       05. 29
     de área igual a 60 cm2. Se a medida      06. a) As áreas totais das embalagens A e
     da altura do cilindro é igual ao dobro   B são, respectivamente, 250 π cm2 e
     da medida do raio da base, então x é     400 π cm2. Portanto, gasta-se menos ma-
     igual a                                  terial na embalagem A.
                                              b) Sendo PA e PB, respectivamente, os
a) 9/2                                        preços do cm3 nas embalagens A e B, te-
                                              mos:
b) 4                                          PA = 8/(1000 π )R$/cm3 e
                                              PB = 7/(1000 π )R$/cm3.
                                              Como PB < PA, a embalagem B é a mais
c) 2     3                                    vantajosa para o consumidor.
                                              07. A        08. C         09. E
d) 13/4                                       10. C        11. h = 1 e r = 1 12. B

                                              13.
                                                  (π − 0,1928 ) m 3        14. A
e)     10                                     15. B       16. A        17. A
                                              18. A       19. A        20. A
22.       (UFRN) Nove cubos de gelo, cada     21. E       22. D        23. B
     um com aresta igual a 3 cm, derre-       24. A       25. D
     tem dentro de um copo cilíndrico, i-
     nicialmente vazio, com raio da base      2. Cone
     também igual a 3 cm.

                                                    Considere um círculo C de cen-
                                              tro O e raio r em um plano α , e V um
                                              ponto não pertencente ao plano α . A
                                              reunião de todos os segmentos de re-
                                              ta com uma das extremidades em V e
                                              outra no círculo C é denominada cone
                                              circular, ou simplesmente cone.


Após o gelo derreter completamente, a al-
tura do nível da água no copo será de apro-
ximadamente

a) 8,5 cm.

b) 8,0 cm.

c) 7,5 cm.

d) 9,0 cm.

23.       (UERJ) Um tonel cilíndrico, sem
     tampa e cheio de água, tem 10 dm de
     altura e raio da base medindo 5 dm.
     Considerando π = 3,14, ao inclinar-      Os cones podem ser classificados em
     mos o tonel em 45°, o volume de á-       retos ou oblíquos.


       COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                             PÁGINA 7
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                        GEOMETRIA ESPACIAL

                                                                                                 ANOTAÇÕES
                                                                    1
                                                                 V = πr 2h .
                                                                    3
                                                        EXERCÍCIOS PROPOSTOS

                                                   1.   Determine a área total e o volume de
 Cone Reto            Cone Oblíquo                      um cone que possui altura 12 cm e
                                                        diâmetro da base 10 cm.
É notável a relação:
                                                   2.   Determine a medida do ângulo cen-
                                                        tral de um setor circular obtido pela
               g 2 = h2 + r 2                           planificação da superfície lateral de
                                                        um cone reto cuja geratriz mede 60
                                                        cm e o raio da base é 10 cm.
           Área lateral do Cone

      Para o cálculo da área lateral
                                                   3.   (Fatec – SP) A altura de um cone cir-
                                                        cular reto mede o triplo da medida do
do cone é preciso que planifiquemo-                     raio da base. Se o comprimento da
no, como a figura abaixo.                               circunferência dessa base é 8 π cm,
                                                        então o volume do cone, em centíme-
                                                        tros cúbicos, é

                                                   a) 64 π

                                                   b) 48π

                                                   c) 32π

                                                   d) 16π

                                                   e) 8π

                                                   4.   (Uel) Um cone circular reto tem altu-
     Usando a expressão do compri-                      ra de 8cm e raio da base medindo
mento de um arco, temos o resultado:                    6cm. Qual é, em centímetros quadra-
                      2 πr                              dos, sua área lateral?
                 α=
                        g                          a) 20π
       Como a área de um setor circu-
                  1                                b) 30π
lar é dada por      ( ângulo ) ⋅ ( raio )2 , te-
                  2                                c) 40π
mos:
                 1 2 πr 2                          d) 50π
             Al = ⋅    ⋅g
                 2 g
                                                   e) 60π
Ou seja,
                 Al = πrg                          5.   (Ufpb) A figura abaixo representa
                                                        uma secção meridiana de um cone
           Volume de um cone                            circular reto.




                                                   Calcule o volume desse cone.

                                                   6.   (Fuvest – SP) Deseja-se construir um
                                                        cone circular reto com 4cm de raio da
                                                        base e 3cm de altura. Para isso, re-
O volume de um cone é dado por                          corta-se, em cartolina, um setor cir
PÁGINA 8                                                                                        COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                            MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

cular para a superfície lateral e um círcu-         EXERCÍCIOS TAREFA                                     ANOTAÇÕES
lo para a base. A medida do ângulo cen-
tral do setor circular é:
                                              1.   Calcule a medida da altura de um co-
a) 144°                                            ne circular reto em que o raio da base
                                                   mede 8 cm e uma geratriz mede 17
b) 192°                                            cm.

c) 240°                                       2.   Cada geratriz de um cone circular re-
                                                   to de raio da base 4 cm forma com o
                                                   plano da base um ângulo de 30º. Cal-
d) 288°
                                                   cule a medida da altura desse cone.
e) 336°
                                              3.   Uma secção meridiana de um cone
                                                   circular reto é uma região limitada
7.   (Fuvest – SP) Um pedaço de cartolina          por um triângulo isósceles de lados
     possui a forma de um semi-círculo
     de raio 20cm. Com essa cartolina               2 2 cm , 2 2 cm e 4 cm . Calcule a
     um menino constrói um chapéu côni-            medida do ângulo que uma geratriz
     co e o coloca com a base apoiada so-          forma com o plano da base do cone.
     bre uma mesa. Qual a distância do bi-
     co do chapéu à mesa?                     4.  Dado um cone circular reto de raio da
                                                  base 5 cm e geratriz 13 cm, calcule:
a) 10     3    cm.
                                              a) a área lateral do cone

b) 3    10     cm.                            b) a área total do cone

                                              c) a medida, em radianos, do ângulo cen-
c) 20     2    cm.                                 tral do setor circular equivalente à su-
                                                   perfície lateral do cone.
d) 20 cm.

e) 10 cm.
                                              5.   Um plano α paralelo à base de um
                                                   cone circular de altura 15 cm deter-
                                                   mina nesse cone uma secção de área
8.   (UNESP) No trapézio ABCD da figura a          3 cm². Sabendo que a área da base do
     seguir, os ângulos internos em A e B          cone é 27 cm², calcule a distância do
     são retos, e o ângulo interno em D é          plano α ao vértice do cone.
     tal que sua tangente vale 5/6. Se
     åî=2.åæ, o volume do sólido obtido
     ao se girar o trapézio em torno da re-
                                              6.   Uma secção meridiana de um tronco
                                                   de cone circular reto é um trapézio
     ta por B e C é dado por:
                                                   isósceles de lados 5 cm, 5 cm, 2 cm e
                                                   8 cm. Determine o volume, a área la-
                                                   teral e a área total desse tronco.

                                              7.   (Mack – SP) O setor circular da figura
                                                   a seguir é a superfície lateral de um
                                                   cone cuja base tem diâmetro 4 e área
                                                   igual a k% da área total do cone. En-
                                                   tão k vale:



a) (3/4)      π a3
b) (5/8)      π a3
c) (6/5)      π a3                            a) 20.

d) (20/13)      π a3                          b) 25.

e) (8/5)      π a3                            c) 30.

                                              d) 35.

                                              e) 40.

       COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                                 PÁGINA 9
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                    GEOMETRIA ESPACIAL

8.  (Faap – SP) Um copo de chope é um        b) 144π
                                                                                             ANOTAÇÕES
    cone (oco), cuja altura é o dobro do
    diâmetro. Se uma pessoa bebe desde       c) 108π
    que o copo está cheio até o nível da
    bebida fica exatamente na metade da      d) 72π
    altura do copo, a fração do volume
    total que deixou de ser consumida é:     e) 36π
a) 3/4

b) 1/2                                       11.       (UFLA) Parte do líquido de um
                                                  cilindro completamente cheio é
                                                  transferido para dois cones idênticos,
c) 2/3                                            que ficam totalmente cheios.

d) 3/8

e) 1/8

9.   (Faap – SP) Um chapéu de papel em
     forma de cone tem 10 centímetros de
     diâmetro e 10 centímetros de profun-
     didade. Seu vértice é empurrado para    A relação entre as alturas do líquido res-
     baixo e para dentro conforme a figura   tante no cilindro (h1) e a altura (H) do ci-
     a seguir. Que distância sua ponta pe-   lindro é:
     netra no espaço interno do chapéu se
     o novo volume do chapéu é 4/5 do vo-    a) h1 = H/4
     lume original?
                                             b) h1 = H/2

                                             c) h1 =      H /2

                                             d) h1 = H/3

                                             12.       (UFRS) Um cone circular reto é
                                                  tal que cada seção obtida pela inter-
                                                  seção de um plano que passa por seu
                                                  vértice e pelo centro da sua base é
                                                  um triângulo retângulo de catetos i-
a)   3   200                                      guais. Se cortarmos esse cone ao lon-
                                                  go de uma geratriz, abrindo e planifi-
     3                                            cando sua superfície lateral, será ob-
b)       80
                                                  tido um setor circular cujo ângulo
                                                  central tem medida α . Então,
c)   3   100
                                             a)   α   < 180°.
d)   3   300
                                             b) 180°      ≤ α   < 200°.
e)   3   150
                                             c) 200°      ≤ α   < 220°.

