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  1. 1. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática financeira é a parte da matemática que analisa o comportamento de um valor monetário (dinheiro, nota promissória, duplicata) em relação ao tempo. Basicamente temos duas situações: • Projeção do valor monetário a partir de uma data atual (presente) para uma data futura → operação de juros; • Projeção do valor monetário a partir de uma data futura para uma data atual → operação de desconto. Regimes de correção (capitalização)  Regime Simples: a correção (a taxa) ocorre sempre sobre o valor inicial do valor monetário, independentemente do tempo que o valor será corrigido;  Regime Composto: a correção (a taxa) ocorre sempre sobre o valor obtido no período anterior, ou seja, sobre o valor do capital acrescido dos juros obtidos no período anterior. Operação de Juros. Elementos da operação de Juros:  C: capital, valor monetário atual, principal → É a quantia que se empresta ou que se toma emprestada, para devolução em uma data futura também chamada de principal;  n: é o período durante o qual o capital fica aplicado; é o período da operação;  M: montante, valor monetário futuro, resultado da projeção do capital, sempre maior que o capital; é a soma do capital com os juros (M = C + J);  J: é a importância que se recebe ou se paga, como compensação, quando se empresta ou se torna emprestada certa quantia por certo tempo. É calculado pela diferença entre o montante e o capital (J = M – C);  i: taxa, valor percentual, seguido de uma unidade de tempo, que altera o dinheiro no tempo. JUROS SIMPLES Na capitalização simples a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial (principal ou valor presente). Exemplo: Dado um capital C= 100; aplicado a uma taxa i = 10% ao período, teremos:  No final do primeiro período de aplicação: Juro j1 = e o montante M1 =  No final do segundo período de aplicação: Juro j2 = e o montante M2 =  No final do terceiro período de aplicação: Juro j3 = e o montante M3 = Fórmula para o cálculo dos juros simples: Fórmula para o cálculo do Montante: Observações:  Taxa e tempo devem sempre estar na mesma unidade de tempo.
  2. 2. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 2  Caso taxa e tempo não estejam na mesma unidade tempo, devemos operar a transformação no tempo ou na taxa. Caso a alteração seja na taxa utilizamos o conceito das TAXAS PROPORCIONAIS (exclusivo do regime simples): que consiste em alterar a taxa para o período desejado através das operações de multiplicação ou divisão. Exemplos: Exemplos:  A taxa é normalmente é indicada percentualmente, mas realizamos os cálculos na forma centesimal (fracionária) ou decimal (unitária); • A expressão rendimento significa juros. • Os juros são diretamente proporcionais ao capital aplicado (C), à taxa da operação (i) e ao tempo da operação. • Juro comercial ou juro ordinário (convenção comercial) considera o ano com 360 dias e o mês com 30 dias (regra normalmente utilizada nas questões de juros simples).  Juro exato: o ano possui 365 dias e o mês possui a quantidade de dia que lhe é própria. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA JÚNIOR TRANSPORTE MARÍTIMO CESGRANRIO 2010) O valor dos juros simples obtidos por um capital de R$ 1.500,00, durante 4 anos, à taxa de 8% ao ano é, em reais, de (A) 320,00 (B) 480,00 (C) 540,73 (D) 1.980,00 (E) 2.040,73 RESOLUÇÃO: 02. (APOFP SP ESAF 2009) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? (A) 4% (B) 10% (C) 60% (D) 54% (E) 48% RESOLUÇÃO:
  3. 3. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 3 03. (SEFAZ CE ESAF 2006) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4 ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias? (A) R$ 20.000,00. (B) R$ 20.100,00. (C) R$ 20.420,00. (D) R$ 22.000,00. (E) R$ 21.400,00. RESOLUÇÃO: 04. (CVM ESAF 2010 - ADAPTADA) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? (A) R$ 2.115,00 (B) R$ 2.092,00 (C) R$ 2.090,00 (D) R$ 2.135,00 (E) R$ 2.120,00 RESOLUÇÃO: 05. (ESCRITURÁRIO BANCO DO BRASIL FCC 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opções: I. R$ 5.000,00, à vista sem desconto. II. R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em 