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Sequências
Indução Matemática
Antonio Alfredo Ferreira Loureiro
loureiro@dcc.ufmg.br
http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 1
Introdução
• Uma das tarefas mais importantes da matemática é descobrir e caracterizar
padrões regulares.
• Sequência: estrutura matemática mais importante para estudar processos
repetidos.
• Indução matemática: ferramenta matemática mais importante para verificar
conjecturas sobre padrões de termos em sequências.
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 2
Sequências
• Exemplo: Número de ancestrais—Um limite superior
Geração 1 2 3 4 5 6 7. . .
# ancestrais 2 4 8 16 32 64 128. . .
• Mais definições:
– Termo: cada elemento de uma sequência.
Exemplo: a1, a2, a3, . . . , an
– Índice ou subscrito: indica a posição do termo na sequência.
Exemplo: O número 3 no termo a3 indica o terceiro elemento da sequência.
– Sequência finita: possui um conjunto finito de termos.
– Sequência infinita: possui um conjunto infinito de termos.
Exemplo: a1, a2, a3, . . .
– Fórmula explícita ou fórmula geral: é a regra que mostra como os valores
de ak podem ser obtidos a partir de k.
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 3
Exemplos de sequências definidas por fórmulas
explícitas
• Sejam as sequências a1, a2, a3, . . . definida pela fórmula explícita
ak =
k
k + 1
para inteiros k ≥ 1
e b2, b3, b4, . . . definida pela fórmula explícita
bi =
i − 1
i
para inteiros i ≥ 2
a1 = 1
1+1 = 1
2 b2 = 2−1
2 = 1
2
a2 = 2
2+1 = 2
3 b3 = 3−1
3 = 2
3
a3 = 3
3+1 = 3
4 b4 = 4−1
4 = 3
4
... ...
– O que as duas sequências têm em comum?
§ São idênticas.
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 4
Exemplos de sequências definidas por fórmulas
explícitas
• Sequência alternante:
Seja a sequência c0, c1, c2, . . . definida pela fórmula explícita
cj = (−1)j para inteiros j ≥ 0
§ Essa sequência possui um conjunto finito de valores: {−1, 1}.
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 5
Achando a fórmula explícita
• A fórmula explícita para a sequência
1, −1
4, 1
9, − 1
16, 1
25, . . .
pode ser
ak =
(−1)k+1
k2
para inteiros k ≥ 1
ou
ak =
(−1)k
(k + 1)2
para inteiros k ≥ 0
§ Não existe somente uma única fórmula explícita para representar os termos
de uma sequência.
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 6
Notação para somar termos de uma sequência
• Seja a sequência
a1, a2, a3, . . . , an
Existem diversas aplicações em Ciência da Computação onde é importante
saber a soma desses termos, ou seja,
a1 + a2 + a3 + . . . + an
Essa soma é representada pela seguinte notação:
n
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an
Forma expandida
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), matemático francês/italiano. Propôs o uso
da letra maiúscula grega sigma (Σ) para representar a soma de termos.
UFMG/ICEx/DCC MD
·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 7
Exemplos
n
k=0
(−1)k
k + 1
= 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ . . . +
(−1)n
n + 1•
1
n
+
2
n + 1
+
3
n + 2
+ . . . +
n + 1
2n
=
n
k=0
k + 1
n + k•
n
k=1
(
k
k + 1
−
k + 1
k + 2
) =
1
2
−
n + 1
n + 2•
§ Este tipo de soma é conhecido como “Soma Telescópica”, ou seja é uma
soma da forma n−1
i=0 ai, onde ai = bi − bi+1.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 8
Mudança de variável
Observe que
3
k=1
k2 = 12 + 22 + 32
e que
3
i=1
i2 = 12 + 22 + 32
Logo,
3
k=1
k2 =
3
i=1
i2
§ As variáveis k e i são chamadas de “dummy.”
4
j=2
(j − 1)2 =
3
k=1
k2
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 9
Mudança de variável
• Substitua k + 1 na soma abaixo por j:
6
k=0
1
k + 1
Passos:
(a) Calcule os novos limites do somatório:
– Para k = 0, j = 1.
– Para k = 6, j = 7.
(b) Calcule o termo geral:
– Como j = k + 1, então k = j − 1
Logo,
1
k + 1
=
1
(j − 1) + 1
=
1
j
A soma pode ser reescrita como:
6
k=0
1
k + 1
=
7
j=1
1
j
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 10
Notação para multiplicar termos de uma sequência
• Seja a sequência
a1, a2, a3, . . . , an
Deseja-se saber o produto desses termos, ou seja,
a1 · a2 · a3 · . . . · an
Essa multiplicação é representada pela seguinte notação:
n
k=1
ak
• Exemplos:
–
5
k=1
k = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
–
3
k=1
k
k + 1
=
1
2
·
2
3
·
3
4
=
6
24
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 11
Propriedades de somas e produtos
Se am, am+1, am+2, . . . e bm, bm+1, bm+2, . . . são sequências de números re-
ais e c é um número real qualquer, então as seguintes equações são válidas
para qualquer n ≥ m:
1.
n
k=m
ak +
n
k=m
bk =
n
k=m
(ak + bk)
2.
c ·
n
k=m
ak =
n
k=m
c · ak
3.
(
n
k=m
ak) · (
n
k=m
bk) =
n
k=m
(ak · bk)
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 12
Princípio da indução matemática (fraca)
Seja P(n) um predicado definido para os inteiros n, e seja n0 um inteiro fixo.
