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Séries de Taylor e de Maclaurin 
Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin 
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo 
contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em 
x = a é 
( ) ... 
( ) ( ) 
x a f a f a x a f a x a f a 
( ) ... ( ) 
! 
( ) ( ) ´( )( ) ´´( ) 
2! 
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n 
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A série de Maclaurin gerada por f é 
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... (0) 
(0) ´(0) ´´(0) 
= + + + + + 
0 
( ) 
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..., 
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(0) 
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k 
n 
n 
k 
k 
x 
n 
x f f x f x f 
k 
f 
a série de Taylor gerada por f em x = 0. 
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n 
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum 
intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 
a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio 
P x = f a + f a x - a + f a x -a + + f a - + + - 
( ) . 
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( ) ( ) ´( )( ) ´´( ) 
2! 
( ) ( ) 
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n 
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n x a 
n 
k 
Resto de um Polinômio de Taylor 
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma 
função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um 
resto Rn(x) definido por 
f (x) P (x) R (x) n n = + 
O valor absoluto R (x) f (x) P (x) n n = - é chamado de erro associado à 
aproximação.
Teorema de Taylor 
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, 
então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que 
f ( x ) f ( a ) f ´( a )( x a ) f ´´( a ) x a f a ( ) 
n 
( ) ( ), 
( ) ... ( ) 
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2! 
( ) 
2 x a R x 
n 
n 
n 
= + - + - + + - + 
onde 
( 1) 
R x f c 
( ) = ( ) n 
1 
( ) . 
( 1) 
+ 
+ 
- 
+ 
n 
n x a 
n 
Teorema da Estimativa do Resto 
Se existirem constantes positivas M e r tais que f (n+1) (t) £Mr n+1 para todo t 
entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a 
desigualdade 
. 
- 
( 1)! 
( ) 
1 1 
+ 
£ 
+ + 
n 
r x a 
R x M 
n n 
n 
Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do 
Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x). 
Combinando Séries de Taylor 
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem 
ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os 
resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é 
a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a 
enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.
Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na 
série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A 
série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para 
sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de 
todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x. 
Séries de Fourier 
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b n x 
a n x 
0 cos sen . 
2 
= 
ö çè 
÷ø 
= + æ + 
1 
( ) 
n 
n L 
n L 
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f x p p (1) 
Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A 
equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L). 
Coeficientes na Expansão em Série de Fourier 
cos npx 0 
= L 
L 
1) ò- 
dx 
L 
sen npx 0 
= L 
L 
2) ò- 
dx 
L 
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3) ò- î í ì 
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n 
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n x 
L 
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L 
L 
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L 
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L 
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5) ò- î í ì 
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n 
m x 
n x 
l 
dx 
= L L m = 
n 
L 
L 
, 
sen p sen p 
Cálculo de a0 
Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as 
operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter 
dx b n x 
¥ 
( ) p p (2) 
dx a n x 
= + + L 
L 
ò ò å ò å ò - 
0 cos sen . 
2 
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- 
¥ 
- - 
= 
n 
L 
n L 
n 
L 
n L 
L 
L 
dx 
L 
L 
a 
f x dx 
1 1 
Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da 
equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,
. 
a x L 
ò = ò = ù - - 
0 0 La 
( ) 0 
2 2 
L 
dx 
a 
f x dx L 
L 
L 
L 
= 
- úû 
Então, obtemos a0: 
a = 1 L 
( ) . 
0 
ò- 
L 
f x dx 
L 
Cálculo de am 
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por cos(mpx / L) , m > 0, e 
integramos o resultado de – L a L: 
dx a m x 
f x m x 
p p 
ò ò 
2 
( ) cos 
- - 
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1 
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p p 
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L 
L 
L 
L 
dx 
L 
L 
dx 
L 
L 
dx 
L 
L 
p p 
(4) 
A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela 
dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação 
para 
f (x) cos mpx dx a cos m p x 
cos m p x 
. 
L 
= L 
= L 
ò ò - - 
m L m dx La 
L 
L 
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Portanto, 
a = 1 L 
( ) cos p . 
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f x m x 
m L dx 
L 
L 
Cálculo de bm
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por sen(mpx / L) , m > 0, e 
integramos o resultado de – L a L: 
dx a m x 
f x m x 
p p 
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Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos 
f (x) sen mpx sen p sen p 
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dx b m x 
L 
= L 
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m L m dx Lb 
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Portanto, 
b = 1 L 
( ) sen p . (6) 
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f x m x 
m L dx 
L 
L 
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas 
equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada 
de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As 
constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f. 
