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GABARITO                          Caderno do Aluno         Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

     A NATUREZA DO NÚMERO PI ()




Páginas 5 - 6
1.
     a) π é definido como o resultado da divisão entre o comprimento da circunferência
     e seu diâmetro.
     b) A tampa poderia estar amassada e não constituir um círculo perfeito ou o
     processo de medida pode ter sido feito sem a precisão necessária.
     c) No método experimental, o valor de π está sujeito às imprecisões do objeto e do
     processo de medida. Usando a fórmula, é possível obter o valor de π com maior
     exatidão.


2.
     a) O resultado da fórmula se aproxima de 3,141 quanto maior for o número de
     parcelas consideradas.
     b) “Rapidamente, ela procurou fazer o cálculo, somando e subtraindo as frações
                                                                                               
     alternadamente. A soma saltava de um lado para outro, desde um pouco mais que
                                                                                               4
                                  
     até um pouco menos que           , mas depois de algum tempo ela pode perceber que essa
                                  4
     série de números seguia uma trilha lenta em direção à resposta correta.”
     (Observação: o objetivo principal desta questão é mostrar ao aluno o funcionamento
     de uma fórmula com infinitas parcelas, que se aproxima gradualmente do valor de π.
     Comente com os alunos que a fórmula descrita no texto resultava no valor
                       
     aproximado de         . Para obter o valor de π, ela teve que ser multiplicada por 4. O
                       4
     gráfico mostra os resultados parciais obtidos com essa fórmula, em função do
     número de parcelas consideradas.)



                                                                                                1
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3.
                           256                           25
     a) No antigo Egito:        3,161 / Na Mesopotâmia:     3,125
                            81                           8
                 377
     Ptolomeu:        3,14167 .
                 120
     O cálculo de Ptolomeu é o que mais se aproxima do valor de pi.
     b) O método desenvolvido por Arquimedes mostrou que é possível obter
     aproximações do valor de π tão precisas quanto desejarmos, bastando aumentar
     continuamente o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos.
     c) A letra π vem do alfabeto grego e foi escolhida por ser a primeira letra da palavra
     peripheria (περίμετρος), cujo significado é circunferência, ou seja, o contorno de um
     círculo.
     d) O uso dos computadores associado ao descobrimento de métodos de cálculo
     mais poderosos e eficientes.
     e) Ele conseguiu provar que não há nenhuma fração cujo resultado seja igual a pi.
     Por isso, pi é classificado como número irracional, cuja terminação decimal é infinita
     e não periódica.




Página 10
4. Para obter o valor de pi, basta dividir o perímetro dos hexágonos inscritos e
     circunscritos pelo diâmetro da circunferência.

     Perímetro do hexágono inscrito 6 . 3
                                         3
      Diâmetro da circunferência     2.3

     Perímetro do hexágono circunscrito 6 . 3,46
                                                 3,46
         Diâmetro da circunferência       2.3

     Usando hexágonos, obtemos o seguinte intervalo para o valor de : 3 <  < 3,46.


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Páginas 10 - 12
5.
     a) Não.
     b)




     c)




     Observação: nessa atividade, o mais importante é que o aluno entenda como se
     calcula a frequência relativa. Por essa razão, indicamos o uso da calculadora, pois
     isso agiliza a parte mecânica desse processo.

     d) É o algarismo 8, com frequência relativa de 12,3%.
     e) É o 7, com frequência relativa de 6,5 %.
     f)   A diferença é de 5,8 pontos porcentuais.


6. Há um equilíbrio maior entre as frequências dos algarismos de pi na segunda tabela
     em relação à primeira. Assim, é possível concluir que, quanto maior o número de
     dígitos, mais equilibrada é a distribuição dos algarismos.
                                                                                              3
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

A RAZÃO  NO CÁLCULO DO PERÍMETRO E DA ÁREA DO
CÍRCULO




Páginas 13 - 14
1.
     a) Em uma volta completa de uma circunferência de diâmetro igual a 1 unidade
     percorre-se 3,14 unidades.
     b) A circunferência de diâmetro 2 percorreria 6,28 unidades. A circunferência de
     diâmetro 10 percorreria 31,4 unidades.


     2.   C=2.π.r        e        C=π.D




Página 15
3. O diâmetro total do pneu do carro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda
     interna com o dobro da altura do pneu.
     Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm.


4 Conhecendo o diâmetro, é possível obter a medida da circunferência do pneu:
     C Pneu  3,14 . 64,75  203,315 cm .
     Assim, a distância percorrida pelo pneu em um giro completo da roda, com essas
     especificações, é de, aproximadamente, 2,03 metros.




Página 16
5.
     a) Roda de aro 15: 195/50 R15
                                                                                           4
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     Altura do pneu: 50% . 195 = 97,5 mm = 9,75 cm
     Diâmetro da roda interna: 15 . 2,54 = 38,1 cm
     Diâmetro total = 2 . 9,75 + 38,1 = 57,6 cm
     Circunferência da roda: 3,14 . 57,6 = 180,86 cm  1,81 m
     A roda 195/50R15 percorre 1,81 metro por giro. Portanto, percorrerá 1,81 km
     em 1 000 giros.
     b) Roda de aro 16: 205/60 R16
     Altura do pneu: 60% . 205=123 mm = 12,3 cm
     Diâmetro da roda interna: 16 . 2,54 = 40,64 cm
     Diâmetro total = 2 . 12,3 + 40,64 = 65,24 cm
     Circunferência da roda: 3,14 . 65,24 = 204,85 cm  2,05 m
     A roda 205/60R16 percorre 2,05 metros por giro. Portanto, percorrerá 2,05 km
     em 1 000 giros.
     c) Roda de aro 17: 210/65 R17
     Altura do pneu: 65% . 210 = 136,5 mm = 13,65 cm
     Diâmetro da roda interna: 17 . 2,54 = 43,18 cm
     Diâmetro total = 2 . 13,65 + 43,18 = 70,48 cm
     Circunferência da roda: 3,14 . 70,48 = 221,31 cm  2,21 m
     A roda 210/65R17 percorre 2,21 metros por giro. Portanto, percorrerá 2,21 km
     em 1 000 giros.




Páginas 17 - 18
6.
     a) Da atividade anterior, sabemos que a roda de aro 15 possui uma circunferência
     de 1,81 metro. Portanto, para que o hodômetro registre 1 km ou 1 000 metros serão
     necessários 1 000  1,81  552,5 giros da roda.
     b) Se para rodar 1 km o eixo gira 552,5 vezes, então, para rodar 200 km ele irá
     girar (200 . 552,5) = 110 500 vezes.
     c) Com as rodas de aro maior, o número de giros por quilômetro rodado será
     menor, pois serão necessárias menos voltas para se percorrer a mesma distância.

