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GABARITO                Caderno do Aluno                   Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3



 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

 A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE




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1.
     a) A previsão é consistente, pois pode haver proporcionalidade entre o número de
     paredes e o tempo gasto para pintá-las.
     b) Apesar de os números do problema apresentarem proporcionalidade, a situação
     não permite uma previsão confiável, pois o rendimento de um time não é constante
     ao longo de um jogo, existindo uma série de outros fatores que influenciam o número
     de gols.
     c) A previsão é consistente, pois o tempo de vazão depende do volume de água a
     ser escoado. Supõe-se, neste caso, que a velocidade de vazão não varie
     significativamente, podendo ser considerada constante.
     d) A previsão está errada, pois, mantida a velocidade, o trem deveria percorrer
     180 quilômetros. Neste caso, a distância percorrida é diretamente proporcional ao
     tempo de viagem.
     e) Neste caso, a previsão pode estar correta, pois o valor a ser cobrado pode ser
     proporcional ao número de horas que o carro ficará estacionado.


2.
     a) Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra − digamos, passa de 2 a 4
     anos −, não é verdade que sua altura também dobra. Se houvesse proporcionalidade
     direta, imagine a altura de uma pessoa aos 40 anos.
     b) Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro depende da
     quantidade de litros abastecida. Se para abastecer com 10 litros gastam-se R$ 25,00,
     o valor para abastecer com o triplo de litros (30 litros) será três vezes maior
     (R$ 75,00).
     c) Não. A massa de uma pessoa não é diretamente proporcional à sua idade.

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     d) Sim. O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o seu lado. Se o lado
     aumenta, o perímetro aumenta proporcionalmente. O perímetro de um quadrado é
     diretamente proporcional ao seu lado, sendo a constante de proporcionalidade igual
     a 4.
     e) Sim. Um automóvel que desenvolve uma velocidade média de 60 km/h vai
     percorrer 60 quilômetros em 1 hora. Se dobrarmos a velocidade, a distância
     percorrida dobrará, na mesma proporção.


3.
     a) Não. Dificilmente o professor conseguirá manter o mesmo ritmo de trabalho
     durante 30 horas.
     b) Não. Mesmo para um atleta, seria impossível manter esse ritmo de corrida por
     tanto tempo.
     c) Não. O fato de ela ter lido três livros na semana anterior não garante que ela vá
     manter o mesmo ritmo de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variáveis,
     como tamanho do livro, disponibilidade de tempo e dinheiro, disposição, etc.




Página 5
4.
     a) O aumento salarial dado não foi proporcional aos salários, pois embora ele tenha
     sido o mesmo para os dois funcionários em termos absolutos (R$ 200,00), em termos
     relativos eles foram diferentes. Os R$ 200,00 de aumento representam metade do
     salário de João, enquanto para Antônio esse acréscimo representa apenas um quinto
     de seu salário. A variação para João foi de 600 ÷ 400 = 1,5 (50%), e para Antônio,
     1 200 ÷ 1 000 = 1,2 (20%).
     b) A redução no preço dos dois produtos foi diretamente proporcional aos preços
     originais. A variação no preço do computador foi de 750 ÷ 1 000 = 0,75, e na
     impressora, de 300 ÷ 400 = 0,75. Ou seja, ambas foram multiplicadas pelo mesmo
     fator.




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Página 6
5.
     a)
     •     O tempo gasto é inversamente proporcional ao número de pintores.
     •    O tempo gasto é diretamente proporcional ao número de paredes.
     Observação: se o número de pintores dobrar, o tempo gasto para pintar uma parede
     será a metade, etc., ou seja, quanto maior o número de pintores, menor será o tempo
     gasto para pintar uma parede. O tempo gasto é inversamente proporcional ao número
     de pintores. Contudo, se o número de paredes dobrar, também dobrará o tempo
     necessário para concluir o serviço. Portanto, o tempo gasto é diretamente
     proporcional ao número de paredes.
     b)
     •    A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade.
     •     O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade.
     Observação: dobrando a velocidade, o automóvel percorrerá o dobro da distância no
     mesmo tempo. A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. Por
     outro lado, se a velocidade média for a metade, o tempo gasto para percorrer a
     mesma distância dobrará. O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade.




Página 7
6. Observação: há outras soluções para os duplex.

             TIA                 POR                 LISO                   POETA

             TUA                 PAR                 PISO                   PONTA

                                 MAR                 PESO                   PONTO

                                                     PESA                   TONTO

                                                                            TANTO

             LUA                 MAL                 PENA                 TANGO
                                                                                             3
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Páginas 9 - 10
7.




8.




     Resposta: o menor preço pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra a tabela.
     Observação: neste caso, os alunos deverão perceber que, quanto maior o preço,
     menor a quantidade de bolas que se pode comprar com a mesma quantia em dinheiro.
     Portanto, a variação entre as grandezas é inversamente proporcional, pois o que se
     mantém constante não é a razão, mas o produto entre elas.
     6 . 24 = 12 . 12 = 4 . 36 = 2 . 72 = 24 . 6 = 1 . 144 = 72 . 2 = 144.




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9.
       a) Fixando-se o tempo de trabalho, a produção de cabos é diretamente proporcional
       ao número de operários.
       Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produção é inversamente proporcional
       ao número de operários.
       Fixando-se o número de operários, a quantidade de cabos é diretamente proporcional
       ao tempo de produção.


       b)

                  Produção de            Número de       Tempo de produção
                   cabos (m)             operários            (dias)
                      1 000                   24                    6

                      2 000                   24                    12
                      2 000                   48                    6

                       500                    12                    6

                       500                    24                    3

                       500                    6                     12

                       250                    3                     12

                       125                    3                     6

                      1 250                   30                    6

                      1 250                   10                    18



       Resposta: serão necessários 18 dias.
       Observação: professor, comente com os alunos que, em cada linha, há uma grandeza
       que permanece constante, enquanto as demais variam, de forma direta ou
       inversamente proporcional. Na segunda linha, considerando o mesmo número de
       operários, para produzir o dobro da metragem de cabos será necessário o dobro do
       tempo, uma vez que se tratam de grandezas diretamente proporcionais.




                                                                                             5
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Página 11
10.
   a) A produção de pias é diretamente proporcional ao número de funcionários.
   O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de funcionários.
   O tempo de produção é diretamente proporcional ao número de pias a ser produzidas.
   A produção de pias é diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas por
   dia.
   O número de funcionários é inversamente proporcional ao número de horas
   trabalhadas.
   O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas.


   b) Um possível caminho é o seguinte:

            Produção de         Número de         Tempo de            Número de horas
               pias            funcionários     produção (dias)      trabalhadas por dia
                180                  15                12                       10

                180                  15                60                        2

                180                  15                15                        8

                180                  5                 45                        8

                180                  25                 9                        8
                540                  25                27                        8



          Resposta: serão necessários 27 dias de produção.




                                                                                            6
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 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

 RAZÃO E PROPORÇÃO




Páginas 13 - 15
1. Resposta em aberto. Muitas interpretações deverão surgir, uma vez que esse conceito
     está extremamente disseminado em nossa língua e assume inúmeros significados, de
     acordo com os contextos em que aparece. Neste primeiro momento, pode ser que o
     conceito matemático de razão não apareça nas respostas dos alunos.


