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Relembrando
  Antes de começar a aula de hoje, precisamos
rever alguns pontos de geometria plana e
unidades de medidas:
Área do retângulo:      Área do quadrado:




                                    2
      A b.h                   A l
Relembrando
Diagonal do quadrado:   Área do triângulo:




     d   l 2                    b.h
                            A
                                 2
Relembrando
Triângulo Equilátero:
                        Altura
                                 l 3
                            h
                                  2
                        Área
                                 2
                                 l . 3
                            A
                                   4
Relembrando
Hexágono:
                  Apótema:
                              l 3
                     a
                               2
                  Área:
                          2            2
                      l . 3            l . 3
                 A 6.               3.
                        4                2
Relembrando
Comprimento da    Área do círculo
 circunferência




                                 2
   c 2. .r            A     .r
Relembrando
  Sendo o metro (m) a unidade de medida,
temos:

1 m = 10 dm = 100 cm
1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2
1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3

      Observação: 1 dm3 = 1 litro
Prismas e Cilindros
                                                 definição
          definição




                                                 elementos
          elementos




                                     Cilindros     Caso          Cilindro
Prismas                                retos     particular     equilátero
 retos
                      Área da base

                                                              Área da base
          áreas       Área lateral
                                                 áreas        Área lateral
                      Área total
                                                              Área total


          volume

                                                 Volume
Prismas
  Prisma é uma sólido geométrico delimitado
por faces planas, no qual as duas bases se
situam em planos paralelos.
Exemplos:
sólido

          definição   Limitado por faces planas

                      Duas bases paralelas



prismas
Prismas
  Podemos classificar um prisma quanto ao
número de arestas da base.

Triangular Quadrangular Pentagonal   Hexagonal
sólido

          definição       Limitado por faces planas

                          Duas bases paralelas


                                                  triangulares     Base é um triângulo
prismas
                             Nº de arestas       quadrangulares      Base é um quadrilátero
                                da base
                                                 pentagonal       Base é um pentágono

                                                  hexagonal       Base é um hexágono
          classificação
Prismas
  Podemos classificar um prisma quanto à
inclinação das arestas laterais.
  Oblíquos: arestas     Retos: arestas laterais
 laterais oblíquas às     perpendiculares às
        bases.                  bases.
sólido

          definição       Limitado por faces planas

                          Duas bases paralelas


                                                  triangulares       Base é um triângulo
prismas
                             Nº de arestas       quadrangulares        Base é um quadrilátero
                                da base
                                                 pentagonal        Base é um pentágono

                                                  hexagonal         Base é um hexágono
          classificação

                                                                  Arestas laterais
                                                      oblíquos
                                                                  oblíquas à base

                              Inclinação das
                             arestas laterais                                      Arestas laterais
                                                                  definição
                                                                                perpendiculares à base


                                                      retos
Prismas
Os elementos de um prisma reto são:
Prismas

   Note que
   todas as
faces laterais
 dos prismas
   retos são
  retângulos
sólido

          definição       Limitado por faces planas

                          Duas bases paralelas


                                                  triangulares       Base é um triângulo
prismas
                             Nº de arestas       quadrangulares        Base é um quadrilátero
                                da base
                                                 pentagonal        Base é um pentágono

                                                  hexagonal         Base é um hexágono
          classificação

                                                                  Arestas laterais
                                                      oblíquos
                                                                  oblíquas à base

                              Inclinação das
                             arestas laterais                                      Arestas laterais
                                                                  definição
                                                                                perpendiculares à base

                                                                                     vértices
                                                      retos
                                                                                                    base
                                                                                     arestas
                                                                  elementos                         lateral

                                                                                                  base
                                                                                     faces
                                                                                                  Lateral = altura
Paralelepípedos
  Paralelepípedos são prismas quadrangulares,
cuja base é um paralelogramo. Quando as bases
são retângulos, chamamos de paralelepípedo
retângulo.
Paralelepípedos
  Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo
através do Teorema de Pitágoras ou pela
fórmula:


             2       2       2
   D     a       b       c
Paralelepípedos
Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo
de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a
medida da sua diagonal.
Exemplo
        Pelo Teorema de Pitágoras:




    2       2       2         2       2       2
d       4       5         D       3       d
d   2
        16 25             D2      9 41
d   2
        41                D2      50          D 5 2
Exemplo
Pela Fórmula: D       a   2
                                  b   2
                                          c       2




                                  2           2           2
                  D           3           4           5
                  D           9 16 25
                  D           50              D 5 2
Paralelepípedos
     Caso particular: Cubo
  O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,
no qual todas as faces são quadrados, ou seja
todas as arestas apresentam a mesma medida.