                                                                                            5
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     Portanto, se não houver um ajuste, o hodômetro deverá registrar uma quilometragem
     menor que 200 km.
     d) O comprimento da circunferência da roda de aro 17 é de 2,21 metros. Em
     1 quilômetro ou 1 000 metros, serão necessários 1 000  2,21  452,5 giros, menos
     do que com a roda de aro 15 (552,5 giros). Em 200 quilômetros, a roda irá girar
     200 . 452,5 = 90 500 vezes. Contudo, o hodômetro estava regulado para registrar 1
     quilômetro a cada 552,5 giros. Portanto, a quilometragem registrada na viagem será
     de 90 500  552,5 = 163,8 quilômetros. Esse problema mostra que, se não forem
     feitos ajustes no hodômetro, ao se trocar as rodas de um carro por outras de
     diâmetros diferentes, o registro de quilometragem apresentará dados incorretos.
     Nesse exemplo, houve uma diferença de quase 40 km no registro da quilometragem
     percorrida numa viagem de 200 km.




Páginas 19 - 21

7.   AOctógono  AQuadrado  4. ATriângulo
                          1
     AOctógono  9  4.     7
                          2

8.
     a) 32 quadrados de 1 cm²                        b) 60 quadrados de 1 cm²

       Área = 32 cm²                                 Área = 60 cm²




                                                                                            6
GABARITO                       Caderno do Aluno         Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4




     c) Nesse caso, o cálculo da área do círculo é muito grosseiro, pois a diferença entre
     a aproximação por falta (32 cm²) e a por excesso (60 cm²) é grande. A média entre os
     dois valores resulta em 46 cm².




Páginas 21 - 23
9.
     a) 164 quadrados de lado 0,5 cm.                    b) 224 quadrados de lado 0,5 cm

     A área de cada quadrado é, assim, ¼ da área         Área = 224 . 0,25 = 56 cm²

     do quadrado anterior: 0,25 cm²

     Área = 164 . 0,25 = 41 cm²




                                                                                             7
GABARITO                       Caderno do Aluno             Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4




   c) Usando quadrados menores, a diferença entre o valor da área aproximada por
   falta (41 cm2) e por excesso (56 cm2) diminui. A média entre os dois valores resulta
   em uma área de 48,5 cm².




Páginas 23 - 25
 10.
    a) Para um valor de n muito grande, a área da figura será muito próxima à área do
    retângulo de base igual à metade do comprimento da circunferência (.r) e altura
    igual ao raio r.

       Aretângulo  base . altura  ( .r ) . r   . r 2
    b) A   .r 2 .


11. Como o círculo estava inscrito num quadrado de lado 3 unidades, seu raio vale 1,5
    unidade. Aplicando a fórmula da área do círculo, obtemos:

       Acírculo   .r 2  3,14 . (1,5) 2  7,065


                                                                                                 8
GABARITO                                 Caderno do Aluno   Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



    A área do círculo é um pouco maior que a área do octógono inscrito no quadrado.
    Portanto, o método egípcio subestimava o valor da área do círculo.


12. Para um círculo de raio 4 cm, a área vale A  3,14 . 4 2  50,24 cm 2 . Na atividade 8,
    a área obtida foi 46 cm2 e, na atividade 9, foi 48,5 cm2. Portanto, quanto menor for
    o tamanho do quadrado utilizado, mais próxima do valor correto será a
    aproximação.




Páginas 25 - 27
                                     2
13. (60º  360º) . . 22 =
                                      3
                                    2
    A área do setor vale               cm2, ou 2,09 cm2.
                                     3


14. Se o setor corresponde a ¾ do círculo, então a área do setor é As = ¾ . . r2. Logo,
    108 = ¾. . r2
    r2 = 144
    r = 12
    O raio do círculo é de 12 cm.


15. Se a área do setor vale 62,5 cm2, então:
              
    As = (             ) .  . r2
             360   o


                       
    62,5 = (              ) .  . 102
                  360 o
          62,5  . 360
                     = 225º
            100 
    O ângulo central correspondente é de 225º.




                                                                                                 9
GABARITO                             Caderno do Aluno         Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



16. A área do setor circular de 90º é igual a ¼ da área de uma circunferência de raio L.
                                        .L2                                          L
      Ou seja, é igual a ASC                  . A área da circunferência de raio       é igual a
                                         4                                            2
                       2
              L    .L2
      AC   .         . Portanto, ambas as figuras possuem a mesma área.
              2     4




Páginas 27 - 29
17.
   a)     a2  b2  c2
   b) Nessa figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos dois
   quadrados formados, respectivamente, sobre os catetos b e c.



                                                                          2
                                                             a    . 5 2 25
18. A área do círculo correspondente à hipotenusa é C a   .          
                                                             2     4      4

      As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente,

               .b 2       9         .c 2 16
       Cb                   e Cc            .
                4           4          4     4

      Somando-se as áreas obtidas, temos:

                       9 16 25
       Cb  Cc                 .
                        4   4   4

      Portanto, Cb  Cc  Ca .


      A área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos
      círculos construídos sobre os catetos, o que está de acordo com o teorema de
      Pitágoras.




                                                                                                  10
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19.

      a) A área da figura colorida é a diferença entre a área do quadrado de lado igual ao
      lado do triângulo e o semicírculo de diâmetro igual a esse lado. Assim, a área da
                                                                                 2
                                             1 a               .10 2         25.
      figura relativa à hipotenusa é Aa  a  . .    10 2    2
                                                                         100       .
                                             2 2                 8             2
      As áreas das figuras relativas aos catetos b e c valem, respectivamente,
                                    2                       e                         2
              1  6          9.                                       1 8
      Ab  6  . .   36 
              2
                                                                Ac  8  . .   64  8
                                                                       2

              2  2           2                                        2 2
      Somando-se as áreas obtidas, temos:
                            9                   25
      Ab  Ac  36             64  8  100      .
                             2                    2
      Portanto, Ab  Ac  Aa , o que está de acordo com o teorema de Pitágoras.


      b) A figura colorida é um setor circular de 90º com raio igual ao lado do triângulo.
                                                                   1           .a 2
      Assim, a área do setor circular relativo à hipotenusa é S a  . .a 2         .
                                                                   4            4
      As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente,

              .b 2 e                .c 2
      Sb               Sc 
              4                         4
      Somando-se as áreas obtidas, temos:
                   .b 2             .c 2           . (b 2  c 2 )
      Sb  Sc                                 
                        4               4                  4
      Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2
                   .b 2  c 2                 .a 2
      Portanto,                                          S a , ou seja, S b  S c  S a .
                            4                     4




Página 30
20. Professor, oriente os alunos quanto ao uso correto da régua e do compasso na
      construção das figuras dessa atividade. É importante que os alunos realizem tais
      construções com capricho e precisão.
                                                                                                                         11
GABARITO                      Caderno do Aluno         Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



    1a e 2a etapas                                      3a e 4a etapas:




    5a etapa:




                         Rc




             Rb




Desafio!