Suponha que as duas afirmações seguintes sejam verdadeiras:
1. P(n0) é V.
2. Para todos inteiros k ≥ n0,
se P(k) é V então P(k + 1) é V.
§ Logo, a afirmação
para todos inteiros n ≥ n0, P(n)
é V.
n
P(n)
Inteiros0
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 13
Princípio da indução matemática
• Técnica aparece pela primeira vez no trabalho do italiano Francesco Mauro-
lico em 1575.
• No século XVII, Pierre de Fermat e Blaise Pascal usam essa técnica em seus
trabalhos. Fermat dá o nome de “método do descendente infinito”.
• Em 1883, Augustus De Morgan descreve o processo cuidadosamente e dá o
nome de indução matemática.
§ Técnica extremamente importante para a Ciência da Computação.
Para visualizar a idéia da indução matemática, imagine uma coleção de do-
minós colocados numa sequência (formação) de tal forma que a queda do
primeiro dominó força a queda do segundo, que força a queda do terceiro, e
assim sucessivamente, até todos os dominós caírem.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 14
Princípio da indução matemática (fraca)
• A prova de uma afirmação por indução matemática é feita em dois passos:
1. Passo base: é provado que P(n0) é V para um dado n0 específico.
2. Passo indutivo: é provado que para todos inteiros k ≥ n0,
se P(k) é V então P(k + 1) é V.
O passo indutivo pode ser escrito formalmente como:
∀ inteiros k ≥ n0, se P(k) então P(k + 1)
• Pelo método da generalização de um elemento específico genérico, para pro-
var o passo indutivo deve-se:
– supor que P(k) é V, onde k é um elemento específico mas escolhido arbi-
trariamente de tal forma que seja maior ou igual a n0.
– provar que P(k + 1) é V.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 15
Princípio da indução matemática (fraca)
• Este princípio pode ser expresso pela seguinte regra de inferência:
[P(n0) ∧ ∀k(P(k) → P(k + 1))] → ∀nP(n).
Inteiros
P(n)
0nP( ) 1n 2n
...
P ( )kP( ) P( ) P k( +1)
§ Numa prova por indução matemática não é assumido que P(k) é verda-
deiro para todos os inteiros! É mostrado que se for assumido que P(k) é
verdadeiro, então P(k + 1) também é verdadeiro.
§ Assim, na prova por indução matemática devemos usar obrigatoriamente o
predicado P(k) (hipótese que estamos supondo ser verdadeira).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 16
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 1
Prove que
P(n) : 1 + 2 + . . . + n =
n(n + 1)
2
para todos inteiros n ≥ 1.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(1): Para n0 = 1, 1 = 1(1+1)
2 = 1 e a fórmula
é verdadeira para n0 = 1.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
– Suponha que a fórmula é verdadeira para n = k, i.e.,
P(k) : 1 + 2 + . . . + k =
k(k + 1)
2
para algum inteiro k ≥ 1. [hipótese indutiva]
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 17
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 1
Deve-se mostrar que
P(k + 1) : 1 + 2 + . . . + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2
Sabe-se que
1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1)
2
+
2(k + 1)
2
=
k2 + 3k + 2
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
[Isto era o que devia ser provado.]
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 18
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 1: Comentários
Observe que na prova por indução matemática devemos usar obrigatoriamente
o predicado P(k). Esse é um dos grandes desafios neste tipo de prova, como
veremos em outros exemplos.
A soma
1 + 2 + . . . + k + (k + 1),
que aparece no predicado P(k + 1), possui os termos 1 a k, cuja soma (1 +
2 + . . . + k) vale k(k+1)
2 pela hipótese indutiva. Como estamos supondo que
ela é verdadeira, podemos definir uma igualdade onde esses termos do lado
esquerdo são substituídos por essa fração do lado direito:
1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 19
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 1: Comentários
Nessa demonstração pode parecer que estamos usando o fato de P(k) ser V
para deduzir que P(k + 1) é V, para em seguida deduzir que P(k) é V. Parece
circular! O que está ocorrendo?
Nao é isso que está acontecendo. Dado um k e o predicado associado, temos
duas possibilidades:
(a) P(k) é V
(b) P(k) é F
A hipótese indutiva não afirma que P(k) seja verdadeiro. O que afirma é que
caso P(k) seja V então P(k+1) também será V. Isto é, se k faz com que P(k)
seja verdadeiro e, assim, esteja na categoria (a) acima, então k + 1 também
fará com que P(k + 1) seja V e, assim, também esteja em (a).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 20
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 1: Comentários
Por exemplo, seja
P(n) : 1 + 2 + . . . + n =
n(n + 1)
2
+ 1.
Isto nao é correto! Neste exemplo, o predicado P(k) é falso para todo k.
Em geral, devemos tentar mostrar que caso P(k) seja V, então P(k + 1) tam-
bem é V.
Isso ficará evidente no próximo exemplo, quando vamos supor que P(k) seja V
e vamos chegar a uma contradição para P(k + 1). Ou seja, P(k) é F.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 21
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 2
Prove que
P(n) : 0 + 1 + 2 + . . . + n =
n(n + 2)
2
ERRADO!
para todos inteiros n ≥ 0.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 0, 0 = 0(0+2)
2 = 0 e a fórmula
é verdadeira para n0 = 0.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
– Suponha que a fórmula é verdadeira para n = k, i.e.,
P(k) : 0 + 1 + 2 + . . . + k =
k(k + 2)
2
=
k2 + 2k
2
para algum inteiro k ≥ 0. [hipótese indutiva]
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 22
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 2
Deve-se mostrar que
P(k + 1) : 0 + 1 + 2 + . . . + (k + 1) =
(k + 1)(k + 3)
2
=
k2 + 4k + 3
2
Sabe-se que
0 + 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =
k2 + 2k
2
+ (k + 1)
=
k2 + 2k + 2(k + 1)
2
=
k2 + 4k + 2
2
[Assim, não foi possível derivar a conclusão a partir da hipótese. Isto significa que o predicado
original é falso.]