                         D a 3
Paralelepípedos
  Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo,
cujo perímetro de uma face é 24 cm.
     Se o perímetro da é 24cm, então a
  aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm


                      D   a 3
                      D 6 3
Tente fazer sozinho

  A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos
centímetros deve ser aumentada a medida da
diagonal desse cubo, de modo a obter-se um
novo cubo cuja aresta meça 6 cm.
Tente fazer sozinho

  A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos
centímetros deve ser aumentada a medida da
diagonal desse cubo, de modo a obter-se um
novo cubo cuja aresta meça 6 cm.
Solução




4 3 x 6 3    x 6 3 4 3   x 2 3
Áreas do Prisma
 Área da base: é a área do polígono que
constitui a base.

A) No prisma triangular.

                                    2
                    b.h            l . 3
               Ab          ou Ab
                     2               4
Áreas do Prisma
Exemplo: Calcule a área da base de um prisma
triangular regular, sabendo que a altura do
triângulo da base mede 4 3.

                 l 3
              h        4 3 l 8
                  2
                   2     2
                  l 3 8 3
              Ab             16 3
                     4     4
Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular.




                                  2
    Ab   b.h             Ab   l
Áreas do Prisma
 Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de
1,80 m de profundidade, foi instalada em um
buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.
Calcule a área da base da piscina.

                      Ab   b.h
                                      2
                      Ab   3.5 15cm
Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal.


                           2
                          3l . 3
                    Ab
                             2
Áreas do Prisma
  Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram
uma pizza que veio em uma caixa de base
hexagonal, calcule á área da base da caixa,
sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.
                        2
                      3l . 3
                 Ab
                         2
                           2
                      3.12 . 3             2
                 Ab              216 3cm
                          2
Arestas laterais
          definição
                      perpendiculares à base

                         vértices

                                        base
                         arestas
          elementos                      lateral

                                        base
                         faces
                                        Lateral = altura
Prismas
 retos
                      Área da base      Área do polígono da base


          áreas
Áreas do Prisma
 Área lateral: é a soma das áreas das faces
laterais.
A) No prisma triangular

              Como temos 3 faces laterais,
             então Al 3.b.h .
Áreas do Prisma
Exemplo: O monumento de uma praça no norte
da Croácia tem forma de um prisma triangular
regular de altura igual a 7m. Calcule a área
lateral do monumento, sabendo que a área da
base mede 4 3 .
                       2
                   l       3
              Ab               4 3   l   4m
                     4
                             2
              Al   3.4.7 84m
Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular




     Al   2ac 2bc           Al   4.b.h
Áreas do Prisma
Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um
designer colocará 2 portas e pintará todas
as faces laterais. Calcule toda superfície
que será pintada?
Áreas do Prisma




Al   2.2,1.0,6 2.0,4.0,6
Al   2,52 0,48
          2
Al   3m
Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal regular.




                      Al   6.b.h
Áreas do Prisma
 Exemplo: Um instrumento de base hexagonal
regular está sendo testado por uma banda de
reagge. Sabendo que as bases desse prisma
devem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 a
ser pintada de amarelo e verde.
                       Al   6.b.h
                       Al   6.50.30
                                      2          2
                       Al   9000cm        0,9m
Arestas laterais
          definição
                      perpendiculares à base

                         vértices

                                        base
                         arestas
          elementos                      lateral

                                        base
                         faces
                                        Lateral = altura
Prismas
 retos
                      Área da base      Área do polígono da base


          áreas       Área lateral      Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
Áreas do Prisma

 Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.


