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ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - 2º PERÍODO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSOR JAIR
Capítulo – 1: CONCEITOS BÁSICOS
1. Matemática Financeira: é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou
financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a
operação financeira a um Fluxo de Caixa.
2. Capital: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal,
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas
calculadoras financeiras pela tecla PV.
3. Juros: representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros
podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições
mistas.
Regime Processo de funcionamento
Simples Somente o principal rende juros.
Compostos
Após cada período, os juros são incorporados ao capital,
proporcionando juros sobre juros.
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a
médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais
como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o
regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de
duplicatas.
4. Taxa de Juros: o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das
pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a
emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção
do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no
mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado
período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de
tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por
100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
1
Capítulo – 2: REGRA DE SOCIEDADE
1. Propriedades de Proporções:
ba
BA
b
B
a
A
+
+
⇒= Ex.:
90
45
8010
405
80
40
10
5
=
+
+
⇒=
Essa propriedade também vale para a subtração.
2. Divisão de um número em duas partes diretamente proporcionais:
Ex.: 1) Decompor o número 100 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Solução: Sejam A e B as partes procuradas. Então: 20
5
100
3232
==
+
+
==
BABA
Logo, A = 2 . 20 = 40 e B = 3 . 20 = 60
2) Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo que a diferença entre eles é 60.
Solução: 12
5
60
3838
==
−
−
==
BABA
Logo, A = 8 . 12 = 96 e B = 3 . 12 = 36
3. Definição: Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um
resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais
distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ...,
Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto: pk = Ck tk
Indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente
proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
Ex.: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de
R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu
por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado
(que pode ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00,
quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Solução: p1 = 40 . 5 = 2000 p2 = 30 . 6 = 1800 p3 = 40 . 3 = 1200
5
5000
25000
120018002000
25000
321
==
++
===
p
C
p
B
p
A
Logo, x1 = 5 . 2000 = 10000 , x2 = 5 . 1800 = 9000 e x3 = 5 . 1200 = 6000
2
1ª Lista de exercícios
1) Dois jovens formaram uma sociedade, entretanto, o primeiro com R$ 4.000,00 e o segundo com R$
3.000,00. Ao final de um ano, registrou-se um lucro de R$ 2.100,00. Quanto do lucro cabe a cada sócio?
2) Três pessoas formaram uma sociedade, entretanto, cada uma delas com o mesmo capital. A primeira ficou
na sociedade 6 meses, a segunda permaneceu por 8 meses e a terceira, por 10 meses. Que parte do lucro de
R$ 1.200,00 caberá a cada um dos três sócios?
3) Três sócios lucraram juntos, R$ 38.000,00. O primeiro investiu R$ 5.000,00 durante um ano, o segundo
investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e o terceiro investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. Que parte do lucro
cabe a cada um dos três sócios?
4) Três pessoas formaram uma sociedade. A primeira entrou com R$ 6.000,00, a segunda, com R$ 7.500,00 e
a terceira, com R$ 4.500,00. Se houve um lucro de R$ 3.000,00, quanto coube a cada um dos três sócios?
5) Duas pessoas constituíram uma sociedade, entrando cada uma delas com o mesmo capital. O primeiro
permaneceu por 2 anos e 4 meses na sociedade enquanto o segundo ficou apenas 1 ano e 6 meses. Tendo
havido lucro de R$ 92.000,00, qual é a parte de cada sócio?
6) Três pessoas se associaram com os seguintes capitais: R$ 3.000,00, R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00. Sabendo
que o balanço apontou um lucro de R$ 51.000,00, determinar quanto lucrou o terceiro sócio.
7) Uma sociedade composta de quatro sócios com capitais iguais, obteve um lucro de R$ 54.000,00. Sabe-se
que os capitais estiveram aplicados na sociedade durante 12, 10, 8 e 6 meses, respectivamente. Qual é a parte
do lucro que cabe ao primeiro sócio?
8) Dois sócios investiram num empreendimento os capitais de R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00,
respectivamente. Após um ano, ao repartirem o lucro, coube ao segundo sócio R$ 400,00 a mais que ao
primeiro. De quanto foi o lucro total do empreendimento?
Gabarito:
1) R$ 1.200,00 e R$ 900,00 2) R$ 300,00 R$ 400,00 e R$ 500,00
3) R$ 20.000,00 R$ 8.000,00 e R$ 10.000,00 4) R$ 1.000,00 R$ 1.250,00 e R$ 750,00
5) R$ 56.000,00 e R$ 36.000,00 6) R$ 18.000,00
7) R$ 18.000,00 8) R$ 5.600,00
3
Capítulo – 3: JUROS SIMPLES
1. Mecanismo dos juros simples:
A taxa de juros incide somente sobre o valor aplicado ou tomado emprestado. Exemplos:
 R$ 100,00 aplicados 5% ao mês renderão R$ 5,00 por mês. Em três meses teremos R$ 15,00
de rendimentos.
 R$ 800,00 aplicados 8% ao mês. Em seis meses teremos:
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final
0 800,00 0 800,00
1 800,00 64,00 864,00
2 800,00 64,00 928,00
3 800,00 64,00 992,00
4 800,00 64,00 1056,00
5 800,00 64,00 1120,00
6 800,00 64,00 1184,00
2. Fórmulas:
J = PV . i .n onde: FV = J + PV onde:
J = Juros FV = valor futuro ou montante
PV = Valor presente ou Capital
i = taxa
n = número de períodos (tempo)
Obs.: taxa e número de períodos devem estar sempre na mesma base. Altere n e evite alterar i.
Exemplos:
1. Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. por 7 meses no regime de capitalização
simples. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?
2. Qual deve ser o valor resgatado de uma aplicação de $ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. no
regime dos juros simples durante dois anos?
3. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros
simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.
4. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a
uma taxa de 10% a.m.. Qual o capital inicial da operação?
5. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o
regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação.
6. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de juros
simples de 2% a.m. Qual a duração da operação?
7. Calcule os juros simples cobrados sobre uma operação de empréstimos no valor de $ 40.000,00,
realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a. Empregue nos cálculos a ano: (a) comercial; (b)
civil ou exato.
8. Em quantos períodos um capital aplicado a juros simples de 5% ao período é triplicado?
9. A partir de qual prazo $ 4.000,00 aplicados à taxa de 10% a.m. será inferior a $ 2.500,00 aplicados à
taxa de 20% a.m.? Considere ambas as aplicações a juros simples.
10. Pedro aplicou 30% de seu capital a 18% aa, 20% do seu capital a 22% aa e o restante em 26% aa, no
regime de juros simples. Determine o valor do principal aplicado sabendo-se que os juros
acumulados, no final de dois anos, foram de $ 6.960,00.
4
2ª Lista de exercícios
1) Calcule o rendimento (ou juros) e o montante acumulado no final de 18 meses, de uma aplacação de $
68.000,00, a uma taxa de 3% a.m no regime de juros simples.
2) Uma instituição financeira cobra de seus clientes 28% a.a. no regime de juros simples pra saldos negativos
em conta especial. O banco sempre efetua seus cálculos com base no ano comercial. Quais os juros que o
banco cobrará para uma conta que ficou “estourada” em $ 4.200,00 por 16 dias?
3) Em quantos períodos um capital aplicado a juros simples de 20% ao período é quadruplicado?
4) Uma loja vende suas mercadorias com pagamento para após dois meses. Sabendo-se que determinado
produto a vista custa R$ 550,00 e, após dois meses, custa R$ 715,00, calcule a taxa de juros simples mensal
cobrada pela loja.
5) Qual o valor que deve ser aplicado hoje a uma taxa de 4% a.t. para obter $ 16.000,00 ao final de dois
anos?
6) A partir de qual prazo $ 3.000,00 aplicados à taxa de 15% a.m. será inferior a $ 2.400,00 aplicados à taxa
de 20% a.m.? Considere ambas as aplicações a juros simples.
7) Uma nota promissória tem valor de resgate igual a $ 40.000,00. Por quanto deveremos adquiri-la hoje, 128
dias antes do vencimento, se desejamos uma rentabilidade linear de 26% a.a.? Considere o ano comercial nos
cálculos.
8) Qual a taxa mensal de juros simples que, aplicada durante 16 meses, produz um total de juros igual a 38%
do valor do principal?
9) Um investidor aplicou 20% de seu capital a 15% a.a., 25% de seu capital a 18% a.a. e o restante a 12%
a.a., no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo que os juros
acumulados no final de dois anos foram iguais a $ 14.100,00
10) As indústrias 2º Período Ltda, aplicaram $ 50.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de nove meses (juros
simples). Pede-se: (a) Se dois meses antes do vencimento da aplicação, esta aplicadora decidir repassá-la,
quanto deverá receber, admitindo que, nessa data, a taxa de juros do mercado seja de 32% a.a.? (b) Qual
teria sido o prejuízo na operação no dia do repasse, considerando que a taxa de juros não tivesse variado?
(c) E se a taxa de juros fosse de 26% a.a., qual teria sido o valor do repasse?
11) Juvenal fez uma aplicação, a juros simples, que produziu um montante de $ 29.600,00 no final de 12
meses. Posteriormente, fez uma segunda aplicação, 35% superior a primeira, que rendeu um total de juros de
$ 9.720,00 no final de 9 meses. Determine a taxa mensal de juros simples e os valores dessas duas aplicações.
Gabarito:
1) J = 36720 e FV = 104720 2) R$ 52,27 3) 15 períodos 4) 15%
5) R$ 12.121,21 6) 20 meses 7) R$ 36.615,13 8) 2,375%
9) $ 50.000,00 10) a) $ 57.792,72 b) $ 665,61 c) $ 56.724,68
11) 4%, $ 20.000,00 e $ 27.000,00
3. Operações de desconto:
5
Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é comum o devedor oferecer ao credor um título que
comprove essa operação. De posse desse título, empregado para formalizar um compromisso que não será
liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo previamente estipulado, o credor poderá negociar com
uma instituição financeira o resgate antecipado desse título.
Normalmente, os títulos de crédito podem ser dos seguintes tipos:
 Nota promissória – é um título de crédito emitido pelo devedor, sob a forma de promessa de
pagamento, a determinada pessoa, de certa quantia em certa data. A nota promissória,
portanto, é uma promessa direta e unilateral de pagamento, à vista ou a prazo, efetuada, em
caráter solene, pelo promitente-devedor ao promissário-credor. Requisitos essenciais:
- a denominação "nota promissória";
- promessa solene e direta de pagamento;
- nome da pessoa a quem ou à ordem de quem deve ser paga (promissório-credor);
- indicação da data de emissão da nota promissória;
- assinatura do emitente (subscritor ou promitente-devedor);
- data de vencimento do título (na sua ausência o título é pagável à vista);
- lugar de pagamento da nota promissória (quando o título não especificar o lugar de seu
pagamento, deve ser considerado como tal o lugar de sua emissão);
- lugar de emissão.
 Duplicata mercantil – é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que poder ser pessoa
física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo, ou prestou serviços a serem pagos
no futuro (segundo contrato). Da duplicata devem constar o aceite do cliente; o valor nominal;
a data de vencimento; o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem se deverá
pagar. Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal.
 Cheques pré-datados – embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais
empregados em operações comerciais em função da facilidade operacional do uso.
As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores
futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao tempo, para
antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor
futuro torna-se igual ao valor presente mais o desconto. Observe que o desconto representa os juros
associados a operação.
Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma nomenclatura um pouco diferenciada:
Valor presente = valor líquido Valor nominal = valor futuro Desconto = juros
As operações de desconto podem ser de dois tipos:
 Racional (ou desconto por dentro) – a taxa de juros incide sobre o valor presente.
 Comercial (ou desconto por fora) – a taxa de juros incide sobre o valor futuro.
– Desconto Racional do regime de capitalização simples:
Exemplos:
1. Um título no valor nominal de $ 500,00 com vencimento programado para daqui a três meses, foi
descontado hoje. Sabendo que foi aplicado um desconto racional no regime de capitalização
simples, a uma taxa de 4,5% am, calcule o desconto e o valor líquido recebido.
2. Uma nota promissória cm valor nominal igual a $ 7.200,00 e com vencimento programado para
daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo que o desconto sofrido foi igual
a $ 480,00, calcule a taxa mensal efetiva da operação.
6
– Desconto Comercial e Bancário:
 Desconto comercial (ou por fora) – basta aplicarmos a taxa de juros sobre o valor futuro.
Exemplo: Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% am, calcule o
valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as seguintes características: praza =
38 dias, valor nominal = R$ 3.400,00
 Desconto bancário – existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o
IOF (Imposto sobre Operações Financeiras). De um modo geral, o desconto bancário será
igual ao desconto comercial mais uma taxa prefixada incidente sobre o valor nominal.
Embora exista a cobrança de taxa incidente sobre o valor nominal, na prática, a expressão
desconto bancário é empregada como sinônimo de desconto comercial.
Exemplos:
1. A empresa REAL MATISMO possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no
valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo
que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de
3% am mais uma taxa operacional de 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo
título.
2. Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa
simples de desconto por fora igual a 4% am. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a
0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após o desconto de um título de
valor nominal igual a R$ 12.500,00 e vencimento em 50 dias?
3. A Atlas Representações Ltda descontou um título com valor nominal igual a R$ 7.800,00 dois
meses antes do seu vencimento mediante uma taxa de desconto por fora igual a 7% am e um
percentual sobre o valor de face igual a 0,8%. Qual a taxa efetiva que incidiu sobre o valor líquido
recebido pela empresa?
4. O desconto bancário de um título com valor nominal igual a R$ 15.000,00 rendeu, líquidos, R$
12.885,00. Se a taxa de desconto por fora foi igual a 3% am, e o prazo da operação foi igual a
quatro meses e meio, estime a taxa percentual incidente sobre o valor nominal da operação.
5. A fábrica das MEDALHAS MILAGROSAS recebeu, líquidos, R$ 16.613,00, resultantes do
desconto de uma nota promissória no valor de R$ 18.500,00. Se a taxa de desconto por fora da
operação foi igual a 5% am e a taxa aplicada sobre o valor nominal da operação foi igual a 0,20%,
calcule a duração da operação.
3ª Lista de exercícios
7
1) Uma instituição financeira realiza uma operação de desconto bancário mediante a aplicação de uma taxa
de desconto por fora igual a 6% ao mês e uma taxa incidente sobre o valor nominal de 0,7%. Considere um
título no valor de R$ 4.800,00, descontado 85 dias antes do vencimento. Calcule: (a) o valor do desconto; (b)
a taxa mensal efetiva que incidiu sobre o valor líquido.
2) A Parangolé Ltda verificou que uma operação de desconto bancário apresenta uma taxa de desconto por
fora igual a 4% am e uma taxa incidente sobre o valor nominal do título igual a 0,4%. Se o valor nominal do
título foi igual a R$ 40.000,00 e o desconto foi igual a R$ 8.160,00, calcule a duração da operação em meses.
3) O Banco Genérico opera com juros simples, descontando uma promissória por $ 20.000,00, aplicando uma
taxa de desconto comercial igual a 28% aa. Sabendo que o prazo de vencimento da promissória é de quatro
meses, determine seu valor de resgate.
4) Uma nota promissória com um valor de resgate de $ 300.000,00 é descontada com uma taxa de desconto
de 33% aa, a juros simples, pelo prazo de dois meses. Determine os valores presentes dessa operação, nas
seguintes hipóteses: (a) utilizando-se a taxa de desconto por dentro; (b) utilizando-se a taxa de desconto por
comercial.
5) Um título de R$ 48.000,00 é liquidado 56 dias antes de seu vencimento, com uma taxa de desconto
comercial de 5,62% am. Determine o valor a ser descontado do título e a taxa anual de desconto racional,
assumindo regime de juros simples e ano com 360 dias.
6) O desconto de um recebível com valor nominal igual a $ 60.000,00 proporcionou um crédito de $
57.300,00 na conta de um cliente de um banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial
igual a 18% aa. Determine o prazo em dias até o vencimento do título e a taxa anual de desconto por dentro,
assumindo regime de juros simples e ano com 360 dias.
7) Em uma operação de desconto com prazo de três meses, o valor presente de um título é igual a 85% de seu
valor de resgate. Determine as taxas mensais de desconto comercial e racional dessa operação, no regime de
juros simples.
8) (TTN,1994) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso,
a juros simples, a uma taxa de 10% aa, vencível em 180 dias, cm desconto comercial. No segundo caso, com
desconto racional, mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos por fora e por
dentro, foi de R$ 635,50, calcule o valor nominal do título.
9) O valor de resgate de uma nota promissória, em seu vencimento, é igual a 120 vezes o valor de seu
desconto comercial com uma taxa de 1,5% aa. Determine o prazo em dias dessa operação de desconto
comercial, no regime de juros simples, assumindo ano com 360 dias.
10) (TCU – AFCE 2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco,
trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse
ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal como imposto financeiro, no
momento do desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos de taxa de juro real paga pela
empresa?
Gabarito:
1) (a) R$ 849,60 (b) 7,59% am 2) 5 meses 3) R$ 22.058,82
4) (a) R$ 284.360,19 (b) R$ 283.500,00 5) (a) R$ 5.035,52 (b) 75,34% aa
6) 90 dias e 18,85% aa 7) 5% e 5,88% 8) R$ 6.510,00
9) 200 dias 10) 4,71% am
8
Capítulo – 4: CALCULADORA HP-12C
1. Ligar/desligar: ON
2. Formatar exibição de casas decimais: [f] e o número de casas desejado. Ex.: 5 casas, apertar [f] 5
3. Lógica RPN: observe que a calculadora não apresenta a tecla =. Ela trabalha com uma lógica
matemática diferente: a lógica RPN (no inglês, Reverse Polish Notation, ou Notação Polonesa
Reversa). Os operandos (números) devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser
colocados os operadores (+ - ÷ x ). Ex.: para fazermos a operação 45 + 52, devemos digitar :
45 [ENTER] 52 +
4. Limpeza de registros: teclas [f] [REG] limpam todos os registros (inclusive os financeiros), ficando
apenas os programas.
5. Tecla [CHS]: Esta tecla serve para trocar o sinal de um número. De positivo para negativo e vice
versa.
6. Tecla [STO]: Esta tecla serve para armazenar dados e informações nas memórias. A HP tem 20
memórias diretas. Para introduzir um número na memória é muito simples. Consideremos que o
número 145 deva ser guardado na memória “5”. Como fazer?
1)digitar o número 145;
2)pressionar [STO];
3)pressionar [5].
7. Tecla [RCL]: Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos fazer um
teste.
1) pressione [RCL]
2) pressione [5]
O número surge no visor porque estava retido na memória “5”.
8. Pilhas de registradores: Permitem e facilitam a realização de cálculos sucessivos.
9
Ex.: A expressão
1217
545
−
+
é assim resolvida: 45 [ENTER] 5 + 17 [ENTER] 12 – ÷
9. Registradores financeiros: São as teclas localizadas logo abaixo do visor:
[n] prazo; [i] taxa; [PV] Presente Value ou Valor Presente; [PMT] Periodic Payment ou
prestação; [FV] Future Value ou Valor Futuro.
A limpeza se dá através da seqüência de teclas [f][FIN].
Os registradores financeiros serão trabalhados nos capítulos seguintes.
10. Tecla 





