SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 25
Baixar para ler offline
GABARITO                     Caderno do Aluno              Matemática – 2a série – Volume 2




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

  MATRIZES: DIFERENTES SIGNIFICADOS




Páginas 3 - 9



Problema 1

   a) Cinco unidades na horizontal para a direita e duas unidades na vertical para
   cima.
             1   1
             1   3
   b)      A     
             3   1
                  
             2   0



             6   3
             6   5
   c)      B     
             8   3
                  
             7   2



           5     2
           5     2
   d)    C       
           5     2
                  
           5     2



Problema 2

   a) Quatro unidades horizontais para a esquerda e uma unidade vertical para cima.
   b) Uma unidade horizontal para a direita e quatro unidades verticais para baixo.
   c) Três unidades horizontais para a esquerda e três unidades verticais para baixo.
                                                                                         1
GABARITO                    Caderno do Aluno             Matemática – 2a série – Volume 2




           1       2,5           3         3,5         2        0,5
  d)   M  4
                   0,5 
                               N 0
                                              1,5 
                                                        P 1
                                                                      2,5 
                                                                            
           2
                  0,5 
                                  2
                                              0,5        1
                                                                      3,5 
                                                                            


            4     1
  e)   Q   4
                   1
                     
            4
                   1
                     



            1     4
  f)    R  1
                  4
                     
            1
                  4
                     



            3      3
  g)   T   3
                    3
                       
            3
                    3
                       


Problema 3

  Os elementos da matriz seguinte correspondem ao total de pontos das equipes, de
cima para baixo, nesta ordem: Barro Vermelho, Carranca, Veneza, Colonial e Olaria

    11
    7  .
     
    6 
     
    4 
    3 
     




                                                                                       2
GABARITO                          Caderno do Aluno                Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 4

     a)

          40 140 15 9 
         
          50 120 18 10 
                        
                       

     b)

          1,20   1,10 
                      
          0,80   0,90 
          5,00   6,00 
                      
          9,00   7,50 
                      


     c) Esta matriz corresponde ao produto entre as matrizes do item a e do item b.


          316,00 327,50 
         
          336,00 346,00 
                         
                        


     d) (327,50 – 316,00) + (346,00 – 336,00) = R$ 21,50




Páginas 9 - 10
1.

     a) A matriz procurada pode ser obtida do produto das matrizes que podem ser
     formadas com os elementos numéricos das duas tabelas apresentadas no enunciado.
     De qualquer forma, para obter os resultados procurados, será necessário multiplicar
     os elementos de cada linha da tabela 2 pelos elementos de cada coluna da tabela 1, da
     seguinte forma:
     •      Tipo 1: 12 . 0,12 + 1,50 . 0,1 + 28 . 0,16 + 1,20 . 0,5 = 6,67
     •      Tipo 2: 12 . 0,25 + 1,50 . 0,12 + 28 . 0,18 + 1,20 . 1,5 = 10,02
     •      Tipo 3: 12 . 0,18 + 1,50 . 0,1 + 28 . 0,2 + 1,20 = 9,11

                                                                                                3
GABARITO                      Caderno do Aluno                Matemática – 2a série – Volume 2



   •    Tipo 4: 12 . 0,16 + 1,50 . 0,08 + 28 . 0,1 + 1,20 = 6,04
   Assim, a matriz procurada é:

                                  6,67   10,02 9,11 6,04
 b)     Para calcular o montante de um valor sobre o qual se fez incidir um porcentual
   de, por exemplo, 60%, podemos multiplicar o valor inicial pelo coeficiente 1,6. Esse
   índice corresponde, de fato, à soma de 100% + 60%. Para obter o resultado
   procurado, será necessário, de fato, multiplicar a matriz obtida no item a pela matriz
   seguinte, formada pelos coeficientes de correção do valor inicial:
                            1,6 
                             
                            1,8 
   (6,67 10,02 9,11 6,04) .   = 1,6 . 6,67 + 1,8 . 10,02 + 2 . 9,11 + 2 . 6,04 = 59,008.
                              2,0
                             
                             2,0
                             
   O resultado acima corresponde ao valor de venda de uma unidade de cada tipo.
   Como são previstas 200 unidades de cada, devemos fazer: 200 . 59,008 = 11 801,60.
   Assim, o valor total das vendas será igual a R$ 11 801,60.




Páginas 11 - 14



Problema 1

   a) 30% para A1 e 70% para B3.
   b) A rede A terá mais audiência, pois A2 terá 75%, ante 25% de B2. São, portanto,
   50% mais.
   c) A maior diferença está no par (A1, B2), com 20% para A1 e 80% para B2, isto é,
   com 60% de diferença. A menor diferença está no par (A2, B3), com 45% para A2 e
   55% para B3, isto é, com 10% de diferença.




                                                                                             4
GABARITO                       Caderno do Aluno                    Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 2

   a)




   Os porcentuais em amarelo são dos modelos correspondentes, sendo o modelo médio
   o que apresenta porcentual favorável à indústria A, na comparação com o da
   indústria B.
   b) A diferença de preferência é maior quando comparamos o modelo van da
   indústria A, que tem 80% de preferência, com o modelo popular da indústria B, que
   tem 20% de preferência. Portanto, uma diferença de 60 pontos porcentuais de
   preferência favorável ao modelo van da indústria A.




Páginas 16 - 17



Problema 1

   De a1000,1 até a1000,768, teremos pixels de tonalidade 1;
   De a1000,769 até a1000,1536, teremos pixels de tonalidade 2;
   De a1000,1537 até a1000,2304, teremos pixels de tonalidade 3.
   a) tonalidade 2
   b) tonalidade 1
   c) tonalidade 3


                                                                                                 5
GABARITO                          Caderno do Aluno                  Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 2

     a) b40, 100 = 2 . 40 – 100 = –20. Como –20  200, tonalidade 1.
     b) b1 000, 1 000 = 2 . 1 000 – 1 000 = 1 000. Como 320 < b1 000, 1 000  1 000, tonalidade 3.
     c) Trata-se de b1 200, 1 200 = 2 . 1 200 – 1 200 = 1 200. Assim, bij > 1 000, tonalidade 4.
     d)   320  2i  j  1 000  320  2 300  j  1 000  320  600  j  1 000 
     320  600  600  j  600  1 000  600   280   j  400   400  j  280
     Como j > 0, são 279 pixels na 300ª linha, com a tonalidade 3.




Página 17

     Resposta pessoal.




Páginas 21- 22
1.
     Problema 1                          Problema 2                          Problema 3




 0       0 1                          0    1 1                            1    0 1
                                                                                  
 0       1 1                          0    0 1                            0    0 0
 0       0 0                          0    0 0                            1    0 1
                                                                                  




                                                                                                     6
GABARITO               Caderno do Aluno                Matemática – 2a série – Volume 2



Problema 4                                Problema 5




    0 1 0
          
    1 1 1 
    0 1 0
          




                               Problema 6




               1   1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
                                          
               1   0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
               1   1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
                                          
               1   0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
               1   1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
                                          




                                                                                     7
GABARITO                           Caderno do Aluno                  Matemática – 2a série – Volume 2




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

  MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES




Páginas 25 - 27



Problema 1

   Uma estrela de 6 pontas.


Problema 2

   A seguinte matriz 13x13, em que todos os elementos são iguais a 1 ou a 0.



