Matemática Básica Inclusiva

Inclusão para a vida Matemática A
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1
AULA 01
ARITMÉTICA BÁSICA
1. Múltiplo de um número
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é
múltiplo de a e b.
Exemplo: Múltiplos de 3
M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}
Observações:
• O zero é múltiplo de todos os números.
• Todo número é múltiplo de si mesmo.
• Os números da forma 2k, k ∈ N, são números múltiplos de 2
e esses são chamados números pares.
• Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares.
2. Divisor de um número
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são
divisores c.
Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Observações:
• O menor divisor de um número é 1.
• O maior divisor de um número é ele próprio.
2.1. Quantidade de divisores de um número
Para determinar a quantidade de divisores de um
número procede-se assim:
a) Decompõem-se em fatores primos o número dado;
b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada
um desses expoentes adiciona-se uma unidade.
c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.
Exemplo: Determinar o número de divisores de 90
90 = 21
. 32
. 51
(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12
Logo 90 possui 12 divisores
3. Critérios de divisibilidade
3.1. DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 se for par.
Exemplos: 28, 402, 5128.
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos
seus algarismos for divisível por 3.
Exemplos: 18, 243, 3126.
Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem
divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00.
Exemplos: 5716, 8700, 198200.
Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5.
Exemplos: 235, 4670, 87210.
Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por
2 e 3.
Exemplos: 24, 288, 8460.
Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem
divisíveis por 8 ou forem três zeros
Exemplos: 15320, 67000.
3.8.DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos
for um número divisível por 9.
Exemplos: 8316, 35289.
Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero.
Exemplos: 5480, 1200, 345160.
4. Números Primos
Um número p, p ≠ 0 e p ≠ 1, é denominado número primo se
apresentar apenas dois divisores, 1 e p.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
Observação: Um número é denominado composto se não
for primo.
5. Mínimo Múltiplo Comum
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de
dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja
o menor número divisível pelos números em questão.
Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.
Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....}
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}
Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24
Processo 2:
6 – 8
3 – 4
3 – 2
3 – 1
1 – 1
2
2
2
3
Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23
.3 = 24
6. Máximo Divisor Comum
Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais
números o maior dos seus divisores comuns.
Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42
Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42}
Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.
Processo 2: 36 = 22
.32
e 42 = 2.3.7
Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3
Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Matemática A Inclusão para a Vida
Exercícios de Sala 
01) ( UFSC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites
artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o
desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos
rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia
03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma
órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os
satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias
para darem uma volta completa em torno da Terra, então o
número de dias para o próximo alinhamento é:
02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,
respectivamente. O valor de x. y é:
a) 240 b) 120 c) 100
d) 340 e) 230
03) O número de divisores naturais de 72 é:
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
Tarefa Mínima 
01) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48.
Determine:
a) M.M.C entre A e B
b) M.D.C entre B e C
c) M.M.C entre A, B e C
d) M.D.C entre A, B e C
02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36,
respectivamente. O valor de x. y é:
a) 240 b) 720 c) 120
d) 340 e) 230
03) Determine o número de divisores naturais dos números
a) 80 b) 120
04) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em
16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os
dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão
se encontrar de novo no ponto de partida, levando em
consideração ambas as velocidades constantes?
05) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m
e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os
fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham
medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior
possível. Então cada faixa medirá na frente:
a) 12 m b) 18 m c) 24 m
d) 30 m e) 36 m
Tarefa Complementar
06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a
cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a
cada 5 horas. Soando em determinado instante os
quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a
soar juntos?
a) 240 horas b) 120 horas
c) 32 horas d) 360 horas
e) 320 horas
07) Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e
90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo
assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada
tábua medirá:
a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm
d) 12 cm e) 4 cm
08) Sejam os números
A = 23
.32
. 5 B = 22
. 3 . 52
Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem
respectivamente:
a) 180 e 60 b) 180 e 600
c) 1800 e 600 d) 1800 e 60
e) n.d.a.
09) ( Santa Casa-SP ) Seja o número 717171x, onde x
indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse
número é divisível por 4, então o valor máximo que x
pode assumir é:
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
10) ( PUC-SP ) Qual dos números abaixo é primo?
a) 121 b) 401 c) 362
d) 201 c) n.d.a.
11) ( PUC-SP ) Um lojista dispõe de três peças de um
mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e
80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura.
Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um
tendo a largura das peças e o maior comprimento
possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças.
Quantos retalhos ele deverá obter?
12) ( UEL-PR ) Seja p um número primo maior que 2. É
verdade que o número p2
– 1 é divisível por:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
13) Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o
mínimo múltiplo comum de 360 e 300,
respectivamente. O produto A.B é dado por: 2x
.3y
.5z
,
então x + y + z vale:
14) (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente
de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo
perfeito é:
a) 6 b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes
iguais, três vigas, cujos comprimentos são,
respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a
medida de cada um dos pedaços ser a maior possível.
O total de pedaços obtidos com as três vigas é:
a) 18 b) 21 c) 210
d) 180 e) 20

AULA 02
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Conjuntos Numéricos
1.1. Conjunto dos Números Naturais
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto
N*
( naturais sem o zero )
N*
= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
∀ a, b ∈ N, (a + b) ∈ N e (a . b) ∈ N
1.2. Conjunto dos Números Inteiros
Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a
diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse
menor que o segundo.
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros
Z*
= inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... }
Z*
+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... }
Z −_ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0}
Z*
_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }
∀ a, b ∈ Z, (a + b) ∈ Z, (a . b) ∈ Z e (a – b) ∈ Z
1.3. Conjunto dos Números Racionais
Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir
dois números inteiros, onde o resultado era um número não
inteiro.
Q = { x | x =
a
b
, com a ∈ Z, b ∈ Z*
}
Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração
é um número racional.
São exemplos de números racionais:
a) Naturais
b) Inteiros
c) decimais exatos ( 0,2 =
2
10
)
d) dízimas periódicas ( 0,333... =
1
3
)
As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva
que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador
for zero também).
Geratrizes de uma dízima periódica
Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se
GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima
periódica, procede-se assim:
a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário
cujo numerador é o algarismo que representa a parte
periódica e o denominador é um número formado por
tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
a) 0777...=
9
7
b) 0,333....=
3
1
9
3
=
c) 0,434343... =
99
43
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário
cujo numerador é a diferença entre a parte não
periódica seguida de um período e a parte não
periódica, e cujo o denominador é um número formado
de tantos noves quantos são os algarismos do período,
seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da
parte não periódica.
Exemplos:
a) 0,3777... =
45
17
90
34
90
337
==
−
b) 0,32515151... =
3300
1073
9900
3219
9900
323251
==
−
1.4. Conjunto dos Números Irracionais
Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um
outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda
reta. Veja o seguinte exemplo.
Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o
valor da hipotenusa.
x
1
1
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
x2
= 12
+ 12
x = 2
Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural,
inteiro, nem racional, surge então os números irracionais.
Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados
em forma de fração, como por exemplo:
a) π = 3,14...
b) e = 2, 71...
c) toda raiz não exata
1.5. Conjunto dos Números Reais
Os números reais surgem da união dos números racionais com os
irracionais.

QUADRO DE RESUMO
ℜ
Q I
Z
N
Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais.
Porém, é necessário saber, que existem números que não são
reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais
detalhadamente adiante.
PROPRIEDADES EM ℜ
• Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a
• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)
• Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a
• Simétrico: a + (– a) = 0
• Inverso: a .
a
1
= 1, a ≠ 0
INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO
DE UM NÚMERO REAL
1. Intervalos Numéricos
Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de ℜ.
Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a
seguir:
• {x ∈ R| p ≤ x ≤ q} = [p, q]
• {x ∈ R| p < x < q} = ]p, q[
• {x ∈ R| p ≤ x < q} = [p, q[
• {x ∈ R| p < x ≤ q} = ]p, q]
• {x ∈ R| x ≥ q} = [q, ∞[
• {x ∈ R| x > q} = ]q, ∞[
• {x ∈ R| x ≤ q} = ] -∞, q]
• {x ∈ R| x < q} = ] -∞, q[
Os números reais p e q são denominados, respectivamente,
extremo inferior e extremo superior do intervalo.
Observações
• O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}
• O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }
• O intervalo ( −∞ , + ∞ ) representa o conjunto dos números
reais (R)
• (x, y) = ]x, y[
Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:
Notação de conjunto. Exemplo: {x ∈ R| 2 < x ≤ 3}
Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3]
Representação Gráfica.
Exemplo:
Veja outros exemplos:
1) {x ∈ R| x > 2} = ]2, ∞[
2) {x ∈ R| x ≤ 1} = ] -∞, 1]
3) {x ∈ R| 3 ≤ x < 4} = [3, 4[
2. Módulo de um número real
Módulo ou valor absoluto, de um número real x é a
distância da origem ao ponto que representa o número x.
Indicamos o módulo de x por | x |.
2.1. Definição



