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  1. 1. Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
  2. 2. www.ceesvo.com.br 2 MÓDULO 6 Nesta U.E., você aprenderá um novo conjunto de números para representar situações em que apenas os elementos do conjunto N não são suficientes. Esse conjunto de números é denominado CONJUNTO DE NÚMEROS INTEIROS. OBJETIVOS: Ao final desta U.E., você deverá saber: Identificar Z como o conjunto N ampliado; Localizar na reta numerada os elementos de Z; Comparar dois números inteiros, utilizando os sinais , ou =; Escrever o simétrico de um número inteiro; Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro; Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir corretamente dois ou mais números inteiros; Efetuar corretamente a potência de um número inteiro; Efetuar a radiciação de um número inteiro. ROTEIRO: Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a resolução dos exemplos. Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em que se apresentam. NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO.
  3. 3. www.ceesvo.com.br 3 INTRODUÇÃO Com a evolução do homem foram aparecendo situações novas que não podiam ser representadas com os números conhecidos (números naturais). Por exemplo: Eu tenho R$23,00 para pagar uma dívida de R$28,00. Como fica o resultado dessa operação? R$23,00 – R$28,00 = ? Fiquei devendo R$5,00. Mas como você pode representar esse resultado? Os elementos (números) do conjunto N não servem porque nenhum deles representa uma quantidade menor que zero. Para solucionar essas situações foi necessário criar um outro conjunto de números. Assim surgiram os “números inteiros negativos” que representam perdas, dívidas, sentido oposto, etc. Dever 5 passou a ser representado por –5 (lê-se:5 negativo ou negativo 5 ). CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS OU NÚMEROS INTEIROS É o conjunto formado por todos os números positivos (infinito), o número zero e todos os números negativos (infinito). Foram criados os números: –1 (lê-se negativo um) –2 (lê-se negativo dois) –3 (lê-se negativo três) E assim sucessivamente. Esses números foram criados para representar quantidades menores que zero. Eles foram denominados números inteiros negativos. Os números inteiros negativos são: –1, –2, –3, –4, –5, –6,... Todo número precedido de sinal negativo (–) representa uma quantidade menor ( ) que zero. Ex.: -3 0 -5 0
  4. 4. www.ceesvo.com.br 4 Portanto o zero, por sua vez, é maior ( ) que qualquer número negativo, por isso: Ex.: 0 -2 0 -8 Os números naturais 1,2,3,4,5,6..., são números inteiros positivos e são representados pelo sinal (+). Isto é: 1 = +1, 2 = +2, 3 = +3; ... 10 = +10;... Os números positivos representam ganho, lucro, mesmo sentido. Z é o símbolo do conjunto dos números inteiros Z = ..., –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ... Os números inteiros negativos são tão úteis quanto os números inteiros positivos. Na realidade, você usou os números inteiros negativos em muitas ocasiões, sem chamá-los de números inteiros negativos. Veja algumas dessas situações: a) Distâncias à direita de um ponto marcado (ponto zero): 8 Km à direita (+8Km). Distâncias à esquerda do mesmo ponto marcado: 8 Km à esquerda (–8Km). b) Saldo bancário: Crédito de R$ 600,00 (+R$600,00). Débito de R$ 600,00 ( – R$600,00). c) Tempo antes e depois de uma data: 100 anos depois de Cristo (+100 anos). 100 anos antes de Cristo (–100 anos). d) Saldo de gols de uma equipe: 15 gols a favor (+15 gols). 15 gols contra ( – 15 gols). e) Temperatura ambiente: 18 graus acima de zero ( + 18º C). 18 graus abaixo de zero ( –18 º C). O número zero fica sem sinal. Não é positivo, nem negativo –8Km 0 +8Km Fica determinado que o número sem sinal é positivo.