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 23
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 3
Prove que
P(n) :
n
i=0
ri =
rn+1 − 1
r − 1
para todos inteiros n ≥ 0 e para todos números reais r, r = 1.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 0, r0 = 1 = r0+1−1
r−1 = r−1
r−1 = 1
e a fórmula é verdadeira para n0 = 0.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 24
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 3
– P(k) : k
i=0 ri = rk+1−1
r−1 , para k ≥ 0. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1) : k+1
i=0 ri = rk+2−1
r−1
k+1
i=0
ri =
k
i=0
ri + rk+1
=
rk+1 − 1
r − 1
+ rk+1
=
rk+1 − 1
r − 1
+
rk+1(r − 1)
r − 1
=
rk+1 − 1 + rk+2 − rk+1
r − 1
=
rk+2 − 1
r − 1
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 25
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 4
Prove que
P(n) : 22n − 1 é divisível por 3,
para n ≥ 1.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(1): Para n0 = 1, 22·1 − 1 = 3 que é divisível
por 3.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 26
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 4
– P(k) : 22k − 1 é divisível por 3. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1) : 22(k+1) − 1 é divisível por 3.
22(k+1) − 1 = 22k+2 − 1
= 22k · 22 − 1
= 22k · 4 − 1
= 22k · (3 + 1) − 1
= 22k · 3 + (22k − 1)
que é divisível por 3.
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Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 5
Prove que
P(n) : 20 + 21 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1,
para n ≥ 0.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 20 = 1, 21 − 1 = 1.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 5
– P(k) : 20 + 21 + 22 + . . . + 2k = 2k+1 − 1, para k ≥ 0. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1) : 20 + 21 + 22 + . . . + 2k+1 = 2k+2 − 1
20 + 21 + 22 + . . . + 2k + 2k+1 = (2k+1 − 1) + 2k+1
= 2 · 2k+1 − 1
= 2k+2 − 1
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 29
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 6
Prove que
P(n) : H2n ≥ 1 +
n
2
,
para n ≥ 0.
Hj representa o número harmônico e é definido por:
Hj = 1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
j
.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(0):
Para n0 = 0, temos H20 = H1 = 1 ≥ 1 + 0
2.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 30
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 6
– P(k) : H2k ≥ 1 + k
2, para k ≥ 0. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1) : H2k+1 ≥ 1 + k+1
2
H2k+1 = 1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
2k
+
1
2k + 1
+
1
2k + 2
+ . . . +
1
2k+1
[Definição de número harmônico.]
= H2k +
1
2k + 1
+
1
2k + 2
+ . . . +
1
2k+1
[Definição de número harmônico.]
≥ 1 +
k
2
+ 2k
·
1
2k+1
[Hipótese indutiva e existem 2k termos, cada um pelo menos 1/2k+1.]
≥ 1 +
k
2
+
1
2
≥ 1 +
k + 1
2
.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 31
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 7
Seja a sequência a1, a2, a3, . . . definida como
a1 = 2
ak = 5ak−1, k ≥ 2
Prove que
P(n) : an = 2 · 5n−1
para n ≥ 1.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(1): Para n0 = 1, 2 · 51−1 = 2 e a1 = 2. Logo,
a fórmula é válida para n = 1.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 32
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 7
– P(k) : ak = 2 · 5k−1. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1) : ak+1 = 2 · 5(k+1)−1 = 2 · 5k.
ak+1 = 5 · a(k+1)−1
= 5 · ak
= 5 · (2 · 5k−1)
= 2 · (5 · 5k−1)
= 2 · 5k
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 33
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 8
Prove que
P(n): 2n + 1 < 2n
para todos os inteiros n ≥ 3.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(3). Para n0 = 3,
2 · 3 + 1 < 23.
Logo, a fórmula é válida para n0 = 3.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 34
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 8
– P(k): 2k + 1 < 2k, para k ≥ 3. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1): 2(k + 1) + 1 < 2k+1.
2k + 2 + 1 =
(2k + 1) + 2 =
(2k + 1) + 2 < 2k
+ 2
2(k + 1) + 1 < 2k
+ 2
?
< 2k+1
Se puder ser mostrado que 2k + 2 < 2k+1 então o predicado P(k + 1) é verdadeiro.
2k
+ 2
?
< 2k+1
2
?
< 2k+1
− 2k
2
?
< 2k
(2 − 1)
2
?
< 2k
1 < 2k−1
, que é verdade para k ≥ 2.
Em particular, a inequação (1 < 2k−1) é válida para k ≥ 3. Assim, P(k + 1) é V.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 35
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 9
• Prove que para todos os inteiros n ≥ 1
P(n): n3 − n é divisível por 3.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(1). Para n0 = 1,
13 − 1 = 0 é divisível por 3.
Logo, a fórmula é válida para n0 = 3.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 36
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 9
– P(k): k3 − k é divisível por 3, para k ≥ 1. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar que P(k + 1): (k + 1)3 − (k + 1) é divisível por 3, para
k ≥ 1.
(k + 1)3 − (k + 1) =
(k3 + 3k2 + 3k + 1) − (k + 1) =
(k3 − k) + 3(k2 + k)
O primeiro termo é divisível por 3 (hipótese indutiva) e o segundo também.