2. Professor, utilize o dicionário disponível em sua escola.


3. Deve-se enfatizar o fato de que a palavra “razão” adquire um significado específico
     no âmbito da Matemática. Ela representa a relação existente entre dois números a e b
                              a                            a
     é apresentada na forma     e b ≠ 0. Assim, se a razão   é igual a c, isso significa que
                              b                            b
     a = b . c. É importante diferenciar o conceito de razão do de fração. A fração é uma
     forma de expressar a razão entre dois números inteiros. Assim, toda fração é também
     uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. É bom lembrar
     que os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, e o número ,
     que é irracional, representa a razão entre o comprimento da circunferência e seu
     diâmetro.


4.
     a) A razão 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centésimos). Em porcentagem, a
     razão é 2%.
     b) A razão 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 décimos), que equivale a 0,60
     (60 centésimos), ou seja, 60%.
     c) A razão 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centésimos), ou seja, 8%.



                                                                                              7
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     d) A razão 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centésimos e 2 milésimos), ou seja,
     7,2 %.
     e) A razão 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centésimos), ou seja, 55%.


5. Resposta em aberto. De um modo geral, escala é a razão entre a medida de um objeto
     representado em um desenho e a medida correspondente ao objeto real. É importante
     que se destaque que a escala é um tipo especial de razão matemática. No caso dos
     mapas, por exemplo, a escala é a razão entre a medida de uma região representada
     em um desenho e a medida correspondente à região real. Geralmente, um mapa traz
     essa informação para facilitar a transposição da medida do desenho para a medida do
     real. Um mapa construído na escala 1 : 100 000 indica que cada unidade de
     comprimento no desenho é, na realidade, cem mil vezes maior.


6.
     a) A distância entre Brasília e Rio de Janeiro no mapa é de aproximadamente 4 cm.
     Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na
     realidade, então 4 cm corresponderão a 120 milhões de centímetros. Convertendo
     para quilômetros, obtemos o resultado de 1 200 quilômetros, que é muito próximo ao
     valor real (1 148 km).
     b) A distância entre Florianópolis e Brasília no mapa é de aproximadamente 5,5
     cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na
     realidade, então 5,5 cm corresponderão a 165 milhões de centímetros. Convertendo
     para quilômetros, obtemos o resultado de 1 650 quilômetros, que é muito próximo ao
     valor real (1 673 km).
     Observações: professor, você pode discutir com os alunos o fato de que as diferenças
     observadas devem-se, provavelmente, a aproximações e erros de medida ou à
     imprecisão do desenho. Outro aspecto a ser considerado na leitura de mapas de
     regiões da Terra é que eles retratam a transposição de uma superfície esférica para
     uma superfície plana. Assim, algum tipo de imprecisão é inerente a qualquer mapa da
     superfície terrestre, dependendo do tipo de projeção usada para transpor as
     informações da esfera para o plano. Duas são as possibilidades: se quisermos
     preservar os ângulos, as distâncias são alteradas; se quisermos preservar as
     distâncias, os ângulos é que são alterados.
                                                                                            8
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     Assim, para os pilotos de aviões e navios, o importante é preservar o ângulo,
     perdendo-se a precisão nas medidas de distância. Em alguns tipos de projeção, a
     forma é preservada localmente, facilitando a interpretação das distâncias em escala.




Páginas 15 - 16
7.
     a) A velocidade média é a razão entre o deslocamento − de 530 km − e o intervalo
     de tempo para efetuá-lo, ou seja, 6 horas. Portanto, a velocidade média nesse caso é
     de aproximadamente 88 km/h.
     b) Se o coração dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos, em 1 segundo ele
     baterá 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes. Portanto, a pulsação é de 72 batimentos
     por minuto.
     c) Como 12 megabytes é igual a 12 000 quilobytes, então a velocidade de
     transmissão será igual a 12 000 ÷ 30 = 400 kbps, ou seja, 400 quilobytes por
     segundo.




Página 16
8. Densidade de um material é a quantidade de massa existente em cada unidade de
     seu volume. Ou seja, é a razão entre a massa e o volume de um corpo. A unidade
     mais usada para expressar a densidade de um material é o grama por centímetro
     cúbico (g/cm3). Por exemplo, a densidade da água é de 1 grama por centímetro
     cúbico (g/cm3).
     De modo análogo, a densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes
     que vivem em uma região e sua área.




                                                                                             9
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Páginas 16 - 17
9.
     a) A densidade dessa substância é de aproximadamente 0,67 g/cm3.
     b) A densidade demográfica do Estado de São Paulo em 2007 era de,
     aproximadamente, 164 habitantes por quilômetro quadrado.


10.
     a) O PIB per capita brasileiro foi de aproximadamente US$ 5 727,00 por habitante.
     b) O PIB per capita indiano em 2006 foi de aproximadamente US$ 785,00 por
     habitante.


11. Resposta em aberto. Observação: professor, você poderá orientar um debate sobre a
     questão, trazendo algumas informações sobre o significado dessa razão matemática.
     Comente que a medida do PIB per capita representa uma média, não retratando de
     fato a condição econômica da maioria da população de um país. Certamente não é
     real o fato de que cada brasileiro participe da produção nacional anual com o
     equivalente a US$ 5 727,00, ou, expresso em reais de 2006, o equivalente a R$
     12 490,00. Isso se deve ao fato de que existe uma desigualdade de renda no país,
     onde uma minoria da população concentra a maior parte da renda, e essa minoria
     responde por uma parcela proporcionalmente bem menor. Existem outros parâmetros
     para avaliar a condição socioeconômica de uma população, como o Índice de
     Desenvolvimento Humano (IDH), a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida, etc.




Páginas 18 - 19
12.
     a) O número total de possibilidades no lançamento de um dado é 6. O número de
     ocorrências de número par são 3 (2, 4 ou 6). Portanto, a probabilidade de obter um
     número par é de 3 em 6, ou 0,5, ou 50%.


                                                                                          10
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   Já o número de ocorrências de números maiores que 4 são 2 (5 ou 6). Portanto, a
   probabilidade desse evento é de 2 em 6, ou 0,333... ou 33,3 %.
   b) O espaço amostral do lançamento de duas moedas é: cara-cara; cara-coroa;
   coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades). A probabilidade de obter duas coroas é de
   uma em quatro, ou 0,25, ou 25%.
   c) A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 3 em 7, ou 0,429, ou 42,9%.
   A probabilidade de retirar uma bola preta é de 4 em 7, ou 0,571, ou 57,1%.
   d) A probabilidade de retirar uma carta de copas é de 13 em 52, ou 0,25, ou 25%.
   Existem 4 valetes no baralho, um de cada naipe. Portanto, a probabilidade de obter
   um valete é de 4 em 52, ou 0,077, ou 7,7%.




Páginas 19 - 21
13.
   a)


                  Número de      Valor pago em               Razão
                    bolas          reais (R$)          (preço por bola)
             5                  100               100 ÷ 5 = 20
             7                  140               140 ÷ 7 = 20


        Resposta: a razão obtida foi de R$ 20,00 por bola. Há proporcionalidade direta,
        pois a razão de proporcionalidade permaneceu constante.
   b)

              Distância percorrida         Tempo em             Razão
                    em km                    horas           (velocidade)
            120                        1,5               120 ÷ 1,5 = 80
            160                        2                 160 ÷ 2 = 80


        Resposta: a velocidade média nos dois períodos foi de 80 km/h. Há
        proporcionalidade direta, pois a razão de proporcionalidade permaneceu
        constante.