                  1   1   0   0    0   1   0   0   0   0   0   0   0
                                                                    
                  1   1   0   0    0   0   0   0   0   0   0   0   0
                  0   0   1   0    0   0   0   0   0   0   1   0   0
                                                                    
                  0   0   0   1    0   0   0   1   0   0   0   1   0
                  0   0   0   0    1   0   0   1   0   0   0   0   1
                                                                    
                  1   0   0   0    0   1   1   0   0   0   0   0   0
                                                                    
                  0   0   0   0    0   1   1   0   0   1   0   0   0
                  0   0   0   1    1   0   0   1   0   0   0   0   0
                                                                    
                  0   0   0   0    0   0   0   0   1   1   0   0   0
                  0   0   0   0    0   0   1   0   1   1   0   0   0
                                                                    
                  0   0   1   0    0   0   0   0   0   0   1   0   0
                  0   0   0   1    0   0   0   0   0   0   0   1   0
                                                                    
                  0   0   0   0    1   0   0   0   0   0   0   0   1
                                                                    




                                                                                                   8
GABARITO                 Caderno do Aluno   Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 3


1    0 1 0 0 1 1
0    1 1 0 1 1 0
                 
1    1 1 1 0 0 0
                 
0     0 1 1 1 0 1
0    1 0 1 1 0 0
                 
1    1 0 0 0 1 0
1    0 0 1 0 0 1
                 




Problema 4

     Resposta pessoal.




                                                                          9
GABARITO                       Caderno do Aluno                  Matemática – 2a série – Volume 2




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

  SISTEMAS LINEARES EM SITUAÇÕES-PROBLEMA




Páginas 28 - 33



Problema 1

   a) Seja x a quantidade de quilômetros rodados, temos:
   Locadora       A : custo  1,2.x  80  1,2 .140  80  R$ 248,00
   Locadora B : custo  1,0.x  120  1,0 .140  120  R$ 260,00
   b) Seja x a quantidade de quilômetros rodados, temos:
   Locadora       A : custo  1,2.x  80  1,2 . 300  80  R$ 440,00
   Locadora B : custo  1,0.x  120  1,0 .300  120  R$ 420,00
   c)   1,2.x  80  1,0.x  120  0,2 x  40  x  200 km
   Portanto, a partir de 200 km de percurso, torna-se mais econômico alugar o
   automóvel na locadora B.


Problema 2

   Sejam x o forno de micro-ondas, y o aspirador de pó e z a geladeira, temos:

    x  y  590  x  590  y
   
    x  z  1300  x  1300  z  590  y  1300  z   y  z  710
    y  z  1 250
   

    y  z  710
   
    y  z  1 250

   Adicionando uma equação à outra temos:
   2 z  1960  z  980,         y  270 e x  320 .

                                                                                              10
GABARITO                          Caderno do Aluno                    Matemática – 2a série – Volume 2



  Portanto, o forno de micro-ondas custa R$ 320,00, o aspirador de pó R$ 270,00 e a
  geladeira R$ 980,00.


Problema 3

  O seguinte sistema de equações traduz as condições do problema:

  ( I ) 3a  4b  c  8
  
  ( II ) 4a  5b  2c  20
  ( III ) a  2b  3c  6
  

  Multiplicando a equação (I) por 2 e somando com a equação (II), e multiplicando a
  equação (I) por 3 e somando com a equação (III), temos:

  2.( I ) 6a  8b  2c  16             e       3.( I ) 9a  12b  3c  24
   ( II ) 4a  5b  2c  20                    ( III ) a  2b  3c  6    

  10a  13b  36                                     10a  10b  30

  10a  13b  36  10a  36  13b
                                   36  13b  30  10b 
  10a  10b  30  10a  30  10b
                                                        3b  6  b  2, a  1 e c  3

  Portanto, os valores unitários dos produtos são: R$ 1 000,00; R$ 2 000,00; e
  R$ 3 000,00.


Problema 4

  O sistema possível para a resolução do problema é formado por quatro equações e
  três incógnitas, isto é, não se trata de um sistema “quadrado”. Nesse caso, pode-se
  desprezar inicialmente uma das equações, resolver o sistema formado por três delas
  e, ao final, testar se os resultados obtidos verificam a equação não utilizada na
  resolução.

  ( I ) 4 x  2 y  2 z  46
  ( II ) 5 x  3 y  z  57
  
  
  ( III ) 4 x  3 y  3 z  53
  ( IV ) 3 x  3 y  7 z  53
  
                                                                                                   11
GABARITO                      Caderno do Aluno                  Matemática – 2a série – Volume 2



  Na equação (II), z = 57 – 5x – 3y; substituindo nas equações (I) e (III), temos:



  ( I ) 4 x  2 y  2(57  5 x  3 y )  46     (V ) 4 x  2 y  114  10 x  6 y  46
                                                                                       
  ( III ) 4 x  3 y  3(57  5 x  3 y )  53   (VI ) 4 x  3 y  171  15 x  9 y  53

  (V )  6 x  4 y  68     (V ) 3x  2 y  34
                            
  (VI )  11x  6 y  118   (VI ) 11x  6 y  118

                        34  3x
  Na equação (V), y            ; substituindo na equação (VI), temos:
                           2

           34  3x 
  11x  6.           118  11x  3(34  3x)  118  2 x  16  x  8
           2 
  Portanto, a medalha de ouro vale 8 pontos. Voltando com esse valor em (V), obtemos
  que y = 5, ou seja, obtemos que a medalha de prata vale 5 pontos. Voltando com
  esses valores em (II), obtemos que z = 2, ou seja, que a medalha de bronze vale
  2 pontos.
  Substituindo os valores obtidos para x, y e z, na equação (IV), nota-se que ela é
  verificada, pois 3 . 8 + 3 . 5 + 7 . 2 = 24 + 15 + 14 = 53.


Problema 5

  a) 4 . 3 + 4 . 1 + 4 . 0 = 16 pontos.
  b) Caso vença as 12 partidas, uma equipe conseguirá, no máximo, 3 . 12 = 36
  pontos.
  c) Denominando o número de vitórias por x, o número de empates por y e o de
  derrotas por z, pode-se escrever: x + y + z = 12 e 3 . x + 1 . y + 0 . z = 24, ou
   x  y  z  12
  
  3x  y  24
  Tem-se, portanto, um sistema de duas equações e três incógnitas, que é
  indeterminado, isto é, tem mais de uma solução.
  Uma possível resposta para o problema pode ser obtida fazendo, por exemplo, x = 7,
  isto é, supondo que a equipe vença 7 dos 12 jogos. Nesse caso, será preciso que


                                                                                              12
GABARITO                        Caderno do Aluno               Matemática – 2a série – Volume 2



  y = 3, a fim de que a equipe consiga atingir, exatamente, 24 pontos. Portanto, uma
  resposta possível é: 7 vitórias, 3 empates e 2 derrotas.
  d) Pretende-se, neste caso, determinar as soluções naturais do sistema formado
                                                           x  y  z  12
  pelas duas equações descritas no item anterior, isto é, 
                                                          3x  y  24
  Fazendo y = 24 – 3x na segunda equação e substituindo em y na primeira equação,
  temos:
                  x + 24 – 3x + z = 12  z = 2x – 12
  Assim, pode-se escrever a resposta geral do sistema em função de x, isto é, em
  função do número de vitórias: S = {(x, 24 – 3x, 2x – 12) x  N}.
  Como interessam apenas os casos em que 0 ≤ x ≤ 12, y ≥ 0 e z ≥ 0, pode-se atribuir a
  x apenas os valores 6, 7, e 8. Isso feito, serão obtidas as seguintes possibilidades
  expressas na tabela:

     Vitória        Empate            Derrota       Total de jogos        Total de pontos
        8                0                4              12                       24
        7                3                2              12                       24
        6                6                0              12                       24




Problema 6

  Temos aqui um problema que não apresenta uma única solução e que pode ser
  resolvido por meio de um sistema indeterminado de equações lineares.
  É apresentada a solução geral do problema, considerando:
  x: massa de farinha de trigo, em kg.
  y: massa de fubá, em kg.
  z: massa de chocolate em pó, em kg.