<
≥
=
0xsex,-
0xse,x
x
Exemplos:
a) como 3 > 0, então | 3 | = 3
b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3
2.2. Propriedades
• | x | ≥ 0
• | x |2
= x2
• ||2
xx =
• |x – y| = |y – x|
• |x . y| = | x |. | y |
•
y
x
y
x
=
2.3. Equação Modular
Equação Modular é a equação que possui a incógnita x
em módulo.
Tipos de equações modulares:
Exemplo 1: | x | = 3
x = 3 ou x = -3
S = {-3, 3}
Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6
x + 2 = 6 ou x + 2= - 6
x = 4 ou x = - 8
S = {-8, 4}
• | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = − k

Exemplo 1: | x | = - 3
S = ∅
Exemplo 2: |x + 2| = -10
S = ∅
2.4. Inequação Modular
Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | ≤ k,
| x | > k, | x | ≥ k denominam-se inequações modulares.
Tipos de inequações modulares:
•
Exemplos: | x | < 3 → – 3 < x < 3
| x | < 10 → – 10 < x < 10
•
Exemplos: | x | > 3 → x < – 3 ou x > 3
| x | > 10 → x < –10 ou x > 10
01) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) 





+





−
3
1
5
2
8
1
4
3
b) 





+





−
3
4
1:
5
3
2
02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equações:
I. x2
+ 4 = 0
II. x2
– 4 = 0
III. 0,3x = 0,1
Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar
que:
a) II são números irracionais
b) III é um número irracional
c) I e II são números reais
d) I e III são números não reais
e) II e III são números racionais
03) Resolva em ℜ as seguintes equações:
a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7
c) |x2
–5x | = 6 d) |x + 2| = –3
e) |x|2
– 5|x| + 4 = 0
Tarefa Mínima 
01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:
a) {x ∈ N| x é divisor de 12}
b) {x ∈ N| x é múltiplo de 3}
c) {x ∈ N| 2 < x ≤ 7}
d) {x ∈ Z| - 1 ≤ x < 3}
e) {x| x = 2k, k ∈ N}
f) {x| x = 2k + 1, k ∈ N}
02) As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717...
são respectivamente:
23 23 20 43 23 43
a) e b) e c) e
100 99 99 99 99 198
1 1 2 1
d) e e) e
3 10 10 5
03) ( ACAFE ) O valor da expressão ,
1
2
.
−
−
c
cba quando
a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:
04) Resolva em ℜ as seguintes equações:
a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7
c) |x – 2| = -3 d) |x |2
+ 3 |x| - 4 = 0 é:
05) A solução da inequação 5)12( 2
≤−x
a) {x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3}
b) {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6}
c) {x ∈ ℜ| x ≤ 3}
d) {x ∈ ℜ| x ≤ 7}
e) {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2}
Tarefa Complementar 
06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,666..., b = 1,333... e
c = 0,1414..., então a.b-1
+ c é igual a:
07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o
irracional y, pode-se dizer que:
a) x.y é racional
b) y.y é irracional
c) x + y racional
d) x - y + 2 é irracional
e) x + 2y é irracional
08) ( FUVEST ) Na figura estão representados
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a
posição do número xy?
a) à esquerda de 0 b) entre zero e x
c) entre x e y d) entre y e 1
e) à direita de 1
• | x | = k, com k = 0, então: x = 0
• | x | = k, com k < 0, então: não há solução
| x | < k, com k > 0, então: − k < x < k
| x | > k, com k > 0, então: x <− k ou x > k

09) Determine a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
01. É possível encontrar dois números naturais, ambos
divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo
outro deixe resto 39.
02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2
com b sendo um número ímpar, então a é par.
04. O número 257 +− é real.
08. Existem 4 números inteiros positivos e
consecutivos tais que o produto de 2 deles seja
igual ao produto dos outros dois.
16. o número 247 é um número primo.
10) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são
dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
987
654
321
181716
151413
121110
......
......
....19
O número 500 se encontra em um desses “quadrados”.
A linha e a coluna em que o número 500 se encontra
são respectivamente:
a) 2 e 2 b) 3 e 3
c) 2 e 3 d) 3 e 2
e) 3 e 1
11) A expressão|2x – 1| para x <
2
1
é equivalente a:
a) 2x – 1 b) 1 – 2x
c) 2x + 1 d) 1 + 2x
e) – 1
12) Assinale a alternativa correta:
a) Se x é um número real, então
2
x ≠ |x |
b) Se x é um número real, então existe x, tal que
|x| < 0
c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais,
então |a + b| = |a| + |b|
d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos,
então |a + b| > |a| + |b|
e) | x | = x, para todo x real.
13) ( UFGO ) Os zeros da função f(x) =
2 1
5
3
x −
− são:
a) −7 e −8 b) 7 e −8 c) 7 e 8
d) −7 e 8 e) n.d.a.
14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos está contida
no conjunto solução da inequação
1)1( 2
≤+ x ?
a) {x ∈ R | - 5 ≤ x ≤ - 1}
b) {x ∈ R | - 4 ≤ x ≤ 0}
c) {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 0}
d) {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 0}
e) Todos os conjuntos anteriores
15) ( ITA-SP ) Os valores de x ∈ R para os quais a função
real dada por f(x) = |6|12||5 −−− x
está definida, formam o conjunto:
a) [0, 1] b) [-5, 6]
c) [-5,0] ∪ [1, ∞) d) (-∞, 0] ∪ [1, 6]
e) [-5, 0] ∪ [1, 6]
AULA 03
EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES
1. Definição
Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º
grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a
diferente de zero.
2. Resolução
Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.
Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse
caso é denominado RAIZ da equação
Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são
chamadas equivalentes.
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA
IGUALDADE
Se: a = b então para ∀m → a + m = b + m
Se: a = b então para ∀m ≠ 0 → a . m = b . m
4. Inequações do 1º grau
Inequações são expressões abertas que exprimem uma
desigualdade entre as quantidades dadas.
Uma inequação é dita do 1º grau se pode ser escrita na forma:
ax + b > 0 ax + b < 0
ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0
Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e
multiplicativo com uma ressalva. Veja:
Se: a > b então para ∀m → a + m > b + m
Se: a > b então para ∀m > 0 → a . m > b . m
Se: a > b então para ∀m < 0 → a . m < b . m
01) Resolva em R as seguintes equações e inequações:
a) ax + b = 0, com a ≠ 0
b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)
c) 10
4
32
3
1
=
−
+
+ xx
d) 502x = 500x
e) 0.x = 0
f) 0.x = 5
g)
8
3x
2
1x
≥
−

02) Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da
equação 5x + 2m = 20
03) Resolva em R, o seguinte sistema:



=+
=−
232
13
yx
yx
Tarefa Mínima
01) Resolver em R as equações:
a) 6x – 6 = 2(2x + 1)
b) 2(x + 1) = 5x + 3
c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3
d) 2(x – 2) = 2x – 4
e) 3(x – 2) = 3x
f)
4
1
32
1
=+
− xx
02) A solução da equação x
2
1x
3
x
=
−
+ é:
a) x = – 2 b) x = – 3 c) x = 3
d) x = 2 e) x = 1
03) ( FGV–SP ) A raiz da equação 1
4
12x
3
1x
=
+
−
−
é:
a) um número maior que 5
b) um número menor que – 11
c) um número natural
d) um número irracional
e) um número real
04) Determine a solução de cada sistema abaixo:
a)



=+
=−
3
32
yx
yx b)



=−
=+
1
5
yx
yx
c)



=+
=+
122
13
yx
yx
05) Resolva em R as inequações:
a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b)
2
3x
4
10x
≤
+
c)
4
1
2
x
3
1
<−
Tarefa Complementar
06) O valor de x + y em