Página 31
21. O desafio é difícil, mas não impossível. Caso os alunos não consigam resolvê-lo, o
   professor pode fazer a demonstração na lousa. Uma sugestão possível está descrita a
   seguir:
   Sejam Lb e Lc as áreas das lúnulas relativas aos catetos b e c. Rb e Rc são os
   segmentos circulares limitados pelos catetos b e c. SCa, SCb e SCc são as áreas dos
   semicírculos relativos aos lados a, b e c do triângulo. Seja T a área     do    triângulo
   retângulo ABC. Então, podemos escrever que:
    T = SCa – (Rb + Rc) (I)
                                                                                           12
GABARITO                    Caderno do Aluno         Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



   Consideremos também que as áreas dos semicírculos
   representados a seguir obedecem ao teorema de Pitágoras,
   como visto anteriormente, ou seja, SCa = SCb + SCc. (II).
   As áreas das lúnulas Lb e Lc valem, respectivamente:
   Lb = SCb – Rb e
   Lc = SCc – Rc
   Então, a soma das áreas das lúnulas é dada por
   Lb + Lc = SCb – Rb + SCc – Rc, ou
   Lb + Lc = SCb + SCc – (Rb + Rc)
   Considerando a relação (II), podemos escrever que Lb + Lc = SCa – (Rb + Rc).
   Como T = SCa – (Rb + Rc) (I), concluímos que Lb + Lc = T.
   Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo retângulo.




                                                                                         13
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 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

 CILINDROS




Páginas 32 - 33
1.
     a) I. Prisma (quadrangular) reto                            II. Cilindro reto
     b) O prisma é um sólido geométrico formado por polígonos, ao passo que o
     cilindro é formado por dois círculos e uma superfície lateral. O prisma possui faces
     laterais, que são retângulos, enquanto o cilindro possui superfície lateral. Ambos
     possuem duas bases congruentes, situadas em planos paralelos entre si. No caso do
     prisma da figura, as bases são retângulos, mas poderiam ser qualquer outro polígono.
     No caso do cilindro, as bases são círculos de mesmo diâmetro. Em ambos os casos, a
     superfície lateral é perpendicular aos planos das bases.
     c)




     d) O número de vértices: 8/o número de arestas: 12/o número de faces: 6/o
     polígono que forma a base: retângulos/o polígono que forma a face lateral:
     retângulos.
     e) A figura plana que forma a base: círculo/o polígono que corresponde à superfície
     lateral planificada: retângulo.


2. O comprimento do retângulo é igual ao comprimento da circunferência de base, ou
     seja, π . D. Como o diâmetro mede 6 cm, então o comprimento do retângulo é igual a
     6 . 3,14  18,8 cm.
                                                                                             14
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Páginas 34 - 35
3. Os alunos devem seguir as etapas de 1 a 6, até a montagem do cilindro. O resultado
     final pode ficar um pouco irregular, devido à dificuldade em contornar a superfície
     lateral em torno das bases circulares. Contudo, o intuito é mostrar que o cálculo
     realizado na atividade anterior corresponde, aproximadamente, às medidas do
     cilindro montado.


4.
     a) Dados: diâmetro do círculo = 6 cm (raio = 3 cm) e altura do retângulo = 5 cm.
     As áreas das bases correspondem às áreas dos círculos de raio 3 cm. Portanto,
     Área das bases = 2 . área do círculo = 2 . ( . r2 )  2 . 3,14 . 32  56,5 cm2.
     b) Já a área lateral corresponde à área do retângulo de base igual ao comprimento
     da circunferência (2 .  . r) e altura igual a 5 cm. Portanto,
     Área lateral = área do retângulo = base . altura = (2 .  . r) . 5  2 . 3,14 . 3 . 5 
     94,2 cm2.
     c) A área total da superfície do cilindro corresponde à soma das áreas das bases
     com a área da superfície lateral:
     Área do cilindro = área das bases + área lateral = 56,5 + 94,2 = 150,7 cm2.
     d) As dimensões de uma folha A4 são de, aproximadamente, 21 cm por 30 cm.
     Portanto, sua área é de 21 . 30 = 630 cm2, que é aproximadamente 4 vezes maior que
     a área obtida (150,7 cm2). Portanto, na construção do cilindro foram utilizados
     aproximadamente 25% do papel A4 original.


5. A área da base é o dobro da área do círculo, ou seja, ( . r2). E a área lateral é a área
     de um retângulo de base igual ao comprimento da circunferência da base (2 .  . r) e
     altura h.

                                         Abase   . r 2
                                        
     Acilindro    2 . Abase  ALateral 
                                        A
                                         lateral  2 . . r . h

                                                                                                       15
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     Portanto, a área do cilindro vale: Acilindro  2. .r  2. .r .h ou
                                                               2



     Acilindro  2. .r ( r  h)




Páginas 36 - 37
6.
     a)

                                                  C  2. .r
          Comprimento da circunferência

                   Área do círculo                A   .r 2

                                                  A  2. .r.(r  h)
                   Área do cilindro

                  Volume do cilindro              V   .r 2 .h

                                                     4. .r 3
                  Volume da esfera                V
                                                        3



     b) Uma característica presente em todas as fórmulas é o uso do número . Além
     disso, todas elas envolvem o raio de uma circunferência.


7.
     a) Como 10 cm equivalem a 1 dm, então, a capacidade do cubo é dada por
     V = 1dm . 1dm . 1dm = 1 dm3 = 1 litro.
     b) Como 1 cm equivale a 0,1 dm, então, a capacidade do cubo é dada por
     V = 0,1dm . 0,1dm . 0,1dm = 0,001 dm3 = 0,001 litros = 1 mililitro ou 1 ml.
     c) Como 1 m equivale a 10 dm, então, a capacidade do cubo é dada por
     V = 10dm . 10dm . 10dm = 1 000 dm3 = 1 000 litros.