    x  y  z  2  x  2  y  z (I )
    
     x  2 y  20 z  4 ( II )
  Substituindo (I) em (II), tem-se que 2  y  z  2 y  20 z  4             y  2  19 z e,
  substituindo           esse           resultado         em            (I),           tem-se:
  x  2  (2  19 z )  z  x  2  2  19 z  z  x  18 z .
                                                                                            13
GABARITO                           Caderno do Aluno                    Matemática – 2a série – Volume 2



   Portanto, a solução geral do sistema é: {(18z, 2 – 19z, z) z  N}.
   Vale observar que não é possível ter valores negativos para nenhuma das
   quantidades. Assim, é necessário que sejam obedecidas as seguintes condições:
                                                                        2
   18z > 0, 2 – 19z > 0 e z > 0, de forma que 0 < z <                      0,105 , ou seja, que a
                                                                       19
   quantidade de chocolate em pó seja positiva e inferior a 105 gramas.
   No caso de z = 100 g, ou 0,1 kg, o kit comprado por Helena teve a seguinte
   constituição:
   x: massa de farinha de trigo, 1,8 kg.
   y: massa de fubá, 0,1 kg.
   z: massa de chocolate em pó, 0,1 kg.




Páginas 33 - 34
1. 0,25 x  0,50 y  0,75 z  120

   a)
   x  y  z  230,
   se x  60 e y  90, temos : 60  90  z  230  z  80 e 0,75.80  60 pontos

2. Sejam:
   x: pontuação no período da manhã
   y: pontuação no período da tarde
   z: pontuação no período da noite

   ( I ) 2 x  4 y  z  11
   
   ( II ) 4 x  3 y  2 z  27
   ( III ) 3 x  2 y  2 z  10
   

   Multiplicando a equação (I) por 2 e somando o resultado à equação (II) e
multiplicando a equação (I) por 2 e somando o resultado à equação (III), temos:

 2.( I ) 4 x  8 y  2 z  22        e        2.( I ) 4 x  8 y  2 z  22
 ( II ) 4 x  3 y  2 z  27                   ( III ) 3x  2 y  2 z  10 

   8 x  11y  49                                     7 x  6 y  32
                                                                                                    14
GABARITO                     Caderno do Aluno             Matemática – 2a série – Volume 2




                      49  11y
8 x  11y  49  x 
                         8       49  11 y 32  6 y
                                                           343  77 y  256  48 y 
7 x  6 y  32  x  32  6 y       8         7

                        7
29 y  87  y  3, x  2 e z  5


  Portanto, a pontuação no período da manhã é igual a 2, no período da tarde é igual 3
  e no período da noite é igual a 5.




                                                                                       15
GABARITO                         Caderno do Aluno              Matemática – 2a série – Volume 2




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

  RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:
  ESCALONAMENTO X CRAMER




Páginas 40 - 45



Problema 1

   a)

   1    2        2      4                    1         2         2    4
   2     1        1        2 L  L e 3L  L   0
                         1 1                             5         3    9   4 L2  L3 
                                   2    1   3                              
    3  14
                 19       
                         63                    0
                                                           20       25     
                                                                           75



   1       2     2      4
   0       5     3      9   13z  39  z  3,       y  0 e x  2
                           
   
   0        0    13     39 
                            


   Portanto, S = {(–2, 0, 3)}.

   b)

   1     2       3      4                    1             2      3      4
    3  4         1       3L  L e 5 L  L   0
                          0 1                                 2      8     12  L2  2 
                                  2     1   3                                 
   5
        3         10    1
                                               0
                                                              7      5     19



   1       2     3      4          1            2   3         4                 z  1
   0       1     4     6 7L  L   0           1   4             23z  23   y  2
                                                                   6 
                              2   3                                                
   0       7     5     19                            23       23                x  3
                                    0            0                               



                                                                                            16
GABARITO                         Caderno do Aluno              Matemática – 2a série – Volume 2



  Portanto, S = {(–3, 2, –1)}.

  c)

     2 x  y  2        y  2x  2
                                             2z
     2 y  z  2           2  z  2x  2       4x  z  6
      3 x  2 z  1    y                    2
                              2



                        z  6  4x                                 x  1
     4 x  z  6                              1  3x              
                          1  3x  6  4 x          11x  11   y  0
      3 x  2 z  1   z  2                     2                z  2
                                                                   

  Portanto, S = {(1, 0, 2)}.

  d)


1         3     5        2                      1        3     5       2
3        1     3             3L  L e 2 L  L   0
                           4  1                             8     12      2  L2  2 
                                     2     1   3                            
 2
          2     4         3
                                                  0
                                                            4      6      1



1        3      5        2       1          3       5   2
0        4      6          L L  0
                           1 2                     4   6   1   4 y  6 z  1 
                                 3                           
0
         4      6        1
                                   0
                                                   0    0   0



       6z  1                                 6z  1                 18 z  3
y            e x  2  3 y  5 z  x  2  3          5z  x  2            5z 
         4                                    4                         4

     8  18 z  3  20 z           5  2z
x                          x
              4                       4



                 5  2 z 6 z  1            
  Portanto, S          ,       , z  , z  R .
                 4          4               



                                                                                            17
GABARITO                           Caderno do Aluno                    Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 2

     a)

     m       2       m  1                m             2          m 1 
     2                      2 L1  L2                                       
             4       3m                  2m  2        0           m  2
                                                                             

                                         m2
     (2m  2) x   m  2  x 
                                         2m  2

     Se 2m – 2 ≠ 0, ou seja, m ≠ 1, o sistema é possível e determinado.
     Se 2m – 2 = 0, ou seja, m = 1, o sistema é impossível.


     b)

1         1      1       0        1        1       1        0 
3        2      m       0     ou 3       2       m        0  3L1  L2 e 2 L1  L3 
                                                              
2
         1      1       0
                                   
                                    2       1       1        0
                                                                 

1        1       1           0                   1           1       1           0
0        5       3 m        0  3 L2   e  5L3  0          15      9  3m       0  L2  L3 
                                                                                   
0
         3        3          0                  0
                                                               15       15       0

1        1          1          0
0                                                              0
         15       9  3m       0   (6  3m) z  0  z 
                                                            6  3m
0
         0        6  3m      0


     Se – 6 – 3m ≠ 0, ou seja, m ≠ –2, o sistema é possível e determinado, com z = 0,
     y = 0 e x = 0.
     Se – 6 – 3m = 0, ou seja, m = –2, o sistema é possível e indeterminado.




                                                                                                    18
GABARITO                           Caderno do Aluno                        Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 3

 1         1    k          2                1       1        k       2
  1    1       3          m          ou    3       1        2       0  3L1  L2 e L1  L3 
                                                                         
 3
       1        2          0     
                                               1
                                                       1        3       m



 1       1       k              2               1        1         k          2 
 0      2       k 3           2m         ou   0        2         k 3      2  m 2 L2  L3 
                                                                                    
 0
        4       3k  2          6     
                                                  0
                                                            4         3k  2      6 



 1       1      k                 2   
 0                                                                                   2m  2
         2      k 3            2  m   ( k  4) z  2 m  2 
                                                                                z
                                                                                       k 4
 
 0       0       k 4           2 m  2
                                        

  Se 2m – 2 = 0 e k – 4 = 0, ou seja, m = 1 e k = 4, o sistema é possível e
  indeterminado.



1      1       k                  2                                  1                     1      4      2
0      2       k 3             2  m      se m  1 e k  4, temos :  0                    2      7      3
                                                                                                            
0
       0         k 4           2m  2 
                                                                       0
                                                                                              0       0      0
                                                                                                               
                             3  7z
 2 y  7z  3        y                e
                                2
                                                   3  7z 
 x  y  4z  2  x  2  y  4z  x  2                   4z 
                                                   2 
        4  3  7 z  8z             z 1
 x                        x
               2                       2
                    z  1 3  7 z            
 Porta nto, S           ,       , z  , z  R
                    2        2               
                                                      1 3 
 se z  0,      uma        possível     solução é :  , , 0 ;
                                                      2 2 
 se z  1,      uma      possível       solução é : 1, 5, 1;

 se z = –1, uma possível solução é: 0,  2,  1.