=−
=+
14y7x
213y2x
é:
07) Obtenha o maior de três números inteiros e
consecutivos, cuja soma é o dobro do menor.
08) ( UFSC ) A soma dos quadrados dos extremos do
intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações:
x + 3 ≥ 2 e 2x - 1 ≤ 17; é:
09) As tarifas cobradas por duas agências de locadora de
automóveis, para veículos idênticos, são:
• agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por
quilômetro rodado.
• Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por
quilômetro rodado.
Seja x o número de quilômetros percorridos durante um
dia. Determine o intervalo de variação de x de modo
que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na
agência AGENOR do que na agência TEÓFILO.
10) ( UFSC ) A soma dos dígitos do número inteiro m tal que 5
m + 24 > 5500 e
5
8
− m + 700 > 42 – m, é:
11) ( UFSC ) Para produzir um objeto, um artesão gasta
R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma
despesa fixa de 123,50, independente da quantidade
de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50
por unidade. O número mínimo de objetos que o
artesão deve vender, para que recupere o capital
empregado na produção dos mesmos, é:
12) ( UFSC ) A soma das idades de um pai e seu filho é 38
anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do
filho. A idade do pai será:
13) ( UFSC ) Na partida final de um campeonato de
basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma
diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a
equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados
pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21?
14) ( UNICAMP ) Uma senhora comprou uma caixa de
bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si
metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro
menino também tirou para si metade dos bombons
que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons.
Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
15) ( UEL-PR ) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em
um de seus vagões um certo número de passageiros.
Na primeira parada não subiu ninguém e desceram
desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um
número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na
segunda parada não desceu ninguém, entretanto
subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres,
ficando o número de homens igual ao de mulheres.
Qual o total de passageiros no vagão no início da
viagem?
AULA 04
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser
reduzida a forma:
ax2
+ bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
1. Resolução
1º CASO: Se na equação ax2
+ bx + c = 0, o coeficiente b
for igual a zero procede-se assim:
ax2
+ c = 0
ax2
= − c
x2
=
a
c
−

x = ±
a
c
−
S =






−−−
a
c
a
c
,
+ bx + c = 0, o coeficiente c
for igual a zero procede-se assim:
ax2
+ bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0 ou ax + b = 0
S = {0,
a
b
− }
+ bx + c = 0, a, b, c ≠ 0
aplica-se a fórmula de Bháskara
x =
2a
Δb ±−
onde: ∆= b2
– 4ac
Nessa fórmula, ∆= b2
– 4ac é o discriminante da
equação, o que determina o número de soluções
reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:
• ∆ > 0. Existem duas raízes reais e distintas
• ∆ = 0. Existem duas raízes reais e iguais
• ∆ < 0. Não há raiz real
2. Relações de Girard
Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2
+ bx + c, tem-se:
x1 + x2 =
a
b
− x1 . x2 =
a
c
01) Resolva, em reais, as equações:
a) 2x2
– 32 = 0 b) x2
– 12x = 0
c) 2x2
– 5x – 3 = 0
02) Considere a equação x2
– mx + m = 0 na incógnita x.
Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e
iguais?
a) 0 e 4 b) 0 e 2
c) 0 e 1 d) 1 e 3
e) 1 e 4
03) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2
– 6x + 1 = 0,
determine:
a) x1 + x2 b) x1 . x2
c)
2x
1
1x
1
+
Tarefa Mínima 
01) Resolva em R, as equações:
a) x2
– 5x + 6 = 0
b) – x2
+ 6x – 8 = 0
c) 3x2
– 7x + 2 = 0
d) x2
– 4x + 4 = 0
e) 2x2
– x + 1 = 0
f) 4x2
– 100 = 0
g) x2
– 5x = 0
02) Os números 2 e 4 são raízes da equação:
a) x2
– 6x + 8 = 0 b) x2
+ x – 6 = 0
c) x2
– 6x – 6 = 0 d) x2
– 5x + 6 = 0
e) x2
+ 6x – 1 = 0
03) ( PUC-SP ) Quantas raízes reais tem a equação
2x2
– 2x + 1 = 0?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
04) A soma e o produto das raízes da equação
2x2
– 6x + 9 = 0 são respectivamente:
a) 3 e 4,5 b) 2 e 4 c) – 3 e 2
d) 4,5 e 5 e) n.d.a.
– 5x – 1 = 0.
Obtenha
2x
1
1x
1
+
06) Resolver em R a equação 1
1x
1
1
2
x
2
−=
+
+
−
07) A maior solução da equação 2x4
– 5x2
– 3 = 0 é:
a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2
– 6x – 3 = 0,
determine a soma dos números associados às
proposições verdadeiras:
01. x1 e x2 são iguais
02. x1 + x2 = 3
04. x1 . x2 =
2
3
−
08.
2x
1
1x
1
+ = –2
16. x1
2
+ x2
2
= 12
32. x1
2
.x2 + x1.x2
2
=
2
9
−
09) A solução da equação x – 3 = 3+x é:

10) ( MACK-SP ) Se x e y são números reais positivos,
tais que x2
+ y2
+ 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6
11) Determine a soma dos números associados às
01. Se a soma de um número qualquer com o seu
inverso é 5, então a soma dos quadrados desse
número com o seu inverso é 23.
02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2
– 6x – 3 = 0,
então o valor de x1
2
.x2 + x1.x2
2
=
2
9
−
04. Se x e y são números reais positivos, tais que
x2
+ y2
+ 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale 2
08. Se x é solução da equação
x2
– 3 + 32
−x = 2, então o valor de x4
= 16
16. O valor de 2
1
3
1
168 + é 5
12) Considere a equação 2x2
– 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,
raízes dessa equação, pode-se afirmar:
01. x1 ≠ x2
02. o produto das raízes dessa equação é 0,5
04. a soma das raízes dessa equação é 3
08. a soma dos inversos das raízes é 6
16. a equação não possui raízes reais
13) A maior raiz da equação x4
– 10x2
+ 9 = 0 é:
a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1
14) Assinale a soma dos números associados às
01. A maior raiz da equação x6
– x3
– 2 = 0 é
3
2
02. A maior raiz da equação 3x2
– 7x + 2 = 0 é 2
04. As raízes da equação x2
– 4x + 5 = 0 estão
compreendidas entre 1 e 3
08. A soma das raízes da equação x6
– x3
– 2 = 0 é 3
16. a equação x2
– 4x + 2 = 0 não possui raízes reais
15) Determine o valor de x que satisfaz as equações:
a) xx =+− 31
b) 2123
=++ xx
AULA 05
ESTUDO DAS FUNÇÕES
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em
B, essa relação será chamada de função quando para todo e
qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento
em B.
Formalmente:
f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈ B|(x, y) ∈ f)
Numa função podemos definir alguns elementos.
• Conjunto de Partida: A
• Domínio: Valores de x para os quais existe y.
• Contra Domínio: B
• Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.
Observações:
• A imagem está sempre contida no Contra Domínio
(Im ⊂ C.D)
• Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação,
se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se
traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o
gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.
• O domínio de uma função é o intervalo representado
pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a
imagem é o intervalo representado pela projeção do
gráfico no eixo y.
Domínio = [a, b] Imagem = [c, d]
Valor de uma Função
Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a
variável y assume quando a variável x é substituída por um valor
que lhe é atribuído.
Por exemplo: considere a relação y = x2
, onde cada valor
de x corresponde um único valor de y.
Assim se x = 3, então y = 9.
Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9
Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de
f(3)
Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3
f(3) = 3 + 2
f(3) = 5
Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2
- 5x + 6. Determine o
valor de f(-1).
Resolução: f(x) = x2
- 5x + 6, devemos
fazer x = -1
f(-1) = (-1)2
- 5(-1) + 6
f(-1) = 1 + 5 + 6
f(-1) = 12

Exemplo 3: Dada a função f(x − 1) = x2
. Determine f(5).
Resolução: f(x −1) = x2
, devemos fazer x = 6
f(6 − 1) = 62
f(5) = 36
Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).
01) Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma
dos números associados às proposições
VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3}
02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3}
04. para x = 3, tem-se y = 3
08. para x = 0, tem-se y = 2
16. para x = - 3, tem-se y = 0
32. A função é decrescente em todo seu domínio
02) Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada
função:
a) y = 2x + 1 b) y =
72
7
−x
c) y = 23 −x d) y =
22
3
−
+−
x
x
04) ( )
2x -1, se x 0
5, se 0 x 5
2x 5x 6, se x 5
Seja f x


= 


≤
< ≤
− + >
.
Calcule o valor de:
)6(
)()3(
f
ff π+−
Tarefa Mïnima 
01) ( UNAERP-SP ) Qual dos seguintes gráficos não
representa uma função f: R → R ?
a)
b)
c)
d)
e)
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 2}
02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 2}
04. para x = -2 , tem-se y = -1
08. para x = 2, tem-se y = 2
16. A função é crescente em todo seu domínio
03) Determine o domínio das seguintes funções
a) y =
93
2
−x
b) y = 3−x
c) y =
2
6
−
+−
x
x
d) y =
3
5−x
04) ( UFSC ) Considere as funções f: R → R e g: R → R
dadas por f(x) = x2
− x + 2 e g(x) = − 6x +
5
3
.
Calcule f(
2
1
) +
4
5
g(−1).
05) ( UFPE-PE ) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e
B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que
define uma função de A em B.
a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)}
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)}
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)}
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}

