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GABARITO                       Caderno do Aluno       Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4




 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA




Páginas 3 - 4
1. Alternativa e.

Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo símbolo
será / . Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será apenas /, o
que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a alternância das
barras / e . Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é
interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito com o seguinte tipo de
pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras / e  em
alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada posição da
sequência são do tipo /, ou ainda do tipo // ?



2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos na
     sequência.


3.




4.




                                                                                           1
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     a) Na 20a posição será o símbolo I. Na 573a posição, o símbolo II.
     b) O símbolo I está associado às posições pares, e o símbolo II às posições ímpares.
     Exemplos de resposta:
     •   nas posições ímpares, a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares, a
     linha está deitada para a esquerda;
     •   quando a posição indica um múltiplo de 2, teremos , caso contrário teremos / .




Página 4 - 5

5.
     a) Símbolo I: nas posições indicadas por múltiplos de 3.
     Símbolo /: quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.
     Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.

     b) Símbolo       : quando a posição for um número ímpar.

     Símbolo     : quando a posição for um número par.


     c) Símbolo       : quando a posição for um múltiplo de 3.


     Símbolo     : quando a posição não for um múltiplo de 3.


     d) Símbolo      : nas posições indicadas por múltiplos de 3.


     Símbolo     : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.


     Símbolo    : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.



6.

     a) A figura que ocupa a 20a posição na sequência 1 é            .

     b) A figura que ocupa a 73a posição na sequência 2 é        .

                                                                                              2
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     c) A figura que ocupa a 123a posição na sequência 3 é           .


     d) A figura que ocupa a 344a posição na sequência 4 é       .




Páginas 6 - 7

7.

     a) É a figura  (paus).
     b) A figura  ocupa as posições 4, 8, 12, 16, ..., ou seja, posições correspondentes a
     um múltiplo de 4. As posições ocupadas por  são as de número 2, 6, 10, 14, 18, ...,
     ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2” ou, dizendo de
     outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na divisão
     por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura  são identificadas
     por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3 na divisão por
     4”), e as posições da figura  são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 1”
     (ou números que “deixam resto 1 na divisão por 4”).
     c) Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será .


8.
     a) Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29.
     b) Todas as regiões nomeadas por um múltiplo de 6: 6, 12, 18, 24, ..., 180.
     c) Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a
     região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras.
     d) Regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6 ou regiões cujo número é um
     múltiplo de 6 acrescido de 4.




                                                                                              3
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9.

         70         71        72        73          74          75          76         77

         1          7         49        343        2 401     16 807      117 649    823 543


     a) Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem.
     b) Porque qualquer número terminado em 1, quando multiplicado por 7, resulta em
     um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por
     7, termina em 9. Um número terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em
     3. E um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando
     ao início do ciclo.
     c) Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, ...
     d) Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9,
     13,...
     e) Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado
     da potência terá o algarismo da unidade igual a 3.


Desafio !

Página 8
10. Resposta: 5.
     Nesse item, teremos de descobrir inicialmente a casa da unidade das potências 7100 e
     7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de 150 por 4.
     No primeiro caso, o resto é zero, o que implica casa das unidades igual a 1. No
     segundo caso, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos,
     portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas
     das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da
     soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5.




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Páginas 8 - 9

11.
   a)




   b)
        Posição                        1        2     3       4        5        6

        Número de bolinhas             1        3     5       7        9       11


   c) 19 bolinhas.
   d) 89 bolinhas.
   e) Resposta pessoal. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o
   padrão da sequência, há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral,
   podemos agrupá-las em duas categorias:           a das representações chamadas
   recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende
   diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e a das não
   recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com
   informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na
   sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência em
   palavras é: somar sempre duas bolinhas a mais em cada etapa com relação à etapa
   anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras, seria: o
   número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição.


12.
   a) Nessa figura, marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em
   todas as posições e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição.
   b) A vermelha.

                                                                                          5
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     c) 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5.
     d) Na figura 18 haverá 17 pares, e na figura 31, 30 pares.
     e) Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, correspondentes aos
     25 pares (25 . 2) mais a bolinha vermelha.
     f)   N = 1 + 2.(P – 1) ou N = 2.P – 1




Páginas 10 - 11

13.

 I
                                                                  II. 9 bolinhas e 24
                                                                  bolinhas,
                                                                  respectivamente.

                                                                  III. Sequência 1:

                                                                  N=P+4




 I                                                                II. 17 e 62 bolinhas,
                                                                  respectivamente.

                                                                  III. Sequência 2:

                                                                  N = P + 2.(P + 1)

                                                                           ou

                                                                  N = 2P + (P + 2)




                                                                                            6
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I                                       II. 17 e 77 bolinhas,
                                        respectivamente.




                                        III. Sequência 3:

                                        N = 1 + 4.(P – 1)

I                                       II. 19 e 79 bolinhas,
                                        respectivamente.

                                        III. Sequência 3:
                                        N = 4.P – 1

                                                 ou

                                        N = 2.(2P – 1) + 1




I                                       II. 23 e 98 bolinhas,
                                        respectivamente.

                                        III. Sequência 5:
                                        N = 5P – 2

                                                 ou

                                        N = 2.(2P – 1) + P

I                                       II. 20 e 80 bolinhas,
                                        respectivamente.