x
1
: Esta tecla serve para calcular o inverso de um número. Para calcular o 1/153 basta teclar
153 





x
1
11. Funções algébricas: permitem operações com raízes, potências, fatoriais e logaritmos:
[g] [ ]x calcula raiz quadrada. Ex.: 225 Teclar 225 [g] [ ]x
[g] [n!] calcula o fatorial de um número. Ex.: 7! Teclar 7 [g] [n!]
[yx
] calcula y elevado a x. Ex.: 143
Teclar 14 [ENTER] 3 [yx
]
12. Funções percentuais: funções que facilitam cálculos percentuais.
[%] calcula a porcentagem fornecida no registrador x em cima do registrador y.
Ex.: 40% de 400 400 [ENTER] 40 [%]
[%T] calcula quantos por cento do registrador y o registrador x vale.
Ex.: Se R$ 1320,00 é 100%, R$ 1650,00 é quanto por cento?
1320 [ENTER] 1650 [%T]
[∆%] calcula a variação porcentual existente entre os registradores y e x, nessa ordem.
Ex.: Se uma família consumiu 250 kWh de energia elétrica no mês de junho e 300 kWh em
julho, então qual foi a variação percentual?
250 [ENTER] 300 [∆%]
13. Funções de datas: A HP permite cálculos com datas entre 15/10/1582 e 25/11/4046. Configurações:
[g] [D.MY]: configura a HP para trabalhar no modo de dia.mês.ano. Esta opção é a mais
recomendada.
[g] [M.DY]: configura a HP para trabalhar no modo de mês.dia.ano.
[g] [DATE]: calcula uma data futura ou passada acrescida do número de dias presente no registrador
x. Essa função também permite obter o dia da semana de uma data procurada, que aparece logo após
o resultado no visor. Por convenção a HP considera 1 = 2ª feira, 2 = 3ª feira, 3 = 4ª feira, 4 = 5ª feira,
5 = 6ª feira, 6 = sábado e 7 = domingo.
Ex.: Uma aplicação feita em 24/07/2008 vence em 52 dias. Quando será o resgate dessa aplicação?
Primeiro configura: [g] [D.MY]
Depois calcula: 24.072008 [ENTER] 52 [g] [DATE]
Ex.: Uma pessoa nasceu em 18/04/1992. Em que dia da semana ela nasceu?
18.041992 [ENTER] 0 [g] [DATE]
10
[g] [∆DYS]: calcula o número de dias corridos existentes entre duas datas fornecidas.
Ex.: Uma duplicata venceu em 13/04/08 e foi paga em 27/07/08. Com quantos dias de atraso a
duplicata foi quitada?
13.042008 [ENTER] 27.072008 [g] [∆DYS]
4ª Lista de exercícios
1) Calcule na HP 12C:
(a) 125 + 36
(b) 12,5 + 87,3
(c) 143 – 258
(d) 47 x 5,21
(e) 23,4
4
2) Calcule na HP 12C:
(a)
7
56
5090 −
(b) 2
6
36
⋅
(c)
21
20
327
2
9
45
−
⋅
−
(d) 











⋅−+
9
82
745
3) Calcule os inversos de:
(a) 15 (b) 0,23
(c) – 32 (d) 48 (e) – 1,56
4) Calcule na HP 12C:
(a) 83
(b) 16– 0,25
(c) 720,32
(d) 15– 0,5
(e) 52 (f) 128 (g) 625,390 h) 5!
(i) 11!
5) Calcule na HP 12C:
(a) 2
1
400
11
(b)
3
1
45826
452
(c)
!4
53
(d) 3
13689
(e) 154,235,86
6) Calcule:
(a) 25% de 280
(b) 37% de 782
(c) 450 + 25% de 450
(d) 156 – 18% de 156
7) Calcule a evolução percentual, com base no primeiro valor fornecido, dos preços da tonelada de minério
de ferro apresentada a seguir:
VALOR (R$) EVOLUÇÃO (%)
1.256,71 100%
1.352,77 A
1.455,20 B
1,578,16 C
8) Calcule as variações percentuais dos gastos de uma família relatados a seguir. Que item apresentou maior
crescimento?
DESCRIÇÃO 2006 2007 VARIAÇÃO %
Alimentação 400 460 a
Vestuário 260 320 b
Moradia 380 470 c
9) Um pagamento deveria ter ocorrido em 16/04/2007. Entretanto, foi pago com atraso em 28/09/2007. Com
quantos dias de atraso o documento foi quitado?
10) Uma pessoa nasceu em 16/08/1976. Em que dia da semana ela nasceu?
11) Uma pessoa, que nasceu em 20/02/78, possuía quantos dias de vida em 01/09/99?
12) Um título comprado em 01/05/99 teve prazo de 32 dias corridos. Quando ocorreu o vencimento?
Capítulo – 5: JUROS COMPOSTOS
1. Mecanismo dos juros compostos:
12
A taxa de juros incide sobre o montante acumulado no final do período anterior. Exemplos:
 R$ 800,00 aplicados durante seis meses a uma taxa de juros compostos de 8% ao mês.
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final
0 800,00 0 800,00
1 800,00 64,00 864,00
2 864,00 69,12 933,12
3 933,12 74,65 1007,77
4 1007,77 80,62 1088,39
5 1088,39 87,07 1175,46
6 1175,46 94,04 1269,50
Em função da complexidade de solução algébrica, daremos ênfase em ilustrar os cálculos com juros
compostos na calculadora HP 12C.
2. Fórmula do Juro Composto:
FV = PV (1 + i)n
Obs.: No regime de juros compostos nunca multiplique ou divida a taxa de juros.
Fórmulas derivadas:
 Valor presente:
( )n
i1
FV
PV
+
=
 Taxa de juros: ( ) ( ) 1
PV
FV
i
PV
FV
i1
PV
FV
i1i1PVFV
n
1
n
nn
−





=→=+→=+→+=
 Prazo:
( ) ( ) ( ) 





=+→=+→+=
PV
FV
logi1log
PV
FV
i1i1PVFV
nnn
→
( )
( )i1log
PV
FV
log
n
PV
FV
logi1logn
n
+