06) ( UFC-CE ) O domínio da função real y =
7
2
−
−
x
x é:
a) {x ∈ R| x > 7}
b) {x ∈ R| x ≤ 2}
c) {x ∈ R| 2 ≤ x < 7}
d) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x > 7}
07) Considere a função f(x) = x2
– 6x + 8. Determine:
a) f(3)
b) f(5)
c) os valores de x, tal que f(x) = 0
08) ( USF-SP ) O número S do sapato de uma pessoa
está relacionado com o comprimento p, em
centímetros,do seu pé pela fórmula S =
4
285 +p
.
Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça
sapatos de número 41?
a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm
d) 29,5 cm e) 27,2 cm
09) ( FUVEST ) A função que representa o valor a ser
pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é:
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x
c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x
e) f(x) = 1,03x
10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b),
quaisquer que sejam os números reais a e b, então
f(3x) é igual a:
a) 3.f(x) b) 3 + f(x)
c) f(x3
) d) [f(x)]3
e) f(3) + f(x)
11) ( FGV-SP ) Numa determinada localidade, o preço da
energia elétrica consumida é a soma das seguintes
parcelas:
1ª . Parcela fixa de R$ 10,00;
2ª . Parcela variável que depende do número de
quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa
R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor
pagou R$ 31,00, então ele consumiu:
a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh
c) menos de 65 kWh d) entre 65 e 80 kWh
e) entre 80 e 110 kWh
12) ( PUC-Campinas ) Em uma certa cidade, os taxímetros
marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de
4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por
quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem
paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de
quilômetros percorridos foi:
13) ( UFSC ) Dadas as funções f(x) = 3x + 5,
g(x) = x2
+ 2x − 1 e h(x) = 7 − x, o valor em módulo da
expressão:
( )
1
4 4
2
1
h g
f ( )
  
−  
  
−
14) ( UFSC ) Considere a função f(x) real, definida por
f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) − 15. Determine o valor de
f(0).
15) ( UDESC ) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2.
Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:
AULA 06
FUNÇÃO POLINOMIAL
DO 1º GRAU
1. Função Polinomial do 1º Grau
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o
elemento ax + b.
1.1. Forma: f(x) = ax + b com a ≠ 0.
a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.
1.2. Gráfico
O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente
se a for negativo.
Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é
necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.
• Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer
Interceptos:
x = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo y tem
coordenadas (0,b).
• Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer
y = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem
coordenadas ( −
b
a
,0). O ponto que o gráfico corta o
eixo x é chamado raiz ou zero da função.
RESUMO GRÁFICO
f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0
função crescente função decrescente
Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função
f(x) = – 3x + 1.
Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o

gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o
eixo y em (0,1).
Para determinar o ponto que o gráfico corta o
eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.
– 3x + 1 = 0
x =
3
1
Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem
coordenadas (
3
1
, 0)
D = ℜ C.D. = ℜ Im = ℜ
2. Função Constante
Uma função f de R em R é constante se, a cada x ∈ R, associa
sempre o mesmo elemento k ∈ R.
D(f) = R e Im (f) = k
2.1 Forma: f(x) = k
2.2. Gráfico:
Exemplo: y = f(x) = 2
D = ℜ C.D. = ℜ Im = {2}
01) Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais.
Determine a soma dos números associados às
01. a reta que representa a função f intercepta o eixo
das ordenadas em (0,- 6)
02. f(x) é uma função decrescente
04. a raiz da função f(x) é 3
08. f(-1) + f(4) = 0
16. a imagem da função são os reais
32. A área do triângulo formado pela reta que
representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18
unidades de área.
02) ( PUC-SP ) Para que a função do 1º grau dada por
f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:
) ) ) ) )= < > < − > −
2 2 2 2 2
a k b k c k d k e k
3 3 3 3 3
03) ( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma função linear.
Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).
Tarefa Mínima 
01) Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = – x + 3
b) f(x) = 2x + 1
02) ( FGV-SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa
pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos afirmar que
m + n vale em módulo:
03) ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única
representação gráfica correta para a função
f(x) = ax + b é:
04) ( UFMA ) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta
o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto
(1, −3), então f(x) é:
a) f(x) = x − 3 b) f(x) = x − 4
c) f(x) = 2x − 5 d) f(x) = −2x − 1
e) f(x) = 3x − 6
05) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de
π
π
−
−
t
ftf )()( com t ≠ π
06) ( UCS-RS ) Para que – 3 seja raiz da função
f(x) = 2x + k, deve-se ter
a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2
07) ( UFPA ) A função y = ax + b passa pelo ponto
(1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3.
Então, a − 2b é igual a:
a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a.

08) ( Fuvest-SP ) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em
relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com
os eixos do sistema um triângulo cuja área é:
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16
09) O gráfico da função f(x) está representado pela figura
abaixo:
Pode-se afirmar que f(4) é igual a:
10) (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro
gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na
produção de perfume, varia com a quantidade de
perfume produzida ( x). Assim, podemos afirmar:
a) Quando a empresa não produz, não gasta.
b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta
R$ 76,00.
c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta
R$ 54,00.
d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá
5 litros de perfume.
e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa
gasta menos do que para fabricar o quinto litro.
11) ( UFSC ) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite
5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:
12) O valor de uma máquina decresce linearmente com o
tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela
vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$
160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416
13) ( UFRGS ) Considere o retângulo OPQR da figura
abaixo. A área do retângulo em função da abscissa x
do ponto R é:
a) A = x2
– 3x b) A = - 3x2
+ 9x c) A = 3x2
– 9x
d) A = - 2x2
+ 6x e) A = 2x2
– 6x
14) ( UFRGS ) Dois carros partem de uma mesma cidade,
deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo
apresenta as distâncias percorridas pelos carros em
função do tempo.
Distância (em km)
Tempo (em horas)
Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu
primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido
exatamente:
a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km
15) ( UERJ ) Considere a função f, definida para todo x
real positivo, e seu respectivo gráfico.
Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do
retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a
0,2.
f(x) =
x
1
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0)
e (3b, f(3b))
AULA 07
FUNÇÃO POLINOMIAL
DO 2º GRAU
Uma função f de R em R é polinomiail do 2º grau se a cada x ∈
R associa o elemento ax2
+ bx + c, com a ≠ 0
1. Forma: f(x) = ax2
+ bx + c, com a ≠ 0
2. Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma
parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do
coeficiente a (coeficiente de x2
). Assim quando:
a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima
a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo
3. Interceptos
• O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c)
• Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se
fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2
+ bx +
c = 0, onde:

ac4bonde,
2a
Δb 2
−=∆
±−
=x
Se ∆ > 0 → Duas Raízes Reais
Se ∆ = 0 → Uma Raiz Real
Se ∆ < 0 → Não possui Raízes Reais
4. Estudo do vértice da parábola
A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em
duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado
de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola
recebe o nome de vértice da parábola.
• O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.
• O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.
5. Coordenadas do vértice
O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde
e
4a
=yv
2a
b
v
x
∆
−−=
6. Imagem da função quadrática
• Se a > 0, então Im = {y ∈ R| y ≥ −
∆
4a
}
• Se a < 0, então Im = {y ∈ R| y ≤ −
∆
4a
}
7. Resumo gráfico
• ∆ > 0
• ∆ = 0
• ∆ < 0
01) Em relação a função f(x) = x2
– 6x + 8 definida de
ℜ→ ℜé correto afirmar:
01. 2 e 4 são os zeros da função f
02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1)
04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos
números reais.
08. A imagem da função é: { y ∈ R| y ≥ − 1}
16. A área do triângulo cujos vértices são o
vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de
área.
02) Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu
conjunto imagem.
a) f: ℜ→ ℜ, f(x) = x2
– 2x
b) f: ℜ→ ℜ, f(x) = – x2
+ 4
c) f: [0, 3[→ ℜ, f(x) = f(x) = x2
– 2x
03) Considere f(x) = x2
– 6x + m definida de ℜ→ ℜ.
Determine o valor de m para que o gráfico de f(x):
a) tenha duas intersecções com o eixo
b) tenha uma intersecção com o eixo x
c) não intercepte o eixo x
Tarefa Mínima 
01) Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do
vértice e a imagem de cada função.
a) f: ℜ → ℜ, f(x) = x2
– 2x – 3
b) f: ℜ → ℜ, f(x) = (x + 2)(x – 4)
c) f: ℜ → ℜ, f(x) = – x2
+ 2x – 1
d) f: ℜ → ℜ, f(x) = x2
– 3x
02) Dada a função f(x) = x2
- 8x + 12 de R em R. Assinale
as verdadeiras:
01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de
coordenadas (0,12).
02. As raízes de f são 2 e 6.
04. O domínio de f é o conjunto dos números reais.
08. O gráfico não intercepta o eixo x.
16. A imagem da função é { y ∈ R| y ≥ − 4 }
32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, −4)
64. A função é crescente em todo seu domínio.