8. O cilindro construído tem 6 cm de diâmetro, portanto, 3 cm de raio e altura igual a 5
     cm. Considerando   3,1, o volume será igual a:

                                                                                                       16
GABARITO                            Caderno do Aluno        Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4




     V =  . r 2 . h  3,1 . 3 2 . 5  139,5 cm3.
     A capacidade do cilindro é de, aproximadamente, 139,5 ml.




Páginas 38 - 39
9.
     a) Usando   3,1, o volume da lata é de, aproximadamente,
     V = 3,1 . 32.12 = 334,8 cm3. Como um centímetro cúbico equivale a 0,001 dm3,
     então, o volume pode ser expresso como 0,3348 dm3. Um decímetro cúbico equivale
     a um litro, então, o volume da lata é de, aproximadamente, 0,335 litros ou
     335 mililitros. V = 335 ml.
     b) Basta calcular a área do cilindro. A área da base é igual Ab = 3,1 . 32 = 27,9 cm2.
     A área lateral é: Al = 2 . 3,1 . 3 . 12 = 223,2 cm2.
     A área total do cilindro vale 2 . 27,9 + 223,2 = 279 cm2. Portanto, são necessários
     279 cm2 para confeccionar uma lata, aproximadamente.
     c) A área de uma chapa de alumínio é dada por 1 m . 1,72 m = 1,72 m2. Um metro
     quadrado equivale a 100 . 100 = 10 000 centímetros quadrados. Portanto, a área total
     da chapa, em centímetros quadrados, é 10 000 . 1,72 = 17 200 cm2. Para saber
     quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa, divide-se a área da chapa
     pela área da lata: 17 200 ÷ 279  61,65. Assim, com uma chapa de alumínio é
     possível confeccionar, no máximo, 61 latas.
     Observação: professor, comente com os alunos que pode haver perdas nesse
     processo e que, na realidade, o aproveitamento pode ser um pouco menor.




                                                                                                17
GABARITO                        Caderno do Aluno       Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

  PROBABILIDADE E GEOMETRIA




Páginas 42 - 44
1.
     a) O intuito original era calcular a probabilidade de uma agulha de determinado
     comprimento cair sobre a linha de um tabuleiro.
     b) Que o cálculo da probabilidade de a agulha cair sobre as linhas envolve,
     diretamente, o número π.
     c) Fazendo uma série de lançamentos de agulhas em um tabuleiro, pode-se calcular
     experimentalmente a probabilidade de a mesma cair sobre uma linha. Substituindo
     esse valor na fórmula do Conde de Buffon, pode-se determinar o valor aproximado
     de . Essa estratégia funciona bem quando aplicada em um grande número de
     lançamentos.
     d) Aparentemente, o experimento do Conde de Buffon não apresenta nenhuma
     utilidade prática direta. Afinal, a quem interessaria saber a probabilidade de uma
     agulha cair sobre uma linha de um tabuleiro? Ou, ainda, por que calcular o valor de
     pi usando esse método? Contudo, os resultados do Conde de Buffon acabaram sendo
     aproveitados em outra área do conhecimento, resultando no desenvolvimento do
     aparelho de tomografia computadorizada.



2.

     a) P  2a  2 . 3  0,637  63,7%
             .d 3,14 . 3


     A probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro cujas
     linhas distam 3 cm entre si é de aproximadamente 63,7%.


                                                                                           18
GABARITO                        Caderno do Aluno        Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



     b) Dobrando a distância entre as linhas, a probabilidade cai pela metade.
          2a      2.a
     P                 0,3185  31,85%
           .d 3,14.2.a
     c) O espaço deve ser de, aproximadamente, 3,8 cm.
           2a
     0,5 
            .d
     1     2.3
       
     2 3,14.d
          12
     d          3,82
         3,14




Páginas 44 - 47
3.
     a) A área do setor II corresponde ao ângulo central de 120º. Não é necessário
     calcular a área, pois o raio é o mesmo para cada setor. Assim, basta comparar o
     ângulo correspondente ao setor II com 360º.
     P(II) = 120º/360º = 1/3 = 0,3333... ou aproximadamente 33,3%.
     A probabilidade de o ponteiro parar na região II é de 33,3%.
     b) Os setores azuis correspondem aos ângulos centrais de 10º e 70º. Portanto, a
     probabilidade de o ponteiro parar num setor azul é de P(Azul) = 80/360 = 0,222... ou
     22,2%.
     c) Na cor verde, pois ela corresponde aos setores de 30º e 80º, que, juntos,
     correspondem a 110º, e a probabilidade de ocorrência é de, aproximadamente,
     30,6%.


4.

     a) Região vermelha: a área do círculo central é igual a:
     A1 =  . r2 =  . 102 = 100 cm2.
     Região azul: corresponde à área da coroa circular de raios 20 cm e 10 cm.
     A2 =  . 202 –  . 102 = 400 – 100 = 300 cm2.
     Região amarela: corresponde à área da coroa circular de raios 30 cm e 20 cm.
                                                                                            19
GABARITO                            Caderno do Aluno         Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4




   A3 =  . 302 –  . 202 = 900 – 400 = 500 cm2.
   Região verde: corresponde à área da coroa circular de raios 40 cm e 30 cm.
   A4 =  . 402 –  . 302 = 1 600 – 900 = 700 cm2.
   Área total: corresponde ao círculo maior de raio igual a 40 cm.
   AT =  . 402 = 1 600 cm2.
   b) A probabilidade de acerto em cada região equivale à razão entre a área da região
   escolhida e a área total do alvo. Assim, temos que:
                      100                                        300
   P (Vermelha) =            6,25%                 P (Azul) =           18,75%
                     1 600                                      1 600
                     500                                          700
   P (Amarela) =            31,25%                 P (Verde) =           43,75%
                    1 600                                        1 600
   A região mais externa do alvo, a verde, possui a maior área, portanto, é a região com
   maior probabilidade de acerto (43,75%). A região central, vermelha, é a que possui
   menor probabilidade de acerto (6,25%).


Desafio!

