O documento apresenta três exemplos de indução finita para provar as seguintes propriedades: (1) 2n ≥ n + 1 para todo n natural; (2) a soma de todos os ímpares até 2n - 1 é igual a n2; (3) 2n > n para todo n natural.

1. INDUÇÃO FINITA – EXEMPLOS
• Provar que 2n ≥ n + 1, ∀n ∈ N∗
Observação: N = {0, 1, 2, 3, . . . } e
N∗ = {1, 2, 3, . . . }.
n0 = 1
1. P(1) é verdadeiro pois 2.1 ≥ 1+1
2. Vamos supor que P(k), para k ∈
N∗ é verdadeiro:
2k ≥ k + 1 (hipótese indutiva)
e temos de provar que
2(k + 1) ≥ (k + 1) + 1

2. Então,
2(k + 1) = 2k + 2 ≥ (k + 1) + 2
| {z }
∗
> (k + 1) + 1
* pela hipótese indutiva, 2k ≥ k+
1 e 2k + 2 ≥ (k + 1) + 2 pois
sabemos que se a ≥ b então a +
2 ≥ b + 2
• Provar que
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
∀n ∈ N∗
n0 = 1
1. P(1) é verdadeiro pois 1 = 12
2

3. 2. Vamos supor que P(k) é verda-
deiro para k ∈ N∗
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k2
(hipótese indutiva)
Temos que provar P(k + 1)
1+3+5+· · ·+(2k−1)+[2(k+1)−1] =
(k + 1)2
Então,
1+3+5+· · ·+(2k−1)+[2(k+1)−1] =
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1)
| {z }
k2
+(2k+1) =
k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
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4. • Provar que 2n > n, ∀n ∈ N
n0 = 0
1. P(0) é verdadeiro pois 20 > 0
2. Vamos supor que P(k), k ∈ N é
verdadeiro
2k > k (hipótese indutiva)
a temos que provar que
2k+1 > k + 1
Então,
2k+1 = 2.2k > 2k
| {z }
∗
≥ k + 1
* pela hipótese indutiva, 2k > k e
2.2k > 2k pois se a > b e c > 0,
então c.a > c.b
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5. O último passo, 2k ≥ k + 1, vale
para k ≥ 1, pelo que foi provado
no primeiro exemplo.
No entanto, precisamos garantir
que a propriedade também vale pa-
ra k = 0. Assim, basta verificar
que
20+1 > 0 + 1
que é verdadeiro
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