Caro Professor,Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes darede estadual de ensino....
Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 3SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕESPá...
seria 14). Duas hipóteses podem ser levantadas nessa situação: ele armou a expressão  com letras, mas não a utilizou quand...
você deve pedir que os alunos montem outras tabelas chamando de x a quantia paga  por outra pessoa. Esse exercício de muda...
O equacionamento mais natural é o da Tabela 1, que, por sua vez, recai em umaequação de resolução supostamente já conhecid...
9( x  10)       1)             3( x  10)  x  78               4          9 x  90       2)           3 x  30  x  ...
Tabela 3                             Frequência        24 x 16              Idade                                  (220 ...
24 x     da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será            . Com base na FCmáx de Renê,                               ...
8.     a) Luiz tem 2 anos a mais que Pedro, sendo Y a idade de Luiz e X a de Pedro.     b) Lúcia gastou R$ 50,00 na compra...
j)   Se o produto de dois fatores é 0, um deles é 0 (ou ambos são 0). Segue, portanto,que x é igual a –5 ou 3.k) Análogo a...
y) Qualquer valor de x resolve a equação, portanto, é uma equação com infinitassoluções.Dependendo do interesse da classe,...
conjunto vazio. São exemplos de equações com conjunto solução vazio as de letra l,  m e x.11.  a) 2(2x + 4 + x) + 2(x + x ...
P = 3,4 + 2,6.(x  1).   Calcular o maior número de páginas possível para que o preço não ultrapasse   R$ 136,00 resume-se...
Portanto, para 25 minutos de uso, C C  C B  C A .b) Queremos encontrar o menor valor de x para que C A  C B e C A  C C...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANOPágina 141.     a) A Rua Miguel Carlos encontr...
c) Resposta pessoal. Você deve verificar se o aluno deu as coordenadas corretas em     relação ao ponto de referência esco...
h)   Quadrado ABCD: 8 / Triângulo EFG: 12 / Retângulo HIJK: 18 / Triângulo     LMN: 12.Página 18 - 195.                   ...
Páginas 19 - 217. 1o quadrante: B, G / 2o quadrante: E / 3o quadrante: C, F / 4o quadrante: A, D.8. Jogo da batalha naval ...
b)                   ABC                       A’B’C’                        A’’B’’C’’         A”’B”’C”’              ...
b)            ABCD             A’B’C’D’          A”B”C”D”           A’”B’”C’”D’”             (x; y)           (–x; y)     ...
b)                                                       y                                                            O   ...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARESPáginas 30 - 321.     a) Professor, neste caso consideraremos apen...
2.     a) O único par de valores que satisfaz essa nova condição é 21 e 7. Portanto, João     teria 21 anos, e Maria, 7 an...
Páginas 33 - 344. As equações do problema são 2x + 3y = 18 e x = 3y, sendo x o preço do sanduíche, e     y, o do suco.    ...
Observação: alguns alunos podem ter dificuldade para expressar algumas etapas do   processo. Talvez seja necessário introd...
12.   a) A solução do sistema é x = 3 e y = –1.                                           7   b) A solução do sistema é x ...
b) Para cada equação, constroem-se as tabelas com os valores de x e yconsiderando o domínio dado pelo problema, isto é, va...
17.  a)             x+y=6                     x–y=1             x          y              x        y         1          5 ...
Páginas 43 - 4518.a)    2x + y = 6        x–y=–3     x       y         x        y0        6         0       33        0   ...
Páginas 46 - 4919.      a) Sistema possível e determinado.      b) Sistema impossível.      c) Sistema possível e indeterm...
b) Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos outra equação cujos termos são os  opostos da 2a equação.  4 x  2 y  6...
O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui solução, pois quaisquer que sejam osvalores de x e y, o lado esquerdo da equaç...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕESPáginas 52 - 531.                      Número d...
Da 5a linha até a 9a fizemos o mesmo tipo de análise, só que agora com c = 0.     Também concluímos, nesse caso, que não h...
4. Com as nove primeiras linhas da tabela, descobrimos uma solução do problema, que   é v = 0 e b = 8. Note que o padrão s...
(50,15,0), (50,13,1), ... , (50,1,7)(60,14,0), (60,12,1), ... , (60,0,7)(70,13,0), (70,11,1), ... , (70,1,6)(80,12,0), (80...
de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro que o tratamento dado porDiofanto não é o da axiomatização, e raramente ...
1                           1               1  “Diofanto passou     de sua vida na infância,    na juventude,   como solte...
5.	 Podemos operar com as equações dadas            a)	 Primeira medida: os dois objetos pesam,         para resolver o pr...