Página 48
5. Para que a probabilidade de acerto seja a mesma em todas as regiões é preciso que
   suas áreas sejam equivalentes:
   A1 = A2 = A3 = A4
   Partindo de um círculo interno de raio r1, precisamos descobrir os raios dos demais
   círculos que satisfaçam essa condição de igualdade.
   Portanto, para que A1 = A2, a área do círculo central deve ser igual à área da coroa
   circular. Ou seja,  . r12 =  . r22 –  . r12

   Então,  . r22 = 2 . r12  r22 =2r12  r2  r1 2

   Analogamente, se A1 = A3, obtemos a seguinte equação: ·. r12 =  . r32 –  . r22

   Como r2  r1 2 , então:
         2        2
                               2    2        2         2        2         2
    . r1 =  . r3 –  . r1 2   . r1 =  . r3 – 2 . r1   . r3 = 3 . r1 

   r3  r1 3

   Resolvendo A3 = A4, obtemos que r4  r1 4 ou r4 = 2r1
                                                                                                 20
GABARITO                     Caderno do Aluno          Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4



  Portanto, para que as áreas de cada região sejam iguais, os valores dos raios devem
  estar na seguinte proporção: r1, r1 2 , r1 3 e 2r1. As probabilidades de acerto em
  cada região serão de ¼ ou 25%.
  Construção geométrica: para construir esse alvo é preciso saber representar os
  irracionais    2 e   3 geometricamente. A primeira razão,        2 , é a diagonal de um
  quadrado de lado unitário. A segunda,         3 , a diagonal de um retângulo de lados
  iguais a 1 e   2 , respectivamente. A figura a seguir ilustra o processo de construção
  desses segmentos.




  Constroem-se então as circunferências concêntricas de raios 1,              2,     3 e 2,
  conforme mostram as figuras a seguir:




  Para um círculo interno com raio r1 igual a 2 cm, os demais raios devem medir:
  r2 = 2 2  2,83 cm; r3 = 2 3  3,46 cm; r4 = 2r1 = 4 cm.