10.      (Mack – SP) Na rotação do triân-    d) 220°      ≤ α   < 240°.
     gulo ABC da figura a seguir em torno
     da reta r, o lado AB descreve um ân-
     gulo de 270°. Desta forma, o sólido     e) α     ≥   240°.
     obtido tem volume:
                                             13.      (Unesp) Um paciente recebe por
                                                  via intravenosa um medicamento à
                                                  taxa constante de 1,5 ml/min. O fras-
                                                  co do medicamento é formado por
                                                  uma parte cilíndrica e uma parte cô-
                                                  nica, cujas medidas são dadas na fi-
                                                  gura, e estava cheio quando se iniciou
                                                  a medicação.


a) 48π
PÁGINA 10                                                                                   COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                           MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

                                              a) 2,0                                                      ANOTAÇÕES

                                              b) 2,8

                                              c) 3,0

                                              d) 3,8

                                              e) 4,0

Após 4h de administração contínua, a medi-    17.         (Ita – SP) Um dos catetos de um
cação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1
ml, e usando a aproximação π = 3, o volu-        triângulo retângulo mede 3        2 cm . O
me, em ml, do medicamento restante no            volume do sólido gerado pela rotação
frasco após a interrupção da medicação é,        deste triângulo em torno da hipotenu-
aproximadamente,
                                                 sa é       π cm 3 .   Determine os ângulos
 a) 120.                                         deste triângulo.

 b) 150.                                      18.    (UFV) Um chapéu, no formato de
                                                 um cone circular reto, é feito de uma
 c) 160.                                         folha circular de raio 30 cm, recor-
                                                 tando-se um setor circular de ângulo
 d) 240.                                                  2π
                                                     θ=          radianos e juntando os la-
                                                           3
 e) 360.                                         dos. A área da base do chapéu, em

 14.      (PUC – SP) Considere o triângulo
                                                     cm 2 , é:
     isósceles ABC, tal que AB = BC = 10
     cm e CA = 12 cm. A rotação desse tri-    a) 140 π
     ângulo em torno de um eixo que con-
     tém o lado AB gera um sólido cujo vo-    b) 110 π
     lume, em centímetros cúbicos, é
                                              c) 130 π
 a) 256 π
                                              d) 100 π
 b) 298,6 π
                                              e) 120 π
 c) 307,2 π
                                              19.    (UERJ) Para revestir externamen-
 d) 316 π                                        te chapéus em forma de cones com
                                                 12 cm de altura e diâmetro da base
 e) 328,4 π                                      medindo 10 cm, serão utilizados cor-
                                                 tes retangulares de tecido, cujas di-
 15.      (Ita – SP) As medidas, em metros,      mensões são 67 cm por 50 cm. Admita
     do raio da base, da altura e da gera-       que todo o tecido de cada corte po-
     triz de um cone circular reto formam,       derá ser aproveitado. O número mí-
     nesta ordem, uma progressão aritmé-         nimo dos referidos cortes necessários
     tica de razão 2 metros. Calcule a área      para forrar 50 chapéus é igual a:
     total deste cone em m2.
                                              a) 3
 16.      (UFG) A terra retirada na escava-
     ção de uma piscina semicircular de 6     b) 4
     m de raio e 1,25 m de profundidade
     foi amontoada, na forma de um cone       c) 5
     circular reto, sobre uma superfície
     horizontal plana. Admita que a gera-     d) 6
     triz do cone faça um ângulo de 60°
     com a vertical e que a terra retirada
     tenha volume 20% maior do que o vo-
                                              20.    (Ita – SP) A área total da superfí-
                                                 cie de um cone circular reto, cujo
     lume da piscina.
                                                 raio da base mede R cm, é igual à
                                                 terça parte da área de um círculo de
Nessas condições, a altura do cone, em me-       diâmetro igual ao perímetro da seção
tros, é de

       COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                            PÁGINA 11
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                    GEOMETRIA ESPACIAL

 meridiana do cone. O volume deste cone,       b) 192°
em cm3, é igual a                                                                            ANOTAÇÕES
                                               c) 240°
          3
a)   πR
                                               d) 288°

b)   πR 3 2                                    e) 336°


     πR 3                                      23.      (Fuvest – SP) Um pedaço de car-
c)                                                 tolina possui a forma de um semi-
       2                                           círculo de raio 20cm. Com essa carto-
                                                   lina um menino constrói um chapéu
                                                   cônico e o coloca com a base apoiada
d)   πR 3 3                                        sobre uma mesa. Qual a distância do
                                                   bico do chapéu à mesa?

     πR 3                                      a) 10     3 cm.
e)
       3
                                               b) 3    10 cm.
21.      (PUC – RS) A figura abaixo mostra
     um cone inscrito num cilindro. Ambos
     têm raio da base x e altura 2x. Reti-     c) 20     2 cm.
     rando-se o cone do cilindro, o volume
     do sólido resultante é                    d) 20 cm.

                                               e) 10 cm.

                                               24.     (Unesp) No trapézio ABCD da fi-
                                                   gura a seguir, os ângulos internos em
                                                   A e B são retos, e o ângulo interno em
                                                   D é tal que sua tangente vale 5/6. Se
                                                   AD = 2AB, o volume do sólido obtido
                                                   ao se girar o trapézio em torno da re-
                                                   ta por B e C é dado por:
     2πx 3
a)
       3

     4 πx 3
b)
        3

     8πx 3                                     a) (3/4) π a3
c)
       3
                                               b) (5/8) π a3

     2πx 2                                     c) (6/5) π a3
d)
       3
                                               d) (20/13) π a3

     8πx 2                                     e) (8/5) π a3
e)
       3
                                               25.     (Fuvest – SP) Um cálice com a
22.       (Fuvest – SP) Deseja-se construir        forma de cone contém V cm3 de uma
     um cone circular reto com 4 cm de             bebida. Uma cereja de forma esférica
     raio da base e 3cm de altura. Para is-        com diâmetro de 2cm é colocada
     so, recorta-se, em cartolina, um setor        dentro do cálice. Supondo-se que a
     circular para a superfície lateral e um       cereja repousa apoiada nas laterais
     círculo para a base. A medida do ân-          do cálice e o líquido recobre exata-
     gulo central do setor circular é:             mente a cereja a uma altura de 4cm
                                                   a partir do vértice do cone, determi-
                                                   nar o valor de V.
a) 144°

PÁGINA 12                                                                                   COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                         MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

                                                                       4 3                             ANOTAÇÕES
                                                               V=        πr
                                                                       3
                                                  Superfície esférica


                                                          A superfície esférica de cen-
                                                  tro O e raio R é o conjunto de pontos
                                                  do es[aço cuja distância ao ponto O é
                                                  igual ao raio R.
                     Gabarito
                                                        Se considerarmos a rotação
                     4 3                          completa de uma semicircunferência
01. 15 cm      02.       cm 03. 45º
                      3                           em torno de seu diâmetro, a superfí-
                                        10π       cie esférica é o resultado dessa rota-
04. a) 65 π cm2        b) 90 π cm2 c)       rad
                                         13       ção.
05. 5 cm       06. V = 28 π cm³           07. B
08. E          09. C    10. E             11. D
12. E      13. A     14. C      15.   96π m 2
16. C          17. 30º, 60º e 90º
    18. D
19. B          20. E      21. B           22. D
                                4
23. A          24. E      25.     πcm 3                 A área da superfície esférica é
                                3
                                                  dada por:
3. Esfera
                                                                  As = 4 πr 2
                                                  Zona esférica
                                                        É a parte da esfera gerada do
                                                  seguinte modo:




      Chamamos de esfera de centro
O e raio R o conjunto de pontos do
espaço cuja distância ao centro é me-                    A área da zona esférica é dada
nor ou igual ao raio R.                           por:
       Considerando a rotação com-                                S = 2 πrh
pleta de um semicírculo em torno de               Calota esférica
um eixo e, a esfera é o sólido gerado
por essa rotação. Assim, ela é limita-                  É a parte da esfera gerada do
da por uma superfície esférica e for-             seguinte modo:
mada por todos os pontos pertencen-
tes a essa superfície e ao seu interior.




                                                        Ä área da calota esférica é da-
                                                  da por:
Volume
      O volume da esfera de raio R é
                                                                  S = 2 πrh
dado por:
        COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                        PÁGINA 13
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                               GEOMETRIA ESPACIAL

Fuso esférico
                                                                                        ANOTAÇÕES
      O fuso esférico é uma parte da
                                               EXERCÍCIOS PROPOSTOS
superfície esférica que se obtém ao
girar uma semi-circunferência de um      1.   Calcule a área e o volume de cada
ângulo α , (0 < α < 2π ) em torno de          uma das esferas cujas medidas estão
                                              indicadas abaixo.
seu eixo:
                                         a) R = 1,6 cm

                                         b) O raio de uma secção feita a 3 cm do
                                              seu centro mede 4 cm.

                                         2.   Determine a área e o volume de uma
                                              esfera de 58 cm de diâmetro.

                                         3.   Um fabricante de sucos vende seu
                                              produto em embalagens cilíndricas,
                                              todas com 6 cm de diâmetro da base
                                              e 12 cm de altura. Ele pretende subs-
                                              tituir essas embalagens por outras de
                                              forma esférica. Qual deve ser o diâ-
                                              metro da nova embalagem para que
      A área do fuso esférico pode ser        possa conter a mesma quantidade de
obtida por uma regra de três simples:         suco que a primeira?

                                         4.   Determine o raio de uma esfera de
                                              superfície 36π cm².

                                         5.   Determine a área de uma esfera, sen-
                                              do 2304π cm³ o seu volume.

Cunha esférica                           6.   Considerando a Terra uma esfera cujo
      Parte da esfera que se obtém            diâmetro é 12 800 km e considerando
ao girar um semicírculo em torno de                                              1
                                              a Lua uma esfera cujo diâmetro é
seu     eixo     de    um    ângulo                                              4
α, (0 < α < 2π ) :                            do da Terra, calcule a razão entre os
                                              volumes dos dois astros.

                                         7.   Considere uma esfera de raio 6 cm,
                                              feita com massa de modelar. Divide-
                                              se essa massa em quatro partes iguais
                                              e são construídas quatro novas esfe-
                                              ras. Qual o raio de cada uma dessas
                                              quatro esferas?

                                         8.   Obtenha o raio de uma esfera, saben-
                                              do que um plano determina na esfera
                                              um círculo de raio 20 cm, sendo 21
                                              cm a distância do plano ao centro da
                                              esfera.
      O volume da cunha pode ser
obtido por uma regra de três simples:    9.   Um plano seciona uma esfera de 34
                                              cm de diâmetro. Determine o raio da
                                              seção obtida, sendo 8 cm a distância
                                              do plano ao centro da esfera.