03) ( UFSC ) Considere a parábola y = -x2
+ 6x definida
em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o
vértice da parábola e seus zeros, é:
04) ( ACAFE-SC ) Seja a função f(x) = - x2
– 2x + 3 de
domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:
a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-∞, 4]
d) [-3, 1] e) [-5, 3]
05) ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida
por f( x) = x2
– 3x + 4. Num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que
representa f localiza-se:
a) no primeiro quadrante.
b) no segundo quadrante.
c) no terceiro quadrante.
d) sobre o eixo das coordenadas.
e) sobre o eixo das abscissas.
06) ( UFSC ) Seja f: R → R, definida por: f(x) = - x
2
,
determine a soma dos números associados às
afirmativas verdadeiras:
01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem.
02. f(x) é crescente em R.
04. As raízes de f(x) são reais e iguais.
08. f(x) é decrescente em [0, +∞ )
16. Im(f) = { y ∈ R | y ≤ 0}
32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.
07) ( ESAL-MG ) A parabola abaixo é o gráfico da função
f(x) = ax2
+ bx + c. Assinale a alternativa correta:
a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0
c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0
e) a > 0, b > 0, c > 0
08) Considere a função definida em x dada por
f(x) = x2
– mx + m. Para que valores de m o gráfico de
f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto?
09) ( UFPA ) As coordenadas do vértice da função
y = x2
– 2x + 1 são:
a) (-1, 4) b) (1, 2)
c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0)
10) ( UFPA ) O conjunto de valores de m para que o
gráfico de y = x2
−mx + 7 tenha uma só intersecção
com o eixo x é:
a) { ± 7} b) { 0 }
c) { ± 2 } d) { ± 2 7 }
11) ( Mack-SP ) O vértice da parábola y = x2
+ kx + m é o
ponto V(−1, −4). O valor de k + m em módulo é:
12) ( UFSC ) Dada a função f: R → R definida por
f(x) = ax2
+ bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e
f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c.
13) A equação do eixo de simetria da parábola de
equação y = 2x2
- 10 + 7, é:
a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7
c) x = 2,5 d) y = 3,5
e) x = 1,8
14) O gráfico da função f(x) = mx2
– (m2
– 3)x + m3
intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem
concavidade voltada para baixo. O valor de m é:
a) – 3 b) – 4
c) – 2 d) 2 e) – 1
15) ( UFSC ) Marque no cartão a única proposição
CORRETA. A figura abaixo representa o gráfico de
uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da
reta r é:
01. y = -2x + 2
02. y = x + 2
04. y = 2x + 1
08. y = 2x + 2
16. y = -2x – 2
AULA 08
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO
INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE
1. Inequações do 2o
Grau
Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:







<++
>++
≤++
≥++
0
0
0
0
2
2
2
2
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
com a ≠ 0
Para resolver a inequação do 2º grau associa-se a expressão a
uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar
a variação de sinais em função da variável. Posteriormente,
seleciona-se os valores da variável que tornam a sentença
verdadeira. Estes valores irão compor o
conjunto-solução.
Exemplos:

a) resolver a inequação x2
– 2x – 3 ≥ 0
S = {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 3} ou
S = ]-∞, -1] ∪ [3, +∞[
b) resolver a inequação x2
– 7x + 10 ≤ 0
S = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5}
S = [2, 5]
c) resolver a inequação –x2
+ 5x – 4 > 0
S = { x ∈ R | 1 < x < 4}
S = [1, 4]
2. Inequações Tipo Produto
Inequação Produto é qualquer inequação da forma:
a) f(x).g(x) ≥ 0 b) f(x).g(x) > 0
c) f(x).g(x) ≤ 0 d) f(x).g(x) < 0
Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o
estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da
multiplicação.
Exemplo: Resolver a inequação (x2
– 4x + 3) (x – 2) < 0
S = { x ∈ R | x < 1 ou 2 < x < 3}
3. Inequações Tipo Quociente
Inequação quociente é qualquer inequação da forma:
a)
f(x)
g(x)
0 b)
f(x)
g(x)
> 0 c)
f(x)
g(x)
0 d)
f(x)
g(x)
< 0≥ ≤
Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o
estudo dos sinais de cada função separadamente e em seguida
aplicar a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o
denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja nos casos
acima vamos considerar g(x) ≠ 0
Exemplo: Resolver a inequação
0
2
342
≥
−
+−
x
xx
S = { x ∈ R | 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}
01) Resolver em ℜ as seguintes inequações:
a) x2
– 8x + 12 > 0
b) x2
– 8x + 12 ≤ 0
c) x2
– 9x + 8 ≥ 0
02) O domínio da função definida por
f(x) =
x x
x
2
3 10
6
− −
−
é:
a) D = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 5} − {6}.
b) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} − {6}.
c) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5}
d) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 7} − {6}.
e) n.d.a.
03) Determine o conjunto solução das seguintes
inequações:
a) (x – 3)(2x – 1)(x2
– 4) < 0
b)
4
1072
−
+−
x
xx ≥ 0
Tarefa Mínima 
a) x2
– 6x + 8 > 0
b) x2
– 6x + 8 ≤ 0
c) – x2
+ 9 > 0
d) x2
≤ 4
e) x2
> 6x
f) x2
≥ 1
02) ( Osec-SP ) O domínio da função
f(x) = − + +x x2 2 3 , com valores reais, é um dos
conjuntos seguintes. Assinale-o.
a) {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3 } b) { x ∈ R | -1 < x < 3 }
c) { } d) { x ∈ R | x ≥ 3}
e) n.d.a.

03) Resolva, em R, as seguintes inequações:
a) (x2
– 2x – 3).( – x2
– 3x + 4) > 0
b) (x2
– 2x – 3).( – x2
– 3x + 4) ≤ 0
c) (x – 3) (x2
– 16) < 0
d) x3
≤ x
e) x3
– 3x2
+ 4x – 12 ≥ 0
04) Resolva, em R, as seguintes inequações:
a)
0
16
65
2
2
≥
−
+−
x
xx
b)
0
16
65
2
2
<
−
+−
x
xx
c) x
x
x
x+
−
−
≥
1 1
0
d)
2
1x −
< 1
05) ( ESAG-SC ) O domínio da função y = 1 2
12
−
−
x
x
nos
reais é:
a) (-∞, -1 ) b) (-1, ½]
c) (-∞, ½] d) (-∞, -1) ∪ [1/2, 1)
e) { }
a) x2
– 6x + 9 > 0 b) x2
– 6x + 9 ≥ 0
c) x2
– 6x + 9 < 0 d) x2
– 6x + 9 ≤ 0
a) x2
– 4x + 5 > 0 b) x2
– 4x + 5 ≥ 0
c) x2
– 4x + 5 < 0 d) x2
– 4x + 5 ≤ 0
08) ( CESGRANRIO ) Se x2
– 6x + 4 ≤ – x2
+ bx + c tem
como solução o conjunto {x ∈ ℜ| 0 ≤ x ≤ 3}, então b
e c valem respectivamente:
a) 1 e – 1 b) – 1 e 0
c) 0 e – 1 d) 0 e 1
e) 0 e 4
09) ( UNIP ) O conjunto verdade do sistema



≤−
<+−
042
0892
x
xx é:
a) ]1, 2] b) ]1, 4] c) [2, 4[
d) [1, 8[ e) [4, 8[
10) ( PUC-RS ) A solução, em R, da inequação x2
< 8 é:
a) { – 2 2 ; 2 2 } b) [– 2 2 ; 2 2 ]
c) (– 2 2 ; 2 2 ) d) (– ∞; 2 2 )
e) (– ∞; 2 2 ]
11) (ACAFE-SC ) O lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade
vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é:
a) positivo para x entre 3 e 8
b) positivo para qualquer que seja x
c) positivo para x maior do que 8
d) máximo para x igual a 8
e) máximo para x igual a 3
12) ( FATEC ) A solução real da inequação produto
(x2
– 4).(x2
– 4x) ≥ 0 é:
a) S = { x ∈ R| - 2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4}
b) S = { x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4}
c) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 4}
d) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou 0 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4}
e) S = { }
13) ( MACK-SP ) O conjunto solução de
5
3
6
<
+x
x é:
a) { x ∈ R | x > 15 e x < - 3}
b) { x ∈ R | x < 15 e x ≠ - 3}
c) { x ∈ R | x > 0}
d) {x ∈ R | - 3 < x < 15}
e) { x ∈ R | - 15 < x < 15}
14) ( Cescem-SP ) Os valores de x que satisfazem
a inequação (x2
−2x + 8)(x2
−5x + 6)(x2
−16) < 0
são:
a) x < −2 ou x > 4 b) x < −2 ou 4 < x < 5
c) −4 < x < 2 ou x > 4 d) −4 < x < 2 ou 3 < x < 4
e) x < −4 ou 2 < x < 3 ou x > 4
15) ( FUVEST ) De x4
– x3
< 0 pode-se concluir que:
a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2
c) – 1< x < 0 d) – 2< x < –1
e) x < –1 ou x > 1
AULA 09
PARIDADE DE FUNÇÕES
FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO
INVERSA
1. Função Par
Uma função é par, quando para valores simétricos
de x, tem-se imagens iguais, ou seja:
f(−x) = f(x), ∀ x ∈ D(f)
Uma conseqüência da definição é: Uma função f é par se e
somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
2. Função Ímpar
Uma função é ímpar, quando para valores simétricos
de x, as imagens forem simétricas, ou seja:
f(−x) = − f(x), ∀ x ∈ D(f)