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2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito

  1. 1. Caro Professor,Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes darede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo detodo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partirde 2010.As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, porleitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, quepostaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Notetambém que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicaçõesmais recentes.Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analiseas diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividadespropostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.Bom trabalho!Equipe São Paulo faz escola. 1
  2. 2. Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 3SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕESPáginas 3 - 51. Y  X = 40. É possível que boa parte dos estudantes responda X  Y = 40, quando o correto seria Y  X = 40. Um exemplo numérico pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais” (50  10 = 40). Y2. . A resposta correta não é 3Y, porque o problema em questão envolve grandezas 3 “inversamente proporcionais”, ou seja, quanto maior o número X de operários, menor o número Y de horas necessárias para subir o muro (o dobro de X implica a metade de Y, o triplo de X implica a terça parte de Y, e assim por diante). A resposta Y correta é . Veja como um exemplo numérico seria útil na identificação do erro da 3 expressão 3Y: se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam o muro mais rapidamente, construiriam na terça parte do tempo, ou seja, em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas, está incorreta.3. a.(b + c). Alguns alunos devem escrever que a área é igual a “a . b + c”, quando o correto seria “a.(b + c)”. Nesse caso específico, a verificação com números pode conduzir a dois tipos de situação, como veremos usando os valores numéricos a = 3, b = 4 e c = 2. Situação 1: o aluno arma a conta 3 . 4 + 2 e conclui que o resultado é 18. Nesse caso, ele obteve o resultado esperado para o problema, mas com base numa expressão escrita de forma errada para sua resolução (pela expressão formulada, o resultado 2
  3. 3. seria 14). Duas hipóteses podem ser levantadas nessa situação: ele armou a expressão com letras, mas não a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a verificação apenas interpretando a figura), ou ele armou a expressão e, ao substituir os números, não associou a ideia de que em uma expressão com multiplicações e somas fazemos primeiro as multiplicações. Situação 2: o aluno arma a conta 3 . 4 + 2, lembra-se da ordem das operações (primeiro a multiplicação e depois a adição) e conclui que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo está correto para a expressão, mas não é a solução do problema, porque partiu de uma expressão errada. A primeira situação evidencia a necessidade de você, professor, retomar com os alunos a ordem das operações, e a segunda sugere que se explore mais a ideia de verificação, que, no caso deste problema, implicaria confrontar o resultado 14 com o cálculo por substituição direta de valores na figura, como se vê a seguir:4. Uma resposta tipicamente errada seria: X = número de figurinhas de João, Y = número de figurinhas de Paulo. “Paulo tem o quíntuplo do número de figurinhas de João.” Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo terá 15, que é o triplo de 3, ou seja, se X = 3, Y tem de ser igual a 15, o que se verifica pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. Para corrigir a resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João na frase que relaciona o número de figurinhas deles.5. Em primeiro lugar, é importante que você oriente uma estratégia de organização das informações, que pode ser feita por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela, chamaremos de x a quantia paga por um dos três amigos e, sempre que possível, 3
  4. 4. você deve pedir que os alunos montem outras tabelas chamando de x a quantia paga por outra pessoa. Esse exercício de mudar o significado da incógnita é útil para o trabalho com a ideia de operação inversa e para a discussão de que, apesar de encontrarmos valores diferentes para x dependendo de onde ele esteja na tabela, a resposta final do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de posição para x.Tabela 1 Rui 3x 3x x  x   10  78 4 4 3 Gustavo x x  42,24 Rui : R$ 31,68 Cláudia x  10 Gustavo : R$ 42,24 3 Cláudia : R$ 4,08Tabela 2 Rui 9( x  10) 9( x  10)  3( x  10)  x  78 4 4 Gustavo 3(x + 10) x  4,08 Rui : R$ 31,68 Cláudia x Gustavo : R$ 42,24 Cláudia : R$ 4,08Tabela 3 Rui x 4x 4x x   10  78 4x 3 9 Gustavo x  31,68 3 Rui : R$ 31,68 4x Cláudia  10 Gustavo : R$ 42,24 9 Cláudia : R$ 4,08 4
