Material elaborado para a disciplina de Matemática Financeira do MBA em Controladoria e Finanças da Faacz, com temas como Juros Simples, Juros Compostos, Descontos, Taxas de Juros, Séries de Pagamento, Perpetuidades, Sistemas de Amortização e Avaliação de Investimentos
3. Quem sou eu?
Prof. Milton Henrique do Couto Neto
miltonhenrique@mhempresarial.com
Administração, Estácio
Engenharia Mecânica, UFF
MBA em Gestão Empresarial, UVV
MBA em Marketing Empresarial, UVV
Mestrado Acadêmico em Administração, UFES
Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV
http://lattes.cnpq.br/8394911895758599
https://br.linkedin.com/in/miltonhenrique
5. Disciplinas Lecionadas
Graduação
Administração de Materiais
Economia da Engenharia
Economia Empresarial
Empreendedorismo
Engenharia de Manutenção e Confiabilidade
Engenharia de Métodos
Fundamentos da Administração
Gestão de Marketing
Gestão de Processos e Empresas
Gestão de Vendas
Gestão Financeira e Orçamentária
Marketing de Relacionamento
Matemática Básica
Matemática Financeira
Novas Abordagens em Administração
Planejamento Estratégico da Produção
Plano de Negócios
Tópicos Especiais em Administração
Pós-Graduação
Comportamento do Consumidor
Consultoria de RH
E-commerce e Marketing Digital
Endomarketing e Comunicação Corporativa
Estratégia Competitiva de Preços
Estudo de Viabilidade Econômico Financeira
Formação do Preço de Venda no Varejo
Gestão de Tesouraria
Marketing Competitivo, Criatividade e
Inovação
Pesquisa de Marketing
Políticas e Modelos de Financiamento
Teoria do Desenvolvimento Organizacional
14. Dinheiro tem um custo associado ao tempo
Fatores que influenciam a preferência pela
posse atual do dinheiro:
• RISCO: Sempre haverá o risco de não recer os
valores programados em decorrência de
imprevistos;
• UTILIDADE: O investimento implica em não
consumir hoje para consumir no futuro;
• OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro permite
aproveitar as oportunidades mais rentáveis que
aparecerem.
15. Matemática Financeira
Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com
o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de
modo geral e, que, basicamente, consistem no estudo do valor do
dinheiro no tempo.
16. Juro
Remuneração do capital, a
qualquer título.
a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
b) Custo do capital de terceiros;
c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial
nelas empregado.
17. Juro
O Juro J também é o resultado da diferença do capital
final F e do capital inicial P da operação financeira
conhecida:
J = F - P
O resultado do cálculo de J é um
valor monetário, um dado absoluto
que não identifica o prazo de
geração de J
18. Taxa de Juros
É a velocidade com que o Juros aumenta!
A taxa unitária I é o juro gerado
por uma unidade de capital inicial
$ 1 associado com o período de
tempo de geração do juro.
19. Taxa de Juros – Unidade de Medida
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual
que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano,
semestre, trimestre, mês, dia, etc.).
Exemplo:
12% a.a. = 12 % ao ano;
4% a.s. = 4 % ao semestre;
1% a.m. = 1 % ao mês
20. Variáveis Importantes
• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)
• É o recurso aplicado;
• Taxa (i)
• É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode
ser representado em forma percentual ou unitária.
• Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
• É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i),
necessita para produzir um montane (M).
• Montante ou Valor Futuro (M ou VF)
• É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação
comercial ou financeira após um determinado período de tempo.
25. Regimes de Capitalização
• Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo
prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro
calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.
31. Característica Principal
Os juros gerados durante a operação são acumulados
SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando
são capitalizados.
32. Crescimento Linear
Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano
1 1.000,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.080,00R$
2 1.080,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.160,00R$
3 1.160,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.240,00R$
4 1.240,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.320,00R$
R$ 500.000
R$ 600.000
R$ 700.000
R$ 800.000
R$ 900.000
R$ 1000.000
R$ 1100.000
R$ 1200.000
R$ 1300.000
R$ 1400.000
R$ 1500.000
1 2 3 4
Saldo
33. Fórmulas
Fórmula para Valor Futuro
Fórmula para Valor Presente
Fórmula para Taxa de Juros
Fórmula para Prazo
JurosSimples
34. Exercícios
1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de
juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de
juros simples.