                                         10.       Pretende-se transportar 100 boli-
                                              nhas esféricas, maciças e feitas de
                                              vidro, em caixas que comportam, ca-
                                              da uma, um “peso” máximo 0,50 kg.
                                              Sabendo-se que o diâmetro de cada
                                              bolinha é 2,1 cm e que a densidade
                                              do vidro é 2,60 g/cm³, qual o número
                                              mínimo de caixas necessárias para o

PÁGINA 14                                                                              COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                           MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

                                       22          silo, sabendo que o raio do cilindro                  ANOTAÇÕES
transporte de 100 bolinhas? (use π =      ).       mede 2 m e que a altura do silo mede
                                       7
                                                   8 m.
11.     Um aquecedor a gás tem a forma
    de um cilindro com duas semi-esferas       20.     Um depósito de grãos num arma-
    acopladas em suas extremidades,                zém tem o formato de um cilindro re-
    conforme mostra a figura ao lado. Se           to encimado por um hemisfério.
    o diâmetro do aquecedor é 0,90 m e
    seu comprimento total é 1,50 m, cal-       a) Se o raio da base do cilindro for 2 m e
    cule:                                         o volume do recipiente for de 50π m³,
                                                  qual será a altura do cilindro?
a) a área de sua superfície.
                                                                                  47
b) o volume máximo de gás que o seu in-        b) Se o volume do recipiente for      π m³
                                                                                   3
   terior pode conter.                            e o cilindro tiver 15 m de altura, qual
                                                  será o raio da base do cilindro (que é o
12.     A secção plana de uma esfera fei-         mesmo do hemisfério)?
    ta a 35 cm do centro tem 144π cm²
    de área. Calcule a área do círculo
    máximo dessa esfera.
                                               21.     Calcule com os dados abaixo:
                                                                              π
                                               a) A área de um fuso de α = rad em
13.      Determine a área de uma super-                                       6
    fície esférica, sendo 36π cm o com-           uma esfera de raio 5.
    primento da circunferência do círculo
    máximo.                                    b) A área total e o volume da cunha de
                                                       π
                                                  α=     rad em uma esfera de raio 6.
14.     Uma vasilha tem a forma de uma                 6
    semi-esfera com diâmetro interno de
    12 cm. Se ela tem 0,25 cm de espes-
    sura e a densidade da madeira é 0,87       22.     Qual é a área de um fuso de 28º
    g/cm³, qual o “peso” aproximado                pertencente a uma esfera de 4 π m²
                                                   de superfície?
    dessa vasilha? (use π = 3)

15.      Determine a área da superfície e      23.     Um fuso de 10º de uma esfera de
    o volume de uma esfera, sabendo que            1 cm de raio é equivalente a uma se-
                                                   ção plana da esfera. Determine a dis-
                 1
    o raio mede    do raio de outra esfe-          tância da seção ao centro da esfera.
                 5
    ra cujo volume é 4 500π cm³.               24.     Determine o volume de uma cu-
                                                   nha cujo ângulo mede 60º, em uma
16.      Os raios de duas esferas concên-          esfera cujo volume vale 288π m³.
    tricas medem, respectivamente, 15
    cm e 8 cm. Calcule a área da secção
    feita na esfera maior por um plano
                                               25.     Considerando uma esfera de raio
                                                   R, avalie cada uma das afirmações a
    tangente à outra esfera.
                                                   seguir:

17.      Duas esferas de ferro de raios 4      a) Duplicando-se o raio, o volume da es-
    cm e 3 61 cm fundem-se para formar            fera quadruplica.
    uma esfera maior. Determine:
                                               b) Duplicando-se o raio, a área da fica
a) o raio da nova esfera                          duplicada.

b) o “peso” da nova esfera, sabendo que        c) Se V m³ é o volume da esfera é S m², a
   a densidade do ferro é 7,8 g/cm³ e             sua área, então V < S sempre que 0 < R
   considerando π = 3.                            < 3.

18.      Uma esfera tem 25 π cm² de su-        d) Se R = 3 m, o volume da cunha esféri-
    perfície. Em quanto devemos aumen-                           π
    tar o raio para que a área passe a ser        ca de ângulo     rad é 6π m³.
                                                                 3
    64π cm²?
                                               e) Se R = 3 m, a área do fuso esférico de
19.     Um silo tem a forma de um cilin-
                                                           π
    dro circular reto (com fundo) encima-         ângulo     rad é 6π m².
    do por uma semi-esfera. Determine o                    3
    volume e a área da superfície desse
      COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                            PÁGINA 15
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                  GEOMETRIA ESPACIAL

01. *             10. três    19. V
02. **            11. ***     20. V*
                                                  2 πr 3                                   ANOTAÇÕES
                                             b)            .
03. 6 3 3         12. 1369π   21. V**               3
                  m²
cm
04. 3 cm          13. 676π          14π      c)   πr 3 .
                  cm²         22.       m²
                                     45
05. 576π          14. 49 g
                              23.
                                    2 2
                                        cm
                                             d)   2r 3 .
cm²
                                     3
06. 1/64
ou 64
                  15. *V      24.48 π m³     e)   2πr 3 .
07. 3 3 2 16. 161π    25. FFVVV
          cm²                                3.   (Unitau) Aumentando em 10% o raio
cm                                                de uma esfera a sua superfície au-
08. 29 cm 17. a) 5 cm 26. V***                    mentará:
          b) 3900g
09. 15 cm 18. 1,5 cm      2.10 8             a) 21 %.
                      27.
                            3π
                      km²                    b) 11 %.

           256              2048             c) 31 %.
01. a) A =     π cm²; V =        π cm³
            25               375
                      500π
                                             d) 24 %.
b) A = 100π cm²; V =        cm³
                        3
                                             e) 30 %.
                        97556π
02. A = 3364π cm²; V =           cm³
                           3
11. a) 1,35π m²;     b) 0,234π m³
                                             4.   (UFPE) Um triângulo equilátero tem
                                                  lado 18 3 cm e é a base de um
15. A = 36π cm²;      V = 36π cm³                 prisma reto de altura 48 cm. Calcule
          88π                                     o raio da maior esfera contida neste
19. V =        m³;     A = 36π m²                 prisma.
           3
        67
20. a)
         6
             m        b) r = 1 m             5.   (Mack – SP) A razão entre os volumes
                                                  das esferas circunscrita e inscrita a
        25π                                       um mesmo cubo é:
21. a)          b) AT = 48π c) V = 24π
          3
26. AT = 27π m² c) V = 18π m³
                                             a)     3
     EXERCÍCIOS TAREFA
                                             b)   2 3
1.  (Fuvest – SP) Uma superfície esférica
    de raio 13cm é cortada por um plano
    situado a uma distância de 12cm do
                                             c)   3 3
    centro da superfície esférica, deter-
    minando uma circunferência.                   4 3
O raio desta circunferência, em cm é:        d)
a) 1.                                              3

b) 2.                                             3 3
                                             e)
c) 3.                                              2

d) 4.                                        6.  (Mack – SP) A altura de um cone reto
                                                 é igual ao raio da esfera a ele cir-
e) 5.                                            cunscrita. Então o volume da esfera
                                                 é:
                                             a) o dobro do volume do cone.
2.   (Unitau) Uma esfera de raio R está
     inscrita em um cilindro. O volume do
     cilindro é igual a:                     b) o triplo do volume do cone.
          3
     πr                                      c) o quádruplo do volume do cone.
a)            .
      3
                                             d) 4/3 do volume do cone.

PÁGINA 16                                                                                 COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                          MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

e) 8/3 do volume do cone.                     Calcule, usando a aproximação considera-                  ANOTAÇÕES
                                              da, os raios das duas esferas.
7.   (UFF) Na figura estão representados
     três sólidos de mesma altura h - um      10.      (Mack – SP) A razão entre a área
     cilindro, uma semi-esfera e um pris-         lateral do cilindro eqüilátero e da su-
     ma      -    cujos   volumes     são         perfície esférica, da esfera nele ins-
                                                  crita, é:
     V1 , V2 e V3 , respectivamente.
                                              a) 1

                                              b) 1/2

                                              c) 1/3
A relação entre   V1 , V2 e V3   é:
                                              d) 1/4
a)   V3 < V2 < V1                             e) 2/3

b)   V2 < V3 < V1                             11.     (Puc Campinas/SP) Considere as
                                                  sentenças:
c)   V1 < V2 < V3                             I. Se um plano intercepta uma superfície
                                              esférica, a intersecção é um ponto ou uma
d)   V3 < V1 < V2                             circunferência.
                                              II. Se os segmentos åæ e èî são dois diâ-
                                              metros de uma esfera, então o quadriláte-
e)   V2 < V1 < V3                             ro ABCD é um retângulo.
                                              III. Todo plano tangente a uma superfície
                                              esférica é perpendicular ao raio que con-
8.  (Puc – MG) Uma esfera de raio r = 3       tém o ponto de tangência.
    cm tem volume equivalente ao de um
    cilindro circular reto de altura h = 12   É correto afirmar que
    cm. O raio do cilindro, em cm, mede:
a) 1                                          a) somente I é verdadeira.

b) 2                                          b) somente II é verdadeira.

c)     3                                      c) somente III é verdadeira.

                                              d) somente I e III são verdadeiras.
d) 3
                                              e) I, II e III são verdadeiras.
e)     13
                                              12.     (UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é
9.   (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m¤ de            mergulhada num copo cilíndrico de 4
     neve para construir um grande bone-          cm de raio, até encostar no fundo, de
     co de 3m de altura, em comemoração           modo que a água do copo recubra e-
     à chegada do verão no Pólo Sul. O            xatamente a esfera.
     boneco será composto por uma cabe-
     ça e um corpo ambos em forma de es-
     fera, tangentes, sendo o corpo maior
     que a cabeça, conforme mostra a fi-
     gura a seguir. Para calcular o raio de
     cada uma das esferas, Ping Oin apro-
     ximou π por 3.


                                              Antes da esfera ser colocada no copo, a
                                              altura de água era

                                              a) 27/8 cm

                                              b) 19/6 cm

                                              c) 18/5 cm

       COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                          PÁGINA 17
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                   GEOMETRIA ESPACIAL

d) 10/3 cm                                       circular reto de raio 2cm e altura
                                                 8cm. Serão administradas ao paciente       ANOTAÇÕES
e) 7/2 cm                                        30 gotas por minuto. Admitindo-se
                                                 que uma gota é uma esfera de raio
                                                 0,2cm, determine:
13.      (Puc – SP) Um cone circular reto,
     cujo raio da base é 3cm, está inscrito
     em uma esfera de raio 5cm, conforme      a) o volume, em  cm 3 , do frasco e de ca-
     mostra a figura a seguir.                   da gota (em função de π ).

                                              b) o volume administrado em cada minu-
                                                 to (considerando a quantidade de go-
                                                 tas por minuto) e o tempo gasto para o
                                                 paciente receber toda a medicação.

                                              16.     (UEL) Considere um cone circular
O volume do cone corresponde a que por-          reto e um cilindro circular reto, am-
centagem do volume da esfera?                    bos com diâmetro da base igual a 12
                                                 cm e também uma esfera com diâme-
                                                 tro de 12 cm, todos com volumes i-
a) 26,4 %
                                                 guais. A altura do cone e a altura do
                                                 cilindro devem ser respectivamente
b) 21,4 %                                        iguais a:

c) 19,5 %                                     a) 12 cm e 4 cm
d) 18,6 %                                     b) 30 cm e 10 cm
e) 16,2 %                                     c) 24 cm e 8 cm

14.      (UFMG) Observe esta figura:          d) 9 cm e 3 cm

                                              e) 18 cm e 6 cm

                                              17.     (Cefet – MG) Considere uma bola
                                                 de sorvete de   36π cm 3   de volume e
                                                 uma casquinha cônica de 3 cm de rai-
                                                 o. A altura da casquinha, para que o
Nessa figura, ABC é um quadrante de cír-         sorvete, ao derreter, ocupe todo o
culo de raio 3cm e ADEF é um quadrado,           seu espaço, em cm, é
cujo lado mede 1cm. Considere o sólido
gerado pela rotação de 360°, em torno da      a) 8
reta AB, da região hachurada na figura.
Sabe-se que o volume de uma esfera de
                                              b) 9
                   4 3
raio r é igual a     πr . Assim sendo, esse
                   3                          c) 10
sólido tem um volume de:
                                              d) 12
a)   14π cm 3
                                              18.     (UFU – 2006) Uma esfera maciça
              3                                  de ferro de raio 10 cm será fundida e
b)   15π cm
                                                 todo o material derretido será usado
                                                 na confecção de um cilindro circular
                                                 e de um cone circular ambos, maciços
c)   16π cm 3                                    com raio da base r cm e altura tam-
                                                 bém r cm. Não havendo perda de ma-
                                                 terial durante o processo, r será igual
d)   17π cm 3                                    a

15.      (UNESP) Um paciente internado        a) 4 cm.
     em um hospital tem que receber uma
     certa quantidade de medicamento in-      b) 8 cm.
     jetável (tipo soro). O frasco do medi-
     camento tem a forma de um cilindro       c) 5 cm.
PÁGINA 18                                                                                  COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA ESPACIAL                                                                            MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

d) 10 cm.                                          tamente a metade da bola ficou sub-                    ANOTAÇÕES
                                                   mersa, o que elevou o nível da água
                                                   do reservatório em 0,5 cm (ver dese-
19.       (UFRS) Duas esferas de raio r fo-
                                                   nho). O raio dessa bola é:
     ram colocadas dentro de um cilindro
     circular reto com altura 4r, raio da
     base r e espessura desprezível, como
     na figura abaixo.




