Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace
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Exercícios de Transformada de laplace

  1. 1. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 1 LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUA INVERSA Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 1. ( ) ( ) ( )    = =−′ 10y ety3ty t2 ; 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =′ = =+′−′′ 60y 20y etty9ty6ty t32 ; 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =′ = =+′′ 10x 00x t4costx16tx ; 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =′ = +=+′+′′ − 00y 00y e1ty6ty4ty t ; 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     −=′ = δ=+′+′′ 50y 10y tty4ty5ty ; 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       =′′ =′ = =′+′′′ 00y 00y 00y tH2ty9ty ; 7.    ≥ <≤ =      =′ = =−′′ 4tse,3 4t0se,0 )t(fonde 0)0(y 1)0(y )t(f)t(y4)t(y ; 8. ( )    ≥ <≤ =        =′′ =′ = =−′′′ 4tse2 4t0se,0 )t(gonde 0)0(y 0)0(y 0)0(y tg)t(y8)t(y ; 9.    ≥ <≤ =      =′ −= =−′+′′ 5tse,2 5t0se,0 )t(fonde 0)0(y 2)0(y )t(f)t(y7)t(y2)t(y ; 10.    ≥ <≤ =      =′ = =+′+′′ 2tse0 2t0se1 )t(fonde 2)0(y 1)0(y )t(f)t(y4)t(y4)t(y . Use a transformada de Laplace e sua inversa para resolver os problemas abaixo: 11. 0)0(y)0(x,0xyx,1y2x ===−+′=′−′ ; 12. ( ) ( ) 00y0x,0yx2,1yy2x ===+′=−′+′ ;
  2. 2. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 2 13. ( ) ( ) 00y0x,0yyx,t2yx3 ===−′+′=−′ ; 14. ( ) ( ) 00y0x,txyx,0yx2x 2 ===++′=′−+′ ; 15. ( ) ( ) 00y0x,1xy2x,0yxyx ===+′+′=−+′+′ ; 16. ∫ −− −−= t 0 utt2 due)u(fet3)t(f ; 17.     = −−=′ ∫ 0)0(y du)u(y)t(sen1)t(y t 0 ; 18.      =′ = =′−′′ 2)1(y 0)0(y t)t(y)t(yt 2 . 19. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto a partir do repouso a 18 cm acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 da velocidade instantânea do corpo. Determine a equação de movimento deste corpo. 20. Determine a corrente em um circuito em série RLC quando L = 0,005 henry, R = 1 ohm, C = 0,02 farad, E(t) = 100[1 - H(t - 1)] volts e a corrente inicial é nula. 21. Determine a carga e a corrente em um circuito em série no qual L = 1 henry, R = 20 ohms, C = 0,005 farad, E(t) = 150 volts, para t > 0, com carga no capacitor e corrente iniciais nulas. Qual é a corrente estacionária? Sabe-se que a deflexão estática y(x) em uma posição x de uma viga uniforme de comprimento L, suportando uma carga w(x) por unidade de comprimento satisfaz a equação diferencial de quarta ordem: )x(w)x( dx yd EI 4 4 = , onde E é o módulo de elasticidade de Young e I denota o momento de inércia de uma seção transversal da viga. Resolva os seguintes problemas de contorno: 22. Uma viga de comprimento L está fixa em ambos os extremos (engastada). Neste caso, a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y(L) = 0, y’(0) = 0 e y’(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que não há deflexão vertical nas extremidades e as outras duas significam que a linha de deflexão é horizontal nos extremos. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. 23. Para uma viga engastada em seu extremo esquerdo (x = 0) e solta em seu estremo direito (x = L), a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y’(0) = 0, y”(L) = 0 e y’”(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que a deflexão e a inclinação são nulas em x = 0. As outras duas significam que o momento fletor e a força de cisalhamento são nulos em x = L. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.
  3. 3. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 3 RESPOSTAS: 1) t2t3 ee2)t(y −= ; 2) t3 4 e 12 t 2)t(y         += ; 3) 8 )t4(sen)t2( )t(x + = ; 4) ( ) ( )[ ] 6 t2sen22t2cos3ee21 )t(y t2t +−+ = −− ; 5) t4 e)t(y − = ; 6) )1t(H 9 )3t3(sen 3 1t −      − − − ; 7) ( ) ( )[ ] ( )4tH)4t2cosh(1 4 3 t2cosh)t(y −−−−= ; 8) ( ) ( )( ) ( )4tH4t3cos 6 e e 12 1 4 1 )t(y t4 4t2 −         −++−= − − ; 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5tHe24e248 28 1 e24e24 4 1 )t(y )5t(221)5t(221 t221t221 −     ++−++ +     ++−−= −+−−+− +−+− ; 10) ( ) ( ) ( ) ( )2tHe2t 2 1 e 4 1 4 1 te 2 7 e 4 3 4 1 )t(y 2t22t2t2t2 −      −++−+++= −−−−−− . 11) ( ) ( ) te1ty;te22tx 2/t2/t −+−=−+−= ; 12) 4/t34/t3 e 3 2 3 2 )t(y;e 9 4 t 3 1 9 4 )t(x +−=−+= ; 13) ( ) 2 3 te 2 3 ty;t 2 1 t 2 1 e 4 3 4 3 )t(x 3/t223/t2 ++−=++−= ; 14) ( ) ( ) ( ) tttsenety;1ttcose)t(x 2tt −+=−+= −− ; 15) ( ) ( ) ttt e1ty;et2e1tx −−− −=−−= ; 16) t32 e21tt3)t(f − −+−= ; 17) 2 )t(sen)t2( )t(y − = ; 18) 6 t3t2 )t(y 23 − = . 19)                 +        −= − t 2 15 sen157t 2 15 cos15 10 e )t(x 2/t7 . 20) [ ])1t(He)1t(te000.20)t(i )1t(100t100 −−−= −−− . 21) t10 t10 te60)t10(sen6)t(i; 5 )t10cos(3e)t303( )t(q − − −= −+ = ; a corrente estacionária é igual a 6 sen(10t). 22) EI24 )Lx(wx )x(y 22 − = . 23)         +− = 12 xLx4)Lx(6 EI w )x(y 432 .

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