                                                                                          11
GABARITO                   Caderno do Aluno                Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


  c)


                                           Valor pago em            Razão
                Número de rolos
                                             reais (R$)       (preço por rolo)
                4                      3                    3 ÷ 4 = 0,75
                12                     8                    8 ÷ 12 = 0,67



       Resposta: neste caso, não há proporcionalidade, pois a razão obtida em cada
       situação foi diferente: R$ 0,75 por rolo para 4 rolos, e R$ 0,67 por rolo para 12
       rolos.
  d)


                                    Número de xícaras               Razão
           Bolas de sorvete
                                        de leite             (bolas por xícara)

                       3                      2,5                3 ÷ 2,5 = 1,2

                       7                      4                  7 ÷ 4 = 1,75



       Resposta: neste item, precisamos fazer a conversão para uma unidade de volume
       comum. Como 1 xícara equivale a 250 ml, então:
       1 litro = 1 000 ml = 4 . 250 ml = 4 xícaras. Não há proporcionalidade no
       aumento da receita, pois a razão aumentou de 1,2 bola por xícara para 1,75
       bola por xícara.
  e)


                    Quantidade de          Valor em              Razão
                       dólares             reais (R$)      (reais por dólar)

                           20                  36            36 ÷ 20 = 1,80

                           50                  90            90 ÷ 50 = 1,80



       Resposta: sim, há proporcionalidade, pois o preço do dólar foi o mesmo nas duas
       situações, ou seja, R$ 1,80 por dólar.


                                                                                               12
GABARITO               Caderno do Aluno                Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3




Páginas 23 - 24
14. Nesta atividade, o aluno deverá usar a competência leitora para interpretar
   corretamente as frases do texto original. Por exemplo, a frase “a maior largura dos
   ombros contém em si própria a quarta parte do homem” significa que a razão entre a
                                                                     1
   largura dos ombros e a altura do homem é de 1 para 4, ou seja,      = 0,25 = 25%.
                                                                     4

                        Razão entre                         Fração      Decimal         %
                                                               1
     Longitude dos braços e altura                                         1,0         100
                                                               1

     Altura da cabeça e altura                                 1
                                                               8          0,125        12,5

     Largura dos ombros e altura                               1
                                                               4          0,25         25,0

     Distância do cotovelo às axilas e altura                  1
                                                               8          0,125        12,5

     Comprimento da mão e altura                                1
                                                               10          0,1         10,0

     Comprimento do pé e altura                                1
                                                               7          0,143        14,3

     Distância do queixo ao nariz e face                       1
                                                               3         0,333...      33,3

     Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face        1
                                                               3         0,333...      33,3


15. Medidas aproximadas:
   Altura do homem: 10,3 cm.         Longitude dos braços 10,4 cm.
   Altura da cabeça: 1,3 cm.         Largura dos ombros: 2,7 cm.
   Do cotovelo às axilas: 1,3 cm.    Comprimento da mão: 1,1 cm.
   Comprimento do pé: 1,5 cm.        Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos): 1,1
   cm.
   Do queixo ao nariz: 0,3 cm.             Da sobrancelha à raiz dos cabelos: 0,3 cm.


                                                                                            13
GABARITO               Caderno do Aluno               Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


Observação: as medidas têm valores aproximados.

                          Razão entre                                            %
 Longitude dos braços e altura
                                                                              100 %
 Altura da cabeça e altura
                                                                              12,6%
 Largura dos ombros e altura
                                                                              26,2%
 Distância do cotovelo às axilas e altura
                                                                              12,6%
 Comprimento da mão e altura
                                                                              10,7%
 Comprimento do pé e altura
                                                                              14,6%
 Distância do queixo ao nariz e altura da face
                                                                              27,3%
 Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e altura da face
                                                                              27,3%




Página 24
16. Se as medidas forem realizadas com precisão, é provável que as razões obtidas
   pelos alunos fiquem muito próximas das descritas na atividade 4. Talvez seja
   necessário orientar os alunos na identificação de determinadas distâncias entre partes
   do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho traz marcas que ajudam a
   perceber o início e o fim de cada membro. É importante diferenciar o tamanho da
   cabeça do tamanho da face.




                                                                                          14
GABARITO                Caderno do Aluno               Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3




SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

 RAZÕES NA GEOMETRIA




Páginas 26 - 28
1.
     a) Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as dimensões da caravela
     original ocupam 6 quadrados horizontais e 6 quadrados verticais.
     b) A figura IV é a ampliação proporcional da figura da caravela original.




     c) A razão de ampliação da figura original foi de 8 para 6, ou aproximadamente
     1,33.


2. Os desenhos obtidos devem ser os seguintes:




                                                                                           15
GABARITO                   Caderno do Aluno                     Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3



                           Lado l                                         d
        Quadrado                         Diagonal d (cm)        Razão
                            ( cm )                                        l
              Q1              2                  2,8                1,4
              Q2              3                  4,2                1,4
              Q3              6                  8,4                1,4

     Observação: Os valores da tabela são aproximados.
     a) Sim. No quadrado Q3, com medida de lado duplicada em relação ao quadrado
     Q2, a medida da diagonal também duplica, passando de 4,2 cm para 8,4 cm.
     b) A medida da diagonal também triplica, passando de 2,8 cm para 8,4 cm.
     c) Sim, pois em todos os casos a razão entre a diagonal e o lado se aproxima de 1,4.
     É possível que alguns alunos obtenham valores um pouco diferentes de 1,4 para as
     razões. Deve-se discutir com eles que isso se deve ou às imprecisões do desenho ou
     aos erros de medida.
     d) Este item pode ser resolvido por meio de estimativas ou por calculadora. O
     importante é mostrar aos alunos que essa razão é constante para qualquer quadrado e
     que o valor da razão de proporcionalidade obtido (1,4) é, na verdade, uma
     aproximação do valor da raiz quadrada de 2                              
                                                                 2  1,414 . Esse resultado será
     demonstrado nas séries seguintes, por ocasião do estudo do teorema de Pitágoras e
     dos números irracionais.




Página 28
3.

                                     Perímetro
                   Lado l                                                             P           A
     Quadrado                            P         Área A (cm2)           Razão           Razão
                     ( cm )                                                           l           l
                                       ( cm )

         Q1            2                 8              4                         4          2

         Q2            3                12              9                         4          3

         Q3            6                24             36                         4          6
 Observação: Os valores da tabela são aproximados.

                                                                                                      16
GABARITO                   Caderno do Aluno                  Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


     a) Sim, pois aumentando o lado, o perímetro aumentará na mesma proporção. A
     razão perímetro/lado é constante e igual a 4.
     b) Não, pois aumentando o lado, a área não aumentará na mesma proporção. A
     razão área/lado não é constante.
     c) Quando dobramos o lado do quadrado (de 3 cm para 6 cm, por exemplo), a área
     aumenta em quatro vezes (de 9 cm2 para 36 cm2).
     d) Quando triplicamos o lado do quadrado (de 2 cm para 6 cm, por exemplo), a
     área aumenta nove vezes (de 4 cm2 para 36 cm2).