1 (um) mês após a data da compra. A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de (A) 30% (B) 25% (C) 20% (D) 15% (E) 12,5% RESOLUÇÃO: 06. (AFRF ESAF) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. (A) R$ 705,00 (B) R$ 725,00 (C) R$ 715,00 (D) R$ 720,00 (E) R$ 735,00 RESOLUÇÃO: CAPITAL MÉDIO, TAXA MÉDIA E TEMPO MÉDIO Um conjunto de aplicações completo, em que se conhece o capital, a taxa e o tempo de cada uma das aplicações é um grupo de n aplicações. O objetivo é determinar o capital médio, a taxa média ou o tempo médio para que essas aplicações produzam os mesmos juros caso fosse feita uma única aplicação. Vejamos um conjunto completo com 3 aplicações: O cálculo do capital médio é dado pela seguinte relação: O cálculo do taxa média é dado pela seguinte relação:
  4. 4. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 4 O cálculo do prazo médio é dado pela seguinte relação: Exigência das fórmulas: as taxas devem estar na mesma unidade e os tempos devem estar na mesma unidade. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (AFRF ESAF) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante 2, 3, 4 e 6 meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. (A) 4 meses (B) 4 meses e 5 dias (C) 3 meses e 22 dias (D) 2 meses e 20 dias (E) 8 meses RESOLUÇÃO: DESCONTO SIMPLES Quando um título de crédito (duplicata, nota promissória) é quitado antes da data de vencimento acordada, gera para aquele que paga o direito a um desconto pela antecipação do pagamento. De uma forma geral, acontece o pagamento antecipado de um título antes da data acordada para o pagamento em data futura. Operação de Desconto. Elementos da operação de Desconto.  N: valor nominal → É o valor do título na data de vencimento. Conhecido como: valor futuro, valor de face, valor do título, valor da duplicata, valor da promissória, valor do cheque;  n: é o prazo de antecipação; é o período da operação;  D: é o valor da redução, do abatimento que se obtém pela antecipação do pagamento do título. Reduz o valor nominal;  A: valor atual → é o valor do título na data em que é quitado, antes de sua data de vencimento. Conhecido como: valor presente, valor atual, valor líquido, valor após o desconto, valor reduzido, valor descontado. Vale a seguinte relação, independente da modalidade do desconto: A = N - D;  i: taxa de desconto, valor percentual, seguido de uma unidade de tempo. Modalidades Desconto Simples. O desconto simples possui as seguintes modalidades:  Desconto simples comercial ou por fora (Df);  Desconto simples racional ou por dentro (Dd);  Desconto simples comercial bancário (Db). Observação: Caso não seja mencionada a modalidade do desconto, admite-se desconto comercial. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU POR FORA (Df) É o desconto calculado sobre o valor nominal (N). É importante ressaltar que o valor nominal é o valor de referência do desconto comercial (por fora). Fórmula para o cálculo do desconto simples comercial:
  5. 5. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 5 Fórmula para o cálculo do valor atual simples comercial: EXERCÍCIOS EM AULA 01. (APE TCE RS FMP 2011) Um título no valor nominal de R$ 10.000,00 está sendo liquidado sessenta dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que o desconto é o comercial simples e a taxa de desconto utilizada é 5% ao mês, o valor do desconto é (A) R$ 909,09. (B) R$ 930,00. (C) R$ 1.000,00. (D) R$ 9.070,00. (E) R$ 30.000,00. RESOLUÇÃO: 02. (AUDITOR SEFAZ RJ FGV 2011) Um título com valor de R$ 15.000,00 a vencer em 4 meses é descontado no regime de juros simples a uma taxa de desconto “por fora” de 6,25% ao mês. O valor presente do título é igual a (A) R$ 9.750. (B) R$ 12.000. (C) R$ 11.769. (D) R$ 10.850. (E) R$ 11.250. RESOLUÇÃO: 03. (FISCAL DE RENDAS SMF RJ ESAF 2010) Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? (A) R$ 22.500,00 (B) R$ 25.000,00 (C) R$ 17.500,00 (D) R$ 20.000,00 (E) R$ 27.500,00 RESOLUÇÃO: DÚVIDA SUA MENSAGEM (AFRF ESAF 2002) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. (A) R$ 2.080,00 (B) R$ 2.084,00 (C) R$ 2.088,00 (D) R$ 2.096,00 (E) R$ 2.100,00 RESOLUÇÃO:

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