Caro Professor,Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes darede estadual de ensino....
GABARITO                     Caderno do Aluno de Matemática – 1ª série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS NUM...
b) 2 (posições múltiplas de 3)     c) 3 (posições múltiplas de 5)5. A 7ª figura é igual à 1ª, a 8ª figura é igual à 2ª, e ...
10.     a) O período da sequência é de 6 termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto 0.     Assim, o termo (XXX) é igual a...
2.     a) (2, 5, 8, 11, 14)     b) 29     c) 59     d) Somando o termo inicial, 2, a certo número de termos sempre iguais ...
6.     a) Cada termo da sequência, a partir do 2º, é obtido pela divisão do anterior por 3.                               ...
Páginas 15 - 171.     a)       2,   3 , 2,   5, 6 .     b) Os cinco primeiros termos representados por números inteiros se...
5.     8
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICASPáginas 18 - 271.     a) ( I ) 15, 18, 21.     ...
l)   Resposta livre. Uma possibilidade de resposta é analisar os termos das     sequências apresentadas, observando alguma...
5. São PAs as seguintes sequências: a (razão: 3); c (razão: – 4); d (razão: 0); e            1     (razão: ).            2...
Neste caso, podemos obter uma fórmula de recorrência: a n  a n1  . 2 , e a fórmula  do termo geral: a n  3 . 2 n 1 ....
Páginas 28 - 311. A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão     da PA inventada.2...
b) A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, …) é uma PG, de razão                     60 000 72 000 86 400 10...
3.     a) 37     b) 61     c) 6n + 1 = p     d) 55     e) Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.Páginas 33 - 341. (7, 49, 3...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3     SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS;     APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRAPágin...
5.     a) 51 e 70.     b) Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela     como a que seg...
a n . q  a1 128 . 2  1     S=                            255. Portanto, a pilha terá 256 tábuas.              q 1    ...
b) Trata-se de calcular a soma dos 10 termos de uma PG em que a1 = 10 e     a10 = 10.1,29.     S=                        ...
R$ 200,00 depositados no 2º mês, de modo análogo, convertem-se em     R$ 270,00, ao final de sete meses de aplicação. Segu...
5. Trata-se de calcular a soma de termos em PG:     S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 . 10,23 + … + 1 000 . 1,0212 ...
S = 200 . (1,04 + 1,042 + 1,043 + … + 1,048)            1,04 8.1,04  1,04        1,04 . (1,04 8  1)   S = 200·          ...
O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o direito a pedir o que quisessecomo recompensa. Sissa fez ao rajá um...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PGDesafio!Páginas 49 - 50   Para responder a essas q...
Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parcelas da soma, nunca                                     8     ultrap...
100  d) Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer                          metros.                                     ...
7 16  Desse modo, a geratriz de 1,777… será 1 +      .                                               9 9                 ...
Matemática – 1ª série, 1o bimestre                                                                                  -   d)...
Matemática – 1ª série, 1o bimestre                                                                                       -...
Matemática – 1ª série, 1o bimestre                                                                            -c)	 É possí...
