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MÓDULO I – PARTE I                       MATEMÁTICA
                    Projeto
                                                                                       Prof. Bruno Vianna
                   Vestibular               FUNÇÃO AFIM

FUNÇÃO AFIM                                               (ii) Função Constante:

- Definição                                               f: R→R           f(x) = b
                         f: R→R                                            y
                    f(x) = ax + b                                                    b>0
- Raíz ou zero
                                                  b                                 b=0
         f(x) =0   →     ax + b = 0   →     x=−                                      x
                                                  a
- Representação Gráfica:                                                             b<0
             b 
(i) Ox →     − ,0 , a ≠ 0                               (iii) Função Linear:
             a 
(ii) Oy → (0,b)
                                                          f: R→R           f(x) = ax




Tipos de Funções Afins:
                                                          Obs1: A função identidade é um tipo especial de função
(i) Função identidade:                                    linear (a = 1)
f: R→R                   f(x) = x                         Obs2 : A função linear é função que representa uma
                                                          relação entre grandezas diretamente proporcionais.

                                                          Exemplos de Gráficos de funções:
                                                          a) f(x) = x + 1

                                                                                   ∈
                                                          f(0) = 0 + 1 = 1 , (0,1)∈ r
                                                          f(x) = 0 , x + 1 = 0 , x = -1 , (-1,0) ∈ r




Obs: Analiticamente chamada de:
y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares)
y = - x (bissetriz dos quadrantes pares)
                                                                                                            2011
                                                      1
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                          Projeto
                                                                                      Prof. Bruno Vianna
                         Vestibular                 FUNÇÃO AFIM

b) f(x)   = −x                                                      y −b                 y −b
                                                            tgα =        ∴ tgα = a ∴ a =      ∴
                                                                      x                    x
 f(0) = - 0 = 0 (0,0) ∈ r
 f(-1) = - (-1) = 1 (-1,1) ∈ r
                                                            y – b = ax →   y=ax + b

                                                            a → coeficiente angular
                                                            b → coeficiente linear

                                                            OBS: A reta x = k, onde k∈ R, é a única reta que não é
                                                            função.
                                                                                   y
                                                            Ex: x = 2



                                                                               0         2
                                                                                             x




                                                            Obs3: Quando falamos de função afim dizemos que o
c) f(x) = 2
                                                            coeficiente angular é a:
f(0) = 2 ,(0,2) ∈ r
                                                            TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO
f(1) = 2 , (1,2) ∈ r                                        Veja a seguinte situação: Em uma cidade do interior
                                                            do Brasil, os táxis cobram R$ 3,00 de bandeirada e R$
                                                            2,00 por quilômetro rodado.

                                                            Observe que o custo da corrida pode ser dado por uma
                                                            função C(x) afim:

                                                                               C(x) = 2x + 3
                                                            Onde C(x) representa o custo da corrida e x a
                                                            quantidade de quilômetros rodados, veja o gráfico desta
                                                            função:




Função Afim (Interpretação Geométrica)

Toda reta não-vertical é o gráfico de uma função afim
                          y

                                      P
                 y
                                          y–b
                     b        α
                                  x
                                          x     x

                                                                                                              2011
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                             Projeto
                                                                                                                       Prof. Bruno Vianna
                            Vestibular                                    FUNÇÃO AFIM

Observe que se destacarmos intervalos constantes                                      03) A função afim que melhor representa o gráfico ao
no eixo x temos triângulos congruentes.                                               lado é:


                                                                                      (A) f(x) = 5x − 5


                                                                                      (B) f(x) = x + 5

                                                                                      (C) f(x) = 5x + 5

                                                                                      (D) f(x) = −5x + 5

                                                                                      (E) f(x) = −5x + 1




Repare que a razão entre os catetos é sempre a
mesma
 4
   = 2 que é o nosso “coeficiente angular”, ou melhor a                               04) (PM-05-1) A figura abaixo mostra o gráfico de uma
 2                                                                                    função f, que é uma reta:
taxa de variação por quilômetro percorrido.