  5. 5. O equacionamento mais natural é o da Tabela 1, que, por sua vez, recai em umaequação de resolução supostamente já conhecida de um aluno de 7a série. Partindo daTabela 1 e do equacionamento obtido, o aluno terá encontrado como resultado paraRui, Gustavo e Cláudia, respectivamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 eR$ 4,08. Espera-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x como sendoo valor da conta a ser paga por outra pessoa que não Gustavo produzam os mesmosresultados finais para cada uma das três pessoas. De posse dessa conclusão, e tendomontado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estratégias de resolução dasequações decorrentes dessas duas tabelas, em particular nos interessando asestratégias de resolução da equação decorrente da Tabela 2, que é mais difícil do queas outras. No caso da equação da Tabela 2, o aluno sabe que seu resultado final temde ser x = 4,08 e, com base nessa informação, deverá descobrir eventuais erros emseu processo de resolução da equação se ele não tiver conduzido a esse valor. O erromais frequente, e que merece um comentário seu, professor, é: ao multiplicar por 4os dois membros, o aluno escreve a equação 9(x + 10) + 12(4x + 40) + 4x = 312,quando o correto seria 9(x + 10) + 12(x + 10) + 4x = 312 ou 9(x + 10) + 3(4x + 40) ++ 4x = 312.Uma boa estratégia que pode ser sistematizada ao final dessa discussão para evitarerros como o mencionado é:1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses.2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtração devem ser transformadas em frações com numerador simples (apenas um número ou uma letra, ou um número multiplicando uma letra).3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos denominadores das frações ou, de forma mais direta, pelo MDC dos denominadores. Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas: 5
  6. 6. 9( x  10) 1)  3( x  10)  x  78 4 9 x  90 2)  3 x  30  x  78 4 9 x 90 3)   3x  30  x  78 4 4 4) 9 x  90  12 x  120  4 x  312 25 x  102  x  4,086. Adotando-se o mesmo tipo de procedimento usado na resolução do problema anterior, equacionaremos este problema utilizando tabelas.Tabela 1 Frequência Idade cardíaca máxima 24(220  x) 16 x  23 3 x  36 24(220  x) Renê 24(220  x) R enê  28 anos e FCmáx  192 220  23 23 Bernardo  36 anos e FCmáx  184 Bernardo x 220 xTabela 2 Frequência Idade 16 x  23(220  x)  220  x  . 220   cardíaca máxima 3  24  x  28 R enê  28 anos e FCmáx  192 Renê x 220  x Bernardo  36 anos e FCmáx  184 23(220  x) 23(220  x) Bernardo 220  24 24 6
  7. 7. Tabela 3 Frequência 24 x 16 Idade  (220  x) 23 3 cardíaca máxima x  184 24 x 24x R enê  28 anos e FCmáx  192 Renê 220  23 23 Bernardo  36 anos e FCmáx  184 Bernardo 220  x xTabela 4 Frequência Idade cardíaca máxima 16 x  23x  x  220   3  24  Renê 220  x x x  192 R enê  28 anos e FCmáx  192 23x 23x Bernardo  36 anos e FCmáx  184 Bernardo 220  24 24 Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente a seguinte informação do enunciado: FCmáx = 220  I, onde FCmáx é a frequência cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns exemplos podem ser úteis: um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima 200 porque 220  20 = 200. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220  200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca máxima 190, porque 220  30 = 190. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos de idade, porque 220  190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC máxima igual a 220  I, e um indivíduo de frequência cardíaca máxima FCmáx tem idade I igual a 220  FCmáx. Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica 24 dizer que sua idade será 220  x. Como a frequência cardíaca máxima de Renê é 23 7
  8. 8. 24 x da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será . Com base na FCmáx de Renê, 23 24 x concluímos que sua idade tem de ser 220  . Note que o caminho feito para a 23 organização dos dados na Tabela 3 foi: Para as Tabelas 1, 2 e 4, os caminhos foram: Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é importante, mais uma vez, destacar que o aluno deverá compreender que o valor de x obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a um dado diferente da tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e as frequências cardíacas máximas de Renê e Bernardo devem ser iguais nas quatro tabelas, o que pode ser utilizado como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das equações.Páginas 5 - 67. a) Chamando a idade de Ana de A, temos: 3. A A idade de João = e idade de Maria = . 2 2 b) Chamando de C e P o total de galinhas do galinheiro de Cláudio e Paula, respectivamente, teremos C = P + 20. c) Y = 12 –X, ou, de forma equivalente, X = 12–Y. 8
  9. 9. 8. a) Luiz tem 2 anos a mais que Pedro, sendo Y a idade de Luiz e X a de Pedro. b) Lúcia gastou R$ 50,00 na compra de X mercadorias de R$ 2,00 e Y mercadorias de R$ 3,00. c) Érica tem 4 anos a mais do que dois terços da idade de sua prima Tarsila, sendo X a idade de Érica e Y a de Tarsila.9. Léo, Mário e Norberto receberão 25, 15 e 20 figurinhas, respectivamente.Páginas 7 - 1210. a) Basta investigar as potências de 3 até encontrar alguma cuja soma com 1 resulte 82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81. b) O denominador da fração do primeiro membro tem de ser igual a –5 para que faça a igualdade verdadeira com o segundo membro. Para que x + 1 seja igual a –5, x tem de ser igual a –6. c) Os números que quando elevados ao quadrado resultam 25 são 5 e –5. É provável que os alunos encontrem apenas a resposta positiva, e que se surpreendam com o fato de encontrar duas soluções para uma equação. d) Tirando 2 de 51, resulta 49, o que implica dizer que procuramos um número cujo quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7. e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, porém, como estamos elevando x + 1 ao quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3, ou seja, x = –4 ou x = 2. f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, portanto, a equação não possui solução (em IR). 9 9 g) A metade de é . Então, procuramos um número que elevado ao quadrado 8 16 9 3 3 resulte . Resposta: e – . 16 4 4 h) Como 24 = 16, procuramos um número que somado a 1 dê 4, que é o número 3. i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0. 9
