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Lista 2 matemática

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Lista 2 de exercícios de Matemática do 3º ano do ensino médio do Curso Monitor.

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Lista 2 matemática

  1. 1. 1 1) I. Falsa. Sendo ࢞ = 3,333 … 222 … 000 … com uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos a direita da vírgula iguais a 3, os 1.000.001 dígitos seguintes iguais a 2 e os restantes iguais a zero, então ࢞ é um número decimal exato, logo um número racional. II. Falsa. ଵ଴ ଷ = 3,333 … que é uma dízima periódica com infinitos 3 à direita da vírgula, então ࢞ < ଵ଴ ଷ . III. Verdadeira. Sendo ࢞ um número, que satisfaz 3 < ࢞ < 4, com uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3, os 1.000.001 dígitos seguintes iguais a 2 e os restantes iguais a zero, ࢞ ∙ 10ଽଽଽ.ଽଽଽାଵ.଴଴଴.଴଴ଵ = 333 … 222 … ⇒ ࢞ ∙ 10ଶ.଴଴଴.଴଴଴ = 333 … 222 … que é um número inteiro par. Resposta: Letra E. 2) As informações fornecidas permitem montar os seguintes diagramas: Resposta: Letra E. 3) Utilizando um diagrama de Venn, podemos inserir os valores fornecidos pelo problema: O número ࢔ de pessoas que respondeu a pesquisa corresponde ao somatório de todos os valores no diagrama: ࢔ = 5 + 10 + 15 + 30 + 20 + 40 + 80 + 50 ࢔ = 250 Resposta: Letra B. 4) A sequência de flexões abdominais que Júnior fez durante os 30 dias representa uma P.A. de razão 2: P. A. ሺ30, 32, 34, … , ܽଷ଴) ܽଷ଴ = ܽଵ + ሺ30 − 1) ∙ ‫ݎ‬ ܽଷ଴ = 30 + 29 ∙ 2 ܽଷ଴ = 88 Ao longo dos 30 dias, Júnior fez, ao todo: Sଷ଴ = ሺܽଵ + ܽଷ଴) ∙ 30 2 Sଷ଴ = ሺ30 + 88) ∙ 30 2 ∴ Sଷ଴ = 118 ∙ 30 2 Sଷ଴ = 1.770 Resposta: Letra E. 5) A sequência formada pelos números das senhas das pessoas que estavam na fila, incluindo a do último cliente que chegou ao banco, correspondia à seguinte progressão aritmética: ሺ37, 38, 39, … , 49) Após a desistência de algumas pessoas, formou-se a seguinte P.A., de razão ‫ݎ‬ e número de termos ݊: ሺ37, ܽଶ, ܽଷ, ܽସ, … , 49) ܽ௡ = ܽଵ + ሺ݊ − 1) ∙ ‫ݎ‬ 49 = 37 + ሺ݊ − 1) ∙ ‫ݎ‬ ∴ 12 = ሺ݊ − 1) ∙ ‫ݎ‬ ݊ = 12 ‫ݎ‬ + 1
  2. 2. 2 Como as senhas são números inteiros e há menos de 13 pessoas na fila, para obtermos o número máximo de pessoas na fila, ‫ݎ‬ deve ser igual a 2. Logo: ݊௠á௫. = 12 2 + 1 = 7 Reposta: Letra B. 6) O ݊-ésimo número retangular será criado a partir do ሺ݊ − 1)-ésimo número retangular ሺque possui ݇ números figurados) adicionando-se uma linha e uma coluna a este. Portanto, a quantidade de números figurados será: R௡ = ݇ + ݊ + ݊ = ݇ + 2݊ R௡ = R௡ିଵ + 2݊ Queremos encontrar ݊ de modo que, R௡ − R௡ିଵ = 100 Temos: R௡ − R௡ିଵ = 2݊ 2݊ = 100 ∴ ݊ = 50 Portanto, os dois números retangulares consecutivos cuja diferença seja 100 são o 49 e o 50. Como a questão pede o maior deles, será: Rହ଴. Resposta: Letra B. 7) Há alguns exercícios de análise combinatória que são solucionados mais facilmente subtraindo- se o total de casos possíveis do total de casos inválidos. Assim, temos: O total de senhas possíveis será: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100.000 O total de senhas inválidas será: 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30.240 O total de senhas válidas será: 100.000 − 30.240 = 69.760 Resposta: Letra A. 8) Antigamente, havia 10 possibilidades para cada dígito ሺalgarismos de 0 a 9). Após a recomendação do especialista além dessas 10 possibilidades, outras 52 seriam possíveis, sendo as 26 letras minúsculas e as 26 maiúsculas do alfabeto. Sendo a senha composta por 6 dígitos podendo repeti- los. Assim, temos: • Antigo número de possibilidades de senhas: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10଺ •••• Novo número de possibilidades de senhas: 62 × 62 × 62 × 62 × 62 × 62 = 62଺ Logo, o coeficiente de melhora da alteração recomendada será: ଺ଶల ଵ଴ల. Resposta: Letra A. 9) É importante salientar que o enunciado não deixa claro se as joias obtidas utilizando simetrias através de rotação de 180° ou reflexões, como abaixo, devem ser consideradas iguais ou distintas. Como há somente três cores disponíveis, existirão dois vértices com cores idênticas, que devem ser postos. Podemos ter então: Considerando que colares simétricos são iguais, com isso há três possibilidades nos dois primeiros casos e seis possibilidades no terceiro caso, isto é, 2 × 3 + 6 = 12. Resposta: Letra B.
  3. 3. 3 10) Primeiramente, são quantificadas as cores secundárias. Das três cores primárias devemos escolher duas; como a ordem de escolha não importa, trata-se de uma combinação, calculada por: Cଷ ଶ = 3! 2! 1! = 3 Portanto, são 3 primárias e 3 secundárias, 6 no total. Sendo que cada uma destas 6 pode estar no seu tom original, claro ou escuro, totalizando: 6 × 3 = 18 possibilidades Ainda devem ser contabilizadas as cores: preto e branco. Finalizando em 20 cores. Resposta: Letra C.

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