=→





=+
Exemplos:
1. Determinar o montante composto produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado a juros
compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e meio.
Solução algébrica: Temos: VP = 1000 i = 10% as = 0,1 n = 1 ano e meio = 3 semestres
FV = 1000( )
3
1,01+ = 1331
13
Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2
1000 CHS [PV]
10 [i]
3 [n]
[FV]
2. Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a $
8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% am, calcule o valor presente.
Solução algébrica: Temos: FV = 8400 i = 2% am = 0,02 n = 6 meses
( ) ( )
96,458.7
1261624,1
8400
02,01
8400
i1
FV
PV 6n
==
+
=
+
=
Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2
8400 CHS [FV]
2 [i]
6 [n]
[PV]
3. Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros após permanecer aplicado por 4
meses. Qual foi a taxa de juro mensal da aplicação?
Solução algébrica: Temos: PV = 430 J = 80 n = 4 meses FV = 430 + 80 = 510
( ) %36,40436,010436,01186,11
430
510
1
PV
FV
i 4
14
1
n
1
==−=−=−





=−





=
Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2
430 CHS [PV]
510 [FV]
4 [n]
[i]
4. Um montante de $ 630,00 foi obtido após a aplicação de $ 570,00 a uma taxa de juros
compostos igual a 3% am. Qual foi a duração da operação?
Solução algébrica: Temos: VP = 570 FV = 630 i = 3% am = 0,03
( ) ( )
3859,3
01283722,0
04346569,0
03,1log
1052631,1log
03,01log
570
630
log
i1log
PV
FV
log
n ===
+






=
+






=
Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2
570 CHS [PV]
630 [FV]
3 [i]
[n]
Observe que dá n = 4. A HP arredonda para o inteiro superior. Portanto, o
cálculo do prazo deve ser algébrico.
14
5ª Lista de exercícios
1) Uma máquina de calcular é anunciada por $ 140,00 a vista ou para pagamento com prazo igual a dois
meses, mediante uma taxa igual a 5% am. Qual o valor futuro?
2) Suponha que Maradona aplique $ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 5% am. Quanto ele terá daqui a
14 meses?
3) Calcule o valor futuro de um capital de $ 52.000,00, aplicado à taxa de juros de 3,8% am pelo prazo de
três anos.
4) Quanto Juliana terá, ao final de três anos, numa aplicação que rende 6,4% ao semestre, efetuando hoje um
depósito de $ 8.400,00?
5) Se um cliente aplicou $ 25.000,00 em um CDB de 42 dias a uma taxa de 50% aa, quanto o banco deverá
creditar em sua conta, desconsiderando o imposto de renda? Considere o ano comercial.
6) Qual o valor presente de um montante igual a $ 48.700,00, aplicado à taxa de juros de 35% aa por seis
meses?
7) Samuel quer fazer uma aplicação hoje para possuir $ 5.000,00 daqui a um ano. Sabendo que a taxa de
juros compostos dessa operação é de 1,8% am, quanto ele deverá aplicar?
8) Calcule os juros auferidos após uma aplicação de $ 62.000,00 com prazo de 42 dias, a uma taxa efetiva de
18% aa, assumindo regime de juros compostos e ano com 360 dias.
9) Uma aplicação financeira gerou um montante de $ 38.540,00 no prazo de 8 meses, a uma taxa de 3,8%
am. Qual o capital inicialmente aplicado?
10) A empresa Mudanças Gatuno Ltda possui duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias,
com valores de $ 22.000,00 e $ 37.000,00, respectivamente, e deseja liquidá-las antecipadamente. Calcule o
valor a ser desembolsado para uma taxa de 2,8% am. Considere o regime de capitalização composta.
11) Poliana aplicou $ 8.000,00 pelo prazo de quatro anos no regime de juros compostos com taxa de juros
igual a 3,8% am. Determine:
(a) qual o valor de resgate no final do mês 48?
(b) Se, no final do mês 17, ele retirasse $ 3.800,00, valor da data, qual seria o valor resgatado
ao completar o quarto ano?
12) João Pedro resgatou $ 35.000,00 de uma aplicação pelo prazo de dois anos e 8 meses no regime de juros
compostos com taxa de juros de 2,4% am. Determine:
(a) qual o valor do investimento na data 0?
(b) Se, no final do mês 16 tivessem sido retirados $ 8.400,00, valor da data, qual o novo valor do
investimento na data 0?
13) Alessandra vai viajar para a Europa daqui a 32 meses, quando estima necessitar de R$ 9.500,00 para
poder pagar os gastos associados ao passeio. Pede-se:
15
(a) Se um banco lhe oferece a oportunidade de investir num fundo de renda fixa com taxa de juros de
2,68% am, qual o valor que ela deve investir hoje?
(b) Outro banco oferece a oportunidade de investir em fundo de renda fixa com taxa de juros igual a
2,52% am durante os 10 primeiros meses e taxa de juros igual a 2,74% am para os restantes 22 meses.
Qual o valor que Alessandra deve investir hoje?
(c) qual é a melhor alternativa?
14) A Matrix Confecções S.A. captou $ 80.000,00 por meio da emissão de títulos de dívidas, com
vencimento em prazo igual a 350 dias e uma taxa efetiva de juros compostos igual a 4% am. Pede-se:
(a) quais os juros incidentes sobre a operação?
(b) Se os juros fossem pagos antecipadamente, ou seja, no momento de receber o empréstimo, qual o
valor da taxa de juros que incidiu sobre essa nova modalidade de operação?
15) Em quantos meses um capital de $ 850,00 dobra quando aplicado a 5% am, no regime de juros
compostos?
16) Determine o prazo, expresso em anos, necessário para quintuplicar um capital aplicado a uma taxa de
28% aa, no regime de juros compostos.
17) Zé do Caixão aplicou um capital de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 3,6% am, no
regime de juros compostos. Determinar os valores a serem recebidos no final do 6º mês, nas seguintes
hipóteses:
(a) com juros capitalizados nos seis meses
(b) Se, no final do mês 16 tivessem sido retirados $ 8.400,00, valor da data, qual o novo valor do
investimento na data 0?
18) Teresa precisa ir ao banco para tomar emprestado $ 850,00. O pagamento deverá ser efetuado daqui a 60
dias, e foi anunciada a cobrança de uma taxa de juros de 6,5% am. Por quantos dias o empréstimo deverá
ficar retido no banco, de forma que o banco alavanque seu ganho para 8% am?
Gabarito:
1) $ 154,35 2) $ 15.839,45 3) $ 199.116,88 4) $ 12.187,90 5) $ 26.211,02
6) $ 41.914,28 7) $ 4.036,42 8) $ 1.208,86 9) $ 28.597,82 10) $ 53.948,48
11) (a) $ 47.925,09 (b) $35.849,69 12) (a) $ 16.385,87 (b) $ 10.638,35
13) (a) R$ 4.075,45 (b) R$ 4.086,65 (c) a 1ª opção 14) (a) $ 46.418,98 (b) $ 7,72%
15) 14,2 meses 16) 6,52 anos 17) (a) $ R$ 30.909,97 (b) R$ 25.900,00
18) 11 dias aproximadamente
3. Taxas: nominal, efetiva e equivalente.
A Taxa Nominal é expressa normalmente para periodicidade anual, sendo transformada em taxa para
periodicidade menor de forma proporcional através de uma regra de três simples e direta.
i1 (taxa conhecida) ___________________ n1 (período da taxa conhecida)
i2 (taxa desconhecida) _________________ n2 (período da taxa desconhecida)
16
Exemplos:
1. Qual a taxa anual proporcional à taxa de 10% am?
10 % ---------------------------- 1 mês
i2 --------------------------------------------- 12 meses
Logo, i2 = 120% aa
2. Qual a taxa mensal proporcional a 180% aa?
180 % ---------------------------- 12 meses
i2 --------------------------------------------- 1 mês
Logo, i2 = %15
12
180
= am
3. O valor de $ 10.000,00 foi aplicado a taxa nominal de 360% aa, durante 1 ano. Calcule o
montante considerando capitalização: (a) semestral (b) trimestral (c) mensal
(a) i = 360/2 = 180% as = 1,8 FV = 10000 (1 + 1,8)2
= 78400
(b) i = 360/4 = 90% at = 0,9 FV = 10000 (1 + 0,9)4
= 130321
(c) i = 360/12 = 30% am = 0,3 FV = 10000 (1 + 0,3)12
= 232980,85
A Taxa Efetiva é a taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, independentemente
do período de capitalização. Isto quer dizer que se um capital foi aplicado durante um tempo a determinada
taxa, não importa o período de capitalização, que o montante será o mesmo. Quando queremos ajustar uma
taxa ao período de capitalização utilizamos a equivalência de taxas.
Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado por um prazo e,
calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo resultado. Basta aplicar a fórmula:
( ) 11 1
2
12 −+= n
n
ii
Exemplos:
4. Qual a taxa anual equivalente à taxa de 10% am?
( ) ( ) %8428,213138428,211,0111 1
12
12 1
2
==−+=−+= n
n
ii aa
5. Qual a taxa mensal proporcional a 180% aa?
( ) ( ) %959,808959,018,1111 12
1
12 1
2
==−+=−+= n
n
ii am
6. O valor de $ 10.000,00 foi aplicado a taxa efetiva de 360% aa, durante 1 ano. Calcule o
montante considerando capitalização: (a) semestral (b) trimestral (c) mensal
(a) ( ) ( ) %476106,11414476106,116,3111
360
180
1
2
12 ==−+=−+= n
n
ii as
FV = 10000 (1 + 1,14476106)2
= 46000
(b) ( ) ( ) %450028,4646450028,016,3111
360
90
1
2
12 ==−+=−+= n
n
ii at
17
FV = 10000 (1 + 0,46450028)4
= 46000
(c) ( ) ( ) %561160,1313561160,016,3111
360
30
1
2
12 ==−+=−+= n
n
ii am
FV = 10000 (1 + 0,13561160)12
= 46000
OBS.: Independentemente da capitalização, o montante é $ 46.000,00
6ª Lista de exercícios
1) Calcular a taxa anual equivalente a:
(a) 5% am
(b) 12% ao semestre
(c) 8% ao trimestre
(d) 10% ao quadrimestre
2) Calcular a taxa mensal equivalente a:
(a) 10% ao bimestre
(b) 60% aa
(c) 30% ao semestre
(d) 15% ao trimestre
3) Faça os cálculos necessários e complete a tabela:
TAXA PROPORCIONAL TAXA EQUIVALENTE
35% aa % am % am
46,5% am % ao trimestre % ao trimestre
2,5% am % ao dia % ao dia
14% am % ao ano % ao ano
Gabarito:
1) (a) 79,58563% aa (b) 25,44% aa (c) 36,048896% aa (d) 33,1% aa
2) (a) 4,880885% am (b) 3,994411% am (c) 4,469751% am (d) 4,768955% am
3)
TAXA PROPORCIONAL TAXA EQUIVALENTE
2,916667 % am 2,532406% am
139,5 % at 214,421963% at
0,083333 % ad 0,082343% ad
168 % aa 381,790482% aa
4. Desconto Composto:
As operações de desconto comercial, bancário, ou por fora, são quase sempre realizadas no regime de
capitalização simples. Entretanto, as operações de desconto racional podem ser feitas tanto na metodologia
dos juros simples ou dos juros compostos.
 Desconto racional a juros compostos: trata-se da aplicação direta da fórmula dos juros
compostos.
Exemplos:
18
1. Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% am,
capitalizável mensalmente, determinou um valor de resgate de $ 12.400,00?
Solução algébrica: Temos: PV = 12400 i = 10% as = 0,1 n = 3 meses
FV = 12400( )
3
1,01+ = 16504,40
Solução na HP 12C: 12400 CHS [PV]
10 [i]
3 [n]
[FV]
2. Qual é o valor de resgate de um título de $ 16.302,80 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de
desconto racional composto de 46,41% aa capitalizável trimestralmente.
Solução algébrica: Primeiramente, precisamos encontrar a taxa trimestral através da equivalência de
taxa.
( ) ( ) %101,014641,0111 4
1
12 1
2
==−+=−+= n
n
ii at
Temos: FV = 16302,80 i = 0,1 at n = 9 meses = 3 trimestres
( ) ( )
53,248.12
331,1
80,16302
1,01
80,16302
i1
FV
PV 3n
==
+
=
+
=
Solução na HP 12C: 16302,80 CHS [FV]
10 [i]
3 [n]
[PV]
3. Determinar o valor do desconto racional composto de um título de $ 20.000,00, descontado 9
meses antes de seu vencimento à taxa efetiva de desconto racional composto de 42,15% aa,
capitalizável trimestralmente.
Solução algébrica: Primeiramente, precisamos encontrar a taxa trimestral através da equivalência de
taxa.
( ) ( ) %191,909191,014215,0111 4
1
12 1
2
==−+=−+= n
n
ii at
Temos: FV = 20000 i = 0,09191 at n = 9 meses = 3 trimestres
( ) ( )
77,362.15
3018487,1
20000
09191,01
20000
i1
FV
PV 3n
==
+
=
+
= D = 20000 – 15362,77 = 4.637,23
Solução na HP 12C: 20000 CHS [FV]
9,191 [i]
3 [n]
[PV]
20000 –
19
4. Determinar a taxa de desconto racional composto de um título de $ 16.504,40, capitalizado
mensalmente, descontado 3 meses antes do vencimento por $ 12.400,00
Solução algébrica: Temos: FV = 16504,40 PV = 12.400,00 n = 3 meses
( ) %101,011,11331,11
12400
16504,40
1
PV
FV
i 3
13
1
n
1
==−=−=−