  10. 10. j) Se o produto de dois fatores é 0, um deles é 0 (ou ambos são 0). Segue, portanto,que x é igual a –5 ou 3.k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3.l) Não há valor de x que torne a igualdade verdadeira, portanto, essa é umaequação “sem solução” (a solução é o conjunto vazio).m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos ter uma fração denumerador diferente de 0 que seja igual a 0. Portanto, essa é outra equação desolução vazia.n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente seu numerador é igual a seudenominador, o que implica dizer que estamos procurando o x que resolva a equaçãox + 2 = 3x. Resposta: x = 1.o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.p) Inicialmente, procuramos um número que quando elevado ao cubo resulte 64,que é o número 4. Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o expoente de umapotência de 2 para que o resultado seja 4? Resposta: 2. Esta atividade pode ser usadapara discutir ou recordar a propriedade (am)n = a m.n. 1q) Análogo ao raciocínio das atividades j e k. Resposta: – e –1. 2r) O quadrado de 25 é 625. Então, procuramos um número que somado a 3 resulte625. Esse número é 622.s) 3x tem de ser igual a 81 para que a fração seja equivalente a 1. O expoente que faz3x ser igual a 81 é 4, que é a resposta da equação.t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.u) Seja qual for o valor de x, x2 e x6 serão números não negativos, portanto, aequação não possui solução (em IR).v) Uma vez que os dois membros representam equações de denominador 41, temosde ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = –6.w) –2 é um número que quando elevado ao cubo resulta –8 (nesta atividade vocêpode comentar com os alunos que em um conjunto numérico a ser estudado nofuturo, a equação do problema terá outras duas soluções além do –2).x) Analogamente ao l, ao m e ao u, o problema não tem solução (você deveaproveitar esta atividade para discutir que x = 0 não é uma solução do problema). 10
  11. 11. y) Qualquer valor de x resolve a equação, portanto, é uma equação com infinitassoluções.Dependendo do interesse da classe, os seguintes comentários podem ser feitos porvocê, professor, ao longo da correção desta atividade.• As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o nome de equações exponenciais. Vocêconsegue imaginar o porquê desse nome? Resposta: porque a incógnita se encontraem um expoente.• Na 1a série do Ensino Médio você vai aprender técnicas para resolver equaçõesexponenciais.• As equações b, m, n e o recebem o nome de equações com frações algébricas.Você consegue imaginar o porquê desse nome? Resposta: porque são equaçõesenvolvendo frações escritas com incógnitas no denominador.• Na 7a e na 8a séries você vai aprender técnicas para resolver equações com fraçõesalgébricas.• As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y recebem o nome de equaçõesalgébricas (ou equações polinomiais). O grau de uma equação algébrica é o maiorexpoente que a incógnita assume quando a equação está escrita na forma maissimples possível. As estratégias de resolução das equações algébricas de 1o grauvocê começou a aprender na 6a série e continua aprendendo na 7a série. Na 8a sérievocê aprenderá técnicas para a resolução de equações algébricas de 2o grau. Na 3asérie do Ensino Médio você vai aprender técnicas para resolver algumas equaçõesalgébricas de grau maior ou igual a 3.• A equação r chama-se equação irracional (equação que possui a incógnita noradicando).• Professor, comente com seus alunos que, para sua surpresa deles, algumas equaçõespara as quais ele não encontrou solução têm uma ou mais respostas, mas paraencontrá-la(s) ele terá de expandir seus conhecimentos sobre conjuntos numéricos.Por exemplo, as equações f e u têm soluções no conjunto numérico dos númeroscomplexos, que você vai aprender na 3a série do Ensino Médio. A equação w, para aqual ele só encontrou uma solução, possui mais duas soluções no conjunto dosnúmeros complexos. Mas fique atento, existem equações que não possuem solução,seja qual for o conjunto numérico assumido, ou seja, sua solução sempre será o 11
  12. 12. conjunto vazio. São exemplos de equações com conjunto solução vazio as de letra l, m e x.11. a) 2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x)  64  x  3 metros. b) 2(2x + 4) + 2x + x + 10 + 2x < 2x + x +10 4 Resolvendo essa inequação obtemos x   . Como x tem de ser um número 3 positivo por conta do contexto geométrico do problema, concluímos que não há valores de x para os quais seja atendida a desigualdade proposta no problema. Professor, sugerimos que esse problema seja utilizado para reforçar com os alunos a ideia de verificação da resposta com o contexto do problema. Muitos problemas matemáticos não possuem solução no domínio de validade, e é importante que o aluno esteja atento a isso.12. a) Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000  1,5. 450) = = R$ 325,00 por litro, e o novo, um custo de (940  1,4 . 450) = R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo antigo implica um custo de (1 000  1,5 . 620) = R$ 70,00 por litro, e o novo, um custo de (940  1,4 . 620) = R$ 72,00 por litro. Portanto, para 450 litros o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula nova e para 610 litros a situação se inverte. b) Procura-se a solução da inequação 940  1,4x < 1 000  1,5x, que é x < 600. Devemos ainda observar que, como x > 0, segue, portanto, que 0 < x < 600, com x dado em litros.13. Chamando de P o preço em reais para enviar x páginas, temos: 12
