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MÓDULO 1
ROTEIRO DE ESTUDOS:
Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a
resolução dos exemplos.
Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em que se
apresentam.
OBJETIVOS
Ao final deste módulo você deverá saber:
Utilizar os sinais =, , e para estabelecer relações entre dois números;
Ordenar uma série de números naturais em ordem crescente ou
decrescente;
Solucionar expressões numéricas simples, envolvendo adição, subtração,
multiplicação e divisão;
Determinar o valor de uma parcela desconhecida em adições, subtrações,
multiplicações e divisões;
Escrever corretamente a leitura de um número no sistema de numeração
decimal;
Escrever a leitura de um número no sistema de numeração Romano.
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ATENÇÃO...
A leitura começa da
esquerda para a direita.
O sinal usado para a multiplicação é o
ponto ( )
NÚMEROS... O QUE REPRESENTAM?
O homem vive cercado pelos números: horário de trabalho, velocidade e
consumo do automóvel, salário a receber, impostos e serviços a pagar, contagem
de um jogo de futebol, recordes nas competições, etc. Portanto, os números
representam um papel importante no mundo em que vivemos.
Em qualquer situação os números representam quantidades que podem
ser comparadas, isto é, podem ser iguais ou diferentes.
1º Exemplo:
O dobro de três é igual a seis.
2 3 = 6
6 =6
Existe uma igualdade (=) entre os dois números, pois ambos representam a
mesma quantidade.
2º Exemplo: O dobro de seis não é oito, então é diferente.
2 3 8
6 8 (não representam a mesma quantidade)
Quando existe o “diferente” podemos pensar em duas situações: ou o
número é maior (>) ou é menor (<) então, nesse caso 6 < 8 (seis é menor do
que oito).
Comparando os números abaixo podemos escrever usando os
símbolos de matemática:
3 é menor do que 7 3 < 7
6 é maior do que 2 6 > 2
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Copie e responda em seu caderno:
1) Complete com os sinais adequados fazendo as comparações entre os
números:
a) 4 ........ 8 b) 9 ......... 3 3 c) 15......10
Confira as respostas no GABARITO ( final do módulo)
De acordo com a quantidade que representam, os números podem ser
escritos em ORDEM CRESCENTE ou ORDEM DECRESCENTE.
Uma série de números está em ordem crescente se o primeiro número for
menor que o segundo, o segundo menor que o terceiro, o terceiro menor que o
quarto, e assim por diante.
Uma série de números está em ordem decrescente se o primeiro nº for
maior que o segundo, o segundo for maior que o terceiro, o terceiro maior que o
quarto, e assim sucessivamente.
Ex.: A série (13, 10, 8, 4,2) está em ordem decrescente, pois:
13 > 10, 10 > 8, 8 > 4 e 4 > 2.
Copie e resolva os exercícios em seu caderno:
2) Escreva em ordem crescente, as séries dos seguintes números::
a) (3,4,8,7,6) b) (9,3,7,4,10,0)
1º
1º
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3) Paula, Ana e Guilherme são irmãos e apresentam as seguintes alturas:
Paula = 131 cm ; Ana = 90 cm e Guilherme = 158 cm. Coloque as pessoas
citadas em ordem decrescente de acordo com suas alturas.
Confira suas respostas no GABARITO.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Chama-se sistema de numeração as regras que permitem ler e escrever um
número.
Há vários sistemas de numeração. Ao contar unidades em grupos de 2,
trabalha-se no sistema de numeração de base 2.Os computadores utilizam esse
sistema, que é chamado sistema de numeração binário.
O sistema de numeração usado em nosso País é o que agrupa de 10 em 10
( sistema de numeração decimal).
.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
O sistema de numeração decimal, é o sistema de numeração na base 10,
isto é, aquele que agrupa de 10 em 10. Nesse sistema, utilizam-se 10 algarismos
que são os símbolos matemáticos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 para se escrever qualquer
número.
Os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 são os algarismos significativos.
Observe:
Classes
1 4 5 6 4 8
Copie e responda o exercício em seu caderno:
4) Escreva a leitura dos números: 208, 1243, 45736, 2365970.
Confira suas respostas no GABARITO.
ANA GUILHERME PAULA
unidadesmil
ATENÇÃO...
Não use o ponto ( )
para fazer a
separação da classe
dos “mil”. Isso não
existe.