Como conseqüência da definição os gráficos das funções ímpares
são simétricos em relação a origem do sistema cartesiano.
3. Função Composta
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denomina-se função
composta de g com f a função gof: definida de
A → C tal que gof(x) = g(f(x))
f: A → B g: B → C gof: A → C
Condição de Existência: Im(f) = D(g)
Alguns tipos de funções compostas são:
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))
Exercício resolvido:
Dadas as funções f(x) = x2
- 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de
modo que f(g(x)) = 0
Resolução: Primeiramente vamos determinar
f(g(x)) e em seguida igualaremos a zero.
f(x) = x2
- 5x + 6
f(g(x)) = (x + 1)2
- 5(x + 1) + 6
Daí vem que f(g(x)) = x2
- 3x + 2.
Igualando a zero temos:
x2
- 3x + 2 = 0
Onde x1 = 1 e x2 = 2
4. Função injetora, sobrejetora e
bijetora
FUNÇÃO INJETORA: Uma função f: A → B é injetora se, e
somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B.
Em Símbolos:
f é injetora ⇔ ∀ x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
FUNÇÃO SOBREJETORA: Uma função f de A em B é
sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos
elementos de A, ou seja: CD = Im
FUNÇÃO BIJETORA: Uma função é bijetora se for ao mesmo
tempo injetora e sobrejetora.
DICA: De R → R, a função do 1º Grau é bijetora, e a
função do 2º Grau é simples.
5. Função inversa
Seja f uma função f de A em B. A função f −1
de B em A é a
inversa de f, se e somente se:
fof -1
(x) = x, ∀x ∈ A e f -1
o f (x) = x, ∀x ∈ B.
Observe que A = D(f) = CD(f -1
) e B = D(f -1
) = CD(f)
IMPORTANTE: f é inversível ⇔ f é bijetora
Para encontra a inversa de uma função, o processo prático é
trocar x por y e em seguida isolar y.
Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f −1
(x) são simétricos
em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.(f(x) = x)
Exercício Resolvido:
Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a
sua inversa.
Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela
admite inversa. Basta trocarmos x por y e
teremos:
f(x) = 2x + 4
x = 2y + 4
x - 4 = 2y
∴ f -1
(x) =
x − 4
2

01) Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2
+ 2.
Determine:
a) f(g(x)) b) g(f(x))
c) f(g(3)) d) g(f(-2))
02) ( UFSC ) Considere as funções f, g: R → R tais que
g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2
+ 2x + 1. Calcule f(7).
03) Se x ≠ 3, determine a inversa da função
3
12
)(
−
+
=
x
x
xf
Tarefa Mínima 
01) Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2
.
Obter:
a) f(g(x)) b) g(f(x))
c) f(f(x)) d) g(g(x))
e) f(g(3)) f) g(f(1))
g) f(f(f(2)))
02) ( U.F.Uberlândia ) Dadas as funções reais definidas
por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2
+ 5x + 3, pode-se dizer que
o domínio da função h(x) = ( )( )fog x é:
a) {x ∈ R | x ≤ -5 ou x ≥ 0}
b) {x ∈ R | x ≥ 0}
c) {x ∈ R | x ≥ -5}
d) { }
e) n.d.a.
03) ( UFSC ) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2
+ 1, com
f e g definidas para todo x real, determine o valor
numérico da função g no ponto x = 18, ou seja, g(18).
04) Determine a função inversa de cada função a seguir:
a) y = 2x – 3 b) y =
4
2+x
c) y =
4
12
−
+
x
x , x ≠ 4
05) ( UFSC ) Seja a função f(x) =
−
−
2
2
x
x
, com x ≠ 2,
determine f -1
(2).
06) ( UFSC ) Sejam f e g funções de R em R definidas por:
f(x) = -x + 3 e g(x) = x2
- 1.Determine a soma dos
números associados à(s) proposições verdadeiras.
01. A reta que representa a função f intercepta o eixo
das ordenadas em (0,3).
02. f é uma função crescente .
04. -1 e +1 são os zeros da função g.
08. Im(g) = { y ∈ R | y ≥ -1 }.
16. A função inversa da f é definida por
f -1
(x) = -x + 3.
32. O valor de g(f(1)) é 3.
64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).
07) Dadas as funções: f(x) = 5− x e g(x) = x2
- 1, o
valor de gof(4) é:
08) ( U.E.LONDRINA-PR ) Sejam f e g funções reais
definidas por f(x) = 2x2
+ 1, g(x) = 2 - x. O valor de
f(g(-5)) é:
09) ( Mack-SP ) Sejam as funções reais definidas por
f(x) = x − 2 e f(g(x)) = 2x − 3. Então g(f(x)) é definida
por:
a) 2x − 1 b) 2x − 2 c) 2x − 3
d) 2x − 4 e) 2x − 5
10) ( F.C. Chagas-BA ) A função inversa da função
f(x) =
2 1
3
x
x
−
+
é:
a) f
-1
( ) =
x + 3
2x -1
b) f
-1
(x) =
2x + 1
x - 3
c) f
-1
(x) =
1 - 2x
3 - x
d) f
-1
(x) =
3x + 1
2 - x
e) nenhuma das anteriores
x
11) Obtenha as sentenças que definem as funções
inversas de:
a) f: [ – 3; 5] → [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7
b) g: [2, 5] → [0,9] tal que g(x) = x2
– 4x + 4
c) h: [3, 6] → [–1, 8] tal que h(x) = x2
– 6x + 8
12) ( MACK-SP ) Se f(g(x)) = 2x2
– 4x + 4 e
f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é:
a) - 2 b) 2
c) 0 d) 6 e) 14
13) ( UFSC – 2006 ) Seja f uma função polinomial do
primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e
f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o
gráfico de f corta o eixo x.
14) ( UDESC – ENGENHARIA FLORESTAL)
Se f(x) = ax2
+ bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1.
Calcule f(f(a))
15) ( IME-RJ ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim
definidas: g(x) = 3x – 4;
h(x) = f(g(x)) = 9x2
– 6x + 1. Determine a função
f(x).
AULA 10
EXPONENCIAL
1. Equação Exponencial
Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser
reduzida a forma ax
= b, com 0 < a ≠ 1.

Para resolver tais equações é necessário transformar a equação
dada em:
• Igualdade de potência de mesma base.
af(x)
= ag(x)
⇔ f(x) =g(x)
• Potências de expoentes iguais. af(x)
= bf(x)
⇔ a = b sendo a e
b ≠ 1 e a e b ∈ R*
+.
2. Função Exponencial f(x) = ax
 (a > 1) → função crescente
 (0 < a < 1) → função decrescente
3. Inequação Exponencial
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos
respeitar as seguintes propriedades.
• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação
de desigualdade se mantém.
af(x)
> ag(x)
⇔ f(x) > g(x)
• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a
< 1), a relação de desigualdade
se inverte.
af(x)
> ag(x)
⇔ f(x) < g(x)
01) ( UFSC ) Dado o sistema
7 1
5 25
2
2
x y
x
y
+
+
=
=




, o valor de y
x






4
é:
02) ( UFSC ) O valor de x, que satisfaz a equação
22x + 1
- 3.2x + 2
= 32, é:
Tarefa Mínima 
01) Resolva, em R, as equações a seguir:
a) 2 x
= 128
b) 2x
=
1
16
c) 3x − 1
+ 3x + 1
= 90
d) 25.3x
= 15x
é:
e) 22x
− 2x + 1
+ 1 = 0
02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação
3.9x
− 26.3x
− 9 = 0, é:
03) Dadas f(x) =
1
2






−x
e as proposições:
I) f(x) é crescente
II) f(x) é decrescente
III) f(3) = 8
IV) ( 0,1 ) ∈ f(x)
podemos afirmar que:
a) todas as proposições são verdadeiras
b) somente II é falsa
c) todas são falsas
d) II e III são falsas
e) somente III e IV são verdadeiras
04) Resolva, em R, as inequações a seguir:
a) 22x − 1
> 2x + 1
b) (0,1)5x − 1
< (0,1)2x + 8
c)
31
4
7
4
7
2






