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Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2° Ano
Semelhança de triângulos

Os triângulos e suas aplicações no
cotidiano
Você já parou para imaginar como seria a nossa
vida sem as formas triangulares?
? ? ? ? ?
Já se perguntou sobre as utilidades delas para o
mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que
você frequenta, onde estas formas estão presentes?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio

O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos
ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial
para entender suas utilidades.
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos
práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
Imagem:
Ottre
/
Domínio
Público
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Attribution-Share Alike 2.0 Generic
Imagem: 1sttimeright / GNU Free Documentation License

É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta.
Veja:
Imagem: Timeroot / GNU Free
Documentation License
Imagem:
Werewombat
/
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License
Imagem:
Sh
Sharayan
/
Walters
Art
Museum
/
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License

Imagem: Erik Christensen / GNU Free
Imagem:
Qurren
/
GNU
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Documentation
License
Imagem: Matteo / Creative Commons
Attribution 2.0 Generic

Tipos de triângulos
É importante lembrar também que um triângulo
pode ser classificado “simultaneamente”, de
acordo com seus lados e ângulos.

Quanto aos lados, os triângulos podem ser
classificados em:
Triângulo equilátero:
Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.
Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou
seja, possui ângulos congruentes.
Observação:
Imagem:
Img
/
GNU
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Documentation
License

Triângulo isósceles:
Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois
ângulos congruentes.
• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não
somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º;
• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os
demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Observações:
Imagem:
Darsie
/
GNU
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Documentation
License

Triângulo Escaleno:
Quando possui as medidas dos três lados diferentes.
Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem
medidas diferentes.
Imagem:
Img
/
GNU
Free
Documentation
License

É importante lembrar também que, quanto aos
ângulos, os triângulos podem ser classificados em:
Triângulo retângulo:
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos
são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
Imagem: E2m / Domínio Público

Triângulo obtusângulo:
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e
dois ângulos agudos (menores que 90º).
Imagem: E2m / GNU Free

Triângulo acutângulo:
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são
agudos (formando 180°).
Imagem: Darsie / GNU Free

Congruência e semelhança
Observe as figuras abaixo:
Fig.A Fig.B
As figuras acima são congruentes, pois possuem
mesma forma e lados correspondentes com medidas
iguais, o que leva a deduzir que os ângulos
correspondentes também possuem medidas iguais.
4,5m 6,2m
6m
4,5m 6,2m
6m
Y
α
β

Agora observe as seguintes figuras:
Fig. A Fig. B
Note que os lados correspondentes dos
triângulos A e B são proporcionais, pois
as razões entre as medidas dos mesmos
são iguais, ou seja:
13,5 = 3 18 = 3 18,6 = 3
4,5 6 6,2
Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus
ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus
lados são proporcionais.
13,5m 18,6m
18m
Y
α
β
4,5m 6,2m
6m
Y
α
β

Como reconhecer triângulos
semelhantes?
Para saber se dois triângulos são semelhantes,
basta observar se eles obedecem a um dos
seguintes casos:

1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se correspondem são
respectivamente congruentes.”
A C
B
R
Q
P
^ ^
^ ^
ABC ~ PQR

2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são
proporcionais e quando os ângulos determinados por estes lados são congruentes.”
A C
B
R
Q
P
^ ^
ABC ~ PQR

3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se correspondem são
proporcionais.”
ABC ~ PQR
A
C
B
R
Q
P

Teorema de Tales:
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os
segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos
correspondentes determinados sobre a outra.
Observe a situação abaixo:
Analisando a figura ao lado pelo
teorema mencionado acima,
conclui-se que:
Ou também que:

Desafio:
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão
distribuídas conforme mostra a figura abaixo:
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas
entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e
água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?
Início da rua
Fim da rua
Calçada
200m
250m
300m
x
Calçada
Esgoto/Água

Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
A rede de água mede 500
metros, pois:
200 + 300 = 500
Já a rede de esgoto mede
625 metros, porque:
250 + 375 = 625
200 = 250
300 X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000
200
X = 375 metros
Resposta: a rede de esgoto, pois,
mede 125 metros a mais que a rede
de água.

Segmentos proporcionais determinados
num triângulo
1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo,
de modo que intercepte os outros dois lados em pontos
distintos, determina, nesses dois lados, segmentos
proporcionais.
Sendo assim:
A
B
C
P Q
r
r//AC BP, PA, BQ E QC são
proporcionais.

2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos
proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.
Desta forma:
BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são
proporcionais.
x x
A
B
C
D

Vamos ver como estas propriedades funcionam:
A
B
C
P Q
r
3cm
9cm
12cm
x
Solução:
1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.