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SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO
Até o século XIII, quando os árabes introduziram na Europa os símbolos
indo-arábicos, os Europeus usavam o sistema romano de numeração para
escrever os seus números.
Guerreiros e conquistadores, os romanos eram donos de um vasto império,
lidando com grandes quantidades.
Essa necessidade levou-os a estabelecer um sistema de numeração
baseado em sete letras de seu alfabeto.
Quatro fundamentais: I X C M
(1) (10) (100) (1000)
Três intermediárias: V L D
(5) (50) (500)
Usando essas letras, os romanos escreviam seus números de acordo com as
seguintes estruturas:
a) Os símbolos ( ou letras) fundamentais podiam ser repetidos, no máximo três
vezes. De acordo com essa idéia, os romanos escreviam:
1=I 10 = X 100 = C 1000 = M
2 = II 20 = XX 200 = CC 2000 = MM
3 = III 30 = XXX 300 = CCC 3000 = MMM
b) Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indicava um,
a subtração dos respectivos valores; assim, os romanos escreviam:
4 = 5 -1 = IV 40= 50-10 = XL 400 = 500 -100 = CD
9 = 10-1 = IX 90=100 -10 = XC 900 = 1000 - 100 = CM
É conveniente notar que:
I pode ser subtraído apenas de V e X.
X pode ser subtraído apenas de L e C.
C pode ser subtraído apenas de D e M.
Os símbolos V, L, D nunca podem ser subtraídos.
c) Para representação de outros números, os romanos usavam a adição, ou seja,
os valores eram adicionados conforme você vai ver nos seguintes exemplos:
6 = 5 + 1 = VI 37 = 30 + 7 = XXXVII 15 = 10 + 5 = XV
254 = 200 + 50 + 4 = CCLIV
Os romanos não usavam símbolos para representar o número natural zero.
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Atualmente, o sistema romano de numeração é pouco usado; ele é
empregado:
Nos mostradores de relógios;
Na numeração dos capítulos de um livro;
Na designação, pela ordem cronológica, de reis e
papas de mesmo nome.
Copie e responda em seu caderno:
5) Escreva usando os nossos algarismos os números romanos: XX, XXXII,
CX, XXIV.
Confira suas respostas no GABARITO.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Quando tem que resolver mais de uma operação (conta) para se chegar ao
resultado, dizemos que existe uma expressão numérica.
Exemplo 1:
Maria foi ao açougue e comprou 2 quilos de carne moída, 3 quilos de
frango e 1 quilo de costela. No almoço gastou 2 quilos de frango. Com quantos
quilos de carne Maria ficou?
2 + 3 + 1 – 2 =
5 + 1 – 2=
6 – 2=
4 Logo Maria ainda tem 4 quilos de carne em sua casa.
Uma seqüência de operações indicadas chama-se expressão numérica.
Existe uma ordem para se resolver uma expressão numérica que envolva as
quatro operações:
- Primeiro as multiplicações e divisões,
- Em seguida as adições (soma) ou subtrações na ordem que estão, da
esquerda para a direita.
Veja a resolução de uma expressão numérica que envolva apenas adição e
subtração:
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3 + 4 + 6 – 2 – 3=
7 + 6 – 2 – 3=
13 - 2 – 3=
11 – 3 = 8
Copie e resolva em seu caderno escrevendo a expressão numérica:
6) Pedro trabalhou um dia e ganhou 15 reais, no outro dia ganhou 18 reais
e gastou 13 reais. Quanto dinheiro Pedro possui?
(Veja o exemplo da página anterior)
Confira a resposta no GABARITO
Leia com atenção o exemplo abaixo :
RESOLVE A OPERAÇÃO QUE ESTÁ EM
PRIMEIRO LUGAR ( da esquerda para a direita).
O símbolo usado para a
multiplicação não é X e
sim o ponto ( )
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Para resolver uma expressão numérica que envolve adição, subtração
multiplicação e divisão você deve efetuar:
1- As multiplicações e/ou divisões.
2- As adições e/ou subtrações, conforme os passos estudados no caso
anterior.
Copie e resolva em seu caderno:
7) Quatro amigos foram tomar lanche e devoraram 3 cheesburgers, 3
americanos e 2 porções de fritas. Tomaram também 2 sucos de melão e 3 de
laranja. Depois dividiram igualmente as despesas. Quanto cada um pagou?
Escreva a expressão numérica que representa a conta dos amigos e resolva
de acordo com a tabela de preços abaixo.
