O documento apresenta os conceitos básicos de função afim, incluindo sua definição, representação gráfica, tipos (identidade, constante e linear), exemplos e exercícios de fixação sobre o tema.

1. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA
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FUNÇÃO AFIM (ii) Função Constante:
- Definição f: R→R f(x) = b
f: R→R y
f(x) = ax + b b>0
- Raíz ou zero
b b=0
f(x) =0 → ax + b = 0 → x=− x
a
- Representação Gráfica: b<0
 b 
(i) Ox →  − ,0 , a ≠ 0 (iii) Função Linear:
 a 
(ii) Oy → (0,b)
f: R→R f(x) = ax
Tipos de Funções Afins:
Obs1: A função identidade é um tipo especial de função
(i) Função identidade: linear (a = 1)
f: R→R f(x) = x Obs2 : A função linear é função que representa uma
relação entre grandezas diretamente proporcionais.
Exemplos de Gráficos de funções:
a) f(x) = x + 1
∈
f(0) = 0 + 1 = 1 , (0,1)∈ r
f(x) = 0 , x + 1 = 0 , x = -1 , (-1,0) ∈ r
Obs: Analiticamente chamada de:
y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares)
y = - x (bissetriz dos quadrantes pares)
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b) f(x) = −x y −b y −b
tgα = ∴ tgα = a ∴ a = ∴
x x
f(0) = - 0 = 0 (0,0) ∈ r
f(-1) = - (-1) = 1 (-1,1) ∈ r
y – b = ax → y=ax + b
a → coeficiente angular
b → coeficiente linear
OBS: A reta x = k, onde k∈ R, é a única reta que não é
função.
y
Ex: x = 2
0 2
x
Obs3: Quando falamos de função afim dizemos que o
c) f(x) = 2
coeficiente angular é a:
f(0) = 2 ,(0,2) ∈ r
TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO
f(1) = 2 , (1,2) ∈ r Veja a seguinte situação: Em uma cidade do interior
do Brasil, os táxis cobram R$ 3,00 de bandeirada e R$
2,00 por quilômetro rodado.
Observe que o custo da corrida pode ser dado por uma
função C(x) afim:
C(x) = 2x + 3
Onde C(x) representa o custo da corrida e x a
quantidade de quilômetros rodados, veja o gráfico desta
função:
Função Afim (Interpretação Geométrica)
Toda reta não-vertical é o gráfico de uma função afim
y
P
y
y–b
b α
x
x x
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Observe que se destacarmos intervalos constantes 03) A função afim que melhor representa o gráfico ao
no eixo x temos triângulos congruentes. lado é:
(A) f(x) = 5x − 5
(B) f(x) = x + 5
(C) f(x) = 5x + 5
(D) f(x) = −5x + 5
(E) f(x) = −5x + 1
Repare que a razão entre os catetos é sempre a
mesma
4
= 2 que é o nosso “coeficiente angular”, ou melhor a 04) (PM-05-1) A figura abaixo mostra o gráfico de uma
2 função f, que é uma reta:
taxa de variação por quilômetro percorrido.
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01) O gráfico que melhor representa a função 7
f(x) = - 2x + 3 , é:
y y y
(A) (B) (C)
3 1,5
1,5 9
Com os dados que aparecem na figura, pode-se
-1,5 x -3 x 3 x concluir que f(39) é igual a:
y (A) -2 (B) -3 (C) -4 (D) -5
(D) (E)
3 y
05) A função que representa o valor a ser pago após um
desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
1,5 x -3 x
(A) f(x) = x − 3
-1,5
(B) f(x) = 1,03x
(C) f(x) = 1,3x
02) Em que ponto a função f(x) = −3x + 6 intercepta o (D) f(x) = −3x
eixo das abscissas? (E) f(x) = 0,97x
(A) (½,0) (B) (2,0) (C) (0, ½)
−
(D) (−2,0) (E) (0,6)
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06) (ENEM-08) Uma pesquisa da ONU estima que, já
em 2008, pela primeira vez na história das civilizações,
a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico
a seguir mostra o crescimento da população urbana
desde 1950, quando essa população era de 700
milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para
2030, baseada em crescimento linear no período de
2008 a 2030.
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o
relógio estava marcando 15 horas e:
(A) 20 min
(B) 30 min
(C) 40 min
(D) 50 min
09) (PM-04-2) Um helicóptero desloca-se numa
1
trajetória cuja equação é y = x + 100 . Um míssil
2
disparado contra o helicóptero segue uma trajetória cuja
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial equação é y = 2( x − 10) + k . Em ambas as equações,
em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos y representa a altura em relação ao eixo Ox. O míssil
bilhões de pessoas? atinge o helicóptero a uma altura de 130 m. Se as
distâncias x e y são dadas em metros, o valor de k será:
(A) 4,00. (B) 4,10. (C) 4,15.
(A) 0 (B) 10 (C) 20 (D) 30
(D) 4,25. (E) 4,50.