                                                                                        10
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01) O gráfico que melhor representa a função                                             7

f(x) = - 2x + 3 , é:
             y                                  y                   y
(A)                          (B)                              (C)
             3                                                      1,5
                                               1,5                                                                 9

                                                                                      Com os dados que aparecem na figura, pode-se
      -1,5             x           -3                 x                   3   x       concluir que f(39) é igual a:

                 y                                                                    (A) -2              (B) -3            (C) -4          (D) -5
(D)                                     (E)
                 3                                        y
                                                                                      05) A função que representa o valor a ser pago após um
                                                                                      desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:

                 1,5           x          -3                  x
                                                                                      (A) f(x) = x − 3
                                               -1,5
                                                                                      (B) f(x) = 1,03x
                                                                                      (C) f(x) = 1,3x
02) Em que ponto a função f(x) = −3x + 6 intercepta o                                 (D) f(x) = −3x
eixo das abscissas?                                                                   (E) f(x) = 0,97x
(A) (½,0)                  (B) (2,0)                  (C) (0, ½)

     −
(D) (−2,0)                 (E) (0,6)

                                                                                                                                                2011
                                                                                  3
MÓDULO I – PARTE I                               MATEMÁTICA
                  Projeto
                                                                                             Prof. Bruno Vianna
                 Vestibular                    FUNÇÃO AFIM

06) (ENEM-08) Uma pesquisa da ONU estima que, já
em 2008, pela primeira vez na história das civilizações,
a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico
a seguir mostra o crescimento da população urbana
desde 1950, quando essa população era de 700
milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para
2030, baseada em crescimento linear no período de
2008 a 2030.




                                                               Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o
                                                               relógio estava   marcando    15     horas    e:

                                                               (A) 20 min
                                                               (B) 30 min
                                                               (C) 40 min
                                                               (D) 50 min

                                                               09)     (PM-04-2)     Um     helicóptero   desloca-se   numa
                                                                                            1
                                                               trajetória cuja equação é y = x + 100 . Um míssil
                                                                                            2
                                                               disparado contra o helicóptero segue uma trajetória cuja
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial            equação é y = 2( x − 10) + k . Em ambas as equações,
em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos              y representa a altura em relação ao eixo Ox. O míssil
bilhões de pessoas?                                            atinge o helicóptero a uma altura de 130 m. Se as
                                                               distâncias x e y são dadas em metros, o valor de k será:
(A) 4,00.      (B) 4,10.       (C) 4,15.
                                                               (A) 0               (B) 10          (C) 20          (D) 30
(D) 4,25.      (E) 4,50.
                                                               10) (UERJ-98) A promoção de uma mercadoria em um
EXERCÍCIOS PROPOSTOS                                           supermercado está representada, no gráfico abaixo, por
                                                               6 pontos de uma mesma reta.
07) (UNIRIO) O valor de um carro popular decresce                        valor total da compra (R$)
linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que o preço de fábrica é R$ 7.500,00 e                    150
que, depois de 6 anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor
após 4 anos de uso, em reais é:

(A) 2.100
(B) 2.400                                                              50
(C) 3.150
(D) 3.300
                                                                            5        20      30
08) (UERJ) - Em uma partida, Vasco e Flamengo                                                  qtd unid com(R$)
levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões            Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na
foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um          promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente
número constante de pessoas por minuto. A partir desse         a:
horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante
de pessoas aumentou.                                           (A) 4,50
                                                               (B) 5,00
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do            (C) 5,50
estádio em função do horário de entrada estão contidos         (D) 6,00
no gráfico abaixo:


                                                                                                                       2011
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                       Projeto
                                                                                     Prof. Bruno Vianna
                      Vestibular                   FUNÇÃO AFIM

                                                                               2
11) (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica á              S = A + Bt + Ct , os valores numéricos das constantes
cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu                  A, B e C são, respectivamente:
consumo no período, desde que esse consumo
ultrapasse determinado nível. Caso contrário, o              (A) 0, 12, 4
consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a            (B) 0, 12, −4
custo de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo         (C) 12, 4, 0
(em kWh) x preço em (R$) foi o apresentado abaixo:           (D) 12, −4 , 0
                         R$
                                                             14) (UFRJ-98-PNE) - O gráfico a seguir descreve o
               2250                                          crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910
                                                             até 1990. No eixo das ordenadas, a população é dada
                                                             em milhares de habitantes.
                750
                250
                                           kWh
                   0          50   100   200
a) Determine entre que valores de consumo em kWh
é cobrada taxa mínima
b) Determine o consumo correspondente à taxa de
R$ 1.950,00.

