Caracterização dos inteiros

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Caracterização dos inteiros

  1. 1. CARACTERIZAÇÃO DOS INTEIROS O conjunto Z + de inteiros positivos {1, 2, 3, ...} é simples e familiar, mas descrevendo-o de uma forma totalmente rigorosa não é trivial. Muitos dos nossos teoremas parece que vai ser tão óbvio que eles não deveriam exigir provas. Como sempre em matemática, devemoscomeçarcom alguns postulados.Tentamos escolherum conjunto mínimo de características mais simples e óbvias dos inteiros. Algumas propriedadesdos números inteiros positivos são fáceis de afirmar. Cada número inteiro positivo é seguida por um número positivo, que é chamado o seu sucessor.O número 1 é o primeiro número inteiro positivo,por isso não é o sucessorde qualquer outro número inteiro positivo.Qualquer outro número inteiro positivo é o sucessorde um e somente um número inteiro positivo. O sucessorde n será escrito como n + 1. No entanto, neste momento não temos definido qualquer outro tipo de adição. Podemosdefinirrigorosamente como 2 1 + 1, 3 + 1 como 2, etc, continuando a sequênciaapenas na medida do necessário para uma discussão particular. Outra propriedade é necessária,porque há sistemas de números diferentes dos números inteiros positivos que têm todas essas propriedades.Um tal sistemaconsiste nos números inteiros positivos,com a relação sucessorhabitual, e também dois elementos adicionais de A e B, que são sucessores de um ao outro. A propriedade adicionalé aquele que determina, com efeito,que cada número inteiro positivo é 1, ou 2, ou 3, ou 4, e assim por diante indefinidamente.Infelizmente,"e assim indefinidamente" não tem lugar em uma definição rigorosa,emborapossamospensar que sabemos o que isso significa. Felizmente, existe uma alternativa. Um subconjunto de Z + é dito para ser encerrado em sucessão se ele contém os sucessores detodos os seus elementos; ou seja, se n for no subconjunto,então n + 1 está também no subconjunto.Por exemplo, {1, 2} não é fechado sob sucessão,mas {3, 4, 5, ...} é.
  2. 2. Agora podemos afirmar a propriedade necessária final dos inteiros positivos: Qualquer subconjunto de Z +, que contém 1 e é fechado sob sucessão contém todos os números inteiros positivos. Na verdade, nós pode se contentar com condições ligeiramente mais fracos, que são chamados a Peano postulados: 1.Every inteiro positivo tem um sucessor. 2. O número 1 não é o sucessor de qualquer inteiro positivo. 3.Every inteiro positivo diferente de 1 é o sucessor de no máximo um número inteiro positivo. 4.Any conjunto de inteiros positivos que contém 1 e é fechado sob sucessão contém todos os números inteiros positivos. Duas outras propriedades bastante evidentes dos inteiros positivos pode ser provado como um teorema. Teorema1.1. Todo inteiro positivo diferente de 1 é o sucessorde exatamente um número inteiro positivo, e nenhum número inteiro positivo é o seu próprio sucessor. Proof.Suponha, para fins de contradição,que o número inteiro positivo n é diferente de 1 e não é o sucessorde qualquer número inteiro positivo, ou é o seu próprio sucessor.Então, em qualquer caso, o conjunto Z + - {n} viola Peano Postulado (4). █ Teorema1.1 também pode ser indicado de forma mais concisa. A sucessãofunção f (n) = n + 1 é um mapeamento um-para-um de Z + Z + em - {1}. É agora fácilde mostrar que 1, 2, 3 e 4 são todos distintos. Se 1 = 2, 1 = 3 ou 4 1 =, em seguida,1 seria o sucessorde 1, 2 ou 3, respectivamente.Se 2 = 3 = 3 ou 4, em seguida, 2 ou 3 seria seu próprio sucessor.Se 2 = 4, em seguida, 1 = 3, porque cada número inteiro é o sucessorde apenas um número inteiro, e 1 = 3 já foi excluída. Argumentos semelhantes pode ser utilizado para qualquer número de números inteiros que podem serlistados e tratados de forma exaustiva. Nós não definiu subtração ainda, mas para um número inteiro positivo n diferente de 1, usaremos a notação n-1 para indicar o número inteiro cujo sucessoré n.