10) (UERJ-98) A promoção de uma mercadoria em um
EXERCÍCIOS PROPOSTOS supermercado está representada, no gráfico abaixo, por
6 pontos de uma mesma reta.
07) (UNIRIO) O valor de um carro popular decresce valor total da compra (R$)
linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que o preço de fábrica é R$ 7.500,00 e 150
que, depois de 6 anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor
após 4 anos de uso, em reais é:
(A) 2.100
(B) 2.400 50
(C) 3.150
(D) 3.300
5 20 30
08) (UERJ) - Em uma partida, Vasco e Flamengo qtd unid com(R$)
levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na
foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente
número constante de pessoas por minuto. A partir desse a:
horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante
de pessoas aumentou. (A) 4,50
(B) 5,00
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do (C) 5,50
estádio em função do horário de entrada estão contidos (D) 6,00
no gráfico abaixo:
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11) (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica á S = A + Bt + Ct , os valores numéricos das constantes
cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu A, B e C são, respectivamente:
consumo no período, desde que esse consumo
ultrapasse determinado nível. Caso contrário, o (A) 0, 12, 4
consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a (B) 0, 12, −4
custo de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (C) 12, 4, 0
(em kWh) x preço em (R$) foi o apresentado abaixo: (D) 12, −4 , 0
R$
14) (UFRJ-98-PNE) - O gráfico a seguir descreve o
2250 crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910
até 1990. No eixo das ordenadas, a população é dada
em milhares de habitantes.
750
250
kWh
0 50 100 200
a) Determine entre que valores de consumo em kWh
é cobrada taxa mínima
b) Determine o consumo correspondente à taxa de
R$ 1.950,00.
12) (UFF-2000) O gráfico da função f está representado
na figura:
a) Determine em que década a população atingiu a
marca de 5.000 habitantes
b) Observe que a partit de 1960 o crecimento da
população em cada década tem se mantido constante.
Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no
futuro.
Determine em que década o vilarejo terá
20.000 habitantes.
Sobre a função f é falso afirmar que:
15) (UFF-2000-1) Na figura a seguir estão
representadas as retas r e s.
(A) f(1) + f(2) = f(3)
(B) f(2) = f(7)
(C) f(3) = 3f(1)
(D) f(4) – f(3) = f(1)
(E) f(2) + f(3) = f(5)
13) (UERJ-2003-1ª fase) A função que descreve a
dependência temporal da posição S de um ponto
material é representada pelo gráfico abaixo.
Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e
que OP mede 5 cm, a equação de r é:
3
(A) y = x (D) y=3x
4
4
(B) y = x (E) y=5x
3
5
Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo (C) y = x
3
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16) (UERJ-01) Admita que, a partir dos cinqüenta anos,
a perda da massa óssea ocorra de forma linear,
conforme mostra o gráfico abaixo.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se
mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número
de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas
em 2016 será:
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm,
respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que (A) menor que 1 150.
tinham aos 30 anos. (B) 218 unidades maior que em 2004.
O percentual de massa óssea que as mulheres já (C) maior que 1 150 e menor que 1 200.
perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 (D) 177 unidades maior que em 2010.
anos, é igual a: (E) maior que 1 200.
(A) 14
(B) 18 19) (ENEM- 2010) para conseguir chegar a um número
(C) 22 recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas
(D) 26 brasileiras começam a se planejar para esse período
com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra
o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no
17) (UERJ-02) Uma panela, contendo um bloco de gelo período de 2005 a 2009.
a -40º C, é colocada sobre a chama de um fogão. A
evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo
do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função
real:
O tempo necessário para que a temperatura da água
atinja 50º C, em minutos, equivale a:
(A) 4,5
(B) 9,0
(C) 15,0
(D) 30,0
De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior
18) (ENEM- 2010) O gráfico mostra o número de favelas
produção acumulada foi:
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número entre os (A) 2004 – 2005. (B) 2005 – 2006.
anos considerados é linear. (C) 2006 – 2007. (D) 2007 – 2008.
(E) 2008 – 2009.
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20) (ENEM-08) O gráfico a seguir ilustra a evolução do b) Qual o função f(x) = ax + b que está defina no
consumo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro gráfico acima no intervalo [0,20] ?
setores de consumo, no período de 1975 a 2005.
c) Qual o valor comercial do carro quando atinge 2
anos de uso ?
22) (UFF-2002-2) A Cerâmica Marajó concede uma
gratificação mensal a seus funcionários em função da
produtividade de cada um convertida em pontos; a
relação entre a gratificação e o número de pontos está
representada no gráfico a seguir.