Página 29
4.
a)


            Ângulos        Catetos (cm)
              15º                1,7
              30º                3,8
              60º               11,3

     Observação:      Os     valores    da    tabela   são
     aproximados.




     b) Não, o cateto oposto ao ângulo de 60º é aproximadamente 3 vezes maior que o
     cateto oposto ao ângulo de 30º.
     c) Para o ângulo de 90º não é possível construir um cateto oposto, pois as retas
     seriam paralelas.
     d) Não, pela tabela é possível verificar que os ângulos não são diretamente
     proporcionais aos catetos opostos.

                                                                                                 17
GABARITO                 Caderno do Aluno             Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


Atividade para investigação!

Páginas 31 - 32
5.
     a) Sim. Se os objetos tiverem tamanhos diferentes, as medidas serão diferentes.
     b) Não. Os alunos devem notar que, embora haja diferenças, o valor da razão
     converge para próximo de 3.
     c) A média obtida deve estar próxima de 3,1.
     d) O resultado vai depender das medidas realizadas pelos alunos. É natural que haja
     imprecisões, principalmente na medida da circunferência dos objetos. A
     irregularidade dos objetos escolhidos também pode alterar, para cima ou para baixo,
     o resultado das razões obtidas.




Páginas 32 - 33
6.




P1 = 6,3 cm



                         P2 = 12,6 cm



                                              P3 = 18,9 cm




                                                                                          18
GABARITO                 Caderno do Aluno               Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3



                         Comprimento C        Diâmetro D                  C
     Circunferência                                             Razão
                             ( cm )              ( cm )                   D

             C1                 6,3                2                3,1

             C2                12,6                4                3,1

             C3                18,9                6                3,1

     a) A resposta a esta questão está na tabela anterior.
     b) O comprimento também dobra, passando de 6,3 cm para aproximadamente
     12,6 cm.
     c) O comprimento também triplica, passando de 6,3 cm para aproximadamente
     18,9 cm.
     d) Sim, pois quando aumentamos o diâmetro o comprimento aumenta na mesma
     proporção. Além disso, a razão entre o comprimento e o diâmetro permanece
     constante.




Página 34
7.
     a) O diâmetro da pista circular mede 2 km. Então, o comprimento da pista é
     3,1 . 2 = 6,2 km.
     b) Se o diâmetro da circunferência vale 10 cm, o comprimento será igual a
     3,1 . 10 = 31 cm.
     c) Neste caso, temos o comprimento e precisamos achar o diâmetro. Então, basta
     dividirmos o comprimento de 62 cm por 3,1, obtendo 20 cm, que é o diâmetro da lata
     cilíndrica.
     d) A medida do raio da roda é aproximadamente a medida do aro mais a espessura
     do pneu (40 cm + 3 cm = 43 cm). Como o diâmetro é o dobro do raio, então ele vale
     86 cm. O comprimento da roda é igual a 3,1 . 86 = 266,6 cm. Como a cada pedalada
     a bicicleta percorre a distância equivalente ao comprimento da roda, em 10 pedaladas
     a bicicleta percorrerá 10 . 266,6 cm = 2 666 cm ou 26, 6 metros.


                                                                                            19
GABARITO               Caderno do Aluno             Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3




Páginas 37 - 39
8. (a), (b) e (c).

         Retângulo       Lado maior (cm) Lado menor (cm)                 Razão

              1º                 6,7                4,1                   1,63

              2º                 4,1                2,6                   1,57

              3º                 2,6                1,6                   1,62

              4º                 1,6                1,0                   1,60

           Média                                                          1,60


     d) A média deve se aproximar do valor da razão áurea, podendo ser um pouco
     maior ou menor em razão das imprecisões do desenho e das medidas.


9.




                                                                                        20
GABARITO                 Caderno do Aluno                     Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3



SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

GRÁFICOS DE SETORES E PROPORCIONALIDADE




Páginas 40 - 43
1.
     a)

                   Ângulo central                   Medida dos arcos (cm)

                         30º                                       2

                         45º                                       3

                         90º                                       6

                        150º                                      10



     b) Sim, pois quando duplicamos um ângulo (de 45º para 90º) o arco correspondente
     também dobra (de 3 cm para 6 cm). Além disso, a razão ângulo/arco é constante e
     igual a 15.
     c) Fazendo o cálculo proporcional, obtém-se, aproximadamente, 3,7 cm para a
     medida do arco de 55º.
     d) O ângulo central correspondente é de 112,5º.


2.
     a) Considerando que, em 12 horas, o ponteiro das horas faz um giro completo
                                   1
     (360º), em 1 hora ele fará      de 360º, ou seja, 30º.
                                  12
     b) O ponteiro dos minutos se deslocou 360º, voltando, portanto, ao ponto inicial.




                                                                                                  21
GABARITO                           Caderno do Aluno                                Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


  c)
       I. 12:30                                            II. 12:10
                        12                                                        12
               11              1                                    11                      1


                                     2                     10                                       2
       10


                                                           9                                            3
       9                                 3


                                                                8                                   4
           8                         4

                                                                         7                  5
                    7          5                                                   6
                           6




       III. 2:00                                           IV. 2:30
                        12                                                             12
               11              1                                     11                         1

       10                            2
                                                               10                                           2


       9                                 3
                                                           9                                                    3


           8                         4
                                                                8                                           4
                    7          5
                           6
                                                                             7                  5
                                                                                        6




  d)


                                                                                 Ângulo em relação às 12 horas
                                              Tempo
               Horário
                                             decorrido         Ponteiro das horas                                   Ponteiro dos
                                                                                                                      minutos
                    1:00                     60 minutos
                                                                                   30º                               0o ou 360º
                12:30                        30 minutos
                                                                                   15º                                 180º
                12:10                        10 minutos
                                                                                       5º                               60º
                    2:00                     120 minutos
                                                                                   60º                               0o ou 720º
                    2:30                     150 minutos
                                                                                   75º                              180º ou 900º


  Os valores podem ser obtidos por meio de proporcionalidade direta. Enquanto o
  ponteiro das horas se desloca 360º a cada 12 horas, o ponteiro dos minutos desloca-
  se 360º a cada hora, ou 60 minutos. Em relação ao ponteiro dos minutos, a resposta
  pode contemplar a posição estática (apenas o ângulo em relação à origem) ou o
  deslocamento, que inclui o número de voltas. Por exemplo, no caso das duas 2 horas,


                                                                                                                                  22
GABARITO                           Caderno do Aluno                     Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


      o ponteiro faz um ângulo de 0o com a origem, mas houve um deslocamento de 2
      voltas completas, ou seja, 720º.
      e) Resposta: 6º e 0,5º. Se em 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 30º, então
      em 1 minuto ele se deslocará 0,5º. Já o ponteiro dos minutos, em 60 minutos se
      desloca 360º, portanto, em 1 minuto ele se deslocará 6º.