  3. 3. 2. INDUÇÃO E RECURSÃO Peano Postulado (4) é muitas vezes chamado o postulado indução matemática, porque ele pode ser lançado no referido formulário. A técnica de indução matemáticatem dois passos.Dê uma declaração sobre o inteiro n. • Passo 1: Prove a declaração para n = 1. • Passo 2: Suponha que a afirmação é verdadeira para n e depois provar isso para n + 1. A declaração deve,então, ser verdadeiro para todos os inteiros positivos.Na Etapa 2, o pressupostode que a afirmação é verdadeira para n é muitas vezes chamado a hipótese indutiva. A técnica é dada justificação formalpelo seguinte teorema. Teorema2.1. Seja S uma afirmação sobre um número inteiro positivo, e suponha que 1.s é verdadeiro para 1, 2. Para todos os n, se S é verdadeira para n então é verdade para n + 1. Então S é verdade para todos os inteiros positivos. Proof.Seja T o conjunto de todos os inteiros positivos para os quais S é verdade. Então Peano Postulado (4) afirma que T contém todos os inteiros positivos.█ Em alguns casos, temos que usar a indução de casal. Teorema2.2. Deixe-S (m, n) uma declaração sobre dois inteiros positivos,e suponha que 1.s (1, 1) é verdadeira, 2. Para todos os símbolos m e n, S (m, n) implica S (m + 1, n) e S (m, n + 1). Então S (m, n) é verdadeira para todos os pares de inteiros positivos. Proof.Seja T (n) ser a declaração "S (m, n) é verdadeira para todos os inteiros m". Então nós provar T (n) por indução. Para n = 1, T (1) torna-se "S (m, 1) é verdadeiro para todos m". Isso pode ser provado por indução sobre m:
  4. 4. Para m = 1, S (m, 1) é verdadeira, por hipótese,(1). Se S (m, 1) é verdadeira, então S (m + 1, 1) é verdadeira, por hipótese,(2). Em seguida, vamos supor T (n), que se torna "S (m, n) é verdade para todos m". Por hipótese (2), "S (m, n + 1) é verdadeiro para todos m", o qual é T (n + 1). Assim T (n) é verdadeira para todo n, que era o resultado desejado. █ Intimamente relacionada com a indução matemática é uma técnica chamada recursão.Podemosdefiniruma função f, definindo f (1) e definindo f (n + 1) em termos de n e f (n). O seguinte teorema mostra que essatécnica faz definir uma função única sobre os números inteiros positivos. Teorema2.3. Seja R qualquer conjunto não vazio. Seja F: R ⨯ Z + ⟶ R e seja A qualquer elemento de R. Em seguida, há uma, e apenas uma função f: Z + ⟶ R tal que ADIÇÃO Os números inteiros positivos também têm uma operação de adição.Até agora, vimos apenas um único exemplo de adição,n + 1. Gostaríamos além de ser compatívelcom este exemplo e obedecera leis associativo e comutativo: n + 1 é o sucessorde n m + (n + p) = (m + n) + p (adição é associativa) m + n = n + m (adição é comutativa) Teorema3.1. Há exatamente uma maneira de definir adição on Z + tal que a adição é associativa e n + 1 é o sucessorde n para cada inteiro positivo n. Seja m um número inteiro positivo. Pelo Teorema2.3 há um fm função de tal forma que: • FM (1) = m + 1, • fm (n + 1) = fm (n) uma para cada inteiro positivo n. Em seguida, defina m + n ser fm (n). É claro que, para todos os
  5. 5. números inteiros positivos de m e n, • m + 1 é o sucessorde m, • m + (n + 1) = (m + n) para cada um número inteiro positivo n. Temos agora de demonstrar que esta operação é associativa, mesmo quando o último operando não é 1, ou seja, que m + (n + p) = (m + n) + p para todos os números inteiros positivos m, n e p. Usamos indução sobre p. Para p = 1 já foicomprovada. Em seguida, se m + (n + p) = (m + n) + p, m + (n + (p + 1)) = m + ((n + p) 1) = (m + (n + p)) + 1 = ((m + n) + p) 1 = (m + n) + (p + 1), por isso também é verdadeiro para p + 1. Se ++ é uma outra operação associativo tal que M ++ 1 = m + 1, então ele pode facilmente ser demonstrado por indução m em que m ++ n = m + n para cada inteiro positivo n. Por conseguinte,a operação é único. █ Nós não requerem além de ser comutativa, mas podemos provar que é. Teorema3.2. Para quaisquer inteiros positivos m e n, m + n = n + m. Proof.Nós primeiro provar o caso especialde 1 + n = n + 1 por indução em n. Para n = 1, é óbvio. Se 1 + n = n + 1, então 1 + (n + 1) = (1 + n) = 1 (n + 1) 1. Agora vamos provar o caso geral m + n = n + m por indução sobre m. Para m = 1 reduz para o caso especial.Se m + n = n + m, em seguida, (m + 1) + n = m + (1 + n) = m + (n + 1) = (m + n) 1 = (n + m) +1 = n + (m 1). █ Nós não temos subtração contudo, mas nós temos uma lei de cancelamento. Teorema3.3. Se m = p + n + p para quaisquer inteiros positivos m, n e p, então m = n. Proof.Usamos indução sobre p. Para p = 1 a afirmação é idêntico ao Peano Postulado (3). Se m + (p + 1) = n + (p + 1), em seguida,