2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de
1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo
necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25.
3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de
juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$
3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.
40. Exercício / Exemplo
• Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de
uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros
compostos de 1,2% a.m.?
41. Exemplo
• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para
possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um
ano, a uma taxa de juros compostos constante de
2,2%a.m.
42. Exemplo
• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$
2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo
dessa operação.
43. Exemplo
• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses
rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que
este capital estava aplicado.
44. Exercícios
1) Um investimento de R$ 650.000,00 será remunerado a uma taxa de
juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a
taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação.
Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação.
2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento
daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece
remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que
investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?
45. Exercícios
3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de
2 anos?
4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou
um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para
isso.
53. Descontos
• As operações de desconto representam a antecipação
do recebimento (ou pagamento) de valores futuros,
representados por títulos.
54. Desconto
• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para
antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de
oportunidade aplicando um desconto.
Capitalização
Levar do Presente para o Futuro
≠
Desconto
Trazer do Futuro para o Presente
VP
VF
56. Desconto Por Dentro e Desconto Por Fora
100 11099
+ 10 %
- 10 %
Por
Dentro
Por Fora
57. Desconto Racional (Por Dentro)
• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide
sobre o Valor Presente da operação.
JurosSimples
58. Desconto Comercial (Por Fora)
• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide
sobre o Valor Futuro da operação.
JurosSimples
59. Exercícios
1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2
meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de
2,5% a.m.. Qual o valor recebido, considerando o desconto
bancário?
2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00
descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?
62. Exercícios
1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele
for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no
regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido?
2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que
a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido
recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.
63. Exercícios
3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$
100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a
entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar
logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m..
Quanto João terá que desembolsar hoje?
4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa
por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido?
65. Taxa Efetiva
• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
• Exemplos:
• 2% ao mês, capitalizados mensalmente;
• 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
• 12% ao ano, capitalizados anualmente.
66. Taxas Proporcionais – Juros Simples
• Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas
em unidade de tempo diferentes que, ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo, produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros simples.
12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês
Isso só vale para Juros Simples!!!
67. Exemplos
• Calcule as taxas proporcionais em
meses:
• 1% ao dia → 30% ao mês
• 12% ao ano → 1% ao mês
• 6% ao mês → 6% ao mês
68. Exercícios
• Calcule as Taxas Proporcionais:
• 2% ao mês, em anos;
• 1,5% ao dia em semestres;
• 30% ao ano, em trimestres;
• 60% ao semestre em dias.
69. Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas
em unidades de tempo diferentes que ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros compostos.
12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês
Isso só vale para Juros Compostos!!!
(1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360
70. Taxas Equivalentes
Método de Cálculo
Encontre a taxa equivalente anual de 3% am.
Mês Ano
De mês para ano eu devo aumentar a taxa, pois o período aumentou
Relação entre mês e ano: 1 ano tem 12 meses
71. Taxas Equivalentes
Método de Cálculo
Encontre a taxa equivalente semestral de 36% aa.
Ano Semestre
De mês para ano eu devo diminuir a taxa, pois o período diminuiu
Relação entre ano e semestre: 1 ano tem 2 semestres
72. Resumo
Se o período AUMENTA:
Se o período DIMINUI:
Potência AUMENTA
Raiz DIMINUI
74. Exercícios
• Calcule as Taxas Equivalentes:
• 2% ao mês, em anos;
• 1,5% ao dia em semestres;
• 30% ao ano, em trimestres;
• 60% ao semestre em dias.
75. Taxa Nominal
• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo não coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
• Exemplo
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
• 18% ao ano, capitalizados diariamente.
76. Taxa Efetiva e Taxa Nominal
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal
Efetiva
• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal
Efetiva
Não se faz conta com Taxa Nominal.
Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.
77. Exercícios
• Calcule a taxa equivalente mensal a 15% am
capitalizados diariamente.
• Calcule a taxa anual equivalente a 20% as
capitalizados mensalmente.