Páginas 43 - 44
3.
     a) 4:30                                              b) 3:20
                  12                                                         12
         11                1                                   11                     1


 10                                  2                10                                   2


9                                        3                                                      3
                                                      9


     8                              4
                                                           8                               4

              7            5
                   6                                                7                5
                                                                              6

     Ponteiro das horas: 135º
                                                          Ponteiro das horas: 100º
     Ponteiro dos minutos: 180º
                                                          Ponteiro dos minutos:120º

     c) 1:40                                              d) 5:15
                   12                                                        12
         11                    1                               11                     1


 10                                      2            10                                    2



9                                            3        9                                         3



     8                                   4                 8                               4


              7                5                                    7                 5
                       6                                                      6


     Ponteiro das horas: 50º                              Ponteiro das horas: 157,5º

     Ponteiro dos minutos: 240º                           Ponteiro dos minutos: 90º
                                                                                                            23
GABARITO                    Caderno do Aluno              Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3




Páginas 44 - 46
4.
     a)

          Esporte praticado         Número de pessoas         % em relação ao total
                  Futebol                      210
                                                                        50
                  Vôlei                        105
                                                                        25
               Basquete                        63
                                                                        15
                  Corrida                      42
                                                                        10
                   Total                       420                     100


     b) O Gráfico 3. Pode-se observar na tabela que o futebol responde por 50% da
     preferência, o que corresponde a meia circunferência, ou 180º. O vôlei é escolhido
     por 25%, ou seja, um quarto da circunferência, ou 90º. O único gráfico que possui
     esses dois setores circulares (180º e 90º) é o Gráfico 3.
     c) O azul corresponde ao futebol; o violeta, ao vôlei; o creme, ao basquete; e o azul
     claro, à corrida.


5. (a), (b) e (c).

            Local               Ângulo central          %            Número de pessoas
            Praia
                                      144º             40,0                    32
          Montanha
                                      108º             30,0                    24
     Cidades históricas
                                      72º              20,0                    16
           Outros
                                      36º              10,0                     8
            Total                     360º            100,0                    80




                                                                                              24
GABARITO                  Caderno do Aluno                  Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3


6.
     a)

          Programa preferido                  %                    Ângulo central
                Cinema
                                             37,5                        135º
                 Música
                                             25,0                         90º
                 Teatro
                                             16,7                         60º
                 Dança
                                             12,5                         45º
                 Outros
                                              8,3                         30º
                  Total                      100,0
                                                                         360º
      Observação: Os valores da tabela estão aproximados.


     b) Como cada setor corresponde a 15º, então cinema (135º) ocupará 9 setores;
     música (90º) ocupará 6 setores; teatro (60º), 4 setores; dança (45º), 3 setores e outros
     (30º), 2 setores.


                                                        Cinema




     Música

                                                                        Outros




                                                               Dança
                                Teatro




                                                                                                25
GABARITO         Caderno do Aluno        Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3




Página 47
7.
     a)

            Nacionalidade           %                   Ângulo central
             Brasileiros            45
                                                              162º
             Argentinos             25
                                                               90º
              Chilenos              20
                                                               72º
               Outros               10
                                                               36º
                Total               100
                                                              360º


     b)