                                                                                                        19
GABARITO                        Caderno do Aluno                   Matemática – 2a série – Volume 2




Problema 4

   ( I ) a  b  2c  1
   
   ( II ) a  b  c  0
   ( III ) ma  b  c  2
   

  Somando a equação (I) à equação (II) e somando a equação (I) à equação (III),
  temos:

       ( I ) a  b  2c  1         e            ( I ) a  b  2c  1
       ( II ) a  b  c  0                     ( III ) ma  b  c  2 

           2a  c  1                              (m  1)a  3c  3

    2 a  c  1
                               Resolvendo o sistema de duas equações por substituição,
    (m  1)a  3c  3
    temos: c = 1 – 2a.

    (m  1)a  3(1  2a )  3  ma  a  3  6a  3  ma  5a  0 
                              0
    (m  5)a  0  a 
                             m5

  Se m – 5 = 0, ou seja, m = 5, o sistema é possível e indeterminado.
a  b  2c  1, mas c  1  2a, então, a  b  2(1  2a)  1  b  1  a  2  4a  b  3a  1
   Portanto, S  a, 3a  1, 1  2a  , a  R .

  O enunciado pede duas soluções possíveis.
  Para a = 0, temos S = 0,  1,1   
  Para a =  1, temos S =      1,  4, 3 


Problema 5

  Sejam:
  B: preço das bandeirinhas
  C: preço dos chapéus
  F: preço das fantasias

  Temos:

                                                                                                20
GABARITO                          Caderno do Aluno              Matemática – 2a série – Volume 2




   ( I ) 4 B  4C  4 F  62
   
   ( II ) 4 B  4C . (0,9)  4 F  60
   ( III ) 2 B . (0,8)  2C . (0,9)  2 F  29
   

   Subtraindo a equação (II) da equação (I), temos:
   4C  3,6C  2  0,4C  2  C  5

   Substituindo o valor de C nas equações (I) e (III), temos:

   ( I ) 4 B  20  4 F  62      ( IV ) 4 B  4 F  42   ( IV ) 2 B  2 F  21
                                                        
   ( III ) 1,6 B  9  2 F  29   (V ) 1,6 B  2 F  20   (V ) 1,6 B  2 F  20

   Subtraindo a equação (V) da equação (IV), temos:

  2 B  1,6 B  1  0,4 B  1  B  2,5 e F  8

   Portanto, para Ana, o preço das bandeirinhas foi R$ 2,50; dos chapéus, R$ 5,00, e
das fantasias, R$ 8,00.

   Outra resolução possível, diferente da apresentada, baseia-se no fato de que Ana e
Beto compraram quantidades iguais, mas Beto gastou R$ 2,00 a menos do que Ana.
Assim, é possível concluir que esses R$ 2,00 correspondem a 10% do preço de
4 montões de chapéus. Então, se 10% correspondem a R$ 2,00, 100% correspondem a
R$ 20,00. Logo, Ana gastou R$ 20,00 na compra de 4 montões de chapéus, o que
significa ter pago R$ 5,00 por montão.


Problema 6

   a) Sejam:
   x: alvo 1
   y: alvo 2
   z: alvo 3

   Temos,

3x  2 y  z  40 ( Adamastor )

 x  2 y  2 z  40 ( Ernesto)


                                                                                             21
GABARITO                             Caderno do Aluno                  Matemática – 2a série – Volume 2



  Se cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3 tiver valido, respectivamente, 4, 16 e 3
pontos, então:

3.4  2.16  3  12  32  3  47  40
                                               ; logo, não é possível que os alvos tenham esses
4  2.16  2.3  4  32  6  42  40
     valores.

     b)

3x  2 y  z  40
                          , subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
 x  2 y  2 z  40
2x  z  0  z  2x

                                  40  z  3x                40  2 x  3x               40  5 x
3x  2 y  z  40           y                        y                         y
                                       2                           2                        2

     Portanto,
                      40  5 x               
                 S   x,       , 2 x  , x  R
                         2                   
     Ou seja, o total de pontos de cada bola certeira nos alvos 2 e 3, em função de x, é
     respectivamente: 40  5 x
                                       e 2x
                         2




Páginas 46 - 47
1.
     a)

     1    7      3         0                           1         7       3          0 
     3    2      1        1  3L1  L2 e 7 L1  L3     0         23       10         1 2 L2  L3
                                                                                         
     7
           3     1         1
                                                         0
                                                                     46      20         1


  1       7        3        0 
  0       23        10       1     0 z  3
                                
  0
           0        0       3 




                                                                                                      22
GABARITO                           Caderno do Aluno              Matemática – 2a série – Volume 2



Portanto, o sistema é impossível.

  b)

2 x  6 y  10
                 , dividindo a primeira equação por 2 e a segunda por –3, temos:
 3x  9 y  15
x  3 y  5

x  3 y  5

  Trata-se de um sistema com duas variáveis e apenas uma equação, ou seja, um
  sistema indeterminado, com x = 5 + 3y.
  Portanto, S  5  3 y, y  ,     y  R.


2. Sejam:
  a: preço da abobrinha
  b: preço da batata
  c: preço da cenoura

  Temos:

3b  0,5c  a  14,45 ( Arnaldo)                        ( I ) 3b  0,5c  a  14,45
                                                        
2(b  0,50)  c  2(a  0,20)  11,50 ( Juvenal )      ( II ) 2b  c  2a  12,90
                                                        ( III ) 3b  3c  3a  23,10
3(b  1)  3(c  0,50)  3(a  0,20)  18,00 ( Rosa )   

  Multiplicando a equação (I) por 6 e a equação (II) por 3, temos:

   ( I ) 18b  3c  6a  86,70
   
   ( II ) 6b  3c  6a  38,70
   ( III ) 3b  3c  3a  23,10
   

  Subtraindo a equação (II) da equação (I) e subtraindo a equação (III) da equação (II),
  temos:



       ( I ) 18b  3c  6a  86,70             e      ( II ) 6b  3c  6a  38,70
       ( II ) 6b  3c  6a  38,70                   ( III ) 3b  3c  3a  23,10 

               12b  48                                 3b  3a  15,60

                                                                                              23
GABARITO                              Caderno do Aluno                  Matemática – 2a série – Volume 2




12b  48
                 b  4,00, a  1,20 e c  2,50
3b  3a  15,60

   Portanto, seu Manuel cobra R$ 4,00 pelas batatas, R$ 1,20 pelas abobrinhas e
   R$ 2,50 pelas cenouras.




Páginas 53 - 54



Problema 1

                0 0 1
             1         1
   ABAH      . 4 4 1  | 24  8 |  8 u 2
             2         2
                2 6 1



Problema 2

                  2 8
                  7 11
        1 3 4                 1                                                   1            43
ACOISA  .                    . | 22  28  9  14  8  56  33  28  3  4 |  . | 43 |      21,5 u 2
        2 7 3                 2                                                   2            2
           1 2
                  2 8



Desafio!

Página 55

                  6     7
                  1      6
       1                 1                                        1            85
ADECO  .         1   1  . | 36  1  1  35  7  6  5  6 |  . | 85 |      42,5 u 2
       2                 2                                        2             2
                   5 1
                  6 7

                                                                                                     24
GABARITO                    Caderno do Aluno                 Matemática – 2a série – Volume 2




            2    1
            9    4
       1              1                                        1            72
ALINA  .   6     3  . | 8  27  24  1  9  24  3  8 |  . | 72 |      36 u 2
       2              2                                        2             2
            1   4
            2     1

  Portanto, o quadrilátero DECO tem a maior área.