  5. 5. www.ceesvo.com.br 5 Copie e responda no seu caderno: 1)Represente usando números inteiros positivos ou negativos: a) uma distância de 35 Km à direita de um ponto. (...........) b) uma temperatura de 29 graus abaixo de zero. (...........) c) um prejuízo de R$350,00. (................) d) um saldo de 8 gols a favor. (..............) 2)Pedro tem R$250,00 no banco. Qual será seu saldo: a) Se ele retirar R$ 150,00? b) Se ele retirar R$ 250,00? c) Se ele retirar R$ 280,00? d) Se ele depositar R$ 50,00? 3)Você tem R$ 600,00 no banco. Qual será seu saldo depois de efetuar as operações abaixo? a) depositou R$ 400,00 = ................ b) retirou R$200,00 = ..................... c) retirou R$150,00 = ..................... REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA Observe a reta numerada abaixo. Nela estão representados os números positivos e negativos. Perceba que para cada ponto marcado na reta está relacionado um número positivo ( à direita do zero) e um negativo (à esquerda do zero) a partir do ponto inicial ( número zero). ...–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7... Z O que você vê são alguns elementos de Z representados. Você sabe que a representação de todos os elementos é impossível, porque Z é um conjunto infinito, da mesma forma que a reta.
  6. 6. www.ceesvo.com.br 6 SIMÉTRICO DE UM NÚMERO INTEIRO -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z Observe na reta numerada a localização dos números +3 e –3. O que você percebeu? – Que os dois números estão a uma mesma distância em relação ao zero; – Que os números positivos podem ou não ser escritos acompanhados do sinal positivo. Os pares de números que estão a uma mesma distância do zero chamam-se opostos ou simétricos, logo o oposto de –3 é 3. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Chama-se módulo ou valor absoluto de um número a quantidade de unidades que existem do zero até ele, sem levar em conta a sua posição (esquerda ou direita). É o nº sem a representação do sinal. O módulo ou valor absoluto de um nº é representado por duas barras verticais. Por exemplo: –5 = 5 o módulo ou valor absoluto de –5 é 5, porque –5 está a 5 unidades do zero. Veja. 5 unidades -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z Qual é o módulo de +8? Como o +8 está a 8 unidades do zero, o módulo de 8 é 8. Não importa o número ser positivo ou negativo, pois o seu valor absoluto representa apenas a quantidade. Copie e resolva em seu caderno: 4)Complete com o valor absoluto dos números: a) 10 = ........... b) o valor absoluto de 15 é .......... c) 6 = ......... d) o módulo de –3 é igual a: .........
  7. 7. www.ceesvo.com.br 7 COMPARAÇÃO ENTRE NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS Você aprendeu que todos os números negativos são menores que zero portanto também são menores que qualquer número positivo. Comparando dois números negativos podemos dizer que quanto mais distante o nº negativo está do zero menor ( < ) ele é. Comparando dois números positivos podemos dizer que quanto mais distante o nº positivo está do zero maior ( > ) ele é. Os números inteiros (positivos e negativos) se tornam maiores quando a localização, na reta geométrica, está da esquerda para a direita. Ex.: –4 < –1 < 0 < +5 < +8 –4 –1 0 +5 +8 crescendo ou aumentando Copie e resolva em seu caderno: 5) Copie e complete no seu caderno, utilizando os sinais (maior) ou (menor) : a) 3 ...... –5 d) –5 ......... 0 b) –2 ...... –3 e) 0 ......... – 4 c) –4 ......+ 6 f) –3 ......... –2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: ADIÇÃO OU SOMA: Quando somar? Quando temos que “juntar” dois ou mais números positivos ( créditos) ou dois ou mais números negativos (débitos). Para adicionar (somar) basta usar a seguinte associação: Crédito com crédito, soma e resulta crédito (positivo com positivo = +) Exemplo: +5+6 = +11
