Séries fourier cap_3 Exemplos de Séries de Fourier

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Séries fourier cap_3 Exemplos de Séries de Fourier

  1. 1. Fabiano J. Santos 12 3.1. Exemplos de Séries de Fourier Conforme vimos nos capítulos anteriores, a representação em Série de Fourier de uma função f periódica de período LT 2 tem a forma                 1 0 sencos)( n nn L tn b L tn aatf  , (01) onde os Coeficientes de Fourier ,...,,...,,, 21210 bbaaa são calculados pelas fórmulas de Euler-Fourier    L L dttf L a )( 2 1 0 , (2.1)          L L n dt L tn tf L a  cos)( 1 , (2.2)          L L n dt L tn tf L b  sen)( 1 . (2.3) Vejamos alguns exemplos. Exemplo 01: determinar a representação em série de Fourier da função "onda quadrada" de período 2T , dada graficamente por e analiticamente por:         t t tf 01 0,1 )( , )()2( tftf   .
  2. 2. Capítulo 03 13 Por (2.1) temos 0 2 1 )( 2 1 )( 2 1 0 0 0                  dtdtdttfdttf L a L L . Por (2.2) temos       0coscos 1 cos)( 1 cos)( 1 0 0                         dtntdtntdtnttfdt L tn tf L a L L n . Por (2.3) temos      )cos(1 2 sensen 1 sen)( 1 0 0      n n dtntdtntdt L tn tf L b L L n                   . Uma vez que      ímparén parén n ,1 ,1 )cos(  , temos  4 1 b , 02 b , 3 4 3 b , 04 b , 5 4 5 b , 06 b , 7 4 7 b e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em Série de Fourier para a onda quadrada         ...7sen 7 4 5sen 5 4 3sen 3 4 sen 4 )(  tttttf  , (3.1) ou mais compactamente         1 12 )12(sen4 )( k k tk tf  . (3.2) A figura a seguir ilustra o gráfico da onda quadrada e de sua respectiva Série de Fourier utilizando um número diferente de termos
  3. 3. Fabiano J. Santos 14 Observação importante: neste exemplo calculamos os Coeficientes de Fourier integrando sobre o intervalo ],[  que é simétrico com relação à origem. Na verdade isto não é obrigatório, e a integração poderia se dar sobre qualquer intervalo de tamanho 2 , ou seja, do tamanho do período da função, como por exemplo ]2,0[  ou ]3,5[   . Isto é sempre verdade para funções periódicas. (Veja Problema 02 do Capítulo 01 e Problemas 01, 02 e 03 deste Capítulo). Exemplo 02: determinar a representação em série de Fourier da função "onda triangular" de período 2 , dada graficamente por e analiticamente por:       10, 01, )( tt tt tf , )()2( tftf  . Por (2.1) temos 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 1 0 0 1 1 1 0             tdttdtdttfdttf L a L L . Por (2.2) temos        1)cos( 2 coscoscos)(cos)( 1 22 1 0 0 1 1 1              n n dttntdttntdttntfdt L tn tf L a L L n . Por (2.3) temos
  4. 4. Capítulo 03 15       0sensensen)(sen)( 1 1 0 0 1 1 1          dttntdttntdttntfdt L tn tf L b L L n   . Uma vez que      ímparén parén n ,1 ,1 )cos(  , temos 2 1 0 a , 21 4   a , 02 a , 23 9 4   a , 04 a , 25 25 4   a , 06 a , 27 49 4   a e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em Série de Fourier para a onda triangular         ...7cos 49 4 5cos 25 4 3cos 9 4 cos 4 2 1 )( 2222  tttttf         , (4.1) ou mais compactamente         1 22 )12( )12(cos4 2 1 )( k k tk tf   . (4.2) A figura a seguir ilustra o gráfico da onda triangular e de sua respectiva Série de Fourier utilizando um número diferente de termos
  5. 5. Fabiano J. Santos 16 Exemplo 03: determinar a representação em série de Fourier da função "onda dente de serra" de período 2 , dada graficamente por e analiticamente por:   tttf ,)( e )()2( tftf   . Por (2.1) temos 0 2 1 )( 2 1 0       tdtdttf L a L L . Por (2.2) temos   0cos 1 cos)( 1              dtnttdt L tn tf L a L L n . Por (2.3) temos    )cos( 2 sen 1 sen)( 1      n n dtnttdt L tn tf L b L L n           . Uma vez que      ímparén parén n ,1 ,1 )cos(  , temos 21 b , 12 b , 3 2 3 b , 4 2 4 b , 5 2 5 b , e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em Série de Fourier para a onda dente de serra           ...5sen 5 2 4sen 4 2 3sen 3 2 2sensen2)(  ttttttf , (5.1)
  6. 6. Capítulo 03 17 ou mais compactamente       1 1 )sen()1( 2)( k k k kt tf . (5.2) A figura a seguir ilustra o gráfico da onda dente de serra e de sua respectiva Série de Fourier utilizando um número diferente de termos Problemas 1. Refaça o Exemplo 01 integrando sobre o intervalo: a) ]2,0[  b) ]0,2[  2. Refaça o Exemplo 02 integrando sobre o intervalo: a) ]0,2[ b) ]4,2[ 3. Refaça o Exemplo 03 integrando sobre o intervalo: a) ]0,2[  b) ]13,11[  Nos problemas a seguir esboce o gráfico e encontre a representação em Série de Fourier para as funções dadas 4.        )()2(, 10,0 01,1 )( xfxf x x xf 5.        )()6(, 30,3 03,3 )( xfxf xx xx xf 6. )()2(,11,)( 2 xfxfxxxf  7. (retificador de meia onda)        )()2(, 0),sen( 0,0 )( xfxf xx x xf   
  7. 7. Fabiano J. Santos 18 8. (retificador de onda inteira) )()(,0),sen()( xfxfxxxf   9. Use o resultado (4.2) do Exemplo 02 do texto para mostrar que ... 81 1 49 1 25 1 9 1 1 8 2   10. Use o resultado do Problema 06 para mostrar que ... 25 1 16 1 9 1 4 1 1 12 2   Respostas: 4. 2 1 0 a 0na   n n bn 1)cos(   5. 00 a 0na n bn 6  6. 3 1 0 a 22 )cos(4   n n an  0nb 7.  1 0 a 1 )1( )cos(1 2     npara n n an   10 )1( )sen( 2     npara n n bn   01 a 2 1 1 b 8.  2 0 a )14( 4 2    n an  0nb

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