Como a soma de dois números divisíveis por 3 é um número divisível por 3,
então o predicado P(k + 1) é V.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 37
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 10
Seja um inteiro n ≥ 1. Prove que
P(n) : qualquer região quadrada de tamanho 2n × 2n, com um qua-
drado removido, pode ser preenchida com peças no formato L, como
mostrado abaixo.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 38
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 10
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: P(n0) = P(1). P(1) é V já que uma região quadrada de
tamanho 2×2, com um quadrado removido, pode se preenchida com peças
no formato L, como mostrado abaixo.
2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver-
dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1).
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 39
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 10
– P(k): Qualquer região quadrada de tamanho 2k × 2k, com um quadrado removido, pode ser
preenchida com peças no formato L. [hipótese indutiva]
– Deve-se mostrar P(k + 1): Qualquer região quadrada de tamanho 2k+1 × 2k+1, com um
quadrado removido, pode ser preenchida com peças no formato L.
Considere uma região quadrada de tamanho 2k+1 × 2k+1, com um quadrado removido. Divida
essa região em quatro regiões de tamanho 2k × 2k como mostrado abaixo.
Temos três regiões 2k × 2k com nenhum quadrado remo-
vido e uma região 2k × 2k com um quadrado removido. Ou
seja, a região 2k+1 × 2k+1 possui apenas um quadrado
removido.
Pela hipótese indutiva, a região 2k × 2k, com um quadrado
removido, pode ser preenchida com peças no formato L.
O problema passa a ser como a mesma hipótese indutiva
pode ser aplicada às outras três regiões.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 40
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 10
Temporariamente remova um quadrado de cada região 2k × 2k que está “completa” como mos-
trado na figura abaixo à esquerda.
Pela hipótese indutiva cada uma dessas três regiões 2k ×2k pode ser preenchida com peças no
formato L. No entanto, para resolvermos o problema da peça removida em cada uma dessas três
regiões basta colocarmos uma peça L exatamente sobre esses três “buracos” como mostrado
na figura abaixo à direita.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 41
Princípio da indução matemática (fraca)
Exemplo 10
Assim, uma região quadrada de tamanho 2k+1 × 2k+1, com um quadrado removido, pode ser
preenchida com peças no formato L, como mostrado na figura abaixo.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 42
Princípio da indução matemática (forte)
Seja P(n) um predicado que é definido para inteiros n, e seja a e b inteiros fixos,
sendo a ≤ b. Suponha que as duas afirmações seguintes sejam verdadeiras:
1. P(a), P(a + 1), . . . , P(b) são V. (Passo base)
2. Para qualquer inteiro k ≥ b,
se P(i) é V para a ≤ i < k então P(k) é V, i.e., P(i) → P(k).
§ Logo, a afirmação “para todos inteiros n ≥ a, P(n)” é V. (A suposição
que P(i) é V para a ≤ i < k é chamada de hipótese indutiva.)
Hipotese Indutiva
Inteiros
P i( )
ka
Passo Base
b
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 43
Princípio da indução matemática (forte)
Exemplo 11
Prove que qualquer inteiro maior que 1 é divisível por um número primo.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: Para n = 2 a propriedade é válida já que 2|2.
2. Passo indutivo: Vamos supor que para todos inteiros i, 2 ≤ i < k, i é
divisível por um número primo. [hipótese indutiva]
Se a propriedade é válida para 2 ≤ i < k, então é válida para k, ou seja, k
é divisível por um número primo [o que deve ser mostrado].
Seja k um inteiro, k > 2. Ou k é primo ou k não é primo. Se k é primo,
então k é divisível por um primo (ele próprio). Se k não é primo então
k = u · v, onde u e v são inteiros tais que 2 ≤ u < k e 2 ≤ v < k. Pela
hipótese indutiva, u é divisível por um número primo p e pela transitividade
da divisibilidade k também é divisível por p. Assim, independente se k é
primo ou não, k é divisível por um primo.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 44
Princípio da indução matemática (forte):
Exemplo 12
Seja a sequência a1, a2, a3, . . . definida como
a1 = 0
a2 = 2
ak = 3 · a k/2 + 2, k ≥ 3
Prove que an é par, para n ≥ 1.
Prova (por indução matemática):
1. Passo base: Para n = 1 e n = 2 a propriedade é válida já que a1 = 0 e
a2 = 2.
2. Passo indutivo: Vamos supor que ai é par para todos inteiros i, 1 ≤ i < k.
[hipótese indutiva]
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 45
Princípio da indução matemática (forte):
Exemplo 12
Se a propriedade é válida para 1 ≤ i < k, então é válida para k, ou seja, ak é
par [o que deve ser mostrado].
Pela definição de a1, a2, a3, . . .
ak = 3 · a k/2 + 2, k ≥ 3
O termo a k/2 é par pela hipótese indutiva já que k ≥ 3 e 1 ≤ k/2 < k.
Desta forma, 3 · a k/2 é par e 3 · a k/2 + 2 também é par, o que mostra que
ak é par.
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·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 46
Princípio da ordenação dos inteiros
• Princípio: Seja S um conjunto de um ou mais números inteiros que são mai-
ores que um dado inteiro fixo. Então S tem um elemento que é menor de
todos.
– Também chamado “Principio da Boa Ordenação”.
– De outro modo: considere qualquer subconjunto A de inteiros positivos que
seja nao vazio. Então A possui um menor elemento.
– Não vamos provar este principio, apenas aceitá-lo.
• O princípio da ordenação dos inteiros, da indução matemática fraca e forte
são equivalentes.
