Derivação e integração

7.296 visualizações

Publicada em

Um resumo básico sobre as operações de derivação e integração. Fiz para estudar para a disci

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Derivação e integração

  1. 1. 1 Funções de Uma VariávelDerivaçãoDefinição: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1. ( )2. ( )3. ( )4. ( )5. ( )6. ( )7. ( )8. ( )9. ( )10. ( )11., ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12.0 ( ) 1 , ( )-13. Regra da CadeiaNa notação de Newton: ( ) , ( ( )- ( ( )) ( )Na notação de Leibniz:Teorema sobre continuidade e derivabilidadeSe f for derivável em p, então f será contínua em p.Ou, equivalentemente, a contra-positiva:Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p.Integração1. ∫ ( ) Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  2. 2. 22. ∫3. ∫4. ∫5. ∫6. ∫7. ∫8. ∫9. ∫ ( ) ( )10. ∫ ( ) ( )11. ∫12. ∫13. ∫ √Teorema fundamental do Cálculo1. Se f é contínua em [a,b], então a função g, definida por ( ) ∫ ( ) ( )é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g’(x) = f (x).2. Se f é contínua em [a,b], então ∫ ( ) ( ) ( )onde F é qualquer primitiva de f, id est, uma função tal que F’ = f.ÁreasA área S limitada pela região da reta x = b, x = a, y = 0 e y = f (x), onde f (x) é contínuaem [a,b], é ∫ ( )A área S da região limitada pelas curvas y = f (x), y = g (x), e pelas retas y = b e y = a,onde f e g são contínuas e f (x) ≥ g (x) para todo x em [a,b], é ∫ , ( ) ( )- Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  3. 3. 3Integração por partes∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )Exercícios1. Seja ( ) . Prove que ( ) .Pela definição de derivada temos: ( ) ( )Resolução do limite em vermelho:Tomando: , temos entãoAplicando logaritmo natural em ambos os lados: ( ) ( ) ( )Quando , então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]Portanto, ( ) Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  4. 4. 42. Seja ( ) . Prove que ( ) .Pela definição de derivada: ( ) . / . / ( ) ( ) ( ) * ( ) + ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]3. Seja ( ) ( ) . f é contínua e diferenciável em 1?f é contínua em 1 se ( ) ( )Calculando o limite, utilizando os limites laterais: ( ) ( ) ( )Portanto, existe ( ) e é igual a ( ), então a função é contínua no ponto 1. ( ) ( )f é diferenciável no ponto 1 se o limite existir.Para ( ) ( ) ( )( ) ( ) Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  5. 5. 5Para ( ) ( )Conclusão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e portanto, f não é diferenciável no ponto 1.4. Seja ( ) ( ) . f é contínua e derivável em 0? ( ) ( )f é derivável no ponto 0 se o limite existir.Para ( ) ( )Para ( ) ( )Conclusão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e, portanto, f é diferenciável no ponto 0. Logo, se é diferenciável, é também contínua nomesmo ponto.5. Use as regras de derivação para calcular f’(x). ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1. ( ) ( ) , - , -2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )3. ( ) √ √ ( ) √ √4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( )- ( ) ( ) ( ) Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  6. 6. 65. ( ) , ( )- ( ) ( )* , ( )-+ ( )* , ( )-+ ( ) , ( )- * , ( )-+ , ( )-( ) , ( )- , ( )- , ( ) ( )-( ) , ( )- , ( )- , - ( ) , ( )- ( ) , ( )-6. Calcule:1. ∫ . / ∫( )2. ∫ . / ∫( )3. ∫( √ ) ∫( ) √4. ∫ . / ∫( )5. ∫ ( ) ( ) ( )6. ∫ ( ) ( ( ))7. ∫ ∫. /8. ∫( )7. Calcule: ( ) √1. ∫ ( ) 0 1 ( ) . /2. ∫ ( ) , -3. ∫ ∫ * + , √ - ( √ ) ( √ ) √ Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  7. 7. 74. ∫ ∫ . / ∫ ( ) 0 1 0 1. / . /5. ∫ ∫ . / ∫ ( ) , - , -. / . /8. Calcule, usando mudança de variável:1. ∫Fazendo , temos: ( )Portanto:∫ ∫ ∫ , - ( )2. ∫ √Fazendo , temos ( )Portanto:∫ √ ∫ √ ∫ √ [ √ ] ( √ √ ) √ √ ( √ √ ) √ √3. ∫ √Fazendo , temos ( )Portanto:∫ √ ∫ √ ∫ √Observação: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  8. 8. 8 ∫√ ∫√ (√ ) (√ ) √ (√ ) | √ (√ ) | (√ ) √ (√ ) √Regra geral: ∫√ √ | √ |onde, . √ /4. ∫ √Fazendo: , temos ( )Portanto: ∫ √ ∫ ( ) √ ∫ ( ) ∫ ( ) [ ] ( )5. ∫ ( )Fazendo , temos ( )Portanto:∫ ( ) ∫ ∫ * + ( )6. ∫Tomando , temos que ( )Portanto: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  9. 9. 9∫ ∫ ∫ , - ( ) ( )9. Calcule (usando integração por partes):1. ∫Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )∫ ∫ ( )2. ∫Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )Calculando ∫ ( ) por partes:Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( ) ∫ ( ) ∫Portanto: ∫10. Calcule:1. ∫ Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  10. 10. 10O grau do numerador é estritamente menor do que o do denominador, portanto, existe Ae B, tal que ( ) ( ) ( )( )Então: ( ) ( )Fazendo , temos: ( )Fazendo , temos: ( )Logo: ∫ ∫( )2. ∫Fazendo a divisão , temos quociente ( ) e resto ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Como ( ) ( ) ( ) ( ), então ( ) ( ) ( ) ( )Logo,e ∫ ∫( ) ∫( )Calculando, agora, os valores de A e B: ( ) ( ) ( )( )Tem-se: ( ) ( )Fazendo , temos: ( ) ( )Fazendo , temos: ( ) ( )Portanto:Por consequência: ∫( ) ∫( ) Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  11. 11. 11Voltando à integral que se quer calcular:∫ ( )3. ∫ ( )Fazendo , tem-se ( ) ( )∫ ∫ ∫ ( ) ∫( )Portanto: ( )∫ ( ) ( )4. ∫Fazendo a divisão dos polinômios, obtêm-se ( ) e ( ) .Portanto, ( )( )A fração equivale a e pode ser escrita da forma ( )( )Logo, ( )( ) ( ) ( ) ( )( )e, ( )( ) ( ) ( )Fazendo temos ( )( )Fazendo temos ( )( )Fazendo temos ( )( )Então:Calculando a integral: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  12. 12. 12 ∫ ∫* +5. ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )Fazendo , teremos ( )Então: ( ) ∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC

×