                                        III. Sequência 6:
                                        N = 4P




                                                                   7
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 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

 EQUAÇÕES E FÓRMULAS




Página 13

1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de fórmulas
     em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e
     revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que os alunos
     devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma fórmula. Além
     disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas encontradas.
     Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a respeito
     de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os resultados
     de suas pesquisas.




Páginas 13 - 14

2.
     a) P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 cm
     b) P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42
     P = 45 + 84
     P = 129 cm
     c) P = a + a + b + b
     Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se
     escrever P = 2.a + 2.b.
     d) P = 2.a + 2.b = 2. 8,3 + 2. 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm.
     O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm.
     e) 22 = 2.a + 2.5
     a = 6 m.
     f)   Solução em aberto
                                                                                             8
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     Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos
     alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar
     em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro.
     Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou
     36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b seria 10.




Páginas14 - 15

3.
     a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao outro
                                                                 a.b
     cateto, podemos escrever a fórmula da área como A              .
                                                                  2
     É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e da altura
     como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas
     letras (l e h) por outras duas letras (a e b).
               a . b 28 . 32
     b)   A                 448 . Portanto, A = 448 cm2.
                2      2
     c) III. 16 cm e 18 cm.
          a . b 16 .18
     A               144 cm 2
           2      2
     d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido e, por
     isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser
     a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e a por
                                                      10.b
     10, obtemos a seguinte igualdade: 40                 . A equação a seguir corresponde à
                                                       2
     seguinte pergunta. Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2,
     resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8. Logo, o
     outro cateto mede 8 cm.




                                                                                                  9
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Página 16

4.
     a) M = (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75
     b) Generalizando a ideia de que a média aritmética entre dois valores é obtida
     somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como:
                    ab
     M ( a ,b )        ou M ( a ,b )  (a  b)  2
                     2
     Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos parênteses
     na sentença matemática.
     c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3.
                        abc
     M ( a ,b , c ) 
                          3
                                      19  24  35
     d) Solução: M (19, 24,35)                     26
                                            3
     e) Substituindo os valores das provas P1 e P2, e o valor da média desejada na
                                                          5,5  7,5  P3        13  P3
     fórmula, obtemos a seguinte equação: 6                             ou 6          .
                                                                3                  3
     Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do tipo: qual
     é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar nenhum
     procedimento de resolução de equação, um aluno da 6a série é capaz de responder a
     essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18.
     Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número procurado é 5.




Página 17

5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros, dicionários,
     revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos alguns sites que
     trazem informações a respeito de impostos e do Imposto de Renda.



                                                                                                       10
GABARITO                        Caderno do Aluno        Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4



     O papel dos impostos: <http://leaozinho.receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm>.
     Acesso em: 04 jun. 2010;
     <http://www.alemg.gov.br/cedis/cartilha/Modulo%20Vermelho/Aula4/default.htm>.
     Acesso em: 04 jun. 2010.
     Imposto de Renda:
     <http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/historia/historia.asp>. Acesso em:
     04 jun. 2010.
     A ideia central a ser discutida com os alunos é a de que os impostos são
     contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das empresas para
     promover investimentos públicos (construção de ruas, pontes, usinas, etc.), implantar
     e manter serviços públicos (água, luz, telefone, etc.). Há diversos tipos de impostos,
     cada qual com uma finalidade. Existem os impostos sobre a venda de produtos, sobre
     a produção das indústrias, sobre os serviços e operações financeiras, sobre a
     propriedade, etc. O Imposto de Renda é um imposto cobrado sobre os rendimentos
     provenientes do trabalho de uma pessoa (como o salário mensal). Ele é calculado a
     partir de uma porcentagem (alíquota) cobrada de forma crescente, isto é, um imposto
     maior para quem ganha mais.




Páginas 17 - 18

6. A expressão “mordida do leão” refere-se ao valor que é cobrado por meio do
     Imposto de Renda, considerado muito alto pelos contribuintes.




Páginas 18 - 20

7.
     a) 1a etapa: calcular 15% de R$ 1 500,00
      15          22 500
         .1 500          225 . São R$ 225,00.
     100           100

                                                                                            11
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     2a etapa: parcela a deduzir
     225 – 197,05 = 27,95
     O imposto a ser retido é de R$ 27,95.
     b)   I  15% . R  197,05 ou I  0,15 . R  197,05
     c)   I  27,5% . R  525,19 ou I  0,275 . R  525,19
     d) Para R$ 2 500,00 usamos a fórmula com alíquota de 15%. O imposto a ser
     cobrado é de R$ 177,95. Para os outros dois valores, usamos a fórmula com alíquota
     de 27,5%.
     O imposto sobre R$ 3 000,00 é de R$ 299,81, e sobre R$ 6 000,00 é de R$ 1 124,81.


8.
     a)

          • Remuneração = R$ 2 500  Imposto = R$ 177,95.
            I m post o
                           7,1%
          Remu ner aç ã o

          • Remuneração = R$ 3 000  Imposto = R$ 299,81.
            I m post o
                           10%
          Remu ner aç ã o

          • Remuneração = R$ 6 000  Imposto = R$ 1 124,81.
            I m post o
                           18,7%
          Remu ner aç ã o

     b) Sobre a maior remuneração (R$ 6 000,00) incide imposto proporcionalmente
     maior (18,7%).
     c) A razão é que o valor a ser deduzido do imposto (R$ 525,19) é fixo. Dessa
     forma, para um salário menor, a parcela a deduzir é proporcionalmente menor que
     para um salário maior. Por essa razão, o imposto efetivo sobre o valor de R$
     6 000,00 é maior do que o cobrado sobre o valor de R$ 3 000,00.