– Usando-se o princípio da boa ordenação dos inteiros podemos demonstrar
que a indução matemática fraca e a indução matemática forte são equiva-
lentes.
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  • 1. Sequências Indução Matemática Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 1
  • 2. Introdução • Uma das tarefas mais importantes da matemática é descobrir e caracterizar padrões regulares. • Sequência: estrutura matemática mais importante para estudar processos repetidos. • Indução matemática: ferramenta matemática mais importante para verificar conjecturas sobre padrões de termos em sequências. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 2
  • 3. Sequências • Exemplo: Número de ancestrais—Um limite superior Geração 1 2 3 4 5 6 7. . . # ancestrais 2 4 8 16 32 64 128. . . • Mais definições: – Termo: cada elemento de uma sequência. Exemplo: a1, a2, a3, . . . , an – Índice ou subscrito: indica a posição do termo na sequência. Exemplo: O número 3 no termo a3 indica o terceiro elemento da sequência. – Sequência finita: possui um conjunto finito de termos. – Sequência infinita: possui um conjunto infinito de termos. Exemplo: a1, a2, a3, . . . – Fórmula explícita ou fórmula geral: é a regra que mostra como os valores de ak podem ser obtidos a partir de k. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 3
  • 4. Exemplos de sequências definidas por fórmulas explícitas • Sejam as sequências a1, a2, a3, . . . definida pela fórmula explícita ak = k k + 1 para inteiros k ≥ 1 e b2, b3, b4, . . . definida pela fórmula explícita bi = i − 1 i para inteiros i ≥ 2 a1 = 1 1+1 = 1 2 b2 = 2−1 2 = 1 2 a2 = 2 2+1 = 2 3 b3 = 3−1 3 = 2 3 a3 = 3 3+1 = 3 4 b4 = 4−1 4 = 3 4 ... ... – O que as duas sequências têm em comum? § São idênticas. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 4
  • 5. Exemplos de sequências definidas por fórmulas explícitas • Sequência alternante: Seja a sequência c0, c1, c2, . . . definida pela fórmula explícita cj = (−1)j para inteiros j ≥ 0 § Essa sequência possui um conjunto finito de valores: {−1, 1}. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 5
  • 6. Achando a fórmula explícita • A fórmula explícita para a sequência 1, −1 4, 1 9, − 1 16, 1 25, . . . pode ser ak = (−1)k+1 k2 para inteiros k ≥ 1 ou ak = (−1)k (k + 1)2 para inteiros k ≥ 0 § Não existe somente uma única fórmula explícita para representar os termos de uma sequência. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 6
  • 7. Notação para somar termos de uma sequência • Seja a sequência a1, a2, a3, . . . , an Existem diversas aplicações em Ciência da Computação onde é importante saber a soma desses termos, ou seja, a1 + a2 + a3 + . . . + an Essa soma é representada pela seguinte notação: n k=1 ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an Forma expandida Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), matemático francês/italiano. Propôs o uso da letra maiúscula grega sigma (Σ) para representar a soma de termos. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 7
  • 8. Exemplos n k=0 (−1)k k + 1 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . + (−1)n n + 1• 1 n + 2 n + 1 + 3 n + 2 + . . . + n + 1 2n = n k=0 k + 1 n + k• n k=1 ( k k + 1 − k + 1 k + 2 ) = 1 2 − n + 1 n + 2• § Este tipo de soma é conhecido como “Soma Telescópica”, ou seja é uma soma da forma n−1 i=0 ai, onde ai = bi − bi+1. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 8
  • 9. Mudança de variável Observe que 3 k=1 k2 = 12 + 22 + 32 e que 3 i=1 i2 = 12 + 22 + 32 Logo, 3 k=1 k2 = 3 i=1 i2 § As variáveis k e i são chamadas de “dummy.” 4 j=2 (j − 1)2 = 3 k=1 k2 UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 9
  • 10. Mudança de variável • Substitua k + 1 na soma abaixo por j: 6 k=0 1 k + 1 Passos: (a) Calcule os novos limites do somatório: – Para k = 0, j = 1. – Para k = 6, j = 7. (b) Calcule o termo geral: – Como j = k + 1, então k = j − 1 Logo, 1 k + 1 = 1 (j − 1) + 1 = 1 j A soma pode ser reescrita como: 6 k=0 1 k + 1 = 7 j=1 1 j UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 10
  • 11. Notação para multiplicar termos de uma sequência • Seja a sequência a1, a2, a3, . . . , an Deseja-se saber o produto desses termos, ou seja, a1 · a2 · a3 · . . . · an Essa multiplicação é representada pela seguinte notação: n k=1 ak • Exemplos: – 5 k=1 k = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 – 3 k=1 k k + 1 = 1 2 · 2 3 · 3 4 = 6 24 UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 11
  • 12. Propriedades de somas e produtos Se am, am+1, am+2, . . . e bm, bm+1, bm+2, . . . são sequências de números re- ais e c é um número real qualquer, então as seguintes equações são válidas para qualquer n ≥ m: 1. n k=m ak + n k=m bk = n k=m (ak + bk) 2. c · n k=m ak = n k=m c · ak 3. ( n k=m ak) · ( n k=m bk) = n k=m (ak · bk) UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 12
  • 13. Princípio da indução matemática (fraca) Seja P(n) um predicado definido para os inteiros n, e seja n0 um inteiro fixo. Suponha que as duas afirmações seguintes sejam verdadeiras: 1. P(n0) é V. 2. Para todos inteiros k ≥ n0, se P(k) é V então P(k + 1) é V. § Logo, a afirmação para todos inteiros n ≥ n0, P(n) é V. n P(n) Inteiros0 UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 13