=−





=
Solução na HP 12C: 16504,40 CHS FV
12400 PV
3 [n]
i
5. Um título de $ 15.000,00 foi descontado à taxa de desconto racional composto de 9% am.
Sabendo que o valor líquido foi $ 11.250,00, quanto tempo antes do vencimento foi descontado?
Solução algébrica: Temos: FV = 15000 PV = 11250 i = 9% am = 0,09
( ) ( )
3,3
037426,0
1249386,0
09,1log
333333,1log
09,01log
11250
15000
log
i1log
PV
FV
log
n ===
+






=
+






=
meses
OBS.: Lembre-se que a HP arredonda o cálculo para o próximo número inteiro. Portanto o cálculo do
prazo deve ser algébrico.
7ª Lista de exercícios
1) Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a $ 600,00, descontado cinco meses antes do
vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% am.
2) Determine o valor do desconto racional composto de um título de $ 40.000,00, com vencimento no prazo
de 85 dias, a uma taxa de juros de 1% am, assumindo o ano comercial.
3) Uma nota promissória no valor de R$ 60.000,00 foi resgatada 68 dias antes de seu vencimento com uma
taxa de desconto por dentro de 15% aa. Determine o valor do principal dessa operação, assumindo regime de
juros compostos e ano com 360 dias.
4) Um cliente do Banco do Daniel Dantas verificou que em uma operação de desconto com prazo de sete
meses, o valor presente de um título é igual a 82% do seu valor de resgate. Determine a taxa mensal de
desconto racional dessa operação, no regime de juros compostos.
5) Sandra fez uma aplicação de $ 40.000,00 pelo prazo de 88 dias com uma taxa de juros de 15% aa, num
banco de investimentos que opera com juros compostos. Decorridos 42 dias solicitou a liquidação antecipada
de sua aplicação e o banco lhe ofereceu uma taxa de desconto por dentro de 22% aa sobre o valor de resgate
do título, com 46 dias de prazo a decorrer até seu vencimento. Determine:
(a) O valor a ser pago pelo banco nessa liquidação antecipada, assumindo ano com 360 dias e desprezando os
impostos envolvidos em operações financeiras.
(b) A taxa de juros efetiva da operação.
20
6) (Fiscal GDF) Um título no valor nominal de R$ 1.713,00 foi descontado (por dentro), no regime de juros
compostos, e obteve-se um desconto de R$ 713,00 a uma taxa de 8% am. Qual foi o período de antecipação
desse título?
7) (CFC Técnico 2001) Quanto tempo de antecedência um título foi descontado, se o valor do desconto foi
igual a 1/5 do valor do título e a taxa de descontos compostos foi de 20% am?
8) Quais os juros de $ 20.000,00, no fim de 2 anos e meio, à taxa efetiva de 20% aa, capitalizável
trimestralmente?
9) O desconto racional de um título, pago um ano e três meses antes do vencimento foi $ 51.900,00. Calcular
o valor nominal do título, sabendo que a taxa efetiva anual empregada foi de 48% com capitalização
trimestral.
10) Um título de $ 740.000,00 é descontado, por desconto racional composto, 5 meses antes do vencimento,
pelo valor de $ 642.200,00. Qual é a taxa, considerando a capitalização mensal?
11) Ricardo tem um título com valor nominal igual a $ 10.000,00 com vencimento em 14 meses e que é
remunerado a uma taxa de juros compostos de 18% aa. Além disso, possui $ 7.000,00, que irá receber após
ter feito uma aplicação a 21% aa, em juros simples durante o mesmo prazo do título. Pergunta-se: quanto ele
possui hoje? Considere descontos racionais.
12) Uma empresa vai ao banco para descontar uma duplicata de $ 95.000,00 com vencimento para daqui a 8
meses. Se a taxa de juros for de 24% aa e a taxa de serviço igual a 1% do valor nominal da operação, qual
será a taxa efetiva anual paga pela empresa?
13) Dercy Gonçalves tem uma dívida com valor nominal de $ 6.000,00 a ser paga daqui a três meses, a uma
taxa de juros compostos de 2% am. No entanto, ela recebeu hoje uma quantia de $ 2.900,00, que será usada
para abater a dívida futura. Para quanto passará a dívida futura de Dercy Gonçalves?
14) Duas firmas estão em concorrência para adquirir certa propriedade. A Companhia do Rio Estreito toma
conhecimento que a oferta da Imobiliária Reis constitui-se de $ 200.000,00 a vista e mais um título de $
80.000,00 para 180 dias. Se a Rio Estreito no momento só pode dispor de $ 120.000,00, qual deve ser o valor
do título para 140 dias que ela deve incluir na proposta a fim de empatar a concorrência? Suponha uma taxa
de juros compostos vigente igual a 2% am e considere o ano comercial.
Gabarito:
1) $ 106,84 2) $ 1.111,96 3) $ 58.436,76 4) 2,8756% am
5) (a) $ 40.351,75 (b) 7,7933% aa 6) 7 meses 7) 1,2 meses
8) $ 11.548,78 9) $ 133.970,00 10) 2,8756% am 11) $ 13.866,48
12) 26,18% aa 13) $ 2.922,49 14) $ 165.660,71
Capítulo – 6: INFLAÇÃO E TAXA DE JUROS
1. A Álgebra das Taxas de Juros:
Um cuidado constante em operações financeiras deve ser tomado com as operações matemáticas
envolvendo taxas de juros. Quando duas ou mais taxa incidem seqüencialmente sobre um valor ou sobre
uma seqüência de valores, como no caso da capitalização composta, a taxa resultante não é a soma das
taxas individuais. Exemplos:
21
1. Um produto custava $ 40,00 e sofre dois aumentos sucessivos de 20% e 30%,
respectivamente. Qual o preço final do produto e qual a variação percentual do preço do
produto?
 Solução (calculadora comum):
Vamos calcular a variação percentual: 100 + 20% = 120 120 + 30% = 156 156 – 100 = 56%
Preço final = 40 + 56% = 62,4
 Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 20% + 30% + 100 –
2. Calcule a taxa de variação anual, resultante das seguintes variações quadrimestrais: 2,52%;
3,15%; 4,58%.
Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 2,52% + 3,15% + 4,58% + 100 –
(visor: 10,5927% aa)
3. Um investidor aplicou a importância de $ 40.000,00 pelo prazo de três meses, resgatando um
montante igual a $ 51.200,00. Se as taxas nos dois primeiros meses foram iguais a 5% e 6%,
qual a taxa que remunerou suas aplicações no último mês? Considere o regime dos juros
compostos.
1ª Solução na HP 12C: 40000 [ENTER] 5% + 6% + (visor: 44520)
44520 CHS PV
51200 FV
1 n
i
(visor: 15,0045%)
2ª Solução na HP 12C: 40000 [ENTER] 5% + 6% + (visor: 44520)
51200 [ENTER]
44520 ÷
1 –
100 X
(visor: 15,0045%)
4. As taxas do CDI over (taxa nominal apresentada ao mês, porém com capitalização diária) nos
cinco primeiros dias úteis de um determinado mês foram iguais a 1,82%; 1,78%; 1,65%;
1,90% e 1,88%. Qual a taxa efetiva de juros do período?
Solução na HP 12C: 100 [ENTER]
1,82 [ENTER] 30 ÷ % +
1,78 [ENTER] 30 ÷ % +
1,65 [ENTER] 30 ÷ % +
1,90 [ENTER] 30 ÷ % +
1,88 [ENTER] 30 ÷ % +
100 –
(visor: 0,301362%)
2. Inflação:
Um período inflacionário é uma época de preços em elevação. Durante esse período, uma certa
quantidade de dinheiro compra menor quantidade de bens do que comprava antes. Uma elevação nos preços
em toda a economia de uma nação gera inflação.
A elevação esporádica dos preços de alguns bens na economia, a exemplo do que ocorre com
produtos agrícolas na safra e entressafra, não é considerada como inflação.
22
3. Taxa Aparentes ou Unificadas:
A taxa aparente ou unificada resulta da aplicação sucessiva de uma taxa de juros real e da variação
inflacionária. Fórmulas úteis:
( ) ( ) ( ) ( )n21
nn
i1i1i1r1i)(1 ++⋅+⋅+=+ 
r = taxa real i = taxa efetiva i1, i2, ... , in = taxas de correção (inflação)
1
1
i1
r −
+
+
=
c
1
r1
i1
c −
+
+
= i = (1 + c) (1 + r) – 1
r = taxa real c = taxa de correção (inflação) i = taxa efetiva
Exemplos:
1. Uma operação com duração de um mês foi realizada com uma taxa de 3% am mais a correção
inflacionária de 2% am. Determine a taxa de juros aparente.
Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 3% + 2% + 100 – (visor: 5,06% am)
2. Uma operação foi realizada por três meses a uma taxa de juros real de 2% am, acima da inflação.
Se os percentuais de inflação nos meses analisados foram iguais a 1, 3 e 5% am, qual foi a taxa
aparente mensal que incidiu durante o período da operação?
( ) ( ) ( ) ( )n21
nn
i1i1i1r1i)(1 ++⋅+⋅+=+ 
( ) ( ) ( ) ( )05,0103,0101,0102,01i)(1
33
+⋅+⋅+⋅+=+
=+ 3
i)(1 1,159173 → 3
159173,1i1 =+ → i = 0,050468 = 5,0468% am
3. Calcule a taxa aparente dos rendimentos mensais da caderneta de poupança, supondo que os
índices de atualização em três meses analisados foram iguais a 0,6099%; 0,5247% e 0,5314%.
Sabe-se que o rendimento real da poupança é igual a 0,5% am.
Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 0,5% + 0,6099% + 100 – (visor: 1,1129%) → 1º mês
100 [ENTER] 0,5% + 0,5247% + 100 – (visor: 1,0273%) → 2º mês
100 [ENTER] 0,5% + 0,5314% + 100 – (visor: 1,0341%) → 3º mês
4. Um investidor aplicou $ 130.000,00 por três meses em uma instituição financeira, resgatando o
montante de $ 160.000,00. Pede-se para determinar qual a taxa de juros mensal: (a) aparente da
operação (b) real da operação, sabendo que a taxa de inflação média mensal foi igual a 2%.
(a) Solução na HP 12C: 130000 CHS PV
160000 FV
3 n
i
(visor: 7,1665% am)
(b) ==−=−
+
+
=−
+
+
= 5065,01
02,1
071665,1
1
02,01
071665,01
1
1
i1
r
c
5,0652% am
23
5. As indústrias Macambira captaram $ 4.200,00 pelo prazo de quatro meses, o que ocasionou um
pagamento de juros no valor de $ 1.220,20. Se a taxa de juros real da operação foi igual a 2% am e
as taxas inflacionárias nos meses 1, 2 e 3 foram respectivamente iguais a 5%, 3% e 4%, calcule a
taxa inflacionária do quarto mês.
4200 CHS PV ( ) ( ) ( ) ( )n21
nn
i1i1i1r1i)(1 ++⋅+⋅+=+ 
5420,20 FV ( ) ( ) ( ) ( )4
44
i103,0105,0102,01)06583875,0(1 +⋅+⋅+⋅+=+
4 n 1,290524 = 1,217476 . (1 + i4)
i ( )
217476,1
290524,1
i1 4 =+
(visor: 6,583875%) i4 = 6%
8ª Lista de exercícios
1) Certo produto sofreu um aumento de 20%. Dias depois sofreu outro aumento de 15%. Calcule o aumento
total que o produto sofreu.
2) A taxa aparente mensal de juros incidentes sobre uma operação financeira com três meses de prazo foi
igual a 4,7185%. Se as taxas de inflação nos três meses analisados foram iguais a 2,5%; 3,4% e 2,1%, calcule
a taxa de juros real mensal da operação.
3) A aplicação de $ 14.800,00 rendeu um valor futuro de $ 18.765,91 após seis meses. Se a taxa inflacionária
foi igual a 1% em três meses e 2% nos demais meses, calcule a taxa de juros real mensal da operação.
4) Em sua última captação de recursos, a Companhia do Brejo Fundo tomou dinheiro pagando uma taxa real
de juros de 1% am durante quatro meses. Se as taxas de inflação mensais foram iguais a 1,1%; 1,0%; 0,8% e
0,9%, calcule a taxa de juros mensal aparente da operação.
5) (Fiscal de ICMS/MS 2000) A taxa de inflação acumulada de 1999 medida pelo IGPM foi de 20,10%. Um
investidor afirma ter auferido, em uma aplicação financeira, um rendimento real de 12% ao de 1999, usando
o IGPM como índice de inflação. Calcule a taxa efetiva de juros.
6) (BC 1994) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. Qual foi o ganho real?
7) (BNB 2004) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por um período de 2 anos, transformando-se em R$
40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual foi a inflação medida no mesmo período?
Gabarito: 1) 38% 2) 2% 3) 2,5% 4) 1,9594% 5) 34,5120%
6) 20% 7) 300% ao período
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Administração de Empresas - Matemática Financeira