  6. 6. (m + p) 1 = (n + p) 1, de modo que m + p = n + p igual a pelo postulado,e m = n pela hipótese indutiva. █ Os seguintes teoremas pode pareceróbvio, mas vamos precisar deles na próxima seção. Teorema3.4. Para quaisquer inteiros positivos m e n, m + n não é igual a m ou n. Proof.Usamos indução sobre n. Para n = 1, m + 1 não é igual a 1, porque não é uma sucessorade qualquer número inteiro positivo. Se m + n não é igual a n, n + m + 1 não é igual a n + 1 porque diferentes números inteiros não podem ter o mesmo sucessor. Uma vez disso é conmutativo, m + n, também não é igual a m. █ Teorema3.5. Para quaisquer inteiros positivos m e n, um e apenas um dos mantém o seguinte: • (1) m = n. • (2) Existe um número inteiro positivo p tal que m + p = n. • (3) Há um número inteiro q positivo tal que m = n + q. Proof.Teorema3.4 mostra que (1) é incompatível com (2) ou (3). Além disso,se (2) e (3) foram ambos verdadeira, então m = m + p + q, o que é impossívelpelo Teorema3.4. Isto mostra que apenas uma das condiçõespode conter. A outra parte é por indução duplo no m e n. Se m = n = 1, então (1) se mantém. Ora assumir que uma das condiçõesdetém. Se m = n então m e n + 1 obedeça(2) e m + 1 e n obedecer(3). Se m = n + p, consideram-se dois casos. Se p = 1, então m + n = 1, então m + 1 e n obedecer(1), e m e n + 1 obedeça(2) porque m + 1 + 1 = n + 1, então m + n = 2 . Se p é um não, então p = r + 1 para algum r, então m + r + 1 = n. Então m + 1 e n obedecer(2) e por isso, m e n + 1. A prova, no caso em que m = n + q é semelhante. MULTIPLICAÇÃO
  7. 7. A multiplicação de números inteiros positivos é outra operação familiar. Informalmente,multiplicação pode serdefinida como a adição repetida: mn = m + m + m + ... + m (n vezes) Isto sugere as seguintes propriedades formais: 1.m1 = m 2.m (n + 1) = Mn + m Existe apenas uma operação com essas propriedades. Teorema6.1. Há exatamente uma maneira de definir a multiplicação de números inteiros positivos tais que m1 = m e m (n + 1) = mn + m. Proof.Seja m um número inteiro positivo. Pelo Teorema2.3 há um fm função exclusiva de tal forma que: • fm (1) = m • fm (n + 1) = fm (n) + m para cada inteiro positivo n Nós definimos mn = fm (n). Em seguida, as propriedades desejadas segue directamente da definição de f. █ Multiplicação tem três propriedades que exigem prova. Teorema6.2. A multiplicação de inteiros positivos tem as seguintes propriedades: 1.m (n + p) = mn + mp (multiplicação é distributiva sobre a adição) 2.m (np) = (mn) p (multiplicação é associativa) 3.mn = nm (multiplicação é comutativa) Proof.Provamos distributividade por indução na p. Para p = 1 distributividade resulta do modo de multiplicação foi definido.Agora vamos supor que m (n + p) = mn + mp. Em seguida m (n + (p + 1)) = m ((n + p) 1) = m (n + p) + m = (mn + mp) + m = Mn + (mp + m) = Mn + m (p 1). Provamos associatividade por indução na p. Para p = 1 associatividade é trivial. Agora vamos supor m (np) = (mn) p. Em seguida m (n (p + 1)) = m = (np + n) m (np) + = Mn (Mn) p + = Mn (Mn) (p + 1). Provamos comutatividade em duas etapas. Primeiro, provamos por
  8. 8. indução em m que 1m = m1 = m. Para m = 1 é trivial. Agora vamos supor 1m = m. Em seguida 1 (m + 1) = 1 m + 1 = m + 1. Agora vamos provar que mn = nm por indução em n. Para n = 1, este é apenas o resultado comprovado.Agoravamos supor mn = nm. Em seguida m (n + 1) = mn + m = nm + m = m + m nm = (1 + n) = m (n + 1). █ Como a multiplicação é comutativa, distributividade funciona nos dois sentidos: • m (n + p) = mn + mp, • (n + p) m = nm + pm. Uma propriedadede multiplicação e ordenação é fácil provar: Teorema6.3. Se m, n, p e q são números inteiros positivos e m> n e p> q, em seguida, pf> nq. Proof.Por definição,não são inteiros positivos U e V tal que m = n + u e p = q + v. Pelas leis distributivas e associativas: mp = (n + u) (q + v) = (n + u) q + (n + u) v = nq + uq + nv + uv = nq + (uq + nv + uv). Daí MP> nq por definição.█

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