            At    2. Ab     Al
Arestas laterais
          definição
                      perpendiculares à base

                         vértices

                                        base
                         arestas
          elementos                      lateral

                                        base
                         faces
                                        Lateral = altura
Prismas
 retos
                      Área da base      Área do polígono da base


          áreas       Área lateral      Soma das áreas dos retângulos das faces laterais


                      Área total      2Ab + Al
Áreas do Prisma
  Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de
altura, cuja base é um triângulo retângulo com
catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total
do prisma.
Áreas do Prisma
                      2        2       2
                  x       15       8
                      2
                  x       225 64
                      2
                  x       289          x 17
At   2. Ab   Al
        15.8
At   2.      15.20 8.20 17.20
         2
                              2
At   120 300 160 340 920cm
Tente fazer sozinho

  Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é 216 3 dm2 e que a sua
altura é igual ao apótema da base.
Tente fazer sozinho

  Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é 216 3 dm2 e que a sua
altura é igual ao apótema da base.
Solução
  At         216 3
 2. Ab           Al     216 3
             2
       3.l       3
 2.                    6.b.h    216 3
             2
    3.l 2 3        l 3
 2.           6.l.     216 3
        2           2
    2       2
 3l 3 3l 3 216 3
 6l 2 3               216 3     l   6dm
Tente fazer sozinho
  (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cm
de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o
ponto médio da aresta DF, calcule o seno do
ângulo B M E .
Tente fazer sozinho
  (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cm
de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o
ponto médio da aresta DF, calcule o seno do
ângulo B M E .
Solução




     l 3           2          2       2
EM            BM        5 6       5                5
      2                                   sen x
              BM   2
                       150 25                     5 7
     10 2 3
EM            BM 2     175                         7
        2                                 sen x
                                                  7
EM   5 6      BM       5 7
Áreas do Prisma
 Caso particular: cubo
  Como o cubo apresenta todas as faces com
a mesma área, então:


                                     2
                         At    6.l
Áreas do Prisma
 Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.
Calcule a área total.
                    l 3 12        l   4 3
                                  2
                       At   6.l
                                      2
                       At   64 3
                                      2
                       At    288cm
Volume do Prisma
  O volume de todo prisma é o produto entre
a área da base e a altura.



                              V     Ab .h
Volume do Prisma
   Exemplo: Determine o volume da piscina
ilustrada abaixo:




                                            3
  V    Ab .h 300.150.50 2250000cm
                3
  V    2250dm       2250l
Volume do Prisma
 Caso particular: cubo
  Como o cubo apresenta todas as arestas
com a mesma medida, então:

                  V      Ab .h
                          2                3
                  V      a .a    V    a
Volume do Prisma
Exemplo: Um tanque cúbico sem tampa será
revestido internamente com uma massa
impermeabilizante. Calcule o volume do tanque,
sabendo que a área da superfície a ser
revestida é 125m2.
   área revestida = área do cubo – tampa
   125 = 6l2 – l2  125 = 5l2  l = 5 m
         Logo, V = l3 = 53 = 125m3
Arestas laterais
          definição
                       perpendiculares à base

                          vértices

                                         base
                          arestas
          elementos                       lateral

                                         base
                           faces
                                         Lateral = altura
Prismas
 retos
                       Área da base      Área do polígono da base


          áreas        Área lateral      Soma das áreas dos retângulos das faces laterais


                       Área total      2Ab + Al



          volume      V = Ab . h
Tente fazer sozinho
  (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96
m2 de material para se montar uma caixa
cúbica. O volume dessa caixa é:
a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3
Tente fazer sozinho
  (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96
m2 de material para se montar uma caixa
cúbica. O volume dessa caixa é:
a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3
Solução
                                 3
At          0,96         V   a
        2                            3
6a           0,96        V   0,4
    2                                        3
a           0,16         V   0,064m
a           0,4m         V   64dm        3


                   Letra A
Tente fazer sozinho
  (UFPI) A base de um prisma reto é um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5
cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a
medida da altura desse prisma é 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, mede:

a) 60    b) 70    c) 80     d) 90    e) 100
Tente fazer sozinho
  (UFPI) A base de um prisma reto é um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5
cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a
medida da altura desse prisma é 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, mede:

a) 60    b) 70    c) 80     d) 90    e) 100
Solução
                            2       2       2
                        5       3       x
                                        2
                        25 9 x
                            2
                        x       16          x   4

            b.h      3.4
V   Ab .h       .h       .10 60 Letra A
             2        2
Cilindros
  Cilindros retos são sólidos de revolução,
obtidos através do giro de um retângulo.
sólidos
            definição
                          Gerados pela rotação de um retângulo