                                                                                          25

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6
Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6
Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6
Jéssica Amaral
 
Matematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logicoMatematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logico
con_seguir
 
Portifolio da 8 serie = 9 ano de 2013 prof mm
Portifolio da 8 serie = 9 ano  de 2013   prof mmPortifolio da 8 serie = 9 ano  de 2013   prof mm
Portifolio da 8 serie = 9 ano de 2013 prof mm
vinitvito
 
340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico
MARIOJR2013
 
Ficheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º anoFicheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º ano
Ana Picão
 
Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2
con_seguir
 
Ficheiro Números e Operações 2ºano
Ficheiro Números e Operações 2ºanoFicheiro Números e Operações 2ºano
Ficheiro Números e Operações 2ºano
Ana Picão
 
Mat - Banco de 101 questões
Mat - Banco de 101 questõesMat - Banco de 101 questões
Mat - Banco de 101 questões
supertrabalhos4
 
Ficheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º anoFicheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º ano
Ana Picão
 

Mais procurados (18)

Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6
Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6
Prova-MAT-BIO-HIST-GEO-Grupo4,5,6
 
Curso completo de matematica para concursos 1400 questoes resolvidas e gaba...
Curso completo de matematica para concursos   1400 questoes resolvidas e gaba...Curso completo de matematica para concursos   1400 questoes resolvidas e gaba...
Curso completo de matematica para concursos 1400 questoes resolvidas e gaba...
 
Matemática basica
Matemática basicaMatemática basica
Matemática basica
 
Matematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logicoMatematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logico
 
Portifolio da 8 serie = 9 ano de 2013 prof mm
Portifolio da 8 serie = 9 ano  de 2013   prof mmPortifolio da 8 serie = 9 ano  de 2013   prof mm
Portifolio da 8 serie = 9 ano de 2013 prof mm
 
PROVA DE MATEMÁTICA CORSAN RESOLVIDA
PROVA DE MATEMÁTICA CORSAN RESOLVIDAPROVA DE MATEMÁTICA CORSAN RESOLVIDA
PROVA DE MATEMÁTICA CORSAN RESOLVIDA
 
340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico
 
Potencias (1)
Potencias (1)Potencias (1)
Potencias (1)
 
Ficheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º anoFicheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º ano
 
Matematica fiscal
Matematica fiscalMatematica fiscal
Matematica fiscal
 
Resolvida 2.1 pagina 5
Resolvida 2.1 pagina 5Resolvida 2.1 pagina 5
Resolvida 2.1 pagina 5
 
Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2Apostila mat-est-2010.2
Apostila mat-est-2010.2
 
Ficheiro Números e Operações 2ºano
Ficheiro Números e Operações 2ºanoFicheiro Números e Operações 2ºano
Ficheiro Números e Operações 2ºano
 
Mat - Banco de 101 questões
Mat - Banco de 101 questõesMat - Banco de 101 questões
Mat - Banco de 101 questões
 
Ficheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º anoFicheiro de Matemática 1º ano
Ficheiro de Matemática 1º ano
 
Sequencias e mf 2016
Sequencias e mf 2016Sequencias e mf 2016
Sequencias e mf 2016
 
Caos
CaosCaos
Caos
 
AULA 08 - 6º ANO - CEM
AULA 08 - 6º ANO - CEMAULA 08 - 6º ANO - CEM
AULA 08 - 6º ANO - CEM
 

Semelhante a 2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
profzwipp
 
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano
O mundo da FÍSICA
 
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano
O mundo da FÍSICA
 
Matematica exercicios elemen
Matematica exercicios elemenMatematica exercicios elemen
Matematica exercicios elemen
educacao f
 
Matematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementarMatematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementar
gabaritocontabil
 
Matematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementarMatematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementar
educacao f
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
profzwipp
 
Lista af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015
Lista   af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015Lista   af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015
Lista af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015
proffelipemat
 
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano
O mundo da FÍSICA
 
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
profzwipp
 
Teste números naturais
Teste   números naturaisTeste   números naturais
Teste números naturais
marcommendes
 
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
Mat matrizes determinantes  001 exerciciosMat matrizes determinantes  001 exercicios
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
trigono_metrico
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
J M
 

Semelhante a 2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito (20)

2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
 
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_3° Ano
 
Cadernodequestes ano2011
Cadernodequestes ano2011Cadernodequestes ano2011
Cadernodequestes ano2011
 
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo II_2° Ano
 
Cadernodequestes ano2010
Cadernodequestes ano2010Cadernodequestes ano2010
Cadernodequestes ano2010
 
8
88
8
 
9
99
9
 
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Apostila de matemática aplicada vol i 2004
Apostila de matemática aplicada vol i 2004
 
Matematica exercicios elemen
Matematica exercicios elemenMatematica exercicios elemen
Matematica exercicios elemen
 
Matematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementarMatematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementar
 
Matematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementarMatematica exercicios elementar
Matematica exercicios elementar
 
Reforco matematica-em-radiciacao-atividade-5
Reforco matematica-em-radiciacao-atividade-5Reforco matematica-em-radiciacao-atividade-5
Reforco matematica-em-radiciacao-atividade-5
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
 
Aap -matematica_-_2a_serie_do_ensino_medio
Aap  -matematica_-_2a_serie_do_ensino_medioAap  -matematica_-_2a_serie_do_ensino_medio
Aap -matematica_-_2a_serie_do_ensino_medio
 
Lista af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015
Lista   af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015Lista   af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015
Lista af1 - 2º bimestre - 9º ano - 2015
 
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano
1° Etapa_1° Avaliação_Tipo I_2° Ano
 
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
 
Teste números naturais
Teste   números naturaisTeste   números naturais
Teste números naturais
 
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
Mat matrizes determinantes  001 exerciciosMat matrizes determinantes  001 exercicios
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
 

Mais de profzwipp

Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_sCad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
profzwipp
 
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_sCad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
profzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
profzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
profzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
profzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
profzwipp
 
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
profzwipp
 

Mais de profzwipp (20)

Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_sCad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
 
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_sCad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
 
Cadaluno1em
Cadaluno1emCadaluno1em
Cadaluno1em
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
 