  13. 13. P = 3,4 + 2,6.(x  1). Calcular o maior número de páginas possível para que o preço não ultrapasse R$ 136,00 resume-se a resolver e interpretar a inequação 3,4 + 2,6.(x  1)  136, com x inteiro. Resolvendo a inequação: 3,4 + 2,6x  2,6  136  x  52. O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta do problema.Páginas 12 - 1314. Chamaremos de x o número de questões respondidas corretamente pelo candidato e de 20  x o número de questões respondidas erradamente. Se P é o total de pontos obtidos pelo candidato ao responder corretamente x questões, então a função que modela o problema é P = 3x  (20  x), com x sendo um número inteiro tal que 0  x  20 . O menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato totalize um mínimo de 28 pontos será o menor inteiro que atende à inequação P  28. Resolvendo: 3x  (20  x)  28 3x  20 + x  28 4x  48 x  12. Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, totalizando, nesse caso, exatamente 28 pontos.15. a) Chamando-se de C A C B e C c o custo total dos planos A, B e C para x minutos de uso, teremos: C A  35  0,5.x  C A  35  0,5.25  47,5 CB  20  0,8.x  CB  20  0,8.25  40 CC  1,2.x  CC  1,2.25  30. 13
  14. 14. Portanto, para 25 minutos de uso, C C  C B  C A .b) Queremos encontrar o menor valor de x para que C A  C B e C A  C C .C A  CB C A  CC35  0,5.x  20  0,8.x  x  50 35  0,5 x  1,2.x  x  50Para qualquer valor de x maior que 50 minutos, o plano A será mais barato que osplanos B e C. 14
  15. 15. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANOPágina 141. a) A Rua Miguel Carlos encontra-se na quadrícula de interseção entre a segunda linha e a primeira coluna. b) A Rua Vadico encontra-se na casa C4, ou seja, no cruzamento da terceira linha com a 4a coluna.Página 152. Resposta pessoal. Você poderá mostrar no guia a localização e as coordenadas da escola.Páginas 15 - 173. a) Resposta em aberto. A ideia é compartilhar as diferentes estratégias adotadas pelos alunos e verificar se eles adotaram algum tipo de ponto de referência para a localização. b) Se tomarmos como ponto de referência o canto superior esquerdo da cozinha, então o ralo encontra-se a 3,2 metros na direção horizontal e a 0,7 metros na direção vertical. 15
  16. 16. c) Resposta pessoal. Você deve verificar se o aluno deu as coordenadas corretas em relação ao ponto de referência escolhido.4. a) As coordenadas dos vértices do triângulo EFG são: E (–2; 1), F (–8; 5) e G (–8; 1). As do retângulo HIJK são H (0; –1), I (–6; –1), J (–6; –4), K (0; –4). As do triângulo LMN são L (6; 0), M (0; –6) e N (4; –6). b) Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os pontos B, D e N possuem abscissa 4. Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os pontos I e J possuem abscissa –6. Os pontos F e G possuem abscissa –8. c) Somente o ponto L possui ordenada igual a 0. d) O vértice H (0; –1). e) O vértice F (–8; 5). f) Os vértices I (–6; –1) e J (–6; –4). g) Os vértices E (–2; 1), F (–8; 5) e G (–8; 1). 16
  17. 17. h) Quadrado ABCD: 8 / Triângulo EFG: 12 / Retângulo HIJK: 18 / Triângulo LMN: 12.Página 18 - 195. 10 F E B 5 C G A D I H N -5 5 10 J M O Q -5 P K L -106. a) Os vértices N (7; 0), H (–7; 0) e I (–10; 0). b) As coordenadas y (ordenadas) valem 0. c) Os vértices P (7; –6) e Q (5; –3). d) O vértice O (0; –3). e) O vértice J (–12; –3). f) 10 unidades. 17
  18. 18. Páginas 19 - 217. 1o quadrante: B, G / 2o quadrante: E / 3o quadrante: C, F / 4o quadrante: A, D.8. Jogo da batalha naval matemática: você, professor, deve acompanhar os jogos das duplas para verificar se os alunos estão conseguindo utilizar corretamente as coordenadas, principalmente no que se refere aos sinais e aos quadrantes.Páginas 22 - 249. I. Translação horizontal: x + 7. II. Translação vertical: y – 5. III. Translação horizontal: x – 10. IV. Translação combinada: (x + 4; y – 3).10. a) y C C B B A A x C C B A B A 18
  19. 19. b)  ABC  A’B’C’  A’’B’’C’’  A”’B”’C”’ (x; y) (x – 6; y) (x; y – 10) (x + 8; y + 2) A (3; 2) A’ (–3; 2) A” (–3; –8) A”’ (5; –6) B (7; 3) B’ (1; 3) B” (1; –7) B”’ (9; –5) C (4; 5) C’ (–2; 5) C” (–2; –5) C”’ (6; –3) c) Na translação horizontal, a coordenada x se altera, e a y permanece igual. d) Na translação vertical, a coordenada y se altera, mas a x permanece igual.Página 2411. Resolução pessoal. Verifique se as coordenadas escolhidas estão contidas no plano cartesiano fornecido na atividade e se as translações realizadas mantêm o polígono dentro do plano.Páginas 25 - 2712. a) y 5 C C D D B B A A -5 5 x A A B D D B C C -5 19
  20. 20. b) ABCD A’B’C’D’ A”B”C”D” A’”B’”C’”D’” (x; y) (–x; y) (x; –y) ( – x; y ) A (2; 2) A’ (–2; 2) A” (–2; –2) A’” (2; –2) B (6; 3) B’ (–6; 3) B” (–6; –3) B’” (6; –3) C (2; 4) C’ (–2; 4) C” (–2; –4) C’” (2; –4) D (4; 3) D’ (–4; 3) D” (–4; –3) D’” (4; –3) c) A coordenada x troca de sinal e a y permanece igual. d) Ocorre o oposto. A coordenada y troca de sinal, e a x permanece igual. e) Ele voltará à posição inicial do quadrilátero ABCD.Páginas 27 - 2813. a)  MNO  M’N’O’  M”N”O”  M”’N”’O”’ (x; y) (–x; y) (x; –y) (x – 6; y + 4) M (–4; 5) M’ (4; 5) M” (4; –5) M”’ (–2; –1) N (2; 1) N’ (–2; 1) N” (–2; –1) N”’ (–8; 3) O (–2; 7) O’ (2; 7) O” (2; –7) O”’ (–4; –3) 20
  21. 21. b) y O O 5 M M N N N -10 -5 5 x N M O -5 M O14. Você já aprendeu que, quando somamos ou subtraímos um mesmo número das coordenadas x e/ou y dos pontos de uma figura, o movimento decorrente é uma translação. Quando trocamos o sinal da coordenada x de um ponto, o movimento é chamado de reflexão horizontal. E, quando trocamos o sinal da coordenada y, o movimento decorrente é uma reflexão vertical. 21