<





−x
d) 0,5|x – 2|
< 0,57
05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida
por y =
1
1
3
243





 −
x
, é:
a) ( −∞, −5 [
b) ] −5, +∞ )
c) ( −∞, 5 [
d) ] 5, + ∞ )
e) n.d.a.
06) Resolvendo a equação 4x
+ 4 = 5.2x
, obtemos:
a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4
c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3
07) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal
que 2 2
2
2x x
= +
, então ( )xx
x
x 2
é igual a:
08) A maior raiz da equação 4|3x − 1|
= 16
09) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação
9
4
3
1
1
2
1
x
x
−
−− = − é:

10) A soma das raízes da equação
2
3
1
132
3
2 1
1





 + =
−
+
x x
x
. é:
11) ( UFMG ) Com relação à função f(x) = ax
, sendo a e x
números reais e 0 < a ≠ 1, assinale as verdadeiras:
01. A curva representativa do gráfico de f está toda
acima do eixo x.
02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1).
04. A função é crescente se 0 < a < 1
08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1.
12) Determine o domínio da função abaixo:
7
5
)4,1()( 52
−= −x
xf
13) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto.
01. A função f(x) = ax
, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o
eixo das abscissas no ponto (1,0)
02. A solução da equação 2x
.3x
=
3
36 pertence ao
intervalo [0, 1]
04. Dada a função f(x) = 4x
, então D = R e Im =
*
+R
08. A função f(x) = ( )x
2 é crescente
16. ba
ba
<⇒> 











2
1
2
1
14) Determine o valor de x no sistema abaixo:
1)ye1(x >>



=
=
35
yx
yx xy
15) Resolver, em reais, as equações abaixo:
a) 5x
+ 0,2x
= 5,2 b) 5.4x
+ 2.52x
= 7.10x
AULA 11
LOGARITMOS
1. Definição
Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b
positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax
=
b.
(a > 0 e a ≠ 1 e b > 0)
loga b = x ⇔ ax
= b
Em loga b = x temos que:
a = base do logaritmo
b = logaritmando ou antilogaritmo
x = logaritmo
Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente.
Exemplos:
1) log6 36 = x ⇒ 36 = 6x
⇒ 62
= 6x
⇒ x = 2
2) log5 625 = x ⇒ 625 = 5x
⇒ 54
= 5x
⇒ x = 4
Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém dois
deles se destacam:
Sistemas de Logaritmos Decimais:
É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos
comuns ou vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático
inglês (1561-1630)).
Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua
representação.
Sistemas de Logaritmos Neperianos
É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema
de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper
(1550-1617).
1.1. Condição de Existência
Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x
tenha-se
logaritmando positivo
base positiva
base diferente de 1
Resumindo
b > 0
a > 0 e a 1







 ≠
1.2. Conseqüências da Definição
Observe os exemplos:
1) log2 1 = x ⇒ 1 = 2x
⇒ 20
= 2x
⇒ x = 0
2) log3 1 = x ⇒ 1 = 3x
⇒ 30
= 3x
⇒ x = 0
3) log6 1 = x ⇒ 1 = 6x
⇒ 60
= 6x
⇒ x = 0
loga 1 = 0
4) log2 2 = x ⇒ 2 = 2x
⇒ 21
= 2x
⇒ x = 1
5) log5 5 = x ⇒ 5 = 5x
⇒ 51
= 5x
⇒ x = 1
loga a = 1
6) log2 23
= x ⇒ 23
= 2x
⇒ x = 3
7) log5 52
= x ⇒ 52
= 5x
⇒ x = 2
loga am
= m
8) 2 2 44 2log2
= ⇒ = ⇒ =x x x
9) 3 3 99 2log3
= ⇒ = ⇒ =x x x
2. Propriedades Operatórias
2. 1. Logaritmo do Produto
O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos
fatores.
loga (b . c) = loga b + loga c

Exemplos:
a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2
b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3
2.2. Logaritmo do Quociente
O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o
logaritmo do divisor.
loga =
c
b
loga b − loga c
Exemplos:
a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2
b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3
2.3. Logaritmo da Potência
O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo
logaritmo da base da potência.
loga xm
= m . loga x
Exemplos: a) log2 53
= 3. log2 5
b) log3 4-5
= -5 log3 4
Caso Particular a
n
aa b
n
b
n
b log.
1
loglog
1
==
Exemplo: log10 23
= log10 2
1
3
=
1
3
log10 2
Exercício Resolvido:
Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o
valor de log 18.
Resolução: log 18 = log(2.32
)
log 18 = log 2 + log 32
log 18 = log 2 + 2log 3
log 18 = 0,30 + 2.0,47
log 18 = 1,24
01) Pela definição, calcular o valor dos seguintes
logaritmos:
a) log21024
b) log 0,000001
c) log2 0,25
d) log4
13
128
02) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o
valor de:
a) log 6
b) log 8
c) log 5
d) log 18
Tarefa Mínima 
01) Determine o valor dos logaritmos abaixo:
a) log2 512
b) log0,250,25
c) log7 1
d) log0,25
13
128
02) Determine o valor das expressões abaixo
a) 3 loga a5
+ loga 1 – 4 l g aaο , onde 0 < a ≠ 1, é:
b) 5625.16
3
1
982 glglgl οοο +− é:
03) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o
valor dos logaritmos abaixo:
a) log 12
b) log 54
c) log 1,5
d) log 5125
04) ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual
será o valor de log 28?
a) 1,146
b) 1,447
c) 1,690
d) 2,107
e) 1,107
05) ( FEI-SP ) A função f(x) = log (50 − 5x − x2
) é
definida para:
a) x > 10
b) −10 < x < 5
c) −5 < x < 10
d) x < −5
e) n.d.a.
06) ( PUC-SP ) Se l g xο 2 2
512 = , então x vale:
07) ( PUC-SP ) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,
então log
6 2
5
é igual a:
a) 0,12 b) 0,22
c) 0,32 d) 0,42 e) 0,52

08) ( ACAFE-SC ) Os valores de m, com ∈ R, para os
quais a equação x2
– 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes
(zeros) reais e distintas são:
a) 2 < m < 4
b) m< 3
c) m ≤ 3
d) 1 ≤ m ≤ 3
e) 1 < m < 3
09) Se log a = r, log b = s, log c = t e E =
3
3
cb
a , então
log E é igual a:
10) ( ANGLO ) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d,
Então E é igual a:
11) ( UFSC ) Se
3 125
14
l g x y l g
l gx l gy l g
ο ο
ο ο ο
( )− =
+ =



, então o valor
de x + y é
12) Se x = 3603
, log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477,
determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.
13) ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b. Então o
log ( )yx. é igual a:
a) a + b/2
b) 2a + b
c) a + b
d) a + 2b
e) a – b/2
14) Determine o domínio das seguintes funções:
a) y = logx – 1 (3 – x) b) y = log(5 – x) (x2
– 4)
15) Se x é a solução da equação 7
...
=
xx
x
x , calcule o
valor da expressão 2x7
+ log7x –
7
1
AULA 12
LOGARITMOS
1. Mudança de Base
Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos
sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base.
Dado esse problema, apresentamos então um processo no qual
nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases
iguais. Este processo é denominado mudança de base.
loga b =
agl
bgl
c
c
ο
ο
Como conseqüência e com as condições de existência
obedecidas, temos:
1) log
log
log logB
A
A AkA
B
B
k
B= =
1
2
1
)
2. Equação Logarítmica
São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita aparece
no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo).
Existem dois métodos básicos para resolver equações
logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as
raízes, lembrando que não existem logaritmos com base negativa
e um e não existem logaritmos com logaritmando negativos.
1º Método: loga X = loga Y ⇒ X = Y
2º Método: loga X = M ⇒ X = aM
3. Função Logarítmica f(x) = loga x
 (a > 1) → função crescente
 (0 < a < 1) → função decrescente
4. Inequação Logarítmica
 a > 1
loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1
 0 < a < 1
loga x2 > loga x1 ⇔ x2 < x1
01) Resolver as equações abaixo:
a) logx (3x2
- x) = 2
b) log4 (x2
+ 3x - 1) = log4 (5x − 1)
c) log2 (x + 2) + log2 (x − 2) = 5