• Calcule a taxa trimestral equivalente a 100%aa
capitalizados mensalmente.
78. Taxa Real
• A Taxa Real é aquela que expurga o efeito da
inflação no período. Dependendo dos casos, a
taxa real pode assumir valores negativos.
Podemos afirmar que a taxa real corresponde à
taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do
período.
79. Exemplo – Taxa Real
Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo
de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no
período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa
aplicação.
80. Exemplo – Taxa Real
Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de
7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de
10%, determine o valor do reajuste real e interprete o
resultado.
Houve perda salarial!
81. Exercícios
• Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros
igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação
foi de 12%. Qual a taxa real de juros?
• Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de
7% a.s. No mesmo período, a taxa de inflação foi de
9%. Qual a taxa real da aplicação?
84. Tipos de Séries de Pagamento
• Postecipadas
• São aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de
cada período e não na origem.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
É a mais comum!
85. Tipos de Séries de Pagamento
• Antecipadas
• Os pagamentos são feitos no início de cada período
respectivo.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
86. Tipos de Séries de Pagamento
• Diferidas
• O período de carência constitui-se em um prazo que separa o
início da operação do período de pagamento da primeira
parcela.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
Período de Carência
89. Exemplo
Quanto custa este veículo se o
dono pede 24 x de R$ 499,00,
sem entrada, e a taxa de juros
média cobrada neste setor está
atualmente em 1,99% a.m.?
93. Exercícios
1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$
10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual
o valor da prestação?
2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos
imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$
700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual
o valor que podemos pegar emprestado?
94. Exercícios
3. Quanto custa uma TV de LED que é
anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00
a 4,5% a.m.?
4. Considerando a mesma taxa de juros,
quanto custaria se o parcelamento da
mesma TV fosse feito em 18 meses?
96. Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VPcorrigido
0 1
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP Período de Carência
97. Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VPcorrigido
0 1
tempo
0 1 … n - 1 n
Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!
98. Exemplos
Um curso oferece uma promoção de inicie o curso agora e
só comece a pagar daqui a 3 meses.
Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros cobrada
é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em 6 parcelas,
determine o valor dessas parcelas.
99. Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 … 8 9
VP = R$ 3.000,00
Período de Carência = 3 meses
Período de Pagamento = 6 meses
100. Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 … 8 9
VP = R$ 3.000,00
Período de Pagamento = 6 meses
VPcorrigido
0 1 5 6
101. Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 4 5 6
R$ 3.121,20
102. Exercício
1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses.
Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser
financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36
meses após a carência, quanto custará a prestação?
107. Pagamento de Dívidas
R$ 1.000,00
R$
100,00
R$ 600,00
R$
100,00
Imagine a situação:
Você pegou R$ 1.000,00 emprestado para pagar
em 2 x R$ 600,00
R$ 600,00
108. Pagamento de Dívidas
R$ 1.000,00
R$ 500,00
R$
100,00
R$ 500,00
R$
100,00
Nos dois pagamentos de R$ 600,00 você deve devolver
os R$ 1.000,00 que foram emprestados e ainda
remunerar a pessoa pelo empréstimo (juros)
Devolver JUROS Devolver JUROS
109. Pagamento de Dívidas
Mas os dois pagamentos de R$ 600,00 também podem
ser feitos da seguinte forma:
R$
100,00
R$ 600,00
R$
100,00
Devolver Devolver JUROS
R$ 200,00R$ 400,00
Devolver JUROS
R$ 200,00R$ 400,00 R$ 600,00
Devolver
Ou ainda...
110. Sistema de Amortização
Como será paga a dívida!