                                                                                           21

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  • 1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NATUREZA DO NÚMERO PI () Páginas 5 - 6 1. a) π é definido como o resultado da divisão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. b) A tampa poderia estar amassada e não constituir um círculo perfeito ou o processo de medida pode ter sido feito sem a precisão necessária. c) No método experimental, o valor de π está sujeito às imprecisões do objeto e do processo de medida. Usando a fórmula, é possível obter o valor de π com maior exatidão. 2. a) O resultado da fórmula se aproxima de 3,141 quanto maior for o número de parcelas consideradas. b) “Rapidamente, ela procurou fazer o cálculo, somando e subtraindo as frações  alternadamente. A soma saltava de um lado para outro, desde um pouco mais que 4  até um pouco menos que , mas depois de algum tempo ela pode perceber que essa 4 série de números seguia uma trilha lenta em direção à resposta correta.” (Observação: o objetivo principal desta questão é mostrar ao aluno o funcionamento de uma fórmula com infinitas parcelas, que se aproxima gradualmente do valor de π. Comente com os alunos que a fórmula descrita no texto resultava no valor  aproximado de . Para obter o valor de π, ela teve que ser multiplicada por 4. O 4 gráfico mostra os resultados parciais obtidos com essa fórmula, em função do número de parcelas consideradas.) 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Página 9 3. 256 25 a) No antigo Egito:  3,161 / Na Mesopotâmia:  3,125 81 8 377 Ptolomeu:  3,14167 . 120 O cálculo de Ptolomeu é o que mais se aproxima do valor de pi. b) O método desenvolvido por Arquimedes mostrou que é possível obter aproximações do valor de π tão precisas quanto desejarmos, bastando aumentar continuamente o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos. c) A letra π vem do alfabeto grego e foi escolhida por ser a primeira letra da palavra peripheria (περίμετρος), cujo significado é circunferência, ou seja, o contorno de um círculo. d) O uso dos computadores associado ao descobrimento de métodos de cálculo mais poderosos e eficientes. e) Ele conseguiu provar que não há nenhuma fração cujo resultado seja igual a pi. Por isso, pi é classificado como número irracional, cuja terminação decimal é infinita e não periódica. Página 10 4. Para obter o valor de pi, basta dividir o perímetro dos hexágonos inscritos e circunscritos pelo diâmetro da circunferência. Perímetro do hexágono inscrito 6 . 3  3 Diâmetro da circunferência 2.3 Perímetro do hexágono circunscrito 6 . 3,46   3,46 Diâmetro da circunferência 2.3 Usando hexágonos, obtemos o seguinte intervalo para o valor de : 3 <  < 3,46. 2
  • 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Páginas 10 - 12 5. a) Não. b) c) Observação: nessa atividade, o mais importante é que o aluno entenda como se calcula a frequência relativa. Por essa razão, indicamos o uso da calculadora, pois isso agiliza a parte mecânica desse processo. d) É o algarismo 8, com frequência relativa de 12,3%. e) É o 7, com frequência relativa de 6,5 %. f) A diferença é de 5,8 pontos porcentuais. 6. Há um equilíbrio maior entre as frequências dos algarismos de pi na segunda tabela em relação à primeira. Assim, é possível concluir que, quanto maior o número de dígitos, mais equilibrada é a distribuição dos algarismos. 3
  • 4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 A RAZÃO  NO CÁLCULO DO PERÍMETRO E DA ÁREA DO CÍRCULO Páginas 13 - 14 1. a) Em uma volta completa de uma circunferência de diâmetro igual a 1 unidade percorre-se 3,14 unidades. b) A circunferência de diâmetro 2 percorreria 6,28 unidades. A circunferência de diâmetro 10 percorreria 31,4 unidades. 2. C=2.π.r e C=π.D Página 15 3. O diâmetro total do pneu do carro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda interna com o dobro da altura do pneu. Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm. 4 Conhecendo o diâmetro, é possível obter a medida da circunferência do pneu: C Pneu  3,14 . 64,75  203,315 cm . Assim, a distância percorrida pelo pneu em um giro completo da roda, com essas especificações, é de, aproximadamente, 2,03 metros. Página 16 5. a) Roda de aro 15: 195/50 R15 4
  • 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Altura do pneu: 50% . 195 = 97,5 mm = 9,75 cm Diâmetro da roda interna: 15 . 2,54 = 38,1 cm Diâmetro total = 2 . 9,75 + 38,1 = 57,6 cm Circunferência da roda: 3,14 . 57,6 = 180,86 cm  1,81 m A roda 195/50R15 percorre 1,81 metro por giro. Portanto, percorrerá 1,81 km em 1 000 giros. b) Roda de aro 16: 205/60 R16 Altura do pneu: 60% . 205=123 mm = 12,3 cm Diâmetro da roda interna: 16 . 2,54 = 40,64 cm Diâmetro total = 2 . 12,3 + 40,64 = 65,24 cm Circunferência da roda: 3,14 . 65,24 = 204,85 cm  2,05 m A roda 205/60R16 percorre 2,05 metros por giro. Portanto, percorrerá 2,05 km em 1 000 giros. c) Roda de aro 17: 210/65 R17 Altura do pneu: 65% . 210 = 136,5 mm = 13,65 cm Diâmetro da roda interna: 17 . 2,54 = 43,18 cm Diâmetro total = 2 . 13,65 + 43,18 = 70,48 cm Circunferência da roda: 3,14 . 70,48 = 221,31 cm  2,21 m A roda 210/65R17 percorre 2,21 metros por giro. Portanto, percorrerá 2,21 km em 1 000 giros. Páginas 17 - 18 6. a) Da atividade anterior, sabemos que a roda de aro 15 possui uma circunferência de 1,81 metro. Portanto, para que o hodômetro registre 1 km ou 1 000 metros serão necessários 1 000  1,81  552,5 giros da roda. b) Se para rodar 1 km o eixo gira 552,5 vezes, então, para rodar 200 km ele irá girar (200 . 552,5) = 110 500 vezes. c) Com as rodas de aro maior, o número de giros por quilômetro rodado será menor, pois serão necessárias menos voltas para se percorrer a mesma distância. 5
  • 6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Portanto, se não houver um ajuste, o hodômetro deverá registrar uma quilometragem menor que 200 km. d) O comprimento da circunferência da roda de aro 17 é de 2,21 metros. Em 1 quilômetro ou 1 000 metros, serão necessários 1 000  2,21  452,5 giros, menos do que com a roda de aro 15 (552,5 giros). Em 200 quilômetros, a roda irá girar 200 . 452,5 = 90 500 vezes. Contudo, o hodômetro estava regulado para registrar 1 quilômetro a cada 552,5 giros. Portanto, a quilometragem registrada na viagem será de 90 500  552,5 = 163,8 quilômetros. Esse problema mostra que, se não forem feitos ajustes no hodômetro, ao se trocar as rodas de um carro por outras de diâmetros diferentes, o registro de quilometragem apresentará dados incorretos. Nesse exemplo, houve uma diferença de quase 40 km no registro da quilometragem percorrida numa viagem de 200 km. Páginas 19 - 21 7. AOctógono  AQuadrado  4. ATriângulo 1 AOctógono  9  4. 7 2 8. a) 32 quadrados de 1 cm² b) 60 quadrados de 1 cm² Área = 32 cm² Área = 60 cm² 6
  • 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 c) Nesse caso, o cálculo da área do círculo é muito grosseiro, pois a diferença entre a aproximação por falta (32 cm²) e a por excesso (60 cm²) é grande. A média entre os dois valores resulta em 46 cm². Páginas 21 - 23 9. a) 164 quadrados de lado 0,5 cm. b) 224 quadrados de lado 0,5 cm A área de cada quadrado é, assim, ¼ da área Área = 224 . 0,25 = 56 cm² do quadrado anterior: 0,25 cm² Área = 164 . 0,25 = 41 cm² 7