12) (UFF-2000) O gráfico da função f está representado
na figura:

                                                             a) Determine em que década a população atingiu a
                                                             marca de 5.000 habitantes

                                                             b) Observe que a partit de 1960 o crecimento da
                                                             população em cada década tem se mantido constante.
                                                             Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no
                                                             futuro.
                                                                     Determine em que década o vilarejo terá
                                                             20.000 habitantes.
Sobre a função f é falso afirmar que:
                                                             15) (UFF-2000-1) Na figura          a   seguir   estão
                                                             representadas as retas r e s.
(A) f(1) + f(2) = f(3)
(B) f(2) = f(7)
(C) f(3) = 3f(1)
(D) f(4) – f(3) = f(1)
(E) f(2) + f(3) = f(5)

13) (UERJ-2003-1ª fase) A função que descreve a
dependência temporal da posição S de um ponto
material é representada pelo gráfico abaixo.

                                                                  Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e
                                                             que OP mede 5 cm, a equação de r é:
                                                                       3
                                                             (A) y =       x               (D)   y=3x
                                                                       4
                                                                       4
                                                             (B) y =       x               (E)   y=5x
                                                                       3
                                                                       5
Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo           (C) y =       x
                                                                       3
                                                                                                              2011
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                 Vestibular                   FUNÇÃO AFIM

16) (UERJ-01) Admita que, a partir dos cinqüenta anos,
a perda da massa óssea ocorra de forma linear,
conforme mostra o gráfico abaixo.




                                                              Se o padrão na variação do período 2004/2010 se
                                                              mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número
                                                              de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas
                                                              em 2016 será:
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm,
respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que                 (A) menor que 1 150.
tinham aos 30 anos.                                           (B) 218 unidades maior que em 2004.
O percentual de massa óssea que as mulheres já                (C) maior que 1 150 e menor que 1 200.
perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30               (D) 177 unidades maior que em 2010.
anos, é igual a:                                              (E) maior que 1 200.
(A) 14
(B) 18                                                        19) (ENEM- 2010) para conseguir chegar a um número
(C) 22                                                        recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas
(D) 26                                                        brasileiras começam a se planejar para esse período
                                                              com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra
                                                              o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no
17) (UERJ-02) Uma panela, contendo um bloco de gelo           período de 2005 a 2009.
a -40º C, é colocada sobre a chama de um fogão. A
evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo
do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função
real:




O tempo necessário para que a temperatura da água
atinja 50º C, em minutos, equivale a:

(A) 4,5
(B) 9,0
(C) 15,0
(D) 30,0
                                                              De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior
18) (ENEM- 2010) O gráfico mostra o número de favelas
                                                              produção acumulada foi:
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número entre os             (A) 2004 – 2005.      (B) 2005 – 2006.
anos considerados é linear.                                   (C) 2006 – 2007.      (D) 2007 – 2008.
                                                              (E) 2008 – 2009.
                                                                                                               2011
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                 Vestibular                    FUNÇÃO AFIM

20) (ENEM-08) O gráfico a seguir ilustra a evolução do        b) Qual o função f(x) = ax + b que está defina no
consumo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro             gráfico acima no intervalo [0,20] ?
setores de consumo, no período de 1975 a 2005.
                                                              c) Qual o valor comercial do carro quando atinge 2
                                                                 anos de uso ?

                                                              22) (UFF-2002-2) A Cerâmica Marajó concede uma
                                                              gratificação mensal a seus funcionários em função da
                                                              produtividade de cada um convertida em pontos; a
                                                              relação entre a gratificação e o número de pontos está
                                                              representada no gráfico a seguir.