  22. 22. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARESPáginas 30 - 321. a) Professor, neste caso consideraremos apenas as idades em anos inteiros. Adiante, na atividade 3, passaremos a incluir soluções racionais. Sim, o problema tem mais de uma solução, pois existem várias combinações de números que somados resultam 28. b) Transcrevendo o problema para a linguagem algébrica, temos que x + y = 28. c) Se considerarmos apenas as idades completas de João e Maria (números naturais entre 1 e 28), teremos as possibilidades de solução mostradas na tabela a seguir: João (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Maria (y) 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 João (x) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Maria (y) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A tabela mostra que são possíveis 27 pares de solução. d) Observando a tabela, há um único par de valores que soluciona o problema: x = 16 e y = 12. Portanto, o problema passou a ter uma solução determinada. A idade de João é 16 anos, e a de Maria, 12 anos. e) Essa nova informação pode ser escrita algebricamente como x = y + 4. Ou, ainda, de forma equivalente, como x – y = 4, pois a diferença de idade entre João e Maria é de 4 anos. f) A 1a equação é x + y = 28. Substituindo os valores de x, obtemos uma sentença verdadeira: 16 + 12 = 28. O mesmo ocorre com a 2a equação, x – y = 4 . 16 – 12 = 4. 22
  23. 23. 2. a) O único par de valores que satisfaz essa nova condição é 21 e 7. Portanto, João teria 21 anos, e Maria, 7 anos. b) Neste caso, observando a tabela, não há nenhum par de valores inteiros que satisfaça essa condição. Ou seja, dentro do contexto inicial, o problema não possui solução. A não ser que considerássemos as idades não inteiras. Isso tornaria inviável a solução via tabela, pois existiriam infinitos pares que satisfazem a primeira equação.3. • Soma das idades de João e Maria é 28: x + y = 28 • A idade de Maria é o dobro da de João: y = 2x a) Partindo da equação inicial x + y = 28 e sabendo que a idade de Maria é o dobro da idade de João, podemos substituir o valor de y por 2x, obtendo uma equação com apenas uma incógnita: x + 2x = 28 b) x + 2x = 28 3x = 28 28 x= 3 1 2 x = 9 . Como y = 2x, então, y = 18 3 3 c) Não, pois as idades devem ser completas, o que significa que a resposta deve ser um número inteiro. d) Dessa forma, dentro do contexto dos números racionais, descobrimos 1 algebricamente que João tinha 9 anos e 4 meses ( 9 ), e Maria, 18 anos e 8 meses 3 2 ( 18 ). 3 23
  24. 24. Páginas 33 - 344. As equações do problema são 2x + 3y = 18 e x = 3y, sendo x o preço do sanduíche, e y, o do suco. O suco custa R$ 2,00, e o sanduíche, R$ 6,00. Esse problema pode ser resolvido tanto por raciocínio aritmético quanto por meio de equação.5. As equações do problema são x – y = 42 e x = 2y + 5. Os números que satisfazem o problema são 37 e 79. x6. As equações do problema são: x + y = 72 e y = . 2 O mais velho tinha 48 anos, e você, 24.Páginas 34 - 357. a) x + y = 2 500 e x = y + 500. b) (y + 500) + y = 2 500 e 2y + 500 – 500 = 2500 – 500. c) 2y = 2 000. y = 1 000 Como x = y + 500, então x = 1 500.8. Resposta pessoal. Um enunciado possível seria: Descubra o peso de dois objetos x e y sabendo que juntos eles pesam 2 500 gramas e que um deles é 500 gramas mais pesado que o outro.9. Resposta pessoal. A explicação deve mencionar o processo de isolar uma das incógnitas em uma das equações (escrever x em função de y ou vice-versa) e a substituição da expressão encontrada na outra equação. 24
  25. 25. Observação: alguns alunos podem ter dificuldade para expressar algumas etapas do processo. Talvez seja necessário introduzir algumas expressões, tais como: isolar uma incógnita; escrever x em função de y, etc.Página 3610. a) A solução do sistema é x = 1 e y = 2. b) A solução do sistema é x = 2 e y = –1.Páginas 36 - 3811. a) Chamando o sanduíche de x e o refrigerante de y, obtemos a equação 2x + y = 6,60. b) Equivalente à equação x + y = 4,10. c) Subtraindo o consumo de Júlia do consumo de André, restará apenas um sanduíche. Portanto, subtraindo os valores pagos, a diferença obtida, R$ 2,50, é o preço do sanduíche. d) Se um sanduíche custa R$ 2,50 e Júlia gastou R$ 4,10, então o preço do refrigerante é o valor que falta: R$ 1,60. e) 2 x  y  6,60    x  y  4,10 2 x  x    y  y   6,60  4,10 x  2,50 2,50  y  4,10 y  1,60 25
  26. 26. 12. a) A solução do sistema é x = 3 e y = –1. 7 b) A solução do sistema é x = 3 e y = . 3 c) A solução do sistema é x = –2 e y = 0. d) A solução do sistema é x = 2 e y = –5.Páginas 38 - 3913. Resolvendo o sistema, obtemos x = 47 e y = 31.14. a) 40 . 4 – 10 . 1 = 150. Se ele acertar 40, significa que ele errou 10. Portanto, sua pontuação será de 150 pontos. b) x + y = 50, onde x representa o número de acertos e y o número de erros. c) 4x – y = P, onde P representa a pontuação obtida. d) O aluno acertou 32 questões e errou 18.Páginas 39 - 4315. a) x = 2 e y = –3. b) x = –4 e y = 1. 3 c) x = e y = –1. d) x = 5 e y = 2. 216. a) Traduzindo em linguagem algébrica, escrevemos as equações I e II:  x  y  12 ( I )   x  y  4 ( II ) 26
  27. 27. b) Para cada equação, constroem-se as tabelas com os valores de x e yconsiderando o domínio dado pelo problema, isto é, valores entre 1 e 11. Vamosconsiderar também, sem perda de generalidade, que x é maior que y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 x+y 5 6 7 8 9 10 11 x 1 2 3 4 5 6 7 y 4 4 4 4 4 4 4 x–yc) Sim, o par x = 8 e y = 4.d)e) O ponto em comum aos dois gráficos (8, 4) é a solução do sistema.f) Não, pois o problema trata de números inteiros. A representação por meio deuma reta implicaria considerar todos os pontos intermediários entre os pares desolução de cada equação, incluindo números racionais e irracionais. 27
