Estatística: Medidas de Tendência Central (média, moda e mediana) de Dados Não Agrupados.

1. AULA 07
ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro
MEDIDAS DE
TENDÊNCIA CENTRAL
DE DADOS NÃO AGRUPADOS

2. Notações Estatísticas
NOTAÇÃO
Característica amostra população
Somatório de um conjunto de valores ∑ ∑
Valores individuais dos dados xi xi
Número de valores (tamanho do conjunto) n N
Média aritmética x µ
Desvio padrão s σ
Variância s2 σ2
Range (amplitude) R -

3. Sínteses Numéricas
Achatamento - curtose
Assimetria - coeficiente
de assimetria
FORMA
POSIÇÃO MEDIDAS
ESTATÍSTICAS DISPERSÃO
tendência central
-Média aritmética -Amplitude
-Mediana -Variância
-Moda -Desvio padrão
-Quartis -Coeficiente de
-Percentis Variação
-Desvio médio

4. Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética
Corresponde ao somatório de um Média = Σ x
conjunto de valores dividido n
pelo número destes valores. n = número de valores
_
χ =Σx Média de um conjunto de valores
n amostrais.
µ =Σx Média de todos os valores de
N uma população.
Obs.:  A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de
dados tende a se concentrar.

5. Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética
Exercício : Um estudante fez quatro provas e obteve as notas 89, 94, 95
e 86, a sua nota média é:
89 + 94 + 95 + 86
x= = 89,5
4
notação
n
x1 + x2 + ... + xn ∑x i
∑x
x= = i =1
=
n n n

6. Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética
 É a mais importante das medidas de tendência central;
 A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada;
 Para um dado conjunto de números, a média é única;
 É sensível (ou afetada) a todos os valores do conjunto. Assim se
um valor se modifica, a média também se modifica;
 Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do
conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante:
µ(x ± k) = µ (x) ± k;
 Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma
constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa
constante: µ(x . k) = µ (x) . k

7. Medidas de Posição – Tendência Central
Média aparada
Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos;
Se obtém eliminando do conjunto de dados os “m” maiores e os
“m” menores valores;
Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores
observados;
Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores
extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers);
No conjunto de dados abaixo, calcular a média aparada, com m
=2
1, 2, 6, 7, 6, 8, 10, 8, 12, 23, 25, 8, 9, 7, 11, 12, 13, 10, 8, 9, 7, 12, 12,
10, 9, 11,7, 8, 6, 8, 9, 10, 11, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 9, 7, 8, 10, 6, 7, 12, 8, 9,
10,

8. Medidas de Posição – Tendência Central
Média aparada
A média aritmética de todos os valores é = 9,29
Excluindo os dois menores e dois maiores valores (1, 2, 23 e 25), a
média aparada é = 8,98
30
25 A média aparada exclui
20 valores discrepantes
15
10
5
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

9. Medidas de Posição – Tendência Central
Média ponderada
Cada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso).
Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesos
desiguais de cada elemento.
Exercício : O colégio definiu que as provas mensais teriam peso de 30%
e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos.
Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno.
exame nota peso
Mês 1 80 0,30 0,3*80 + 0,3*90 + 0,4*96
Mês 2 90 0,30 xp = = 89,4
0,3 + 0,3 + 0,4
Final 96 0,40

10. Medidas de Posição – Tendência Central
Média ponderada
Notação
x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn
xp = p1, p2....pn são os pesos
p1 + p2 + ... + pn
n
∑x i pi
xp = i=1
n
∑p
i=1
i

11. Medidas de Posição – Tendência Central
Mediana - Med
A Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto,
quando estes estão em ordem crescente.
Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais.
Exercício
Dado o conjunto de 11 dados: 3, 7, 5, 5, 1, 9, 15, 13, 17, 13, 17
Calcule a mediana. Valor central = mediana
Conjunto dados
1, 3, 5, 5, 7, 9, 11, 13, 13, 15, 17
ordenados
5 dados 5 dados

12. Medidas de Posição – Tendência Central
Mediana - Med
 Conjunto de valores pares ( n = par)
(
Med = valor
n/2
+ valor )
(n / 2) + 1
/ 2 exemplo 5, 7, 10, 11 n=4
Med = (valor 4/2 + valor (4/2 + 1))/2
Med = (valor posição 2 +valor posição3) / 2 =
(7 +10) / 2 = 8,5
Conjunto de valores impares (n = impar)
exemplo 5, 7, 10, 11, 14 n=5
Med = valor
(n+ 1) / 2
Med = valor (5+1)/2 = valor 3
Med =valor posição3 = 10

13. Medidas de Posição – Tendência Central
Mediana - Med
Exercício: Calcular a mediana das medidas de um conjunto de eixo:
(3,0 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,0 ; 3,4 ; 2,7)
Resolução:
(2,7 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,0 ; 3,0 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5)
Med = 3,0 + 3,1 = 3,05
2
Interpretação do resultado: 50% dos dados brutos são valores
menores ou iguais a 3,05 e 50% desses são valores maiores ou iguais
a 3,05.

14. Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética X Mediana
Salário dos funcionários de um restaurante
200 + 250 + 250 + 300 + 450 + 460 + 510
200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 x= = 345,7
7
A média de 345,7 sintetiza razoavelmente o conjunto de dados (salários)
Salário dos funcionários incluindo o gerente
200 + 250 + 250 + 300 + 450 + 460 + 2300
200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 x = = 601,4
7
A média de 601,4 não sintetiza razoavelmente o conjunto de dados
 Nos dois casos a mediana é 300. Para o segundo caso a mediana
representa melhor o conjunto de dados.
 Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medida
mais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos)

15. Medidas de Posição – Tendência Central
Moda - MO
A Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maior
freqüência em um conjunto de observações.
É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados.
- pode não existir
- pode não ser única
Exercício : Dado o conjunto de dados 10, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18,
18. Calcule a moda.
A moda é constituída de dois valores: MO = 10 e 18 (duas vezes cada)

16. Medidas de Posição – Tendência Central
COMPARAÇÃO
medida definição quão existência consider afetada vantagens e
freqüent a todos pelos desvantagens
e valores valores
? extremos
média “média” existe sim sim muito utilizada
mais sempre em estatística
∑x familiar
x= n
mediana Valor usada existe não não costuma ser
médio sempre boa escolha se
há valores
extremos
moda valor usada pode não não não apropriada para
mais às vezes existir; dados ao nível
freqüente pode ter nominal
mais de
uma moda

17. DÚVIDAS?
joao.alessandro@grupointegrado.br
jalmat@hotmail.com