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Séries fourier cap_5 Desenvolvimento em Meio Período

  1. 1. Capítulo 05 25 5.1. Desenvolvimento em Meio Período No capítulo anterior estudamos as funções periódicas com simetrias par e ímpar. Vimos também que: i) se f é par e periódica, então pode ser representada por uma série de Fourier de cossenos; ii) se f é ímpar e periódica, então pode ser representada por uma série de Fourier de senos. Observamos nestes casos que as Fórmulas de Euler-Fourier que calculam os Coeficientes de Fourier empregam a integração em apenas meio período. Isto sugere a seguinte abordagem: se uma dada função é definida apenas em um certo intervalo L , que consideraremos como sendo meio período, podemos escolher um prolongamento par para esta função utilizando uma série de cossenos, ou escolher um prolongamento ímpar utilizando uma série de senos. Tal técnica é denominada desenvolvimento em meio período e é utilizada na resolução de certas equações diferenciais parciais. Exemplo 01: Dada a função 10,)(  tttf , determine a série de cossenos para um prolongamento par desta função. Resolução: observemos então que a função está definida somente no intervalo 10  t , que consideraremos como sendo seu meio período. Como desejamos um prolongamento par, fazendo 1L temos: 2 1 1 1 )( 1 1 00 0   tdtdttf L a L e   22 1 0 1 00 1)cos( 2cos2 1 cos 1 2 cos)( 2     n n dttntdt tn tdt L tn tf L a L n                . Uma vez que      ímparén parén n ,1 ,1 )cos(  , temos
  2. 2. Fabiano J. Santos 26 2 1 0 a , 21 4   a , 02 a , 23 9 4   a , 04 a , 25 25 4   a , 06 a , e substituindo os valores encontrados de naa ,0 obtemos a seguinte representação em Série de Fourier para o prolongamento par de f :       ...5cos 25 4 3cos 9 4 cos 4 2 1 )( 222  ttttf       , (1a) ou                    1 222 )12(cos4 2 1 ...5cos 25 1 3cos 9 1 cos 4 2 1 )( k k tk ttttf     . (1b) A figura a seguir ilustra o gráfico do prolongamento par de f e de sua respectiva Série de Fourier de Cossenos utilizando apenas 2 termos (note como a série converge rapidamente) (Obs.: compare este exemplo com o Exemplo 02 do Capítulo 03). Exemplo 02: Dada a mesma função 10,)(  tttf , determine a série de senos para um prolongamento ímpar.
  3. 3. Capítulo 05 27 Resolução: observemos então que a função está definida somente no intervalo 10  t , que consideraremos como sendo seu meio período. Como desejamos um prolongamento ímpar, fazendo 1L temos:       n n dttntdt tn tdt L tn tf L b L n )cos(2 sen2 1 sen 1 2 sen)( 2 1 0 1 00                . Uma vez que      ímparén parén n ,1 ,1 )cos(  , temos  2 1 b , 2 2 2 b , 3 2 3 b , 4 2 4 b , e substituindo os valores encontrados de nb obtemos a seguinte representação em Série de Fourier para o prolongamento ímpar de f :         ...4sen 4 2 3sen 3 2 2sen 1 sen 2 )(  tttttf         , (2a) ou                     1 1 )sen()1(2 ...4sen 4 1 3sen 3 1 2sen 2 1 sen 2 )( k k k xk tttttf     . (2b) A figura a seguir ilustra o gráfico do prolongamento ímpar de f e de sua respectiva Série de Fourier de Senos utilizando 5 termos (Obs.: compare este exemplo com o Exemplo 03 da Aula 03).
  4. 4. Fabiano J. Santos 28 Exercícios 1) Dada a função a) determine sua representação analítica; b) esboce o gráfico de seu prolongamento par e encontre a Série de Fourier de Cossenos correspondente; c) esboce o gráfico de seu prolongamento ímpar e encontre a Série de Fourier de Senos correspondente; 2) Dada a função a) determine sua representação analítica; b) esboce o gráfico de seu prolongamento par e encontre a Série de Fourier de Cossenos correspondente; c) esboce o gráfico de seu prolongamento ímpar e encontre a Série de Fourier de Senos correspondente; 3*. Mostre que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par mais uma função ímpar.
  5. 5. Capítulo 05 29 RESPOSTAS: 1.b). 2 1 0 a                 nn n an cos1 2 1 cos2 4 22 1.c) 22 2 1 sen8   n n bn        2.b) 4 5 0 a                  nn n an 2 1 coscos 4 22 2.c)              )cos(2 2 1 sen2 2 22   nnnn n bn

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