O documento discute o erro propagado em medidas indiretas. Explica que medidas indiretas dependem de medidas diretas que possuem erros, fazendo com que as medidas indiretas sejam menos precisas. Apresenta a equação do erro indeterminado para calcular o erro de uma medida indireta em função dos erros das medidas diretas. Fornece um exemplo numérico de cálculo do erro propagado.

1. ERRO PROPAGADO EM MEDI
Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas m
didas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome
do da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que contenham erros, é certo
que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros irem se acumulando toda vez que
manipulamos matematicamente as medidas envolvidas no cálculo.
Este é o motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo m
nos com valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalme
Considere uma medida indiíeta "y" como sendo uma função de outras medidas direias "x
matemáticos escrevemos isto como: y = f(x
da função) em termos das variações de cada uma das variáveis (x
Onde é a drivada parcial da função
escolhido. Então podemos substituir as diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De
outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de A.Y). ficando assim:
Para uma função dependente de mais de uma variável y
Veja que essa expressão é uma expansão cia primeira, e se chama
Exemplo 1- Considere que foram medidas a altura (h) e o raio (r) de uma calota esférica. A partir dos dados abaixo
calcule o volume dessa calota.
Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtemos a equação do erro indeterminado (
chamaremos de z).
ERRO PROPAGADO EM MEDIDAS INDIRETAS
Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas m
didas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome
do da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que contenham erros, é certo
que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros irem se acumulando toda vez que
lamos matematicamente as medidas envolvidas no cálculo.
Este é o motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo m
nos com valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalme
Considere uma medida indiíeta "y" como sendo uma função de outras medidas direias "x1, x
matemáticos escrevemos isto como: y = f(x1, x2, x3,..., xn) . Assim podemos definir a diferencial desta função (ou variação
em termos das variações de cada uma das variáveis (x1, x2, x3,..., xn) como sendo:
é a drivada parcial da funçãoem relação ao xi, ou seja derivamos a função apenas em relação aox
diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De
outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de A.Y). ficando assim:
Para uma função dependente de mais de uma variável y= f(x1, x2, x3,..., xn), usamos a seguinte expressão:
Veja que essa expressão é uma expansão cia primeira, e se chama equação do erro indeterminado.
Considere que foram medidas a altura (h) e o raio (r) de uma calota esférica. A partir dos dados abaixo
Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtemos a equação do erro indeterminado (
Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas me-
didas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome erro propaga-
do da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que contenham erros, é certo
que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros irem se acumulando toda vez que
Este é o motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo me-
nos com valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalmente.
, x2, x3,..., xn ". em termos
) . Assim podemos definir a diferencial desta função (ou variação
) como sendo:
os a função apenas em relação aoxi,
diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De
outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de A.Y). ficando assim:
usamos a seguinte expressão:
equação do erro indeterminado.
Considere que foram medidas a altura (h) e o raio (r) de uma calota esférica. A partir dos dados abaixo
Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtemos a equação do erro indeterminado (∆z) para essas funções (que

2. Exemplo 2- Uma partícula de massa m = (50,5 ± 0,2) g descreve uma órbita circular de raio r num período T. Abaixo exibimos os re-
sultados obtidos em 6 medidas independentes de r e T:
r (cm) 17,48 ± 0,05 17,41 ± 0,05 17,40 ± 0,05 17,52 ± 0,05 17,44 ± 0,05 17,46 ± 0,05
T (s) 7,363 ± 0,001 7,368 ± 0,001 7,361 ± 0,001 7,366 ± 0,001 7,360 ± 0,001 7,359 ± 0,001
a) Calcule os valores mais prováveis de r e de T.
b) Determine o erro aleatório provável de r e de T.
c) Sabendo-se que o momento angular dessa partícula pode ser escrito com L = mr2
2π /T, calcule o valor de L com o respectivo erro
propagado.
d) Escreva os resultados obtidos para r, T, e L, segundo a teoria dos erros.
Média aritmética(VALOR MAIS
PROVÁVEL)
Desvio de uma medida (∆xi) Desvio padrãoσ Desvio padrão da
média (σm)
A partir das definições anteriores, o erro aleatório pode ser estimado através da expressão:
Ea = ± t . σm. Na qual o coeficiente de Student, t, pode assumir diferentes valores, dependendo do número de medidas e da
confiabilidade desejada. Por simplicidade será adotado t como sendo 1.
ri (cm) ∆ri(cal) (∆r =ri–r) (∆ri)2
Ti (s) ∆Ti(s) (∆T =Ti –T) (∆Ti)2
Média = Σ(∆Hi)2
= Média = Σ(∆ti)2
=