Nessas condições, a razão entre o volume
do cilindro não ocupado pelas esferas e o
volume das esferas é                            a) 10 cm

a) 1/5.                                         b) 11 cm

b) 1/4.                                         c) 12 cm

c) 1/3.                                         d) 13 cm

d) 1/2.                                         e) 14 cm

e) 2/3.                                         22.     (UFPB) Suponha que a área da
                                                   superfície lateral de um determinado
20.       (UFPB) Se   V1 , V2 e V3      são,       cilindro circular reto é igual à área da
                                                   superfície de uma esfera de raio 3cm.
     respectivamente, os volumes dos co-
     nes circular, hemisfério e cilindro cir-      Sabendo-se também que o volume
                                                   desse cilindro é igual ao volume dessa
     cular representados abaixo.
                                                   esfera, qual o raio do cilindro?

                                                a) 1 cm

                                                b) 3 cm

                                                c) (2/3) cm
Então é correto afirmar que:
                                                d) 2 cm
   V1 V2 V3
a)    =   =                                     e) 1,5 cm
    1   2   3

b)   V1 = 2V2 = 3V3                             23.    (UFPB) Na venda de bolas de tê-
                                                   nis, são utilizadas embalagens em
                                                   forma de um cilindro circular reto,
     V3 V2 V1                                      cujo    diâmetro    interno   mede
c)      =   =                                           128
      1   2   3                                             cm e   corresponde a um terço
                                                         π
d)   V3 = 2V2 = 3V1                                da altura interna. A área, em cm2, da
                                                   superfície lateral interna de cada
                                                   embalagem é:
     V1 + V2
e)           = V3                               a) 96
        2
                                                b) 128
21.       (UFPB) Depois de desistir de reti-
     rar a pipa do poste, João foi jogar fu-
     tebol no quintal da casa. Ao               c) 128 π
     chutar a bola com muita força, fez
     com que a mesma caísse num reser-          d) 384
     vatório de água com a forma de um
     cilindro circular reto, cujo diâmetro é    e) 384 π
     de 96 cm. Maria percebeu que exa-

      COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                             PÁGINA 19
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                          GEOMETRIA ESPACIAL

24.     (UFPB) Uma bola esférica está              ANOTAÇÕES
    apoiada em um aro circular cujo raio
    interno R mede 9 c m, conforme a fi-
    gura ao lado. Sabendo-se que a dis-
    tância entre o centro do aro e o da
    bola é igual a 12 c m, é correto afir-
    mar que o diâmetro externo da bola
    mede:




a) 24 cm

b) 25 cm

c) 26 cm

d) 28 cm

e) 30 cm

25.    (Ita – SP) Os quatro vértices de
    um tetraedro regular, de volume
      8 3
        cm , encontram-se nos vértices de
      3
    um cubo. Cada vértice do cubo é cen-
    tro de uma esfera de 1 cm de raio.
    Calcule o volume da parte do cubo
    exterior às esferas.

                   Gabarito

01. E          02. E         03. A
04. 09         05. C         06. C
07.E       08.C          09.r = 0,5 e R = 1
10. A      11. E         12. D    13. E
14. D          15. a)   V frasco = 32π cm 3   e

           4π 3
V gota =       cm        16. C        17. D
           375
18. D      19. D         20. A        21. C
22. D      23. D         24. E        25.
4
  ( 6 − π) cm 3
3




PÁGINA 20                                         COLÉGIO VIA MEDICINA

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Lista de exercícios de geometria volume de prisma
Lista de exercícios de geometria volume de prismaLista de exercícios de geometria volume de prisma
Lista de exercícios de geometria volume de prisma
Priscila Lourenço
 
Lista de exercícios poliedro, prisma e cilindros
Lista de exercícios poliedro, prisma e cilindrosLista de exercícios poliedro, prisma e cilindros
Lista de exercícios poliedro, prisma e cilindros
Rosana Santos Quirino
 
Geometria Espacial
Geometria EspacialGeometria Espacial
Geometria Espacial
neliosnahum
 
Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)
Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)
Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)
Priscila Lourenço
 
3º ano 2ª lista de exercícios poliedros - prismas
3º ano   2ª lista de exercícios   poliedros - prismas3º ano   2ª lista de exercícios   poliedros - prismas
3º ano 2ª lista de exercícios poliedros - prismas
Tiago Silva
 
Revisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºano
Revisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºanoRevisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºano
Revisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºano
profederson
 

Mais procurados (20)

Geometria espacial compacto
Geometria espacial compactoGeometria espacial compacto
Geometria espacial compacto
 
Lista de exercícios de geometria volume de prisma
Lista de exercícios de geometria volume de prismaLista de exercícios de geometria volume de prisma
Lista de exercícios de geometria volume de prisma
 
Prismas e áreas
Prismas e áreasPrismas e áreas
Prismas e áreas
 
Exercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacialExercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacial
 
Lista de exercícios poliedro, prisma e cilindros
Lista de exercícios poliedro, prisma e cilindrosLista de exercícios poliedro, prisma e cilindros
Lista de exercícios poliedro, prisma e cilindros
 
Exercícios sobre cones
Exercícios sobre conesExercícios sobre cones
Exercícios sobre cones
 
Pirâmides
PirâmidesPirâmides
Pirâmides
 
Exercicios geometria espacial
Exercicios geometria espacialExercicios geometria espacial
Exercicios geometria espacial
 
Geometria Espacial
Geometria EspacialGeometria Espacial
Geometria Espacial
 
Exercícios sobre pirâmides
Exercícios sobre pirâmidesExercícios sobre pirâmides
Exercícios sobre pirâmides
 
1º LISTA DE EXERCÍCIOS (ÁREAS)
1º LISTA DE EXERCÍCIOS (ÁREAS)1º LISTA DE EXERCÍCIOS (ÁREAS)
1º LISTA DE EXERCÍCIOS (ÁREAS)
 
Paralelepípedo e pirâmide
Paralelepípedo e pirâmideParalelepípedo e pirâmide
Paralelepípedo e pirâmide
 
Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)
Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)
Lista de exercícios de Geometria (pirâmide)
 
3º ano 2ª lista de exercícios poliedros - prismas
3º ano   2ª lista de exercícios   poliedros - prismas3º ano   2ª lista de exercícios   poliedros - prismas
3º ano 2ª lista de exercícios poliedros - prismas
 
Paralelepípedo reto retângulo
Paralelepípedo reto retânguloParalelepípedo reto retângulo
Paralelepípedo reto retângulo
 
(4) geometria espacial iv
(4) geometria espacial   iv(4) geometria espacial   iv
(4) geometria espacial iv
 
espacial cilindro e exercícios
espacial cilindro e exercíciosespacial cilindro e exercícios
espacial cilindro e exercícios
 
Matemática - Geometria Espacial - Prisma e Cilindros - www.CentroApoio.com
Matemática - Geometria Espacial - Prisma e Cilindros - www.CentroApoio.comMatemática - Geometria Espacial - Prisma e Cilindros - www.CentroApoio.com
Matemática - Geometria Espacial - Prisma e Cilindros - www.CentroApoio.com
 
Resolução lista 1 pirâmide
Resolução lista 1   pirâmideResolução lista 1   pirâmide
Resolução lista 1 pirâmide
 
Revisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºano
Revisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºanoRevisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºano
Revisão cap 3 e 4 módulo 8 2ºano
 

Destaque

Áreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidosÁreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidos
Joana Ferreira
 
Darlina Conto_Credits_Talent List
Darlina Conto_Credits_Talent ListDarlina Conto_Credits_Talent List
Darlina Conto_Credits_Talent List
Darlina Conto
 
Mat geometria espacial 001
Mat geometria espacial  001Mat geometria espacial  001
Mat geometria espacial 001
trigono_metrico
 
14 geometria espacial - parte i
14   geometria espacial - parte i14   geometria espacial - parte i
14 geometria espacial - parte i
GabrielaMansur
 

Destaque (20)

Tronco do cone
Tronco do coneTronco do cone
Tronco do cone
 
Tronco De Cone Reto
Tronco De Cone RetoTronco De Cone Reto
Tronco De Cone Reto
 
Geometria de Posição e Métrica - Exercícios
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosGeometria de Posição e Métrica - Exercícios
Geometria de Posição e Métrica - Exercícios
 
Áreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidosÁreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidos
 
Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil
Apostila de geometria plana   exercícios resolvidos - crbrasilApostila de geometria plana   exercícios resolvidos - crbrasil
Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil
 
(6) geometria espacial vi
(6) geometria espacial   vi(6) geometria espacial   vi
(6) geometria espacial vi
 
Yo reparo
Yo reparoYo reparo
Yo reparo
 
Print works - Keynote, Sydney Australia
Print works - Keynote, Sydney AustraliaPrint works - Keynote, Sydney Australia
Print works - Keynote, Sydney Australia
 
Darlina Conto_Credits_Talent List
Darlina Conto_Credits_Talent ListDarlina Conto_Credits_Talent List
Darlina Conto_Credits_Talent List
 
Mat geometria espacial 001
Mat geometria espacial  001Mat geometria espacial  001
Mat geometria espacial 001
 
Conteúdos que mais caem no Enem
Conteúdos que mais caem no EnemConteúdos que mais caem no Enem
Conteúdos que mais caem no Enem
 
Cilindros
CilindrosCilindros
Cilindros
 
Geometria Espacial para ENEM
Geometria Espacial para ENEMGeometria Espacial para ENEM
Geometria Espacial para ENEM
 
Geometria espacial: Prismas
Geometria espacial: PrismasGeometria espacial: Prismas
Geometria espacial: Prismas
 
