Métodos Matemáticos Aplicados à Física - Trigonometria
1. Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4
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Trigonometria e relações trigonométricas
Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos
assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado
mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo reto), chama-se
hipotenusa e os demais se chamam catetos. O cateto que forma o
ângulo θ, na figura, com a hipotenusa é o cateto adjacente ao ângulo
e o outro o cateto oposto.
Teorema de Pitágoras
O grego Pitágoras formulou o seguinte teorema para o triângulo retângulo: a soma do quadrado
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é:
² ² ²x y h
Relações trigonométricas de ângulos
Os lados do triângulo podem ser relacionados com o ângulo θ, através de relações denominadas
trigonométricas:
Seno do ângulo θ ou sen(θ)
É o quociente entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa:
cateto oposto
sen
hipotenusa
y
h
.
Cosseno do ângulo θ ou cos(θ)
É o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa;
cateto adjacente
cos
hipotenusa
x
h
Tangente do ângulo θ ou tan(θ)
É o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
cateto oposto
tan
cateto adjacente
y
x
.
Note que a tangente pode ser escrita como:
sen( ) sen( )
tan( ) tan( )
cos( ) cos( )
y h
x h
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2
Funções trigonométricas derivadas
Secante do ângulo θ ou sec(θ)
1
sec
cos
Co-Secante do ângulo θ ou cosec(θ)
1
cosec
sen
Co-Tangente do ângulo θ ou cotan(θ)
1
cotan
tan
A equação fundamental da trigonometria
A equação fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras:
2 2 2
2 2
2 2
1 mas sen e cos
sen cos 1
x y h
x y x y
h h h h
.
Desta equação podemos derivar outras. Dividindo ambos os lados por 2
cos :
2 2
2 2 2
2
2
sen cos 1
cos cos cos
1
tan 1
cos
ou, dividindo por 2
sen :
2 2
2 2 2
2
2
sen cos 1
sen sen sen
1
cotan 1
sen
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Problema da altura da torre
Um problema interessante é o cálculo da altura da torre a partir dos ângulos α e β.
Fazendo a medição dos ângulos separados pela distância de 10 m mostrado na figura, mediu-se
20 18o o
e . Então, das funções trigonométricas obtemos:
tan( ) tan( )
tan( ) tan( )
tan( ) tan( )
mas 10
então:
10 tan( ) tan( )
10tan( )
tan( ) tan( ) 10tan( )
tan( ) tan( )
mas
tan( )
10tan( ) 10tan( ) tan( )
tan( ) tan( ) tan( )
h
h b
b
b a
h
h a
a
b a
a a
a a
h
a
h
h
tan( ) tan( )
Substituindo os valores das tangentes dos ângulos:
tan( ) tan(20 ) 0,367
tan( ) tan(18 ) 0,325
10tan( )tan( )
30,3m
tan( ) tan( )
o
o
h
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4
Outro problema de medição de altura
A medição da altura do prédio pode ser feita utilizando-se a luz
solar (e a sombra produzida pelo prédio) e uma estaca de altura
conhecida colocada ao lado.
Note que, neste caso, a
tan( ) para o prédio, e é a mesma relação para a estaca:
tan( ) , então,
H
X
h
x
H h h
H X
X x x
Port
anto, conhecendo-se o comprimento das sombras e a altura da
estaca, pode-se determinar o valor da altura do prédio H.
Seno, cosseno e tangente como funções reais de variável real
Na figura ao lado, a circunferência foi dividida em ângulos na unidade radianos, onde uma volta inteira
corresponde a 2π radianos ou rad. Isto é, π é a razão entre o diâmetro da circunferência e o comprimento
dela:
2
2
comprimento comprimento
diâmetro raio
comprimento
raio
.
Portanto θ tem unidade rad e, neste caso, pode ser usado como
qualquer número nas operações matemáticas, por exemplo:
3,14
2 2 1,41 2,2
4 4 4
se então a operação
O mesmo não poderia ser feito se θ fosse expresso em graus.
A origem da medida dos ângulo é no eixo das abscissas (x). O eixo
vertical y (ordenadas) corresponde, portanto, a um ângulo de 90º ou θ
= π/2.
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5
Considere o triângulo retângulo à direita do eixo y. O ângulo é θ e o valor das funções trigonométricas
seno e cosseno é:
sen( ) cos( )
y x
h h
Agora considere o triângulo retângulo à esquerda do eixo y. O ângulo agora é π – θ. Então:
sen cos
sen sen cos cos
y x
h h
Portanto, a função sen é uma função par e cos uma função
ímpar.
Agora analisemos o triângulo inferior. Neste caso,
sen sen 2 cos cos 2
sen sen cos cos
y x
h h
Portanto, isto prova novamente o caráter ímpar para a função
cosseno e par para a função seno.
Agora analisemos os casos em que θ =0 e θ = π/2.