3. EXERCÍCIOS.
1- Uma partícula de massa m = (50,5 ± 0,2) g descreve uma órbita circular de raio
obtidos em 6 medidas independentes de r e T:
r (cm) 17,48 ± 0,05 17,41 ± 0,05
T (s) 7,363 ± 0,001 7,368 ± 0,001
a) Calcule os valores mais prováveis de r e de T
b) Determine o erro aleatório provável de r e de
c) Sabendo-se que o momento angular dessa partícula pode ser escrito com
propagado.
d) Escreva os resultados obtidos para r, T, e L, segundo a teoria dos erros.
2- A equação que descreve a condução térmica em um material em forma de bar
onde T é a diferença de temperatura entre as extremidades da barra, H é o calor transmitido ao longo da barra por
unidade de tempo, L o comprimento e A a área da seção reta, sendo k a
Em uma experiência foram obtidos os dados da tabela abaixo.
H (cal / s) 4,95 4,98
T (o
C) 40,00 ±0,05 40,15 ±0,05
a) Calcule o valor mais provável de H e T;
b) Determine o erro aleatório de H e T;
c) Com os dados obtidos em (a) e (b), calcule o valor de k,
d) Escreva todos os resultados obtidos segundo a
3-A fim de determinar a energia elétrica dissipada por um resistor, mantido à temperatura constante, mediu
corrente elétrica (i) à qual foi submetido, bem como o tempo (
Os valores obtidos encontram-se registrados na tabela abaixo:
R (Ω) 9,98 ± 0,01 10,00 ± 0,01
i (A) 19,6 ± 0,1 19,8 ± 0,1
t (s) 301,53 ± 0,01 301,41 ± 0,01
Sabendo que a equação que relaciona R, i e t é:
E = i2
R t , calcule:
a) O valor mais provável de R, i e t;
b) o erro aleatório provável de cada uma das grandezas do item (a);
c) a energia dissipada pelo resistor, com o respectivo erro propagado;
d) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.
4- A viscosidade (η ) de um líquido que sai de um tubo com fluxo laminar está relacionada ao volume (
, onde R é o raio do tubo, l é o comprimento do tubo,
pressão entre as extremidades do tubo. Para um tubo de comprimento
sujeito a uma diferença de pressão P = 1,960 x 10
guir:
V (m3
) 8,593 x 10-5
8,610 x 10
t (s) 20,00± 0,05 19,90± 0,05
a) Calcule o volume e o tempo médios;
b) determine o erro aleatório provável para o volume e o tempo;
c) determine o valor da viscosidade da água e o respectivo erro propagado
d) apresente os resultados segundo a teoria de erros.
0,2) g descreve uma órbita circular de raio r num período T. Abaixo exibimos os resultados
17,40 ± 0,05 17,52 ± 0,05 17,44 ± 0,05
7,361 ± 0,001 7,366 ± 0,001 7,360 ± 0,001
T.
e de T.
se que o momento angular dessa partícula pode ser escrito com L = mr2
2π /T, calcule o valor de
, segundo a teoria dos erros.
térmica em um material em forma de barra, no regime estacionário, é
onde T é a diferença de temperatura entre as extremidades da barra, H é o calor transmitido ao longo da barra por
unidade de tempo, L o comprimento e A a área da seção reta, sendo k a constante de condutividade térmica do material.
Em uma experiência foram obtidos os dados da tabela abaixo.
4,96 4,95 4,97
40,15 ±0,05 40,08 ±0,05 39,98 ±0,05 40,10 ±0,05
c) Com os dados obtidos em (a) e (b), calcule o valor de k, com seu erro propagado, sendo A = 25,00 cm
d) Escreva todos os resultados obtidos segundo a teoria de erros.
A fim de determinar a energia elétrica dissipada por um resistor, mantido à temperatura constante, mediu
) à qual foi submetido, bem como o tempo (t) durante o qual permaneceu ligado,
se registrados na tabela abaixo:
9,96 ± 0,01 9,99 ± 0,01 9,97 ±
19,7 ± 0,1 19,7 ± 0,1 20,1 ±
0,01 301,38 ± 0,01 301,53 ± 0,01 301,42
é:
b) o erro aleatório provável de cada uma das grandezas do item (a);
respectivo erro propagado;
d) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.
) de um líquido que sai de um tubo com fluxo laminar está relacionada ao volume (
é o comprimento do tubo, t é o intervalo de tempo de escoamento e
pressão entre as extremidades do tubo. Para um tubo de comprimento l = (1,0000 ± 0,0005) m e raio
,960 x 104
Pa, foram feitas as medidas de volume de água e tempo constantes na tabela a s
8,610 x 10-5
8,587 x 10-5
8,600 x 10-5
0,05 20,10± 0,05 20,05± 0,05
b) determine o erro aleatório provável para o volume e o tempo;
e o respectivo erro propagado;
d) apresente os resultados segundo a teoria de erros.
. Abaixo exibimos os resultados
17,46 ± 0,05
7,359 ± 0,001
, calcule o valor de Lcom o respectivo erro
ra, no regime estacionário, é
onde T é a diferença de temperatura entre as extremidades da barra, H é o calor transmitido ao longo da barra por
tividade térmica do material.
4,97
40,10 ±0,05
, sendo A = 25,00 cm 2
e L = (100,00+ 0,05) cm;
A fim de determinar a energia elétrica dissipada por um resistor, mantido à temperatura constante, mediu-se a sua resistência (R), a
0,01
0,1
301,42 ± 0,01
) de um líquido que sai de um tubo com fluxo laminar está relacionada ao volume (V) do líquido através da relação
é o intervalo de tempo de escoamento e P é a diferença de
0,0005) m e raio R = (0,001 000 ± 0,000 005) m,
Pa, foram feitas as medidas de volume de água e tempo constantes na tabela a se-
8,560 x 10-5
19,95± 0,05