Tarefa Mínima 
01) ( SUPRA ) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é:
a+b a b a+b
a) b) a+b c) d) e)
a b a 2
02) ( ACAFE ) O valor da expressão log3 2. log4 3 é:
a) ½ b) 3 c) 4
d) 2/3 e) 2
03) Resolver, em R as equações:
a) log5 (1 – 4x) = 2
b) log[x(x – 1)] = log 2
c) 09log6log 3
2
3
=+− xx
d) log(log(x + 1)) = 0
e) log2 (x - 8) − log2 (x + 6) = 3
f) log5 (x − 3) + log5 (x − 3) = 2
04) ( UFSC ) A solução da equação:
log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é:
05) Resolver, em reais, as seguintes inequações:
a) log2 (x + 2) > log2 8
b) log1/2 (x − 3) ≥ log1/2 4
06) ( UFSC ) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0,
a ≠ 1, determine a soma dos números associados às
afirmativas verdadeiras.
01. O domínio da função f é R.
02. A função f é crescente em seu domínio quando
a ∈ (1, + ∞)
04. Se a = 1/2 então f(2) = −1
08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27
16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).
07) ( ACAFE ) Se log3 K = M, então log9 K2
é:
a) 2M2
b) M2
c) M + 2
d) 2M e) M
08) ( UFSC ) Se loga x = 2 e logx y = 3, então,
loga xy35
é igual a:
09) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados
às proposições verdadeiras:
01. O valor do log0,25 32 é igual a −
5
2
.
02. Se a, b e c são números reais positivos e
x =
a
b c
3
2
então
log x = 3 log a − 2log b − 1/2 log c.
04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c
diferentes de um, então tem-se loga b =
log
c
log
c
b
a
08. O valor de x que satisfaz à equação 4x
− 2x
= 56 é
x = 3
16.
2
3
2
3
2 3 1 7





 >






− −, ,
10) ( UFSC ) O valor de x compatível para a equação
log(x2
− 1) - log(x − 1) = 2 é:
11) ( UFSC ) Assinale no cartão-resposta a soma dos
números associados à(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
01. O conjunto solução da inequação
log (x2
−9) ≥ log (3 − x) é S = (−∞, −4] ∪ [3, +∞).
02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex
.
04. A equação
2
xx
ee = não possui solução inteira.
08. Considere as funções f(x) = ax
e g(x) = logax. Para
a > 1, temos f crescente e g decrescente e para
0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.
16. log 360 = 3 • log 2 + 2 • log 3 + log 5.
32. Se log N = − 3,412 então log N = − 6,824.
12) Resolva a equação l g x l g xο ο10 100 2+ = .
(divida o resultado obtido por 4)
01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9
02. A soma das raízes da equação
1 + 2logx 2 . log4 (10 − x) =
2
log
4
x
é 10
04. A maior raiz da equação 9 . x xlog3
= x3
é 9
08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2
16. Se logax = n e logay = 6n, então l g x yaο 23
é
igual a 7n
32. A solução da equação 2x
.3x
=
3
36 pertence ao
intervalo [0, 1]
14) ( UFPR ) Com base na teoria dos logaritmos e
exponenciais é correto afirmar:
01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4
02. Se x = loge 3, então ex
+ e-x
=
3
10
04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então
|log10a| < |log10b|
08. Se z = 10t
– 1, então z > 0 para qualquer valor real
de t
15) ( ITA - SP ) O conjunto dos números reais que
verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3
≤ 3 log2 é
dado por:
a) { x ∈ R| x > 3 }
b) { x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 3 }
c) { x ∈ R| 0 < x ≤ 1/2 }
d) { x ∈ R| 1/2 < x < 1 }
e) n.d.a.

GABARITO – MAT A
AULA 1
1) a) 120 b) 12 c) 240 d) 12
2) b
3) a) 10 b) 16
4) 80
5) e 6) d 7) b 8) d
9) d 10) b 11) 47 12) b
13) 13 14) b 15) b
AULA 2
1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12}
b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,....}
c) {3, 4, 5, 6, 7}
d) {-1, 0, 1, 2}
e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,.....}
f) {1, 3, 5, 7, 9, ......}
2) c 3)
3
23
4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = ∅ d) S = {-1,1}
5) a 6)
198
127 7) e 8) b
9) 06 10) a 11) b 12) c
13) d 14) d 15) e
AULA 3
1) a) 4 b)
3
1
− c)
7
4
− d) S = ℜ e) S = ∅ f)
10
9
2) b
3) e
4) a) (2,1) b) (3,2) c) 





4
1
,
4
1
5) a) {x∈ R| x >– 7} b) {x∈ R| x ≥ 2 } c) {x∈ R| x >
6
1
}
6) 08 7) – 1 8) 82
9) x > 100km 10) 16 11) 95
12) 39 13) 92 14) 40
15) b
AULA 4
1) a) {2,3} b) {2,4} c) {2, 1/3} d) {2} e) ∅
f) {-5, 5} g) {0,5}
2) a 3) a 4) a 5) – 5 6) S = {0} 7) a
8) 62 9) x = 3 10) a 11) 15 12) 07 13) a
14) 03 15) 05
AULA 5
1) e 2) 31
3) a) {x ∈ R| x ≠ 3} b) {x ∈ R| x ≥ 3} c) {x ∈ R| x ≤ 6, x ≠ 2} d) ℜ
4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4
8) e 9) b 10) d 11) d 12) 21 13) 33
14) 29 15)
2
19 +x
AULA 6
1)
2) 02 3) a 4) b 5) 02 6) c 7) d
8) e 9) 01 10) c 11) 99 12) e 13) d
14) d 15) 0,2
AULA 7
1) a)
raízes: -1 e 3 vértice: (1, -4) Im = { y ∈ R / y ≥ – 4 }
b)
raízes: -2 e 4 vértice: (1, -9) Im = { y ∈ R / y ≥ -9 }
c)
raiz: 1 vértice: (1, 0) Im = { y ∈ R / y ≤ 0 }
d)
raízes: 0 e 3 vértice: (3/2, -9/4) Im = {y ∈ R/ y ≥ -9/4}
2) 55 3) 27 4) b 5) a 6) 29 7) c
8) 0 e 4 9) e 10) d 11) 01 12) 23 13) c
14) e 15) 08

AULA 8
1) a) {x ∈ R | x < 2 ou x > 4} b) {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4}
c) {x ∈ R | - 3 < x < 3} d) {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 2}
e) {x ∈ R | x < 0 ou x > 6} f) {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 1}
2) a
3) a) ]-4, -1[ ∪ ]1, 3[ b) ]-∞, -4] ∪ [-1, 1] ∪ [3, ∞[
c) ]-∞, -4[ ∪ ]3, 4[ d ) ]-∞, - 1] ∪ [0, 1] e) [3, ∞ [
4) a) {x ∈ R| x < - 4 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x > 4}
b) {x ∈ R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4}
c) {x ∈ R|x < −1 ou 0 ≤ x < 1}
d) {x ∈ R|x < 1 ou x > 3}
5) d
6) a) {x ∈ R | x ≠ 3} b) ℜ c) ∅ d) {3}
7) a) R b) R c) ∅ d) ∅
8) e
9) a
10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a
AULA 9
1) a) f(g(x)) = 2x2
+ 2
b) g(f(x)) = 2x2
+ 8x + 8
c) f(f(x)) = x + 4
d) g(g(x)) = 8x4
e) 20
f) 18
g) 8
2) a
3) 81
4) a) f-1
(x) =
2
3+x
b) f-1
(x) = 4x – 2
c) f-1
(x) =
2
14
−
+
x
x
5) 01 6) 61 7) 00 8) 99 9) e 10) d
11)
31)()
2)()
2
7
)()
1
1
1
++=
+=
−
=
−
−
−
xxfc
xxfb
x
xfa
12) c 13) 05 14) 03 15) x2
+ 6x + 9
AULA 10
1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00
2) 02 3) b
4) a) S = { x∈ R| x > 2 }
b) S = { x∈ R| x > 3 }
c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 }
d) S = { x∈ R| x < - 5 ou x > 9 }
5) a 6) c 7) 02 8) 01 9) 01 10) 00
11) 03 12) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2}
13) 30 14)
3
5
3
5 15) a) {-1, 1} b) {0, 1}
AULA 11
1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26
2) a) 13 b) 6
3) a) 1, 07 b) 1, 71 c) 0, 17 d) 0, 54
4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r – s – t/3
10)
cd
ba 32
11) 09 12) 17 13) a
14) a) 1 < x < 3 e x ≠ 2 b) x < - 2 ou 2 < x < 5 e x ≠ 4
15) 14
AULA 12
1) a
2) a
3) a) {– 6} b) {2, -1} c) {27} d) {9}
e) { } f) 08
4) 05
5) a) { x ∈ R| x > 6} b) { x ∈ R| 3 < x < 7}
6) 30 7) e 8) 04 9) 31 10) 99 11) 16
12) 25 13) 47 14) 03 15) c

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