Conocer Madrid 27 - Cementerio de San Isidro
Conocer Madrid 27 -  Cementerio de San IsidroConocer Madrid 27 -  Cementerio de San Isidro
Conocer Madrid 27 - Cementerio de San Isidro
 
Teorema De Tales
Teorema De TalesTeorema De Tales
Teorema De Tales
 
14 geometria espacial - parte i
14   geometria espacial - parte i14   geometria espacial - parte i
14 geometria espacial - parte i
 
Tales e a Pirâmide
Tales e a PirâmideTales e a Pirâmide
Tales e a Pirâmide
 
Prismas
PrismasPrismas
Prismas
 
Company profile for Recours Four Kenya Consultants Ltd
Company profile for Recours Four Kenya Consultants LtdCompany profile for Recours Four Kenya Consultants Ltd
Company profile for Recours Four Kenya Consultants Ltd
 

Semelhante a Mat geometria espacial 002

Matematica 2 exercicios gabarito 15
Matematica 2 exercicios gabarito 15Matematica 2 exercicios gabarito 15
Matematica 2 exercicios gabarito 15
comentada
 
Matematica 2 exercicios gabarito 16
Matematica 2 exercicios gabarito 16Matematica 2 exercicios gabarito 16
Matematica 2 exercicios gabarito 16
comentada
 

Semelhante a Mat geometria espacial 002 (20)

Cilindros
CilindrosCilindros
Cilindros
 
Geometria sólida - Cilindros
Geometria sólida - CilindrosGeometria sólida - Cilindros
Geometria sólida - Cilindros
 
Matematica 2 exercicios gabarito 15
Matematica 2 exercicios gabarito 15Matematica 2 exercicios gabarito 15
Matematica 2 exercicios gabarito 15
 
Geometria espacial
Geometria espacialGeometria espacial
Geometria espacial
 
Troncos
TroncosTroncos
Troncos
 
Cones
ConesCones
Cones
 
Prismas
PrismasPrismas
Prismas
 
Paralelepípedo e cubo
Paralelepípedo e cuboParalelepípedo e cubo
Paralelepípedo e cubo
 
Prismas
PrismasPrismas
Prismas
 
Geometria Espacial.docx
Geometria Espacial.docxGeometria Espacial.docx
Geometria Espacial.docx
 
Geometria sólida - Cones
Geometria sólida - ConesGeometria sólida - Cones
Geometria sólida - Cones
 
(2) geometria espacial ii
(2) geometria espacial   ii(2) geometria espacial   ii
(2) geometria espacial ii
 
Sólidos inscritos
Sólidos inscritosSólidos inscritos
Sólidos inscritos
 
Matematica 2 exercicios gabarito 16
Matematica 2 exercicios gabarito 16Matematica 2 exercicios gabarito 16
Matematica 2 exercicios gabarito 16
 
Geometria sólida - Esfera
Geometria sólida - EsferaGeometria sólida - Esfera
Geometria sólida - Esfera
 
Cone
ConeCone
Cone
 
Pirâmides
PirâmidesPirâmides
Pirâmides
 
(3)geometria espacial iii
(3)geometria espacial   iii(3)geometria espacial   iii
(3)geometria espacial iii
 
(5) geometria espacial v
(5) geometria espacial   v(5) geometria espacial   v
(5) geometria espacial v
 
Cilindros (1)
Cilindros (1)Cilindros (1)
Cilindros (1)
 

Mais de trigono_metrico

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
trigono_metrico
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
trigono_metrico
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
trigono_metrico
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
trigono_metrico
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
trigono_metrico
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
trigono_metrico
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
trigono_metrico
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
trigono_metrico
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
trigono_metrico
 

Mais de trigono_metrico (20)

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
 
Ap matemática m3
Ap matemática m3Ap matemática m3
Ap matemática m3
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
 
Apostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo iApostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo i
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
 

Último

Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Kelly Mendes
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
profbrunogeo95
 
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
WelitaDiaz1
 

Último (20)

Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
 
Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja
 
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande""Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
 
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
 
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos AnimaisNós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
 
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
 
Testes de avaliação português 6º ano .pdf
Testes de avaliação português 6º ano .pdfTestes de avaliação português 6º ano .pdf
Testes de avaliação português 6º ano .pdf
 
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxQuímica-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
 
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º anoNós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
 
APRENDA COMO USAR CONJUNÇÕES COORDENATIVAS
APRENDA COMO USAR CONJUNÇÕES COORDENATIVASAPRENDA COMO USAR CONJUNÇÕES COORDENATIVAS
APRENDA COMO USAR CONJUNÇÕES COORDENATIVAS
 
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
 
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresModelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
 
Acróstico - Maio Laranja
Acróstico  - Maio Laranja Acróstico  - Maio Laranja
Acróstico - Maio Laranja
 
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialFUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
 
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
 
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdfUFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
 

