O documento discute a transformada de Fourier de sinais periódicos amostrados. Ele apresenta: (1) o espectro de Fourier de um sinal base x(t); (2) a frequência mínima de amostragem para x(t) sem aliasing; (3) o espectro de x(t) modulado por um trem de impulsos; e (4) o espectro da saída de um sistema linear invariante no tempo com entrada x(t) modulado.

1. Considere um sinal periódico 𝑥(𝑡) = 1 +
1
2
sen(𝜋𝑡) +
1
4
sen⁡(2𝜋𝑡)
a) Faça um esboço do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥(𝑡).
b) Para fazer amostragem de 𝑥(𝑡), qual é a mínima frequência de amostragem
que é possível usar sem gerar aliasing? Responder com um valor numérico e
mostrar a justificativa usando o gráfico gerado no item anterior.
c) Seja 𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑝(𝑡) onde p(𝑡) é um trem de impulsos com período 𝑇 = 2/3.
Faça um esboço gráfico do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥̂(𝑡).
d) Em seguida, 𝑥̂(𝑡) é utilizado como entrada de um sistema 𝐻 (linear e invariante
no tempo) que tem as seguintes características: |𝐻(𝑗𝜔)| = {
𝑇, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| <
𝜋
𝑇
0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| ≥
𝜋
𝑇
, e ∠𝐻(𝑗𝜔) = 0, ∀𝜔, gerando a saída 𝑔(𝑡). Faça um esboço gráfico do modulo
da transformada de Fourier de 𝑔(𝑡).
Respostas:
a) Faça um esboço do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥(𝑡).
𝑥(𝑡) = 1 +
1
2
sen(𝜋𝑡) +
1
4
sen⁡(2𝜋𝑡)
sen(𝜔0 𝑡) =
1
2𝑗
𝑒 𝑗𝜔0 𝑡
−
1
2𝑗
𝑒−𝑗𝜔0 𝑡
Série de Fourier:
𝑥(𝑡) = 1 +
1
4𝑗
𝑒 𝑗𝜋𝑡
−
1
4𝑗
𝑒−𝑗𝜋𝑡
+
1
8𝑗
𝑒 𝑗2𝜋𝑡
−
1
8𝑗
𝑒−𝑗2𝜋𝑡
Coeficientes da série:
𝑎0 = 1; 𝑎1 =
1
4𝑗
; 𝑎−1 = −
1
4𝑗
; 𝑎2 =
1
8𝑗
; 𝑎−2 = −
1
8𝑗
Transformada de Fourier relacionada com os coeficientes da Série de Fourier:
𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 2𝜋𝑎 𝑘 𝛿(𝜔 − 𝑘𝜔0)
∞
𝑘=−∞
onde a frequência natural é 𝜔0 = 𝜋
Para 𝑘 = 0, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(2𝜋)2 = 2𝜋
Para 𝑘 = 1, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(
2𝜋
4
)
2
=
𝜋
2

2. Para 𝑘 = −1, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(−
2𝜋
4
)
2
=
𝜋
2
Para 𝑘 = 2, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(
2𝜋
8
)
2
=
𝜋
4
Para 𝑘 = −2, |𝑋(𝑗𝜔)| = √(−
2𝜋
8
)
2
=
𝜋
4
Gráfico do módulo da transformada de Fourier
b) Para fazer amostragem de 𝑥(𝑡), qual é a mínima frequência de amostragem
que é possível usar sem gerar aliasing? Responder com um valor numérico e
mostrar a justificativa usando o gráfico gerado no item anterior.
O teorema da amostragem requer explicitamente que a frequência de
amostragem seja maior que o dobro da frequência mais alta do sinal
𝜔𝑠 > 2𝜔 𝑀
𝜔 𝑀 = 2𝜋
𝜔𝑠 > 4𝜋

3. c) Seja 𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑝(𝑡) onde 𝑝(𝑡) é um trem de impulsos com período 𝑇 = 2/3.
Faça um esboço gráfico do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥̂(𝑡).
Trem de impulsos
𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇)
∞
𝑘=−∞
𝑃(𝑗𝜔) =
2𝜋
𝑇
∑ 𝛿 (𝜔 −
2𝜋𝑘
𝑇
)
∞
𝑘=−∞
𝑃(𝑗𝜔) = 3𝜋 ∑ 𝛿(𝜔 − 3𝜋𝑘)
∞
𝑘=−∞
𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑝(𝑡)
𝑋̂(𝑗𝜔) =
1
2𝜋
𝑋(𝑗𝜔) ∗ 𝑃(𝑗𝜔)
|𝑋̂(𝑗𝜔)| =
1
2𝜋
|𝑋(𝑗𝜔)| ∗ |𝑃(𝑗𝜔)|
Note que ocorre aliasing, 𝜔𝑠 = 3𝜋

4. Gráfico do módulo da transformada de Fourier do sinal 𝑥̂(𝑡)
d) Em seguida, 𝑥̂(𝑡) é utilizado como entrada de um sistema 𝐻 (linear e invariante no
tempo) que tem as seguintes características: |𝐻(𝑗𝜔)| = {
𝑇, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| <
𝜋
𝑇
0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜔| ≥
𝜋
𝑇
, e
∠𝐻(𝑗𝜔) = 0, ∀𝜔, gerando a saída 𝑔(𝑡). Faça um esboço gráfico do modulo da
transformada de Fourier de 𝑔(𝑡).
𝑔(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥̂(𝑡)
𝐺(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔) ∙ 𝑋̂(𝑗𝜔)
|𝐺(𝑗𝜔)| = |𝐻(𝑗𝜔)| ∙ |𝑋̂(𝑗𝜔)|

5. Gráfico do módulo da transformada de Fourier da saída 𝑔(𝑡)