  • 14. Princípio da indução matemática • Técnica aparece pela primeira vez no trabalho do italiano Francesco Mauro- lico em 1575. • No século XVII, Pierre de Fermat e Blaise Pascal usam essa técnica em seus trabalhos. Fermat dá o nome de “método do descendente infinito”. • Em 1883, Augustus De Morgan descreve o processo cuidadosamente e dá o nome de indução matemática. § Técnica extremamente importante para a Ciência da Computação. Para visualizar a idéia da indução matemática, imagine uma coleção de do- minós colocados numa sequência (formação) de tal forma que a queda do primeiro dominó força a queda do segundo, que força a queda do terceiro, e assim sucessivamente, até todos os dominós caírem. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 14
  • 15. Princípio da indução matemática (fraca) • A prova de uma afirmação por indução matemática é feita em dois passos: 1. Passo base: é provado que P(n0) é V para um dado n0 específico. 2. Passo indutivo: é provado que para todos inteiros k ≥ n0, se P(k) é V então P(k + 1) é V. O passo indutivo pode ser escrito formalmente como: ∀ inteiros k ≥ n0, se P(k) então P(k + 1) • Pelo método da generalização de um elemento específico genérico, para pro- var o passo indutivo deve-se: – supor que P(k) é V, onde k é um elemento específico mas escolhido arbi- trariamente de tal forma que seja maior ou igual a n0. – provar que P(k + 1) é V. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 15
  • 16. Princípio da indução matemática (fraca) • Este princípio pode ser expresso pela seguinte regra de inferência: [P(n0) ∧ ∀k(P(k) → P(k + 1))] → ∀nP(n). Inteiros P(n) 0nP( ) 1n 2n ... P ( )kP( ) P( ) P k( +1) § Numa prova por indução matemática não é assumido que P(k) é verda- deiro para todos os inteiros! É mostrado que se for assumido que P(k) é verdadeiro, então P(k + 1) também é verdadeiro. § Assim, na prova por indução matemática devemos usar obrigatoriamente o predicado P(k) (hipótese que estamos supondo ser verdadeira). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 16
  • 17. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 1 Prove que P(n) : 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 para todos inteiros n ≥ 1. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(1): Para n0 = 1, 1 = 1(1+1) 2 = 1 e a fórmula é verdadeira para n0 = 1. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). – Suponha que a fórmula é verdadeira para n = k, i.e., P(k) : 1 + 2 + . . . + k = k(k + 1) 2 para algum inteiro k ≥ 1. [hipótese indutiva] UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 17
  • 18. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 1 Deve-se mostrar que P(k + 1) : 1 + 2 + . . . + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 Sabe-se que 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1) = k(k + 1) 2 + 2(k + 1) 2 = k2 + 3k + 2 2 = (k + 1)(k + 2) 2 [Isto era o que devia ser provado.] UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 18
  • 19. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 1: Comentários Observe que na prova por indução matemática devemos usar obrigatoriamente o predicado P(k). Esse é um dos grandes desafios neste tipo de prova, como veremos em outros exemplos. A soma 1 + 2 + . . . + k + (k + 1), que aparece no predicado P(k + 1), possui os termos 1 a k, cuja soma (1 + 2 + . . . + k) vale k(k+1) 2 pela hipótese indutiva. Como estamos supondo que ela é verdadeira, podemos definir uma igualdade onde esses termos do lado esquerdo são substituídos por essa fração do lado direito: 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 19
  • 20. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 1: Comentários Nessa demonstração pode parecer que estamos usando o fato de P(k) ser V para deduzir que P(k + 1) é V, para em seguida deduzir que P(k) é V. Parece circular! O que está ocorrendo? Nao é isso que está acontecendo. Dado um k e o predicado associado, temos duas possibilidades: (a) P(k) é V (b) P(k) é F A hipótese indutiva não afirma que P(k) seja verdadeiro. O que afirma é que caso P(k) seja V então P(k+1) também será V. Isto é, se k faz com que P(k) seja verdadeiro e, assim, esteja na categoria (a) acima, então k + 1 também fará com que P(k + 1) seja V e, assim, também esteja em (a). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 20
  • 21. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 1: Comentários Por exemplo, seja P(n) : 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 + 1. Isto nao é correto! Neste exemplo, o predicado P(k) é falso para todo k. Em geral, devemos tentar mostrar que caso P(k) seja V, então P(k + 1) tam- bem é V. Isso ficará evidente no próximo exemplo, quando vamos supor que P(k) seja V e vamos chegar a uma contradição para P(k + 1). Ou seja, P(k) é F. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 21
  • 22. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 2 Prove que P(n) : 0 + 1 + 2 + . . . + n = n(n + 2) 2 ERRADO! para todos inteiros n ≥ 0. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 0, 0 = 0(0+2) 2 = 0 e a fórmula é verdadeira para n0 = 0. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). – Suponha que a fórmula é verdadeira para n = k, i.e., P(k) : 0 + 1 + 2 + . . . + k = k(k + 2) 2 = k2 + 2k 2 para algum inteiro k ≥ 0. [hipótese indutiva] UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 22
  • 23. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 2 Deve-se mostrar que P(k + 1) : 0 + 1 + 2 + . . . + (k + 1) = (k + 1)(k + 3) 2 = k2 + 4k + 3 2 Sabe-se que 0 + 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = k2 + 2k 2 + (k + 1) = k2 + 2k + 2(k + 1) 2 = k2 + 4k + 2 2 [Assim, não foi possível derivar a conclusão a partir da hipótese. Isto significa que o predicado original é falso.] UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 23