Observa-se que, de 1975 a 2005, houve aumento quase
linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma
tendência se mantiver até 2035, o setor energético
brasileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda
total aproximada de
(A) 405 GWh. (B) 445 GWh. Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da
(C) 680 GWh. (D) 750 GWh. (E) 775 GWh. gratificação é proporcional à variação do número de
pontos, determine a gratificação que um funcionário
21) “Na vida as vezes perdemos até sem perceber, receberá no mês em que obtiver 100 pontos.
observe a situação abaixo”
23) (AFA-08) “A arrecadação da CPMF, devido à
Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor ampliação de sua abrangência, e ao aumento da
comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em
comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja bilhões de reais por ano)”
a figura seguinte. Revista veja – 14/03/2007
valor (R$)
0 20 tempo (anos)
Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5
anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor
comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 Supondo que o crescimento da arrecadação
anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a representado no gráfico acima é linear do ano de 2005
20% do valor que tinha quando era novo. Responda: ao ano de 2007 e que y% representa o aumento da
arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto
a) Qual o valor de fábrica do veículo (valor quando afirmar que y é um número do intervalo:
era novo) ? (A) [8, 9[ (B) [9, 10[
(C) [10, 11[ (D) [11, 12[
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24) (AFA-03) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da GABARITOS
função real f em que f(x) representa o preço, pago
em reais, de x quilogramas de um determinado 01) D 02) B 03) D 04) B
produto. (Considere f(x) ∈ R)
05) E 06) D 07) D 08) B
f(x)
09) D 10) A
36
11) a) 0 a 50 kwh b) 180kwh
30
12) E 13) D
0 60 x
14) a) Década de 40 do sec XX
De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar b) Década de 40 do séc XXI
que
(A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 15) B 16) D 17) C 18) C
18,00.
(B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas 19) E 20) C
do produto.
21) a) R$ 30.000,00
(C) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas b) y = - (6/5) x + 30
do produto. c) R$ 27.600,00
(D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333...
quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto. 22) R$ 710,00
23) B 24) B 25) C 26) C
DESAFIOS
Resolução de Algumas questões
25) A coleção de selos do professor Arquimedes, está
dividida em três volumes. Dois décimos do total dos Questão 10)
selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total
estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro Sabe-se que a reta que contém os 6 pontos é uma
volume. Apenas com essas informações, diga quantos função afim da forma y = a x + b. Usaremos os pontos
selos o professor Arquimedes tem? (5,150) e (30,50) para determinarmos a taxa de
variação:
(A) 3.430 (B) 3.465 (C) 3.535
(D) 3.570 (E) 3.605 50 − 150 − 100
a= = = −4
30 − 5 25
26) Renata desce andando uma escada rolante que se
move para cima e conta 150 degraus sua irmã, Logo : f(x) = − 4x + b substituindo (30,50) achamos b
Fernanda sobe andando a mesma escada e conta 75 = 170, finalmente teremos:
degraus. Sabendo que a velocidade de Renata é o triplo
da velocidade de Fernanda, o número de degraus
visíveis desta escada é de: f(x) = − 4x + 170 para sabermos o valor da função para
x = 20 fazemos a substituição:
(A) 70 (B) 90 (C) 120
(D) 144 (E) 160 f(20) = − 4 . 20 + 170
f(20) = −80 + 170
f(20) = 90
Ou seja, quando compramos 20 unidades do produto
pagamos R$ 90,00. Logo o preço por unidade é dado
por
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90 DESAFIOS:
= 4,5
2 Desafio 25) x total de selos
Portanto pagaremos um total de R$ 4,50 por unidade
comprada. x kx 10605
+ + 303 = x x=
Questão 14) 5 7 28 − 5k
a) Na década de 40 (entre 1940 e 1950). k < 6 , (28 – 5k) > 0 e (10605 = 3 x 5 x 7 x 101
múltiplo de 28 – 5k)
b) por tentativa k = 5 e x = 3535
1960 -> 7
1980 -> 10 logo:
Desafio 26) Velocidade de Renata: VR
10 − 7 3 Velocidade de Fernanda: VF
a= = Velocidade da escada: VE
1980 − 1960 20 Nº de degraus visíveis: n
3
P= A+b VR – VE = 3 . (VF + VE)
20
Velocidade = (espaço / tempo) o espaço percorrido por
(substituindo (1960,7)) teremos b = −287 ; daí:
ambas é o da escada rolante que está associado ao nº
de degraus visíveis (n) e utilizaremos a contagem delas
3
P= A − 287 como unidade de tempo. Logo:
20
n n n
Fazendo P = 20 VR = − VE VF = + VE e VE = =1
150 75 n
3 3
P= A − 287 >>> 20 = A − 287 >>>> Daí temos:
20 20
VR – VE = 3 . (VF + VE)
3 3
20 + 287 = A >>>> 307 = A >>> n  n 
20 20 − 1 = 3. + 1
150  75 
307
⋅ 20 = A >>> A = 2046,666... Resolvendo encontraremos
3
Finalmente obtemos 2040 < A < 2050
n = 120
Década de 40 do séc XXI
Questão 22) A gratificação y que um funcionário recebe
quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida
quando obtém 90 pontos. Tem-se, observando o
gráfico, que:
Portanto, y = 710
Ou seja, a gratificação será de R$ 710,00.
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