Mat aritmetica basica

Inclusão para a vida Matemática A

UNIDADE 1 Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos
forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em
00.
ARITMÉTICA BÁSICA Exemplos: 5716, 8700, 198200.
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Divisibilidade por 5
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0
múltiplo de a e b. ou 5.
Exemplos: 235, 4670, 87210.
Exemplo: Múltiplos de 3
M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}
Divisibilidade por 6
Observações: Um número é divisível por 6 se for simultaneamente
divisível por 2 e 3.
O zero é múltiplo de todos os números. Exemplos: 24, 288, 8460.
Todo número é múltiplo de si mesmo.
Os números da forma 2k, k N, são números Divisibilidade por 8
múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos
Os números da forma 2k + 1, k N, são números forem divisíveis por 8 ou forem três zeros.
ímpares. Exemplos: 15320, 67000.

DIVISOR DE UM NÚMERO Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e
algarismos for um número divisível por 9.
b são divisores c.
Exemplos: 8316, 35289.
Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Observações: Um número é divisível por 10 se o último algarismo for
zero.
O menor divisor de um número é 1. Exemplos: 5480, 1200, 345160.
O maior divisor de um número é ele próprio.
NÚMEROS PRIMOS
Quantidade de divisores de um número
Para determinar a quantidade de divisores de um Um número p, p 0 e p 1, é denominado número primo
número procede-se assim: se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.

a) Decompõem-se em fatores primos o número Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
dado;
b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a Observação: Um número é denominado composto se não
cada um desses expoentes adiciona-se uma for primo.
unidade.
c) Multiplica-se os resultados assim obtidos. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Exemplo: Determinar o número de divisores de 90
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C)
1 2
90 = 2 . 3 . 5 1 de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal
que p seja o menor número divisível pelos números em
(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 questão.
Logo, 90 possui 12 divisores Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....}
Divisibilidade por 2 M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}
Um número é divisível por 2 se for par. Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24
Exemplos: 28, 402, 5128.
Processo 2:
6–8 2
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores 3–4 2
absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 3–2 2
Exemplos: 18, 243, 3126. 3–1 3
1–1

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24
Pré-Vestibular da UFSC 1

Matemática A Inclusão para a Vida

encontrar de novo no ponto de partida, levando em
MÁXIMO DIVISOR COMUM consideração ambas as velocidades constantes?

Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou 5. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e
mais números o maior dos seus divisores comuns. 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos.
Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais
Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada
faixa medirá na frente:
Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} a) 12 m b) 18 m c) 24 m
d) 30 m e) 36 m
Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Tarefa Complementar 
Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a
Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a

Exercícios de Sala  cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro
alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos?

a) 240 horas b) 120 horas e) 320 horas
1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites c) 32 horas d) 360 horas
artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o
desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos 7. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90
rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim
03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua
uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. medirá:
Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9
dias para darem uma volta completa em torno da Terra, a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm
então o número de dias para o próximo alinhamento é: d) 12 cm e) 4 cm
2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,
respectivamente. O valor de x. y é: 8. Sejam os números

a) 240 b) 120 c) 100 A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52
d) 340 e) 230
Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem
3. O número de divisores naturais de 72 é: respectivamente:

a) 10 b) 11 c) 12 a) 180 e 60 b) 180 e 600
d) 13 e) 14 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60

Tarefa Mínima  e) n.d.a.

9. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x indica
1. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é
Determine: divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir
é:
a) M.M.C entre A e B
b) M.D.C entre B e C a) 0 b) 2 c) 4
c) M.M.C entre A, B e C d) 6 e) 8
d) M.D.C entre A, B e C
10. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo?
2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36,
respectivamente. O valor de x. y é: a) 121 b) 401 c) 362
d) 201 c) n.d.a.
a) 240 b) 720 c) 120
d) 340 e) 230 11. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um
3. Determine o número de divisores naturais dos números mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m.
Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja
vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a
a) 80 b) 120
largura das peças e o maior comprimento possível, de
4. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos
segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ele deverá obter?
ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se


12. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É Conjunto dos Números Racionais
verdade que o número p2 – 1 é divisível por:
Os números Racionais surgiram com a necessidade de
a) 3 b) 4 c) 5 dividir dois números inteiros, onde o resultado era um
d) 6 e) 7 número não inteiro.

13. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o a
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. Q={x|x , com a Z, b Z* }
b
O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale:
Ou seja, todo número que pode ser colocado em
14. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de forma de fração é um número racional.
zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito
é: São exemplos de números racionais:
a) Naturais
a) 6 b) 12 c) 15 b) Inteiros
d) 18 e) 24 2
c) decimais exatos ( 0,2 = )
10
15. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais 1
três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, d) dízimas periódicas ( 0,333... = )
42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos 3
pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos As quatro operações são definidas nos racionais.
com as três vigas é: Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto
quando o numerador for zero também).
a) 18 b) 21 c) 210
d) 180 e) 20 Geratrizes de uma dízima periódica

Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se
UNIDADE 2 chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de
uma dízima periódica, procedemos assim:
a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário
CONJUNTOS NUMÉRICOS cujo numerador é o algarismo que representa a parte
periódica e o denominador é um número formado por
CONJUNTOS NUMÉRICOS tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Conjunto dos Números Naturais
Exemplos:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
7
a) 0777...=
Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto 9
N* ( naturais sem o zero ) 3 1
N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } b) 0,333....=
9 3
a, b N, (a + b) N e (a . b) N 43
c) 0,434343... =
99
Conjunto dos Números Inteiros
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário
cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica
Os números inteiros surgiram com a necessidade de
seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o
calcular a diferença entre dois números naturais, em que o
denominador é um número formado de tantos noves
primeiro fosse menor que o segundo.
quantos são os algarismos do período, seguido de tantos
zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Exemplos:
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros

Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 37 3 34 17
a) 0,3777... =
Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } 90 90 45
Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... }
Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} 3251 32 3219 1073
Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } b) 0,32515151... =
9900 9900 3300
a, b Z, (a + b) Z, (a . b) Z e (a – b) Z



Conjunto dos Números Irracionais INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE
Apesar de que entre dois números racionais existir sempre
UM NÚMERO REAL
um outro racional, isso não significa que os racionais
preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. INTERVALOS NUMÉRICOS
Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1.
Calcular o valor da hipotenusa. Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de .
Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos
a seguir:
x
1 {x R| p x q} = [p, q]
{x R| p < x < q} = ]p, q[
1 {x R| p x < q} = [p, q[
{x R| p < x q} = ]p, q]
Aplicando o teorema de Pitágoras temos: {x R| x q} = [q, [
x2 = 12 + 12 {x R| x > q} = ]q, [
x= 2 {x R| x q} = ] - , q]
{x R| x < q} = ] - , q[
Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é
natural, inteiro, nem racional, surge então os números Os números reais p e q são denominados, respectivamente,
irracionais. extremo inferior e extremo superior do intervalo.
Os números irracionais são aqueles que não podem ser
colocados em forma de fração, como por exemplo: Observações

a) = 3,14... O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}
b) e = 2, 71... O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }
c) toda raiz não exata O intervalo ( , + ) representa o conjunto dos
números reais (R)
Conjunto dos Números Reais (x, y) = ]x, y[
Os números reais surgem da união dos números racionais | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = k
com os irracionais. Pode
-se representar um intervalo real de 3 maneiras:
Notação de conjunto. Exemplo: {x R| 2 < x 3}
QUADRO DE RESUMO
Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3]
Representação Gráfica.
Q I
Exemplo:
Z

N

Veja outros exemplos:
1) {x R| x > 2} = ]2, [
Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos
reais. Porém, é necessário saber que existem números que
não são reais, estes são chamados de complexos e serão
estudados mais detalhadamente adiante.
2) {x R| x 1} = ] - , 1]
PROPRIEDADES EM

Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a
Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)
Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a 3) {x R| 3 x < 4} = [3, 4[
Simétrico: a + (– a) = 0
1
Inverso: a . = 1, a 0
a



MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
| x | < k, com k > 0, então: k<x<k
Módulo ou valor absoluto de um número real x é a Exemplos: |x|<3 –3<x<3
distância da origem ao ponto que representa o número x. | x | < 10 – 10 < x < 10
Indicamos o módulo de x por | x |.

Definição | x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k
Exemplos: |x|>3 x < – 3 ou x > 3
x, se x 0 | x | > 10 x < –10 ou x > 10
x

- x, se x 0
Exercícios de Sala
Exemplos:
1. Calcule o valor das expressões abaixo:
a) como 3 > 0, então | 3 | = 3

b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3 a) 3 1 2 1
4 8 5 3
Propriedades

|x| 0
| x |2 = x2 b) 2 3 : 1 4
x2 | x | 5 3
|x – y| = |y – x|
|x . y| = | x |. | y |
2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações:
x x I - x2 + 4 = 0
y y II - x2 – 4 = 0
III - 0,3x = 0,1

Equação Modular Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que:

Equação Modular é a equação que possui a incógnita x a) II são números irracionais
em módulo. b) III é um número irracional
Tipos de equações modulares: c) I e II são números reais
d) I e III são números não reais
Exemplo 1: | x | = 3 e) II e III são números racionais
x = 3 ou x = -3
S = {-3, 3} 3. Resolva em as seguintes equações:

Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7
x+2=6 ou x + 2= - 6
x=4 ou x=-8 c) |x2 –5x | = 6 d) |x + 2| = –3
S = {-8, 4}
e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0
| x | = k, com k = 0, então: x = 0
Tarefa Mínima 
| x | = k, com k < 0, então: não há solução 1. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:
Exemplo 1: | x | = - 3 a) {x N| x é divisor de 12}
S= b) {x N| x é múltiplo de 3}
c) {x N| 2 < x 7}
Exemplo 2: |x + 2| = -10 d) {x Z| - 1 x < 3}
S= e) {x| x = 2k, k N}
f) {x| x = 2k + 1, k N}
Inequação Modular

Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | k,
| x | > k, | x | k denominam-se inequações modulares.