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema Price
Sistema de Amortização Mista (SAM)
Sistema Americano
Sistema Alemão
112. Sistema de Amortização Constante
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 250,00 R$ 280,00
2 R$ 750,00 R$ 22,50 R$ 250,00 R$ 272,50
3 R$ 500,00 R$ 15,00 R$ 250,00 R$ 265,00
4 R$ 250,00 R$ 7,50 R$ 250,00 R$ 257,50
TOTAL R$ 1.000,00
Amortização = VP / n
PMT = Juros + Amortização
113. Sistema PRICE
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 239,03 R$ 269,03
2 R$ 760,97 R$ 22,83 R$ 246,20 R$ 269,03
3 R$ 514,78 R$ 15,44 R$ 253,58 R$ 269,03
4 R$ 261,19 R$ 7,84 R$ 261,19 R$ 269,03
TOTAL R$ 1.000,00
Cálculo do PMT como em séries uniformes
Amortização = PMT - Juros
114. Sistema de Amortização Mista
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 244,51 R$ 274,51
2 R$ 755,49 R$ 22,66 R$ 248,10 R$ 270,76
3 R$ 507,39 R$ 15,22 R$ 251,79 R$ 267,01
4 R$ 255,60 R$ 7,67 R$ 255,60 R$ 263,26
TOTAL R$ 1.000,00
Valores médios entre o SAC e o PRICE
115. Sistema de Amortização Americano
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
2 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
3 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
4 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 1.000,00 R$ 1.030,00
TOTAL R$ 1.000,00
Pagamento mensal de juros, com pagamento do principal no
final
116. Sistema de Pagamento Único
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ -
2 R$ 1.030,00 R$ 30,90 R$ - R$ -
3 R$ 1.060,90 R$ 31,83 R$ - R$ -
4 R$ 1.092,73 R$ 32,78 R$ 1.000,00 R$ 1.032,78
TOTAL R$ 1.000,00
Não há pagamento mensal. Tudo é acumulado e pago de uma
única vez, ao final do plano.
118. Payback
O método de avaliação do Payback informa o prazo necessário para o retorno do
investimento.
Esse método deve ser utilizado quando avaliamos projetos que não possuem
muita representatividade no patrimônio total.
Isso se deve ao fato de que o Payback possui alguns problemas:
• Desconsidera os fluxos de caixa posteriores ao retorno do investimento
• Desconsidera o valor do dinheiro no tempo
• Arbitrariedade da gerência
Necessidade de escolher o investimento
que dê retorno mais rápido, mas que
não dá o melhor retorno
119. Payback
• É o prazo de recuperação do investimento, isto é, o prazo no qual o
FC acumulado é igual a zero.
payback tempo
120. Payback Descontado
• Irá medir o prazo de retorno de um investimento. No entanto,
passará a considerar o valor do dinheiro no tempo, mas
continuará a ter os outros dois problemas existentes no Payback
121. VPL - Valor Presente Líquido
O valor presente líquido é a forma mais usual de se
avaliar um investimento.
Enquanto no Payback Descontado vamos trazendo a
valor presente todos os fluxos de caixa até o momento
da inversão de sinal, no valor presente líquido devemos
levar todos os fluxos de caixa para a data zero e efetuar
o somatório.
Utilizamos sinal positivo para os valores recebidos e
negativo para os valores aplicados.
122. VPL – Valor Presente Líquido
Tempo
Investimento Inicial
Fluxos de Caixa
Incrementais
123. VPL – Valor Presente Líquido
• Traduzindo a fórmula: O Valor Presente Líquido de um projeto será
a soma do valor presente de todos os fluxos de caixa do projeto,
desde a data zero (investimento) até o final do projeto;
• Caso o VPL seja um número positivo, isso significa que o valor
presente dos valores aplicados foi inferior ao valor presente dos
valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais
rico” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar
naquele projeto;
• Por outro lado, se o VPL for um número negativo, isso significa que
o valor presente dos valores aplicados foi superior ao valor presente
dos valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais
pobre” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar
naquele projeto.
124. TIR – Taxa Interna de Retorno
• É a taxa de juros que “zera” o Valor Presente Líquido – VPL de um
projeto qualquer
126. Problemas com a TIR
a de existir mais de uma TIR ou mesmo não existir
nenhuma TIR
a de se supor que os fluxos de caixa são reinvestidos
à própria TIR
a de se supor que os investimentos (fluxos de caixa
negativos) são financiados a uma taxa igual à TIR
necessidade de se trabalhar com investimento
incremental quando se tem projetos mutuamente
excludentes, entre outros problemas
127. TIRM – Taxa Interna de Retorno
Modificada
Tempo
Leva os desembolsos para o
valor presente
Leva os recebimentos para o
valor futuro
VP
VF
i = TIRM