Integração de funções trigonométricas e funçõs trigonométricas inversas. Exercícios resolvidos

1. numerosnamente 1
Integrais Indefinidos
Parte 2: Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas
-Exercícios resolvidos-
Calcule os integrais:
a ) ∫ s ( )
Resolução:
∫ s ( ) Note que a derivada de ( s( )) s ( ) ; Assim tem-se:
∫ s ( ) ∫ s ( ) ( )
s( )
b) ∫ s( )
Resolução:
∫ s( ) ∫ s( ) N te de a der vada de (s ( )) s( ); tem-se:
∫ s( ) ∫ s( ) ∫ s( )
s ( )
c) ∫ s ( )
Resolução:
∫ s ( ) ∫ s ( )
s( )
d) ∫ ta ( )
Resolução:
∫ ta ( ) ∫
( )
( )
N te que a der vada de ( ( s( ))
( )
( )
; tem-se:
∫
s ( )
s( )
∫
( ) s ( )
s( )
| s( )|

2. numerosnamente 2
e) ∫ s( )
Resolução:
∫ s( ) s ( )
f) ∫ s ( )
Resolução:
∫ s ( ) te que a der vada de ( s( )) ( )( s ( )); tem-se:
∫ s ( )
( )
( )
∫( )( s ( )) s( )
g) ∫ √
Resolução:
∫ √
…Note que a derivada de (ar s ( ))
√
; tem-se:
∫
√
∫
( )
√ ( )
ar s ( )
h) ∫
( )
( )
Resolução:
∫
( )
( )
∫ s ( ) s( ) …Note que se tem ( ) ;
∫ s ( ) s( ) ∫ ∫ s ( ) s( ) ( )
(s ( ))( )
( )
(s ( ))( )
( ) (s ( ))

3. numerosnamente 3
i) ∫ s ( )s ( )
Resolução:
∫ s ( ) s ( ) …Note que se tem ( )
∫ s ( ) s ( ) ∫ s ( ) s ( ) ( )
s ( )
j) ∫
( ( ))
Resolução:
∫
( ( ))
… Note que a derivada de (ar ta ( )) e também se tem aqui a
situação de ( )
∫
( ( ))
∫(ar ta ( )) ( )
( ( ))( )
( )
( ( ))
.
l) ∫ s ( )
Resolução:
∫ s ( ) ∫ s ( )s ( ) ∫
( s( )) ( s( ))
∫( s( ) s ( )) ∫ ∫ s( ) ∫ s ( )
s ( )
∫
( s( )) s ( )
∫ ∫ s( )
s ( )
∫ s( )
s ( ) s ( )
Note: s ( ) s ( ) s( ) ; s( ) s ( ) s ( ) s ( )
m) ∫ ( )
Resolução:
∫ ( )
∫ ( )
…Note que a derivada de (ta ( ))
( )
; tem-se:

4. numerosnamente 4
∫
s ( )
ta ( )
n) ∫
Resolução:
∫ ∫ ( )
…Note que a derivada de (ar ta ( )) ; tem-se:
∫
( )
∫
( )
ar ta ( )
o) ∫
Resolução:
∫ ∫ ( )
... Note que a derivada de (ar ta ( ))
( )
;
∫ ∫
( )
∫
( )
ar ta ( )
p) ∫
√ ( )
Resolução:
∫
√ ( )
…Note que a derivada de ( ( )) e a derivada de
(ar s ( ))
√
; tem-se então:
∫
√ ( )
∫
√ ( )
ar s ( ( ))
q) ∫ s ( )
Resolução:
∫ s ( ) ( ) ∫ ( ) s ( ) s ( )

5. numerosnamente 5
r) ∫
Resolução:
∫ …Tem-se de transformar o denominador da expressão num caso notável:
( ) ( )
6:2=3 
∫ ∫
( )
ar ta ( )
s) ∫
Resolução:
∫ ∫ …Note que temos de transformar o denominador da
expressão num caso notável:
( ) ( )
6:2=3 
Para se ter a derivada do (arctan(u))’= e na nossa expressão temos (3) em vez de (1). Faz-
se então o seguinte:
( )
( )
= (
√
)
∫ ∫
(
√
)
√
∫
(
√
)
(
√
)
√
ar ta (
√
)
t) ∫
√( )
Resolução:
∫
√( )
…Note que a derivada de (ar se ( ))
√
, e como ( )
Tem-se então:

6. numerosnamente 6
∫
√( )
∫
√( )
ar se ( )
u) ∫ √
Resolução:
∫ √
…Note que a derivada de (ar s ( ))
√
; Assim temos de trabalhar o
denominador da expressão. Tem-se então:
∫
√
∫
√
∫
√ ( ( ) )
∫
√( ( ) )
∫
√( ( ) )
ar s ( )
v) ∫ ( )
Resolução:
∫ ( )
N te que a derivada de ( ta ( ))
( )
; tem-se então:
∫
s ( )
∫
s ( )
∫
s ( )
ta ( )
x) ∫
( )
√ ( )
Resolução:
∫
s ( )
√ s( )
∫
s ( )s ( )
√ s( )
∫
s ( )( s ( ))
√ s( )
∫
s ( ) s ( ) s ( )
√ s( )
∫ s ( )( s( ) ) ∫ s ( ) ( )( s( ) )
∫ s ( ) ( s( ) ) ( ) ∫ s ( ) ( s( ) )
s( )( )
( )
s( )( )
( )
s ( ) ( s( ))