Cilindros
  retos
Cilindros
Os elementos do cilindro reto são:
sólidos
            definição
                          Gerados pela rotação de um retângulo




                         base
            elementos
                         Geratriz = altura



Cilindros
  retos
Cilindros
 Caso particular: cilindro equilátero.
  O cilindro equilátero apresenta altura com
a mesma medida do diâmetro da base.
sólidos
            definição
                            Gerados pela rotação de um retângulo




                            base
            elementos
                            Geratriz = altura



Cilindros     Caso        Cilindro
                                        h= 2r
  retos     particular   equilátero
Áreas do Cilindro
 Área da base: é a área do círculo que
constitui a base.



                                     2
                       Ab       .r
Áreas do cilindro
 Exemplo: Determine a área da base de
um cilindro cujo raio do círculo da base
mede 4cm.
                                2
                   Ab      .r
                                2
                   Ab      .4
                                    2
                   Ab    16 cm
sólidos
            definição
                              Gerados pela rotação de um retângulo




                             base
            elementos
                             Geratriz = altura



Cilindros     Caso         Cilindro
                                          h= 2r
  retos     particular    equilátero



                         Área da base      Área do círculo da base   Ab = πr2

            áreas
Áreas do Cilindro
 Área lateral: é a área da superfície lateral
planificada.




                                 Al   2. .r.h
Áreas do Cilindro
  Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo
tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é
construído, a base cilíndrica não é de madeira
e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a
área da superfície revestida de madeira.
                      Al   2. .r.h
                      Al   2.3,14.40.70
                                          2
                      Al   17,684 18cm
sólidos
            definição
                              Gerados pela rotação de um retângulo




                              base
            elementos
                              Geratriz = altura



Cilindros     Caso          Cilindro
                                          h= 2r
  retos     particular     equilátero



                         Área da base       Área do círculo da base   Ab = πr2

            áreas        Área lateral     Al = 2πrh
Áreas do Cilindro

 Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.


            At    2. Ab     Al
Áreas do Cilindro
  Exemplo: Determine a área total de um
cilindro reto, cujo perímetro da base mede
10π cm, igual a medida da altura.
           2. .r 10        r 5cm
   Ab    .r   2
                      25   At 2. Ab    Al
                                                 2
   Al   2. .r.h            At   2.25    250
                                             2
   Al   2. .5.10           At   50     250
                  2
   Al   250                At   50 1 2
sólidos
            definição
                              Gerados pela rotação de um retângulo




                              base
            elementos
                              Geratriz = altura



Cilindros     Caso          Cilindro
                                          h= 2r
  retos     particular     equilátero



                         Área da base       Área do círculo da base   Ab = πr2

            áreas        Área lateral     Al = 2πrh

                         Área total     At = 2Ab + Al
Tente fazer sozinho
  (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos
centímetros quadrados de material são
usados, aproximadamente, para fabricar essa
lata? (Considere π = 3,14)

    a) 396        b) 126    c) 285
    d) 436        e) 578
Tente fazer sozinho
  (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos
centímetros quadrados de material são
usados, aproximadamente, para fabricar essa
lata? (Considere π = 3,14)

    a) 396        b) 126    c) 285
    d) 436        e) 578
Solução
d 6cm            r 3cm e        h 18cm
At 2 Ab          Al
             2
At   2. .r        2. .r.h
             2
At   2. .3        2. .3.18
At   18.         108.
At   126.         126.3,14
At   395,64 396cm           2      Letra A
Áreas do Cilindros
 Caso particular: cilindro equilátero.
  Como o cilindro equilátero apresenta altura
com a mesma medida do diâmetro da base,
então:

                                                       2
            Al   2. .r 2r                 Al   4. .r
                         2      2     2                2
            At   4. .r       2. . r       At   6. .r
Áreas do Cilindros
  Exemplo: Calcule a área lateral e a área
total de um cilindro reto equilátero, cujo
raio da base mede 5 cm.

                             2           2
                Al   4. .r       4. .5       100
                             2           2
                At   6. .r       6. .5       150
Volume do Cilindro
  O volume de todo cilindro é o produto entre
a área da base e a altura.



