O documento apresenta resoluções de integrais indefinidos usando o método da integração por partes, resolvendo integrais da forma ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) + constante.

1. numerosnamente 1
Integrais Indefinidos
Parte 3: Integração por partes
Calcule os integrais, pelo método da integração por partes:
a) ∫ ( )
Resolução:
Sendo ( ) temos que ;
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
b) ∫ ( )
Resolução:
Sendo ( ) temos que ( )
∫ ( ) ( ( )) ∫( ( ) ( ) ( )
c)∫ ( )
Resolução
Sendo ( ) temos que
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d) ∫ √
Resolução:
Sendo ( ) temos que
( )
∫ √ ( ) ∫( )
( )
( )
( )

2. numerosnamente 2
( ) ( )
e) ∫ ( )
Resolução:
Sendo ( ) temos que ( )
∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( )
( ) ( ) ( )
f) ∫
Resolução:
Sendo ; temos que
∫ ∫ …temos agora que trabalhar o segundo integral por partes:
∫ …sendo temos que
Assim ∫ ∫
Juntando tudo, obtem-se:
∫
g) ∫ ( )
Resolução:
Sendo ( ) temos que ;
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫
∫ ( ) ( )

3. numerosnamente 3
h) ∫( ) ( )
Resolução:
Sendo ( ) temos que
( )
∫( ) ( ) ( )
( )
∫( )
( )
Temos agora de trabalhar o segundo integral usando a integração por partes:
∫( )
( )
Sendo
( )
temos que
( )
∫( )
( )
( )
( )
∫ (
( )
)
∫( )
( )
( )
( ) ( )
Juntando tudo, tem-se:
∫( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
i) ∫ ( )
Resolução:
Sendo ( ) temos que ( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
Vamos agora trabalhar o segundo integral aplicando a integração por partes:
∫ ( ) ( )
( )
∫ ( )
( ( ))
∫ (
( )
)
Juntando tudo, tem-se:
∫ ( )
( ) ( ( ))
∫ ( )
(1 ) ∫ ( ) =
( ) ( )

4. numerosnamente 4
∫ ( ) (
( ) ( )
)
∫ ( ) ( )( ( ) ( )
j) ∫ ( )
Resolução:
Note que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )
( )
( )
∫ ( ) ∫ (
( )
) ∫
( )
∫
Vamos agora calcular cada integral pelo integração por partes:
∫
( )
Sendo
( )
temos que
( )
∫
( )
(
( )
) ∫( )
( )
(
( )
) ( ) ∫( )
( )
(
( )
) ( ) ( )
Assim tem-se:
∫
( )
(
( )
) ( ) ( )
Agora temos de resolver o integral:
∫
Sendo temos que
∫ ∫
Juntando tudo, tem-se:

5. numerosnamente 5
∫ ( ) (
( )
) ( ) ( )
l) ∫ ( )
Resolução:
∫ ( ) ∫ ( ) ( )
Nota: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )
( )
( ) ;
( )
( )
Tem-se:
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ (
( )
) (
( )
)
∫( ( ) ( ) ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫
∫ (
( )
) ∫ ( ) ∫
∫ ( ) ∫ ∫ ( )
  
A B C
Agora tem-se de resolver cada integral pela integração por partes.
A ∫ ( )
Sendo ( ) temos que
( )
;
∫ ( ) ( ) ∫
( )
( ) ∫
( )
Agora ainda temos o integral ∫
( )
para resolver por partes:
∫
( )
…sendo ; ( ) tem-se ;
( )
∫
( ) ( ( ))
∫ (
( )
)
∫
( ) ( ( ))
∫ ( )

6. numerosnamente 6
Substituindo na expressão inicial, tem-se:
∫ ( ) ( )
( ( ))
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ) ( ) ( )
B ∫
Sendo temos que
∫ ( )
C ∫ ( ) = ∫ ( )
Sendo ( ) temos que ( )
∫ ( ) ( ) ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ( ))
Agora temos de resolver o integral
∫ ( ( )) ( ) temos que ( )
∫ ( ( )) ( ( )) ∫ ( ( ))
∫ ( ( )) ( ( )) ∫ ( )
Juntando tudo, tem-se:
∫ ( ) ( ) ( ( )) ∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( ) ( ( ))
∫ ( ) ( ) ( ( ))
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( )

7. numerosnamente 7
Juntando todos os integrais, tem-se:
∫ ( ) ( ) ( ) ( )
m) ∫
( )
√
Sendo
( )
√
, temos que ( ( ))
∫
( )
√
( ( )) ∫ ( ( )) , tem-se agora que resolver o
Integral ∫ ( ( ))
Sendo ( ( )) , temos que:
( )
√
; ; tem-se:
∫ ( ( )) ( ( )) ∫
( )
√
Juntando tudo, tem-se:
∫
( )
√
( ( )) ( ( )) ∫
( )
√
∫
( )
√
( ( )) ∫
( )
√
( ( ))
n) ∫ ( )
Sendo ( ) temos que
∫ ( ) ( ) ∫
( )
…Temos de resolver o integral
∫
( )
∫ ( ) ∫ ∫
Por partes: ∫ sendo tem-se que
∫
Para o integral ∫ sendo temos que ( )
∫ ( )

8. numerosnamente 8
Assim para o integral ∫
( )
( )
Juntando tudo, obtém-se:
∫ ( ) ( ) ( ( ))
∫ ( ) ( ) ( )