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
 

2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

  • 1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 MATRIZES: DIFERENTES SIGNIFICADOS Páginas 3 - 9 Problema 1 a) Cinco unidades na horizontal para a direita e duas unidades na vertical para cima. 1 1 1 3 b) A  3 1   2 0 6 3 6 5 c) B  8 3   7 2 5 2 5 2 d) C  5 2   5 2 Problema 2 a) Quatro unidades horizontais para a esquerda e uma unidade vertical para cima. b) Uma unidade horizontal para a direita e quatro unidades verticais para baixo. c) Três unidades horizontais para a esquerda e três unidades verticais para baixo. 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 1 2,5  3 3,5   2  0,5 d) M  4  0,5   N 0  1,5   P 1   2,5   2   0,5    2  0,5  1   3,5    4 1 e) Q   4  1   4  1  1  4 f) R  1   4  1   4   3  3 g) T   3   3   3   3  Problema 3 Os elementos da matriz seguinte correspondem ao total de pontos das equipes, de cima para baixo, nesta ordem: Barro Vermelho, Carranca, Veneza, Colonial e Olaria 11 7  .   6    4  3    2
  • 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 4 a)  40 140 15 9    50 120 18 10     b)  1,20 1,10     0,80 0,90   5,00 6,00     9,00 7,50    c) Esta matriz corresponde ao produto entre as matrizes do item a e do item b.  316,00 327,50    336,00 346,00     d) (327,50 – 316,00) + (346,00 – 336,00) = R$ 21,50 Páginas 9 - 10 1. a) A matriz procurada pode ser obtida do produto das matrizes que podem ser formadas com os elementos numéricos das duas tabelas apresentadas no enunciado. De qualquer forma, para obter os resultados procurados, será necessário multiplicar os elementos de cada linha da tabela 2 pelos elementos de cada coluna da tabela 1, da seguinte forma: • Tipo 1: 12 . 0,12 + 1,50 . 0,1 + 28 . 0,16 + 1,20 . 0,5 = 6,67 • Tipo 2: 12 . 0,25 + 1,50 . 0,12 + 28 . 0,18 + 1,20 . 1,5 = 10,02 • Tipo 3: 12 . 0,18 + 1,50 . 0,1 + 28 . 0,2 + 1,20 = 9,11 3
  • 4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 • Tipo 4: 12 . 0,16 + 1,50 . 0,08 + 28 . 0,1 + 1,20 = 6,04 Assim, a matriz procurada é: 6,67 10,02 9,11 6,04 b) Para calcular o montante de um valor sobre o qual se fez incidir um porcentual de, por exemplo, 60%, podemos multiplicar o valor inicial pelo coeficiente 1,6. Esse índice corresponde, de fato, à soma de 100% + 60%. Para obter o resultado procurado, será necessário, de fato, multiplicar a matriz obtida no item a pela matriz seguinte, formada pelos coeficientes de correção do valor inicial: 1,6    1,8  (6,67 10,02 9,11 6,04) .   = 1,6 . 6,67 + 1,8 . 10,02 + 2 . 9,11 + 2 . 6,04 = 59,008. 2,0    2,0   O resultado acima corresponde ao valor de venda de uma unidade de cada tipo. Como são previstas 200 unidades de cada, devemos fazer: 200 . 59,008 = 11 801,60. Assim, o valor total das vendas será igual a R$ 11 801,60. Páginas 11 - 14 Problema 1 a) 30% para A1 e 70% para B3. b) A rede A terá mais audiência, pois A2 terá 75%, ante 25% de B2. São, portanto, 50% mais. c) A maior diferença está no par (A1, B2), com 20% para A1 e 80% para B2, isto é, com 60% de diferença. A menor diferença está no par (A2, B3), com 45% para A2 e 55% para B3, isto é, com 10% de diferença. 4
  • 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 2 a) Os porcentuais em amarelo são dos modelos correspondentes, sendo o modelo médio o que apresenta porcentual favorável à indústria A, na comparação com o da indústria B. b) A diferença de preferência é maior quando comparamos o modelo van da indústria A, que tem 80% de preferência, com o modelo popular da indústria B, que tem 20% de preferência. Portanto, uma diferença de 60 pontos porcentuais de preferência favorável ao modelo van da indústria A. Páginas 16 - 17 Problema 1 De a1000,1 até a1000,768, teremos pixels de tonalidade 1; De a1000,769 até a1000,1536, teremos pixels de tonalidade 2; De a1000,1537 até a1000,2304, teremos pixels de tonalidade 3. a) tonalidade 2 b) tonalidade 1 c) tonalidade 3 5
  • 6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 2 a) b40, 100 = 2 . 40 – 100 = –20. Como –20  200, tonalidade 1. b) b1 000, 1 000 = 2 . 1 000 – 1 000 = 1 000. Como 320 < b1 000, 1 000  1 000, tonalidade 3. c) Trata-se de b1 200, 1 200 = 2 . 1 200 – 1 200 = 1 200. Assim, bij > 1 000, tonalidade 4. d) 320  2i  j  1 000  320  2 300  j  1 000  320  600  j  1 000  320  600  600  j  600  1 000  600   280   j  400   400  j  280 Como j > 0, são 279 pixels na 300ª linha, com a tonalidade 3. Página 17 Resposta pessoal. Páginas 21- 22 1. Problema 1 Problema 2 Problema 3 0 0 1 0 1 1 1 0 1       0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1       6
  • 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 4 Problema 5 0 1 0   1 1 1  0 1 0   Problema 6 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1   1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0   1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0   7
  • 8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES Páginas 25 - 27 Problema 1 Uma estrela de 6 pontas. Problema 2 A seguinte matriz 13x13, em que todos os elementos são iguais a 1 ou a 0. 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0   1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1   1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0   0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1   8
  • 9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 3 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0   1 1 1 1 0 0 0   0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0   1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1   Problema 4 Resposta pessoal. 9
  • 10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS LINEARES EM SITUAÇÕES-PROBLEMA Páginas 28 - 33 Problema 1 a) Seja x a quantidade de quilômetros rodados, temos: Locadora A : custo  1,2.x  80  1,2 .140  80  R$ 248,00 Locadora B : custo  1,0.x  120  1,0 .140  120  R$ 260,00 b) Seja x a quantidade de quilômetros rodados, temos: Locadora A : custo  1,2.x  80  1,2 . 300  80  R$ 440,00 Locadora B : custo  1,0.x  120  1,0 .300  120  R$ 420,00 c) 1,2.x  80  1,0.x  120  0,2 x  40  x  200 km Portanto, a partir de 200 km de percurso, torna-se mais econômico alugar o automóvel na locadora B. Problema 2 Sejam x o forno de micro-ondas, y o aspirador de pó e z a geladeira, temos:  x  y  590  x  590  y   x  z  1300  x  1300  z  590  y  1300  z   y  z  710  y  z  1 250   y  z  710   y  z  1 250 Adicionando uma equação à outra temos: 2 z  1960  z  980, y  270 e x  320 . 10