  V     Ab .h
Volume do Cilindro
 Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo,
em litros, sabendo que é um cilindro reto, o
diâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm.
 1m 10dm         r   5dm
 50cm 5dm
    V Ab .h
    V    .52.5
    V   125 litros
Volume do Cilindro
 Caso particular: cilindro equilátero
  Como o cilindro equilátero apresenta a
altura com a mesma medida do diâmetro da
base, então:

      V     Ab .h
                2                        3
      V      .r 2.r        V     2. .r
Volume do Cilindro
 Caso particular: cilindro equilátero
  Exemplo: Um cilindro equilátero de volume
128π litros, tem diâmetro de quantos
centímetros?
        V       Ab .h
                             3             3
        128          2. .r        128 2r
            3
        r       64      r        4dm 40cm
sólidos
            definição
                               Gerados pela rotação de um retângulo




                               base
            elementos
                               Geratriz = altura



Cilindros     Caso          Cilindro
                                           h= 2r
  retos     particular     equilátero



                         Área da base        Área do círculo da base   Ab = πr2

            áreas        Área lateral      Al = 2πrh

                         Área total      At = 2Ab + Al




            Volume       V = Ab . h
Tente fazer sozinho
  (UFPI) Um reservatório com capacidade para
6280 litros tem a forma de um cilindro
circular reto. Se o raio da base do reservatório
mede 1 metro, sua altura, também em metros,
mede: (Considere π = 3,14)
  a) 1   b) 1,4    c) 1,8    d) 2    e) 2,3
Tente fazer sozinho
  (UFPI) Um reservatório com capacidade para
6280 litros tem a forma de um cilindro
circular reto. Se o raio da base do reservatório
mede 1 metro, sua altura, também em metros,
mede: (Considere π = 3,14)
  a) 1   b) 1,4    c) 1,8    d) 2    e) 2,3
Solução
                         3            3
V   6280l     6280dm         6,280m
r 1m
V Ab .h
         3         2
6,280m       3,14.1 .h
    6,28
h            2m        Letra D
    3,14
Tente fazer sozinho
  (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com
aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um
copo cilíndrico vazio, com raio da base
também igual a 3cm. Após o gelo derreter
completamente, a altura da água no copo
será de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
Tente fazer sozinho
  (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com
aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um
copo cilíndrico vazio, com raio da base
também igual a 3cm. Após o gelo derreter
completamente, a altura da água no copo
será de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
Solução
                3        3          3
Vcubo       a        3       27cm
                             3
Vcilindro 27.9cm
                     2
Vcilindro           .r .h
                         2
27.9 3,14.3 .h
      27
h                   8,59 8,5cm Letra A
     3,14
Tente fazer sozinho
  (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, está
com água até a metade da sua capacidade.
Colocando-se pedras dentro desse aquário, de
modo que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das
pedras, em centímetros cúbicos, é:
  a) 1200    b) 1500   c) 1800   d) 2100
Tente fazer sozinho
  (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, está
com água até a metade da sua capacidade.
Colocando-se pedras dentro desse aquário, de
modo que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das
pedras, em centímetros cúbicos, é:
  a) 1200    b) 1500   c) 1800   d) 2100
Solução
h 30cm e Ab       1200cm   2

                                    3
Vaquário   Ab .h 1200.30 36000cm
Vaquário    36000            3
                     18000cm
   2            2
                                     3
Vaquáriocom pedras 1200.16,5 19800cm
V pedras 19800 18000 1800cm Letra C
                                3
Bibliografia
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati
  ca/geometria/prisma/prisma.htm
• Matemática – Volume Único: Iezzi,
  Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David;
  Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª
  edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.
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Áreas e elementos de prismas, paralelepípedos e cubos