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2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito

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  1. 1. Caro Professor,Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes darede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo detodo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partirde 2010.As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, porleitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, quepostaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Notetambém que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicaçõesmais recentes.Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analiseas diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostasno Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.Bom trabalho!Equipe São Paulo faz escola. 1
  2. 2. GABARITO Caderno do Aluno de Matemática – 1ª série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS E GEOMÉTRICASPáginas 3 - 81. a) {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} b) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} c) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} d) {–2, –1, 0, 1, 2, 3, …}2. a) E = {0, 4, 8, 12, 16} b) F = {9, 11, 13, 15, 17} c) G = {–3, –2, –1, 0, 1} d) H = {4, 5, 6, 7, 8}3. Algumas possíveis respostas corretas: E = {4n, sendo n  N, e n < 5} F = {2n + 1, sendo n  N, e 4  n  8} G = {x  Z / – 4 < x < 2} H = {2n + 1 > 7, sendo n  N, e n < 9}4. a) 1 2
  3. 3. b) 2 (posições múltiplas de 3) c) 3 (posições múltiplas de 5)5. A 7ª figura é igual à 1ª, a 8ª figura é igual à 2ª, e assim por diante. Ou seja, cada período é formado por 6 figuras, portanto, a 152ª figura será igual à 2ª, pois tanto o número 2 (que indica a posição da 2ª figura) quanto o número 152 (que indica a posição da 152ª figura), quando divididos por 6, deixam resto 2. Conclusão, as figuras 1, 7, 13, 19, etc. são todas iguais à 1ª figura, pois os números 1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais à figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc., quando divididos por 6, deixam resto 3, e assim sucessivamente.6. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2 e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.7. O período é de 5 números. Assim, o 38º termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149º termo é igual a 3, pois a divisão de 149 por 5 deixa resto 4 e o quarto termo da sequência é o número 3.8. O período é de 7 dias. A divisão de 90 por 7 deixa resto 6, portanto o 90º dia será o sexto elemento da sequência dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90º dia será terça-feira.9. a) 6 . 10 + 120 = 180 árvores b) No 10º dia teremos um total de: 9 . 10 + 120 = 210 árvores. Assim, o número de árvores plantadas até o 10º dia será  S = 120 + 130 + 140 +... + 190 + 200 + 210. Como o número x representa o total previsto de árvores e o total das árvores plantadas até o 10º dia corresponde à metade desse total, teremos que: x = 1 650 . 2  x = 3 300 árvores. 3
  4. 4. 10. a) O período da sequência é de 6 termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto 0. Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3, D3 e D4. b) A quadrícula B2 é pintada 3 vezes a cada período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão 3 períodos e mais 1 termo. Portanto, a quadrícula B2 será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.Páginas 8 - 101. Resposta livre.2. As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e (1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 409, …).3. Resolvendo a equação de 2º grau encontraremos como raízes os números: 3 e 5. A sequência será, portanto: (–3, –1, 1, 3, 5). Assim, os dois primeiros termos serão –3 e –1, respectivamente.Páginas 10 - 151. 1 2 3 4 5 a) , , , , . 4 5 6 7 8 9 b) . 12 54 c) . 57 d) Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é igual a n e o n denominador é 3 unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, a n  . n3 4