  • 1. ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - 2º PERÍODO MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR JAIR Capítulo – 1: CONCEITOS BÁSICOS 1. Matemática Financeira: é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 2. Capital: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. 3. Juros: representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas. Regime Processo de funcionamento Simples Somente o principal rende juros. Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao capital, proporcionando juros sobre juros. A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 4. Taxa de Juros: o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 1
  • 2. Capítulo – 2: REGRA DE SOCIEDADE 1. Propriedades de Proporções: ba BA b B a A + + ⇒= Ex.: 90 45 8010 405 80 40 10 5 = + + ⇒= Essa propriedade também vale para a subtração. 2. Divisão de um número em duas partes diretamente proporcionais: Ex.: 1) Decompor o número 100 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Solução: Sejam A e B as partes procuradas. Então: 20 5 100 3232 == + + == BABA Logo, A = 2 . 20 = 40 e B = 3 . 20 = 60 2) Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo que a diferença entre eles é 60. Solução: 12 5 60 3838 == − − == BABA Logo, A = 8 . 12 = 96 e B = 3 . 12 = 36 3. Definição: Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn. Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto: pk = Ck tk Indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: C = C1 + C2 + ... + Cn A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn. Ex.: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio? Solução: p1 = 40 . 5 = 2000 p2 = 30 . 6 = 1800 p3 = 40 . 3 = 1200 5 5000 25000 120018002000 25000 321 == ++ === p C p B p A Logo, x1 = 5 . 2000 = 10000 , x2 = 5 . 1800 = 9000 e x3 = 5 . 1200 = 6000 2
  • 3. 1ª Lista de exercícios 1) Dois jovens formaram uma sociedade, entretanto, o primeiro com R$ 4.000,00 e o segundo com R$ 3.000,00. Ao final de um ano, registrou-se um lucro de R$ 2.100,00. Quanto do lucro cabe a cada sócio? 2) Três pessoas formaram uma sociedade, entretanto, cada uma delas com o mesmo capital. A primeira ficou na sociedade 6 meses, a segunda permaneceu por 8 meses e a terceira, por 10 meses. Que parte do lucro de R$ 1.200,00 caberá a cada um dos três sócios? 3) Três sócios lucraram juntos, R$ 38.000,00. O primeiro investiu R$ 5.000,00 durante um ano, o segundo investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e o terceiro investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. Que parte do lucro cabe a cada um dos três sócios? 4) Três pessoas formaram uma sociedade. A primeira entrou com R$ 6.000,00, a segunda, com R$ 7.500,00 e a terceira, com R$ 4.500,00. Se houve um lucro de R$ 3.000,00, quanto coube a cada um dos três sócios? 5) Duas pessoas constituíram uma sociedade, entrando cada uma delas com o mesmo capital. O primeiro permaneceu por 2 anos e 4 meses na sociedade enquanto o segundo ficou apenas 1 ano e 6 meses. Tendo havido lucro de R$ 92.000,00, qual é a parte de cada sócio? 6) Três pessoas se associaram com os seguintes capitais: R$ 3.000,00, R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00. Sabendo que o balanço apontou um lucro de R$ 51.000,00, determinar quanto lucrou o terceiro sócio. 7) Uma sociedade composta de quatro sócios com capitais iguais, obteve um lucro de R$ 54.000,00. Sabe-se que os capitais estiveram aplicados na sociedade durante 12, 10, 8 e 6 meses, respectivamente. Qual é a parte do lucro que cabe ao primeiro sócio? 8) Dois sócios investiram num empreendimento os capitais de R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00, respectivamente. Após um ano, ao repartirem o lucro, coube ao segundo sócio R$ 400,00 a mais que ao primeiro. De quanto foi o lucro total do empreendimento? Gabarito: 1) R$ 1.200,00 e R$ 900,00 2) R$ 300,00 R$ 400,00 e R$ 500,00 3) R$ 20.000,00 R$ 8.000,00 e R$ 10.000,00 4) R$ 1.000,00 R$ 1.250,00 e R$ 750,00 5) R$ 56.000,00 e R$ 36.000,00 6) R$ 18.000,00 7) R$ 18.000,00 8) R$ 5.600,00 3
  • 4. Capítulo – 3: JUROS SIMPLES 1. Mecanismo dos juros simples: A taxa de juros incide somente sobre o valor aplicado ou tomado emprestado. Exemplos:  R$ 100,00 aplicados 5% ao mês renderão R$ 5,00 por mês. Em três meses teremos R$ 15,00 de rendimentos.  R$ 800,00 aplicados 8% ao mês. Em seis meses teremos: Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 800,00 0 800,00 1 800,00 64,00 864,00 2 800,00 64,00 928,00 3 800,00 64,00 992,00 4 800,00 64,00 1056,00 5 800,00 64,00 1120,00 6 800,00 64,00 1184,00 2. Fórmulas: J = PV . i .n onde: FV = J + PV onde: J = Juros FV = valor futuro ou montante PV = Valor presente ou Capital i = taxa n = número de períodos (tempo) Obs.: taxa e número de períodos devem estar sempre na mesma base. Altere n e evite alterar i. Exemplos: 1. Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. por 7 meses no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? 2. Qual deve ser o valor resgatado de uma aplicação de $ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. no regime dos juros simples durante dois anos? 3. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. 4. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m.. Qual o capital inicial da operação? 5. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação. 6. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de juros simples de 2% a.m. Qual a duração da operação? 7. Calcule os juros simples cobrados sobre uma operação de empréstimos no valor de $ 40.000,00, realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a. Empregue nos cálculos a ano: (a) comercial; (b) civil ou exato. 8. Em quantos períodos um capital aplicado a juros simples de 5% ao período é triplicado? 9. A partir de qual prazo $ 4.000,00 aplicados à taxa de 10% a.m. será inferior a $ 2.500,00 aplicados à taxa de 20% a.m.? Considere ambas as aplicações a juros simples. 10. Pedro aplicou 30% de seu capital a 18% aa, 20% do seu capital a 22% aa e o restante em 26% aa, no regime de juros simples. Determine o valor do principal aplicado sabendo-se que os juros acumulados, no final de dois anos, foram de $ 6.960,00. 4
  • 5. 2ª Lista de exercícios 1) Calcule o rendimento (ou juros) e o montante acumulado no final de 18 meses, de uma aplacação de $ 68.000,00, a uma taxa de 3% a.m no regime de juros simples. 2) Uma instituição financeira cobra de seus clientes 28% a.a. no regime de juros simples pra saldos negativos em conta especial. O banco sempre efetua seus cálculos com base no ano comercial. Quais os juros que o banco cobrará para uma conta que ficou “estourada” em $ 4.200,00 por 16 dias? 3) Em quantos períodos um capital aplicado a juros simples de 20% ao período é quadruplicado? 4) Uma loja vende suas mercadorias com pagamento para após dois meses. Sabendo-se que determinado produto a vista custa R$ 550,00 e, após dois meses, custa R$ 715,00, calcule a taxa de juros simples mensal cobrada pela loja. 5) Qual o valor que deve ser aplicado hoje a uma taxa de 4% a.t. para obter $ 16.000,00 ao final de dois anos? 6) A partir de qual prazo $ 3.000,00 aplicados à taxa de 15% a.m. será inferior a $ 2.400,00 aplicados à taxa de 20% a.m.? Considere ambas as aplicações a juros simples. 7) Uma nota promissória tem valor de resgate igual a $ 40.000,00. Por quanto deveremos adquiri-la hoje, 128 dias antes do vencimento, se desejamos uma rentabilidade linear de 26% a.a.? Considere o ano comercial nos cálculos. 8) Qual a taxa mensal de juros simples que, aplicada durante 16 meses, produz um total de juros igual a 38% do valor do principal? 9) Um investidor aplicou 20% de seu capital a 15% a.a., 25% de seu capital a 18% a.a. e o restante a 12% a.a., no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo que os juros acumulados no final de dois anos foram iguais a $ 14.100,00 10) As indústrias 2º Período Ltda, aplicaram $ 50.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de nove meses (juros simples). Pede-se: (a) Se dois meses antes do vencimento da aplicação, esta aplicadora decidir repassá-la, quanto deverá receber, admitindo que, nessa data, a taxa de juros do mercado seja de 32% a.a.? (b) Qual teria sido o prejuízo na operação no dia do repasse, considerando que a taxa de juros não tivesse variado? (c) E se a taxa de juros fosse de 26% a.a., qual teria sido o valor do repasse? 11) Juvenal fez uma aplicação, a juros simples, que produziu um montante de $ 29.600,00 no final de 12 meses. Posteriormente, fez uma segunda aplicação, 35% superior a primeira, que rendeu um total de juros de $ 9.720,00 no final de 9 meses. Determine a taxa mensal de juros simples e os valores dessas duas aplicações. Gabarito: 1) J = 36720 e FV = 104720 2) R$ 52,27 3) 15 períodos 4) 15% 5) R$ 12.121,21 6) 20 meses 7) R$ 36.615,13 8) 2,375% 9) $ 50.000,00 10) a) $ 57.792,72 b) $ 665,61 c) $ 56.724,68 11) 4%, $ 20.000,00 e $ 27.000,00 3. Operações de desconto: 5
  • 6. Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é comum o devedor oferecer ao credor um título que comprove essa operação. De posse desse título, empregado para formalizar um compromisso que não será liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo previamente estipulado, o credor poderá negociar com uma instituição financeira o resgate antecipado desse título. Normalmente, os títulos de crédito podem ser dos seguintes tipos:  Nota promissória – é um título de crédito emitido pelo devedor, sob a forma de promessa de pagamento, a determinada pessoa, de certa quantia em certa data. A nota promissória, portanto, é uma promessa direta e unilateral de pagamento, à vista ou a prazo, efetuada, em caráter solene, pelo promitente-devedor ao promissário-credor. Requisitos essenciais: - a denominação "nota promissória"; - promessa solene e direta de pagamento; - nome da pessoa a quem ou à ordem de quem deve ser paga (promissório-credor); - indicação da data de emissão da nota promissória; - assinatura do emitente (subscritor ou promitente-devedor); - data de vencimento do título (na sua ausência o título é pagável à vista); - lugar de pagamento da nota promissória (quando o título não especificar o lugar de seu pagamento, deve ser considerado como tal o lugar de sua emissão); - lugar de emissão.  Duplicata mercantil – é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que poder ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Da duplicata devem constar o aceite do cliente; o valor nominal; a data de vencimento; o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem se deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal.  Cheques pré-datados – embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais empregados em operações comerciais em função da facilidade operacional do uso. As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna-se igual ao valor presente mais o desconto. Observe que o desconto representa os juros associados a operação. Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma nomenclatura um pouco diferenciada: Valor presente = valor líquido Valor nominal = valor futuro Desconto = juros As operações de desconto podem ser de dois tipos:  Racional (ou desconto por dentro) – a taxa de juros incide sobre o valor presente.  Comercial (ou desconto por fora) – a taxa de juros incide sobre o valor futuro. – Desconto Racional do regime de capitalização simples: Exemplos: 1. Um título no valor nominal de $ 500,00 com vencimento programado para daqui a três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado um desconto racional no regime de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% am, calcule o desconto e o valor líquido recebido. 2. Uma nota promissória cm valor nominal igual a $ 7.200,00 e com vencimento programado para daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo que o desconto sofrido foi igual a $ 480,00, calcule a taxa mensal efetiva da operação. 6