Mat geometria espacial 002

  • 1. MATEMÁTICA GEOMETRIA ESPACIAL chamados bases do cilindro. ANOTAÇÕES 1. Cilindro A reta OO’ é chamada eixo do ci- lindro. Considere dois planos σ e γ pa- ralelos, C um círculo em α de raio r, A altura h do cilindro é a distân- e s uma reta secante aos planos σ e cia entre os planos que contém as bases. γ . Chamamos de cilindro circular, ou apenas cilindro, a figura geométrica Área da Base formada pela reunião de todos os A área da base de um cilindro é segmentos de reta paralelos à reta s, exatamente a área do círculo C, isto com uma as extremidades em um é, ponto de C e a outra em um ponto de Ab = πr 2 . γ. Área Lateral Observe que as extremidades que pertencem ao plano σ formam um círculo C’ congruente a C. Elementos do Cilindro A área lateral de um cilindro de raio da base r e altura h é dada por Al = 2 πrh Área Total At = 2 AB + Al At = 2 πr 2 + 2 πrh os círculos C e C’ de raio r e cen- tros O e O’, respectivamente, são At = 2 πr ( r + h ) COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1
  • 2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL Volume do cilindro c) 10 ANOTAÇÕES O volume de um cilindro é calcu- d) 20 lado como se fosse um prisma, multi- plicando-se a área da base pela sua e) 40 altura. Assim, V = πr 2 h 3. (Unesp) Num tonel de forma cilíndri- ca, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua Observação: Quando a secção meridi- capacidade. Retirando-se 40 litros de ana de um cilindro é um quadrado, seu conteúdo, a altura do nível do vi- chamamos este cilindro de eqüilátero. nho baixa de 20%. O número que ex- Isto significa que a altura mede o do- pressa a capacidade desse tonel, em bro da medida do raio da base. Veja a litros é: figura. a) 200 b) 300. c) 400. d) 500. e) 800. 4. Um cilindro reto mede 8 m de altura e a área total de sua superfície mede EXERCÍCIOS PROPOSTOS 306π m3. determine, em m3, o volu- me desse cilindro. 1. A área total de um cilindro de altura 4 cm e diâmetro da base 6 cm, em 5. Se aumentarmos o raio da base ou a m 2 , é: altura de um cilindro reto em 4 cm, os volumes dos novos cilindros coinci- a) 24 dirão. Calcule o raio da base, em cm, do cilindro inicial sabendo que a altu- b) 36 ra mede 2 cm. c) 33 6. (Uel) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base me- d) 47 dindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até 1/5 de sua capaci- e) 9 dade. 2. (UFPB – 2006) Uma tora de madeira, em forma de um cilindro circular re- to, com 4m de altura e 2m de diâme- tro, foi serrada, formando uma sec- ção plana ABCD, conforme ilustra a figura ao lado. Se AB e CD são, respectivamente, diâmetros das bases inferior e superior, a área da região ABCD, em m2, é igual a: Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de a) 32 cm b) 24 cm c) 16 cm a) 6 d) 12 cm b) 8 e) 10 cm PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 3. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 7. (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm d) 40 ANOTAÇÕES de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição verti- e) 50 cal e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em EXERCÍCIOS TAREFA seu interior, e água. a) ultrapassa o meio do cano. 1. (Ita – SP) O raio de um cilindro de re- volução mede 1,5m. Sabe-se que a b) transborda. área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um c) não chega ao meio do cano. plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em d) enche o cano até a borda. m 2 , vale: e) atinge exatamente o meio do cano a) 3 π 2/4 8. (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 b) 9 π (2+ π )/4 cm de altura e área da base igual a 1 200 cm2, está com água até a metade c) π (2+ π ) de sua capacidade. Colocando-se pe- dras dentro desse aquário, de modo d) π 2/2 que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. En- tão, o volume das pedras é e) 3 π ( π +1)/2 a) 1 200 cm 3 . 2. (Fuvest – SP) A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com b) 2 100 cm 3 . 4cm de diâmetro e 50m de compri- mento. Num certo instante, a caixa c) 1 500 cm 3 está cheia de água e o cano vazio. Solta-se a água pelo cano até que fi- que cheio. Qual o valor aproximado d) 1 800 cm 3 da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? 9. (Unirio) Seja um cilindro de revolu- ção obtido da rotação de um quadra- a) 90 cm. do, cujo lado está apoiado no eixo de rotação. Determine a medida deste b) 92 cm. lado (sem unidade), de modo que a área total do cilindro seja igual ao c) 94 cm. seu volume. d) 96 cm. 10. (Ufpe) Um queijo tem a forma de um cilindro circular reto com 40 cm de raio e 30cm de altura. Retira-se do e) 98 cm. mesmo uma fatia, através de dois cortes planos contendo o eixo do ci- 3. (Fatec – SP) Um tanque tem a forma lindro e formando um ângulo de 60°. de um cilindro circular reto de altura Se V é o volume, em cm¤, do que res- 6m e raio da base 3m. O nível da água tou do queijo (veja a figura a seguir), nele contida está a 2/3 da altura do tanque. Se π =3,14, então a quanti- determine, em cm 3 , o valor de dade de água, em litros, que o tanque V contém é: . 10 3 ⋅ π a) 113 040 b) 169 560 c) 56 520 a) 10 d) 37 680 b) 20 e) 56 520 c) 30 COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3
  • 4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL 4. (UFPE) Um contêiner, na forma de estimado, sendo necessário, na ver- dade, o dobro do volume inicialmente ANOTAÇÕES um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da previsto. Qual deverá ser a medida do superfície lateral mais áreas da base raio da base, sabendo que a altura do e da tampa) igual a 20 π m2. Calcule, reservatório não poderá ser alterada? em metros, o raio da base deste con- têiner. a) 4 m 5. (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a b) 3 m seguir gira completamente em torno do eixo 0x. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido. c) 2 2 m d) 2 m e) 6 m 9. (Fatec – SP) abe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm des- se eixo, apresenta uma secção retan- 6. (FGV – SP) Um produto é embalado gular equivalente à base. O volume em recipientes com formato de cilin- desse cilindro, em centímetros cúbi- dros retos. cos, é O cilindro A tem altura 20cm e raio da base a) 1250 π de 5cm. O cilindro B tem altura 10cm e raio da base 2 de 10cm. b) 1250 π a) Em qual das duas embalagens gasta-se 2 menos material? c) 6,25 π b) O produto embalado no cilindro A é d) 625 π vendido a R$4,00 a unidade, e o do ci- 2 lindro B a R$7,00 a unidade. Para o e) 625 π consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? 10. (Fei – SP) Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado 7. (Faap – SP) Sabendo-se que uma lata recipiente cilíndrico será transferido de azeite cilíndrica tem 8cm de diâ- para outro recipiente, também cilín- metro e 18,5cm de altura e ainda que drico, com diâmetro 2 vezes maior nela vem marcado o conteúdo 900ml, que o primeiro. Qual será a altura o- o volume de ar contido na lata "cheia" cupada pelo líquido nesse segundo e "fechada" é: recipiente? (Adote π = 3,14) a) 29,44 ml a) 1,5 cm b) 10,0 ml b) 2 cm c) 15,60 ml c) 2,5 cm d) 21,72 ml d) 4,5 cm e) 35,50 ml e) 5 cm 8. (Fei – SP) No projeto de um prédio foi 11. (Unesp) Suponha que o raio e a inicialmente prevista a construção de altura de um recipiente cilíndrico um reservatório de água com formato meçam, respectivamente, r cm e h cilíndrico, cujas medidas seriam: raio cm. Vamos supor ainda que, manten- da base igual a 2m e altura igual a do r fixo e aumentando h de 1cm, o 3m. Depois foi constatado que o vo- volume do recipiente dobre e que, lume do reservatório havia sido sub- mantendo h fixo e aumentando r de PÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 5. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 1cm, o volume do recipiente quadrupli- artesã forma cilindros e, em seguida, ANOTAÇÕES que. Nessas condições, calcule: os preenche completamente com pa- rafina. a) o valor de h; b) o valor de r. 12. (UECE) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 πcm 3 . Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm , então a área total desse cilindro, em cm2 , é: Supondo-se que o custo da vela seja dire- tamente proporcional ao volume de parafi- a) 72 π na empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será b) 84 π a) o triplo. c) 92 π b) o dobro. d) 96 π c) igual. 13. (UFG) Uma empresa de engenha- d) a metade. ria fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono re- e) a terça parte. gular de lado 20 cm e altura 1 m. Pa- ra fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de um ci- 16. (UERJ) Para a obtenção do índice lindro circular reto, cujo raio da base pluviométrico, uma das medidas de e a altura medem 1 m, conforme a fi- precipitação de água da chuva, utili- gura abaixo. Calcule o volume do ma- za-se um instrumento meteorológico terial necessário para fabricar o mol- denominado pluviômetro. A ilustração de para esses blocos. abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5 m2 e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm. 14. (Cefet – MG) O diâmetro da base de um reservatório cilíndrico mede 2 metros. Sabendo-se que sua altura Considere que cada milímetro de água da mede 60 centímetros, sua capacidade chuva depositado no cilindro equivale a 1 aproximada, em litros, é de L/m2. No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, a- a) 1.884 proximadamente: b) 1.970 a) 15 c) 2.764 b) 25 d) 3.140 c) 35 15. (Enem – 2006) Uma artesã con- d) 45 fecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as 17. (UEL) Um fabricante de latas figuras abaixo). Unindo dois lados o- com formato de um cilindro possui postos do cartão, de duas maneiras, a chapas retangulares de alumínio com COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5
  • 6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL as dimensões: 25 cm de largura por 9 b) 10.000 π . cm de comprimento, conforme a figura ANOTAÇÕES que segue. Ele deseja saber como utili- c) 5.500 π . zar essas chapas de forma a ter maior capacidade para as latas oriundas de tais chapas. Ele pensou em duas formas d) 5.000 π . deconfeccionar essas latas: unindo o lado AD da chapa de alumínio no lado e) 1.100 π . BC formando uma lata que tem o for- mato de um cilindro circular reto C1 ou unindo o lado AB ao lado DC formando 19. (FGV – SP) O sólido da figura 1 foi obtido a partir de duas secções em uma lata cujo formato é um cilindro um cilindro circular reto de altura 24 circular reto C2 . cm e raio da base 10 cm. As secções foram feitas na intersecção do cilin- dro com um diedro de 60°, como mostra a figura 2: Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir. I. A área da superfície lateral do cilindro C1 é igual à área da superfície lateral do cilin- dro C2 II. A capacidade do cilindro C1 é maior que a capacidade do cilindro C2 . Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C' III. Se o fabricante dobrar as dimensões da pertencem às faces do diedro e às circunfe- chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra. rências das bases do cilindro, como mostra IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da a figura 2, a área da superfície BB'C'C, con- chapa, a área da superfície lateral do cilin- tida na face lateral do cilindro, em cm2, é dro C2 dobra. igual a Estão corretas apenas as afirmativas: a) 60 π a) I e II. b) 40 3π b) I e III. c) 80 π c) II e IV. d) 90 3π d) I, III e IV. e) II, III e IV. e) 160 π 18. (Unifesp) A figura indica algumas 20. (UFV) Preparou-se gelatina que das dimensões de um bloco de con- foi colocada, ainda em estado líqui- creto formado a partir de um cilindro do, em recipientes, como mostram as circular oblíquo, com uma base no so- figuras a seguir. lo, e de um semicilindro. Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipien- Dado que o raio da circunferência da base tes cilíndricos e em dois recipientes em do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume forma de paralelepípedo, como representa- do bloco de concreto, em cm¤, é do na figura acima, a quantidade prepara- da, em litros, foi de: a) 11.000 π . (Use π = 3,14) PÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 7. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira a) 1,01 gua derramada, em dm3, é aproxima- ANOTAÇÕES damente de: b) 1,19 a) 155 c) 1,58 b) 263 d) 1,64 c) 353 e) 1,95 d) 392 21. (Fatec – SP) Um cilindro circular reto tem volume igual a 250 π cm3. Gabarito Um plano, paralelo ao eixo desse ci- lindro, à distância de x cm desse ei- 01. B 02. C 03. A xo, determina uma seção retangular 04. 2m 05. 29 de área igual a 60 cm2. Se a medida 06. a) As áreas totais das embalagens A e da altura do cilindro é igual ao dobro B são, respectivamente, 250 π cm2 e da medida do raio da base, então x é 400 π cm2. Portanto, gasta-se menos ma- igual a terial na embalagem A. b) Sendo PA e PB, respectivamente, os a) 9/2 preços do cm3 nas embalagens A e B, te- mos: b) 4 PA = 8/(1000 π )R$/cm3 e PB = 7/(1000 π )R$/cm3. Como PB < PA, a embalagem B é a mais c) 2 3 vantajosa para o consumidor. 07. A 08. C 09. E d) 13/4 10. C 11. h = 1 e r = 1 12. B 13. (π − 0,1928 ) m 3 14. A e) 10 15. B 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A 22. (UFRN) Nove cubos de gelo, cada 21. E 22. D 23. B um com aresta igual a 3 cm, derre- 24. A 25. D tem dentro de um copo cilíndrico, i- nicialmente vazio, com raio da base 2. Cone também igual a 3 cm. Considere um círculo C de cen- tro O e raio r em um plano α , e V um ponto não pertencente ao plano α . A reunião de todos os segmentos de re- ta com uma das extremidades em V e outra no círculo C é denominada cone circular, ou simplesmente cone. Após o gelo derreter completamente, a al- tura do nível da água no copo será de apro- ximadamente a) 8,5 cm. b) 8,0 cm. c) 7,5 cm. d) 9,0 cm. 23. (UERJ) Um tonel cilíndrico, sem tampa e cheio de água, tem 10 dm de altura e raio da base medindo 5 dm. Considerando π = 3,14, ao inclinar- Os cones podem ser classificados em mos o tonel em 45°, o volume de á- retos ou oblíquos. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7