  5. 5. 2. a) (2, 5, 8, 11, 14) b) 29 c) 59 d) Somando o termo inicial, 2, a certo número de termos sempre iguais a 3. Para obter um termo n qualquer devemos somar o primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a 3. Assim, an = 2 + 3.(n – 1) = 3n – 1. Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para que a1 = 2 é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim, an = 3n – 1.3. a) (3, 6, 11, 18, 27) b) a8 = 82 + 2 = 66 c) a20 = 202 + 2 = 402 d) an = n2 + 24. 1 2 para n = 1  a1   3; 1 22 para n = 2  a 2   2; 2 32 5 para n = 3  a3   . 3 35. 11 a) a1  0 11 5 1 4 2 b) a5    51 6 3 8 1 7 c) a8   81 9 9 10  1 d) O termo pode ser escrito como . Portanto, ele é o 10º termo. 11 10  1 5
  6. 6. 6. a) Cada termo da sequência, a partir do 2º, é obtido pela divisão do anterior por 3. 1 1 Assim, o quinto termo será igual a 3  . 3 9 1 1 b) a6 = a5 ÷ 3 = 3  . 9 27 1 1 c) Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e é o 6º termo, é o 7º termo. 27 817. O termo geral da sequência é an  33n que poderá ser verificado com a substituição de n por números naturais maiores do que 0.8. a) O 10º termo é 18. b) O 15º termo é 28. c) a35 = 68 d) a101 = 200 e) 420 é o 211º termo. f) Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número natural maior do que 0.9. Os cinco primeiros termos serão: 1, 3, 5, 7, 9. a) a10 = 19 b) a13 = 25 c) a25 = 49 d) Fazendo 2n – 1, onde n é um número natural maior do que 0.10. a) O 6º termo é 62 = 36 b) a7 = 72 = 49 c) an = n2 6
  7. 7. Páginas 15 - 171. a) 2, 3 , 2, 5, 6 . b) Os cinco primeiros termos representados por números inteiros serão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito. a3 = 2 a8 = 3 a15 = 4 a24 = 5 a35 = 62. a) 30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30. b) c) 39² – 39 = 39.(39 – 1) = 39 . 38 = 1 4823. a) O 6º termo terá 36 quadrinhos e o décimo termo, 100 quadrinhos. b) n²4. a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 b) A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao total de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 5² = 25. c) 8² = 64 7
  8. 8. 5. 8
  9. 9. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICASPáginas 18 - 271. a) ( I ) 15, 18, 21. ( II ) 16, 19, 22. ( III ) 17, 20, 23. ( IV ) 64, –128, 256. ( V ) 1,0 ; 1,2 ; 1,4. ( VI ) 1 024, 4 096, 16 384. b) Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o 10º termo da sequência. c) Não, pois a sequência (I) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 0; a sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a divisão por um número natural diferente de 0 (divisão euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, não é possível que um mesmo número apareça em duas dessas sequências. d) O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da sequência (V) uma vez que é múltiplo de 0,2. e) A sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137, não é termo da sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2. f) an = 3(n – 1), n  N* g) an = 3n – 2, n  N* h) an = 3n – 1 , n  N* i) an = (–2)n, n  N* j) an = 0,2n, n  N* k) an = 4n–1, n  N* 9
  10. 10. l) Resposta livre. Uma possibilidade de resposta é analisar os termos das sequências apresentadas, observando algumas em que o passo constante é somado a cada termo, e outras em que o passo constante é multiplicado a cada termo.2. a) As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 0. Já a Copa do Mundo acontece em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 2 e os Jogos Pan-Americanos acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim, em 2118 aconteceria a Copa do Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam os Jogos Pan-Americanos (resto 3) e em 2017 não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1). b) Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3.3. Sequência crescente a) (–8, –2, 4, 10, 16) b) 40 c) 76 d) 106 e) 42 f) an = 6n – 144. a) 0,1 b) 0,5 c) 2,5 d) 25 e) an = 0,02 . 5n – 1 10
  11. 11. 5. São PAs as seguintes sequências: a (razão: 3); c (razão: – 4); d (razão: 0); e 1 (razão: ). 26. I) 5, 9, 13, 17, 21 II) 3, 15, 35, 63, 99 III) 2, 6, 18, 54, 162 IV) 2, 5, 8, 11, 14 São PAs as seguintes sequências: ( I ), com razão = 4, e ( IV ), com razão = 3. 17. São PGs: (I) de razão 3; (III) de razão ; (IV) de razão –2; (VI) de razão 2 . 38. I) 4, 7, 10, 13, 16 II) 2, 11, 26, 47, 74 III) 3, 6, 9, 12, 15 IV) 3, 6, 12, 24, 48 V) 3, 5, 7, 9, 11 (IV) é PG de razão 2. São PAs: (I) de razão 3, (III) de razão 3 e (V) de razão 2.9. a) 5ª figura: 48 quadradinhos, e 6ª figura: 96 quadradinhos. b) (3, 6, 12, 24, …) é PG, pois cada termo an é obtido da multiplicação do termo anterior an–1 por 2. c) Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 . 2n–1. 11