  • 8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 c) Usando quadrados menores, a diferença entre o valor da área aproximada por falta (41 cm2) e por excesso (56 cm2) diminui. A média entre os dois valores resulta em uma área de 48,5 cm². Páginas 23 - 25 10. a) Para um valor de n muito grande, a área da figura será muito próxima à área do retângulo de base igual à metade do comprimento da circunferência (.r) e altura igual ao raio r. Aretângulo  base . altura  ( .r ) . r   . r 2 b) A   .r 2 . 11. Como o círculo estava inscrito num quadrado de lado 3 unidades, seu raio vale 1,5 unidade. Aplicando a fórmula da área do círculo, obtemos: Acírculo   .r 2  3,14 . (1,5) 2  7,065 8
  • 9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 A área do círculo é um pouco maior que a área do octógono inscrito no quadrado. Portanto, o método egípcio subestimava o valor da área do círculo. 12. Para um círculo de raio 4 cm, a área vale A  3,14 . 4 2  50,24 cm 2 . Na atividade 8, a área obtida foi 46 cm2 e, na atividade 9, foi 48,5 cm2. Portanto, quanto menor for o tamanho do quadrado utilizado, mais próxima do valor correto será a aproximação. Páginas 25 - 27 2 13. (60º  360º) . . 22 = 3 2 A área do setor vale cm2, ou 2,09 cm2. 3 14. Se o setor corresponde a ¾ do círculo, então a área do setor é As = ¾ . . r2. Logo, 108 = ¾. . r2 r2 = 144 r = 12 O raio do círculo é de 12 cm. 15. Se a área do setor vale 62,5 cm2, então:  As = ( ) .  . r2 360 o  62,5 = ( ) .  . 102 360 o 62,5  . 360  = 225º 100  O ângulo central correspondente é de 225º. 9
  • 10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 16. A área do setor circular de 90º é igual a ¼ da área de uma circunferência de raio L.  .L2 L Ou seja, é igual a ASC  . A área da circunferência de raio é igual a 4 2 2 L  .L2 AC   .   . Portanto, ambas as figuras possuem a mesma área. 2 4 Páginas 27 - 29 17. a) a2  b2  c2 b) Nessa figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos dois quadrados formados, respectivamente, sobre os catetos b e c. 2 a  . 5 2 25 18. A área do círculo correspondente à hipotenusa é C a   .    2 4 4 As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente,  .b 2 9  .c 2 16 Cb   e Cc   . 4 4 4 4 Somando-se as áreas obtidas, temos: 9 16 25 Cb  Cc    . 4 4 4 Portanto, Cb  Cc  Ca . A área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos construídos sobre os catetos, o que está de acordo com o teorema de Pitágoras. 10
  • 11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 19. a) A área da figura colorida é a diferença entre a área do quadrado de lado igual ao lado do triângulo e o semicírculo de diâmetro igual a esse lado. Assim, a área da 2 1 a  .10 2 25. figura relativa à hipotenusa é Aa  a  . .    10 2  2  100  . 2 2 8 2 As áreas das figuras relativas aos catetos b e c valem, respectivamente, 2 e 2 1  6 9. 1 8 Ab  6  . .   36  2 Ac  8  . .   64  8 2 2  2 2 2 2 Somando-se as áreas obtidas, temos: 9 25 Ab  Ac  36   64  8  100  . 2 2 Portanto, Ab  Ac  Aa , o que está de acordo com o teorema de Pitágoras. b) A figura colorida é um setor circular de 90º com raio igual ao lado do triângulo. 1  .a 2 Assim, a área do setor circular relativo à hipotenusa é S a  . .a 2  . 4 4 As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente,  .b 2 e  .c 2 Sb  Sc  4 4 Somando-se as áreas obtidas, temos:  .b 2  .c 2  . (b 2  c 2 ) Sb  Sc    4 4 4 Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2  .b 2  c 2   .a 2 Portanto,   S a , ou seja, S b  S c  S a . 4 4 Página 30 20. Professor, oriente os alunos quanto ao uso correto da régua e do compasso na construção das figuras dessa atividade. É importante que os alunos realizem tais construções com capricho e precisão. 11
  • 12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 1a e 2a etapas 3a e 4a etapas: 5a etapa: Rc Rb Desafio! Página 31 21. O desafio é difícil, mas não impossível. Caso os alunos não consigam resolvê-lo, o professor pode fazer a demonstração na lousa. Uma sugestão possível está descrita a seguir: Sejam Lb e Lc as áreas das lúnulas relativas aos catetos b e c. Rb e Rc são os segmentos circulares limitados pelos catetos b e c. SCa, SCb e SCc são as áreas dos semicírculos relativos aos lados a, b e c do triângulo. Seja T a área do triângulo retângulo ABC. Então, podemos escrever que: T = SCa – (Rb + Rc) (I) 12
  • 13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Consideremos também que as áreas dos semicírculos representados a seguir obedecem ao teorema de Pitágoras, como visto anteriormente, ou seja, SCa = SCb + SCc. (II). As áreas das lúnulas Lb e Lc valem, respectivamente: Lb = SCb – Rb e Lc = SCc – Rc Então, a soma das áreas das lúnulas é dada por Lb + Lc = SCb – Rb + SCc – Rc, ou Lb + Lc = SCb + SCc – (Rb + Rc) Considerando a relação (II), podemos escrever que Lb + Lc = SCa – (Rb + Rc). Como T = SCa – (Rb + Rc) (I), concluímos que Lb + Lc = T. Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo retângulo. 13
  • 14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 CILINDROS Páginas 32 - 33 1. a) I. Prisma (quadrangular) reto II. Cilindro reto b) O prisma é um sólido geométrico formado por polígonos, ao passo que o cilindro é formado por dois círculos e uma superfície lateral. O prisma possui faces laterais, que são retângulos, enquanto o cilindro possui superfície lateral. Ambos possuem duas bases congruentes, situadas em planos paralelos entre si. No caso do prisma da figura, as bases são retângulos, mas poderiam ser qualquer outro polígono. No caso do cilindro, as bases são círculos de mesmo diâmetro. Em ambos os casos, a superfície lateral é perpendicular aos planos das bases. c) d) O número de vértices: 8/o número de arestas: 12/o número de faces: 6/o polígono que forma a base: retângulos/o polígono que forma a face lateral: retângulos. e) A figura plana que forma a base: círculo/o polígono que corresponde à superfície lateral planificada: retângulo. 2. O comprimento do retângulo é igual ao comprimento da circunferência de base, ou seja, π . D. Como o diâmetro mede 6 cm, então o comprimento do retângulo é igual a 6 . 3,14  18,8 cm. 14
  • 15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Páginas 34 - 35 3. Os alunos devem seguir as etapas de 1 a 6, até a montagem do cilindro. O resultado final pode ficar um pouco irregular, devido à dificuldade em contornar a superfície lateral em torno das bases circulares. Contudo, o intuito é mostrar que o cálculo realizado na atividade anterior corresponde, aproximadamente, às medidas do cilindro montado. 4. a) Dados: diâmetro do círculo = 6 cm (raio = 3 cm) e altura do retângulo = 5 cm. As áreas das bases correspondem às áreas dos círculos de raio 3 cm. Portanto, Área das bases = 2 . área do círculo = 2 . ( . r2 )  2 . 3,14 . 32  56,5 cm2. b) Já a área lateral corresponde à área do retângulo de base igual ao comprimento da circunferência (2 .  . r) e altura igual a 5 cm. Portanto, Área lateral = área do retângulo = base . altura = (2 .  . r) . 5  2 . 3,14 . 3 . 5  94,2 cm2. c) A área total da superfície do cilindro corresponde à soma das áreas das bases com a área da superfície lateral: Área do cilindro = área das bases + área lateral = 56,5 + 94,2 = 150,7 cm2. d) As dimensões de uma folha A4 são de, aproximadamente, 21 cm por 30 cm. Portanto, sua área é de 21 . 30 = 630 cm2, que é aproximadamente 4 vezes maior que a área obtida (150,7 cm2). Portanto, na construção do cilindro foram utilizados aproximadamente 25% do papel A4 original. 5. A área da base é o dobro da área do círculo, ou seja, ( . r2). E a área lateral é a área de um retângulo de base igual ao comprimento da circunferência da base (2 .  . r) e altura h.  Abase   . r 2  Acilindro  2 . Abase  ALateral  A  lateral  2 . . r . h 15
