[1] O documento discute métodos numéricos para aproximar o valor de integrais definidas, como o Método dos Trapézios e o Método de Simpson. [2] Estes métodos aproximam a função f por uma função mais simples p cuja primitiva é mais fácil de calcular. [3] O Método dos Trapézios aproxima a área sob a curva f(x) pela soma das áreas de trapézios formados pelos pontos da função em intervalos igualmente espaçados entre o limite inferior e superior da integral.
2. Integração Numérica
• Integral definida
Integração Numérica
Integral definida
li õ• Aplicações
• Métodos Integração Numérica
– Fórmula de Newton‐Cotesó u a de e o o es
• Método dos Trapézios
• Método de Simpson
Métodos Numéricos
3. Integral DefinidaIntegral Definida
Seja f uma função contínua no intervalo [a b] daSeja f uma função contínua no intervalo [a, b] da
qual se conhece a primitiva F. O valor da
integral definida de f pode ser calculada usando ag f f p
fórmula de Newton‐Leibniz:
)()()( aFbFdxxfI
b
a
a
Métodos Numéricos
4. Integração NuméricaIntegração Numérica
O ét d d i t ã é i i‐ Os métodos de integração numérica aproximam
valores de integrais definidas.
‐ A integração numérica é útil quando:
‐ Não se conhece a função f. Tem‐se apenasç f p
uma tabela de valores para f.
‐ f é conhecida mas é muito complexa, o que
dificulta a determinação de sua primitiva
Métodos Numéricos
5. Integração NuméricaIntegração Numérica
O ét d d i t ã é i i‐ Os métodos de integração numérica aproximam
valores de integrais definidas.
f é aproximada por uma função p, mais simples,
cuja primitiva é mais fácil de se obtercuja primitiva é mais fácil de se obter.
dxxpdxxfI
b
a
b
a
)()(
Métodos Numéricos
13. Métodos de Integração NuméricaMétodos de Integração Numérica
Método dos Trapézios
Método de Simpsonp
Métodos Numéricos
14. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
Métodos Numéricos
15. Método dos Trapézios
b
Método dos Trapézios
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
• h = (b – a)/n
• xi = a + ih, i = 0, ..., n
f(b)
f(x)
f(a)
f(b)
ba
16. Método dos Trapézios
b
Método dos Trapézios
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
• h = (b – a)/n
• xi = a + ih, i = 0, ..., n
f(b)
f(x)
f(a)
f(b)
iI1
x
hi
ba
i
xi xi+1
)(
2
)( 11 ii
x
i ff
h
dxxPI
i
17. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x)
pela área de 1 trapézio
f(x)
a b
18. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x)
pela somatória da área de n = 5 trapézios
ba
19. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x)
pela somatória da área de n = 5 trapézios
)()( 11
1
ii
x
i ff
h
dxxPI
i
)(
2
)( 11 ii
x
i ffdxxPI
i
ba
20. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x)
pela somatória da área de n = 5 trapézios
)()( 11
1
ii
x
i ff
h
dxxPI
i
)(
2
)( 11 ii
x
i ffdxxPI
i
n
ba
n
i
iII
0
22. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(
2
)( 11
1
ii
x
x
i ff
h
dxxPI
i
ii
1
0
n
i
iII
1
0
1
0
2
n
i
ii
i
ff
h
23. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(
2
)( 11
1
ii
x
x
i ff
h
dxxPI
i
ii
n
i
iII
1
0
n
i
ii
i
ff
h
1
0
1
0
2
nn ffffffff
h
1322110 ...
2
24. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
)(
2
)( 11
1
ii
x
x
i ff
h
dxxPI
i
ii
1
0
n
i
iII
1
0
1
0
2
n
i
ii
i
ff
h
1322110 ...
2
nn ffffffff
h
1
1
0
1
1
0
2
2
2
n
i
i
n
n
i
in f
ff
hfff
h
25. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:
a
dxxf )(
Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
• h = (b – a)/n
• x = a + ih i = 0 n• xi = a + ih, i = 0, ..., n
1
0
2
n
i
n
f
ffab
I
12 in
26. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e a seguinte integral:xf
1
)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e a seguinte integral:
x
xf )(
dxxf
6,3
)( dxxf0,3
)(
Calcule:
• o valor aproximado da integral para n = 1
l i d d i t l 6• o valor aproximado da integral para n = 6
• o valor exato da integral
27. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 1 Calcule o valorxf
1
)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 1. Calcule o valor
aproximado da Integral:
x
xf )(
6,3
dxxf
6,3
0,3
)(
28. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 1 Calcule o valorxf
1
)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 1. Calcule o valor
aproximado da Integral:
x
xf )(
6,3
dxxf
6,3
0,3
)(
Solução:
a = 3,0
b = 3,6
1
1
0
2
n
i
i
n
f
ff
n
ab
I f0 = 1/3,0 = 0,333
fn = 1/3,6 = 0,278
n = 1
1833,0I
29. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:
Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 6 Calcule o valorxf
1
)(
Exemplo:
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 6. Calcule o valor
aproximado da Integral:
x
xf )(
6,3
dxxf
6,3
0,3
)(
30. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:Solução:
a = 3,0
b = 3,6
n = 6
h = (3 6 – 3)/6 = 0 1h = (3,6 – 3)/6 = 0,1
f0 = 1/3,0 = 0,3333 f1 = 1/3,1 = 0,3225
f2 = 1/3,2 = 0,3125 f3 = 1/3,3 = 0,3030
f4 = 1/3,4 = 0,2941 f5 = 1/3,5 = 0,2857
f6 = 1/3,6 = 0,2778f6 1/3,6 0,2778
31. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:Solução:
2
1
0
n
i
n
f
ffab
I
2778033330
2 1
i
if
n
2857,02941,03030,03125,03225,0
2
2778,03333,0
1,0
8234,1*1,05158,13056,01,0
1823,0
32. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exemplo:Exemplo:
Seja , e o intervalo [3,0, 3,6]. Calcule o valor exato da
x
xf
1
)(
Integral:
dxxf
6,3
)(f0,3
)(
33. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:Solução:
)ln()(
1
)( xxF
x
xf
63
x
)0,3()6,3()(
6,3
0,3
FFdxxf
09861,128093,1
)0,3ln()6,3ln(
18232,0
09861,128093,1
34. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Exercício:
Seja , o intervalo [0, 1] e a seguinte integral:
x
exf )(
Exercício:
dxxf
1
)(0
Calcule:
• o valor aproximado da integral para n = 1
• o valor aproximado da integral para n = 4
• o valor aproximado da integral para n = 4o valor aproximado da integral para n 4
• o valor exato da integral
• o erro cometido em cada aproximação
35. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:
Valor aproximado para n = 1
Solução:
1
0
2
n
i
n
f
ff
n
ab
I
a = 0
b = 1
f0 = e0 = 1
f e1 2 71828 12 in fn = e1 = 2,71828
n = 1
85914,1
2
71828,21
1
01
I
36. Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios
Solução:
Valor aproximado para n = 4
Solução:
1
0
2
n
i
n
f
ff
n
ab
I
a = 0
b = 1
f0 = e0 = 1 f1 = e1 = 2,71828
f e2 f e3
12 in f2 = e2 = f3 = e3 =
f4 = e4 =
n = 4