4. Método para determinação do erro propagado nos parâmetros da melhor reta:
Exemplo de determinação do erro propagado nos parâmetros da melhor reta:
EXEMPLO 1- Em um termômetro de gás, a pressão aumenta quando é aumentada a temperatura, de maneira a manter o
volume constante. Os valores foram encontrados em uma experiência:
P (mmHg) 766,3 782,3 799,3 809,3 825,3
∆T (K) 20,70 27,17 33,61 37,85 43,15
A proposição teórica é P= Po . (1 + γ . ∆T)
a) Linearize a equação.
Xreta=________________________________
Yreta=________________________________
A=_________________________________
B=_________________________________
b) Aplique as equações dos mínimos quadrados determine os coeficientes: angular e linear e mostre a equação do experi-
mento. Obs.: Método dos Mínimos Quadrados:
X(∆T(K)) Y(P(mmHg)) X² X.Y ∆Y²
20,70 766,3 428,49 15862,41 0,308914
27,17 782,3 738,2089 21255,09 0,093037
33,61 799,3 1129,632 26864,47 0,007684
37,85 809,3 1432,623 30632,01 1,292996
43,15 825,3 1861,923 35611,7 1,104811
ΣX= ΣY= ΣX²= ΣX.Y=0225 Σ(∆Y)²=
(ΣX)²=2639,75 162

5. b) Calcule o erro nos parâmetros linear e angular. Determine o coeficiente γe a propagação de erro. Erros nos parâmetros
da melhor reta.
EXEMPLO 2- Na experiência realizada em sala medimos a ddp (V em volt) e a intensidade de corrente (i em amperes)
sobre um resistor. Sabendo que sob baixas ddp o resistor (de resistência R) é ôhmico, determine experimentalmente a resis-
tência R e seu erro propagado.
A proposição teórica Lei de Ohm .
V (V) 0,157±0,001 0,328±0,001 0,802±0,001 1,178±0,001 2,439±0,001
i (A) 0,0012±0,0001 0,0052±0,0001 0,0155±0,0001 0,0238±0,0001 0,0521±0,0001
a) Linearize a equação e trace o gráfico característico dos resistores ôhmicos.

6. b) Aplique as equações dos mínimos quadrados determine os coeficientes: angular e linear e mostre a equação do experi-
mento. Obs.: Método dos Mínimos Quadrados:
X(i (A)) Y(V(V)) X² X.Y ∆Y ∆Y²
ΣX= ΣY= ΣX²= ΣX.Y=
25
Σ(∆Y)²=
(ΣX)²=2639,75 162
PARA O CÁLCULO DO ∆Y VOCÊ NÃO DEVE ARREDONDAR NESTE MOMENTO O PARÂMETRO A E B,
SOMENTE NO FINAL
c) Calcule o erro nos parâmetros linear e angular.
d) Escreva o valor da resistência R segundo a teoria de erros.
EXEMPLO 3- Carga e descarga de capacitores
Texto
A figura 2 mostra o gráfico da tensão no capacitor e no resistor em função
do tempo, durante o processo de carga do capacitor. A quantidade τ = RC é
denominada de constante de tempo capacitiva do circuito e tem unidade de
tempo. Uma constante de tempo é igual ao tempo necessário para carregar
um capacitor a 63 % de sua tensão final.
As equações que regem este fenômeno, em relação ao tempo, são:
Para o processo de carga: Para o processo de descarga:
1-Transcreva 5 medidas de ddp no capacitor e tempo do processo de descarga para a tabela abaixo, obedecendo a teoria de
algarismos significativos e teoria de erros.
DDP (V)
Tempo (s)
2- Qual das grandezas físicas medidas é a variável independente?
_______________________________________________________________________________________

7. 3-Escolha a função que representa os dados obtidos no experimento da tabela da 1ª questão e linearize a função, admitindo
a função da reta como Y= A + BX.
Yreta= ___________ Xreta= __________ A= __________ B= __________
4-Determine o valor dos coeficientes angular de linear (A) eangular (B) dê as respostas com suas respectivas unidades e
erros propagados.
X( ) Y( ) X² X.Y ∆Y ∆Y²
ΣX= ΣY= ΣX²= ΣX.Y=
25
Σ(∆Y)²=
(ΣX)²=2639 162
Α=_________________________________
Β=_________________________________
5- Determine os valores d τ e ε e dê a resposta com suas respectivas unidades e erros propagados.
τ=_________________________________
ε=_________________________________