  12. 12. Neste caso, podemos obter uma fórmula de recorrência: a n  a n1  . 2 , e a fórmula do termo geral: a n  3 . 2 n 1 .10. a) A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a precedente: 4, 10, 16, 22, 28, … b) 28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40 c) 4 + 77 . 6 = 466 d) an = 4 + (n – 1).6 = 6.n – 211. a20 = 73. Para determinar o 20º termo de uma PA é suficiente adicionar ao 9º termo uma parcela que é igual ao produto 11 . 4, pois para “passar” do 9º ao 20º é necessário “avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11r. Não sendo necessário, portanto, encontrar antes o 1º termo para se obter o vigésimo.12. Em toda PA, temos a3  a2  a2  a1  4  x  x  8  x  2 . Com o mesmo raciocínio, escrevemos y – (– 4) = – 4 – x  y + 4 = – 4 –2  y = –10. Nesse caso, temos: (8, 2, – 4, –10). 12
  13. 13. Páginas 28 - 311. A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão da PA inventada.2. I) a8  2 187 1 II) a8  163. a12  5124. A altura de 18 m será considerada o 1º termo, isto é, a1 (ainda não houve salto). A partir deste termo teremos o 1º salto que corresponderá, portanto ao termo a2 e assim por diante. A altura atingida no 5º salto corresponde ao 6º termo de uma PG, em que o primeiro termo é igual a 80% de 18, e a razão é 0,8. Assim, a6 = 18 . 0,85  5,898 m. A altura do 10º salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 . 0,810  1,933 m.5. Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do antecessor e 1 do sucessor. Nesse caso, x  . 32  4 . Por outro lado, pela definição de PG, 2 y 32 y 32 1      y  256. Nesse caso, temos:  , 4, 32, 256  . 32 x 32 4 2 6. a) Inicialmente, vamos adotar a seguinte linguagem: P0: população inicial; P1: população 1 ano depois; P2: população 2 anos depois e assim por diante. P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000. P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000. Fazendo-se os demais cálculos, obtém-se a população P3 e P4: 86 400 e 103 680, respectivamente. 13
  14. 14. b) A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, …) é uma PG, de razão 60 000 72 000 86 400 103 680 1,2, pois     1,2. 50 000 60 000 72 000 86 400 Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conhecido, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2Pn c) P1 = 50 000 . 1,21 P2 = 50 000 . 1,21. 1,2 = 50 000.1,22 P3 = 50 000 . 1,22. 1,2 = 50 000.1,23 Assim, Pn= 50 000 . 1,2n. Essa fórmula pode ser generalizada para Pn = P0(1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.7. a) R$ 13 122,00 b) Pn = 20 000 . 0,9n Vale ressaltar que a taxa nesse problema é negativa. Se há uma depreciação de 10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior. Utilizando os resultados da atividade anterior, observamos que para calcular o preço do carro daqui a 1 ano é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por 0,9, pois P1 = P0(1 – 0,1) = P0 . 0,9.Páginas 31 - 331. a) B = {7, 10, 13, 16, 19, 22} b) Uma PA de razão 1. c) Uma PA de razão 3.2. a) D = {10, 5, 0, –5, –10, –15} b) Uma PA de razão –5. 14
  15. 15. 3. a) 37 b) 61 c) 6n + 1 = p d) 55 e) Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.Páginas 33 - 341. (7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.2. a) A = {11, 22, 33, 44, …, 99} PA de razão 11. b) Construindo-se o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …} temos a impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo, escrevendo mais alguns termos na sequência (…, 171, 181, 191, 201, 211, …) observamos que, na passagem do algarismo das centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada. A sequência dos números de três algarismos que iniciam por 2 seria: (202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passagem das centenas que terminam com algarismo 2 e começam com 3 (…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de palíndromos de 3 algarismos não é uma PA. 15
  16. 16. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS; APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRAPáginas 35 - 401. 4402. 7 9983. Os números inteiros divisíveis por 23, entre 103 e 850, formam a PA de razão 23: (115, 138, …, 828). Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.4. a) 1, 3, 6, 10, 15, … b) Cada termo é igual à soma dos termos anteriores. Pode-se concluir que é a regra de Hipsicles aplicada na composição dos números triangulares. c) Uma possível fórmula é an = an-1 + n d) 16
  17. 17. 5. a) 51 e 70. b) Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela como a que segue favorece a obtenção de uma fórmula de generalização: (2 20  1) (2 20  1)6. S 20  1.  S 20  1.  S 20  2  1 20 2 1 2 17. A razão da PG é 2. Portanto, 2 2  1 n  510  2 n  1  510  2  2 n  256  2 n  2 8  n  8 . Logo 2 1 x  a8  2 . 2 81  x = 256.8. a) A sequência da quantidade de tábuas colocadas é: 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … Para obter o total de tábuas ao final de 9 operações, será necessário calcular a soma dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, e, em seguida, acrescentar uma unidade. 17
  18. 18. a n . q  a1 128 . 2  1 S=   255. Portanto, a pilha terá 256 tábuas. q 1 2 1 b) A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 = 128 cm = 1,28 m9. Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57,50 + … + 77,50, que resulta R$ 765,00.10. a) Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95, e queremos determinar o 6º termo. a6 = 200 . 0,955 = 154,00 b) Devemos calcular a soma dos termos da PG. a n . q  a1 200 . 0,95 5  200 200 . 0,95 5  1 Sn     4 000 . 0,95 5  1  904,88 . q 1 0,95  1  0,05Páginas 40 - 421. a) an = 5n – 9 b) 282 (a1  a n ) . n (4  5n  9) . n 1 c) Sn =   . (5n 2  13n) 2 2 22. a) S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78 b) S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112 c) O 7º termo é a diferença entre S7 e S6. Portanto, a7 = 112 – 78 = 34 d) a1 = S1 = –2 a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4 A PA tem razão 6, e os primeiros termos são –2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.3. a) a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km. 18
  19. 19. b) Trata-se de calcular a soma dos 10 termos de uma PG em que a1 = 10 e a10 = 10.1,29. S=     a n . q  a1 10 .1,2 9 .1,2  10 10. 1,210  1    50 . 1,210  1  50.6,2  1 = 260 km. q 1 1,2  1 0,2Páginas 43 - 461.2. Tabela B Os R$ 200,00 depositados no 1º mês tornam-se R$ 210,00, no 2º mês, R$ 220,00, no 3º mês, e assim por diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00. Os 19
  20. 20. R$ 200,00 depositados no 2º mês, de modo análogo, convertem-se em R$ 270,00, ao final de sete meses de aplicação. Seguindo o raciocínio, o saldo final da aplicação será o resultado da adição dos valores da última coluna da tabela, que são os termos de uma progressão aritmética: Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + 260 + 270 + 280 210  280.8 Saldo final = = 1 960. 23. Tabela C A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1,05. S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + 1,056 + 1,057 + 1,058) a n . q  a1 S = 200 .  q 1 1,058 . 1,05  1,05 200 . 1,05  1 S  2 005,31, isto é, R$ 2 005,31.4. Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + … + 700 (520  700) .10 S=  1220 . 5  6 100 2 O resgate será de R$ 6 100,00. 20
  21. 21. 5. Trata-se de calcular a soma de termos em PG: S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 . 10,23 + … + 1 000 . 1,0212 S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + … + 1,0212) S = 1000. an .q  a1  1000. 1,0212.1,02  1,02  1000  1,02. 1,0212  1  q 1 1,02  1 0,02 S = 1 000 . 51.(1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27 = 13 770 Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.6. Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em PA, da seguinte maneira: S = 1,1X + 1,2X + 1,3X + … + 2,0X 15 500 = X . (1,1 + 1,2 + 1,3 + … + 2,0) a1  an .n 1,1  2,0.10 15 500 = X. = X. = X . 15,5  X = 1 000. 2 2 Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,007. O valor futuro da geladeira, em 6 meses, será igual a: 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 = 1 785. A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em: S = P.(1,03 + 1,032 + … + 1,036) Onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-se 1,036 .1,03  1,03 1,03 . 1,036  1 1 785 = P.  P.  P. 34,33.(1,066 – 1) = P . 34,33.0,19. 1,03  1 0,03 Assim: 1 785 = P . 6,5227  P = 273,65 Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65. LIÇÃO DE CASAPágina 471. a) O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG. 21