  • 7. – Desconto Comercial e Bancário:  Desconto comercial (ou por fora) – basta aplicarmos a taxa de juros sobre o valor futuro. Exemplo: Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% am, calcule o valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as seguintes características: praza = 38 dias, valor nominal = R$ 3.400,00  Desconto bancário – existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras). De um modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto comercial mais uma taxa prefixada incidente sobre o valor nominal. Embora exista a cobrança de taxa incidente sobre o valor nominal, na prática, a expressão desconto bancário é empregada como sinônimo de desconto comercial. Exemplos: 1. A empresa REAL MATISMO possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% am mais uma taxa operacional de 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título. 2. Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 4% am. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 12.500,00 e vencimento em 50 dias? 3. A Atlas Representações Ltda descontou um título com valor nominal igual a R$ 7.800,00 dois meses antes do seu vencimento mediante uma taxa de desconto por fora igual a 7% am e um percentual sobre o valor de face igual a 0,8%. Qual a taxa efetiva que incidiu sobre o valor líquido recebido pela empresa? 4. O desconto bancário de um título com valor nominal igual a R$ 15.000,00 rendeu, líquidos, R$ 12.885,00. Se a taxa de desconto por fora foi igual a 3% am, e o prazo da operação foi igual a quatro meses e meio, estime a taxa percentual incidente sobre o valor nominal da operação. 5. A fábrica das MEDALHAS MILAGROSAS recebeu, líquidos, R$ 16.613,00, resultantes do desconto de uma nota promissória no valor de R$ 18.500,00. Se a taxa de desconto por fora da operação foi igual a 5% am e a taxa aplicada sobre o valor nominal da operação foi igual a 0,20%, calcule a duração da operação. 3ª Lista de exercícios 7
  • 8. 1) Uma instituição financeira realiza uma operação de desconto bancário mediante a aplicação de uma taxa de desconto por fora igual a 6% ao mês e uma taxa incidente sobre o valor nominal de 0,7%. Considere um título no valor de R$ 4.800,00, descontado 85 dias antes do vencimento. Calcule: (a) o valor do desconto; (b) a taxa mensal efetiva que incidiu sobre o valor líquido. 2) A Parangolé Ltda verificou que uma operação de desconto bancário apresenta uma taxa de desconto por fora igual a 4% am e uma taxa incidente sobre o valor nominal do título igual a 0,4%. Se o valor nominal do título foi igual a R$ 40.000,00 e o desconto foi igual a R$ 8.160,00, calcule a duração da operação em meses. 3) O Banco Genérico opera com juros simples, descontando uma promissória por $ 20.000,00, aplicando uma taxa de desconto comercial igual a 28% aa. Sabendo que o prazo de vencimento da promissória é de quatro meses, determine seu valor de resgate. 4) Uma nota promissória com um valor de resgate de $ 300.000,00 é descontada com uma taxa de desconto de 33% aa, a juros simples, pelo prazo de dois meses. Determine os valores presentes dessa operação, nas seguintes hipóteses: (a) utilizando-se a taxa de desconto por dentro; (b) utilizando-se a taxa de desconto por comercial. 5) Um título de R$ 48.000,00 é liquidado 56 dias antes de seu vencimento, com uma taxa de desconto comercial de 5,62% am. Determine o valor a ser descontado do título e a taxa anual de desconto racional, assumindo regime de juros simples e ano com 360 dias. 6) O desconto de um recebível com valor nominal igual a $ 60.000,00 proporcionou um crédito de $ 57.300,00 na conta de um cliente de um banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial igual a 18% aa. Determine o prazo em dias até o vencimento do título e a taxa anual de desconto por dentro, assumindo regime de juros simples e ano com 360 dias. 7) Em uma operação de desconto com prazo de três meses, o valor presente de um título é igual a 85% de seu valor de resgate. Determine as taxas mensais de desconto comercial e racional dessa operação, no regime de juros simples. 8) (TTN,1994) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% aa, vencível em 180 dias, cm desconto comercial. No segundo caso, com desconto racional, mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos por fora e por dentro, foi de R$ 635,50, calcule o valor nominal do título. 9) O valor de resgate de uma nota promissória, em seu vencimento, é igual a 120 vezes o valor de seu desconto comercial com uma taxa de 1,5% aa. Determine o prazo em dias dessa operação de desconto comercial, no regime de juros simples, assumindo ano com 360 dias. 10) (TCU – AFCE 2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal como imposto financeiro, no momento do desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos de taxa de juro real paga pela empresa? Gabarito: 1) (a) R$ 849,60 (b) 7,59% am 2) 5 meses 3) R$ 22.058,82 4) (a) R$ 284.360,19 (b) R$ 283.500,00 5) (a) R$ 5.035,52 (b) 75,34% aa 6) 90 dias e 18,85% aa 7) 5% e 5,88% 8) R$ 6.510,00 9) 200 dias 10) 4,71% am 8
  • 9. Capítulo – 4: CALCULADORA HP-12C 1. Ligar/desligar: ON 2. Formatar exibição de casas decimais: [f] e o número de casas desejado. Ex.: 5 casas, apertar [f] 5 3. Lógica RPN: observe que a calculadora não apresenta a tecla =. Ela trabalha com uma lógica matemática diferente: a lógica RPN (no inglês, Reverse Polish Notation, ou Notação Polonesa Reversa). Os operandos (números) devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser colocados os operadores (+ - ÷ x ). Ex.: para fazermos a operação 45 + 52, devemos digitar : 45 [ENTER] 52 + 4. Limpeza de registros: teclas [f] [REG] limpam todos os registros (inclusive os financeiros), ficando apenas os programas. 5. Tecla [CHS]: Esta tecla serve para trocar o sinal de um número. De positivo para negativo e vice versa. 6. Tecla [STO]: Esta tecla serve para armazenar dados e informações nas memórias. A HP tem 20 memórias diretas. Para introduzir um número na memória é muito simples. Consideremos que o número 145 deva ser guardado na memória “5”. Como fazer? 1)digitar o número 145; 2)pressionar [STO]; 3)pressionar [5]. 7. Tecla [RCL]: Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos fazer um teste. 1) pressione [RCL] 2) pressione [5] O número surge no visor porque estava retido na memória “5”. 8. Pilhas de registradores: Permitem e facilitam a realização de cálculos sucessivos. 9
  • 10. Ex.: A expressão 1217 545 − + é assim resolvida: 45 [ENTER] 5 + 17 [ENTER] 12 – ÷ 9. Registradores financeiros: São as teclas localizadas logo abaixo do visor: [n] prazo; [i] taxa; [PV] Presente Value ou Valor Presente; [PMT] Periodic Payment ou prestação; [FV] Future Value ou Valor Futuro. A limpeza se dá através da seqüência de teclas [f][FIN]. Os registradores financeiros serão trabalhados nos capítulos seguintes. 10. Tecla       x 1 : Esta tecla serve para calcular o inverso de um número. Para calcular o 1/153 basta teclar 153       x 1 11. Funções algébricas: permitem operações com raízes, potências, fatoriais e logaritmos: [g] [ ]x calcula raiz quadrada. Ex.: 225 Teclar 225 [g] [ ]x [g] [n!] calcula o fatorial de um número. Ex.: 7! Teclar 7 [g] [n!] [yx ] calcula y elevado a x. Ex.: 143 Teclar 14 [ENTER] 3 [yx ] 12. Funções percentuais: funções que facilitam cálculos percentuais. [%] calcula a porcentagem fornecida no registrador x em cima do registrador y. Ex.: 40% de 400 400 [ENTER] 40 [%] [%T] calcula quantos por cento do registrador y o registrador x vale. Ex.: Se R$ 1320,00 é 100%, R$ 1650,00 é quanto por cento? 1320 [ENTER] 1650 [%T] [∆%] calcula a variação porcentual existente entre os registradores y e x, nessa ordem. Ex.: Se uma família consumiu 250 kWh de energia elétrica no mês de junho e 300 kWh em julho, então qual foi a variação percentual? 250 [ENTER] 300 [∆%] 13. Funções de datas: A HP permite cálculos com datas entre 15/10/1582 e 25/11/4046. Configurações: [g] [D.MY]: configura a HP para trabalhar no modo de dia.mês.ano. Esta opção é a mais recomendada. [g] [M.DY]: configura a HP para trabalhar no modo de mês.dia.ano. [g] [DATE]: calcula uma data futura ou passada acrescida do número de dias presente no registrador x. Essa função também permite obter o dia da semana de uma data procurada, que aparece logo após o resultado no visor. Por convenção a HP considera 1 = 2ª feira, 2 = 3ª feira, 3 = 4ª feira, 4 = 5ª feira, 5 = 6ª feira, 6 = sábado e 7 = domingo. Ex.: Uma aplicação feita em 24/07/2008 vence em 52 dias. Quando será o resgate dessa aplicação? Primeiro configura: [g] [D.MY] Depois calcula: 24.072008 [ENTER] 52 [g] [DATE] Ex.: Uma pessoa nasceu em 18/04/1992. Em que dia da semana ela nasceu? 18.041992 [ENTER] 0 [g] [DATE] 10
  • 11. [g] [∆DYS]: calcula o número de dias corridos existentes entre duas datas fornecidas. Ex.: Uma duplicata venceu em 13/04/08 e foi paga em 27/07/08. Com quantos dias de atraso a duplicata foi quitada? 13.042008 [ENTER] 27.072008 [g] [∆DYS] 4ª Lista de exercícios 1) Calcule na HP 12C: (a) 125 + 36 (b) 12,5 + 87,3 (c) 143 – 258 (d) 47 x 5,21 (e) 23,4 4 2) Calcule na HP 12C: (a) 7 56 5090 − (b) 2 6 36 ⋅ (c) 21 20 327 2 9 45 − ⋅ − (d)             ⋅−+ 9 82 745 3) Calcule os inversos de: (a) 15 (b) 0,23 (c) – 32 (d) 48 (e) – 1,56 4) Calcule na HP 12C: (a) 83 (b) 16– 0,25 (c) 720,32 (d) 15– 0,5 (e) 52 (f) 128 (g) 625,390 h) 5! (i) 11! 5) Calcule na HP 12C: (a) 2 1 400 11
  • 12. (b) 3 1 45826 452 (c) !4 53 (d) 3 13689 (e) 154,235,86 6) Calcule: (a) 25% de 280 (b) 37% de 782 (c) 450 + 25% de 450 (d) 156 – 18% de 156 7) Calcule a evolução percentual, com base no primeiro valor fornecido, dos preços da tonelada de minério de ferro apresentada a seguir: VALOR (R$) EVOLUÇÃO (%) 1.256,71 100% 1.352,77 A 1.455,20 B 1,578,16 C 8) Calcule as variações percentuais dos gastos de uma família relatados a seguir. Que item apresentou maior crescimento? DESCRIÇÃO 2006 2007 VARIAÇÃO % Alimentação 400 460 a Vestuário 260 320 b Moradia 380 470 c 9) Um pagamento deveria ter ocorrido em 16/04/2007. Entretanto, foi pago com atraso em 28/09/2007. Com quantos dias de atraso o documento foi quitado? 10) Uma pessoa nasceu em 16/08/1976. Em que dia da semana ela nasceu? 11) Uma pessoa, que nasceu em 20/02/78, possuía quantos dias de vida em 01/09/99? 12) Um título comprado em 01/05/99 teve prazo de 32 dias corridos. Quando ocorreu o vencimento? Capítulo – 5: JUROS COMPOSTOS 1. Mecanismo dos juros compostos: 12
