1. MATEMATICA APLICADA
Empréstimos para Capital de Giro
I. Descontos de Duplicatas
Este item tem por objetivo desenvolver a prática de cálculo dos encargos financeiros e da taxa efetiva de custo das
operações bancárias de desconto de duplicatas, definidas por desconto bancário (ou “por fora”).
A operação de desconto envolve basicamente a negociação de um título representativo de um crédito em algum
momento anterior à data de seu vencimento. Ë interpretado, em outras palavras, como uma cessão de direitos
existentes sobre um título em troca de alguma compensação financeira. As operações de desconto praticadas pelos
bancos comerciais costumam apresentar os seguintes encargos financeiros, os quais são geralmente cobrados sobre
o valor nominal do título (valor de resgate) e pagos a vista (descontados no momento da liberação de recursos):
a) Taxa de Desconto (nominal). Basicamente representa a relação entre os juros e o valor nominal do título.
Essa taxa costuma ser definida em bases mensais e empregada de forma linear nas operações de desconto.
b) IOF (Imposto sobre Operações Financeiras). Identicamente à taxa de desconto, este percentual é
calculado linearmente sobre o valor nominal do título e cobrado no ato da liberação dos recursos.
c) Taxa Administrativa. Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras visando cobrir certas despesas de
abertura, concessão e controle do crédito. Ë calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e
descontada na liberação dos recursos.
Esses encargos financeiros do desconto bancário são referidos, para o cálculo de seus valores monetários, pelo
critério de juros simples. Evidentemente, para uma apuração rigorosa de taxa de juros efetiva destas operações é
adotado o regime composto. A fórmula direta de apuração desta taxa racional de juros, para todo o período da
apuração, foi colocada como:
Adaptando-se essa equação mediante a inclusão da despesa de IOF, tem-se a expressão de cálculo do custo efetivo
para todo o período da operação: Sendo d e IOF taxas representativas de todo o período de desconto. O custo
efetivo é determinado por:
D = M x i x t Valor do IOF = M x IOF x t
Custo Efetivo = (i x t) + (IOF x t) ou Valor Nominal do Título - 1
1 – [(i x t) + (IOF x t) Valor Líquido Liberado
Período = ∑ [ (Valor nominal x t) ]
Valor Nominal
Exercícios
1. Suponha o desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ 15.000,00 descontada 50 dias antes de seu
vencimento. A taxa de desconto nominal cobrada pelo banco é de 3,3% a.m. e o IOF atinge a 0,0041% ao
dia. Determinar o valor líquido liberado e o custo efetivo desta operação. R: Valor líquido de R$ 14.144,25
e custo efetivo da operação de 3,59% a.m
2. Admita no exercício anterior que a instituição financeira cobra ainda 1,5% de taxa administrativa. Calcular o
valor líquido liberado e o custo efetivo da operação incluindo esta despesa adicional. R: Valor líquido
liberado de R$ 13.919,25 e custo efetivo da operação de 4,59% a.m.
3. Admita que uma empresa tenha apresentado a um banco o seguinte comjunto de duplicatas para desconto:

2. Duplicata Valor Nominal (R$) Prazo de Desconto (n)
A 15.000,00 27 dias
B 28.000,00 39 dias
C 11.000,00 42 dias
D 32.000,00 36 dias
Sendo de 4,5% a.m. a taxa de desconto cobrada pelo banco, e de 0,0041% a.d. o IOF incidente sobre a operação,
determinar:
a. Valor do desconto calculado pelo banco; R: R$ 4.666,50
b. Valo líquido liberado ao cliente; R$ 81.205,96
c. Custo efetivo pelo custo médio ponderado R: 5,9% p/ 36,2 dias
4. Um banco diz cobrar 3,1% a.m “por fora”em suas operações de desconto de duplicatas. Apurar o custo
efetivo mensal, incluindo o IOF de 0,0041% ao dia, para os seguintes prazos de desconto:
a. 20 dias. R: 2,2 % a.m.
b. 51 dias. R: 5,8 % a.m.
c. 60 dias. R: 6,9 % a.m.
5. Uma empresa apresenta num banco comercial para desconto o seguinte conjunto de duplicatas:
Duplicata Valor Nominal (R$) Prazo de antecipação
A 6.000,00 60 dias
B 9.000,00 90 dias
C 8.100,00 30 dias
D 12.000,00 120 dias
O valor líquido liberado pelo banco, já deduzidos todos os encargos financeiros da operação atinge R$ 30.100,00.
Pede-se determinar o custo efetivo mensal pelo método da taxa interna de retorno. R: 16,61 % p/ 81 dias.
6. A taxa de desconto bancária de uma instituição financeira está definida em 3,6% a.m. Sendo de 0,0041%
a.d. o IOF vigente, determinar o custo efetivo mensal e anual de uma operação de desconto com prazo de
45 dias. R: 5,9 % p/ 45 dias.
7. Uma duplicata de valor nominal de R$ 32.700,00, é descontada junto a uma instituição financeira 77 dias
antes de seu vencimento. Considerando que o IOF atinge 0,0041% ao dia, e ataxa de desconto cobrada
pelo banco a 2,5% ao mês, determinar o valor líquido liberado ao cliente e o custo efetivo mensal e anual
desta operação. R: 7,2 % p/ 77 dias.
8. Admita um título descontado a um banco 37 dias antes de seu vencimento. A taxa nominal de desconto
cobrada pelo banco é de 2,8% ao mês, e o IOF de 0,0041 ao dia. Determinar o custo efetivo mensal e anual
da operação. R: 3,74% p/ 37 dias.

3. II. Commercial Papers
Os commercial papers são títulos de curto prazo que as empresas emitem, visando captar recursos no mercado para
financiar suas necessidades de capital de giro. É uma alternativa às operações de empréstimos bancários
convencionais, permitindo geralmente uma redução nas taxas de juros pela eliminação da intermediação financeira
bancária. Os commercial papers imprimem ainda maior agilidade às captações das empresas, determinada pela
possibilidade de os tomadores negociarem diretamente com os investidores de mercado (banco, fundos de pensão,
etc).
Os custos de emissão desses títulos são, em geral, formados pelos juros pagos aos aplicadores, comissões e
despesas diversas (publicações, taxas de registro na Comissão de Valores Mobiliários, etc). Os commercial papers
costumam ser negociados com desconto, sendo seu valor de face (valor nominal) pago por ocasião do resgate. Os
títulos podem ser adquiridos no mercado ou por meio de fundos de investimentos.
Exercícios
9. Admita que uma empresa tenha emitido R$ 3,5 milhões em Commercial papers por 180 dias. A remuneração
oferecida aos aplicadores é uma taxa de desconto de 1,2% ao mês (7,2% ao semestre). A empresa incorre,
ainda, em despesas diversas equivalentes a 0,4% do valor da emissão. Calcular o valor líquido recebido pela
empresa emitente e o custo efetivo mensal da operação. R: Valor líquido R$ 3.234.000,00 e o custo efetivo
de 1,33% a.m.
10. Um investidor adquire um lote de commercial paper, com vencimento para 140 dias, por R$ 952.000,00. O
valor nominal (resgate) dos títulos atinge a R$ 1.000.000,00. Calcular a rentabilidade efetiva auferida pelo
investidor. R: 1,055% a.m.
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