PRODUTO PREÇO
Cheesburger 4,00
Americano 3,00
Fritas 2,00
Suco melão 2,00
Suco laranja 1,00
Exemplo de uma expressão numérica: 4 + 5 2 + 12 : 4 – 3 =
A expressão acima contém as 4 operações ( + , - , , : ) e para resolvê-la
deve-se iniciar pela multiplicação e/ou divisão .
4 + 5 2 + 12 : 4 – 3 =
4 + 10 + 3 - 3 =
14 + 3 - 3 =
17 - 3 = 14
Escreva o seguinte problema em forma de expressão numérica: Miguel foi a
feira e comprou 2 quilos de tomate e 5 quilos de batata. Quanto gastou?
1 quilo de tomate 2 reais
1 quilo de batata 1 real
Agora efetuam-se as
adições e subtrações
conforme a ordem
apresentada.
Tabela de Preços
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Se você encontrou 9, acertou.
2 2 + 5 1 pois são 2 quilos de tomate ( a 2 reais o quilo) mais 5 quilos
de batata ( a 1 real o quilo).
4 + 5 = 9 logo Miguel gastou 9 reais.
Copie e resolva em seu caderno:
8) Para fixar o que você aprendeu, resolva as expressões numéricas a seguir
no seu caderno.
a) 34 – 25 + 12 =
b) 23 + 12 : 6 – 3 3 =
c) 3 5 + 4 2 – 8 : 2 =
d) 20 – 35 : 7 =
9) Represente e resolva a seguinte compra no açougue através de uma
expressão numérica: 2 Quilos de Fraldinha, 3 quilos de carne moída, 1 frango de
2 Quilos.
Tabela de preços: 1 Quilo fraldinha = 8 reais
1 Quilo de frango = 2 reais
1 Quilo de carne moída = 7 reais.
Confira as respostas no GABARITO.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM PARÊNTESES
Para resolver expressões numéricas que possuam parênteses você deve
resolver primeiramente a ou as operações indicadas que estão dentro do
parênteses , assim:
1º Exemplo: 33 – 5 ( 4 + 2 )
33 – 5 6
33 – 30 = 3 Logo, o resultado da expressão é 3.
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2º Exemplo: Acompanhe a resolução
4 + 7 (6 – 3 : 3 )= 1º a divisão do parênteses
4 + 7 (6 - 1 ) = 2º a subtração do parênteses
4 + 7 5 = 3º a multiplicação
4 + 35 = 39 4º a adição
Copie e resolva em seu caderno:
10) Resolva as seguintes expressões, em seu caderno, lembrando que em
primeiro lugar resolvem-se os parênteses (observando a ordem das
operações que estão dentro dele), depois as multiplicações e/ou divisões e
por último adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
a) 34 – ( 15 – 3 2 ) + 11 =
b) 125 – 6 ( 4 + 1 ) =
c) 15 + ( 17 – 8 – 5 ) – 3 =
d) 32 : 8 – 1 4
Confira as respostas no GABARITO.
DETERMINAÇÃO DE UM VALOR DESCONHECIDO
Veja alguns exemplos de ações inversas:
Calçar os sapatos e tirar os sapatos.
Abrir a porta e fechar a porta.
Na matemática, acontecem situações parecidas, em que uma ação desfaz a
outra, mas tudo fica igual ao que era antes. Por isso dizemos que subtrair 3 e
somar 3 são operações inversas.
Adição e Subtração: são operações inversas
A operação adição é inversa da operação subtração e vice-versa.
Exemplo 1:
Pensei em um nº; tirei 10 e deu 15. Em que nº pensei?
A ação pode ser representada assim:
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Resolução: ? - 10 = 15 , para descobrir o nº, pensamos na ação inversa ou
operação inversa da subtração que é a adição.
15 + 10 = ?
25 = ? Conclusão: pensei no nº 25
A adição consiste em juntar elementos e formar um todo, enquanto a
subtração consiste em se tirar elementos do todo.
Veja: 5+2 = 7 e 7 – 2 = 5
Nas duas operações os números envolvidos são os mesmos e, por isso,
dizemos que, se 5 + 2 = 7, pela operação inversa, temos:
7 – 2 = 5.
Se, numa adição, uma das parcelas for conhecida, é possível, através da
operação inversa, determinar o valor da outra parcela .
1º Exemplo: Qual foi o troco que Pedro trouxe da feira, sabendo que gastou 6
reais e a quantia que possuía era de 10 reais ?