  • 11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Portanto, o forno de micro-ondas custa R$ 320,00, o aspirador de pó R$ 270,00 e a geladeira R$ 980,00. Problema 3 O seguinte sistema de equações traduz as condições do problema: ( I ) 3a  4b  c  8  ( II ) 4a  5b  2c  20 ( III ) a  2b  3c  6  Multiplicando a equação (I) por 2 e somando com a equação (II), e multiplicando a equação (I) por 3 e somando com a equação (III), temos: 2.( I ) 6a  8b  2c  16 e 3.( I ) 9a  12b  3c  24 ( II ) 4a  5b  2c  20  ( III ) a  2b  3c  6  10a  13b  36 10a  10b  30 10a  13b  36  10a  36  13b   36  13b  30  10b  10a  10b  30  10a  30  10b 3b  6  b  2, a  1 e c  3 Portanto, os valores unitários dos produtos são: R$ 1 000,00; R$ 2 000,00; e R$ 3 000,00. Problema 4 O sistema possível para a resolução do problema é formado por quatro equações e três incógnitas, isto é, não se trata de um sistema “quadrado”. Nesse caso, pode-se desprezar inicialmente uma das equações, resolver o sistema formado por três delas e, ao final, testar se os resultados obtidos verificam a equação não utilizada na resolução. ( I ) 4 x  2 y  2 z  46 ( II ) 5 x  3 y  z  57   ( III ) 4 x  3 y  3 z  53 ( IV ) 3 x  3 y  7 z  53  11
  • 12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Na equação (II), z = 57 – 5x – 3y; substituindo nas equações (I) e (III), temos: ( I ) 4 x  2 y  2(57  5 x  3 y )  46 (V ) 4 x  2 y  114  10 x  6 y  46     ( III ) 4 x  3 y  3(57  5 x  3 y )  53 (VI ) 4 x  3 y  171  15 x  9 y  53 (V )  6 x  4 y  68 (V ) 3x  2 y  34    (VI )  11x  6 y  118 (VI ) 11x  6 y  118 34  3x Na equação (V), y  ; substituindo na equação (VI), temos: 2  34  3x  11x  6.   118  11x  3(34  3x)  118  2 x  16  x  8  2  Portanto, a medalha de ouro vale 8 pontos. Voltando com esse valor em (V), obtemos que y = 5, ou seja, obtemos que a medalha de prata vale 5 pontos. Voltando com esses valores em (II), obtemos que z = 2, ou seja, que a medalha de bronze vale 2 pontos. Substituindo os valores obtidos para x, y e z, na equação (IV), nota-se que ela é verificada, pois 3 . 8 + 3 . 5 + 7 . 2 = 24 + 15 + 14 = 53. Problema 5 a) 4 . 3 + 4 . 1 + 4 . 0 = 16 pontos. b) Caso vença as 12 partidas, uma equipe conseguirá, no máximo, 3 . 12 = 36 pontos. c) Denominando o número de vitórias por x, o número de empates por y e o de derrotas por z, pode-se escrever: x + y + z = 12 e 3 . x + 1 . y + 0 . z = 24, ou  x  y  z  12  3x  y  24 Tem-se, portanto, um sistema de duas equações e três incógnitas, que é indeterminado, isto é, tem mais de uma solução. Uma possível resposta para o problema pode ser obtida fazendo, por exemplo, x = 7, isto é, supondo que a equipe vença 7 dos 12 jogos. Nesse caso, será preciso que 12
  • 13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 y = 3, a fim de que a equipe consiga atingir, exatamente, 24 pontos. Portanto, uma resposta possível é: 7 vitórias, 3 empates e 2 derrotas. d) Pretende-se, neste caso, determinar as soluções naturais do sistema formado  x  y  z  12 pelas duas equações descritas no item anterior, isto é,  3x  y  24 Fazendo y = 24 – 3x na segunda equação e substituindo em y na primeira equação, temos: x + 24 – 3x + z = 12  z = 2x – 12 Assim, pode-se escrever a resposta geral do sistema em função de x, isto é, em função do número de vitórias: S = {(x, 24 – 3x, 2x – 12) x  N}. Como interessam apenas os casos em que 0 ≤ x ≤ 12, y ≥ 0 e z ≥ 0, pode-se atribuir a x apenas os valores 6, 7, e 8. Isso feito, serão obtidas as seguintes possibilidades expressas na tabela: Vitória Empate Derrota Total de jogos Total de pontos 8 0 4 12 24 7 3 2 12 24 6 6 0 12 24 Problema 6 Temos aqui um problema que não apresenta uma única solução e que pode ser resolvido por meio de um sistema indeterminado de equações lineares. É apresentada a solução geral do problema, considerando: x: massa de farinha de trigo, em kg. y: massa de fubá, em kg. z: massa de chocolate em pó, em kg. x  y  z  2  x  2  y  z (I )   x  2 y  20 z  4 ( II ) Substituindo (I) em (II), tem-se que 2  y  z  2 y  20 z  4  y  2  19 z e, substituindo esse resultado em (I), tem-se: x  2  (2  19 z )  z  x  2  2  19 z  z  x  18 z . 13
  • 14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Portanto, a solução geral do sistema é: {(18z, 2 – 19z, z) z  N}. Vale observar que não é possível ter valores negativos para nenhuma das quantidades. Assim, é necessário que sejam obedecidas as seguintes condições: 2 18z > 0, 2 – 19z > 0 e z > 0, de forma que 0 < z <  0,105 , ou seja, que a 19 quantidade de chocolate em pó seja positiva e inferior a 105 gramas. No caso de z = 100 g, ou 0,1 kg, o kit comprado por Helena teve a seguinte constituição: x: massa de farinha de trigo, 1,8 kg. y: massa de fubá, 0,1 kg. z: massa de chocolate em pó, 0,1 kg. Páginas 33 - 34 1. 0,25 x  0,50 y  0,75 z  120 a) x  y  z  230, se x  60 e y  90, temos : 60  90  z  230  z  80 e 0,75.80  60 pontos 2. Sejam: x: pontuação no período da manhã y: pontuação no período da tarde z: pontuação no período da noite ( I ) 2 x  4 y  z  11  ( II ) 4 x  3 y  2 z  27 ( III ) 3 x  2 y  2 z  10  Multiplicando a equação (I) por 2 e somando o resultado à equação (II) e multiplicando a equação (I) por 2 e somando o resultado à equação (III), temos: 2.( I ) 4 x  8 y  2 z  22 e 2.( I ) 4 x  8 y  2 z  22 ( II ) 4 x  3 y  2 z  27  ( III ) 3x  2 y  2 z  10  8 x  11y  49 7 x  6 y  32 14
  • 15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2  49  11y 8 x  11y  49  x   8 49  11 y 32  6 y     343  77 y  256  48 y  7 x  6 y  32  x  32  6 y 8 7   7 29 y  87  y  3, x  2 e z  5 Portanto, a pontuação no período da manhã é igual a 2, no período da tarde é igual 3 e no período da noite é igual a 5. 15
  • 16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: ESCALONAMENTO X CRAMER Páginas 40 - 45 Problema 1 a) 1 2 2 4 1 2 2 4 2 1 1  2 L  L e 3L  L   0 1 1 5 3 9   4 L2  L3   2 1 3    3  14  19  63 0   20 25  75 1 2 2 4 0 5 3 9   13z  39  z  3, y  0 e x  2    0 0 13 39   Portanto, S = {(–2, 0, 3)}. b) 1 2 3 4 1 2 3 4  3  4 1  3L  L e 5 L  L   0 0 1 2 8 12  L2  2   2 1 3   5  3  10 1  0  7 5 19 1 2 3 4 1 2 3 4   z  1 0 1 4 6 7L  L   0 1 4   23z  23   y  2 6   2 3   0 7 5 19   23 23  x  3   0 0   16