Tipos de inequações modulares:



2. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b
são respectivamente: sendo um número ímpar, então a é par.

23 23 20 43 23 43
04. O número 7 5 2 é real.
a) e b) e c) e 08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos
100 99 99 99 99 198
tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos
1 1 2 1 outros dois.
d) e e) e
3 10 10 5 16. o número 247 é um número primo.

3. (ACAFE) O valor da expressão , a.b c2 quando 10. (FUVEST) Os números inteiros positivos são
c 1
dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:
1 2 3 10 11 12 19 .. ..
4. Resolva em as seguintes equações: 4 5 6 13 14 15 .. .. ..
a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 7 8 9 16 17 18 .. .. ..

c) |x – 2| = -3 d) x 2 + 3 x - 4 = 0 é: O número 500 se encontra em um desses “quadrados”.
A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são
respectivamente:
5. A solução da inequação (2 x 1) 2
5
a) 2 e 2 b) 3 e 3
a) {x |–2 x 3} c) 2 e 3 d) 3 e 2
b) {x |–1 x 6} e) 3 e 1
c) {x | x 3} 1
d) {x | x 7} 11. A expressão|2x – 1| para x < é equivalente a:
2
e) {x |–3 x 2}
a) 2x – 1 b) 1 – 2x
c) 2x + 1 d) 1 + 2x
Tarefa Complementar  e) – 1

12. Assinale a alternativa correta:
6. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333... e
c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a: 2
a) Se x é um número real, então x |x |
7. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o b) Se x é um número real, então existe x, tal que
|x| < 0
irracional y, pode-se dizer que:
c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais,
então |a + b| = |a| + |b|
a) x.y é racional
d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos,
b) y.y é irracional
então |a + b| > |a| + |b|
c) x + y racional
e) | x | = x, para todo x real.
d) x - y + 2 é irracional
e) x + 2y é irracional 2x 1
13. (UFGO) Os zeros da função f(x) = 3 são:
8. (FUVEST) Na figura estão representados 5
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a
posição do número xy? a) 7 e 8 b) 7 e 8 c) 7 e 8
d) 7 e 8 e) n.d.a.

a) à esquerda de 0 b) entre zero e x
14. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida
no conjunto solução da inequação
c) entre x e y d) entre y e 1
e) à direita de 1 (1 x) 1? 2

a) {x R - 5 x - 1}
9. Determine a soma dos números associados às b) {x R - 4 x 0}
proposições corretas: c) {x R - 3 x 0}
d) {x R - 2 x 0}
01. É possível encontrar dois números naturais, ambos e) Todos os conjuntos anteriores
divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro
deixe resto 39.



15. (ITA-SP) Os valores de x R para os quais a função d) 502x = 500x
real dada por f(x) = 5 || 2 x 1 | 6 | está definida,
e) 0.x = 0
formam o conjunto:
f) 0.x = 5
a) [0, 1] b) [-5, 6]
c) [-5,0] [1, ) d) (- , 0] [1, 6]
x 1 3x
e) [-5, 0] [1, 6] g)
2 8

UNIDADE 3 2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da
equação 5x + 2m = 20

EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES
3. Resolva em R, o seguinte sistema:
DEFINIÇÃO
x 3y 1
Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau
quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a 2x 3 y 2
diferente de zero.

RESOLUÇÃO Tarefa Mínima 
Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.
Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O
1. Resolver em R as equações:
número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação
a) 6x – 6 = 2(2x + 1)
Duas equações que têm o mesmo conjunto solução
b) 2(x + 1) = 5x + 3
são chamadas equivalentes.
c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3
d) 2(x – 2) = 2x – 4
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA
e) 3(x – 2) = 3x
IGUALDADE
f) x 1 x 1
Se: a = b então para m a+m=b+m 2 3 4
Se: a = b então para m 0 a.m=b.m x x 1
2. A solução da equação x é:
3 2
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
a) x = – 2 b) x = – 3 c) x = 3
Inequações são expressões abertas que exprimem uma d) x = 2 e) x = 1
desigualdade entre as quantidades dadas.
x 1 2x 1
Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita
3. (FGV–SP) A raiz da equação 1 é:
3 4
na forma: a) um número maior que 5
ax + b > 0 ax + b < 0 b) um número menor que – 11
c) um número natural
ax + b 0 ax + b 0 d) um número irracional
e) um número real
Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio
aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:
4. Determine a solução de cada sistema abaixo:
Se: a > b então para m a + m > b + m
x y 5
Se: a > b então para m > 0 a.m>b.m a) 2 x y 3 b) c) 3x y 1
Se: a > b então para m < 0 a.m<b.m x y 3 x y 1 2x 2 y 1