  22. 22. S = 200 . (1,04 + 1,042 + 1,043 + … + 1,048) 1,04 8.1,04  1,04 1,04 . (1,04 8  1) S = 200·  200.  200.26.(1,37  1)  1 924 1,04  1 0,04 Portanto, Júlia deu de entrada R$ 1 924,00. b) O valor financiado é igual à diferença entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja, R$ 3 076,00. Esse valor, em 5 meses, a 2% ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60. Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao mês deve, ao final, gerar montante equivalente a R$ 3 383,60. 3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025) 1,02 5.1,02  1,02 1,02(1,02 5  1) 3 383,60 = P·  P.  P . 51 . 0,10  P.5,1 1,02  1 0,02 3 383,60 = P.5,1  P = 663,45 Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.Página 48Lenda do Xadrez Conta-se que certa vez um rajá indiano, aborrecido com os jogos em que a sorteacabava determinando o vencedor, e não as estratégias e o raciocínio.Solicitou a umsábio de sua corte que inventasse um jogo em que prevalecesse essas características.Esse sábio, cujo nome era Sissa, inventou o xadrez que, como sabemos, é um jogo quevaloriza a sabedoria, o raciocínio lógico, a prudência e se opõe à aleatoriedade de umjogo de dados, por exemplo. Joga-se o xadrez sobre um tabuleiro quadriculado com 64 casas, no qual semovimentam peças de diferentes formatos, correspondendo cada um elemento doexército indiano: soldados (peões), Carros ( bispos), cavalo, elefantes ( torres) além deum rei e uma rainha. Sissa justificou que escolheu a guerra porque para vencer é necessários aspersistências, a ponderação, a sabedoria e a ousadia. 22
  23. 23. O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o direito a pedir o que quisessecomo recompensa. Sissa fez ao rajá um pedido aparentemente simples e fácil: queria 1grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 pelaterceira, 8 pela quarta casa, 16 pela quinta casa, 32 pela sexta casa e assimsucessivamente , sempre dobrando o número de grãos que foi colocado na casa anterioraté 64 casas. O rei não conseguiu cumprir sua promessa, pois o total de grãos erasimplesmente 18 446 7444 073 709 551 615, ou seja, a soma dos termos de uma PG de64 termos1+2+4+8+16+64+128+256+512+1 024+ 2 048+ 4 096+... + 9 223 372 036 854 775 808 Um número tão fantástico que seriam necessários alguns séculos para que a Terraproduzisse todo este trigo. Para alívio do rajá, Sissa disse que já sabia que sua recompensa não poderia ser paga,pois aquela quantidade daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma cama dequase uma polegada de espessura. 23
  24. 24. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PGDesafio!Páginas 49 - 50 Para responder a essas questões, é importante observar, inicialmente, que dado umtriângulo ABC com P e Q em pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente,então PQ é paralelo a AC e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para osdemais lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.a) Como PQR é um triângulo equilátero as medidas dos lados PQ, PR e RQ são todas iguais a 0,5. 3b) O perímetro do triângulo ABC é igual a 3, do PQR é igual a e o do triângulo STU 2 3 é . 4c) A sequência de triângulos assim construídos terão perímetros respectivamente iguais 3 3 3 3 a: (3, , , , , …). 2 4 8 16Páginas 51 - 53 11. O valor procurado corresponde ao limite da soma de uma PG de razão para o 4 número de termos tendendo a infinito. Podemos fazer: a1 2 8   lim S n    = 1 q 1 1 3 4 24
