1. Ordenação dos Números
Racionais

2. Relação de ordem
• Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos
que "a é menor que b"' e escrevemos a< b, se e
somente se, a diferença b−a é um número positivo.
O fato a a que é lido como "b é maior que a".
A notação a≤b significa que a< b ou a=b .
Logo, quando comparamos dois números reais
somente três casos podem acontecer:
• ou a=b,
• ou a< b
• ou a>b.

3. Definição:
• Sejam A um conjunto e ≤ uma relação em A.
Diz-se que ≤ é uma relação de ordem se:
• (i) (∀x∈A) x≤x (isto é, ≤ é reflexiva);
• (ii) (∀x,y∈A) se x≤y e y≤x , então x=y (isto
é, ≤ é anti-simétrica);
• (iii)(∀x,y∈A) se x≤y e y≤z , então x≤z (isto
é, ≤ é transitiva).

4. Ordenação dos Números Racionais
• O conjunto dos números racionais é um conjunto ordenado. Isto é, a
relação ≤ está definida em Q , ou seja, dois elementos quaisquer de Q são
comparáveis mediante a relação ≤. Isso significa que dados dois
elementos a e b quaisquer de Q, temos a≤b ou b≤a.
• Assim, sempre podemos comparar dois números racionais e determinar
qual deles é o maior.
•
Como podemos comparar duas frações e determinar qual delas é a maior
sem precisar calcular a diferença entre elas?
Existe uma maneira natural de comparar duas frações de mesmo
denominador: é maior a fração que envolve o maior numerador.
Sabemos que quaisquer dois racionais podem ser representados por
frações de mesmo denominador, através das frações equivalentes, e dessa
forma, decorre um ordenação natural para o conjunto Q, isto é, existe uma
maneira natural de decidir quem é maior entre dois racionais dados.

5. Exemplo
• Entre os números: 23 e 75 quem é o
maior? Observe:
• 23=2×53×5=1015<2115=7×35×3=75
• Podemos formalizar essa comparação
através da seguinte definição.

6. Racionais e a Reta Numérica
• Podemos
localizar geometricamente os números racionais numa reta numerada
. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum
lugar e tomamos a unidade de medida como a distância
entre 0e 1 e por os números da seguinte maneira:

7. • Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os
números obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão
pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração
é adotada por convenção.
Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é
menor do que um número que está à direita na reta numerada.
• Por exemplo, vamos representar na reta numérica o número
racional 13.
• Sabemos que o número 13 é maior que 0 e menor que +1, então
13 está localizado entre os números 0 e +1.

8. • Então, observe o desenho abaixo, vamos
fixar o ponto A no 0 e o ponto B no +1.
Vamos dividir o segmento AB em 3 partes
iguais e considerar uma dessas partes a
partir do ponto A, para a direita.

9. • O ponto C é a posição do número 13 na
reta numérica. O ponto C chama-
se imagem geométrica do número
racional
• Representar na reta numérica o número
racional −710.

10. • O número −710 está localizado entre os
números −1 e 0. Então, observe o
desenho abaixo, vamos fixar o ponto A
no 0 e o ponto D no ponto −1, vamos
dividir o segmento AD, que vai
de −1 até 0, em 10 partes iguais:

11. • O ponto E é a imagem geométrica do
número racional −710.
• Segue aqui um link onde você pode
"brincar" com a localização do números
racionais na reta.

12. •
•
FIM