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GEOMETRIA PLANA APOSTILA
04
1. INTRODUÇÃO
Os estudos iniciais sobre Geometria Plana
estão relacionados à Grécia Antiga,
também pode ser denominada Geometria
Euclidiana em homenagem a Euclides de
Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande
matemático educado na cidade de Atenas. Os princípios
que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram
baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano.
2. POLÍGONOS E AS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
Polígono é uma figura plana formada por três ou mais
segmentos chamados lados de modo que cada lado tem
interseção com somente outros dois lados próximos, sendo
que tais interseções são denominadas vértices do polígono
e os lados próximos não são paralelos.
Através de conceitos primitivos, como ponto, reta e plano,
podemos formar os mais variados polígonos, dentre os
quais temos:
Polígono convexo Polígono não convexo
O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus
lados.
3. TRIÂNGULOS
Os triângulos são figuras geométricas que ocupam o
espaço interno limitado por três segmentos de reta que
concorrem, dois a dois, em três pontos diferentes formando
três lados e três ângulos internos que somam 180°. Os
triângulos podemos ser classificados de duas maneiras:
Quanto aos lados
Equilátero Isósceles Escaleno
Quanto aos ângulos
Acutângulo Obtusângulo Retângulo
Área e perímetro de um triângulo
A formas de se calcular a área ( ) e o perímetro ( ) de
um triângulo varia de acordo com a sua classificação ou do
problema proposto.
. . Â
2
.
2
√3
4
3.
Podemos ainda calcular a área de um triângulo qualquer,
quando sabemos seus lados, através da Fórmula de
Heron:
. . . , !"#$
%
4. QUADRILÁTEROS CONVEXOS
Retângulo
O Retângulo é um
quadrilátero de 4 lados e
ângulos internos iguais a 90°,
sendo que pode ser de dois
tipos: lados iguais ou lados
adjacentes diferentes.
Área & Perímetro &
& . & %.
Quadrado
O Quadrado é um caso particular de
retângulo. Possui todos os lados
iguais.
Área ' Perímetro '
(
%
( ).
Paralelogramo
O Paralelogramo é
quadrilátero de 4 lados,
cujos lados paralelos
devem ser congruentes.
Área Perímetro
. * %.
Losango
O Losango é um
quadrilátero de 4 iguais, tal
que suas diagonais são
sempre perpendiculares.
Área + Perímetro +
+
,. #
% + ).
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04
Trapézio
O Trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos
correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor.
Pode ser classificado em:
Trapézio retângulo Trapézio isósceles Trapézio escaleno
Área -. Perímetro -.
-.
/ . *
% -. / %. +
Quando o trapézio é retângulo sua altura é o lado
perpendicular a horizontal.
Hexágono
O Hexágono é um polígono formado
por seis lados. Caso seja regular, pode
ser decomposto em seis triângulos
equiláteros. Logo, para calcular sua
área basta calcular a área de um
triângulo equilátero e multiplicar por 6.
Área *$0 Perímetro 1$0
1$0 2 ∙
%
√
) 1$0 2.
Circunferência e círculo
Uma circunferência é o
lugar geométrico dos pontos
de um plano que equidistam
de um ponto fixo. O ponto
fixo é chamado de centro (C)
e a equidistância de raio (r)
da circunferência.
Já o Círculo é a região delimitada por uma circunferência.
Área do círculo 4 Comprimento da circunferência 4
4 5.%
4 %5.
Questão 1
O quadrilátero ABCD é um
quadrado de área 4m². Os
pontos M e N estão no meio dos
lados a que pertencem.
Podemos afirmar que a área do
triângulo em destaque é, em m²:
A) 1,5
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 4
Questão 2
Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo
de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de
20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na
figura a seguir. A área desse terreno, em m², é:
A) 200
B) 225
C) 200√2
D) 225√3
E) 200√3
Questão 3
Um fazendeiro, percorrendo com um carro todo o contorno
de sua fazenda, de forma retangular, perfaz exatamente 26
km. A Área ocupada pela fazenda é de 40 km². Quais são
as dimensões da fazenda?
A) 2 km e 4 km
B) 3 km e 4 km
C) 5 km e 7 km
D) 4 km e 8 km
E) 5 km e 8 km
Questão 4
Observe as figuras:
Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e
lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com
todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que
o telhado avança 12cm na parte da frente da casa.
Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do
telhado dessa casa é de:
A) 1,44 m²
B) 0,72 m²
C) 0,96 m²
D) 1,22 m²
E) 1,45 m²
Questão 5
Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato
retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar
cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando
o que foi dito, o número mínimo de cerâmicas que serão
usadas é igual a:
A) 3100
B) 2100
C) 1500
D) 1000
E) 500
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04
Questão 6
Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de
comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada
de 2m de largura, porém tendo os cantos formando
triângulos, como mostra a figura.
A área (em m²) dessa região ladrilhada, que está marcada
na figura, é
A) 72.
B) 80.
C) 88.
D) 120.
E) 152.
Questão 7
A área de uma sala com a forma da figura a seguir é de:
A) 30 m²
B) 26,5 m²
C) 28 m²
D) 24,5 m²
E) 22,5 m²
Questão 8
Na figura, tem-se um quadrado de área igual a 4 u.a., um
círculo inscrito e um círculo circunscrito. A área da região
sombreada, em unidades de área, é igual a:
A) 6
B) 26
C) 36
D) 46
E) 56
Questão 9
Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte
desafio:
Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na
Rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o
valor do ângulo  da figura a seguir:
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá
fotografar a construção localizada no número:
A) 990.
B) 260,1.
C) 999.
D) 1026.
E) 1260.
Questão 10
No retângulo da figura a seguir, aumentando-se de 6 cm o
lado maior e de 3 cm o lado menor, a área aumenta
102 cm². O valor de x, em centímetros, é
A) 5,5
B) 6,0
C) 6,5
D) 7,0
E) 7,5
Questão 11
Qual a medida da área do quadrilátero ABCD
ilustrado a seguir?
A) 4√21 24
B) √84 2
C) 45
D) 28
E) 13
Questão 12
A planta de uma residência, apresentada no desenho,
abaixo, tem escala 1:80, ou seja, cada medida de 1 cm
corresponde a uma medida de 80 cm na dimensão real.
Considerando as informações e ilustração acima, é correto
afirmar que a área real da parte ocupada pela COPA é igual
a:
A) 75,01 m²
B) 79,36 m²
C) 86,12 m²
D) 90,42 m²
E) 96,21 m²
Questão 13
A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83
cm². Qual é a área do quadrado maior?
A) 20 cm²
B) 36 cm²
C) 42 cm²
D) 49 cm²
E) 64 cm²
X + 1
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Geometria Plana (AP 04)

  • 1. PROEBE – Tv. Santo Antônio, nº 1190, fone: (91) 81448701 Acesse nossa página: http://proebe.blogspot.com.br MATEMÁTICA II ProfProfProfProf. GIANCARLO. GIANCARLO. GIANCARLO. GIANCARLO –––– PRISE IIPRISE IIPRISE IIPRISE II GEOMETRIA PLANA APOSTILA 04 1. INTRODUÇÃO Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas. Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. 2. POLÍGONOS E AS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS Polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. Através de conceitos primitivos, como ponto, reta e plano, podemos formar os mais variados polígonos, dentre os quais temos: Polígono convexo Polígono não convexo O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. 3. TRIÂNGULOS Os triângulos são figuras geométricas que ocupam o espaço interno limitado por três segmentos de reta que concorrem, dois a dois, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Os triângulos podemos ser classificados de duas maneiras: Quanto aos lados Equilátero Isósceles Escaleno Quanto aos ângulos Acutângulo Obtusângulo Retângulo Área e perímetro de um triângulo A formas de se calcular a área ( ) e o perímetro ( ) de um triângulo varia de acordo com a sua classificação ou do problema proposto. . . Â 2 . 2 √3 4 3. Podemos ainda calcular a área de um triângulo qualquer, quando sabemos seus lados, através da Fórmula de Heron: . . . , !"#$ % 4. QUADRILÁTEROS CONVEXOS Retângulo O Retângulo é um quadrilátero de 4 lados e ângulos internos iguais a 90°, sendo que pode ser de dois tipos: lados iguais ou lados adjacentes diferentes. Área & Perímetro & & . & %. Quadrado O Quadrado é um caso particular de retângulo. Possui todos os lados iguais. Área ' Perímetro ' ( % ( ). Paralelogramo O Paralelogramo é quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos devem ser congruentes. Área Perímetro . * %. Losango O Losango é um quadrilátero de 4 iguais, tal que suas diagonais são sempre perpendiculares. Área + Perímetro + + ,. # % + ).
  • 2. PROEBE – Tv. Santo Antônio, nº 1190, fone: (91) 81448701 Acesse nossa página: http://proebe.blogspot.com.br MATEMÁTICA II ProfProfProfProf. GIANCARLO. GIANCARLO. GIANCARLO. GIANCARLO –––– PRISE IIPRISE IIPRISE IIPRISE II GEOMETRIA PLANA APOSTILA 04 Trapézio O Trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. Pode ser classificado em: Trapézio retângulo Trapézio isósceles Trapézio escaleno Área -. Perímetro -. -. / . * % -. / %. + Quando o trapézio é retângulo sua altura é o lado perpendicular a horizontal. Hexágono O Hexágono é um polígono formado por seis lados. Caso seja regular, pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros. Logo, para calcular sua área basta calcular a área de um triângulo equilátero e multiplicar por 6. Área *$0 Perímetro 1$0 1$0 2 ∙ % √ ) 1$0 2. Circunferência e círculo Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo. O ponto fixo é chamado de centro (C) e a equidistância de raio (r) da circunferência. Já o Círculo é a região delimitada por uma circunferência. Área do círculo 4 Comprimento da circunferência 4 4 5.% 4 %5. Questão 1 O quadrilátero ABCD é um quadrado de área 4m². Os pontos M e N estão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a área do triângulo em destaque é, em m²: A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4 Questão 2 Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a seguir. A área desse terreno, em m², é: A) 200 B) 225 C) 200√2 D) 225√3 E) 200√3 Questão 3 Um fazendeiro, percorrendo com um carro todo o contorno de sua fazenda, de forma retangular, perfaz exatamente 26 km. A Área ocupada pela fazenda é de 40 km². Quais são as dimensões da fazenda? A) 2 km e 4 km B) 3 km e 4 km C) 5 km e 7 km D) 4 km e 8 km E) 5 km e 8 km Questão 4 Observe as figuras: Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12cm na parte da frente da casa. Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa é de: A) 1,44 m² B) 0,72 m² C) 0,96 m² D) 1,22 m² E) 1,45 m² Questão 5 Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a: A) 3100 B) 2100 C) 1500 D) 1000 E) 500
  • 3. PROEBE – Tv. Santo Antônio, nº 1190, fone: (91) 81448701 Acesse nossa página: http://proebe.blogspot.com.br MATEMÁTICA II ProfProfProfProf. GIANCARLO. GIANCARLO. GIANCARLO. GIANCARLO –––– PRISE IIPRISE IIPRISE IIPRISE II GEOMETRIA PLANA APOSTILA 04 Questão 6 Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura. A área (em m²) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura, é A) 72. B) 80. C) 88. D) 120. E) 152. Questão 7 A área de uma sala com a forma da figura a seguir é de: A) 30 m² B) 26,5 m² C) 28 m² D) 24,5 m² E) 22,5 m² Questão 8 Na figura, tem-se um quadrado de área igual a 4 u.a., um círculo inscrito e um círculo circunscrito. A área da região sombreada, em unidades de área, é igual a: A) 6 B) 26 C) 36 D) 46 E) 56 Questão 9 Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na Rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o valor do ângulo  da figura a seguir: Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a construção localizada no número: A) 990. B) 260,1. C) 999. D) 1026. E) 1260. Questão 10 No retângulo da figura a seguir, aumentando-se de 6 cm o lado maior e de 3 cm o lado menor, a área aumenta 102 cm². O valor de x, em centímetros, é A) 5,5 B) 6,0 C) 6,5 D) 7,0 E) 7,5 Questão 11 Qual a medida da área do quadrilátero ABCD ilustrado a seguir? A) 4√21 24 B) √84 2 C) 45 D) 28 E) 13 Questão 12 A planta de uma residência, apresentada no desenho, abaixo, tem escala 1:80, ou seja, cada medida de 1 cm corresponde a uma medida de 80 cm na dimensão real. Considerando as informações e ilustração acima, é correto afirmar que a área real da parte ocupada pela COPA é igual a: A) 75,01 m² B) 79,36 m² C) 86,12 m² D) 90,42 m² E) 96,21 m² Questão 13 A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm². Qual é a área do quadrado maior? A) 20 cm² B) 36 cm² C) 42 cm² D) 49 cm² E) 64 cm² X + 1 X + 5