  • 24. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 3 Prove que P(n) : n i=0 ri = rn+1 − 1 r − 1 para todos inteiros n ≥ 0 e para todos números reais r, r = 1. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 0, r0 = 1 = r0+1−1 r−1 = r−1 r−1 = 1 e a fórmula é verdadeira para n0 = 0. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 24
  • 25. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 3 – P(k) : k i=0 ri = rk+1−1 r−1 , para k ≥ 0. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1) : k+1 i=0 ri = rk+2−1 r−1 k+1 i=0 ri = k i=0 ri + rk+1 = rk+1 − 1 r − 1 + rk+1 = rk+1 − 1 r − 1 + rk+1(r − 1) r − 1 = rk+1 − 1 + rk+2 − rk+1 r − 1 = rk+2 − 1 r − 1 UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 25
  • 26. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 4 Prove que P(n) : 22n − 1 é divisível por 3, para n ≥ 1. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(1): Para n0 = 1, 22·1 − 1 = 3 que é divisível por 3. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 26
  • 27. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 4 – P(k) : 22k − 1 é divisível por 3. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1) : 22(k+1) − 1 é divisível por 3. 22(k+1) − 1 = 22k+2 − 1 = 22k · 22 − 1 = 22k · 4 − 1 = 22k · (3 + 1) − 1 = 22k · 3 + (22k − 1) que é divisível por 3. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 27
  • 28. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 5 Prove que P(n) : 20 + 21 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1, para n ≥ 0. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 20 = 1, 21 − 1 = 1. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 28
  • 29. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 5 – P(k) : 20 + 21 + 22 + . . . + 2k = 2k+1 − 1, para k ≥ 0. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1) : 20 + 21 + 22 + . . . + 2k+1 = 2k+2 − 1 20 + 21 + 22 + . . . + 2k + 2k+1 = (2k+1 − 1) + 2k+1 = 2 · 2k+1 − 1 = 2k+2 − 1 UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 29
  • 30. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 6 Prove que P(n) : H2n ≥ 1 + n 2 , para n ≥ 0. Hj representa o número harmônico e é definido por: Hj = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 j . Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(0): Para n0 = 0, temos H20 = H1 = 1 ≥ 1 + 0 2. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 30
  • 31. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 6 – P(k) : H2k ≥ 1 + k 2, para k ≥ 0. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1) : H2k+1 ≥ 1 + k+1 2 H2k+1 = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 2k + 1 2k + 1 + 1 2k + 2 + . . . + 1 2k+1 [Definição de número harmônico.] = H2k + 1 2k + 1 + 1 2k + 2 + . . . + 1 2k+1 [Definição de número harmônico.] ≥ 1 + k 2 + 2k · 1 2k+1 [Hipótese indutiva e existem 2k termos, cada um pelo menos 1/2k+1.] ≥ 1 + k 2 + 1 2 ≥ 1 + k + 1 2 . UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 31
  • 32. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 7 Seja a sequência a1, a2, a3, . . . definida como a1 = 2 ak = 5ak−1, k ≥ 2 Prove que P(n) : an = 2 · 5n−1 para n ≥ 1. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(1): Para n0 = 1, 2 · 51−1 = 2 e a1 = 2. Logo, a fórmula é válida para n = 1. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 32
  • 33. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 7 – P(k) : ak = 2 · 5k−1. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1) : ak+1 = 2 · 5(k+1)−1 = 2 · 5k. ak+1 = 5 · a(k+1)−1 = 5 · ak = 5 · (2 · 5k−1) = 2 · (5 · 5k−1) = 2 · 5k UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 33
  • 34. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 8 Prove que P(n): 2n + 1 < 2n para todos os inteiros n ≥ 3. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(3). Para n0 = 3, 2 · 3 + 1 < 23. Logo, a fórmula é válida para n0 = 3. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 34
  • 35. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 8 – P(k): 2k + 1 < 2k, para k ≥ 3. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1): 2(k + 1) + 1 < 2k+1. 2k + 2 + 1 = (2k + 1) + 2 = (2k + 1) + 2 < 2k + 2 2(k + 1) + 1 < 2k + 2 ? < 2k+1 Se puder ser mostrado que 2k + 2 < 2k+1 então o predicado P(k + 1) é verdadeiro. 2k + 2 ? < 2k+1 2 ? < 2k+1 − 2k 2 ? < 2k (2 − 1) 2 ? < 2k 1 < 2k−1 , que é verdade para k ≥ 2. Em particular, a inequação (1 < 2k−1) é válida para k ≥ 3. Assim, P(k + 1) é V. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 35
  • 36. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 9 • Prove que para todos os inteiros n ≥ 1 P(n): n3 − n é divisível por 3. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(1). Para n0 = 1, 13 − 1 = 0 é divisível por 3. Logo, a fórmula é válida para n0 = 3. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 36
  • 37. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 9 – P(k): k3 − k é divisível por 3, para k ≥ 1. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar que P(k + 1): (k + 1)3 − (k + 1) é divisível por 3, para k ≥ 1. (k + 1)3 − (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) − (k + 1) = (k3 − k) + 3(k2 + k) O primeiro termo é divisível por 3 (hipótese indutiva) e o segundo também. Como a soma de dois números divisíveis por 3 é um número divisível por 3, então o predicado P(k + 1) é V. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 37