  8. 8. www.ceesvo.com.br 8 Débito com débito, soma e resulta débito ( negativo com negativo = - ) Exemplo: Você tem R$ 400,00 na conta corrente e deposita R$100,00. O resultado será crédito de R$500,00 +400 +100 = +500 Você tem um débito de R$400,00 nas Casas Bahia e um débito de R$100,00 na Loja Riachuelo. O resultado será um débito de R$500,00. –400 –100= –500 SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA: Quando subtrair? Quando temos que saber a diferença (o que vai sobrar) entre a quantidade de números positivos (créditos) e a quantidade de números negativos (débitos) nas seguintes situações: +8-12=-4 -8+12=+4 O senhor Silva tinha R$ 200,00 na conta bancária, mas foi descontado um cheque de R$500,00. O resultado será um débito de R$300, 00, pois a quantidade de débito é maior do que o crédito. Veja o extrato bancário: +200 –500 = –300 Você tem um débito de R$70,00 e tem R$100,00 na carteira. O resultado será um crédito de R$30,00. –70 +100 = +30 Exemplos de situações: Ex.1: Tenho R$ 12,00 e gastei R$ 8,00 no supermercado. Quanto sobrou? Crédito ou débito? Se você respondeu que sobrou R$ 4,00, acertou, pois: + 12 - 8 = + 4
  9. 9. www.ceesvo.com.br 9 Ex.2: Devo R$ 8,00 na padaria e R$ 15,00 no açougue. Tenho débito ou crédito? Quanto? Solução: Como tenho duas dívidas, devo somá-las e ficarei com dívida de 23. Assim: – 8 –15 = –23 Logo, devo R$ 23,00 ou seja, –23 ( valor negativo). Regra Prática * Débito (–) maior que o crédito (+), fico com débito (–). Ex.: –10 + 8 = –2 *Crédito (+) maior que o débito (–), fico com crédito (+). Ex.: +10 –8 = + 2 *Débito (–) mais débito(–) dá débito (–). Ex.: –2 – 6 = –8 *Crédito (+) mais crédito(+) dá crédito (+). Ex.: +3 + 4= +7 Eliminação de parênteses Um número só pode ter um sinal. Se houver dois sinais antes do número fazemos o “jogo” dos sinais: Dois sinais iguais resulta positivo Dois sinais diferentes resulta negativo Observe os exemplos: – (+ 3) = –3 sinais diferentes = negativo ( – ) + ( –3 ) = –3 – (– 3) = +3 sinais iguais = positivo ( + ) + ( +3 ) = +3 A mesma regra você aplica nas operações que têm parênteses: 1º) elimina os parênteses fazendo o “jogo” de sinais. 2º) resolve verificando os sinais de cada nº. Jogo dos Sinais
  10. 10. www.ceesvo.com.br 10 1º Ex.: (+2) + (–7) = +2 – 7 = – 5 2º Ex.: (+2) – (+7) = +2 –7 = -5 3º Ex.: (+3) + (+8) = +3 + 8 = + 11 4º Ex.: (+3) -– (–8) = +3 + 8 = + 11 Copie e resolva em seu caderno: 6) Resolva os exercícios em seu caderno, eliminando os parênteses com o “jogo de sinais”: a) ( + 4 ) + ( + 5 ) = b) (+ 4 ) + ( - 6 ) = c) (– 4 ) + ( - 8 ) = d) (+ 3 ) – (+ 5 ) = e) ( + 4 ) – ( - 5) = f) (–7 ) – ( - 10) = MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: Regras: Sinais Iguais , resultado Positivo. Ex.: (+3) (+2) = + 6 ( 3 ) ( 2) = + 6 Sinais Diferentes , resultado Negativo. Ex.: (+3) ( 2) = 6 ( 3) (+2) = 6 Perceba que a regra dos sinais da multiplicação e divisão é a mesma usada na eliminação dos parênteses. Não esqueça de eliminar os parênteses em cada exercício. Dois sinais diferentes resulta Dois sinais iguais resulta +
  11. 11. www.ceesvo.com.br 11 Copie e resolva em seu caderno: 7) Resolva as multiplicações e divisões em seu caderno observando os sinais. a) ( + 4 ) . ( + 3 ) = b) ( 8 ) . ( 1 ) = c) ( + 9 ) : ( 3 ) = d) ( 6 ) : ( 6 ) = POTENCIAÇÃO (multiplicação com o mesmo número e sinal) Como a potenciação é um produto de fatores iguais, aplicamos as mesmas regras de sinais observadas na multiplicação. Ex.: 1) (+5)² = (+5) (+5) = + 25 2) ( 4)³ = ( 4) . ( 4) ( 4) = 64 IMPORTANTE: Qualquer número inteiro, elevado a um expoente par, tem como potência um número positivo. Ex.: (+2)4 = +16 pois +2 . +2 . +2 . +2 = +16 (-3)²= +9 pois –3 . –3 = +9 Qualquer número inteiro, elevado a um expoente ímpar, tem como potência (resultado) um número com o mesmo sinal da base. Ex.: (+3) ³ = +27 pois +3 . +3 . +3 = + 27 (-2) ³ = -8 pois –2 . –2 . –2 = -8 . Sinais iguais = + Observe algumas potências especiais: Sinais diferentes =