Quando θ =0, x será igual ao valor da hipotenusa, isto é, x = h, enquanto que y = 0. Portanto:
sen 0 0 cos 0 1
y x h
h h h
Portanto, podemos construir uma tabela com valores de θ mais comuns:
Θ graus x y sen
y
h
cos
x
h
tan
y
x
0 0º h 0 0 1 0
1
2 90º 0 h 1 0
1
4 45º 2
2 h 2
2 h 2
2
2
2 1
4
3 270º 0 h -1 0
π 180º -h 0 0 -1 0
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6
Soma e subtração de ângulos.
Algumas propriedades trigonométricas interessantes referem-se à soma ou subtração de ângulos. São elas:
cos cos cos sen sen
sen sen cos cos sen
*Prova no anexo 1
Estas equações podem ser usadas para determinar o valor do seno ou cosseno de ângulos desconhecidos.
Por exemplo, qual o 6sen ou sen 30o
?
sen sen sen cos cos sen
2 6 6 6 6 6 6 6 6 6
1 sen cos cos sen sen cos sen cos cos
6 6 6 6 6 6 6 6 6
3 2 2 2
3 2 3
3
sen
6
1 sen 3sen cos cos 1 sen
6 6 6 6 6
1 sen 3sen 1 sen 4sen 3sen
6 6 6 6 6
4sen 3sen 1 0
6 6
Aresoluç
1 2 3
ãodesta equaçãodoterceirograufornece3raízes:
1
sen 1, sen sen
6 6 6 2
comosen está noprimeiroquadrante, asoluça o negativa nãoé valida.
6
1
Portanto sen
6 2
Tente fazer 6 12 3cos , sen e sen
Também podemos obter
sen cos cos sen
cos cos
cos cos sen sen
cos cos
sen
tan
cos
sen cos cos sen
tan
cos cos sen sen
tan tan
tan
1 tan tan
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Soma de ângulos iguais
Da primeira equação, fazendo α = θ, obtemos:
2 2
2 2 2 2
2 2
cos cos cos sen sen
cos 2 cos sen
cos sen 1 sen 1 cos
cos 2 2cos 1 cos 2 1 2sen
mas
ou
Da segunda equação, fazendo α = θ, obtemos:
sen sen cos cos sen
sen 2 2sen cos
Periodicidade das funções trigonométricas
As funções seno e cosseno são funções periódicas, cujo período é π.
Note que, ao substituirmos θ nas equações abaixo por 2n , onde n é um número inteiro, ou o número
de voltas em torno da circunferência, obtemos:
cos cos cos sen sen
cos 2 cos cos 2 sen sen 2
mas sen 2 0 para qualquer
e cos 2 cos 2 1 pois 2 é para qualquer e portanto tem-se múliplos de 2 .
portanto cos 2 cos
sen 2 sen cos 2 cos sen
n n n
n n
n n n par n
n
n n
2
sen 2 sen
n
n
n
Portanto as funções seno e cosseno tem o mesmo valor para 1 2 , 2 2 , 3 2 , ..., 2n .
Observe no gráfico a periodicidade com que a função se repete:
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8
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
A
cos()
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
A
sen()
Embora não sejam contínuas, isto é, possuem valores que tendem a infinito, as demais funções
trigonométricas também são periódicas:
0
tan()
0
cotan()
0
sec()
0
cossec()
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Ângulo de fase:
As funções trigonométrica, por serem periódicas, costumamos chamar uma constante somada ao ângulo
de ângulo de fase, por exemplo:
cos
2 2
é oângulode fase
Uma aplicação é a rede elétrica trifásica. A energia elétrica é uma função co-senoidal e cada fio (ou fase)
tem amplitude máxima de 127 Volts, como na figura, sendo cada onda defasada da outra de 120º, ou
ângulo de fase de 2
3 , isto é, a fase 1 começa em θ = 0, a fase 2 em θ = 0+ 2
3 e a fase 3 em θ =
0+2. 2
3 ( a escala x = θ, é uma função do tempo, isto é,
, 2 .60t onde é a frequênciaangular de Hz :
-220
-132
-44
44
132
220
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Múltiplos de Pi
Volts
Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 2 - Fase 1
Ligando um aparelho na fase 1 e no terra (0 V), tem-se 127 V, mas se ligar o aparelho em duas fases (fase
2 – fase 1) obtém-se 220 V, representada pela função de maior intensidade.
Anexo I - Demonstração da adição e subtração de arcos
Considere o círculo trigonométrico de raio h = 1 abaixo:
10. Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4
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Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os
triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:
Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:
11. Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4
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Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:
Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações:
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a)
Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:
Podemos concluir também que:
Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a)
Da relação (10) temos que:
Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:
12. Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4
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Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:
Então:
Em contrapartida, podemos escrever:
Então teremos:
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
Sabemos que:
Se fizermos θ = (a + b), teremos:
Da mesma forma, temos:
Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:
Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la
assim:
13. Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4
13
sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)
Da relação (14) temos que:
Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:
No entanto:
e
Fazemos: