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Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace
1
LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE E SUA INVERSA
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
1.
( ) ( )
( )



=
=−′
10y
ety3ty t2
;
2.
( ) ( ) ( )
( )
( )




=′
=
=+′−′′
60y
20y
etty9ty6ty t32
;
3.
( ) ( ) ( )
( )
( )




=′
=
=+′′
10x
00x
t4costx16tx
;
4.
( ) ( ) ( )
( )
( )




=′
=
+=+′+′′ −
00y
00y
e1ty6ty4ty t
;
5.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )




−=′
=
δ=+′+′′
50y
10y
tty4ty5ty
;
6.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )






=′′
=′
=
=′+′′′
00y
00y
00y
tH2ty9ty
;
7.



≥
<≤
=





=′
=
=−′′
4tse,3
4t0se,0
)t(fonde
0)0(y
1)0(y
)t(f)t(y4)t(y
;
8.
( )



≥
<≤
=







=′′
=′
=
=−′′′
4tse2
4t0se,0
)t(gonde
0)0(y
0)0(y
0)0(y
tg)t(y8)t(y
;
9.



≥
<≤
=





=′
−=
=−′+′′
5tse,2
5t0se,0
)t(fonde
0)0(y
2)0(y
)t(f)t(y7)t(y2)t(y
;
10.



≥
<≤
=





=′
=
=+′+′′
2tse0
2t0se1
)t(fonde
2)0(y
1)0(y
)t(f)t(y4)t(y4)t(y
.
Use a transformada de Laplace e sua inversa para resolver os problemas abaixo:
11. 0)0(y)0(x,0xyx,1y2x ===−+′=′−′ ;
12. ( ) ( ) 00y0x,0yx2,1yy2x ===+′=−′+′ ;
Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace
2
13. ( ) ( ) 00y0x,0yyx,t2yx3 ===−′+′=−′ ;
14. ( ) ( ) 00y0x,txyx,0yx2x 2
===++′=′−+′ ;
15. ( ) ( ) 00y0x,1xy2x,0yxyx ===+′+′=−+′+′ ;
16. ∫
−−
−−=
t
0
utt2
due)u(fet3)t(f ;
17.




=
−−=′ ∫
0)0(y
du)u(y)t(sen1)t(y
t
0 ;
18.





=′
=
=′−′′
2)1(y
0)0(y
t)t(y)t(yt 2
.
19. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto a partir do repouso a 18 cm
acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece
uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 da velocidade instantânea do corpo.
Determine a equação de movimento deste corpo.
20. Determine a corrente em um circuito em série RLC quando L = 0,005 henry, R = 1 ohm, C =
0,02 farad, E(t) = 100[1 - H(t - 1)] volts e a corrente inicial é nula.
21. Determine a carga e a corrente em um circuito em série no qual L = 1 henry, R = 20 ohms, C
= 0,005 farad, E(t) = 150 volts, para t > 0, com carga no capacitor e corrente iniciais nulas.
Qual é a corrente estacionária?
Sabe-se que a deflexão estática y(x) em uma posição x de uma viga uniforme de
comprimento L, suportando uma carga w(x) por unidade de comprimento satisfaz a equação
diferencial de quarta ordem:
)x(w)x(
dx
yd
EI
4
4
= ,
onde E é o módulo de elasticidade de Young e I denota o momento de inércia de uma seção
transversal da viga. Resolva os seguintes problemas de contorno:
22. Uma viga de comprimento L está fixa em ambos os extremos (engastada). Neste caso, a
deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y(L) = 0,
y’(0) = 0 e y’(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que não há deflexão vertical nas
extremidades e as outras duas significam que a linha de deflexão é horizontal nos extremos.
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída
ao longo de seu comprimento.
23. Para uma viga engastada em seu extremo esquerdo (x = 0) e solta em seu estremo direito (x =
L), a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y’(0) =
0, y”(L) = 0 e y’”(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que a deflexão e a inclinação
são nulas em x = 0. As outras duas significam que o momento fletor e a força de
cisalhamento são nulos em x = L. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w
está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.
Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace
3
RESPOSTAS:
1) t2t3
ee2)t(y −= ; 2) t3
4
e
12
t
2)t(y








+= ; 3)
8
)t4(sen)t2(
)t(x
+
= ;
4)
( ) ( )[ ]
6
t2sen22t2cos3ee21
)t(y
t2t
+−+
=
−−
; 5) t4
e)t(y −
= ;
6) )1t(H
9
)3t3(sen
3
1t
−




 −
−
−
; 7) ( ) ( )[ ] ( )4tH)4t2cosh(1
4
3
t2cosh)t(y −−−−= ;
8) ( ) ( )( ) ( )4tH4t3cos
6
e
e
12
1
4
1
)t(y
t4
4t2
−








−++−=
−
−
;
9)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5tHe24e248
28
1
e24e24
4
1
)t(y
)5t(221)5t(221
t221t221
−



 ++−++
+



 ++−−=
−+−−+−
+−+−
;
10) ( ) ( ) ( ) ( )2tHe2t
2
1
e
4
1
4
1
te
2
7
e
4
3
4
1
)t(y
2t22t2t2t2
−





−++−+++=
−−−−−−
.
11) ( ) ( ) te1ty;te22tx 2/t2/t
−+−=−+−= ;
12) 4/t34/t3
e
3
2
3
2
)t(y;e
9
4
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3
1
9
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)t(x +−=−+= ;
13) ( )
2
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2
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4
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4
3
)t(x 3/t223/t2
++−=++−= ;
14) ( ) ( ) ( ) tttsenety;1ttcose)t(x 2tt
−+=−+= −−
;
15) ( ) ( ) ttt
e1ty;et2e1tx −−−
−=−−= ; 16) t32
e21tt3)t(f −
−+−= ;
17)
2
)t(sen)t2(
)t(y
−
= ; 18)
6
t3t2
)t(y
23
−
= .
19)
















+







−=
−
t
2
15
sen157t
2
15
cos15
10
e
)t(x
2/t7
.
20) [ ])1t(He)1t(te000.20)t(i )1t(100t100
−−−= −−−
.
21) t10
t10
te60)t10(sen6)t(i;
5
)t10cos(3e)t303(
)t(q −
−
−=
−+
= ; a corrente estacionária é igual
a 6 sen(10t).
22)
EI24
)Lx(wx
)x(y
22
−
= . 23)







 +−
=
12
xLx4)Lx(6
EI
w
)x(y
432
.

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Exercícios de Transformada de laplace