Vamos representar a parcela desconhecida ( troco) por um símbolo qualquer que
não seja um algarismo.
+ 6 = 10 Aplica-se a operação inversa
10 – 6 =
4 =
Portanto, 4 é o valor da parcela desconhecida, no caso o troco de Pedro.
Exemplo 2 : Qual o nº que subtraído de 2 é igual a 5 ?
Vamos representar o nº desconhecido por K.
K – 2 = 5 Aplicando a operação inversa da subtração, que é a adição, temos:
5 + 2 = K , logo o valor de K é 7. ou K = 7
Copie e resolva em seu caderno:
11) Determine o valor desconhecido:
a) + 12 = 15 b) 5 + X = 13 c) - 8 = 3 d) X – 10 = 4
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12) Quantas bonecas Ana tinha se deu 3 para uma amiga e ainda ficou com 5?
Confira as respostas no GABARITO.
Multiplicação e Divisão: são operações inversas
A operação divisão é inversa da multiplicação e vice-versa.
Veja: 5 2 = 10 e 10 : 2 = 5 ou 10 : 5 = 2
Nas operações indicadas, os números envolvidos são os mesmos, por isso,
dizemos que se:
5 2 = 10, pela operação inversa 10 : 2 = 5 ou
5 2 = 10, pela operação inversa 10 : 5 = 2
Se, numa multiplicação um dos fatores não for conhecido, é possível você
determiná-lo através da operação inversa.
1º EXEMPLO:
Qual o nº que multiplicado por 8 é 32 ?
Representando o número desconhecido por um símbolo qualquer, que não
seja um algarismo, temos:
8 = 32 Aplicando a operação inversa: 32 : 8 =
4 =
Portanto, 4 é o valor do termo desconhecido.
2º Exemplo: Temos 12 litros de leite em cada caixa. Quantas caixas são
necessárias para acomodar 60 litros?
12 ? = 60 onde ? = nº de caixas
? = 60 : 12
? = 5
Assim os 60 litros estão distribuídos em 5 caixas.
Copie e resolva os exercícios em seu caderno:
13) Determine o valor desconhecido:
a) X : 7 = 63 b) 6 Q = 18
Confira suas respostas no GABARITO.
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GABARITO
1) a) 4 < 8 b) 9 = 3 3 c) 15 > 10
2) a) 3< 4 < 6 < 7 < 8 b) 0 < 3 < 4 < 7 < 9 < 10
3) Guilherme > Paula > Ana
4) Duzentos e oito ;
Um mil, duzentos e quarenta e três;
Quarenta e cinco mil, setecentos e trinta e seis.
Dois milhões, trezentos e sessenta e cinco mil, novecentos e setenta;
5) 20, 32, 110, 24
6) 20
7) 8
8) a) 21 b) 16 c) 19 d) 15
9) 41
10) a) 36 b) 95 c) 16 d) 0
11) a) = 3 b) X = 8 c) = 11 d) X = 14
12) = 8
13) a) X = 441 b) Q = 3
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MÓDULO 2
OBJETIVOS:
Associar a potência de números naturais à multiplicação de fatores iguais;
Calcular as potências;
Reconhecer e calcular potências de expoentes 0 e 1;
Identificar a raiz quadrada como operação inversa da potenciação;
Calcular a raiz quadrada;
Calcular o valor de expressões numéricas com potenciação.
ROTEIRO DE ESTUDOS
- Leia atentamente as explicações do módulo e acompanhe os exemplos
resolvidos. Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência que se
apresentam e confira suas respostas no GABARITO.
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No módulo 1 você estudou as 4 operações ( adição, subtração,
multiplicação e divisão) e já sabe resolver problemas simples de aplicação
dessas operações.
Agora, neste módulo, você vai aprender uma nova operação: a
potenciação e sua operação inversa, a radiciação.
POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma
multiplicação com o mesmo número.
Considere a seguinte situação :
Numa Olimpíada Cultural participam 5 colégios.
De cada colégio participam 5 turmas.
Em cada turma há 5 alunos.
Para você saber quantos alunos vão participar dessa Olimpíada, basta você
fazer:
5 5 5 = 125
SAIBA QUE:
5 5 5 representa um produto ( multiplicação) de 3 fatores iguais.
Em Matemática essa multiplicação de mesmo número é escrita usando a
operação de potenciação e é representado por 53
.
Então: 53
= 125 pois é a multiplicação do nº 5 por ele mesmo: 5 5 5
ELEMENTOS DA POTENCIAÇÃO
O fator ( número ) que se repete chama-se base; no caso do exemplo
acima é o 5.
O número que mostra a quantidade de números que se repetem
chama-se expoente, no caso o nº 3.
O número 125 que é o resultado da operação chama-se potência.
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A operação realizada, que é uma multiplicação de fatores iguais, chama-se
potenciação.
53
= 125
Veja outro exemplo:
25
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 O nº 5 não entra na conta, apenas mostra quantas
vezes se multiplica o número que está na base (o número de baixo) .
Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Ex.: 51
= 5 71
= 7 101
= 10
Todo nº elevado a zero é igual a 1.
Ex;: 50
= 1 40
= 1 100
= 1
Toda potência de base 10 tem como resultado o número 1
seguido de tantos zeros quanto indica o número da base
Exemplo: 106
= 1000000 102
= 100 103
= 1000
LEITURA:
Quando o expoente (número de cima) é 2, lê-se elevado ao quadrado.
7² = sete elevado ao quadrado
Quando o expoente é 3, lê-se elevado ao cubo.
53
= cinco elevado ao cubo.
Nos demais casos (expoentes maiores que 3 ), lemos:
24
= dois elevado a 4ª potência
105
= dez elevado a 5ª potência
expoente
base potência
Mostra quantas vezes se repete a
Multiplicação do número que está
na base: 5 5 5 = 125
5 fatores
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Copie e resolva em seu caderno:
1 ) Determine as potências de:
a) 3² = e) 4² = i) 5² =
b) 2 elevado ao cubo = f) 10³ = j) 34 =
c) 71
= g) 24
= k) 6³=
d) 100
= h) 6² = l) 9² =
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO
Para calcular o valor da expressão numérica você deve seguir os
seguintes passos:
1º Resolver as potenciações em primeiro lugar.
2º Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.
3º Efetuar as adições e subtrações obedecendo a ordem em aparecem.
EXEMPLO:
4² : 8 + 34
=
16 : 8 + 81=
2 + 81 = 83
Copie e resolva em seu caderno:
2) Observando o exemplo acima calcule o resultado da expressão:
a )103
: 5² 24
=
b) 131
– 6² : 2² =
Você estudou as operações inversas no módulo 1. O inverso da adição é
a subtração, da divisão é a multiplicação e o inverso da potenciação é a
radiciação.
4² = 4 4 = 16
34
= 3. 3 3 3 = 81
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Exemplos:
981 porque o inverso é 9² = 9 9 = 81
Pense em um nº que multiplicado por ele mesmo
dá 81.
525 porque o inverso é 5² = 5 X 5 = 25
RADICIAÇÃO: é a operação inversa da potenciação.
2
16 = 4 lê-se : a raiz quadrada de 16 é igual a 4.
Copie e resolva em seu caderno
3) Determine o resultado das raízes quadradas abaixo:
a) 4 = e) 36 = i) 100 =
b) 9 = f) 49 =
c) 16 = g) 64 =
d) 25 = h) 81=
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM RAIZ QUADRADA
Exemplo:
20 + 64 3 =
20 + 8 3 =
20 + 24 = 44
índice
radicando
raiz
radical
O ÍNDICE 2 NÃO
PRECISA SER
ESCRITO
864 pois 8 8=64
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2º Exemplo:
40 – 32
2 + 36 =
40 - 9 2 + 6 =
40 – 18 + 6 =
22 + 6 = 28
Copie e responda em seu caderno:
4) Calcule o resultado da expressão numérica:
62
+ 16 3 =
Confira as respostas no GABARITO
GABARITO
1) a) 9 d) 1 g) 16 j) 81
b) 8 e) 16 h) 36 k) 216
c) 7 f) 1000 i) 25 l) 81
2) a) 640 b) 4
3) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 6 f) 7 g) 8 h) 9 i)10
4) 48
32
= 3 3 = 9
636 pois 6 6 = 36
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MÓDULO 3
OBJETIVOS:
Ao final desta U.E., você deverá saber:
Identificar décimos, centésimos e milésimos, como a décima, centésima e
milésima partem de um inteiro;
Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois numerais decimais com
representação até milésimos;
Multiplicar e dividir corretamente um numeral decimal com representação
até milésimos por 10, 100, 1000.
