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  1. 1. Equac~oes Diferenciais Parciais e o Teorema de Exist^encia e Unicidade para o Problema de Cauchy, caso linear Cristiane C. F. Cintra1y, Luciana B. Goecking2 1Discente do curso de Matematica Licenciatura da Universidade Federal de Alfenas. 2Docente do Instituto de Ci^encias Exatas da Universidade Federal de Alfenas. Resumo: Seja de R2 uma regi~ao aberta, I um intervalo aberto e a equac~ao linear de primeira ordem n~ao homog^enea em sua forma mais geral a(x; y)ux +b(x; y)uy = c(x; y) e a condic~ao ini-cial u((t); (t)) = f(t) em que a, b e c s~ao de classe C1 em que contem a curva suave = ((t); (t)); t 2 I, chamada curva inicial do problema. Este tipo de problema e chamado um Problema de Cauchy. Para resolvermos este problema de Cauchy sera de import^ancia fun-damental o conceito das curvas caracterstica da equac~ao, pois estas representam o ponto de partida na busca da soluc~ao para o problema.Tambem, veremos que a forma como as curvas ca-racter sticas intersectam a curva inicial ((t); (t)) dada determina se o problema tera soluc~ao unica, in
  2. 2. nitas soluc~oes ou se a soluc~ao n~ao existe. Veremos o Teorema de Exist^encia e Unici-dade que nos da as condic~oes necessarias para a exist^encia e unicidade da soluc~ao do Problema de Cauchy mencionado. E importante observar que o Teorema de Exist^encia e Unicidade nos garante apenas resultados locais, ja que o comportamento das curvas caractersticas longe da curva inicial pode tornar-se demasiado complexo. Palavras-chave: Problema de valor inicial, mudanca de variaveis, curva caracterstica. Abstract: It of R2 is a open region, I an open interval and the linear equation of
  3. 3. rst or-der non homogeneous in its most general form a(x; y)ux + b(x; y)uy = c(x; y) and the initial condition u((t); (t)) = f(t) that a, b and c are C1 class in that contains the smoth curve = ((t); (t)); t 2 I, initial curve of problem. This type of problem is called a Cauchy Pro-blem. To solve this Cauchy problem is fundamental the concept of characteristic curves of the equation, since these represent the starting point in the search for solution to the problem. Also, we will see that the way in which the characteristic curves intersect the initial curve ((t); (t)) given determines whether the problem will have unique solution, endless solutions or if the so-lution does not exist. We will see the Existence and Uniqueness Theorem that gives us the necessary conditions for the existence and uniqueness of solution of Cauchy Problem cited. It is important to note that the Existence and Uniqueness Theorem guarantees us just local results, since the behavior of the characteristic curves away from the initial curve can become to complex. Keywords: Initial value problem, variable changes, curve feature. yCorresponding author: cristiane.uai@oi.com.br. Sigmae, Alfenas, v.1, n.1, p. 44-56. 2012.
  4. 4. Cintra e Goecking (2012) 45 Introduc~ao As Equac~oes Diferenciais Parciais (EDP's) s~ao utilizadas para descrever acontecimentos f- sicos, biologicos, entre outros. Da a grande relev^ancia de seu estudo. De acordo com Bassanezi e Junior (1988, p. 2) ...as Equac~oes Diferenciais talvez sejam o ramo da matematica que tenha maior proximidade e interac~oes com outras ci^encias. Muitos fen^omenos que ocorrem na otica, mec^anica, biologia, entre outros, podem ser mo-delados por Equac~oes Diferenciais Parciais. A Elasticidade e a Din^amica dos Fluidos, [...] tiveram seu desenvolvimento em comum com uma grande e boa parte da teoria matematica destas equac~oes. (BASSANEZI; JUNIOR, 1988, p. 469). A soluc~ao de inumeros problemas de import^ancia pratica e cient
  5. 5. ca em Mec^anica do Meio Contnuo depende do desenvolvimento da teoria das EDP's. Considere a equac~ao linear de primeira ordem n~ao homog^enea a(x; y)ux + b(x; y)uy = c(x; y); (x; y) 2 u((t); (t)) = f(t); t 2 I em que R2 e um aberto, a; b; c 2 C1( ), I representa um intervalo aberto e = ((t); (t)) e uma parametrizac~ao de uma curva qualquer em , denominada Curva Inicial do problema. Este tipo de problema e chamado um Problema de Cauchy. O Problema de Cauchy e um problema classico dentro da teoria das Equac~oes Diferenciais. A. L. Cauchy (1789-1857) demonstrou rigorosamente pela primeira vez, e por tr^es metodos diferentes, a exist^encia de soluc~oes para uma vasta classe de Equac~oes Diferenciais que inclui essencialmente todos os modelos conhecidos. (BASSANEZI; JUNIOR, 1988, p. 9). Vamos ver como resolver problemas de Cauchy para equac~oes lineares de primeira ordem com duas variaveis independentes. Para isto, estudaremos o Teorema de Exist^encia e Unicidade para o caso linear para o Problema de Cauchy. Este teorema nos fornecera as condic~oes necessarias para que este problema tenha soluc~ao e para que esta seja unica. Conceitos Fundamentais Notac~oes Seja Rn um aberto e u : ! R uma func~ao diferenciavel. Se u = u(x1; :::; xn) e uma func~ao de varias variaveis, usaremos diferentes notac~oes para as derivadas parciais de u. Por exemplo, (i) @u @x1 ; ux1 ; @x1u ou D1u denota a derivada parcial de u em relac~ao a primeira variavel x1. (ii) @2u @x2@x1 ; ux1x2 ; @x2@x1u ou D2D1u denota a derivada de u primeiro em relac~ao a x1 e depois a x2. (iii) @2u @x2i ; uxixi ; @2 xiu ou D2 i u denota a derivada de segunda ordem de u com relac~ao a mesma variavel xi. Sigmae, Alfenas, v.1, n.1, p. 44-56. 2012.
  6. 6. Cintra e Goecking (2012) 46 Equac~ao Diferencial Parcial Uma Equac~ao Diferencial Parcial (EDP) e uma equac~ao que envolve variaveis independentes x1; x2; :::; xn e derivadas parciais de uma func~ao (variavel dependente) u = u(x1; x2; :::; xn). Uma EDP em n variaveis independentes x1; :::; xn e uma equac~ao da forma F x1; :::; xn; u; @u @xi ; @2u @xi@xj ; :::; @mu @xi1:::@xim = 0 (1) em que x = (x1; ::; xn) 2 , que representa um subconjunto aberto de Rn, u : ! R e uma func~ao com derivadas parciais de ordem m. Obs.: Um subconjunto de Rn e aberto se, dado qualquer x0 2 , existe uma bola aberta de raio r 0 centrada em x0 inteiramente contida em . Exemplos de EDP's: 1) ut = uxxx + uux 2) xux

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