                                                                             26

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  • 1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE Páginas 3 - 5 1. a) A previsão é consistente, pois pode haver proporcionalidade entre o número de paredes e o tempo gasto para pintá-las. b) Apesar de os números do problema apresentarem proporcionalidade, a situação não permite uma previsão confiável, pois o rendimento de um time não é constante ao longo de um jogo, existindo uma série de outros fatores que influenciam o número de gols. c) A previsão é consistente, pois o tempo de vazão depende do volume de água a ser escoado. Supõe-se, neste caso, que a velocidade de vazão não varie significativamente, podendo ser considerada constante. d) A previsão está errada, pois, mantida a velocidade, o trem deveria percorrer 180 quilômetros. Neste caso, a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem. e) Neste caso, a previsão pode estar correta, pois o valor a ser cobrado pode ser proporcional ao número de horas que o carro ficará estacionado. 2. a) Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra − digamos, passa de 2 a 4 anos −, não é verdade que sua altura também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a altura de uma pessoa aos 40 anos. b) Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro depende da quantidade de litros abastecida. Se para abastecer com 10 litros gastam-se R$ 25,00, o valor para abastecer com o triplo de litros (30 litros) será três vezes maior (R$ 75,00). c) Não. A massa de uma pessoa não é diretamente proporcional à sua idade. 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 d) Sim. O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o seu lado. Se o lado aumenta, o perímetro aumenta proporcionalmente. O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado, sendo a constante de proporcionalidade igual a 4. e) Sim. Um automóvel que desenvolve uma velocidade média de 60 km/h vai percorrer 60 quilômetros em 1 hora. Se dobrarmos a velocidade, a distância percorrida dobrará, na mesma proporção. 3. a) Não. Dificilmente o professor conseguirá manter o mesmo ritmo de trabalho durante 30 horas. b) Não. Mesmo para um atleta, seria impossível manter esse ritmo de corrida por tanto tempo. c) Não. O fato de ela ter lido três livros na semana anterior não garante que ela vá manter o mesmo ritmo de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variáveis, como tamanho do livro, disponibilidade de tempo e dinheiro, disposição, etc. Página 5 4. a) O aumento salarial dado não foi proporcional aos salários, pois embora ele tenha sido o mesmo para os dois funcionários em termos absolutos (R$ 200,00), em termos relativos eles foram diferentes. Os R$ 200,00 de aumento representam metade do salário de João, enquanto para Antônio esse acréscimo representa apenas um quinto de seu salário. A variação para João foi de 600 ÷ 400 = 1,5 (50%), e para Antônio, 1 200 ÷ 1 000 = 1,2 (20%). b) A redução no preço dos dois produtos foi diretamente proporcional aos preços originais. A variação no preço do computador foi de 750 ÷ 1 000 = 0,75, e na impressora, de 300 ÷ 400 = 0,75. Ou seja, ambas foram multiplicadas pelo mesmo fator. 2
  • 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Página 6 5. a) • O tempo gasto é inversamente proporcional ao número de pintores. • O tempo gasto é diretamente proporcional ao número de paredes. Observação: se o número de pintores dobrar, o tempo gasto para pintar uma parede será a metade, etc., ou seja, quanto maior o número de pintores, menor será o tempo gasto para pintar uma parede. O tempo gasto é inversamente proporcional ao número de pintores. Contudo, se o número de paredes dobrar, também dobrará o tempo necessário para concluir o serviço. Portanto, o tempo gasto é diretamente proporcional ao número de paredes. b) • A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. • O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade. Observação: dobrando a velocidade, o automóvel percorrerá o dobro da distância no mesmo tempo. A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. Por outro lado, se a velocidade média for a metade, o tempo gasto para percorrer a mesma distância dobrará. O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade. Página 7 6. Observação: há outras soluções para os duplex. TIA POR LISO POETA TUA PAR PISO PONTA MAR PESO PONTO PESA TONTO TANTO LUA MAL PENA TANGO 3
  • 4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Páginas 9 - 10 7. 8. Resposta: o menor preço pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra a tabela. Observação: neste caso, os alunos deverão perceber que, quanto maior o preço, menor a quantidade de bolas que se pode comprar com a mesma quantia em dinheiro. Portanto, a variação entre as grandezas é inversamente proporcional, pois o que se mantém constante não é a razão, mas o produto entre elas. 6 . 24 = 12 . 12 = 4 . 36 = 2 . 72 = 24 . 6 = 1 . 144 = 72 . 2 = 144. 4
  • 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 9. a) Fixando-se o tempo de trabalho, a produção de cabos é diretamente proporcional ao número de operários. Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produção é inversamente proporcional ao número de operários. Fixando-se o número de operários, a quantidade de cabos é diretamente proporcional ao tempo de produção. b) Produção de Número de Tempo de produção cabos (m) operários (dias) 1 000 24 6 2 000 24 12 2 000 48 6 500 12 6 500 24 3 500 6 12 250 3 12 125 3 6 1 250 30 6 1 250 10 18 Resposta: serão necessários 18 dias. Observação: professor, comente com os alunos que, em cada linha, há uma grandeza que permanece constante, enquanto as demais variam, de forma direta ou inversamente proporcional. Na segunda linha, considerando o mesmo número de operários, para produzir o dobro da metragem de cabos será necessário o dobro do tempo, uma vez que se tratam de grandezas diretamente proporcionais. 5
  • 6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Página 11 10. a) A produção de pias é diretamente proporcional ao número de funcionários. O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de funcionários. O tempo de produção é diretamente proporcional ao número de pias a ser produzidas. A produção de pias é diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas por dia. O número de funcionários é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas. O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas. b) Um possível caminho é o seguinte: Produção de Número de Tempo de Número de horas pias funcionários produção (dias) trabalhadas por dia 180 15 12 10 180 15 60 2 180 15 15 8 180 5 45 8 180 25 9 8 540 25 27 8 Resposta: serão necessários 27 dias de produção. 6
  • 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 RAZÃO E PROPORÇÃO Páginas 13 - 15 1. Resposta em aberto. Muitas interpretações deverão surgir, uma vez que esse conceito está extremamente disseminado em nossa língua e assume inúmeros significados, de acordo com os contextos em que aparece. Neste primeiro momento, pode ser que o conceito matemático de razão não apareça nas respostas dos alunos. 2. Professor, utilize o dicionário disponível em sua escola. 3. Deve-se enfatizar o fato de que a palavra “razão” adquire um significado específico no âmbito da Matemática. Ela representa a relação existente entre dois números a e b a a é apresentada na forma e b ≠ 0. Assim, se a razão é igual a c, isso significa que b b a = b . c. É importante diferenciar o conceito de razão do de fração. A fração é uma forma de expressar a razão entre dois números inteiros. Assim, toda fração é também uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. É bom lembrar que os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, e o número , que é irracional, representa a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. 4. a) A razão 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centésimos). Em porcentagem, a razão é 2%. b) A razão 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 décimos), que equivale a 0,60 (60 centésimos), ou seja, 60%. c) A razão 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centésimos), ou seja, 8%. 7