  • 8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL ANOTAÇÕES 1 V = πr 2h . 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine a área total e o volume de Cone Reto Cone Oblíquo um cone que possui altura 12 cm e diâmetro da base 10 cm. É notável a relação: 2. Determine a medida do ângulo cen- tral de um setor circular obtido pela g 2 = h2 + r 2 planificação da superfície lateral de um cone reto cuja geratriz mede 60 cm e o raio da base é 10 cm. Área lateral do Cone Para o cálculo da área lateral 3. (Fatec – SP) A altura de um cone cir- cular reto mede o triplo da medida do do cone é preciso que planifiquemo- raio da base. Se o comprimento da no, como a figura abaixo. circunferência dessa base é 8 π cm, então o volume do cone, em centíme- tros cúbicos, é a) 64 π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π 4. (Uel) Um cone circular reto tem altu- Usando a expressão do compri- ra de 8cm e raio da base medindo mento de um arco, temos o resultado: 6cm. Qual é, em centímetros quadra- 2 πr dos, sua área lateral? α= g a) 20π Como a área de um setor circu- 1 b) 30π lar é dada por ( ângulo ) ⋅ ( raio )2 , te- 2 c) 40π mos: 1 2 πr 2 d) 50π Al = ⋅ ⋅g 2 g e) 60π Ou seja, Al = πrg 5. (Ufpb) A figura abaixo representa uma secção meridiana de um cone Volume de um cone circular reto. Calcule o volume desse cone. 6. (Fuvest – SP) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, re- O volume de um cone é dado por corta-se, em cartolina, um setor cir PÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 9. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira cular para a superfície lateral e um círcu- EXERCÍCIOS TAREFA ANOTAÇÕES lo para a base. A medida do ângulo cen- tral do setor circular é: 1. Calcule a medida da altura de um co- a) 144° ne circular reto em que o raio da base mede 8 cm e uma geratriz mede 17 b) 192° cm. c) 240° 2. Cada geratriz de um cone circular re- to de raio da base 4 cm forma com o plano da base um ângulo de 30º. Cal- d) 288° cule a medida da altura desse cone. e) 336° 3. Uma secção meridiana de um cone circular reto é uma região limitada 7. (Fuvest – SP) Um pedaço de cartolina por um triângulo isósceles de lados possui a forma de um semi-círculo de raio 20cm. Com essa cartolina 2 2 cm , 2 2 cm e 4 cm . Calcule a um menino constrói um chapéu côni- medida do ângulo que uma geratriz co e o coloca com a base apoiada so- forma com o plano da base do cone. bre uma mesa. Qual a distância do bi- co do chapéu à mesa? 4. Dado um cone circular reto de raio da base 5 cm e geratriz 13 cm, calcule: a) 10 3 cm. a) a área lateral do cone b) 3 10 cm. b) a área total do cone c) a medida, em radianos, do ângulo cen- c) 20 2 cm. tral do setor circular equivalente à su- perfície lateral do cone. d) 20 cm. e) 10 cm. 5. Um plano α paralelo à base de um cone circular de altura 15 cm deter- mina nesse cone uma secção de área 8. (UNESP) No trapézio ABCD da figura a 3 cm². Sabendo que a área da base do seguir, os ângulos internos em A e B cone é 27 cm², calcule a distância do são retos, e o ângulo interno em D é plano α ao vértice do cone. tal que sua tangente vale 5/6. Se åî=2.åæ, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da re- 6. Uma secção meridiana de um tronco de cone circular reto é um trapézio ta por B e C é dado por: isósceles de lados 5 cm, 5 cm, 2 cm e 8 cm. Determine o volume, a área la- teral e a área total desse tronco. 7. (Mack – SP) O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem diâmetro 4 e área igual a k% da área total do cone. En- tão k vale: a) (3/4) π a3 b) (5/8) π a3 c) (6/5) π a3 a) 20. d) (20/13) π a3 b) 25. e) (8/5) π a3 c) 30. d) 35. e) 40. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9
  • 10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL 8. (Faap – SP) Um copo de chope é um b) 144π ANOTAÇÕES cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde c) 108π que o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da d) 72π altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: e) 36π a) 3/4 b) 1/2 11. (UFLA) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos, c) 2/3 que ficam totalmente cheios. d) 3/8 e) 1/8 9. (Faap – SP) Um chapéu de papel em forma de cone tem 10 centímetros de diâmetro e 10 centímetros de profun- didade. Seu vértice é empurrado para A relação entre as alturas do líquido res- baixo e para dentro conforme a figura tante no cilindro (h1) e a altura (H) do ci- a seguir. Que distância sua ponta pe- lindro é: netra no espaço interno do chapéu se o novo volume do chapéu é 4/5 do vo- a) h1 = H/4 lume original? b) h1 = H/2 c) h1 = H /2 d) h1 = H/3 12. (UFRS) Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela inter- seção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos i- a) 3 200 guais. Se cortarmos esse cone ao lon- go de uma geratriz, abrindo e planifi- 3 cando sua superfície lateral, será ob- b) 80 tido um setor circular cujo ângulo central tem medida α . Então, c) 3 100 a) α < 180°. d) 3 300 b) 180° ≤ α < 200°. e) 3 150 c) 200° ≤ α < 220°. 10. (Mack – SP) Na rotação do triân- d) 220° ≤ α < 240°. gulo ABC da figura a seguir em torno da reta r, o lado AB descreve um ân- gulo de 270°. Desta forma, o sólido e) α ≥ 240°. obtido tem volume: 13. (Unesp) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O fras- co do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cô- nica, cujas medidas são dadas na fi- gura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. a) 48π PÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 11. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira a) 2,0 ANOTAÇÕES b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0 Após 4h de administração contínua, a medi- 17. (Ita – SP) Um dos catetos de um cação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a aproximação π = 3, o volu- triângulo retângulo mede 3 2 cm . O me, em ml, do medicamento restante no volume do sólido gerado pela rotação frasco após a interrupção da medicação é, deste triângulo em torno da hipotenu- aproximadamente, sa é π cm 3 . Determine os ângulos a) 120. deste triângulo. b) 150. 18. (UFV) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma c) 160. folha circular de raio 30 cm, recor- tando-se um setor circular de ângulo d) 240. 2π θ= radianos e juntando os la- 3 e) 360. dos. A área da base do chapéu, em 14. (PUC – SP) Considere o triângulo cm 2 , é: isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse tri- a) 140 π ângulo em torno de um eixo que con- tém o lado AB gera um sólido cujo vo- b) 110 π lume, em centímetros cúbicos, é c) 130 π a) 256 π d) 100 π b) 298,6 π e) 120 π c) 307,2 π 19. (UERJ) Para revestir externamen- d) 316 π te chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base e) 328,4 π medindo 10 cm, serão utilizados cor- tes retangulares de tecido, cujas di- 15. (Ita – SP) As medidas, em metros, mensões são 67 cm por 50 cm. Admita do raio da base, da altura e da gera- que todo o tecido de cada corte po- triz de um cone circular reto formam, derá ser aproveitado. O número mí- nesta ordem, uma progressão aritmé- nimo dos referidos cortes necessários tica de razão 2 metros. Calcule a área para forrar 50 chapéus é igual a: total deste cone em m2. a) 3 16. (UFG) A terra retirada na escava- ção de uma piscina semicircular de 6 b) 4 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone c) 5 circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a gera- d) 6 triz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o vo- 20. (Ita – SP) A área total da superfí- cie de um cone circular reto, cujo lume da piscina. raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de Nessas condições, a altura do cone, em me- diâmetro igual ao perímetro da seção tros, é de COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 11
  • 12. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL meridiana do cone. O volume deste cone, b) 192° em cm3, é igual a ANOTAÇÕES c) 240° 3 a) πR d) 288° b) πR 3 2 e) 336° πR 3 23. (Fuvest – SP) Um pedaço de car- c) tolina possui a forma de um semi- 2 círculo de raio 20cm. Com essa carto- lina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada d) πR 3 3 sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? πR 3 a) 10 3 cm. e) 3 b) 3 10 cm. 21. (PUC – RS) A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Reti- c) 20 2 cm. rando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é d) 20 cm. e) 10 cm. 24. (Unesp) No trapézio ABCD da fi- gura a seguir, os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD = 2AB, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da re- ta por B e C é dado por: 2πx 3 a) 3 4 πx 3 b) 3 8πx 3 a) (3/4) π a3 c) 3 b) (5/8) π a3 2πx 2 c) (6/5) π a3 d) 3 d) (20/13) π a3 8πx 2 e) (8/5) π a3 e) 3 25. (Fuvest – SP) Um cálice com a 22. (Fuvest – SP) Deseja-se construir forma de cone contém V cm3 de uma um cone circular reto com 4 cm de bebida. Uma cereja de forma esférica raio da base e 3cm de altura. Para is- com diâmetro de 2cm é colocada so, recorta-se, em cartolina, um setor dentro do cálice. Supondo-se que a circular para a superfície lateral e um cereja repousa apoiada nas laterais círculo para a base. A medida do ân- do cálice e o líquido recobre exata- gulo central do setor circular é: mente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determi- nar o valor de V. a) 144° PÁGINA 12 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 13. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 4 3 ANOTAÇÕES V= πr 3 Superfície esférica A superfície esférica de cen- tro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Gabarito Se considerarmos a rotação 4 3 completa de uma semicircunferência 01. 15 cm 02. cm 03. 45º 3 em torno de seu diâmetro, a superfí- 10π cie esférica é o resultado dessa rota- 04. a) 65 π cm2 b) 90 π cm2 c) rad 13 ção. 05. 5 cm 06. V = 28 π cm³ 07. B 08. E 09. C 10. E 11. D 12. E 13. A 14. C 15. 96π m 2 16. C 17. 30º, 60º e 90º 18. D 19. B 20. E 21. B 22. D 4 23. A 24. E 25. πcm 3 A área da superfície esférica é 3 dada por: 3. Esfera As = 4 πr 2 Zona esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é me- A área da zona esférica é dada nor ou igual ao raio R. por: Considerando a rotação com- S = 2 πrh pleta de um semicírculo em torno de Calota esférica um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limita- É a parte da esfera gerada do da por uma superfície esférica e for- seguinte modo: mada por todos os pontos pertencen- tes a essa superfície e ao seu interior. Ä área da calota esférica é da- da por: Volume O volume da esfera de raio R é S = 2 πrh dado por: COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 13