  28. 28. 17. a) x+y=6 x–y=1 x y x y 1 5 2 1 2 4 3 2 3 3 4 3 b) c) Sim, pois os valores de x e y podem não ser inteiros. d) O ponto de interseção é (3,5; 2,5), cujas coordenadas correspondem à solução do problema inicial: 3,5 + 2,5 = 6 e 3,5 – 2,5 = 1. e) x  y  6  x  y 1 A solução desse sistema (x = 3,5 e y = 2,5) corresponde às coordenadas do ponto de interseção. 28
  29. 29. Páginas 43 - 4518.a) 2x + y = 6 x–y=–3 x y x y0 6 0 33 0 –3 0A solução do sistema é x = 1 e y = 4.b)x – 2y = – 2 x+y=–5 x y x y0 1 0 –5–2 0 –5 0A solução do sistema é x = –4 e y = –1. 29
  30. 30. Páginas 46 - 4919. a) Sistema possível e determinado. b) Sistema impossível. c) Sistema possível e indeterminado. d) Sistema possível e determinado.20.  a) 2 x  y  3    x y 6  3x 9 x3 y  3 2x + y = 3 x–y=6 x y x y0 3 0 –61,5 0 6 0Sistema possível e determinado. 30
  31. 31. b) Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos outra equação cujos termos são os opostos da 2a equação.  4 x  2 y  6  4x  2 y  6 0x  0 y  0O resultado é indeterminado. 2x + y = 3 4x + 2y= 6 x y x y 0 3 0 3 1,5 0 1,5 0 O sistema é possível e indeterminado.c) Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos uma equação em que os coeficientes das incógnitas são opostos, mas o termo independente não.  4 x  2 y  6     4 x  2 y  10  0x  0 y  4 31
  32. 32. O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui solução, pois quaisquer que sejam osvalores de x e y, o lado esquerdo da equação será sempre igual a 0, enquanto o direitovale 4. Assim, a sentença obtida é falsa, pois 0 ≠ 4. Em termos gráficos, as duasequações seriam representadas como mostra a figura. 2x + y = 3 4x + 2y = 10 x y x y0 3 0 51,5 0 2,5 0 O sistema é impossível. 32
  33. 33. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕESPáginas 52 - 531. Número de filas Número de filas com Total de ônibus Linha com 3 ônibus (t) 5 ônibus (c) (3t + 5c) 1 0 0 0 2 0 1 5 3 0 2 10 4 0 3 15 5 1 0 3 6 2 0 6 7 3 0 9 8 4 0 12 9 5 0 15 10 1 2 132. Inicialmente fixamos t = 0 e variamos o valor de c, o que nos permite observar que não há solução para o problema quando t = 0, porque a soma 3t + 5c sempre será um múltiplo de 5 (lembramos que queremos 3t + 5c = 13). Note que não fizemos mais do que quatro linhas na tabela com t = 0 por dois motivos: em primeiro lugar, pode- se observar com facilidade que 3t + 5c será sempre múltiplo de 5, o que não nos fornece solução para o problema e, em segundo lugar, na quarta linha já atingimos soma maior do que os 13 ônibus possíveis do problema. 33
  34. 34. Da 5a linha até a 9a fizemos o mesmo tipo de análise, só que agora com c = 0. Também concluímos, nesse caso, que não há solução possível com c = 0. Com os valores possíveis de 3t e de 5c listados na última coluna da tabela, nos interessa agora procurar somas de dois deles que totalizem 13. No caso do problema, a única soma que totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única solução do problema é 3 . 1 + 5 . 2 = 13, ou seja, (t, c) = (1, 2).3. Número de Número de pares de Total de alunos Linha pares de times times de vôlei (v) (12v + 10b) de basquete (b) 1 0 0 0 2 0 1 10 3 0 2 20 4 0 3 30 5 0 4 40 6 0 5 50 7 0 6 60 8 0 7 70 9 0 8 80 10 1 0 12 11 2 0 24 12 3 0 36 13 4 0 48 14 5 0 60 15 6 0 72 16 5 2 80 34
  35. 35. 4. Com as nove primeiras linhas da tabela, descobrimos uma solução do problema, que é v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido nas nove primeiras linhas não foi continuado porque na nona linha já se atingiu 80, que é o número de alunos da escola na primeira situação proposta no enunciado do problema. Da 10a à 15a linha, identificamos que não há solução quando b = 0. O padrão com b = 0 não prosseguiu para além da 15a linha porque na linha seguinte já ultrapassaríamos 80 alunos. Por fim, buscando combinações de resultados da última coluna cuja soma seja 80, encontraremos mais uma solução para o problema, que é v = 5 e b = 2. Esse problema apresenta, portanto, as seguintes soluções do tipo (v, b): (0, 8) e (5, 2).Página 545. Com o uso de uma tabela, é possível encontrar as 27 soluções do problema, que são os seguintes pares (x,y): (130,2), (125,5), (120,8), (115,11), (110,14), (105,17), (100,20), (95,23), (90,26), (85,29), (80,32), (75,35), (70,38), (65,41), (60,44), (55,47), (50,50), (45,53), (40,56), (35,59), (30,62), (25,65), (20,68), (15,71), (10,74), (5,77), (0,80).6. Utilizando uma tabela, encontramos as seguintes soluções (x, y, z): (0, 1, 2), (0, 3, 1), (0, 5, 0), (5, 1, 1), (5, 3, 0), (10, 1, 0).Desafio!Página 557. Utilizando uma tabela, encontraremos as 91 soluções (a, b, c):(0,0,10), (0,2,9), (0,4,8), (0,6,7), (0,8,6), (0,10,5), (0,12,4), (0,14,3), (0,16,2), (0,18,1), (0,20,0)(10,19,0), (10,17,1), (10,15,2), (10,13,3), (10,11,4), (10,9,5), (10,7,6), (10,5,7), (10,3,8), (10,1,9)(20,18,0), (20,16,1), (20,14,2), (20,12,3), (20,10,4), (20,8,5), (20,6,6), (20,4,7), (20,2,8), (20,0,9)(30,17,0), (30,15,1), (30,13,2), ... , (30,3,7), (30,1,8)(40,16,0), (40,14,1), ... , (40,0,8) 35