  • 38. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 10 Seja um inteiro n ≥ 1. Prove que P(n) : qualquer região quadrada de tamanho 2n × 2n, com um qua- drado removido, pode ser preenchida com peças no formato L, como mostrado abaixo. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 38
  • 39. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 10 Prova (por indução matemática): 1. Passo base: P(n0) = P(1). P(1) é V já que uma região quadrada de tamanho 2×2, com um quadrado removido, pode se preenchida com peças no formato L, como mostrado abaixo. 2. Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser ver- dadeira para n = k + 1, i.e., P(k) → P(k + 1). UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 39
  • 40. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 10 – P(k): Qualquer região quadrada de tamanho 2k × 2k, com um quadrado removido, pode ser preenchida com peças no formato L. [hipótese indutiva] – Deve-se mostrar P(k + 1): Qualquer região quadrada de tamanho 2k+1 × 2k+1, com um quadrado removido, pode ser preenchida com peças no formato L. Considere uma região quadrada de tamanho 2k+1 × 2k+1, com um quadrado removido. Divida essa região em quatro regiões de tamanho 2k × 2k como mostrado abaixo. Temos três regiões 2k × 2k com nenhum quadrado remo- vido e uma região 2k × 2k com um quadrado removido. Ou seja, a região 2k+1 × 2k+1 possui apenas um quadrado removido. Pela hipótese indutiva, a região 2k × 2k, com um quadrado removido, pode ser preenchida com peças no formato L. O problema passa a ser como a mesma hipótese indutiva pode ser aplicada às outras três regiões. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 40
  • 41. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 10 Temporariamente remova um quadrado de cada região 2k × 2k que está “completa” como mos- trado na figura abaixo à esquerda. Pela hipótese indutiva cada uma dessas três regiões 2k ×2k pode ser preenchida com peças no formato L. No entanto, para resolvermos o problema da peça removida em cada uma dessas três regiões basta colocarmos uma peça L exatamente sobre esses três “buracos” como mostrado na figura abaixo à direita. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 41
  • 42. Princípio da indução matemática (fraca) Exemplo 10 Assim, uma região quadrada de tamanho 2k+1 × 2k+1, com um quadrado removido, pode ser preenchida com peças no formato L, como mostrado na figura abaixo. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 42
  • 43. Princípio da indução matemática (forte) Seja P(n) um predicado que é definido para inteiros n, e seja a e b inteiros fixos, sendo a ≤ b. Suponha que as duas afirmações seguintes sejam verdadeiras: 1. P(a), P(a + 1), . . . , P(b) são V. (Passo base) 2. Para qualquer inteiro k ≥ b, se P(i) é V para a ≤ i < k então P(k) é V, i.e., P(i) → P(k). § Logo, a afirmação “para todos inteiros n ≥ a, P(n)” é V. (A suposição que P(i) é V para a ≤ i < k é chamada de hipótese indutiva.) Hipotese Indutiva Inteiros P i( ) ka Passo Base b UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 43
  • 44. Princípio da indução matemática (forte) Exemplo 11 Prove que qualquer inteiro maior que 1 é divisível por um número primo. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: Para n = 2 a propriedade é válida já que 2|2. 2. Passo indutivo: Vamos supor que para todos inteiros i, 2 ≤ i < k, i é divisível por um número primo. [hipótese indutiva] Se a propriedade é válida para 2 ≤ i < k, então é válida para k, ou seja, k é divisível por um número primo [o que deve ser mostrado]. Seja k um inteiro, k > 2. Ou k é primo ou k não é primo. Se k é primo, então k é divisível por um primo (ele próprio). Se k não é primo então k = u · v, onde u e v são inteiros tais que 2 ≤ u < k e 2 ≤ v < k. Pela hipótese indutiva, u é divisível por um número primo p e pela transitividade da divisibilidade k também é divisível por p. Assim, independente se k é primo ou não, k é divisível por um primo. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 44
  • 45. Princípio da indução matemática (forte): Exemplo 12 Seja a sequência a1, a2, a3, . . . definida como a1 = 0 a2 = 2 ak = 3 · a k/2 + 2, k ≥ 3 Prove que an é par, para n ≥ 1. Prova (por indução matemática): 1. Passo base: Para n = 1 e n = 2 a propriedade é válida já que a1 = 0 e a2 = 2. 2. Passo indutivo: Vamos supor que ai é par para todos inteiros i, 1 ≤ i < k. [hipótese indutiva] UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 45
  • 46. Princípio da indução matemática (forte): Exemplo 12 Se a propriedade é válida para 1 ≤ i < k, então é válida para k, ou seja, ak é par [o que deve ser mostrado]. Pela definição de a1, a2, a3, . . . ak = 3 · a k/2 + 2, k ≥ 3 O termo a k/2 é par pela hipótese indutiva já que k ≥ 3 e 1 ≤ k/2 < k. Desta forma, 3 · a k/2 é par e 3 · a k/2 + 2 também é par, o que mostra que ak é par. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 46
  • 47. Princípio da ordenação dos inteiros • Princípio: Seja S um conjunto de um ou mais números inteiros que são mai- ores que um dado inteiro fixo. Então S tem um elemento que é menor de todos. – Também chamado “Principio da Boa Ordenação”. – De outro modo: considere qualquer subconjunto A de inteiros positivos que seja nao vazio. Então A possui um menor elemento. – Não vamos provar este principio, apenas aceitá-lo. • O princípio da ordenação dos inteiros, da indução matemática fraca e forte são equivalentes. – Usando-se o princípio da boa ordenação dos inteiros podemos demonstrar que a indução matemática fraca e a indução matemática forte são equiva- lentes. UFMG/ICEx/DCC MD ·Sequeˆncias e Induc¸a˜o Matema´tica 47