Observa-se que, de 1975 a 2005, houve aumento quase
linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma
tendência se mantiver até 2035, o setor energético
brasileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda
total aproximada de

(A) 405 GWh.      (B) 445 GWh.                                Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da
(C) 680 GWh.      (D) 750 GWh.        (E) 775 GWh.            gratificação é proporcional à variação do número de
                                                              pontos, determine a gratificação que um funcionário
21) “Na vida as vezes perdemos até sem perceber,              receberá no mês em que obtiver 100 pontos.
observe a situação abaixo”
                                                              23) (AFA-08) “A arrecadação da CPMF, devido à
Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor          ampliação de sua abrangência, e ao aumento da
comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor           alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em
comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja        bilhões de reais por ano)”
a figura seguinte.                                            Revista veja – 14/03/2007




valor (R$)




       0          20            tempo (anos)



Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5
anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor
comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20          Supondo que o crescimento da arrecadação
anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a            representado no gráfico acima é linear do ano de 2005
20% do valor que tinha quando era novo. Responda:             ao ano de 2007 e que y% representa o aumento da
                                                              arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto
a) Qual o valor de fábrica do veículo (valor quando           afirmar que y é um número do intervalo:
   era novo) ?                                                (A) [8, 9[                    (B) [9, 10[
                                                              (C) [10, 11[                  (D) [11, 12[
                                                                                                               2011
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MÓDULO I – PARTE I                         MATEMÁTICA
                   Projeto
                                                                                         Prof. Bruno Vianna
                  Vestibular                  FUNÇÃO AFIM

24) (AFA-03) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da            GABARITOS
    função real f em que f(x) representa o preço, pago
    em reais, de x quilogramas de um determinado              01) D           02) B           03) D           04) B
    produto. (Considere f(x) ∈ R)
                                                              05) E           06) D           07) D           08) B
                  f(x)
                                                              09) D           10) A
            36
                                                              11) a) 0 a 50 kwh        b) 180kwh
            30
                                                              12) E           13) D
              0            60                  x
                                                              14) a) Década de 40 do sec XX
    De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar                  b) Década de 40 do séc XXI
    que
(A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$         15) B           16) D           17) C           18) C
18,00.
(B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas        19) E           20) C
do produto.
                                                              21)     a) R$ 30.000,00
(C) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas                 b) y = - (6/5) x + 30
do produto.                                                           c) R$ 27.600,00
(D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333...
quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto.                22) R$ 710,00

                                                              23) B           24) B           25) C           26) C
DESAFIOS
                                                              Resolução de Algumas questões
25) A coleção de selos do professor Arquimedes, está
dividida em três volumes. Dois décimos do total dos           Questão 10)
selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total
estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro         Sabe-se que a reta que contém os 6 pontos é uma
volume. Apenas com essas informações, diga quantos            função afim da forma y = a x + b. Usaremos os pontos
selos o professor Arquimedes tem?                             (5,150) e (30,50) para determinarmos a taxa de
                                                              variação:
(A) 3.430        (B) 3.465      (C) 3.535
(D) 3.570        (E) 3.605                                          50 − 150 − 100
                                                              a=            =      = −4
                                                                     30 − 5   25
26) Renata desce andando uma escada rolante que se
move para cima e conta 150 degraus sua irmã,                  Logo : f(x) = − 4x + b  substituindo (30,50) achamos b
Fernanda sobe andando a mesma escada e conta 75               = 170, finalmente teremos:
degraus. Sabendo que a velocidade de Renata é o triplo
da velocidade de Fernanda, o número de degraus
visíveis desta escada é de:                                   f(x) = − 4x + 170 para sabermos o valor da função para
                                                              x = 20 fazemos a substituição:
(A) 70           (B) 90         (C) 120
(D) 144          (E) 160                                      f(20) = − 4 . 20 + 170
                                                              f(20) = −80 + 170
                                                              f(20) = 90

                                                              Ou seja, quando compramos 20 unidades do produto
                                                              pagamos R$ 90,00. Logo o preço por unidade é dado
                                                              por