  • 17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Portanto, S = {(–3, 2, –1)}. c) 2 x  y  2  y  2x  2   2z 2 y  z  2   2  z  2x  2   4x  z  6  3 x  2 z  1  y 2   2 z  6  4x x  1 4 x  z  6  1  3x     1  3x  6  4 x   11x  11   y  0  3 x  2 z  1 z  2 2 z  2   Portanto, S = {(1, 0, 2)}. d) 1 3 5 2  1 3 5 2 3 1 3  3L  L e 2 L  L   0 4  1 8 12 2  L2  2   2 1 3    2  2 4  3  0  4 6 1 1 3 5 2 1 3 5 2 0 4 6  L L  0 1 2 4 6 1   4 y  6 z  1   3   0  4 6 1  0  0 0 0 6z  1  6z  1  18 z  3 y e x  2  3 y  5 z  x  2  3   5z  x  2   5z  4  4  4 8  18 z  3  20 z 5  2z x  x 4 4  5  2 z 6 z  1   Portanto, S   , , z  , z  R .  4 4   17
  • 18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 2 a) m 2 m  1  m 2 m 1  2 2 L1  L2     4 3m    2m  2 0  m  2  m2 (2m  2) x   m  2  x  2m  2 Se 2m – 2 ≠ 0, ou seja, m ≠ 1, o sistema é possível e determinado. Se 2m – 2 = 0, ou seja, m = 1, o sistema é impossível. b) 1 1 1 0  1 1 1 0  3 2 m 0 ou 3 2 m 0  3L1  L2 e 2 L1  L3      2  1 1 0   2 1 1 0  1 1 1 0 1 1 1 0 0 5 3 m 0  3 L2 e  5L3  0 15 9  3m 0  L2  L3      0  3 3 0 0   15  15 0 1 1 1 0 0 0  15 9  3m 0   (6  3m) z  0  z    6  3m 0  0  6  3m 0 Se – 6 – 3m ≠ 0, ou seja, m ≠ –2, o sistema é possível e determinado, com z = 0, y = 0 e x = 0. Se – 6 – 3m = 0, ou seja, m = –2, o sistema é possível e indeterminado. 18
  • 19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 3 1 1 k 2  1 1 k 2  1 1 3 m  ou 3 1 2 0  3L1  L2 e L1  L3      3  1 2 0    1  1 3 m 1 1 k 2  1 1 k 2  0 2 k 3 2m  ou 0 2 k 3 2  m 2 L2  L3      0  4  3k  2 6   0  4  3k  2 6  1 1 k 2  0 2m  2  2 k 3 2  m   ( k  4) z  2 m  2   z k 4  0 0 k 4 2 m  2  Se 2m – 2 = 0 e k – 4 = 0, ou seja, m = 1 e k = 4, o sistema é possível e indeterminado. 1 1 k 2  1 1 4 2 0 2 k 3 2  m se m  1 e k  4, temos :  0 2 7 3     0  0 k 4 2m  2   0  0 0 0  3  7z 2 y  7z  3  y e 2  3  7z  x  y  4z  2  x  2  y  4z  x  2     4z   2  4  3  7 z  8z z 1 x  x 2 2  z  1 3  7 z   Porta nto, S   , , z  , z  R  2 2    1 3  se z  0, uma possível solução é :  , , 0 ;  2 2  se z  1, uma possível solução é : 1, 5, 1; se z = –1, uma possível solução é: 0,  2,  1. 19
  • 20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Problema 4 ( I ) a  b  2c  1  ( II ) a  b  c  0 ( III ) ma  b  c  2  Somando a equação (I) à equação (II) e somando a equação (I) à equação (III), temos: ( I ) a  b  2c  1 e ( I ) a  b  2c  1 ( II ) a  b  c  0  ( III ) ma  b  c  2  2a  c  1 (m  1)a  3c  3 2 a  c  1  Resolvendo o sistema de duas equações por substituição, (m  1)a  3c  3 temos: c = 1 – 2a. (m  1)a  3(1  2a )  3  ma  a  3  6a  3  ma  5a  0  0 (m  5)a  0  a  m5 Se m – 5 = 0, ou seja, m = 5, o sistema é possível e indeterminado. a  b  2c  1, mas c  1  2a, então, a  b  2(1  2a)  1  b  1  a  2  4a  b  3a  1 Portanto, S  a, 3a  1, 1  2a  , a  R . O enunciado pede duas soluções possíveis. Para a = 0, temos S = 0,  1,1  Para a =  1, temos S =  1,  4, 3  Problema 5 Sejam: B: preço das bandeirinhas C: preço dos chapéus F: preço das fantasias Temos: 20
  • 21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 ( I ) 4 B  4C  4 F  62  ( II ) 4 B  4C . (0,9)  4 F  60 ( III ) 2 B . (0,8)  2C . (0,9)  2 F  29  Subtraindo a equação (II) da equação (I), temos: 4C  3,6C  2  0,4C  2  C  5 Substituindo o valor de C nas equações (I) e (III), temos: ( I ) 4 B  20  4 F  62 ( IV ) 4 B  4 F  42 ( IV ) 2 B  2 F  21      ( III ) 1,6 B  9  2 F  29 (V ) 1,6 B  2 F  20 (V ) 1,6 B  2 F  20 Subtraindo a equação (V) da equação (IV), temos: 2 B  1,6 B  1  0,4 B  1  B  2,5 e F  8 Portanto, para Ana, o preço das bandeirinhas foi R$ 2,50; dos chapéus, R$ 5,00, e das fantasias, R$ 8,00. Outra resolução possível, diferente da apresentada, baseia-se no fato de que Ana e Beto compraram quantidades iguais, mas Beto gastou R$ 2,00 a menos do que Ana. Assim, é possível concluir que esses R$ 2,00 correspondem a 10% do preço de 4 montões de chapéus. Então, se 10% correspondem a R$ 2,00, 100% correspondem a R$ 20,00. Logo, Ana gastou R$ 20,00 na compra de 4 montões de chapéus, o que significa ter pago R$ 5,00 por montão. Problema 6 a) Sejam: x: alvo 1 y: alvo 2 z: alvo 3 Temos, 3x  2 y  z  40 ( Adamastor )   x  2 y  2 z  40 ( Ernesto) 21
  • 22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Se cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3 tiver valido, respectivamente, 4, 16 e 3 pontos, então: 3.4  2.16  3  12  32  3  47  40  ; logo, não é possível que os alvos tenham esses 4  2.16  2.3  4  32  6  42  40 valores. b) 3x  2 y  z  40  , subtraindo a segunda equação da primeira, temos:  x  2 y  2 z  40 2x  z  0  z  2x 40  z  3x 40  2 x  3x 40  5 x 3x  2 y  z  40  y  y  y 2 2 2 Portanto,  40  5 x   S   x, , 2 x  , x  R  2   Ou seja, o total de pontos de cada bola certeira nos alvos 2 e 3, em função de x, é respectivamente: 40  5 x e 2x 2 Páginas 46 - 47 1. a) 1 7 3 0 1 7 3 0  3 2 1 1  3L1  L2 e 7 L1  L3  0 23  10  1 2 L2  L3     7  3 1  1  0  46  20 1 1 7 3 0  0 23  10  1  0 z  3   0  0 0 3  22
  • 23. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 Portanto, o sistema é impossível. b) 2 x  6 y  10  , dividindo a primeira equação por 2 e a segunda por –3, temos:  3x  9 y  15 x  3 y  5  x  3 y  5 Trata-se de um sistema com duas variáveis e apenas uma equação, ou seja, um sistema indeterminado, com x = 5 + 3y. Portanto, S  5  3 y, y  , y  R. 2. Sejam: a: preço da abobrinha b: preço da batata c: preço da cenoura Temos: 3b  0,5c  a  14,45 ( Arnaldo) ( I ) 3b  0,5c  a  14,45   2(b  0,50)  c  2(a  0,20)  11,50 ( Juvenal )  ( II ) 2b  c  2a  12,90  ( III ) 3b  3c  3a  23,10 3(b  1)  3(c  0,50)  3(a  0,20)  18,00 ( Rosa )  Multiplicando a equação (I) por 6 e a equação (II) por 3, temos: ( I ) 18b  3c  6a  86,70  ( II ) 6b  3c  6a  38,70 ( III ) 3b  3c  3a  23,10  Subtraindo a equação (II) da equação (I) e subtraindo a equação (III) da equação (II), temos: ( I ) 18b  3c  6a  86,70 e ( II ) 6b  3c  6a  38,70 ( II ) 6b  3c  6a  38,70  ( III ) 3b  3c  3a  23,10  12b  48 3b  3a  15,60 23
  • 24. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 12b  48   b  4,00, a  1,20 e c  2,50 3b  3a  15,60 Portanto, seu Manuel cobra R$ 4,00 pelas batatas, R$ 1,20 pelas abobrinhas e R$ 2,50 pelas cenouras. Páginas 53 - 54 Problema 1 0 0 1 1 1 ABAH  . 4 4 1  | 24  8 |  8 u 2 2 2 2 6 1 Problema 2 2 8 7 11 1 3 4 1 1 43 ACOISA  .  . | 22  28  9  14  8  56  33  28  3  4 |  . | 43 |   21,5 u 2 2 7 3 2 2 2 1 2 2 8 Desafio! Página 55 6 7 1 6 1 1 1 85 ADECO  . 1 1  . | 36  1  1  35  7  6  5  6 |  . | 85 |   42,5 u 2 2 2 2 2  5 1 6 7 24
  • 25. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 2 2 1 9 4 1 1 1 72 ALINA  . 6  3  . | 8  27  24  1  9  24  3  8 |  . | 72 |   36 u 2 2 2 2 2 1 4 2 1 Portanto, o quadrilátero DECO tem a maior área. 25