  • 1.
  • 2.
  • 3. Relembrando Antes de começar a aula de hoje, precisamos rever alguns pontos de geometria plana e unidades de medidas: Área do retângulo: Área do quadrado: 2 A b.h A l
  • 4. Relembrando Diagonal do quadrado: Área do triângulo: d l 2 b.h A 2
  • 5. Relembrando Triângulo Equilátero: Altura l 3 h 2 Área 2 l . 3 A 4
  • 6. Relembrando Hexágono: Apótema: l 3 a 2 Área: 2 2 l . 3 l . 3 A 6. 3. 4 2
  • 7. Relembrando Comprimento da Área do círculo circunferência 2 c 2. .r A .r
  • 8. Relembrando Sendo o metro (m) a unidade de medida, temos: 1 m = 10 dm = 100 cm 1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2 1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3 Observação: 1 dm3 = 1 litro
  • 9. Prismas e Cilindros definição definição elementos elementos Cilindros Caso Cilindro Prismas retos particular equilátero retos Área da base Área da base áreas Área lateral áreas Área lateral Área total Área total volume Volume
  • 10. Prismas Prisma é uma sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as duas bases se situam em planos paralelos. Exemplos:
  • 11. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas prismas
  • 12. Prismas Podemos classificar um prisma quanto ao número de arestas da base. Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
  • 13. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triângulo prismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação
  • 14. Prismas Podemos classificar um prisma quanto à inclinação das arestas laterais. Oblíquos: arestas Retos: arestas laterais laterais oblíquas às perpendiculares às bases. bases.
  • 15. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triângulo prismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquos oblíquas à base Inclinação das arestas laterais Arestas laterais definição perpendiculares à base retos
  • 16. Prismas Os elementos de um prisma reto são:
  • 17. Prismas Note que todas as faces laterais dos prismas retos são retângulos
  • 18. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triângulo prismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquos oblíquas à base Inclinação das arestas laterais Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices retos base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura
  • 19. Paralelepípedos Paralelepípedos são prismas quadrangulares, cuja base é um paralelogramo. Quando as bases são retângulos, chamamos de paralelepípedo retângulo.
  • 20. Paralelepípedos Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo através do Teorema de Pitágoras ou pela fórmula: 2 2 2 D a b c
  • 21. Paralelepípedos Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a medida da sua diagonal.
  • 22. Exemplo Pelo Teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2 d 4 5 D 3 d d 2 16 25 D2 9 41 d 2 41 D2 50 D 5 2
  • 23. Exemplo Pela Fórmula: D a 2 b 2 c 2 2 2 2 D 3 4 5 D 9 16 25 D 50 D 5 2
  • 24. Paralelepípedos Caso particular: Cubo O cubo é um paralelepípedo reto retângulo, no qual todas as faces são quadrados, ou seja todas as arestas apresentam a mesma medida. D a 3
  • 25. Paralelepípedos Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo, cujo perímetro de uma face é 24 cm. Se o perímetro da é 24cm, então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm D a 3 D 6 3
  • 26. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos centímetros deve ser aumentada a medida da diagonal desse cubo, de modo a obter-se um novo cubo cuja aresta meça 6 cm.
  • 27. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos centímetros deve ser aumentada a medida da diagonal desse cubo, de modo a obter-se um novo cubo cuja aresta meça 6 cm.
  • 28. Solução 4 3 x 6 3 x 6 3 4 3 x 2 3
  • 29. Áreas do Prisma  Área da base: é a área do polígono que constitui a base. A) No prisma triangular. 2 b.h l . 3 Ab ou Ab 2 4
  • 30. Áreas do Prisma Exemplo: Calcule a área da base de um prisma triangular regular, sabendo que a altura do triângulo da base mede 4 3. l 3 h 4 3 l 8 2 2 2 l 3 8 3 Ab 16 3 4 4
  • 31. Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular. 2 Ab b.h Ab l
  • 32. Áreas do Prisma Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de 1,80 m de profundidade, foi instalada em um buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m. Calcule a área da base da piscina. Ab b.h 2 Ab 3.5 15cm
  • 33. Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal. 2 3l . 3 Ab 2
  • 34. Áreas do Prisma Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram uma pizza que veio em uma caixa de base hexagonal, calcule á área da base da caixa, sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm. 2 3l . 3 Ab 2 2 3.12 . 3 2 Ab 216 3cm 2