Definição – Séries de Fourier 
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é 
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Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por sen(mpx / L) , m > 0, e 
integramos o resultado de – L a L: 
dx a m x 
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Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos 
f (x) sen mpx sen p sen p 
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dx b m x 
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= L 
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Portanto, 
b = 1 L 
( ) sen p . (6) 
ò- 
f x m x 
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L 
L 
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas 
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Sries de taylor e de maclaurin

  • 1. Séries de Taylor e de Maclaurin Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x = a é ( ) ... ( ) ( ) x a f a f a x a f a x a f a ( ) ... ( ) ! ( ) ( ) ´( )( ) ´´( ) 2! f a ! 2 0 ( ) - = + - + - + + - n + = å¥ n k k k x a n k A série de Maclaurin gerada por f é å¥ = ... (0) (0) ´(0) ´´(0) = + + + + + 0 ( ) 2 ( ) ..., ! 2! (0) ! k n n k k x n x f f x f x f k f a série de Taylor gerada por f em x = 0. Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio P x = f a + f a x - a + f a x -a + + f a - + + - ( ) . n x a f a ( ) ... ( ) ! ( ) ... ( ) ! ( ) ( ) ´( )( ) ´´( ) 2! ( ) ( ) 2 k n k n x a n k Resto de um Polinômio de Taylor Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por f (x) P (x) R (x) n n = + O valor absoluto R (x) f (x) P (x) n n = - é chamado de erro associado à aproximação.
  • 2. Teorema de Taylor Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que f ( x ) f ( a ) f ´( a )( x a ) f ´´( a ) x a f a ( ) n ( ) ( ), ( ) ... ( ) ! 2! ( ) 2 x a R x n n n = + - + - + + - + onde ( 1) R x f c ( ) = ( ) n 1 ( ) . ( 1) + + - + n n x a n Teorema da Estimativa do Resto Se existirem constantes positivas M e r tais que f (n+1) (t) £Mr n+1 para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade . - ( 1)! ( ) 1 1 + £ + + n r x a R x M n n n Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x). Combinando Séries de Taylor Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.
  • 3. Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x. Séries de Fourier å¥ b n x a n x 0 cos sen . 2 = ö çè ÷ø = + æ + 1 ( ) n n L n L a f x p p (1) Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L). Coeficientes na Expansão em Série de Fourier cos npx 0 = L L 1) ò- dx L sen npx 0 = L L 2) ò- dx L 0, 3) ò- î í ì m ¹ n m x n x L dx = L L m = n L L , cos p cos p sen npx cos m p x 0 = L L 4) ò- dx L L 0, 5) ò- î í ì m ¹ n m x n x l dx = L L m = n L L , sen p sen p Cálculo de a0 Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter dx b n x ¥ ( ) p p (2) dx a n x = + + L L ò ò å ò å ò - 0 cos sen . 2 = - ¥ - - = n L n L n L n L L L dx L L a f x dx 1 1 Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,
  • 4. . a x L ò = ò = ù - - 0 0 La ( ) 0 2 2 L dx a f x dx L L L L = - úû Então, obtemos a0: a = 1 L ( ) . 0 ò- L f x dx L Cálculo de am Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por cos(mpx / L) , m > 0, e integramos o resultado de – L a L: dx a m x f x m x p p ò ò 2 ( ) cos - - a n x å ò 1 ¥ p p b n x å ò = - ¥ = - + + = 1 0 cos cos cos m x m x sen cos . n L n L n L n L L L L L dx L L dx L L dx L L p p (4) A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação para f (x) cos mpx dx a cos m p x cos m p x . L = L = L ò ò - - m L m dx La L L L Portanto, a = 1 L ( ) cos p . ò- f x m x m L dx L L Cálculo de bm
  • 5. Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por sen(mpx / L) , m > 0, e integramos o resultado de – L a L: dx a m x f x m x p p ò ò 2 ( ) sen - - a n x å ò 1 ¥ p p b n x å ò = - ¥ = - + + = 1 0 cos sen sen m x m x sen sen . n L n L n L n L l L L L dx L L dx L L dx L L p p Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos f (x) sen mpx sen p sen p m x dx b m x L = L = L ò ò - - m L m dx Lb L L L Portanto, b = 1 L ( ) sen p . (6) ò- f x m x m L dx L L A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f. Definição – Séries de Fourier A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é å¥ b n x a n x 0 cos sen . 2 = ö çè ÷ø = + æ + 1 ( ) n n L n L a f x p p a = 1 òL f ( x ) dx . 0 L - L ò- a = 1 L ( ) cos p . f x n x n L dx L L b = 1 L ( ) sen p . ò- f x n x n L dx L L
  • 6. Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por sen(mpx / L) , m > 0, e integramos o resultado de – L a L: dx a m x f x m x p p ò ò 2 ( ) sen - - a n x å ò 1 ¥ p p b n x å ò = - ¥ = - + + = 1 0 cos sen sen m x m x sen sen . n L n L n L n L l L L L dx L L dx L L dx L L p p Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos f (x) sen mpx sen p sen p m x dx b m x L = L = L ò ò - - m L m dx Lb L L L Portanto, b = 1 L ( ) sen p . (6) ò- f x m x m L dx L L A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f. Definição – Séries de Fourier A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é å¥ b n x a n x 0 cos sen . 2 = ö çè ÷ø = + æ + 1 ( ) n n L n L a f x p p a = 1 òL f ( x ) dx . 0 L - L ò- a = 1 L ( ) cos p . f x n x n L dx L L b = 1 L ( ) sen p . ò- f x n x n L dx L L