  • 1. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 1 LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUA INVERSA Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 1. ( ) ( ) ( )    = =−′ 10y ety3ty t2 ; 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =′ = =+′−′′ 60y 20y etty9ty6ty t32 ; 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =′ = =+′′ 10x 00x t4costx16tx ; 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =′ = +=+′+′′ − 00y 00y e1ty6ty4ty t ; 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     −=′ = δ=+′+′′ 50y 10y tty4ty5ty ; 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       =′′ =′ = =′+′′′ 00y 00y 00y tH2ty9ty ; 7.    ≥ <≤ =      =′ = =−′′ 4tse,3 4t0se,0 )t(fonde 0)0(y 1)0(y )t(f)t(y4)t(y ; 8. ( )    ≥ <≤ =        =′′ =′ = =−′′′ 4tse2 4t0se,0 )t(gonde 0)0(y 0)0(y 0)0(y tg)t(y8)t(y ; 9.    ≥ <≤ =      =′ −= =−′+′′ 5tse,2 5t0se,0 )t(fonde 0)0(y 2)0(y )t(f)t(y7)t(y2)t(y ; 10.    ≥ <≤ =      =′ = =+′+′′ 2tse0 2t0se1 )t(fonde 2)0(y 1)0(y )t(f)t(y4)t(y4)t(y . Use a transformada de Laplace e sua inversa para resolver os problemas abaixo: 11. 0)0(y)0(x,0xyx,1y2x ===−+′=′−′ ; 12. ( ) ( ) 00y0x,0yx2,1yy2x ===+′=−′+′ ;
  • 2. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 2 13. ( ) ( ) 00y0x,0yyx,t2yx3 ===−′+′=−′ ; 14. ( ) ( ) 00y0x,txyx,0yx2x 2 ===++′=′−+′ ; 15. ( ) ( ) 00y0x,1xy2x,0yxyx ===+′+′=−+′+′ ; 16. ∫ −− −−= t 0 utt2 due)u(fet3)t(f ; 17.     = −−=′ ∫ 0)0(y du)u(y)t(sen1)t(y t 0 ; 18.      =′ = =′−′′ 2)1(y 0)0(y t)t(y)t(yt 2 . 19. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto a partir do repouso a 18 cm acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 da velocidade instantânea do corpo. Determine a equação de movimento deste corpo. 20. Determine a corrente em um circuito em série RLC quando L = 0,005 henry, R = 1 ohm, C = 0,02 farad, E(t) = 100[1 - H(t - 1)] volts e a corrente inicial é nula. 21. Determine a carga e a corrente em um circuito em série no qual L = 1 henry, R = 20 ohms, C = 0,005 farad, E(t) = 150 volts, para t > 0, com carga no capacitor e corrente iniciais nulas. Qual é a corrente estacionária? Sabe-se que a deflexão estática y(x) em uma posição x de uma viga uniforme de comprimento L, suportando uma carga w(x) por unidade de comprimento satisfaz a equação diferencial de quarta ordem: )x(w)x( dx yd EI 4 4 = , onde E é o módulo de elasticidade de Young e I denota o momento de inércia de uma seção transversal da viga. Resolva os seguintes problemas de contorno: 22. Uma viga de comprimento L está fixa em ambos os extremos (engastada). Neste caso, a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y(L) = 0, y’(0) = 0 e y’(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que não há deflexão vertical nas extremidades e as outras duas significam que a linha de deflexão é horizontal nos extremos. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. 23. Para uma viga engastada em seu extremo esquerdo (x = 0) e solta em seu estremo direito (x = L), a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y’(0) = 0, y”(L) = 0 e y’”(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que a deflexão e a inclinação são nulas em x = 0. As outras duas significam que o momento fletor e a força de cisalhamento são nulos em x = L. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.
  • 3. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 3 RESPOSTAS: 1) t2t3 ee2)t(y −= ; 2) t3 4 e 12 t 2)t(y         += ; 3) 8 )t4(sen)t2( )t(x + = ; 4) ( ) ( )[ ] 6 t2sen22t2cos3ee21 )t(y t2t +−+ = −− ; 5) t4 e)t(y − = ; 6) )1t(H 9 )3t3(sen 3 1t −      − − − ; 7) ( ) ( )[ ] ( )4tH)4t2cosh(1 4 3 t2cosh)t(y −−−−= ; 8) ( ) ( )( ) ( )4tH4t3cos 6 e e 12 1 4 1 )t(y t4 4t2 −         −++−= − − ; 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5tHe24e248 28 1 e24e24 4 1 )t(y )5t(221)5t(221 t221t221 −     ++−++ +     ++−−= −+−−+− +−+− ; 10) ( ) ( ) ( ) ( )2tHe2t 2 1 e 4 1 4 1 te 2 7 e 4 3 4 1 )t(y 2t22t2t2t2 −      −++−+++= −−−−−− . 11) ( ) ( ) te1ty;te22tx 2/t2/t −+−=−+−= ; 12) 4/t34/t3 e 3 2 3 2 )t(y;e 9 4 t 3 1 9 4 )t(x +−=−+= ; 13) ( ) 2 3 te 2 3 ty;t 2 1 t 2 1 e 4 3 4 3 )t(x 3/t223/t2 ++−=++−= ; 14) ( ) ( ) ( ) tttsenety;1ttcose)t(x 2tt −+=−+= −− ; 15) ( ) ( ) ttt e1ty;et2e1tx −−− −=−−= ; 16) t32 e21tt3)t(f − −+−= ; 17) 2 )t(sen)t2( )t(y − = ; 18) 6 t3t2 )t(y 23 − = . 19)                 +        −= − t 2 15 sen157t 2 15 cos15 10 e )t(x 2/t7 . 20) [ ])1t(He)1t(te000.20)t(i )1t(100t100 −−−= −−− . 21) t10 t10 te60)t10(sen6)t(i; 5 )t10cos(3e)t303( )t(q − − −= −+ = ; a corrente estacionária é igual a 6 sen(10t). 22) EI24 )Lx(wx )x(y 22 − = . 23)         +− = 12 xLx4)Lx(6 EI w )x(y 432 .