  • 35. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas
  • 36. Áreas do Prisma  Área lateral: é a soma das áreas das faces laterais. A) No prisma triangular Como temos 3 faces laterais, então Al 3.b.h .
  • 37. Áreas do Prisma Exemplo: O monumento de uma praça no norte da Croácia tem forma de um prisma triangular regular de altura igual a 7m. Calcule a área lateral do monumento, sabendo que a área da base mede 4 3 . 2 l 3 Ab 4 3 l 4m 4 2 Al 3.4.7 84m
  • 38. Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular Al 2ac 2bc Al 4.b.h
  • 39. Áreas do Prisma Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um designer colocará 2 portas e pintará todas as faces laterais. Calcule toda superfície que será pintada?
  • 40. Áreas do Prisma Al 2.2,1.0,6 2.0,4.0,6 Al 2,52 0,48 2 Al 3m
  • 41. Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal regular. Al 6.b.h
  • 42. Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonal regular está sendo testado por uma banda de reagge. Sabendo que as bases desse prisma devem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 a ser pintada de amarelo e verde. Al 6.b.h Al 6.50.30 2 2 Al 9000cm 0,9m
  • 43. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
  • 44. Áreas do Prisma  Área total: é a área de toda a superfície do prisma, portanto, é a soma das áreas das bases com a área lateral. At 2. Ab Al
  • 45. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais Área total 2Ab + Al
  • 46. Áreas do Prisma Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total do prisma.
  • 47. Áreas do Prisma 2 2 2 x 15 8 2 x 225 64 2 x 289 x 17 At 2. Ab Al 15.8 At 2. 15.20 8.20 17.20 2 2 At 120 300 160 340 920cm
  • 48. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que a sua área total é 216 3 dm2 e que a sua altura é igual ao apótema da base.
  • 49. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que a sua área total é 216 3 dm2 e que a sua altura é igual ao apótema da base.
  • 50. Solução At 216 3 2. Ab Al 216 3 2 3.l 3 2. 6.b.h 216 3 2 3.l 2 3 l 3 2. 6.l. 216 3 2 2 2 2 3l 3 3l 3 216 3 6l 2 3 216 3 l 6dm
  • 51. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cm de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o ponto médio da aresta DF, calcule o seno do ângulo B M E .
  • 52. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cm de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o ponto médio da aresta DF, calcule o seno do ângulo B M E .
  • 53. Solução l 3 2 2 2 EM BM 5 6 5 5 2 sen x BM 2 150 25 5 7 10 2 3 EM BM 2 175 7 2 sen x 7 EM 5 6 BM 5 7
  • 54. Áreas do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as faces com a mesma área, então: 2 At 6.l
  • 55. Áreas do Prisma Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm. Calcule a área total. l 3 12 l 4 3 2 At 6.l 2 At 64 3 2 At 288cm
  • 56. Volume do Prisma O volume de todo prisma é o produto entre a área da base e a altura. V Ab .h
  • 57. Volume do Prisma Exemplo: Determine o volume da piscina ilustrada abaixo: 3 V Ab .h 300.150.50 2250000cm 3 V 2250dm 2250l
  • 58. Volume do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as arestas com a mesma medida, então: V Ab .h 2 3 V a .a V a
  • 59. Volume do Prisma Exemplo: Um tanque cúbico sem tampa será revestido internamente com uma massa impermeabilizante. Calcule o volume do tanque, sabendo que a área da superfície a ser revestida é 125m2. área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2  125 = 5l2  l = 5 m Logo, V = l3 = 53 = 125m3
  • 60. Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais Área total 2Ab + Al volume V = Ab . h
  • 61. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica. O volume dessa caixa é: a) 64 dm3 b) 40 cm3 c) 96 dm3 d) 160 cm3 e) 55 dm3
  • 62. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica. O volume dessa caixa é: a) 64 dm3 b) 40 cm3 c) 96 dm3 d) 160 cm3 e) 55 dm3
  • 63. Solução 3 At 0,96 V a 2 3 6a 0,96 V 0,4 2 3 a 0,16 V 0,064m a 0,4m V 64dm 3 Letra A
  • 64. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a medida da altura desse prisma é 10 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, mede: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
  • 65. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a medida da altura desse prisma é 10 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, mede: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
  • 66. Solução 2 2 2 5 3 x 2 25 9 x 2 x 16 x 4 b.h 3.4 V Ab .h .h .10 60 Letra A 2 2
  • 67. Cilindros Cilindros retos são sólidos de revolução, obtidos através do giro de um retângulo.
  • 68. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo Cilindros retos