A
B
C
D
5cm 6cm
3cm X
Solução:
2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B
do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC

Relações métricas no triângulo
retângulo:
Imagem: E2m / Domínio Público
a2 = b2 + c2
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a = m + n
Em um triângulo qualquer:

Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros
triângulos que determinam as relações métricas:
Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
Teorema de Pitágoras:
c
h
n
m
h
b
c
n m
h
b
A
B
C D
A’ A’’
B C C D
a
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a2 = b2 + c2

Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é
possível descobrir as outras quatro aplicando as relações
métricas vistas anteriormente. Veja:
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as
medidas desconhecidas da figura abaixo:
Note que todas as medidas
desconhecidas foram encontradas por
meio das relações métricas
demonstradas anteriormente.
c
n 9,6m
h
12m
B
C D a
A
c2 = na
c2 = 15.5,4
c2 = 81
c2 = 9m
h2 = mn
h2 = 9,6.5.4
h2 = 7,2n
b2 = ma
122 = 9,6a
a = 144/9,6
a = 15m
a = m + n
15 = 9,6 + n
n = 19 - 9,6
n = 5,4m

Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante
em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a
altura do prédio?
2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros
menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a
figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e
que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote,
para a rua 2, respectivamente?
a) 40m; 80m; 120m; 160m
b) 45m; 85m; 125m; 165m
c) 48m; 96m; 144m; 192m
d) 55m; 95m; 135m; 175m
e) 60m; 100m; 140m; 180m
120m
90m
60m
30m
Rua 1

.
8
6
x
y
3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura
abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.
A diferença de x- y é:
A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12
r
s
t
4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente:
a) 25cm e 13 cm
b) 4/3 e 16/3
c) 20 cm e 12 cm
d) 40cm e 24 cm
e) 40 cm e 28 cm
F
D
C
X A
B
32 cm
24 cm
18 cm y
70 cm

SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
1º) solução:
Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra
projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra
projetada pela mesma, temos:
Lembre-se de que os raio de sol se
propagam na Terra por linhas
paralelas, o que faz com que a
altura do prédio seja proporcional à
sua sombra, assim como a Altura
de Juliana é proporcional à sombra
projetada pela mesma.
Sendo assim, conclui-se que a
altura do prédio é de 11
metros.
Sp = 41,25m
Hp = x
Hj = 1,8m
Sj = 6,75m

2º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
120m
90m
60m
30m
Rua 1
x
y
z
w
Marcando as medidas a serem
conhecidas
Note que o comprimento da rua 1
Na figura é R1=30+60+90+120
R1 = 300m
Aplicando o Teorema de Tales:
Pela proporção, conclui-se que:
y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m

3º) solução:
Alternativa C.
8
6
x
y
Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14,
Aplicando o Teorema de Tales teremos:
r
s
t

4º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
F
D
C
X A
B
32 cm
24 cm
18 cm y
70 cm
Note que que na figura os triângulos ABF e
CDF são semelhantes e que FC = 42 cm,
Desta forma:

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de semelhança de triângulos
propostos a seguir:
3cm 4cm
5cm
6cm
X
Y

Os triângulos anteriores
podem ser definidos
como semelhantes a
partir da relação:
ÂNGULO/ ÂNGULO

5
X
12
Y
9
3
B)

Como você pôde notar, há várias situações-
-problema do cotidiano que podem ser resolvidas a
partir do conhecimento de algumas propriedades
dos triângulos.
Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora
de pesquisar nos livros outros exercícios para
treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.
Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!

Tabela de Imagens
n° do
slide
direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso
3a Ottre / Domínio Público http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vietnamese_wooden_cei
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3b John Fielding / Creative Commons Attribution-Share Alike
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k_Penistone_-_geograph.org.uk_-_482429.jpg
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3c 1sttimeright / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billiard_Rack.jpg 17/09/2012
4a Timeroot / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_cupola_net.P
NG
17/09/2012
4b Werewombat / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multnomah_Falls_Lodge
_triangular_window_-_Oregon.jpg
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4c Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sh_Sharayan_-
_Triangular_Pendant_from_a_Woman%3Fs_Headpiece_-
_Walters_572314_-_Back_Detail_A.jpg
17/09/2012
5a Erik Christensen / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nor%C3%B0rag%C3%B8t
a,_Faroe_Islands_(3).JPG
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e_tower_construction.jpg
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5c Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 Generic http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Woman_with_wheelbarr
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7 Img / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-
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9 Img / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-
Scaleno.png
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10 E2m / Domínio Público http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2n
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11 E2m / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-
Ottuso.png
17/09/2012
12 Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Acu
te.png
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26 E2m / Domínio Público http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2n
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