                                                                                                                 2011
                                                          8
MÓDULO I – PARTE I                             MATEMÁTICA
                     Projeto
                                                                                             Prof. Bruno Vianna
                    Vestibular                       FUNÇÃO AFIM

 90                                                               DESAFIOS:
    = 4,5
  2                                                               Desafio 25) x total de selos
Portanto pagaremos um total de R$ 4,50 por unidade
comprada.                                                         x kx                       10605
                                                                   + + 303 = x          x=
Questão 14)                                                       5 7                        28 − 5k
a)    Na   década      de   40   (entre   1940   e   1950).       k < 6 , (28 – 5k) > 0       e (10605 = 3 x 5 x 7 x 101
                                                                  múltiplo de 28 – 5k)

b)                                                                por tentativa k = 5 e x = 3535
     1960 -> 7
     1980 -> 10     logo:
                                                                  Desafio 26) Velocidade de Renata: VR
                    10 − 7     3                                  Velocidade de Fernanda: VF
           a=                =                                    Velocidade da escada: VE
                  1980 − 1960 20                                  Nº de degraus visíveis: n

                   3
           P=        A+b                                          VR – VE = 3 . (VF + VE)
                  20
                                                                  Velocidade = (espaço / tempo) o espaço percorrido por
(substituindo (1960,7)) teremos b = −287 ; daí:
                                                                  ambas é o da escada rolante que está associado ao nº
                                                                  de degraus visíveis (n) e utilizaremos a contagem delas
        3
P=        A − 287                                                 como unidade de tempo. Logo:
       20
                                                                          n                 n                     n
Fazendo P = 20                                                    VR =       − VE    VF =      + VE    e   VE =     =1
                                                                         150                75                    n
        3                            3
P=        A − 287     >>>    20 =      A − 287 >>>>               Daí temos:
       20                           20
                                                                  VR – VE = 3 . (VF + VE)
               3                          3
20 + 287 =       A >>>>           307 =      A >>>                  n           n  
              20                          20                           − 1 = 3. + 1
                                                                   150          75 
307
    ⋅ 20 = A >>> A = 2046,666...                                  Resolvendo encontraremos
 3
Finalmente obtemos 2040 < A < 2050
                                                                  n = 120

Década de 40 do séc XXI

Questão 22) A gratificação y que um funcionário recebe
quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida
quando obtém 90 pontos. Tem-se, observando o
gráfico, que:




Portanto, y = 710
Ou seja, a gratificação será de R$ 710,00.