  • 13. A taxa de juros incide sobre o montante acumulado no final do período anterior. Exemplos:  R$ 800,00 aplicados durante seis meses a uma taxa de juros compostos de 8% ao mês. Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 800,00 0 800,00 1 800,00 64,00 864,00 2 864,00 69,12 933,12 3 933,12 74,65 1007,77 4 1007,77 80,62 1088,39 5 1088,39 87,07 1175,46 6 1175,46 94,04 1269,50 Em função da complexidade de solução algébrica, daremos ênfase em ilustrar os cálculos com juros compostos na calculadora HP 12C. 2. Fórmula do Juro Composto: FV = PV (1 + i)n Obs.: No regime de juros compostos nunca multiplique ou divida a taxa de juros. Fórmulas derivadas:  Valor presente: ( )n i1 FV PV + =  Taxa de juros: ( ) ( ) 1 PV FV i PV FV i1 PV FV i1i1PVFV n 1 n nn −      =→=+→=+→+=  Prazo: ( ) ( ) ( )       =+→=+→+= PV FV logi1log PV FV i1i1PVFV nnn → ( ) ( )i1log PV FV log n PV FV logi1logn n +       =→      =+ Exemplos: 1. Determinar o montante composto produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e meio. Solução algébrica: Temos: VP = 1000 i = 10% as = 0,1 n = 1 ano e meio = 3 semestres FV = 1000( ) 3 1,01+ = 1331 13
  • 14. Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2 1000 CHS [PV] 10 [i] 3 [n] [FV] 2. Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a $ 8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% am, calcule o valor presente. Solução algébrica: Temos: FV = 8400 i = 2% am = 0,02 n = 6 meses ( ) ( ) 96,458.7 1261624,1 8400 02,01 8400 i1 FV PV 6n == + = + = Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2 8400 CHS [FV] 2 [i] 6 [n] [PV] 3. Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros após permanecer aplicado por 4 meses. Qual foi a taxa de juro mensal da aplicação? Solução algébrica: Temos: PV = 430 J = 80 n = 4 meses FV = 430 + 80 = 510 ( ) %36,40436,010436,01186,11 430 510 1 PV FV i 4 14 1 n 1 ==−=−=−      =−      = Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2 430 CHS [PV] 510 [FV] 4 [n] [i] 4. Um montante de $ 630,00 foi obtido após a aplicação de $ 570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 3% am. Qual foi a duração da operação? Solução algébrica: Temos: VP = 570 FV = 630 i = 3% am = 0,03 ( ) ( ) 3859,3 01283722,0 04346569,0 03,1log 1052631,1log 03,01log 570 630 log i1log PV FV log n === +       = +       = Solução na HP 12C: [f] FIN [f] 2 570 CHS [PV] 630 [FV] 3 [i] [n] Observe que dá n = 4. A HP arredonda para o inteiro superior. Portanto, o cálculo do prazo deve ser algébrico. 14
  • 15. 5ª Lista de exercícios 1) Uma máquina de calcular é anunciada por $ 140,00 a vista ou para pagamento com prazo igual a dois meses, mediante uma taxa igual a 5% am. Qual o valor futuro? 2) Suponha que Maradona aplique $ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 5% am. Quanto ele terá daqui a 14 meses? 3) Calcule o valor futuro de um capital de $ 52.000,00, aplicado à taxa de juros de 3,8% am pelo prazo de três anos. 4) Quanto Juliana terá, ao final de três anos, numa aplicação que rende 6,4% ao semestre, efetuando hoje um depósito de $ 8.400,00? 5) Se um cliente aplicou $ 25.000,00 em um CDB de 42 dias a uma taxa de 50% aa, quanto o banco deverá creditar em sua conta, desconsiderando o imposto de renda? Considere o ano comercial. 6) Qual o valor presente de um montante igual a $ 48.700,00, aplicado à taxa de juros de 35% aa por seis meses? 7) Samuel quer fazer uma aplicação hoje para possuir $ 5.000,00 daqui a um ano. Sabendo que a taxa de juros compostos dessa operação é de 1,8% am, quanto ele deverá aplicar? 8) Calcule os juros auferidos após uma aplicação de $ 62.000,00 com prazo de 42 dias, a uma taxa efetiva de 18% aa, assumindo regime de juros compostos e ano com 360 dias. 9) Uma aplicação financeira gerou um montante de $ 38.540,00 no prazo de 8 meses, a uma taxa de 3,8% am. Qual o capital inicialmente aplicado? 10) A empresa Mudanças Gatuno Ltda possui duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias, com valores de $ 22.000,00 e $ 37.000,00, respectivamente, e deseja liquidá-las antecipadamente. Calcule o valor a ser desembolsado para uma taxa de 2,8% am. Considere o regime de capitalização composta. 11) Poliana aplicou $ 8.000,00 pelo prazo de quatro anos no regime de juros compostos com taxa de juros igual a 3,8% am. Determine: (a) qual o valor de resgate no final do mês 48? (b) Se, no final do mês 17, ele retirasse $ 3.800,00, valor da data, qual seria o valor resgatado ao completar o quarto ano? 12) João Pedro resgatou $ 35.000,00 de uma aplicação pelo prazo de dois anos e 8 meses no regime de juros compostos com taxa de juros de 2,4% am. Determine: (a) qual o valor do investimento na data 0? (b) Se, no final do mês 16 tivessem sido retirados $ 8.400,00, valor da data, qual o novo valor do investimento na data 0? 13) Alessandra vai viajar para a Europa daqui a 32 meses, quando estima necessitar de R$ 9.500,00 para poder pagar os gastos associados ao passeio. Pede-se: 15
  • 16. (a) Se um banco lhe oferece a oportunidade de investir num fundo de renda fixa com taxa de juros de 2,68% am, qual o valor que ela deve investir hoje? (b) Outro banco oferece a oportunidade de investir em fundo de renda fixa com taxa de juros igual a 2,52% am durante os 10 primeiros meses e taxa de juros igual a 2,74% am para os restantes 22 meses. Qual o valor que Alessandra deve investir hoje? (c) qual é a melhor alternativa? 14) A Matrix Confecções S.A. captou $ 80.000,00 por meio da emissão de títulos de dívidas, com vencimento em prazo igual a 350 dias e uma taxa efetiva de juros compostos igual a 4% am. Pede-se: (a) quais os juros incidentes sobre a operação? (b) Se os juros fossem pagos antecipadamente, ou seja, no momento de receber o empréstimo, qual o valor da taxa de juros que incidiu sobre essa nova modalidade de operação? 15) Em quantos meses um capital de $ 850,00 dobra quando aplicado a 5% am, no regime de juros compostos? 16) Determine o prazo, expresso em anos, necessário para quintuplicar um capital aplicado a uma taxa de 28% aa, no regime de juros compostos. 17) Zé do Caixão aplicou um capital de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 3,6% am, no regime de juros compostos. Determinar os valores a serem recebidos no final do 6º mês, nas seguintes hipóteses: (a) com juros capitalizados nos seis meses (b) Se, no final do mês 16 tivessem sido retirados $ 8.400,00, valor da data, qual o novo valor do investimento na data 0? 18) Teresa precisa ir ao banco para tomar emprestado $ 850,00. O pagamento deverá ser efetuado daqui a 60 dias, e foi anunciada a cobrança de uma taxa de juros de 6,5% am. Por quantos dias o empréstimo deverá ficar retido no banco, de forma que o banco alavanque seu ganho para 8% am? Gabarito: 1) $ 154,35 2) $ 15.839,45 3) $ 199.116,88 4) $ 12.187,90 5) $ 26.211,02 6) $ 41.914,28 7) $ 4.036,42 8) $ 1.208,86 9) $ 28.597,82 10) $ 53.948,48 11) (a) $ 47.925,09 (b) $35.849,69 12) (a) $ 16.385,87 (b) $ 10.638,35 13) (a) R$ 4.075,45 (b) R$ 4.086,65 (c) a 1ª opção 14) (a) $ 46.418,98 (b) $ 7,72% 15) 14,2 meses 16) 6,52 anos 17) (a) $ R$ 30.909,97 (b) R$ 25.900,00 18) 11 dias aproximadamente 3. Taxas: nominal, efetiva e equivalente. A Taxa Nominal é expressa normalmente para periodicidade anual, sendo transformada em taxa para periodicidade menor de forma proporcional através de uma regra de três simples e direta. i1 (taxa conhecida) ___________________ n1 (período da taxa conhecida) i2 (taxa desconhecida) _________________ n2 (período da taxa desconhecida) 16
  • 17. Exemplos: 1. Qual a taxa anual proporcional à taxa de 10% am? 10 % ---------------------------- 1 mês i2 --------------------------------------------- 12 meses Logo, i2 = 120% aa 2. Qual a taxa mensal proporcional a 180% aa? 180 % ---------------------------- 12 meses i2 --------------------------------------------- 1 mês Logo, i2 = %15 12 180 = am 3. O valor de $ 10.000,00 foi aplicado a taxa nominal de 360% aa, durante 1 ano. Calcule o montante considerando capitalização: (a) semestral (b) trimestral (c) mensal (a) i = 360/2 = 180% as = 1,8 FV = 10000 (1 + 1,8)2 = 78400 (b) i = 360/4 = 90% at = 0,9 FV = 10000 (1 + 0,9)4 = 130321 (c) i = 360/12 = 30% am = 0,3 FV = 10000 (1 + 0,3)12 = 232980,85 A Taxa Efetiva é a taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, independentemente do período de capitalização. Isto quer dizer que se um capital foi aplicado durante um tempo a determinada taxa, não importa o período de capitalização, que o montante será o mesmo. Quando queremos ajustar uma taxa ao período de capitalização utilizamos a equivalência de taxas. Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado por um prazo e, calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo resultado. Basta aplicar a fórmula: ( ) 11 1 2 12 −+= n n ii Exemplos: 4. Qual a taxa anual equivalente à taxa de 10% am? ( ) ( ) %8428,213138428,211,0111 1 12 12 1 2 ==−+=−+= n n ii aa 5. Qual a taxa mensal proporcional a 180% aa? ( ) ( ) %959,808959,018,1111 12 1 12 1 2 ==−+=−+= n n ii am 6. O valor de $ 10.000,00 foi aplicado a taxa efetiva de 360% aa, durante 1 ano. Calcule o montante considerando capitalização: (a) semestral (b) trimestral (c) mensal (a) ( ) ( ) %476106,11414476106,116,3111 360 180 1 2 12 ==−+=−+= n n ii as FV = 10000 (1 + 1,14476106)2 = 46000 (b) ( ) ( ) %450028,4646450028,016,3111 360 90 1 2 12 ==−+=−+= n n ii at 17
  • 18. FV = 10000 (1 + 0,46450028)4 = 46000 (c) ( ) ( ) %561160,1313561160,016,3111 360 30 1 2 12 ==−+=−+= n n ii am FV = 10000 (1 + 0,13561160)12 = 46000 OBS.: Independentemente da capitalização, o montante é $ 46.000,00 6ª Lista de exercícios 1) Calcular a taxa anual equivalente a: (a) 5% am (b) 12% ao semestre (c) 8% ao trimestre (d) 10% ao quadrimestre 2) Calcular a taxa mensal equivalente a: (a) 10% ao bimestre (b) 60% aa (c) 30% ao semestre (d) 15% ao trimestre 3) Faça os cálculos necessários e complete a tabela: TAXA PROPORCIONAL TAXA EQUIVALENTE 35% aa % am % am 46,5% am % ao trimestre % ao trimestre 2,5% am % ao dia % ao dia 14% am % ao ano % ao ano Gabarito: 1) (a) 79,58563% aa (b) 25,44% aa (c) 36,048896% aa (d) 33,1% aa 2) (a) 4,880885% am (b) 3,994411% am (c) 4,469751% am (d) 4,768955% am 3) TAXA PROPORCIONAL TAXA EQUIVALENTE 2,916667 % am 2,532406% am 139,5 % at 214,421963% at 0,083333 % ad 0,082343% ad 168 % aa 381,790482% aa 4. Desconto Composto: As operações de desconto comercial, bancário, ou por fora, são quase sempre realizadas no regime de capitalização simples. Entretanto, as operações de desconto racional podem ser feitas tanto na metodologia dos juros simples ou dos juros compostos.  Desconto racional a juros compostos: trata-se da aplicação direta da fórmula dos juros compostos. Exemplos: 18
  • 19. 1. Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% am, capitalizável mensalmente, determinou um valor de resgate de $ 12.400,00? Solução algébrica: Temos: PV = 12400 i = 10% as = 0,1 n = 3 meses FV = 12400( ) 3 1,01+ = 16504,40 Solução na HP 12C: 12400 CHS [PV] 10 [i] 3 [n] [FV] 2. Qual é o valor de resgate de um título de $ 16.302,80 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% aa capitalizável trimestralmente. Solução algébrica: Primeiramente, precisamos encontrar a taxa trimestral através da equivalência de taxa. ( ) ( ) %101,014641,0111 4 1 12 1 2 ==−+=−+= n n ii at Temos: FV = 16302,80 i = 0,1 at n = 9 meses = 3 trimestres ( ) ( ) 53,248.12 331,1 80,16302 1,01 80,16302 i1 FV PV 3n == + = + = Solução na HP 12C: 16302,80 CHS [FV] 10 [i] 3 [n] [PV] 3. Determinar o valor do desconto racional composto de um título de $ 20.000,00, descontado 9 meses antes de seu vencimento à taxa efetiva de desconto racional composto de 42,15% aa, capitalizável trimestralmente. Solução algébrica: Primeiramente, precisamos encontrar a taxa trimestral através da equivalência de taxa. ( ) ( ) %191,909191,014215,0111 4 1 12 1 2 ==−+=−+= n n ii at Temos: FV = 20000 i = 0,09191 at n = 9 meses = 3 trimestres ( ) ( ) 77,362.15 3018487,1 20000 09191,01 20000 i1 FV PV 3n == + = + = D = 20000 – 15362,77 = 4.637,23 Solução na HP 12C: 20000 CHS [FV] 9,191 [i] 3 [n] [PV] 20000 – 19