  25. 25. Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parcelas da soma, nunca 8 ultrapassaremos o valor , embora cada vez mais nos aproximemos dele. 32. 1 100 a) A razão é . A soma será igual a  . 10 11 1 4 b) A razão é . A soma será igual a . 2 53. Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as descidas: 2 2 Sdescida = 6 + 2 +   ... 3 9 Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as subidas: 2 2 Ssubida = 2 +   ... = 3 9 a1 2  3 lim S n    = 1 q 1 1 3 Observando que Sdescida = 6 + Ssubida temos que Sdescida = 6 + 3 = 9 Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a Sdescida + Ssubida = 12 m. x4. 2  18  x  27 1 1 4Páginas 53 - 561. a) (10; 1; 0,1; 0,01; …) b) 0,1 a1 10 10 100 c) lim S     metros. n    1 q 1  0,1 0,9 9 25
  26. 26. 100 d) Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer metros. 92. A expressão pode ser reescrita da seguinte forma: 1 1 1 1 1 1 1 1     .. . . . 2 2 . 2 4 . 2 8 . 2 16 . ...  2 2 4 8 16 1 Trata-se de calcular o limite da soma da PG de primeiro termo igual a e razão 2 1 igual a , cujo resultado é 1. Assim, o resultado da expressão é igual a 21 = 2. 23. Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enunciado, a dívida jamais seria paga, pois sempre restaria um resíduo por menor que fosse. Podemos, no entanto, calcular o limite da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor limite da dívida. Chamando de x o valor total da dívida, devemos verificar se a soma das parcelas resulta no valor total da dívida, isto é, x. x x x x x x a1 S =     ...   2  2 x. 2 4 8 16 1 q 1 1 1 2 24. Vamos decompor a dízima na seguinte soma: 1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + … Podemos escrever esta soma da seguinte forma: 7 7 7 1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …= 1 +    ... 10 100 1 000 7 7 7 Desse modo, concluímos que as parcelas , , , ... formam uma PG infinita 10 100 1 000 1 7 de razão q = e primeiro termo a1  . 10 10 lim S n a1 Assim, aplicando a fórmula do limite da soma  , obtemos: 1 q 7 7 lim S n = a1 7  10  10  . 1 q 1 1 9 9 10 10 26
  27. 27. 7 16 Desse modo, a geratriz de 1,777… será 1 +  . 9 9 AJUSTES Caderno do Professor de Matemática – 1ª série – Volume 1 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cadapágina. 27
  28. 28. Matemática – 1ª série, 1o bimestre - d) O conjunto D é formado por números caberá ao professor avaliar aquelas que apre- inteiros maiores ou iguais a –2. sentam maior grau de correção, valorizando- as. De qualquer maneira, apresentamos, a {–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. seguir, possíveis respostas corretas. Problema 2 E = {4n, sendo n ∈ N, e n < 5}. Quais são os cinco menores números que F = {2n + 1, sendo n ∈ N, e 4 ≤ n ≤ 8}.pertencem a cada um dos seguintes conjuntos? G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}. a) E é o conjunto dos números naturais H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N, e n < 9}. que são divisíveis por 4. A resolução e a discussão desses problemas E = {0, 4, 8, 12, 16}. iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de b) F é o conjunto dos números naturais termos de uma sequência numérica. Todavia, ímpares maiores do que 7. antes que isso seja implementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante F = {9, 11, 13, 15, 17}. que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algu- c) G é o conjunto dos números inteiros mas sequências. que, elevados ao quadrado, resultam em um número menor do que 10. A sequência dos números naturais é construída, como sabemos, pelo acréscimo G = { –3, –2, –1, 0, 1}. de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportu- d) H é o conjunto dos números naturais que, nidade de observar regularidades e perceber quando dobrados e somados a 1, resul- que, muitas vezes, é possível construir uma tam em um número maior do que 7. “receita” ou uma sentença que indique como a sequência deve continuar, o professor pode H = {4, 5, 6, 7, 8}. apresentar tipos diferentes de sequências Após a resolução desses e de outros proble- para que os alunos observem as proprieda-mas de mesma natureza, convém questionar des de seus elementos e descubram a lei deos alunos sobre como descrever, em linguagem formação, ou seja, o padrão utilizado para amatemática, os conjuntos E, F, G e H do Pro- construção da sequência. Oriente-os a cons-blema 2. O desafio pode ser lançado aos alu- truir uma sentença algébrica que permitanos a fim de que seja verificada a compreensão calcular um termo qualquer, em função deque podem ou não ter conseguido da atividade. sua posição na sequência (sequências, sob oEmbora possam ser aceitas diferentes respostas, ponto de vista funcional). 13