  • 69. Cilindros Os elementos do cilindro reto são:
  • 70. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros retos
  • 71. Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. O cilindro equilátero apresenta altura com a mesma medida do diâmetro da base.
  • 72. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero
  • 73. Áreas do Cilindro  Área da base: é a área do círculo que constitui a base. 2 Ab .r
  • 74. Áreas do cilindro Exemplo: Determine a área da base de um cilindro cujo raio do círculo da base mede 4cm. 2 Ab .r 2 Ab .4 2 Ab 16 cm
  • 75. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas
  • 76. Áreas do Cilindro  Área lateral: é a área da superfície lateral planificada. Al 2. .r.h
  • 77. Áreas do Cilindro Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é construído, a base cilíndrica não é de madeira e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a área da superfície revestida de madeira. Al 2. .r.h Al 2.3,14.40.70 2 Al 17,684 18cm
  • 78. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh
  • 79. Áreas do Cilindro  Área total: é a área de toda a superfície do prisma, portanto, é a soma das áreas das bases com a área lateral. At 2. Ab Al
  • 80. Áreas do Cilindro Exemplo: Determine a área total de um cilindro reto, cujo perímetro da base mede 10π cm, igual a medida da altura. 2. .r 10 r 5cm Ab .r 2 25 At 2. Ab Al 2 Al 2. .r.h At 2.25 250 2 Al 2. .5.10 At 50 250 2 Al 250 At 50 1 2
  • 81. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh Área total At = 2Ab + Al
  • 82. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
  • 83. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
  • 84. Solução d 6cm r 3cm e h 18cm At 2 Ab Al 2 At 2. .r 2. .r.h 2 At 2. .3 2. .3.18 At 18. 108. At 126. 126.3,14 At 395,64 396cm 2 Letra A
  • 85. Áreas do Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. Como o cilindro equilátero apresenta altura com a mesma medida do diâmetro da base, então: 2 Al 2. .r 2r Al 4. .r 2 2 2 2 At 4. .r 2. . r At 6. .r
  • 86. Áreas do Cilindros Exemplo: Calcule a área lateral e a área total de um cilindro reto equilátero, cujo raio da base mede 5 cm. 2 2 Al 4. .r 4. .5 100 2 2 At 6. .r 6. .5 150
  • 87. Volume do Cilindro O volume de todo cilindro é o produto entre a área da base e a altura. V Ab .h
  • 88. Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo, em litros, sabendo que é um cilindro reto, o diâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm. 1m 10dm r 5dm 50cm 5dm V Ab .h V .52.5 V 125 litros
  • 89. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Como o cilindro equilátero apresenta a altura com a mesma medida do diâmetro da base, então: V Ab .h 2 3 V .r 2.r V 2. .r
  • 90. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Exemplo: Um cilindro equilátero de volume 128π litros, tem diâmetro de quantos centímetros? V Ab .h 3 3 128 2. .r 128 2r 3 r 64 r 4dm 40cm
  • 91. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh Área total At = 2Ab + Al Volume V = Ab . h
  • 92. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para 6280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base do reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
  • 93. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para 6280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base do reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
  • 94. Solução 3 3 V 6280l 6280dm 6,280m r 1m V Ab .h 3 2 6,280m 3,14.1 .h 6,28 h 2m Letra D 3,14
  • 95. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o gelo derreter completamente, a altura da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
  • 96. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o gelo derreter completamente, a altura da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
  • 97. Solução 3 3 3 Vcubo a 3 27cm 3 Vcilindro 27.9cm 2 Vcilindro .r .h 2 27.9 3,14.3 .h 27 h 8,59 8,5cm Letra A 3,14
  • 98. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade da sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das pedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
  • 99. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade da sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das pedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
  • 100. Solução h 30cm e Ab 1200cm 2 3 Vaquário Ab .h 1200.30 36000cm Vaquário 36000 3 18000cm 2 2 3 Vaquáriocom pedras 1200.16,5 19800cm V pedras 19800 18000 1800cm Letra C 3
  • 101. Bibliografia • http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati ca/geometria/prisma/prisma.htm • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464. • Figuras: google imagens