                                                                                              12
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9.
                  65
     a)     I          25,4 .
                 1,6 2
     Esse valor encontra-se no intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de
     sobrepeso.
     b)
           • Pessoa A: IMC  24,34, peso normal.
           • Pessoa B: IMC  26,81, sobrepeso.
           • Pessoa C: IMC  21,1, peso normal.
           • Pessoa D: IMC  18,11, abaixo do peso.
     c) Para ser classificada como pessoa de peso Normal, o IMC deve ser menor que
     25.     Substituindo-se      os     valores     fornecidos     na     fórmula,       temos:
               p             p
     25         2
                   ou 25       .
            1,73           2,99
     Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se reduz a
     saber qual é o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é,
     aproximadamente, 75.
     Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg para se
     situar na categoria de peso normal.




Páginas 23 - 24

10. Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos d = 5 . 72, ou seja, d = 245. Ou
     seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos.
     Portanto, a altura aproximada da ponte é de 245 metros.




                                                                                               13
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11.




  a) Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 metros; entre 2 e
      3 segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos,
      45 metros.




  b) Não, pois a razão entre a distância percorrida e o tempo não é constante. Se
  dobrarmos o tempo (de 1 para 2), a distância aumenta em 4 vezes.
  c) Ele vai percorrer 2 000 metros (3 500 – 1 500) em queda livre. Substituindo esse
  valor na fórmula, obtemos: 2 000 = 5.t2. O valor de t que satisfaz a igualdade acima é
  20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedista será de 20 segundos.




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 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

 EQUAÇÕES, PERGUNTAS E BALANÇAS




Páginas 26 - 29
1.
     a) Equação: 2.x + 5 = 19             Solução: 7
     b) Equação: 3x – 12 = –3             Solução: 3
                      x
     c) Equação:        5  0            Solução: 20
                      4
     d) Equação: x2 + 19 = 100            Solução: 9


2.
     a) Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? x = 3
     b) Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? x = 30
     c) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5
     d) O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5,5
     e) A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse
     número? x = 13
     Observação: Oriente os alunos a olharem para as equações como uma pergunta, cuja
     resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmético. Não é
     necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos
     registrem as contas, outros façam “de cabeça”, e outros tenham um tipo de notação
     própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma
                                                                                x 1
     técnica específica. Por exemplo, no item e, como a diferença entre              e 3 é zero,
                                                                                  4
             x 1
     então        é igual a 3, x – 1 vale 12 e, portanto, x é igual a 13.
               4


3. São várias possibilidades. Uma delas é a seguinte: 2 peças de 500 g, 2 de 300 g, 1 de
     200 g, 1 de 100 g e 1 de 50 g.
4. x = 350 g.
                                                                                                15
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5.
     a) 2x + 1 = 5 e 5 = 2x + 1
     Em uma equação, invertendo-se os membros, a igualdade se mantém.
     b) x = 2, e x + y = 2 + y
     Em uma equação, adicionando-se um mesmo valor em ambos os membros, a
     igualdade se mantém.
     c) Em termos algébricos, se x + 1 = 3, então x + 1 – 1 = 3 – 1. Portanto, x = 2.
     Em uma equação, subtraindo-se um mesmo valor em ambos os lados, a igualdade se
     mantém.
     d) Se x = 2 000 e 2y = 300, então x + 2y = 2 000 + 300, ou, x + 2y = 2 300.
     A soma de duas equações resulta em uma 3a equação, mantendo-se a igualdade.




Página 30

6. 2x + 2y = 6z / 4x + 4y = 12z / x + y = 3z
     Em uma equação, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um
     mesmo número (diferente de zero), a igualdade não se altera.


Desafio !

Página 30
7. Uma possível solução para esse problema: numeramos as bolinhas de 1 a 6. Em
     seguida, comparamos o peso das bolinhas 1 e 2. Se os pesos forem diferentes, então,
     com mais uma pesagem, pode-se descobrir qual é a bolinha diferente. Se forem
     iguais, realizamos nova comparação: pesamos as bolinhas 3 e 4. Se os pesos forem
     diferentes, a terceira pesagem determinará a bolinha diferente. Se forem iguais, isso
     significa que a bolinha diferente é a 5 ou a 6. Como já sabemos que as bolinhas de 1
     a 4 são iguais, basta comparar uma das duas bolas restantes (5 ou 6) com uma das
     bolinhas iguais (1 a 4). Por exemplo, compara-se a 4 com a 5. Se forem iguais em
     peso, a bolinha diferente será a 6. Se forem diferentes, a bolinha diferente será a 5,
     pois a 4 é igual em peso às demais.