                                                                                                                     2011
                                                              9

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  • 1. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM FUNÇÃO AFIM (ii) Função Constante: - Definição f: R→R f(x) = b f: R→R y f(x) = ax + b b>0 - Raíz ou zero b b=0 f(x) =0 → ax + b = 0 → x=− x a - Representação Gráfica: b<0  b  (i) Ox →  − ,0 , a ≠ 0 (iii) Função Linear:  a  (ii) Oy → (0,b) f: R→R f(x) = ax Tipos de Funções Afins: Obs1: A função identidade é um tipo especial de função (i) Função identidade: linear (a = 1) f: R→R f(x) = x Obs2 : A função linear é função que representa uma relação entre grandezas diretamente proporcionais. Exemplos de Gráficos de funções: a) f(x) = x + 1 ∈ f(0) = 0 + 1 = 1 , (0,1)∈ r f(x) = 0 , x + 1 = 0 , x = -1 , (-1,0) ∈ r Obs: Analiticamente chamada de: y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares) y = - x (bissetriz dos quadrantes pares) 2011 1
  • 2. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM b) f(x) = −x y −b y −b tgα = ∴ tgα = a ∴ a = ∴ x x f(0) = - 0 = 0 (0,0) ∈ r f(-1) = - (-1) = 1 (-1,1) ∈ r y – b = ax → y=ax + b a → coeficiente angular b → coeficiente linear OBS: A reta x = k, onde k∈ R, é a única reta que não é função. y Ex: x = 2 0 2 x Obs3: Quando falamos de função afim dizemos que o c) f(x) = 2 coeficiente angular é a: f(0) = 2 ,(0,2) ∈ r TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f(1) = 2 , (1,2) ∈ r Veja a seguinte situação: Em uma cidade do interior do Brasil, os táxis cobram R$ 3,00 de bandeirada e R$ 2,00 por quilômetro rodado. Observe que o custo da corrida pode ser dado por uma função C(x) afim: C(x) = 2x + 3 Onde C(x) representa o custo da corrida e x a quantidade de quilômetros rodados, veja o gráfico desta função: Função Afim (Interpretação Geométrica) Toda reta não-vertical é o gráfico de uma função afim y P y y–b b α x x x 2011 2
  • 3. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM Observe que se destacarmos intervalos constantes 03) A função afim que melhor representa o gráfico ao no eixo x temos triângulos congruentes. lado é: (A) f(x) = 5x − 5 (B) f(x) = x + 5 (C) f(x) = 5x + 5 (D) f(x) = −5x + 5 (E) f(x) = −5x + 1 Repare que a razão entre os catetos é sempre a mesma 4 = 2 que é o nosso “coeficiente angular”, ou melhor a 04) (PM-05-1) A figura abaixo mostra o gráfico de uma 2 função f, que é uma reta: taxa de variação por quilômetro percorrido. 10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01) O gráfico que melhor representa a função 7 f(x) = - 2x + 3 , é: y y y (A) (B) (C) 3 1,5 1,5 9 Com os dados que aparecem na figura, pode-se -1,5 x -3 x 3 x concluir que f(39) é igual a: y (A) -2 (B) -3 (C) -4 (D) -5 (D) (E) 3 y 05) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: 1,5 x -3 x (A) f(x) = x − 3 -1,5 (B) f(x) = 1,03x (C) f(x) = 1,3x 02) Em que ponto a função f(x) = −3x + 6 intercepta o (D) f(x) = −3x eixo das abscissas? (E) f(x) = 0,97x (A) (½,0) (B) (2,0) (C) (0, ½) − (D) (−2,0) (E) (0,6) 2011 3
  • 4. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM 06) (ENEM-08) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030. Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e: (A) 20 min (B) 30 min (C) 40 min (D) 50 min 09) (PM-04-2) Um helicóptero desloca-se numa 1 trajetória cuja equação é y = x + 100 . Um míssil 2 disparado contra o helicóptero segue uma trajetória cuja De acordo com o gráfico, a população urbana mundial equação é y = 2( x − 10) + k . Em ambas as equações, em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos y representa a altura em relação ao eixo Ox. O míssil bilhões de pessoas? atinge o helicóptero a uma altura de 130 m. Se as distâncias x e y são dadas em metros, o valor de k será: (A) 4,00. (B) 4,10. (C) 4,15. (A) 0 (B) 10 (C) 20 (D) 30 (D) 4,25. (E) 4,50. 10) (UERJ-98) A promoção de uma mercadoria em um EXERCÍCIOS PROPOSTOS supermercado está representada, no gráfico abaixo, por 6 pontos de uma mesma reta. 07) (UNIRIO) O valor de um carro popular decresce valor total da compra (R$) linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$ 7.500,00 e 150 que, depois de 6 anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor após 4 anos de uso, em reais é: (A) 2.100 (B) 2.400 50 (C) 3.150 (D) 3.300 5 20 30 08) (UERJ) - Em uma partida, Vasco e Flamengo qtd unid com(R$) levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente número constante de pessoas por minuto. A partir desse a: horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. (A) 4,50 (B) 5,00 Os pontos que definem o número de pessoas dentro do (C) 5,50 estádio em função do horário de entrada estão contidos (D) 6,00 no gráfico abaixo: 2011 4