5. Resolva em R as inequações:
Exercícios de Sala 
x 10 3x
a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b)
1. Resolva em R as seguintes equações e inequações: 4 2
1 x 1
a) ax + b = 0, com a 0 c)
3 2 4
b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)

c) x 1 2 x 3 10
3 4



homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros
Tarefa Complementar no vagão no início da viagem?

2x 3y 21 UNIDADE 4
6. O valor de x + y em é:
7x 4y 1
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
7. Obtenha o maior de três números inteiros e Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode
consecutivos, cuja soma é o dobro do menor. ser reduzida a forma:

8. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a 0.
intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x +
3 2 e 2x - 1 17; é: RESOLUÇÃO

9. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b
automóveis, para veículos idênticos, são: for igual a zero procede-se assim:
agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60
ax2 + c = 0
por quilômetro rodado.
Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 ax2 = c
por quilômetro rodado. c
x2 =
Seja x o número de quilômetros percorridos durante um a
dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que
seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência c
x=
AGENOR do que na agência TEÓFILO. a
10. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal c c
S= ,
8 a a
que 5 m + 24 > 5500 e m + 700 > 42 – m, é:
5
11. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c
1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de for igual a zero procede-se assim:
123,50, independente da quantidade de objetos produzidos.
O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número ax2 + bx = 0
mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que x(ax + b) = 0
recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é: x = 0 ou ax + b = 0
b
12. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 S = {0, }
a
anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do
3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c 0
filho. A idade do pai será:
aplica-se a fórmula de Bháskara
13. (UFSC) Na partida final de um campeonato de
basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma b Δ
x= onde: = b2 – 4ac
diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe 2a
vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas
equipes estão na razão de 23 para 21? Nessa fórmula, = b2 – 4ac é o discriminante da
equação, o que determina o número de soluções
14. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:
bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si
metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro > 0. Existem duas raízes reais e distintas
menino também tirou para si metade dos bombons que
= 0. Existem duas raízes reais e iguais
encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule
quantos bombons havia inicialmente na caixa. < 0. Não há raiz real

RELAÇÕES DE GIRARD
15. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em
um de seus vagões um certo número de passageiros. Na
Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:
primeira parada não subiu ninguém e desceram desse
vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número
de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda b c
x1 + x2 = x1 . x2 =
parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse a a
vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de



Exercícios de Sala  Tarefa Complementar 
1. Resolva, em reais, as equações: 2 1
6. Resolver em R a equação 2 1
x 1 x 1
a) 2x2 – 32 = 0 b) x2 – 12x = 0

c) 2x2 – 5x – 3 = 0 7. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é:
2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x.
Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2
iguais?
8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,
a) 0 e 4 b) 0 e 2 determine a soma dos números associados às proposições
c) 0 e 1 d) 1 e 3 verdadeiras:
e) 1 e 4
01. x1 e x2 são iguais
2
3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x – 6x + 1 = 0, 02. x1 + x2 = 3
determine: 3
04. x1 . x2 =
2
a) x1 + x2 b) x1 . x2
1 1
08. = –2
c) 1 1
x1 x 2
x1 x2 16. x12 + x22 = 12
9
32. x12.x2 + x1.x22 =
Tarefa Mínima  2

9. A solução da equação x – 3 = x 3 é:
1. Resolva em R, as equações:
a) x2 – 5x + 6 = 0 10. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais
b) – x2 + 6x – 8 = 0 que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale:
c) 3x2 – 7x + 2 = 0
d) x2 – 4x + 4 = 0 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6
e) 2x2 – x + 1 = 0
f) 4x2 – 100 = 0 11. Determine a soma dos números associados às
g) x2 – 5x = 0 proposições corretas:

2. Os números 2 e 4 são raízes da equação: 01. Se a soma de um número qualquer com o seu
inverso é 5, então a soma dos quadrados desse
a) x2 – 6x + 8 = 0 b) x2 + x – 6 = 0 número com o seu inverso é 23.
c) x2 – 6x – 6 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0 02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,
e) x2 + 6x – 1 = 0 9
então o valor de x12.x2 + x1.x22 =
2
3. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 04. Se x e y são números reais positivos, tais que
2x2 – 2x + 1 = 0? x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2
08. Se x é solução da equação
a) 0 b) 1 c) 2 2
d) 3 e) 4 x2 – 3 + x 3 = 2, então, o valor de x4 = 16
1 1