                                                                                            16
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Páginas 31 - 32
8.
     a)
      4x – 7 = x + 11

      4x – 7 – x = x + 11 – x                Subtraia x em ambos os lados

      3x – 7 = 11

      3x – 7 + 7 = 11 + 7                    Adicione 7 em ambos os lados

      3x = 18

      3x 18                                  Divida ambos os lados por 3
         
       3   3

      x=6                                    Resultado final


     b)
                 x
      5x  1      8
                 2

                      x            Multiplique ambos os lados da equação por
      2.5 x  2.1  2.  2.8
                      2               2 para eliminar a fração

      10 x  2  x  16

      10 x  2  x  x  16  x    Subtraia x de ambos os lados para eliminar o
                                      termo com x do 2o membro da equação

      9 x  2  16

      9 x  2  2  16  2         Adicione 2 em ambos os lados da equação

      9 x  18

      9 x 18                       Divida ambos os lados por 9
         
       9   9



                                                                                               17
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      x2                              Resultado final



9.

                 Equação                 Gabarito trocado         Gabarito correto
      a) 5 x  12  2 x  27            a) x = –2               a) x = 13

               3x
      b) x        2x  2              b) x = 5                b) x = 4
                2

      c) 2 .( x  3)  4  7 x          c) x = 13               c) x = -2

      d)
                                 3x
           4 x  3. ( x  1)        5 d) x = 4                d) x = 5
                                 5




Páginas 32 - 34

10. As equações podem ser resolvidas de diferentes maneiras. Apresentamos um
     exemplo para cada item.
     a)

                      Resolução                                      Descrição

          5 x  7  2 x  14

          5 x  7  2 x  2 x  14  2 x           Somar 2x em ambos os lados para eliminar o
                                                      termo com x do 2o membro da equação

          7 x  7  14

          7 x  7  7  14  7                            Subtrair 7 de ambos os lados

          7 x  21

                                                                                                    18
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       7x    21                                      Dividir ambos os lados por 7
          
       7     7

       x  3                                       Obtemos x = –3 como resultado



  b)

                    Resolução                                 Descrição

       x                                           Multiplicar ambos os lados por 5
          2  3x  26
       5

         x
       5.  5.2  5.3x  5.26
         5

       x  10  15 x  130                   Subtrair x de ambos os lados da equação

       10  14 x  130                        Inverter os lados da equação (opcional)

       14 x  130  10                             Adicionar 130 em ambos os lados

       14 x  140                                   Dividir ambos os lados por 14

       x  10



  c)

                 Resolução                                    Descrição

       2     5                              Multiplicar ambos os lados por 12, que é o
         x3 x
       3     4                                             m.m.c. de 3 e 4

          2              5
       12. x  12.3  12. x
          3              4

       8 x  36  15 x                              Subtrair 8x de ambos os lados



                                                                                              19
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        36  7 x                              Inverter os lados da equação (opcional)

       7 x  36                                    Dividir ambos os lados por 7

              36    36
        x        
              7      7


  d)

                    Resolução                                  Descrição
           3 5x        1                        Multiplicar ambos os lados pelo m.m.c.
               2x 
           5 4         2                                    de 2, 4 e 5: 20

        3     5x             1
        .20  .20  2 x.20  .20
        5      4             2

        12  25 x  40 x  10                      Subtrair 25x de ambos os lados

        12  15 x  10                         Inverter os lados da equação (opcional)

       15 x  10  12                              Subtrair 10 de ambos os lados.

       15 x  22                                   Dividir ambos os lados por 15

              22
       x
              15




                                                                                              20
GABARITO                          Caderno do Aluno            Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4




     SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

     PROPORCIONALIDADE, EQUAÇÕES E REGRA DE TRÊS




Página 35 - 37

1.
                                 x
     a) É a equação IV. 1          3 . A solução x = 5 não satisfaz à equação dada. O erro
                                 2
                                                                         x
     foi a “multiplicação em cruz” entre o denominador da fração           e o número 3.
                                                                         2
                                                              x
     b) Nesse caso, a resolução correta da equação 1            3.
                                                              2
     Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2 teremos 2 + x = 6.
     Subtraindo-se 2 dos dois lados da igualdade teremos x = 6 – 2 e, portanto, x = 4.
2.
     a)

           CDs           Valor
             5            4,80

            12              x



          4,8
     b)        0,96 . Cada CD custa R$ 0,96.
           5
     c) x = 12 . 0,96
          x = 11,52
     Os 12 CDs custam R$ 11,52.
          4,8 x
     d)       . Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 12 teremos a equação
           5 12
                   12 . 4,8
     equivalente             x , cuja solução é x = 11,52.
                      5
                                                                                                  21
GABARITO                        Caderno do Aluno        Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4



3.
     a)

          Velocidade   Tempo
           80 km/h      1,5 h

          100 km/h        x


     b) Basta multiplicar 1,5 por 80. Esse raciocínio que acabamos de fazer remete a
     uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km a
     cada 1 hora, em 1,5 horas ela fará 80 . 1,5= 120 km.
     c) Isso pode ser feito através de outra regra de três com grandezas diretamente
     proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em
     1,2 hora.
     d) O tempo de viagem é inversamente proporcional à velocidade.
     A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade.
     A distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem.
     e) Resolução com regra de três:

      80  1,5
      
                                       80 .1,5
                100 x  80 .1,5  x           x  1,2
                                        100
      100  x
      

     Obtém-se como solução x = 1,2 hora, ou seja, 1 hora e mais “dois décimos de hora”.
     Como uma hora corresponde a 60 minutos, devemos calcular “dois décimos de
     60 minutos”, que são 12 minutos. Concluímos, portanto, que Mariana levaria 1 hora
     e 12 minutos na viagem.