  12. 12. www.ceesvo.com.br 12 a) Todo número elevado a zero é igual a um. (+7)0 = 1 b) Todo número elevado a um é igual ao próprio número. (+7)1 = +7 c) Toda potência de 10 é calculada escrevendo o número 1 acompanhado de tantos zeros quanto for o nº do expoente. 104 = 10000 102 = 100 Copie e resolva em seu caderno: 9) Copie e responda em seu caderno: a) ( + 3 )3 = d) ( + 8 ) 0 = b) ( -2 ) 4 = e) ( - 7 ) 1 = c) ( -1 ) 3 = f) 10 5 = RADICIAÇÃO É a operação inversa da potenciação Ex. 1: 25 = 5 porque (+ 5 ) 2 = 25, pois 5 5 = 25 ou 5 porque ( 5 ) 2 = 5 5= +25 Ex. 2: 83 = 2 2 3 = 8 83 = 2 ( 2 ) 3 = 8 Ex. 3: -4 = Como qualquer nº elevado ao quadrado é sempre positivo, não existe ( ) raiz quadrada de um numero negativo. 2 ATENÇÃO: Na raiz quadrada não é necessário escrever o nº 2 no índice. 162 = 16
  13. 13. www.ceesvo.com.br 13 Utilize o resumo das regras de sinais para resolver os exercícios de fixação: REGRA DE SINAIS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ) SOMAM-SE OS NÚMEROS E CONSERVA-SE O SINAL. EX.: + 3 + 5 = + 8 EX.: – 3 – 5 = – 8 SINAIS DIFERENTES ( + – ) SUBTRAEM-SE OS NÚMEROS E DÁ O SINAL DO MAIOR NÚMERO. EX.: + 3 – 5 = – 2 EX.: – 3 + 5 = + 2 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ): resultado + EX.:( + 6 ) • ( + 2 ) = + 12 – – + EX.:( – 6 ) ÷ ( – 2 ) = + 3 + – – SINAIS DIFERENTES ( + – ): resultado – EX.: ( + 6 ) • ( – 2 ) = – 12 + – – EX.: ( – 6 ) ÷ ( + 2 ) = – 3 – + –
  14. 14. www.ceesvo.com.br 14 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Copie e resolva em seu caderno: 1)Relacione as temperaturas da tabela com os itens abaixo: 36,5ºC 18ºC 6000ºC 3ºC 58ºC 88ºC 0ºC a) Freezer = ...... b) Superfície do sol = ...... c) Recorde mundial de frio ( pólo sul )= ..... d) Temperatura normal do corpo humano= ...... e) Recorde Mundial de calor ( Líbia )= .... f) Temperatura em que a água transforma-se em gelo= .. g) Congelador da geladeira= .... 2) O gráfico mostra os lucros e prejuízos de um supermercado no 1º semestre de 1999. a) Em que mês o prejuízo foi de - 30 milhões de reais? ........................... b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais? ............................... c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro? .............................. 3) Complete os pontilhados eliminando os parênteses e efetue as operações indicadas: a) (+2) + (+6) = ......... e) (+6) – (+3) = ............ b) (+7) + (-3) = .......... f) (-7) – ( -4) = .............. c) (-9) + (+5) = .......... g) (-8) – (+2) = ............. d) (-3) + (-4) = ........... h) (+2) – (+5) = ............ Em alguns meses houve lucro e em outros prejuízos.
  15. 15. www.ceesvo.com.br 15 4) Resolva as multiplicações e divisões observando as regras dos sinais: a) ( -2) . (-5) = b) ( +4) . ( -2 ) = c) ( + 6 ) : ( + 6 ) = d) (- 50 ) : ( +10 ) = 5) Efetue as seguintes potências e radiciações : a) (-1) ³ = .............. e) 36 = .............. b) (-2) 6 = ............. f) 273 = ................ c) (+5)2 = .............. g) 16 = d) (-5) 0 = .............. h) 3 27 = GABARITO: ESTE MÓDULO NÃO TEM RESPOSTAS. FAÇA A CORREÇÃO COM O PROFESSOR.
  16. 16. www.ceesvo.com.br 16 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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