  • 8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 d) A razão 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centésimos e 2 milésimos), ou seja, 7,2 %. e) A razão 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centésimos), ou seja, 55%. 5. Resposta em aberto. De um modo geral, escala é a razão entre a medida de um objeto representado em um desenho e a medida correspondente ao objeto real. É importante que se destaque que a escala é um tipo especial de razão matemática. No caso dos mapas, por exemplo, a escala é a razão entre a medida de uma região representada em um desenho e a medida correspondente à região real. Geralmente, um mapa traz essa informação para facilitar a transposição da medida do desenho para a medida do real. Um mapa construído na escala 1 : 100 000 indica que cada unidade de comprimento no desenho é, na realidade, cem mil vezes maior. 6. a) A distância entre Brasília e Rio de Janeiro no mapa é de aproximadamente 4 cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na realidade, então 4 cm corresponderão a 120 milhões de centímetros. Convertendo para quilômetros, obtemos o resultado de 1 200 quilômetros, que é muito próximo ao valor real (1 148 km). b) A distância entre Florianópolis e Brasília no mapa é de aproximadamente 5,5 cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na realidade, então 5,5 cm corresponderão a 165 milhões de centímetros. Convertendo para quilômetros, obtemos o resultado de 1 650 quilômetros, que é muito próximo ao valor real (1 673 km). Observações: professor, você pode discutir com os alunos o fato de que as diferenças observadas devem-se, provavelmente, a aproximações e erros de medida ou à imprecisão do desenho. Outro aspecto a ser considerado na leitura de mapas de regiões da Terra é que eles retratam a transposição de uma superfície esférica para uma superfície plana. Assim, algum tipo de imprecisão é inerente a qualquer mapa da superfície terrestre, dependendo do tipo de projeção usada para transpor as informações da esfera para o plano. Duas são as possibilidades: se quisermos preservar os ângulos, as distâncias são alteradas; se quisermos preservar as distâncias, os ângulos é que são alterados. 8
  • 9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Assim, para os pilotos de aviões e navios, o importante é preservar o ângulo, perdendo-se a precisão nas medidas de distância. Em alguns tipos de projeção, a forma é preservada localmente, facilitando a interpretação das distâncias em escala. Páginas 15 - 16 7. a) A velocidade média é a razão entre o deslocamento − de 530 km − e o intervalo de tempo para efetuá-lo, ou seja, 6 horas. Portanto, a velocidade média nesse caso é de aproximadamente 88 km/h. b) Se o coração dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos, em 1 segundo ele baterá 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes. Portanto, a pulsação é de 72 batimentos por minuto. c) Como 12 megabytes é igual a 12 000 quilobytes, então a velocidade de transmissão será igual a 12 000 ÷ 30 = 400 kbps, ou seja, 400 quilobytes por segundo. Página 16 8. Densidade de um material é a quantidade de massa existente em cada unidade de seu volume. Ou seja, é a razão entre a massa e o volume de um corpo. A unidade mais usada para expressar a densidade de um material é o grama por centímetro cúbico (g/cm3). Por exemplo, a densidade da água é de 1 grama por centímetro cúbico (g/cm3). De modo análogo, a densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes que vivem em uma região e sua área. 9
  • 10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Páginas 16 - 17 9. a) A densidade dessa substância é de aproximadamente 0,67 g/cm3. b) A densidade demográfica do Estado de São Paulo em 2007 era de, aproximadamente, 164 habitantes por quilômetro quadrado. 10. a) O PIB per capita brasileiro foi de aproximadamente US$ 5 727,00 por habitante. b) O PIB per capita indiano em 2006 foi de aproximadamente US$ 785,00 por habitante. 11. Resposta em aberto. Observação: professor, você poderá orientar um debate sobre a questão, trazendo algumas informações sobre o significado dessa razão matemática. Comente que a medida do PIB per capita representa uma média, não retratando de fato a condição econômica da maioria da população de um país. Certamente não é real o fato de que cada brasileiro participe da produção nacional anual com o equivalente a US$ 5 727,00, ou, expresso em reais de 2006, o equivalente a R$ 12 490,00. Isso se deve ao fato de que existe uma desigualdade de renda no país, onde uma minoria da população concentra a maior parte da renda, e essa minoria responde por uma parcela proporcionalmente bem menor. Existem outros parâmetros para avaliar a condição socioeconômica de uma população, como o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH), a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida, etc. Páginas 18 - 19 12. a) O número total de possibilidades no lançamento de um dado é 6. O número de ocorrências de número par são 3 (2, 4 ou 6). Portanto, a probabilidade de obter um número par é de 3 em 6, ou 0,5, ou 50%. 10
  • 11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Já o número de ocorrências de números maiores que 4 são 2 (5 ou 6). Portanto, a probabilidade desse evento é de 2 em 6, ou 0,333... ou 33,3 %. b) O espaço amostral do lançamento de duas moedas é: cara-cara; cara-coroa; coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades). A probabilidade de obter duas coroas é de uma em quatro, ou 0,25, ou 25%. c) A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 3 em 7, ou 0,429, ou 42,9%. A probabilidade de retirar uma bola preta é de 4 em 7, ou 0,571, ou 57,1%. d) A probabilidade de retirar uma carta de copas é de 13 em 52, ou 0,25, ou 25%. Existem 4 valetes no baralho, um de cada naipe. Portanto, a probabilidade de obter um valete é de 4 em 52, ou 0,077, ou 7,7%. Páginas 19 - 21 13. a) Número de Valor pago em Razão bolas reais (R$) (preço por bola) 5 100 100 ÷ 5 = 20 7 140 140 ÷ 7 = 20 Resposta: a razão obtida foi de R$ 20,00 por bola. Há proporcionalidade direta, pois a razão de proporcionalidade permaneceu constante. b) Distância percorrida Tempo em Razão em km horas (velocidade) 120 1,5 120 ÷ 1,5 = 80 160 2 160 ÷ 2 = 80 Resposta: a velocidade média nos dois períodos foi de 80 km/h. Há proporcionalidade direta, pois a razão de proporcionalidade permaneceu constante. 11
  • 12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 c) Valor pago em Razão Número de rolos reais (R$) (preço por rolo) 4 3 3 ÷ 4 = 0,75 12 8 8 ÷ 12 = 0,67 Resposta: neste caso, não há proporcionalidade, pois a razão obtida em cada situação foi diferente: R$ 0,75 por rolo para 4 rolos, e R$ 0,67 por rolo para 12 rolos. d) Número de xícaras Razão Bolas de sorvete de leite (bolas por xícara) 3 2,5 3 ÷ 2,5 = 1,2 7 4 7 ÷ 4 = 1,75 Resposta: neste item, precisamos fazer a conversão para uma unidade de volume comum. Como 1 xícara equivale a 250 ml, então: 1 litro = 1 000 ml = 4 . 250 ml = 4 xícaras. Não há proporcionalidade no aumento da receita, pois a razão aumentou de 1,2 bola por xícara para 1,75 bola por xícara. e) Quantidade de Valor em Razão dólares reais (R$) (reais por dólar) 20 36 36 ÷ 20 = 1,80 50 90 90 ÷ 50 = 1,80 Resposta: sim, há proporcionalidade, pois o preço do dólar foi o mesmo nas duas situações, ou seja, R$ 1,80 por dólar. 12
  • 13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Páginas 23 - 24 14. Nesta atividade, o aluno deverá usar a competência leitora para interpretar corretamente as frases do texto original. Por exemplo, a frase “a maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem” significa que a razão entre a 1 largura dos ombros e a altura do homem é de 1 para 4, ou seja, = 0,25 = 25%. 4 Razão entre Fração Decimal % 1 Longitude dos braços e altura 1,0 100 1 Altura da cabeça e altura 1 8 0,125 12,5 Largura dos ombros e altura 1 4 0,25 25,0 Distância do cotovelo às axilas e altura 1 8 0,125 12,5 Comprimento da mão e altura 1 10 0,1 10,0 Comprimento do pé e altura 1 7 0,143 14,3 Distância do queixo ao nariz e face 1 3 0,333... 33,3 Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face 1 3 0,333... 33,3 15. Medidas aproximadas: Altura do homem: 10,3 cm. Longitude dos braços 10,4 cm. Altura da cabeça: 1,3 cm. Largura dos ombros: 2,7 cm. Do cotovelo às axilas: 1,3 cm. Comprimento da mão: 1,1 cm. Comprimento do pé: 1,5 cm. Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos): 1,1 cm. Do queixo ao nariz: 0,3 cm. Da sobrancelha à raiz dos cabelos: 0,3 cm. 13
  • 14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Observação: as medidas têm valores aproximados. Razão entre % Longitude dos braços e altura 100 % Altura da cabeça e altura 12,6% Largura dos ombros e altura 26,2% Distância do cotovelo às axilas e altura 12,6% Comprimento da mão e altura 10,7% Comprimento do pé e altura 14,6% Distância do queixo ao nariz e altura da face 27,3% Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e altura da face 27,3% Página 24 16. Se as medidas forem realizadas com precisão, é provável que as razões obtidas pelos alunos fiquem muito próximas das descritas na atividade 4. Talvez seja necessário orientar os alunos na identificação de determinadas distâncias entre partes do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho traz marcas que ajudam a perceber o início e o fim de cada membro. É importante diferenciar o tamanho da cabeça do tamanho da face. 14