                                                                                            22
GABARITO                       Caderno do Aluno           Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4




Página 37 - 40

4.
                                                  10         5 1
     a) Razão entre os valores da grandeza A:         2 ou   
                                                   5        10 2
                                              16         8 1
     Razão entre os valores da grandeza B:        2 ou   
                                               8        16 2
     As razões encontradas são iguais.
                                               8         5
     b) Razão entre os valores da 1a linha:       1,6 ou  0,625
                                               5         8
                                           16          10
     Razão entre os valores da 2a linha:       1,6 ou     0,625
                                           10          16
     As razões encontradas são iguais.
     c) Produto A1 . B2: 5 . 16 = 80
     Produto A2 . B1: 10 . 8 = 80
     Os produtos são iguais.
     d)
            x y
      I.     
            z w
            x z
      II.    
            y w
      III. x.w = y.z
5.
                                                  10
     a) Razão entre os valores da grandeza A:        2
                                                   5
                                              4
     Razão entre os valores da grandeza B:       0,5
                                              8
     As razões encontradas não são iguais.
                                               8
     b) Razão entre os valores da 1a linha:       1,6
                                               5
                                            4
     Razão entre os valores da 2a linha:       0,4
                                           10

                                                                                              23
GABARITO                    Caderno do Aluno   Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4



  As razões encontradas não são iguais.
  c) Produto A1 . B2: 5 . 4 = 20
  Produto A2 . B1: 10 . 8 = 80
  Os produtos não são iguais.
  d) Produto A1 . B1: 5 . 8 = 40
  Produto A2 . B2: 10 . 4 = 40
  Os produtos obtidos são iguais.
  e)
        x y   z w
   I.      ou 
        z w   x y
         x z  y w
   II.     ou 
         y w  x z
   III. x.w ≠ y.z
   IV. x.y = z.w