  29. 29. Matemática – 1ª série, 1o bimestre - Supondo que a lei de formação continue a árvores. No primeiro dia, foram plantadasmesma, desenhe as figuras que deverão ocu- 120 árvores, e planejou-se que, nos próximospar as posições 38a e 149a, nessa sequência. dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvoresJustifique sua resposta. a mais do que teria sido plantado no dia ante- rior. Isso sendo feito, A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão a) quantas árvores serão plantadas no séti- mo dia? de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto 6 . 10 + 120 = 180 árvores. que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1. b) qual é o número x, se, no final do déci- mo dia, havia-se plantado a metade do Problema 4 total previsto inicialmente? Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210 ⇒3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210a lei de formação dessa sequência, determine S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)o 38o e o 149o termos dessa sequência. Total de árvores = 1 650 . 2 x = 3300 O período é de cinco números. Assim, o 38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa Problema 7 resto 3, e o terceiro termo da sequência é o Observe os seis primeiros termos de número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a uma sequência. divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto (I) (II) termo da sequência é o número 3. 1 2 3 4 1 2 3 4 A A Problema 5 B B C C Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívi- D Dda exatamente daqui a 90 dias. Em que dia dasemana cairá o 90o dia? (III) (IV) 1 2 3 4 1 2 3 4 O período é de sete dias. A divisão de 90 A A B B por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será C C o sexto elemento da sequência dos dias da D D semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90o dia será terça-feira. (V) (VI) 1 2 3 4 1 2 3 4 Problema 6 A A B B Um processo de reflorestamento previa C Ca plantação de um número x de mudas de D D 15
  30. 30. Matemática – 1ª série, 1o bimestre -c) É possível que um mesmo número natu- g) Escreva o termo geral da sequência ral apareça em duas das três primeiras (II). sequências? Justifique. an = 3 . n – 2, n ∈ N*.Não, pois a sequência (I) é formadaapenas por números que, divididos por h) Escreva o termo geral da sequência3, deixam resto zero; a sequência (II) é (III).formada apenas por números que, divididospor 3, deixam resto 1; a sequência (III) é an = 3 . n – 1, n ∈ N*.formada apenas por números que, divididospor 3, deixam resto 2. Como a divisão i) Escreva o termo geral da sequência (IV).por um número natural diferente de zero(divisão euclidiana) não pode apresentar an = (– 2)n, n ∈ N*.dois restos distintos, não é possível queum mesmo número apareça em duas j) Escreva o termo geral da sequênciadessas sequências. (V).d) O número 1 087 é um termo de qual(is) an = 0,2 . n, n ∈ N*. sequência(s)? k) Escreva o termo geral da sequênciaO número 1  087 é um termo da sequência (VI).(II), pois a divisão de 1  087 por 3 deixaresto 1, e é também elemento da sequência an = 4n ÷ 4, n ∈ N*.(V), uma vez que é múltiplo de 0,2. l) Escolha um critério, justificando-o, e se- pare as seis sequências em dois grupos.e) Mostre que o número 137 não pertence à sequência (II). Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há, entre as sequências apresentadas,A sequência (II) é formada apenas por algumas em que o passo constante é somadonúmeros que, divididos por 3, deixam resto a cada termo e outras em que o passo1. Logo, o 137 não é termo da sequência constante é multiplicado a cada termo.(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa Todavia, poderão aparecer outros critérios, eresto 2. o professor deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos, mas, também, enfatizarf) Escreva o termo geral da sequência (I). a importância do reconhecimento do passo constante das sequências, seja ele somado ouan = 3 .(n – 1), n ∈ N*. multiplicado. 25

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