4. A soma e o produto das raízes da equação 16. O valor de 8 3 16 2 é 5
2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente:
12. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,
a) 3 e 4,5 b) 2 e 4 c) – 3 e 2 raízes dessa equação, pode-se afirmar:
d) 4,5 e 5 e) n.d.a.
01. x1 x2
5. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0. 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5
04. a soma das raízes dessa equação é 3
Obtenha 1 1
08. a soma dos inversos das raízes é 6
x1 x2
16. a equação não possui raízes reais


13. A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: O domínio de uma função é o intervalo
representado pela projeção do gráfico no eixo das
a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1 abscissas. E a imagem é o intervalo representado
pela projeção do gráfico no eixo y.
14. Assinale a soma dos números associados às
proposições corretas:

3
01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 2
2
02. A maior raiz da equação 3x – 7x + 2 = 0 é 2
04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão
compreendidas entre 1 e 3
08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3
16. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais
Domínio = [a, b] Imagem = [c, d]

15. Determine o valor de x que satisfaz as equações: Valor de uma Função

a) x 1 3 x Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor
que a variável y assume quando a variável x é substituída
b) 3
2x x 1 2 por um valor que lhe é atribuído.
Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor
UNIDADE 5 de x corresponde um único valor de y.
Assim se x = 3, então y = 9.
Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9
ESTUDO DAS FUNÇÕES
Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de f(3)
A em B, essa relação será chamada de função quando todo
e qualquer elemento de A estiver associado a um único Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3
f(3) = 3 + 2
elemento em B.
f(3) = 5
Formalmente:
Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o
f é função de A em B ( x A, | y B|(x, y) f)
valor de f(-1).
Numa função podemos definir alguns elementos.
Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos
fazer x = -1
Conjunto de Partida: A f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6
Domínio: Valores de x para os quais existe y. f(-1) = 1 + 5 + 6
Contra Domínio: B f(-1) = 12
Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.
Exemplo 3: Dada a função f(x 1) = x2. Determine f(5).

Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6
f(6 1) = 62
f(5) = 36

Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).

Exercícios de Sala 
1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma
Observações: dos números associados às proposições corretas:
A imagem está sempre contida no Contra
Domínio (Im C.D)
Podemos reconhecer através do gráfico de uma
relação, se essa relação é ou não função. Para
isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada
paralela interceptar o gráfico em apenas um
ponto, teremos uma função.



d)

e)

01. O domínio da função f é {x R | - 3 x 3}
02. A imagem da função f é {y R | - 2 y 3}
04. para x = 3, tem-se y = 3
08. para x = 0, tem-se y = 2
16. para x = - 3, tem-se y = 0
32. A função é decrescente em todo seu domínio 2. Assinale a soma dos números associados às proposições
corretas:
2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada
função:

a) y = 2x + 1 b) y = 7
2x 7
x 3
c) y= 3x 2 d) y=
2x 2

2x -1, se x 0
3. Seja f ( x) 5, se 0 x 5 . 01. O domínio da função f é {x R | - 2 x 2}
x 2 5x 6, se x 5 02. A imagem da função f é {y R | - 1 y 2}
04. para x = -2 , tem-se y = -1
Calcule o valor de: f ( 3) f ( )
08. para x = 2, tem-se y = 2
f (6) 16. A função é crescente em todo seu domínio

Tarefa Mïnima  3. Determine o domínio das seguintes funções:
2
1. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não a) y = b) y = x 3
3x 9
representa uma função f: R R?
a)
x 6 3
c) y = d) y = x 5
x 2

4. (UFSC) Considere as funções f: R R e g: R R
3
b) dadas por f(x) = x2 x + 2 e g(x) = 6x + . Calcule
5
1 5
f( ) + g( 1).
2 4

5. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e
c) B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que
define uma função de A em B.

a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)}
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)}
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)}
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}




expressão:
Tarefa Complementar
1
4 h g 4
6. (UFC) O domínio da função real y = x 2 é: 2
x 7 f ( 1)
a) {x R| x > 7}
b) {x R| x 2} 14. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por
c) {x R| 2 x < 7} f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) 15. Determine o valor de
d) {x R| x 2 ou x > 7} f(0).

7. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: 15. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2.
a) f(3) Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:
b) f(5)
c) os valores de x, tal que f(x) = 0 UNIDADE 6
8. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está
relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
5p 28
pé pela fórmula S = . Qual é o comprimento do FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
4
pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41?
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x R,
a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm associa o elemento ax + b.
d) 29,5 cm e) 27,2 cm
Forma: f(x) = ax + b com a 0.
9. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.
após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é:
Gráfico
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x
c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x
O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e
e) f(x) = 1,03x
decrescente se a for negativo.
10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b),
quaisquer que sejam os números reais a e b, então
f(3x) é igual a:
a) 3.f(x) b) 3 + f(x)
c) f(x3) d) [f(x)]3
e) f(3) + f(x)

11. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço da
energia elétrica consumida é a soma das seguintes
parcelas:
Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo
1ª . Parcela fixa de R$ 10,00;
é necessário definir apenas dois pontos para obter o
2ª . Parcela variável que depende do número de
gráfico.
quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa
R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor
pagou R$ 31,00, então ele consumiu: Interceptos:

a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer
c) menos de 65 kWh d) entre 65 e 80 kWh x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem
e) entre 80 e 110 kWh coordenadas (0,b).
Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer
12. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem
b
marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT coordenadas ( ,0). O ponto que o gráfico corta o
(unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro a
rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o eixo x é chamado raiz ou zero da função.
taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros
corridos foi:

13. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5,
g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x, o valor em módulo da



RESUMO GRÁFICO
Exercícios de Sala
f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0
1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais.
Determine a soma dos números associados às
proposições corretas :

01. a reta que representa a função f intercepta o eixo
das ordenadas em (0,- 6)
02. f(x) é uma função decrescente
04. a raiz da função f(x) é 3
08. f(-1) + f(4) = 0
16. a imagem da função são os reais
Função crescente Função decrescente 32. A área do triângulo formado pela reta que
representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18
Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função unidades de área.
f(x) = – 3x + 1.
2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) =
Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:
gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o
eixo y em (0,1). 2 2 2 2 2
a) k b) k c) k d) k e) k
Para determinar o ponto que o gráfico corta o 3 3 3 3 3
eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.
3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se
– 3x + 1 = 0 que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).
1
x=
3
Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem Tarefa Mínima 
1
coordenadas ( , 0)
3 1. Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = – x + 3
b) f(x) = 2x + 1

2. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa
pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m +
n vale em módulo:
D= C.D. = Im =
3. ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única
FUNÇÃO CONSTANTE
representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:
Uma função f de R em R é constante se, a cada x R,
associa sempre o mesmo elemento k R.
D(f) = R e Im (f) = k

Forma: f(x) = k

Gráfico:

Exemplo: y = f(x) = 2

D= C.D. = Im = {2}



4. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa
eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, gasta menos do que para fabricar o quinto litro.
3), então f(x) é:
11. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5
a) f(x) = x 3 b) f(x) = x 4 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:
c) f(x) = 2x 5 d) f(x) = 2x 1
e) f(x) = 3x 6 12. O valor de uma máquina decresce linearmente com o
tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale
5. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de f (t ) f( ) R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu
t valor, em reais, daqui a três anos será:
com t .


a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416
Tarefa Complementar
13. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura
baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do
6. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função ponto R é:
f(x) = 2x + k, deve-se ter

a) k=0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2

7. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e
intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a 2b é
igual a:

a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a. a) A = x2 – 3x b) A = - 3x2 + 9x c) A
= 3x2 – 9x
8. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em d) A = - 2x2 + 6x e) A = 2x2 – 6x
relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os
eixos do sistema um triângulo cuja área é: 14. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade,
deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16 apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função
do tempo.
9. O gráfico da função f(x) está representado pela figura
Distânc ia (em km )
abaixo:

Pode-se afirmar que f(4) é igual a:

10. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro
gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de Temp o (em horas)

perfume, varia com a quantidade de perfume produzida
(x). Assim, podemos afirmar: Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu
primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido
exatamente:
a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km

15. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real
positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros
positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0),
(b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2.
f(x) = 1
a) Quando a empresa não produz, não gasta. x
b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta
R$ 76,00.
c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta
R$ 54,00.
d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá
5 litros de perfume.


Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0)
e (3b, f(3b))
O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.
O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.
UNIDADE 7
Coordenadas do vértice
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde
Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada
b
x R associa o elemento ax2 + bx + c, com a 0 x
v
e yv =
2a 4a
2
Forma: f(x) = ax + bx + c, com a 0
Imagem da função quadrática
Gráfico Se a > 0, então Im = {y R| y }
4a
O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R
Se a < 0, então Im = {y R| y }
é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada 4a
pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim,
quando: Resumo gráfico

a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima >0
a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo

Interceptos

O ponto que o gráfico corta o eixo y possui
coordenadas (0,c)
Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x,
deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º
grau ax2 + bx + c = 0, onde:
b Δ
x , onde b 2 4ac
2a =0

Se >0 Duas Raízes Reais
Se =0 Uma Raiz Real
Se <0 Não possui Raízes Reais

Estudo do vértice da parábola

A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida
em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo
chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo
com a parábola recebe o nome de vértice da parábola. <0



08. O gráfico não intercepta o eixo x.
16. A imagem da função é { y R| y 4}
32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4)
64. A função é crescente em todo seu domínio.

3. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em
R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da
parábola e seus zeros, é:

4. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de
Exercícios de Sala  domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:

a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]- , 4]
d) [-3, 1] e) [-5, 3]
1. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de
é correto afirmar:
5. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x)
01. 2 e 4 são os zeros da função f = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-
02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1)
04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos se:
números reais. a) no primeiro quadrante.
b) no segundo quadrante.
08. A imagem da função é: { y R| y 1}
c) no terceiro quadrante.
16. A área do triângulo cujos vértices são o
d) sobre o eixo das coordenadas.
vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de
e) sobre o eixo das abscissas.
área.

2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu
Tarefa Complementar 
conjunto imagem.
2
6. (UFSC) Seja f: R R, definida por: f(x) = - x ,
2
a) f: , f(x) = x – 2x termine a soma dos números associados às afirmativas
verdadeiras:
b) f: , f(x) = – x2 + 4
01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem.
c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 – 2x 02. f(x) é crescente em R.
04. As raízes de f(x) são reais e iguais.
3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de . 08. f(x) é decrescente em [0, + )
Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): 16. Im(f) = { y R y 0}
32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.
a) tenha duas intersecções com o eixo
7. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função
b) tenha uma intersecção com o eixo x f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:

c) não intercepte o eixo x

Tarefa Mínima 

1. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do
vértice e a imagem de cada função.

a) f: , f(x) = x2 – 2x – 3
b) f: , f(x) = (x + 2)(x – 4)
c) f: , f(x) = – x2 + 2x – 1 a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0
d) f: , f(x) = x2 – 3x c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0
e) a > 0, b > 0, c > 0
2. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale
as verdadeiras: 8. Considere a função definida em x dada por
f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de
01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto?
coordenadas (0,12).
02. As raízes de f são 2 e 6. 9. (UFPA) As coordenadas do vértice da função
04. O domínio de f é o conjunto dos números reais. y = x2 – 2x + 1 são:



Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:
a) (-1, 4) b) (1, 2)
c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0) ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0
com a 0
10. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o ax 2 bx c 0
gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o ax 2 bx c 0
eixo x é:
Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão
a) { 7} b) { 0 }
a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação
c) { 2} d) { 2 7} de sinais em função da variável. Posteriormente,
selecionam-se os valores da variável que tornam a
11. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-
ponto V( 1, 4). O valor de k + m em módulo é: solução.

12. (UFSC) Dada a função f: R R definida por f(x) = Exemplos:
2
ax + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10.
Determine o valor de a - 2b + 3c. a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 0

13. A equação do eixo de simetria da parábola de
equação y = 2x2 - 10 + 7, é:

a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7
c) x = 2,5 d) y = 3,5
e) x = 1,8
S = {x R | x -1 ou x 3} ou
2 2 3
14. O gráfico da função f(x) = mx – (m – 3)x + m S = ]- , -1] [3, + [
intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem
concavidade voltada para baixo. O valor de m é: b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 0

a) – 3 b) – 4
c) – 2 d) 2 e) – 1

15. (UFSC) Marque no cartão a única proposição
correta. A figura abaixo representa o gráfico de uma
parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:
S={x R|2 x 5}
S = [2, 5]

c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0

01. y = -2x + 2 S = { x R | 1 < x < 4}
02. y = x + 2 S = [1, 4]
04. y = 2x + 1
08. y = 2x + 2 Inequações Tipo Produto
16. y = -2x – 2
Inequação Produto é qualquer inequação da forma:

UNIDADE 8 a) f(x).g(x) 0 b) f(x).g(x) > 0
c) f(x).g(x) 0 d) f(x).g(x) < 0
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário
INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a
INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE regra da multiplicação.