  • 5. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM 2 11) (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica á S = A + Bt + Ct , os valores numéricos das constantes cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu A, B e C são, respectivamente: consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse determinado nível. Caso contrário, o (A) 0, 12, 4 consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a (B) 0, 12, −4 custo de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (C) 12, 4, 0 (em kWh) x preço em (R$) foi o apresentado abaixo: (D) 12, −4 , 0 R$ 14) (UFRJ-98-PNE) - O gráfico a seguir descreve o 2250 crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910 até 1990. No eixo das ordenadas, a população é dada em milhares de habitantes. 750 250 kWh 0 50 100 200 a) Determine entre que valores de consumo em kWh é cobrada taxa mínima b) Determine o consumo correspondente à taxa de R$ 1.950,00. 12) (UFF-2000) O gráfico da função f está representado na figura: a) Determine em que década a população atingiu a marca de 5.000 habitantes b) Observe que a partit de 1960 o crecimento da população em cada década tem se mantido constante. Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no futuro. Determine em que década o vilarejo terá 20.000 habitantes. Sobre a função f é falso afirmar que: 15) (UFF-2000-1) Na figura a seguir estão representadas as retas r e s. (A) f(1) + f(2) = f(3) (B) f(2) = f(7) (C) f(3) = 3f(1) (D) f(4) – f(3) = f(1) (E) f(2) + f(3) = f(5) 13) (UERJ-2003-1ª fase) A função que descreve a dependência temporal da posição S de um ponto material é representada pelo gráfico abaixo. Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e que OP mede 5 cm, a equação de r é: 3 (A) y = x (D) y=3x 4 4 (B) y = x (E) y=5x 3 5 Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo (C) y = x 3 2011 5
  • 6. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM 16) (UERJ-01) Admita que, a partir dos cinqüenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear, conforme mostra o gráfico abaixo. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será: Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que (A) menor que 1 150. tinham aos 30 anos. (B) 218 unidades maior que em 2004. O percentual de massa óssea que as mulheres já (C) maior que 1 150 e menor que 1 200. perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 (D) 177 unidades maior que em 2010. anos, é igual a: (E) maior que 1 200. (A) 14 (B) 18 19) (ENEM- 2010) para conseguir chegar a um número (C) 22 recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas (D) 26 brasileiras começam a se planejar para esse período com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no 17) (UERJ-02) Uma panela, contendo um bloco de gelo período de 2005 a 2009. a -40º C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real: O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50º C, em minutos, equivale a: (A) 4,5 (B) 9,0 (C) 15,0 (D) 30,0 De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior 18) (ENEM- 2010) O gráfico mostra o número de favelas produção acumulada foi: no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os (A) 2004 – 2005. (B) 2005 – 2006. anos considerados é linear. (C) 2006 – 2007. (D) 2007 – 2008. (E) 2008 – 2009. 2011 6
  • 7. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM 20) (ENEM-08) O gráfico a seguir ilustra a evolução do b) Qual o função f(x) = ax + b que está defina no consumo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro gráfico acima no intervalo [0,20] ? setores de consumo, no período de 1975 a 2005. c) Qual o valor comercial do carro quando atinge 2 anos de uso ? 22) (UFF-2002-2) A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir. Observa-se que, de 1975 a 2005, houve aumento quase linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma tendência se mantiver até 2035, o setor energético brasileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda total aproximada de (A) 405 GWh. (B) 445 GWh. Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da (C) 680 GWh. (D) 750 GWh. (E) 775 GWh. gratificação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário 21) “Na vida as vezes perdemos até sem perceber, receberá no mês em que obtiver 100 pontos. observe a situação abaixo” 23) (AFA-08) “A arrecadação da CPMF, devido à Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor ampliação de sua abrangência, e ao aumento da comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja bilhões de reais por ano)” a figura seguinte. Revista veja – 14/03/2007 valor (R$) 0 20 tempo (anos) Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 Supondo que o crescimento da arrecadação anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a representado no gráfico acima é linear do ano de 2005 20% do valor que tinha quando era novo. Responda: ao ano de 2007 e que y% representa o aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto a) Qual o valor de fábrica do veículo (valor quando afirmar que y é um número do intervalo: era novo) ? (A) [8, 9[ (B) [9, 10[ (C) [10, 11[ (D) [11, 12[ 2011 7
  • 8. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM 24) (AFA-03) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da GABARITOS função real f em que f(x) representa o preço, pago em reais, de x quilogramas de um determinado 01) D 02) B 03) D 04) B produto. (Considere f(x) ∈ R) 05) E 06) D 07) D 08) B f(x) 09) D 10) A 36 11) a) 0 a 50 kwh b) 180kwh 30 12) E 13) D 0 60 x 14) a) Década de 40 do sec XX De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar b) Década de 40 do séc XXI que (A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 15) B 16) D 17) C 18) C 18,00. (B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas 19) E 20) C do produto. 21) a) R$ 30.000,00 (C) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas b) y = - (6/5) x + 30 do produto. c) R$ 27.600,00 (D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333... quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto. 22) R$ 710,00 23) B 24) B 25) C 26) C DESAFIOS Resolução de Algumas questões 25) A coleção de selos do professor Arquimedes, está dividida em três volumes. Dois décimos do total dos Questão 10) selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro Sabe-se que a reta que contém os 6 pontos é uma volume. Apenas com essas informações, diga quantos função afim da forma y = a x + b. Usaremos os pontos selos o professor Arquimedes tem? (5,150) e (30,50) para determinarmos a taxa de variação: (A) 3.430 (B) 3.465 (C) 3.535 (D) 3.570 (E) 3.605 50 − 150 − 100 a= = = −4 30 − 5 25 26) Renata desce andando uma escada rolante que se move para cima e conta 150 degraus sua irmã, Logo : f(x) = − 4x + b substituindo (30,50) achamos b Fernanda sobe andando a mesma escada e conta 75 = 170, finalmente teremos: degraus. Sabendo que a velocidade de Renata é o triplo da velocidade de Fernanda, o número de degraus visíveis desta escada é de: f(x) = − 4x + 170 para sabermos o valor da função para x = 20 fazemos a substituição: (A) 70 (B) 90 (C) 120 (D) 144 (E) 160 f(20) = − 4 . 20 + 170 f(20) = −80 + 170 f(20) = 90 Ou seja, quando compramos 20 unidades do produto pagamos R$ 90,00. Logo o preço por unidade é dado por 2011 8
  • 9. MÓDULO I – PARTE I MATEMÁTICA Projeto Prof. Bruno Vianna Vestibular FUNÇÃO AFIM 90 DESAFIOS: = 4,5 2 Desafio 25) x total de selos Portanto pagaremos um total de R$ 4,50 por unidade comprada. x kx 10605 + + 303 = x x= Questão 14) 5 7 28 − 5k a) Na década de 40 (entre 1940 e 1950). k < 6 , (28 – 5k) > 0 e (10605 = 3 x 5 x 7 x 101 múltiplo de 28 – 5k) b) por tentativa k = 5 e x = 3535 1960 -> 7 1980 -> 10 logo: Desafio 26) Velocidade de Renata: VR 10 − 7 3 Velocidade de Fernanda: VF a= = Velocidade da escada: VE 1980 − 1960 20 Nº de degraus visíveis: n 3 P= A+b VR – VE = 3 . (VF + VE) 20 Velocidade = (espaço / tempo) o espaço percorrido por (substituindo (1960,7)) teremos b = −287 ; daí: ambas é o da escada rolante que está associado ao nº de degraus visíveis (n) e utilizaremos a contagem delas 3 P= A − 287 como unidade de tempo. Logo: 20 n n n Fazendo P = 20 VR = − VE VF = + VE e VE = =1 150 75 n 3 3 P= A − 287 >>> 20 = A − 287 >>>> Daí temos: 20 20 VR – VE = 3 . (VF + VE) 3 3 20 + 287 = A >>>> 307 = A >>> n  n  20 20 − 1 = 3. + 1 150  75  307 ⋅ 20 = A >>> A = 2046,666... Resolvendo encontraremos 3 Finalmente obtemos 2040 < A < 2050 n = 120 Década de 40 do séc XXI Questão 22) A gratificação y que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida quando obtém 90 pontos. Tem-se, observando o gráfico, que: Portanto, y = 710 Ou seja, a gratificação será de R$ 710,00. 2011 9