  • 16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Portanto, a área do cilindro vale: Acilindro  2. .r  2. .r .h ou 2 Acilindro  2. .r ( r  h) Páginas 36 - 37 6. a) C  2. .r Comprimento da circunferência Área do círculo A   .r 2 A  2. .r.(r  h) Área do cilindro Volume do cilindro V   .r 2 .h 4. .r 3 Volume da esfera V 3 b) Uma característica presente em todas as fórmulas é o uso do número . Além disso, todas elas envolvem o raio de uma circunferência. 7. a) Como 10 cm equivalem a 1 dm, então, a capacidade do cubo é dada por V = 1dm . 1dm . 1dm = 1 dm3 = 1 litro. b) Como 1 cm equivale a 0,1 dm, então, a capacidade do cubo é dada por V = 0,1dm . 0,1dm . 0,1dm = 0,001 dm3 = 0,001 litros = 1 mililitro ou 1 ml. c) Como 1 m equivale a 10 dm, então, a capacidade do cubo é dada por V = 10dm . 10dm . 10dm = 1 000 dm3 = 1 000 litros. 8. O cilindro construído tem 6 cm de diâmetro, portanto, 3 cm de raio e altura igual a 5 cm. Considerando   3,1, o volume será igual a: 16
  • 17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 V =  . r 2 . h  3,1 . 3 2 . 5  139,5 cm3. A capacidade do cilindro é de, aproximadamente, 139,5 ml. Páginas 38 - 39 9. a) Usando   3,1, o volume da lata é de, aproximadamente, V = 3,1 . 32.12 = 334,8 cm3. Como um centímetro cúbico equivale a 0,001 dm3, então, o volume pode ser expresso como 0,3348 dm3. Um decímetro cúbico equivale a um litro, então, o volume da lata é de, aproximadamente, 0,335 litros ou 335 mililitros. V = 335 ml. b) Basta calcular a área do cilindro. A área da base é igual Ab = 3,1 . 32 = 27,9 cm2. A área lateral é: Al = 2 . 3,1 . 3 . 12 = 223,2 cm2. A área total do cilindro vale 2 . 27,9 + 223,2 = 279 cm2. Portanto, são necessários 279 cm2 para confeccionar uma lata, aproximadamente. c) A área de uma chapa de alumínio é dada por 1 m . 1,72 m = 1,72 m2. Um metro quadrado equivale a 100 . 100 = 10 000 centímetros quadrados. Portanto, a área total da chapa, em centímetros quadrados, é 10 000 . 1,72 = 17 200 cm2. Para saber quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa, divide-se a área da chapa pela área da lata: 17 200 ÷ 279  61,65. Assim, com uma chapa de alumínio é possível confeccionar, no máximo, 61 latas. Observação: professor, comente com os alunos que pode haver perdas nesse processo e que, na realidade, o aproveitamento pode ser um pouco menor. 17
  • 18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PROBABILIDADE E GEOMETRIA Páginas 42 - 44 1. a) O intuito original era calcular a probabilidade de uma agulha de determinado comprimento cair sobre a linha de um tabuleiro. b) Que o cálculo da probabilidade de a agulha cair sobre as linhas envolve, diretamente, o número π. c) Fazendo uma série de lançamentos de agulhas em um tabuleiro, pode-se calcular experimentalmente a probabilidade de a mesma cair sobre uma linha. Substituindo esse valor na fórmula do Conde de Buffon, pode-se determinar o valor aproximado de . Essa estratégia funciona bem quando aplicada em um grande número de lançamentos. d) Aparentemente, o experimento do Conde de Buffon não apresenta nenhuma utilidade prática direta. Afinal, a quem interessaria saber a probabilidade de uma agulha cair sobre uma linha de um tabuleiro? Ou, ainda, por que calcular o valor de pi usando esse método? Contudo, os resultados do Conde de Buffon acabaram sendo aproveitados em outra área do conhecimento, resultando no desenvolvimento do aparelho de tomografia computadorizada. 2. a) P  2a  2 . 3  0,637  63,7%  .d 3,14 . 3 A probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro cujas linhas distam 3 cm entre si é de aproximadamente 63,7%. 18
  • 19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 b) Dobrando a distância entre as linhas, a probabilidade cai pela metade. 2a 2.a P   0,3185  31,85%  .d 3,14.2.a c) O espaço deve ser de, aproximadamente, 3,8 cm. 2a 0,5   .d 1 2.3  2 3,14.d 12 d  3,82 3,14 Páginas 44 - 47 3. a) A área do setor II corresponde ao ângulo central de 120º. Não é necessário calcular a área, pois o raio é o mesmo para cada setor. Assim, basta comparar o ângulo correspondente ao setor II com 360º. P(II) = 120º/360º = 1/3 = 0,3333... ou aproximadamente 33,3%. A probabilidade de o ponteiro parar na região II é de 33,3%. b) Os setores azuis correspondem aos ângulos centrais de 10º e 70º. Portanto, a probabilidade de o ponteiro parar num setor azul é de P(Azul) = 80/360 = 0,222... ou 22,2%. c) Na cor verde, pois ela corresponde aos setores de 30º e 80º, que, juntos, correspondem a 110º, e a probabilidade de ocorrência é de, aproximadamente, 30,6%. 4. a) Região vermelha: a área do círculo central é igual a: A1 =  . r2 =  . 102 = 100 cm2. Região azul: corresponde à área da coroa circular de raios 20 cm e 10 cm. A2 =  . 202 –  . 102 = 400 – 100 = 300 cm2. Região amarela: corresponde à área da coroa circular de raios 30 cm e 20 cm. 19
  • 20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 A3 =  . 302 –  . 202 = 900 – 400 = 500 cm2. Região verde: corresponde à área da coroa circular de raios 40 cm e 30 cm. A4 =  . 402 –  . 302 = 1 600 – 900 = 700 cm2. Área total: corresponde ao círculo maior de raio igual a 40 cm. AT =  . 402 = 1 600 cm2. b) A probabilidade de acerto em cada região equivale à razão entre a área da região escolhida e a área total do alvo. Assim, temos que: 100 300 P (Vermelha) =  6,25% P (Azul) =  18,75% 1 600 1 600 500 700 P (Amarela) =  31,25% P (Verde) =  43,75% 1 600 1 600 A região mais externa do alvo, a verde, possui a maior área, portanto, é a região com maior probabilidade de acerto (43,75%). A região central, vermelha, é a que possui menor probabilidade de acerto (6,25%). Desafio! Página 48 5. Para que a probabilidade de acerto seja a mesma em todas as regiões é preciso que suas áreas sejam equivalentes: A1 = A2 = A3 = A4 Partindo de um círculo interno de raio r1, precisamos descobrir os raios dos demais círculos que satisfaçam essa condição de igualdade. Portanto, para que A1 = A2, a área do círculo central deve ser igual à área da coroa circular. Ou seja,  . r12 =  . r22 –  . r12 Então,  . r22 = 2 . r12  r22 =2r12  r2  r1 2 Analogamente, se A1 = A3, obtemos a seguinte equação: ·. r12 =  . r32 –  . r22 Como r2  r1 2 , então: 2 2  2 2 2 2 2 2  . r1 =  . r3 –  . r1 2   . r1 =  . r3 – 2 . r1   . r3 = 3 . r1  r3  r1 3 Resolvendo A3 = A4, obtemos que r4  r1 4 ou r4 = 2r1 20
  • 21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 8a série/9o ano – Volume 4 Portanto, para que as áreas de cada região sejam iguais, os valores dos raios devem estar na seguinte proporção: r1, r1 2 , r1 3 e 2r1. As probabilidades de acerto em cada região serão de ¼ ou 25%. Construção geométrica: para construir esse alvo é preciso saber representar os irracionais 2 e 3 geometricamente. A primeira razão, 2 , é a diagonal de um quadrado de lado unitário. A segunda, 3 , a diagonal de um retângulo de lados iguais a 1 e 2 , respectivamente. A figura a seguir ilustra o processo de construção desses segmentos. Constroem-se então as circunferências concêntricas de raios 1, 2, 3 e 2, conforme mostram as figuras a seguir: Para um círculo interno com raio r1 igual a 2 cm, os demais raios devem medir: r2 = 2 2  2,83 cm; r3 = 2 3  3,46 cm; r4 = 2r1 = 4 cm. 21