                                                                                   24

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  • 1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA Páginas 3 - 4 1. Alternativa e. Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo símbolo será / . Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será apenas /, o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a alternância das barras / e . Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito com o seguinte tipo de pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras / e em alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada posição da sequência são do tipo /, ou ainda do tipo // ? 2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos na sequência. 3. 4. 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 a) Na 20a posição será o símbolo I. Na 573a posição, o símbolo II. b) O símbolo I está associado às posições pares, e o símbolo II às posições ímpares. Exemplos de resposta: • nas posições ímpares, a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares, a linha está deitada para a esquerda; • quando a posição indica um múltiplo de 2, teremos , caso contrário teremos / . Página 4 - 5 5. a) Símbolo I: nas posições indicadas por múltiplos de 3. Símbolo /: quando o resto da divisão da posição por 3 for 1. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2. b) Símbolo : quando a posição for um número ímpar. Símbolo : quando a posição for um número par. c) Símbolo : quando a posição for um múltiplo de 3. Símbolo : quando a posição não for um múltiplo de 3. d) Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2. 6. a) A figura que ocupa a 20a posição na sequência 1 é . b) A figura que ocupa a 73a posição na sequência 2 é . 2
  • 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 c) A figura que ocupa a 123a posição na sequência 3 é . d) A figura que ocupa a 344a posição na sequência 4 é . Páginas 6 - 7 7. a) É a figura  (paus). b) A figura  ocupa as posições 4, 8, 12, 16, ..., ou seja, posições correspondentes a um múltiplo de 4. As posições ocupadas por  são as de número 2, 6, 10, 14, 18, ..., ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2” ou, dizendo de outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na divisão por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura  são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3 na divisão por 4”), e as posições da figura  são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 1” (ou números que “deixam resto 1 na divisão por 4”). c) Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será . 8. a) Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29. b) Todas as regiões nomeadas por um múltiplo de 6: 6, 12, 18, 24, ..., 180. c) Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras. d) Regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6 ou regiões cujo número é um múltiplo de 6 acrescido de 4. 3
  • 4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 9. 70 71 72 73 74 75 76 77 1 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 a) Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem. b) Porque qualquer número terminado em 1, quando multiplicado por 7, resulta em um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por 7, termina em 9. Um número terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em 3. E um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando ao início do ciclo. c) Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, ... d) Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9, 13,... e) Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado da potência terá o algarismo da unidade igual a 3. Desafio ! Página 8 10. Resposta: 5. Nesse item, teremos de descobrir inicialmente a casa da unidade das potências 7100 e 7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de 150 por 4. No primeiro caso, o resto é zero, o que implica casa das unidades igual a 1. No segundo caso, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos, portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5. 4
  • 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 Páginas 8 - 9 11. a) b) Posição 1 2 3 4 5 6 Número de bolinhas 1 3 5 7 9 11 c) 19 bolinhas. d) 89 bolinhas. e) Resposta pessoal. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o padrão da sequência, há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral, podemos agrupá-las em duas categorias: a das representações chamadas recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e a das não recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência em palavras é: somar sempre duas bolinhas a mais em cada etapa com relação à etapa anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras, seria: o número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição. 12. a) Nessa figura, marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em todas as posições e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição. b) A vermelha. 5
  • 6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 c) 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5. d) Na figura 18 haverá 17 pares, e na figura 31, 30 pares. e) Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, correspondentes aos 25 pares (25 . 2) mais a bolinha vermelha. f) N = 1 + 2.(P – 1) ou N = 2.P – 1 Páginas 10 - 11 13. I II. 9 bolinhas e 24 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 1: N=P+4 I II. 17 e 62 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 2: N = P + 2.(P + 1) ou N = 2P + (P + 2) 6
  • 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 I II. 17 e 77 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 3: N = 1 + 4.(P – 1) I II. 19 e 79 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 3: N = 4.P – 1 ou N = 2.(2P – 1) + 1 I II. 23 e 98 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 5: N = 5P – 2 ou N = 2.(2P – 1) + P I II. 20 e 80 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 6: N = 4P 7
  • 8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES E FÓRMULAS Página 13 1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de fórmulas em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que os alunos devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma fórmula. Além disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas encontradas. Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a respeito de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os resultados de suas pesquisas. Páginas 13 - 14 2. a) P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 cm b) P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42 P = 45 + 84 P = 129 cm c) P = a + a + b + b Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se escrever P = 2.a + 2.b. d) P = 2.a + 2.b = 2. 8,3 + 2. 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm. O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm. e) 22 = 2.a + 2.5 a = 6 m. f) Solução em aberto 8