  • 15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 RAZÕES NA GEOMETRIA Páginas 26 - 28 1. a) Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as dimensões da caravela original ocupam 6 quadrados horizontais e 6 quadrados verticais. b) A figura IV é a ampliação proporcional da figura da caravela original. c) A razão de ampliação da figura original foi de 8 para 6, ou aproximadamente 1,33. 2. Os desenhos obtidos devem ser os seguintes: 15
  • 16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Lado l d Quadrado Diagonal d (cm) Razão ( cm ) l Q1 2 2,8 1,4 Q2 3 4,2 1,4 Q3 6 8,4 1,4 Observação: Os valores da tabela são aproximados. a) Sim. No quadrado Q3, com medida de lado duplicada em relação ao quadrado Q2, a medida da diagonal também duplica, passando de 4,2 cm para 8,4 cm. b) A medida da diagonal também triplica, passando de 2,8 cm para 8,4 cm. c) Sim, pois em todos os casos a razão entre a diagonal e o lado se aproxima de 1,4. É possível que alguns alunos obtenham valores um pouco diferentes de 1,4 para as razões. Deve-se discutir com eles que isso se deve ou às imprecisões do desenho ou aos erros de medida. d) Este item pode ser resolvido por meio de estimativas ou por calculadora. O importante é mostrar aos alunos que essa razão é constante para qualquer quadrado e que o valor da razão de proporcionalidade obtido (1,4) é, na verdade, uma aproximação do valor da raiz quadrada de 2   2  1,414 . Esse resultado será demonstrado nas séries seguintes, por ocasião do estudo do teorema de Pitágoras e dos números irracionais. Página 28 3. Perímetro Lado l P A Quadrado P Área A (cm2) Razão Razão ( cm ) l l ( cm ) Q1 2 8 4 4 2 Q2 3 12 9 4 3 Q3 6 24 36 4 6 Observação: Os valores da tabela são aproximados. 16
  • 17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 a) Sim, pois aumentando o lado, o perímetro aumentará na mesma proporção. A razão perímetro/lado é constante e igual a 4. b) Não, pois aumentando o lado, a área não aumentará na mesma proporção. A razão área/lado não é constante. c) Quando dobramos o lado do quadrado (de 3 cm para 6 cm, por exemplo), a área aumenta em quatro vezes (de 9 cm2 para 36 cm2). d) Quando triplicamos o lado do quadrado (de 2 cm para 6 cm, por exemplo), a área aumenta nove vezes (de 4 cm2 para 36 cm2). Página 29 4. a) Ângulos Catetos (cm) 15º 1,7 30º 3,8 60º 11,3 Observação: Os valores da tabela são aproximados. b) Não, o cateto oposto ao ângulo de 60º é aproximadamente 3 vezes maior que o cateto oposto ao ângulo de 30º. c) Para o ângulo de 90º não é possível construir um cateto oposto, pois as retas seriam paralelas. d) Não, pela tabela é possível verificar que os ângulos não são diretamente proporcionais aos catetos opostos. 17
  • 18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Atividade para investigação! Páginas 31 - 32 5. a) Sim. Se os objetos tiverem tamanhos diferentes, as medidas serão diferentes. b) Não. Os alunos devem notar que, embora haja diferenças, o valor da razão converge para próximo de 3. c) A média obtida deve estar próxima de 3,1. d) O resultado vai depender das medidas realizadas pelos alunos. É natural que haja imprecisões, principalmente na medida da circunferência dos objetos. A irregularidade dos objetos escolhidos também pode alterar, para cima ou para baixo, o resultado das razões obtidas. Páginas 32 - 33 6. P1 = 6,3 cm P2 = 12,6 cm P3 = 18,9 cm 18
  • 19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Comprimento C Diâmetro D C Circunferência Razão ( cm ) ( cm ) D C1 6,3 2 3,1 C2 12,6 4 3,1 C3 18,9 6 3,1 a) A resposta a esta questão está na tabela anterior. b) O comprimento também dobra, passando de 6,3 cm para aproximadamente 12,6 cm. c) O comprimento também triplica, passando de 6,3 cm para aproximadamente 18,9 cm. d) Sim, pois quando aumentamos o diâmetro o comprimento aumenta na mesma proporção. Além disso, a razão entre o comprimento e o diâmetro permanece constante. Página 34 7. a) O diâmetro da pista circular mede 2 km. Então, o comprimento da pista é 3,1 . 2 = 6,2 km. b) Se o diâmetro da circunferência vale 10 cm, o comprimento será igual a 3,1 . 10 = 31 cm. c) Neste caso, temos o comprimento e precisamos achar o diâmetro. Então, basta dividirmos o comprimento de 62 cm por 3,1, obtendo 20 cm, que é o diâmetro da lata cilíndrica. d) A medida do raio da roda é aproximadamente a medida do aro mais a espessura do pneu (40 cm + 3 cm = 43 cm). Como o diâmetro é o dobro do raio, então ele vale 86 cm. O comprimento da roda é igual a 3,1 . 86 = 266,6 cm. Como a cada pedalada a bicicleta percorre a distância equivalente ao comprimento da roda, em 10 pedaladas a bicicleta percorrerá 10 . 266,6 cm = 2 666 cm ou 26, 6 metros. 19
  • 20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Páginas 37 - 39 8. (a), (b) e (c). Retângulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razão 1º 6,7 4,1 1,63 2º 4,1 2,6 1,57 3º 2,6 1,6 1,62 4º 1,6 1,0 1,60 Média 1,60 d) A média deve se aproximar do valor da razão áurea, podendo ser um pouco maior ou menor em razão das imprecisões do desenho e das medidas. 9. 20
  • 21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 GRÁFICOS DE SETORES E PROPORCIONALIDADE Páginas 40 - 43 1. a) Ângulo central Medida dos arcos (cm) 30º 2 45º 3 90º 6 150º 10 b) Sim, pois quando duplicamos um ângulo (de 45º para 90º) o arco correspondente também dobra (de 3 cm para 6 cm). Além disso, a razão ângulo/arco é constante e igual a 15. c) Fazendo o cálculo proporcional, obtém-se, aproximadamente, 3,7 cm para a medida do arco de 55º. d) O ângulo central correspondente é de 112,5º. 2. a) Considerando que, em 12 horas, o ponteiro das horas faz um giro completo 1 (360º), em 1 hora ele fará de 360º, ou seja, 30º. 12 b) O ponteiro dos minutos se deslocou 360º, voltando, portanto, ao ponto inicial. 21
  • 22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 c) I. 12:30 II. 12:10 12 12 11 1 11 1 2 10 2 10 9 3 9 3 8 4 8 4 7 5 7 5 6 6 III. 2:00 IV. 2:30 12 12 11 1 11 1 10 2 10 2 9 3 9 3 8 4 8 4 7 5 6 7 5 6 d) Ângulo em relação às 12 horas Tempo Horário decorrido Ponteiro das horas Ponteiro dos minutos 1:00 60 minutos 30º 0o ou 360º 12:30 30 minutos 15º 180º 12:10 10 minutos 5º 60º 2:00 120 minutos 60º 0o ou 720º 2:30 150 minutos 75º 180º ou 900º Os valores podem ser obtidos por meio de proporcionalidade direta. Enquanto o ponteiro das horas se desloca 360º a cada 12 horas, o ponteiro dos minutos desloca- se 360º a cada hora, ou 60 minutos. Em relação ao ponteiro dos minutos, a resposta pode contemplar a posição estática (apenas o ângulo em relação à origem) ou o deslocamento, que inclui o número de voltas. Por exemplo, no caso das duas 2 horas, 22
  • 23. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 o ponteiro faz um ângulo de 0o com a origem, mas houve um deslocamento de 2 voltas completas, ou seja, 720º. e) Resposta: 6º e 0,5º. Se em 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 30º, então em 1 minuto ele se deslocará 0,5º. Já o ponteiro dos minutos, em 60 minutos se desloca 360º, portanto, em 1 minuto ele se deslocará 6º. Páginas 43 - 44 3. a) 4:30 b) 3:20 12 12 11 1 11 1 10 2 10 2 9 3 3 9 8 4 8 4 7 5 6 7 5 6 Ponteiro das horas: 135º Ponteiro das horas: 100º Ponteiro dos minutos: 180º Ponteiro dos minutos:120º c) 1:40 d) 5:15 12 12 11 1 11 1 10 2 10 2 9 3 9 3 8 4 8 4 7 5 7 5 6 6 Ponteiro das horas: 50º Ponteiro das horas: 157,5º Ponteiro dos minutos: 240º Ponteiro dos minutos: 90º 23
  • 24. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Páginas 44 - 46 4. a) Esporte praticado Número de pessoas % em relação ao total Futebol 210 50 Vôlei 105 25 Basquete 63 15 Corrida 42 10 Total 420 100 b) O Gráfico 3. Pode-se observar na tabela que o futebol responde por 50% da preferência, o que corresponde a meia circunferência, ou 180º. O vôlei é escolhido por 25%, ou seja, um quarto da circunferência, ou 90º. O único gráfico que possui esses dois setores circulares (180º e 90º) é o Gráfico 3. c) O azul corresponde ao futebol; o violeta, ao vôlei; o creme, ao basquete; e o azul claro, à corrida. 5. (a), (b) e (c). Local Ângulo central % Número de pessoas Praia 144º 40,0 32 Montanha 108º 30,0 24 Cidades históricas 72º 20,0 16 Outros 36º 10,0 8 Total 360º 100,0 80 24
  • 25. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 6. a) Programa preferido % Ângulo central Cinema 37,5 135º Música 25,0 90º Teatro 16,7 60º Dança 12,5 45º Outros 8,3 30º Total 100,0 360º Observação: Os valores da tabela estão aproximados. b) Como cada setor corresponde a 15º, então cinema (135º) ocupará 9 setores; música (90º) ocupará 6 setores; teatro (60º), 4 setores; dança (45º), 3 setores e outros (30º), 2 setores. Cinema Música Outros Dança Teatro 25
  • 26. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3 Página 47 7. a) Nacionalidade % Ângulo central Brasileiros 45 162º Argentinos 25 90º Chilenos 20 72º Outros 10 36º Total 100 360º b) 26