  36. 36. (50,15,0), (50,13,1), ... , (50,1,7)(60,14,0), (60,12,1), ... , (60,0,7)(70,13,0), (70,11,1), ... , (70,1,6)(80,12,0), (80,10,1), ... , (80,0,6)(90,11,0), (90,9,1), ... , (90,1,5)(100,10,0), (100,8,1), ... , (100,0,5)Observe que a tabela tem uma série de regularidades que, uma vez identificadas,facilitam a generalização das triplas ordenadas. Por exemplo, as primeiras 11 triplas,que começam com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e aumentando sempre umaunidade. Nas demais sequências de triplas (conforme organizamos acima), a será ummúltiplo de 10, b será igual a 19, 18, 17,... , 10 (reduzindo sempre duas unidades para atripla seguinte) e c será igual a 0, 1, 2,... (terminando em 9, 8, 7, 6 ou 5, dependendo dasequência).Página 558. O texto a seguir o ajudará a enriquecer sua aula na apresentação de Diofanto de Alexandria. Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e foi um matemático de trabalhos extremamente originais para sua época. A principal obra de Diofanto, chamada Arithmetica, consta ter sido escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis primeiros chegaram até nós. Alguns consideram Diofanto o pai da Álgebra devido ao fato de ele ter introduzido em seu trabalho a ideia de equação algébrica expressa por símbolos. Na solução de sistemas de equações, Diofanto manipulava um único símbolo para representar as incógnitas e chegava às respostas, comumente, pelo método de tentativa, que consiste em assumir para alguma das incógnitas um valor preliminar que satisfaça algumas condições. Esses valores preliminares conduziam a expressões erradas, mas que geralmente sugeriam alguma estratégia pela qual valores podiam ser obtidos de forma a atender a todas as condições do problema. Na coleção 36
  37. 37. de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro que o tratamento dado porDiofanto não é o da axiomatização, e raramente ele apresenta generalizações. Não háuma distinção clara no tratado de Diofanto entre equações determinadas eindeterminadas e, quando ele se ocupava desse segundo grupo, geralmentecontentava-se em encontrar uma solução, e não todo o conjunto de soluções.Muitos dos problemas resolvidos por Diofanto eram da determinação de soluçõesinteiras (ou racionais) em equações com mais de uma incógnita, fato pelo qual essetipo de assunto, que investigamos na Situação de Aprendizagem 4, é conhecido pormuitos na Matemática como equações diofantinas. Veremos a seguir (em notaçãomoderna) um problema resolvido por Diofanto para ilustrar sua forma de pensar aMatemática.“Determine dois números tais que cada um somado com o quadrado do outro forneçaum quadrado perfeito.”Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita,em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1. Note que, nessecaso, ao somarmos o segundo com o quadrado do primeiro, necessariamente teremosum quadrado perfeito, porque 2x + 1 + x² é igual a (x + 1)². Na sequência, exige-seque o primeiro somado com o quadrado do segundo seja um quadrado perfeito, ouseja, que x + (2x + 1)² seja um quadrado perfeito. Diofanto escolhe um quadradoperfeito particular, que é (2x  2)², para igualar à expressão x + (2x + 1)², de ondedecorrerá uma equação linear em x, como veremos a seguir: 3x + (2x + 1)² = (2x  2)²  x + 4x² + 4x + 1 = 4x²  8x + 4  x = . Segue, 13 3 19portanto, que um dos números é e o outro, dado por 2x + 1, é . 13 13Note que no lugar de (2x  2)² poderíamos ter usado (2x  3)² ou (2x  4)² ou outrasexpressões semelhantes, o que resultaria em outros pares de respostas que atendem àcondição do enunciado do problema, mas Diofanto se contentava em encontrar umasolução para o problema.Como curiosidade final, citamos um trecho (em linguagem moderna) retirado de umaobra datada do século V ou VI d.C., chamada Antologia Grega, em quesupostamente se revela com quantos anos Diofanto morreu: 37
  38. 38. 1 1 1 “Diofanto passou de sua vida na infância, na juventude, como solteiro; 5 6 12 7 anos depois de casado, nasceu seu filho, que morreu com metade da idade que Diofanto viveu, 4 anos antes de sua própria morte.” Equacionando o problema, descobriremos a suposta idade com que Diofanto morreu: x x x x    5   4  x  x  84 anos. 6 12 7 2 AJUSTES Caderno do Professor de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 3 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cadapágina. 38
  39. 39. 5. Podemos operar com as equações dadas a) Primeira medida: os dois objetos pesam, para resolver o problema do item anterior. conjuntamente, 2 500 gramas. Partindo da equação inicial x + y = 28 e sa- Em linguagem algébrica, x + y = 2 500 bendo que a idade de Maria é o dobro da de João, podemos substituir o valor de y por 2x, 2 000g obtendo uma equação com apenas uma incóg- x y 500g 28 nita: x + 2x = 28 ou 3x = 28, portanto x = 3 1 ou x = 9,333... ou 9 . Como y = 2x, então 3 2 y = 18 . Dessa forma, dentro do contexto 3 dos números racionais, descobrimos algebrica- b) Segunda medida: o objeto x pesa o mesmo mente que João tinha 9 anos e 4 meses, e Maria que o objeto y mais 500 gramas. 18 anos e 8 meses. Em linguagem algébrica, x = y + 500 Ao substituir o valor de uma incógnita pela expressão equivalente em termos da ou- x y 500g tra incógnita, obtivemos uma equação com apenas uma incógnita, tornando possível determinar sua solução. Essa forma de reso- lução é chamada de método da substituição, que será discutido a seguir. c) Substituição: trocamos o objeto x pelo seu equivalente, y mais 500 gramas. Em Atividade 2 – As balanças e o método da seguida, tiramos 500 gramas de cada substituição lado, mantendo a equivalência. Uma forma de introduzir o método da substituição com significado é por meio Em linguagem algébrica, (y + 500) + y = 2 500, de uma analogia com a balança de pratos. ou y + y – 500 = 2 500 – 500 Vamos explorar a seguir um exemplo de proble- y 500g ma que pode ser resolvido tanto por meio das balanças como algebricamente pelo método 2 000g da substituição. x y 500g 1. Precisamos descobrir o peso de dois obje- tos, convenientemente denominados x e y. Para isso, foram realizadas as seguintes medidas em uma balança de pratos:40

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