  • 9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro. Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou 36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b seria 10. Páginas14 - 15 3. a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao outro a.b cateto, podemos escrever a fórmula da área como A  . 2 É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e da altura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas letras (l e h) por outras duas letras (a e b). a . b 28 . 32 b) A   448 . Portanto, A = 448 cm2. 2 2 c) III. 16 cm e 18 cm. a . b 16 .18 A  144 cm 2 2 2 d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido e, por isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e a por 10.b 10, obtemos a seguinte igualdade: 40  . A equação a seguir corresponde à 2 seguinte pergunta. Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2, resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8. Logo, o outro cateto mede 8 cm. 9
  • 10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 Página 16 4. a) M = (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75 b) Generalizando a ideia de que a média aritmética entre dois valores é obtida somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como: ab M ( a ,b )  ou M ( a ,b )  (a  b)  2 2 Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos parênteses na sentença matemática. c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3. abc M ( a ,b , c )  3 19  24  35 d) Solução: M (19, 24,35)   26 3 e) Substituindo os valores das provas P1 e P2, e o valor da média desejada na 5,5  7,5  P3 13  P3 fórmula, obtemos a seguinte equação: 6  ou 6  . 3 3 Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do tipo: qual é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar nenhum procedimento de resolução de equação, um aluno da 6a série é capaz de responder a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18. Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número procurado é 5. Página 17 5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros, dicionários, revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos alguns sites que trazem informações a respeito de impostos e do Imposto de Renda. 10
  • 11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 O papel dos impostos: <http://leaozinho.receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm>. Acesso em: 04 jun. 2010; <http://www.alemg.gov.br/cedis/cartilha/Modulo%20Vermelho/Aula4/default.htm>. Acesso em: 04 jun. 2010. Imposto de Renda: <http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/historia/historia.asp>. Acesso em: 04 jun. 2010. A ideia central a ser discutida com os alunos é a de que os impostos são contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das empresas para promover investimentos públicos (construção de ruas, pontes, usinas, etc.), implantar e manter serviços públicos (água, luz, telefone, etc.). Há diversos tipos de impostos, cada qual com uma finalidade. Existem os impostos sobre a venda de produtos, sobre a produção das indústrias, sobre os serviços e operações financeiras, sobre a propriedade, etc. O Imposto de Renda é um imposto cobrado sobre os rendimentos provenientes do trabalho de uma pessoa (como o salário mensal). Ele é calculado a partir de uma porcentagem (alíquota) cobrada de forma crescente, isto é, um imposto maior para quem ganha mais. Páginas 17 - 18 6. A expressão “mordida do leão” refere-se ao valor que é cobrado por meio do Imposto de Renda, considerado muito alto pelos contribuintes. Páginas 18 - 20 7. a) 1a etapa: calcular 15% de R$ 1 500,00 15 22 500 .1 500   225 . São R$ 225,00. 100 100 11
  • 12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 2a etapa: parcela a deduzir 225 – 197,05 = 27,95 O imposto a ser retido é de R$ 27,95. b) I  15% . R  197,05 ou I  0,15 . R  197,05 c) I  27,5% . R  525,19 ou I  0,275 . R  525,19 d) Para R$ 2 500,00 usamos a fórmula com alíquota de 15%. O imposto a ser cobrado é de R$ 177,95. Para os outros dois valores, usamos a fórmula com alíquota de 27,5%. O imposto sobre R$ 3 000,00 é de R$ 299,81, e sobre R$ 6 000,00 é de R$ 1 124,81. 8. a) • Remuneração = R$ 2 500  Imposto = R$ 177,95. I m post o  7,1% Remu ner aç ã o • Remuneração = R$ 3 000  Imposto = R$ 299,81. I m post o  10% Remu ner aç ã o • Remuneração = R$ 6 000  Imposto = R$ 1 124,81. I m post o  18,7% Remu ner aç ã o b) Sobre a maior remuneração (R$ 6 000,00) incide imposto proporcionalmente maior (18,7%). c) A razão é que o valor a ser deduzido do imposto (R$ 525,19) é fixo. Dessa forma, para um salário menor, a parcela a deduzir é proporcionalmente menor que para um salário maior. Por essa razão, o imposto efetivo sobre o valor de R$ 6 000,00 é maior do que o cobrado sobre o valor de R$ 3 000,00. 12
  • 13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 Página 22 9. 65 a) I  25,4 . 1,6 2 Esse valor encontra-se no intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de sobrepeso. b) • Pessoa A: IMC  24,34, peso normal. • Pessoa B: IMC  26,81, sobrepeso. • Pessoa C: IMC  21,1, peso normal. • Pessoa D: IMC  18,11, abaixo do peso. c) Para ser classificada como pessoa de peso Normal, o IMC deve ser menor que 25. Substituindo-se os valores fornecidos na fórmula, temos: p p 25  2 ou 25  . 1,73 2,99 Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se reduz a saber qual é o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é, aproximadamente, 75. Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg para se situar na categoria de peso normal. Páginas 23 - 24 10. Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos d = 5 . 72, ou seja, d = 245. Ou seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos. Portanto, a altura aproximada da ponte é de 245 metros. 13
  • 14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 11. a) Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 metros; entre 2 e 3 segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos, 45 metros. b) Não, pois a razão entre a distância percorrida e o tempo não é constante. Se dobrarmos o tempo (de 1 para 2), a distância aumenta em 4 vezes. c) Ele vai percorrer 2 000 metros (3 500 – 1 500) em queda livre. Substituindo esse valor na fórmula, obtemos: 2 000 = 5.t2. O valor de t que satisfaz a igualdade acima é 20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedista será de 20 segundos. 14
  • 15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 EQUAÇÕES, PERGUNTAS E BALANÇAS Páginas 26 - 29 1. a) Equação: 2.x + 5 = 19 Solução: 7 b) Equação: 3x – 12 = –3 Solução: 3 x c) Equação: 5  0 Solução: 20 4 d) Equação: x2 + 19 = 100 Solução: 9 2. a) Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? x = 3 b) Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? x = 30 c) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5 d) O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5,5 e) A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse número? x = 13 Observação: Oriente os alunos a olharem para as equações como uma pergunta, cuja resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmético. Não é necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos registrem as contas, outros façam “de cabeça”, e outros tenham um tipo de notação própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma x 1 técnica específica. Por exemplo, no item e, como a diferença entre e 3 é zero, 4 x 1 então é igual a 3, x – 1 vale 12 e, portanto, x é igual a 13. 4 3. São várias possibilidades. Uma delas é a seguinte: 2 peças de 500 g, 2 de 300 g, 1 de 200 g, 1 de 100 g e 1 de 50 g. 4. x = 350 g. 15