  • 20. 4. Determinar a taxa de desconto racional composto de um título de $ 16.504,40, capitalizado mensalmente, descontado 3 meses antes do vencimento por $ 12.400,00 Solução algébrica: Temos: FV = 16504,40 PV = 12.400,00 n = 3 meses ( ) %101,011,11331,11 12400 16504,40 1 PV FV i 3 13 1 n 1 ==−=−=−      =−      = Solução na HP 12C: 16504,40 CHS FV 12400 PV 3 [n] i 5. Um título de $ 15.000,00 foi descontado à taxa de desconto racional composto de 9% am. Sabendo que o valor líquido foi $ 11.250,00, quanto tempo antes do vencimento foi descontado? Solução algébrica: Temos: FV = 15000 PV = 11250 i = 9% am = 0,09 ( ) ( ) 3,3 037426,0 1249386,0 09,1log 333333,1log 09,01log 11250 15000 log i1log PV FV log n === +       = +       = meses OBS.: Lembre-se que a HP arredonda o cálculo para o próximo número inteiro. Portanto o cálculo do prazo deve ser algébrico. 7ª Lista de exercícios 1) Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a $ 600,00, descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% am. 2) Determine o valor do desconto racional composto de um título de $ 40.000,00, com vencimento no prazo de 85 dias, a uma taxa de juros de 1% am, assumindo o ano comercial. 3) Uma nota promissória no valor de R$ 60.000,00 foi resgatada 68 dias antes de seu vencimento com uma taxa de desconto por dentro de 15% aa. Determine o valor do principal dessa operação, assumindo regime de juros compostos e ano com 360 dias. 4) Um cliente do Banco do Daniel Dantas verificou que em uma operação de desconto com prazo de sete meses, o valor presente de um título é igual a 82% do seu valor de resgate. Determine a taxa mensal de desconto racional dessa operação, no regime de juros compostos. 5) Sandra fez uma aplicação de $ 40.000,00 pelo prazo de 88 dias com uma taxa de juros de 15% aa, num banco de investimentos que opera com juros compostos. Decorridos 42 dias solicitou a liquidação antecipada de sua aplicação e o banco lhe ofereceu uma taxa de desconto por dentro de 22% aa sobre o valor de resgate do título, com 46 dias de prazo a decorrer até seu vencimento. Determine: (a) O valor a ser pago pelo banco nessa liquidação antecipada, assumindo ano com 360 dias e desprezando os impostos envolvidos em operações financeiras. (b) A taxa de juros efetiva da operação. 20
  • 21. 6) (Fiscal GDF) Um título no valor nominal de R$ 1.713,00 foi descontado (por dentro), no regime de juros compostos, e obteve-se um desconto de R$ 713,00 a uma taxa de 8% am. Qual foi o período de antecipação desse título? 7) (CFC Técnico 2001) Quanto tempo de antecedência um título foi descontado, se o valor do desconto foi igual a 1/5 do valor do título e a taxa de descontos compostos foi de 20% am? 8) Quais os juros de $ 20.000,00, no fim de 2 anos e meio, à taxa efetiva de 20% aa, capitalizável trimestralmente? 9) O desconto racional de um título, pago um ano e três meses antes do vencimento foi $ 51.900,00. Calcular o valor nominal do título, sabendo que a taxa efetiva anual empregada foi de 48% com capitalização trimestral. 10) Um título de $ 740.000,00 é descontado, por desconto racional composto, 5 meses antes do vencimento, pelo valor de $ 642.200,00. Qual é a taxa, considerando a capitalização mensal? 11) Ricardo tem um título com valor nominal igual a $ 10.000,00 com vencimento em 14 meses e que é remunerado a uma taxa de juros compostos de 18% aa. Além disso, possui $ 7.000,00, que irá receber após ter feito uma aplicação a 21% aa, em juros simples durante o mesmo prazo do título. Pergunta-se: quanto ele possui hoje? Considere descontos racionais. 12) Uma empresa vai ao banco para descontar uma duplicata de $ 95.000,00 com vencimento para daqui a 8 meses. Se a taxa de juros for de 24% aa e a taxa de serviço igual a 1% do valor nominal da operação, qual será a taxa efetiva anual paga pela empresa? 13) Dercy Gonçalves tem uma dívida com valor nominal de $ 6.000,00 a ser paga daqui a três meses, a uma taxa de juros compostos de 2% am. No entanto, ela recebeu hoje uma quantia de $ 2.900,00, que será usada para abater a dívida futura. Para quanto passará a dívida futura de Dercy Gonçalves? 14) Duas firmas estão em concorrência para adquirir certa propriedade. A Companhia do Rio Estreito toma conhecimento que a oferta da Imobiliária Reis constitui-se de $ 200.000,00 a vista e mais um título de $ 80.000,00 para 180 dias. Se a Rio Estreito no momento só pode dispor de $ 120.000,00, qual deve ser o valor do título para 140 dias que ela deve incluir na proposta a fim de empatar a concorrência? Suponha uma taxa de juros compostos vigente igual a 2% am e considere o ano comercial. Gabarito: 1) $ 106,84 2) $ 1.111,96 3) $ 58.436,76 4) 2,8756% am 5) (a) $ 40.351,75 (b) 7,7933% aa 6) 7 meses 7) 1,2 meses 8) $ 11.548,78 9) $ 133.970,00 10) 2,8756% am 11) $ 13.866,48 12) 26,18% aa 13) $ 2.922,49 14) $ 165.660,71 Capítulo – 6: INFLAÇÃO E TAXA DE JUROS 1. A Álgebra das Taxas de Juros: Um cuidado constante em operações financeiras deve ser tomado com as operações matemáticas envolvendo taxas de juros. Quando duas ou mais taxa incidem seqüencialmente sobre um valor ou sobre uma seqüência de valores, como no caso da capitalização composta, a taxa resultante não é a soma das taxas individuais. Exemplos: 21
  • 22. 1. Um produto custava $ 40,00 e sofre dois aumentos sucessivos de 20% e 30%, respectivamente. Qual o preço final do produto e qual a variação percentual do preço do produto?  Solução (calculadora comum): Vamos calcular a variação percentual: 100 + 20% = 120 120 + 30% = 156 156 – 100 = 56% Preço final = 40 + 56% = 62,4  Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 20% + 30% + 100 – 2. Calcule a taxa de variação anual, resultante das seguintes variações quadrimestrais: 2,52%; 3,15%; 4,58%. Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 2,52% + 3,15% + 4,58% + 100 – (visor: 10,5927% aa) 3. Um investidor aplicou a importância de $ 40.000,00 pelo prazo de três meses, resgatando um montante igual a $ 51.200,00. Se as taxas nos dois primeiros meses foram iguais a 5% e 6%, qual a taxa que remunerou suas aplicações no último mês? Considere o regime dos juros compostos. 1ª Solução na HP 12C: 40000 [ENTER] 5% + 6% + (visor: 44520) 44520 CHS PV 51200 FV 1 n i (visor: 15,0045%) 2ª Solução na HP 12C: 40000 [ENTER] 5% + 6% + (visor: 44520) 51200 [ENTER] 44520 ÷ 1 – 100 X (visor: 15,0045%) 4. As taxas do CDI over (taxa nominal apresentada ao mês, porém com capitalização diária) nos cinco primeiros dias úteis de um determinado mês foram iguais a 1,82%; 1,78%; 1,65%; 1,90% e 1,88%. Qual a taxa efetiva de juros do período? Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 1,82 [ENTER] 30 ÷ % + 1,78 [ENTER] 30 ÷ % + 1,65 [ENTER] 30 ÷ % + 1,90 [ENTER] 30 ÷ % + 1,88 [ENTER] 30 ÷ % + 100 – (visor: 0,301362%) 2. Inflação: Um período inflacionário é uma época de preços em elevação. Durante esse período, uma certa quantidade de dinheiro compra menor quantidade de bens do que comprava antes. Uma elevação nos preços em toda a economia de uma nação gera inflação. A elevação esporádica dos preços de alguns bens na economia, a exemplo do que ocorre com produtos agrícolas na safra e entressafra, não é considerada como inflação. 22
  • 23. 3. Taxa Aparentes ou Unificadas: A taxa aparente ou unificada resulta da aplicação sucessiva de uma taxa de juros real e da variação inflacionária. Fórmulas úteis: ( ) ( ) ( ) ( )n21 nn i1i1i1r1i)(1 ++⋅+⋅+=+  r = taxa real i = taxa efetiva i1, i2, ... , in = taxas de correção (inflação) 1 1 i1 r − + + = c 1 r1 i1 c − + + = i = (1 + c) (1 + r) – 1 r = taxa real c = taxa de correção (inflação) i = taxa efetiva Exemplos: 1. Uma operação com duração de um mês foi realizada com uma taxa de 3% am mais a correção inflacionária de 2% am. Determine a taxa de juros aparente. Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 3% + 2% + 100 – (visor: 5,06% am) 2. Uma operação foi realizada por três meses a uma taxa de juros real de 2% am, acima da inflação. Se os percentuais de inflação nos meses analisados foram iguais a 1, 3 e 5% am, qual foi a taxa aparente mensal que incidiu durante o período da operação? ( ) ( ) ( ) ( )n21 nn i1i1i1r1i)(1 ++⋅+⋅+=+  ( ) ( ) ( ) ( )05,0103,0101,0102,01i)(1 33 +⋅+⋅+⋅+=+ =+ 3 i)(1 1,159173 → 3 159173,1i1 =+ → i = 0,050468 = 5,0468% am 3. Calcule a taxa aparente dos rendimentos mensais da caderneta de poupança, supondo que os índices de atualização em três meses analisados foram iguais a 0,6099%; 0,5247% e 0,5314%. Sabe-se que o rendimento real da poupança é igual a 0,5% am. Solução na HP 12C: 100 [ENTER] 0,5% + 0,6099% + 100 – (visor: 1,1129%) → 1º mês 100 [ENTER] 0,5% + 0,5247% + 100 – (visor: 1,0273%) → 2º mês 100 [ENTER] 0,5% + 0,5314% + 100 – (visor: 1,0341%) → 3º mês 4. Um investidor aplicou $ 130.000,00 por três meses em uma instituição financeira, resgatando o montante de $ 160.000,00. Pede-se para determinar qual a taxa de juros mensal: (a) aparente da operação (b) real da operação, sabendo que a taxa de inflação média mensal foi igual a 2%. (a) Solução na HP 12C: 130000 CHS PV 160000 FV 3 n i (visor: 7,1665% am) (b) ==−=− + + =− + + = 5065,01 02,1 071665,1 1 02,01 071665,01 1 1 i1 r c 5,0652% am 23
  • 24. 5. As indústrias Macambira captaram $ 4.200,00 pelo prazo de quatro meses, o que ocasionou um pagamento de juros no valor de $ 1.220,20. Se a taxa de juros real da operação foi igual a 2% am e as taxas inflacionárias nos meses 1, 2 e 3 foram respectivamente iguais a 5%, 3% e 4%, calcule a taxa inflacionária do quarto mês. 4200 CHS PV ( ) ( ) ( ) ( )n21 nn i1i1i1r1i)(1 ++⋅+⋅+=+  5420,20 FV ( ) ( ) ( ) ( )4 44 i103,0105,0102,01)06583875,0(1 +⋅+⋅+⋅+=+ 4 n 1,290524 = 1,217476 . (1 + i4) i ( ) 217476,1 290524,1 i1 4 =+ (visor: 6,583875%) i4 = 6% 8ª Lista de exercícios 1) Certo produto sofreu um aumento de 20%. Dias depois sofreu outro aumento de 15%. Calcule o aumento total que o produto sofreu. 2) A taxa aparente mensal de juros incidentes sobre uma operação financeira com três meses de prazo foi igual a 4,7185%. Se as taxas de inflação nos três meses analisados foram iguais a 2,5%; 3,4% e 2,1%, calcule a taxa de juros real mensal da operação. 3) A aplicação de $ 14.800,00 rendeu um valor futuro de $ 18.765,91 após seis meses. Se a taxa inflacionária foi igual a 1% em três meses e 2% nos demais meses, calcule a taxa de juros real mensal da operação. 4) Em sua última captação de recursos, a Companhia do Brejo Fundo tomou dinheiro pagando uma taxa real de juros de 1% am durante quatro meses. Se as taxas de inflação mensais foram iguais a 1,1%; 1,0%; 0,8% e 0,9%, calcule a taxa de juros mensal aparente da operação. 5) (Fiscal de ICMS/MS 2000) A taxa de inflação acumulada de 1999 medida pelo IGPM foi de 20,10%. Um investidor afirma ter auferido, em uma aplicação financeira, um rendimento real de 12% ao de 1999, usando o IGPM como índice de inflação. Calcule a taxa efetiva de juros. 6) (BC 1994) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. Qual foi o ganho real? 7) (BNB 2004) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual foi a inflação medida no mesmo período? Gabarito: 1) 38% 2) 2% 3) 2,5% 4) 1,9594% 5) 34,5120% 6) 20% 7) 300% ao período 24