  • 14. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL Fuso esférico ANOTAÇÕES O fuso esférico é uma parte da EXERCÍCIOS PROPOSTOS superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um 1. Calcule a área e o volume de cada ângulo α , (0 < α < 2π ) em torno de uma das esferas cujas medidas estão indicadas abaixo. seu eixo: a) R = 1,6 cm b) O raio de uma secção feita a 3 cm do seu centro mede 4 cm. 2. Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro. 3. Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura. Ele pretende subs- tituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâ- metro da nova embalagem para que A área do fuso esférico pode ser possa conter a mesma quantidade de obtida por uma regra de três simples: suco que a primeira? 4. Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm². 5. Determine a área de uma esfera, sen- do 2304π cm³ o seu volume. Cunha esférica 6. Considerando a Terra uma esfera cujo Parte da esfera que se obtém diâmetro é 12 800 km e considerando ao girar um semicírculo em torno de 1 a Lua uma esfera cujo diâmetro é seu eixo de um ângulo 4 α, (0 < α < 2π ) : do da Terra, calcule a razão entre os volumes dos dois astros. 7. Considere uma esfera de raio 6 cm, feita com massa de modelar. Divide- se essa massa em quatro partes iguais e são construídas quatro novas esfe- ras. Qual o raio de cada uma dessas quatro esferas? 8. Obtenha o raio de uma esfera, saben- do que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera. O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples: 9. Um plano seciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância do plano ao centro da esfera. 10. Pretende-se transportar 100 boli- nhas esféricas, maciças e feitas de vidro, em caixas que comportam, ca- da uma, um “peso” máximo 0,50 kg. Sabendo-se que o diâmetro de cada bolinha é 2,1 cm e que a densidade do vidro é 2,60 g/cm³, qual o número mínimo de caixas necessárias para o PÁGINA 14 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 15. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 22 silo, sabendo que o raio do cilindro ANOTAÇÕES transporte de 100 bolinhas? (use π = ). mede 2 m e que a altura do silo mede 7 8 m. 11. Um aquecedor a gás tem a forma de um cilindro com duas semi-esferas 20. Um depósito de grãos num arma- acopladas em suas extremidades, zém tem o formato de um cilindro re- conforme mostra a figura ao lado. Se to encimado por um hemisfério. o diâmetro do aquecedor é 0,90 m e seu comprimento total é 1,50 m, cal- a) Se o raio da base do cilindro for 2 m e cule: o volume do recipiente for de 50π m³, qual será a altura do cilindro? a) a área de sua superfície. 47 b) o volume máximo de gás que o seu in- b) Se o volume do recipiente for π m³ 3 terior pode conter. e o cilindro tiver 15 m de altura, qual será o raio da base do cilindro (que é o 12. A secção plana de uma esfera fei- mesmo do hemisfério)? ta a 35 cm do centro tem 144π cm² de área. Calcule a área do círculo máximo dessa esfera. 21. Calcule com os dados abaixo: π a) A área de um fuso de α = rad em 13. Determine a área de uma super- 6 fície esférica, sendo 36π cm o com- uma esfera de raio 5. primento da circunferência do círculo máximo. b) A área total e o volume da cunha de π α= rad em uma esfera de raio 6. 14. Uma vasilha tem a forma de uma 6 semi-esfera com diâmetro interno de 12 cm. Se ela tem 0,25 cm de espes- sura e a densidade da madeira é 0,87 22. Qual é a área de um fuso de 28º g/cm³, qual o “peso” aproximado pertencente a uma esfera de 4 π m² de superfície? dessa vasilha? (use π = 3) 15. Determine a área da superfície e 23. Um fuso de 10º de uma esfera de o volume de uma esfera, sabendo que 1 cm de raio é equivalente a uma se- ção plana da esfera. Determine a dis- 1 o raio mede do raio de outra esfe- tância da seção ao centro da esfera. 5 ra cujo volume é 4 500π cm³. 24. Determine o volume de uma cu- nha cujo ângulo mede 60º, em uma 16. Os raios de duas esferas concên- esfera cujo volume vale 288π m³. tricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a área da secção feita na esfera maior por um plano 25. Considerando uma esfera de raio R, avalie cada uma das afirmações a tangente à outra esfera. seguir: 17. Duas esferas de ferro de raios 4 a) Duplicando-se o raio, o volume da es- cm e 3 61 cm fundem-se para formar fera quadruplica. uma esfera maior. Determine: b) Duplicando-se o raio, a área da fica a) o raio da nova esfera duplicada. b) o “peso” da nova esfera, sabendo que c) Se V m³ é o volume da esfera é S m², a a densidade do ferro é 7,8 g/cm³ e sua área, então V < S sempre que 0 < R considerando π = 3. < 3. 18. Uma esfera tem 25 π cm² de su- d) Se R = 3 m, o volume da cunha esféri- perfície. Em quanto devemos aumen- π tar o raio para que a área passe a ser ca de ângulo rad é 6π m³. 3 64π cm²? e) Se R = 3 m, a área do fuso esférico de 19. Um silo tem a forma de um cilin- π dro circular reto (com fundo) encima- ângulo rad é 6π m². do por uma semi-esfera. Determine o 3 volume e a área da superfície desse COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 15
  • 16. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL 01. * 10. três 19. V 02. ** 11. *** 20. V* 2 πr 3 ANOTAÇÕES b) . 03. 6 3 3 12. 1369π 21. V** 3 m² cm 04. 3 cm 13. 676π 14π c) πr 3 . cm² 22. m² 45 05. 576π 14. 49 g 23. 2 2 cm d) 2r 3 . cm² 3 06. 1/64 ou 64 15. *V 24.48 π m³ e) 2πr 3 . 07. 3 3 2 16. 161π 25. FFVVV cm² 3. (Unitau) Aumentando em 10% o raio cm de uma esfera a sua superfície au- 08. 29 cm 17. a) 5 cm 26. V*** mentará: b) 3900g 09. 15 cm 18. 1,5 cm 2.10 8 a) 21 %. 27. 3π km² b) 11 %. 256 2048 c) 31 %. 01. a) A = π cm²; V = π cm³ 25 375 500π d) 24 %. b) A = 100π cm²; V = cm³ 3 e) 30 %. 97556π 02. A = 3364π cm²; V = cm³ 3 11. a) 1,35π m²; b) 0,234π m³ 4. (UFPE) Um triângulo equilátero tem lado 18 3 cm e é a base de um 15. A = 36π cm²; V = 36π cm³ prisma reto de altura 48 cm. Calcule 88π o raio da maior esfera contida neste 19. V = m³; A = 36π m² prisma. 3 67 20. a) 6 m b) r = 1 m 5. (Mack – SP) A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a 25π um mesmo cubo é: 21. a) b) AT = 48π c) V = 24π 3 26. AT = 27π m² c) V = 18π m³ a) 3 EXERCÍCIOS TAREFA b) 2 3 1. (Fuvest – SP) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do c) 3 3 centro da superfície esférica, deter- minando uma circunferência. 4 3 O raio desta circunferência, em cm é: d) a) 1. 3 b) 2. 3 3 e) c) 3. 2 d) 4. 6. (Mack – SP) A altura de um cone reto é igual ao raio da esfera a ele cir- e) 5. cunscrita. Então o volume da esfera é: a) o dobro do volume do cone. 2. (Unitau) Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é igual a: b) o triplo do volume do cone. 3 πr c) o quádruplo do volume do cone. a) . 3 d) 4/3 do volume do cone. PÁGINA 16 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 17. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira e) 8/3 do volume do cone. Calcule, usando a aproximação considera- ANOTAÇÕES da, os raios das duas esferas. 7. (UFF) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um 10. (Mack – SP) A razão entre a área cilindro, uma semi-esfera e um pris- lateral do cilindro eqüilátero e da su- ma - cujos volumes são perfície esférica, da esfera nele ins- crita, é: V1 , V2 e V3 , respectivamente. a) 1 b) 1/2 c) 1/3 A relação entre V1 , V2 e V3 é: d) 1/4 a) V3 < V2 < V1 e) 2/3 b) V2 < V3 < V1 11. (Puc Campinas/SP) Considere as sentenças: c) V1 < V2 < V3 I. Se um plano intercepta uma superfície esférica, a intersecção é um ponto ou uma d) V3 < V1 < V2 circunferência. II. Se os segmentos åæ e èî são dois diâ- metros de uma esfera, então o quadriláte- e) V2 < V1 < V3 ro ABCD é um retângulo. III. Todo plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio que con- 8. (Puc – MG) Uma esfera de raio r = 3 tém o ponto de tangência. cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 É correto afirmar que cm. O raio do cilindro, em cm, mede: a) 1 a) somente I é verdadeira. b) 2 b) somente II é verdadeira. c) 3 c) somente III é verdadeira. d) somente I e III são verdadeiras. d) 3 e) I, II e III são verdadeiras. e) 13 12. (UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é 9. (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m¤ de mergulhada num copo cilíndrico de 4 neve para construir um grande bone- cm de raio, até encostar no fundo, de co de 3m de altura, em comemoração modo que a água do copo recubra e- à chegada do verão no Pólo Sul. O xatamente a esfera. boneco será composto por uma cabe- ça e um corpo ambos em forma de es- fera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a fi- gura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin apro- ximou π por 3. Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era a) 27/8 cm b) 19/6 cm c) 18/5 cm COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 17
  • 18. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL d) 10/3 cm circular reto de raio 2cm e altura 8cm. Serão administradas ao paciente ANOTAÇÕES e) 7/2 cm 30 gotas por minuto. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2cm, determine: 13. (Puc – SP) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3cm, está inscrito em uma esfera de raio 5cm, conforme a) o volume, em cm 3 , do frasco e de ca- mostra a figura a seguir. da gota (em função de π ). b) o volume administrado em cada minu- to (considerando a quantidade de go- tas por minuto) e o tempo gasto para o paciente receber toda a medicação. 16. (UEL) Considere um cone circular O volume do cone corresponde a que por- reto e um cilindro circular reto, am- centagem do volume da esfera? bos com diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâme- tro de 12 cm, todos com volumes i- a) 26,4 % guais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente b) 21,4 % iguais a: c) 19,5 % a) 12 cm e 4 cm d) 18,6 % b) 30 cm e 10 cm e) 16,2 % c) 24 cm e 8 cm 14. (UFMG) Observe esta figura: d) 9 cm e 3 cm e) 18 cm e 6 cm 17. (Cefet – MG) Considere uma bola de sorvete de 36π cm 3 de volume e uma casquinha cônica de 3 cm de rai- o. A altura da casquinha, para que o Nessa figura, ABC é um quadrante de cír- sorvete, ao derreter, ocupe todo o culo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, seu espaço, em cm, é cujo lado mede 1cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 360°, em torno da a) 8 reta AB, da região hachurada na figura. Sabe-se que o volume de uma esfera de b) 9 4 3 raio r é igual a πr . Assim sendo, esse 3 c) 10 sólido tem um volume de: d) 12 a) 14π cm 3 18. (UFU – 2006) Uma esfera maciça 3 de ferro de raio 10 cm será fundida e b) 15π cm todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular ambos, maciços c) 16π cm 3 com raio da base r cm e altura tam- bém r cm. Não havendo perda de ma- terial durante o processo, r será igual d) 17π cm 3 a 15. (UNESP) Um paciente internado a) 4 cm. em um hospital tem que receber uma certa quantidade de medicamento in- b) 8 cm. jetável (tipo soro). O frasco do medi- camento tem a forma de um cilindro c) 5 cm. PÁGINA 18 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 19. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira d) 10 cm. tamente a metade da bola ficou sub- ANOTAÇÕES mersa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver dese- 19. (UFRS) Duas esferas de raio r fo- nho). O raio dessa bola é: ram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo. Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é a) 10 cm a) 1/5. b) 11 cm b) 1/4. c) 12 cm c) 1/3. d) 13 cm d) 1/2. e) 14 cm e) 2/3. 22. (UFPB) Suponha que a área da superfície lateral de um determinado 20. (UFPB) Se V1 , V2 e V3 são, cilindro circular reto é igual à área da superfície de uma esfera de raio 3cm. respectivamente, os volumes dos co- nes circular, hemisfério e cilindro cir- Sabendo-se também que o volume desse cilindro é igual ao volume dessa cular representados abaixo. esfera, qual o raio do cilindro? a) 1 cm b) 3 cm c) (2/3) cm Então é correto afirmar que: d) 2 cm V1 V2 V3 a) = = e) 1,5 cm 1 2 3 b) V1 = 2V2 = 3V3 23. (UFPB) Na venda de bolas de tê- nis, são utilizadas embalagens em forma de um cilindro circular reto, V3 V2 V1 cujo diâmetro interno mede c) = = 128 1 2 3 cm e corresponde a um terço π d) V3 = 2V2 = 3V1 da altura interna. A área, em cm2, da superfície lateral interna de cada embalagem é: V1 + V2 e) = V3 a) 96 2 b) 128 21. (UFPB) Depois de desistir de reti- rar a pipa do poste, João foi jogar fu- tebol no quintal da casa. Ao c) 128 π chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse num reser- d) 384 vatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é e) 384 π de 96 cm. Maria percebeu que exa- COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 19
  • 20. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL 24. (UFPB) Uma bola esférica está ANOTAÇÕES apoiada em um aro circular cujo raio interno R mede 9 c m, conforme a fi- gura ao lado. Sabendo-se que a dis- tância entre o centro do aro e o da bola é igual a 12 c m, é correto afir- mar que o diâmetro externo da bola mede: a) 24 cm b) 25 cm c) 26 cm d) 28 cm e) 30 cm 25. (Ita – SP) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8 3 cm , encontram-se nos vértices de 3 um cubo. Cada vértice do cubo é cen- tro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. Gabarito 01. E 02. E 03. A 04. 09 05. C 06. C 07.E 08.C 09.r = 0,5 e R = 1 10. A 11. E 12. D 13. E 14. D 15. a) V frasco = 32π cm 3 e 4π 3 V gota = cm 16. C 17. D 375 18. D 19. D 20. A 21. C 22. D 23. D 24. E 25. 4 ( 6 − π) cm 3 3 PÁGINA 20 COLÉGIO VIA MEDICINA