  • 16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 5. a) 2x + 1 = 5 e 5 = 2x + 1 Em uma equação, invertendo-se os membros, a igualdade se mantém. b) x = 2, e x + y = 2 + y Em uma equação, adicionando-se um mesmo valor em ambos os membros, a igualdade se mantém. c) Em termos algébricos, se x + 1 = 3, então x + 1 – 1 = 3 – 1. Portanto, x = 2. Em uma equação, subtraindo-se um mesmo valor em ambos os lados, a igualdade se mantém. d) Se x = 2 000 e 2y = 300, então x + 2y = 2 000 + 300, ou, x + 2y = 2 300. A soma de duas equações resulta em uma 3a equação, mantendo-se a igualdade. Página 30 6. 2x + 2y = 6z / 4x + 4y = 12z / x + y = 3z Em uma equação, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um mesmo número (diferente de zero), a igualdade não se altera. Desafio ! Página 30 7. Uma possível solução para esse problema: numeramos as bolinhas de 1 a 6. Em seguida, comparamos o peso das bolinhas 1 e 2. Se os pesos forem diferentes, então, com mais uma pesagem, pode-se descobrir qual é a bolinha diferente. Se forem iguais, realizamos nova comparação: pesamos as bolinhas 3 e 4. Se os pesos forem diferentes, a terceira pesagem determinará a bolinha diferente. Se forem iguais, isso significa que a bolinha diferente é a 5 ou a 6. Como já sabemos que as bolinhas de 1 a 4 são iguais, basta comparar uma das duas bolas restantes (5 ou 6) com uma das bolinhas iguais (1 a 4). Por exemplo, compara-se a 4 com a 5. Se forem iguais em peso, a bolinha diferente será a 6. Se forem diferentes, a bolinha diferente será a 5, pois a 4 é igual em peso às demais. 16
  • 17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 Páginas 31 - 32 8. a) 4x – 7 = x + 11 4x – 7 – x = x + 11 – x Subtraia x em ambos os lados 3x – 7 = 11 3x – 7 + 7 = 11 + 7 Adicione 7 em ambos os lados 3x = 18 3x 18 Divida ambos os lados por 3  3 3 x=6 Resultado final b) x 5x  1  8 2 x Multiplique ambos os lados da equação por 2.5 x  2.1  2.  2.8 2 2 para eliminar a fração 10 x  2  x  16 10 x  2  x  x  16  x Subtraia x de ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equação 9 x  2  16 9 x  2  2  16  2 Adicione 2 em ambos os lados da equação 9 x  18 9 x 18 Divida ambos os lados por 9  9 9 17
  • 18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 x2 Resultado final 9. Equação Gabarito trocado Gabarito correto a) 5 x  12  2 x  27 a) x = –2 a) x = 13 3x b) x   2x  2 b) x = 5 b) x = 4 2 c) 2 .( x  3)  4  7 x c) x = 13 c) x = -2 d) 3x 4 x  3. ( x  1)   5 d) x = 4 d) x = 5 5 Páginas 32 - 34 10. As equações podem ser resolvidas de diferentes maneiras. Apresentamos um exemplo para cada item. a) Resolução Descrição 5 x  7  2 x  14 5 x  7  2 x  2 x  14  2 x Somar 2x em ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equação 7 x  7  14 7 x  7  7  14  7 Subtrair 7 de ambos os lados 7 x  21 18
  • 19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 7x 21 Dividir ambos os lados por 7  7 7 x  3 Obtemos x = –3 como resultado b) Resolução Descrição x Multiplicar ambos os lados por 5  2  3x  26 5 x 5.  5.2  5.3x  5.26 5 x  10  15 x  130 Subtrair x de ambos os lados da equação 10  14 x  130 Inverter os lados da equação (opcional) 14 x  130  10 Adicionar 130 em ambos os lados 14 x  140 Dividir ambos os lados por 14 x  10 c) Resolução Descrição 2 5 Multiplicar ambos os lados por 12, que é o x3 x 3 4 m.m.c. de 3 e 4 2 5 12. x  12.3  12. x 3 4 8 x  36  15 x Subtrair 8x de ambos os lados 19
  • 20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4  36  7 x Inverter os lados da equação (opcional) 7 x  36 Dividir ambos os lados por 7  36 36 x  7 7 d) Resolução Descrição 3 5x 1 Multiplicar ambos os lados pelo m.m.c.    2x  5 4 2 de 2, 4 e 5: 20 3 5x 1  .20  .20  2 x.20  .20 5 4 2  12  25 x  40 x  10 Subtrair 25x de ambos os lados  12  15 x  10 Inverter os lados da equação (opcional) 15 x  10  12 Subtrair 10 de ambos os lados. 15 x  22 Dividir ambos os lados por 15 22 x 15 20
  • 21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PROPORCIONALIDADE, EQUAÇÕES E REGRA DE TRÊS Página 35 - 37 1. x a) É a equação IV. 1   3 . A solução x = 5 não satisfaz à equação dada. O erro 2 x foi a “multiplicação em cruz” entre o denominador da fração e o número 3. 2 x b) Nesse caso, a resolução correta da equação 1   3. 2 Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2 teremos 2 + x = 6. Subtraindo-se 2 dos dois lados da igualdade teremos x = 6 – 2 e, portanto, x = 4. 2. a) CDs Valor 5 4,80 12 x 4,8 b)  0,96 . Cada CD custa R$ 0,96. 5 c) x = 12 . 0,96 x = 11,52 Os 12 CDs custam R$ 11,52. 4,8 x d)  . Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 12 teremos a equação 5 12 12 . 4,8 equivalente  x , cuja solução é x = 11,52. 5 21
  • 22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 3. a) Velocidade Tempo 80 km/h 1,5 h 100 km/h x b) Basta multiplicar 1,5 por 80. Esse raciocínio que acabamos de fazer remete a uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km a cada 1 hora, em 1,5 horas ela fará 80 . 1,5= 120 km. c) Isso pode ser feito através de outra regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em 1,2 hora. d) O tempo de viagem é inversamente proporcional à velocidade. A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. A distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem. e) Resolução com regra de três: 80  1,5   80 .1,5   100 x  80 .1,5  x   x  1,2  100 100  x  Obtém-se como solução x = 1,2 hora, ou seja, 1 hora e mais “dois décimos de hora”. Como uma hora corresponde a 60 minutos, devemos calcular “dois décimos de 60 minutos”, que são 12 minutos. Concluímos, portanto, que Mariana levaria 1 hora e 12 minutos na viagem. 22
  • 23. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 Página 37 - 40 4. 10 5 1 a) Razão entre os valores da grandeza A:  2 ou  5 10 2 16 8 1 Razão entre os valores da grandeza B:  2 ou  8 16 2 As razões encontradas são iguais. 8 5 b) Razão entre os valores da 1a linha:  1,6 ou  0,625 5 8 16 10 Razão entre os valores da 2a linha:  1,6 ou  0,625 10 16 As razões encontradas são iguais. c) Produto A1 . B2: 5 . 16 = 80 Produto A2 . B1: 10 . 8 = 80 Os produtos são iguais. d) x y I.  z w x z II.  y w III. x.w = y.z 5. 10 a) Razão entre os valores da grandeza A: 2 5 4 Razão entre os valores da grandeza B:  0,5 8 As razões encontradas não são iguais. 8 b) Razão entre os valores da 1a linha:  1,6 5 4 Razão entre os valores da 2a linha:  0,4 10 23
  • 24. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4 As razões encontradas não são iguais. c) Produto A1 . B2: 5 . 4 = 20 Produto A2 . B1: 10 . 8 = 80 Os produtos não são iguais. d) Produto A1 . B1: 5 . 8 = 40 Produto A2 . B2: 10 . 4 = 40 Os produtos obtidos são iguais. e) x y z w I.  ou  z w x y x z y w II.  ou  y w x z III. x.w ≠ y.z IV. x.y = z.w 24