Séries fourier cap_3 Exemplos de Séries de Fourier

1. Fabiano J. Santos
12
3.1. Exemplos de Séries de Fourier
Conforme vimos nos capítulos anteriores, a representação em Série de Fourier de uma
função f periódica de período LT 2 tem a forma
















1
0 sencos)(
n
nn
L
tn
b
L
tn
aatf

, (01)
onde os Coeficientes de Fourier ,...,,...,,, 21210 bbaaa são calculados pelas fórmulas de
Euler-Fourier



L
L
dttf
L
a )(
2
1
0 , (2.1)









L
L
n dt
L
tn
tf
L
a

cos)(
1
, (2.2)









L
L
n dt
L
tn
tf
L
b

sen)(
1
. (2.3)
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 01: determinar a representação em série de Fourier da função "onda quadrada" de
período 2T , dada graficamente por
e analiticamente por:








t
t
tf
01
0,1
)( , )()2( tftf   .

2. Capítulo 03
13
Por (2.1) temos
0
2
1
)(
2
1
)(
2
1
0
0
0 








 






dtdtdttfdttf
L
a
L
L
.
Por (2.2) temos
      0coscos
1
cos)(
1
cos)(
1
0
0















 







dtntdtntdtnttfdt
L
tn
tf
L
a
L
L
n .
Por (2.3) temos
     )cos(1
2
sensen
1
sen)(
1
0
0





n
n
dtntdtntdt
L
tn
tf
L
b
L
L
n 














 

.
Uma vez que





ímparén
parén
n
,1
,1
)cos(  , temos

4
1 b , 02 b ,
3
4
3 b , 04 b ,
5
4
5 b , 06 b ,
7
4
7 b
e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em
Série de Fourier para a onda quadrada
        ...7sen
7
4
5sen
5
4
3sen
3
4
sen
4
)(  tttttf

,
(3.1)
ou mais compactamente
 






1
12
)12(sen4
)(
k
k
tk
tf

.
(3.2)
A figura a seguir ilustra o gráfico da onda quadrada e de sua respectiva Série de Fourier
utilizando um número diferente de termos

3. Fabiano J. Santos
14
Observação importante: neste exemplo calculamos os Coeficientes de Fourier integrando
sobre o intervalo ],[  que é simétrico com relação à origem. Na verdade isto não é obrigatório,
e a integração poderia se dar sobre qualquer intervalo de tamanho 2 , ou seja, do tamanho do
período da função, como por exemplo ]2,0[  ou ]3,5[   . Isto é sempre verdade para funções
periódicas. (Veja Problema 02 do Capítulo 01 e Problemas 01, 02 e 03 deste Capítulo).
Exemplo 02: determinar a representação em série de Fourier da função "onda triangular" de
período 2 , dada graficamente por
e analiticamente por:






10,
01,
)(
tt
tt
tf , )()2( tftf  .
Por (2.1) temos
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
1
0
0
1
1
1
0 








 

tdttdtdttfdttf
L
a
L
L
.
Por (2.2) temos
       1)cos(
2
coscoscos)(cos)(
1
22
1
0
0
1
1
1






 





n
n
dttntdttntdttntfdt
L
tn
tf
L
a
L
L
n .
Por (2.3) temos

4. Capítulo 03
15
      0sensensen)(sen)(
1
1
0
0
1
1
1






 

dttntdttntdttntfdt
L
tn
tf
L
b
L
L
n 

.
Uma vez que





ímparén
parén
n
,1
,1
)cos(  , temos
2
1
0 a ,
21
4


a , 02 a ,
23
9
4


a , 04 a ,
25
25
4


a , 06 a ,
27
49
4


a
e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em
Série de Fourier para a onda triangular
        ...7cos
49
4
5cos
25
4
3cos
9
4
cos
4
2
1
)(
2222
 tttttf 







,
(4.1)
ou mais compactamente
 


 


1
22
)12(
)12(cos4
2
1
)(
k k
tk
tf


.
(4.2)
A figura a seguir ilustra o gráfico da onda triangular e de sua respectiva Série de Fourier
utilizando um número diferente de termos

5. Fabiano J. Santos
16
Exemplo 03: determinar a representação em série de Fourier da função "onda dente de serra" de
período 2 , dada graficamente por
e analiticamente por:   tttf ,)( e )()2( tftf   .
Por (2.1) temos
0
2
1
)(
2
1
0  




tdtdttf
L
a
L
L
.
Por (2.2) temos
  0cos
1
cos)(
1






 





dtnttdt
L
tn
tf
L
a
L
L
n .
Por (2.3) temos
   )cos(
2
sen
1
sen)(
1





n
n
dtnttdt
L
tn
tf
L
b
L
L
n







 

.
Uma vez que





ímparén
parén
n
,1
,1
)cos(  , temos
21 b , 12 b ,
3
2
3 b ,
4
2
4 b ,
5
2
5 b ,
e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em
Série de Fourier para a onda dente de serra
          ...5sen
5
2
4sen
4
2
3sen
3
2
2sensen2)(  ttttttf ,
(5.1)

6. Capítulo 03
17
ou mais compactamente






1
1
)sen()1(
2)(
k
k
k
kt
tf .
(5.2)
A figura a seguir ilustra o gráfico da onda dente de serra e de sua respectiva Série de Fourier
utilizando um número diferente de termos
Problemas
1. Refaça o Exemplo 01 integrando sobre o intervalo: a) ]2,0[  b) ]0,2[ 
2. Refaça o Exemplo 02 integrando sobre o intervalo: a) ]0,2[ b) ]4,2[
3. Refaça o Exemplo 03 integrando sobre o intervalo: a) ]0,2[  b) ]13,11[ 
Nos problemas a seguir esboce o gráfico e encontre a representação em Série de Fourier para
as funções dadas
4.






 )()2(,
10,0
01,1
)( xfxf
x
x
xf
5.






 )()6(,
30,3
03,3
)( xfxf
xx
xx
xf
6. )()2(,11,)( 2
xfxfxxxf 
7. (retificador de meia onda)






 )()2(,
0),sen(
0,0
)( xfxf
xx
x
xf 



7. Fabiano J. Santos
18
8. (retificador de onda inteira) )()(,0),sen()( xfxfxxxf  
9. Use o resultado (4.2) do Exemplo 02 do texto para mostrar que
...
81
1
49
1
25
1
9
1
1
8
2


10. Use o resultado do Problema 06 para mostrar que
...
25
1
16
1
9
1
4
1
1
12
2


Respostas:
4.
2
1
0 a
0na


n
n
bn
1)cos( 

5. 00 a 0na
n
bn
6

6.
3
1
0 a
22
)cos(4


n
n
an 
0nb
7.

1
0 a 1
)1(
)cos(1
2



 npara
n
n
an


10
)1(
)sen(
2



 npara
n
n
bn


01 a
2
1
1 b
8.

2
0 a
)14(
4
2



n
an
 0nb