INEQUAÇÕES DO 2O GRAU Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0



a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0

2
b) x 7 x 10 0
x 4
Tarefa Mínima 

1. Resolver em as seguintes inequações:
S={x R | x < 1 ou 2 < x < 3}
a) x2 – 6x + 8 > 0
b) x2 – 6x + 8 0
Inequações Tipo Quociente c) – x2 + 9 > 0
d) x2 4
Inequação quociente é qualquer inequação da forma:
e) x2 > 6x
f(x) f(x) f(x) f(x)
a) 0 b) >0 c) 0 d) <0 f) x2 1
g(x) g(x) g(x) g(x)
Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se 2. (Osec-SP) O domínio da função
faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e,
em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É f(x) = x2 2x 3 , com valores reais, é um dos
necessário lembrar que o denominador de uma fração não conjuntos seguintes. Assinale-o.
pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar
g(x) 0. a) {x R -1 x 3} b) { x R -1 < x < 3 }
2
c) { } d) { x R x 3}
Exemplo: Resolver a inequação x 4x 3 e) n.d.a.
0
x 2
3. Resolva, em R, as seguintes inequações:
a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0
b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) 0
c) (x – 3) (x2 – 16) < 0
d) x3 x
e) x3 – 3x2 + 4x – 12 0

4. Resolva, em R, as seguintes inequações:
S={x R|1 x < 2 ou x 3}
2
a) x 5x 6
Exercícios de Sala  2
0
x 16
1. Resolver em as seguintes inequações: b) x 2
5x 6
2
0
a) 2
x – 8x + 12 > 0 x 16
c) x x
0
2 x 1 x 1
b) x – 8x + 12 0
2
d) <1
c) x2 – 9x + 8 0 x 1

2. O domínio da função definida por 5. (ESAG) O domínio da função y = 1 2 x nos reais é:
x2 1
x 2 3x 10
f(x) = é:
x 6 a) (- , -1 ) b) (-1, ½]
c) (- , ½] d) (- , -1) [1/2, 1)
a) D = {x R| x 2 ou x 5} {6}. e) { }
b) D = {x R| x - 2 ou x 5} {6}.
c) D = {x R| x - 2 ou x 5} Tarefa Complementar 
d) D = {x R| x - 2 ou x 7} {6}.
e) n.d.a. 6. Resolver em as seguintes inequações:

3. Determine o conjunto solução das seguintes a) x2 – 6x + 9 > 0 b) x2 – 6x + 9 0
inequações: c) x2 – 6x + 9 < 0 d) x2 – 6x + 9 0



7. Resolver em as seguintes inequações: a) x < 2 ou x > 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5
c) 4 < x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4
a) x2 – 4x + 5 > 0 b) x2 – 4x + 5 0 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4
c) x2 – 4x + 5 < 0 d) x2 – 4x + 5 0
15. (FUVEST) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que:
8. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4 – x2 + bx + c tem
como solução o conjunto {x |0 x 3}, então b e c a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2
valem respectivamente: c) – 1< x < 0 d) – 2< x < –1
e) x < –1 ou x > 1
a) 1 e – 1 b) – 1 e 0
c) 0 e – 1 d) 0 e 1 UNIDADE 9
e) 0 e 4

9. (UNIP) O conjunto verdade do sistema PARIDADE DE FUNÇÕES
x 2
9x 8 0 é: FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA
2x 4 0
Função Par
a) ]1, 2] b) ]1, 4] c) [2, 4[
d) [1, 8[ e) [4, 8[ Uma função é par quando para valores simétricos de x
temos imagens iguais, ou seja:

10. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é: f( x) = f(x), x D(f)

Uma conseqüência da definição é: Uma função f
a) { – 2 2;2 2} b) [– 2 2;2 2] é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação
ao eixo y.
c) (– 2 2;2 2) d) (– ; 2 2)
FUNÇÃO ÍMPAR
e) (– ; 2 2]
Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x
11. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = as imagens forem simétricas, ou seja:
100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste
caso podemos afirmar que o lucro é: f( x) = f(x), x D(f)
a) positivo para x entre 3 e 8 Como conseqüência da definição os gráficos das funções
b) positivo para qualquer que seja x ímpares são simétricos em relação à origem do sistema
c) positivo para x maior do que 8 cartesiano.
d) máximo para x igual a 8
e) máximo para x igual a 3 FUNÇÃO COMPOSTA

12. (FATEC) A solução real da inequação produto Dadas as funções f: A B e g: B C, denomina-se
(x2 – 4).(x2 – 4x) 0 é: função composta de g com f a função gof: definida de
A C tal que gof(x) = g(f(x))
a) S={x R| - 2 x 0 ou 2 x 4}
b) S={x R| 0 x 4}
c) S={x R| x - 2 ou x 4}
d) S={x R| x - 2 ou 0 x 2 ou x 4}
e) S={}

13. (MACK-SP) O conjunto solução de 6 x é:
5
x 3
a) { x R x > 15 e x < - 3}
b) { x R x < 15 e x - 3}
c) { x R x > 0}
d) {x R - 3 < x < 15} f: A B g: B C gof: A C
e) { x R - 15 < x < 15}
Condição de Existência: Im(f) = D(g)
14. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a
inequação (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 são:


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