ROTEIRO DE ESTUDOS:
Leia atentamente as explicações do módulo, copie e resolva os exercícios
em seu caderno na seqüência apresentada e confira suas respostas no
GABARITO.
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0,5(metade de 10)
INTRODUÇÃO
Na sua vida cotidiana há muitas situações em que os números naturais
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...) não são suficientes. Por exemplo:
Ao medir um objeto qualquer você sempre obtém um número exato ou
normalmente “sobra” uma parte? Como você escreveria esse número para
representar essa medida?
Esse número formado pelo “inteiro” e as “partes” é denominado nº decimal
e é usado para facilitar e uniformizar as medidas ou valores não inteiros. Os
números que representam as “partes” do inteiro são chamados de casas
decimais.
NUMERAIS DECIMAIS
Os numerais decimais podem apresentar “partes” em décimos,
centésimos ou milésimos.
DÉCIMOS
Considere uma figura como um inteiro e divida em 10 partes iguais, cada
parte será chamada 1 décimo e será representada por 0,1.(nº decimal) ou
10
1
(nº
fracionário) que você estudará no módulo 7.
Um décimo (0,1) é a representação de uma das partes de um inteiro
dividido em 10 partes iguais.
Cinco décimos (0,5) representam cinco fatias da pizza que foi dividida em
10 partes iguais (décimo)
25 décimos = 10 + 10 + 5 e por isso, 25 décimos são 2 inteiros e 5 décimos
e sua representação é 2,5.
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Observe: 25 décimos =
10
25
portanto é 25 10
O “inteiro” é representado pelo número escrito antes (à esquerda) da
vírgula e a parte decimal após a vírgula, também chamado casas decimais.
Copie e resolva em seu caderno:
1) Escreva no seu caderno os símbolos dos numerais decimais:
a) oito décimos
b) sete inteiros e dois décimos
c) cento e oitenta inteiros e dois décimos.
Confira as respostas no GABARITO.
CENTÉSIMOS
Se você considerar uma figura como inteiro e dividirmos essa unidade em
100 partes iguais, cada parte é chamada de 1 centésimo e é representada por
0,01.
Um centésimo é a representação de uma das partes de um inteiro dividido em
100 partes iguais.
Ex.: 2 centésimos = 0,02
30 centésimos = 0,30.
325 centésimos = 3,25 , portanto 325 100
–300 3 inteiros
25 centésimos.
Como exemplo de inteiro dividido em centésimos (100 partes ) há:
1- O METRO: a unidade de medida dividida em 100 partes iguais (centímetro).
Ex. 2,35m = 2 metros e 35 centímetros.
2- Nossa MOEDA ou dinheiro: um real está dividido em 100 centavos.
Ex. R$ 5, 60 = cinco reais e sessenta centavos.
-20 2 inteiros
5 décimos
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Copie e resolva em seu caderno:
2) Escreva em símbolos no seu caderno:
a) oito centésimos
b) setenta centésimos
c) dois inteiros e trinta centésimos
d) dez inteiros e dez centésimos
Confira as respostas no GABARITO.
MILÉSIMOS
Ao definir décimos, você dividiu o inteiro em dez partes iguais e para
centésimos dividiu o inteiro em 100 partes iguais. Para você definir milésimos,
divida o inteiro em mil partes iguais. Cada parte é chamada de 1 milésimo e é
representada por 0,001.
Um milésimo é uma das partes do inteiro que foi dividido em mil partes iguais.
Ex.: 2354 milésimos são representados por 2,354 e é lido dois inteiros,
trezentos e cinqüenta e quatro milésimos.
Copie e resolva em seu caderno:
3) Agora, escreva no seu caderno os numerais a seguir, usando símbolos:
a) trezentos e trinta e dois milésimos
b) quarenta e cinco milésimos
c) dois inteiros e trinta milésimos
d) seis inteiros e quatro milésimos
Confira as suas respostas no GABARITO.
1 metro = 1000 mm
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ADIÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS
Para adicionar dois ou mais numerais decimais você deve colocar um
debaixo do outro, de modo que as vírgulas fiquem uma debaixo da outra. Depois
efetue a operação.
Ex.: a) 0,2 + 0,34 = 0,54 b) 0,7 + 3 + 0,283 = 3,983
0,2 0,700
+ 0,34 + 3,000
0,54 0,283
3,983
SUBTRAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS
Para subtrair dois numerais decimais, você deve proceder da mesma forma
indicada para a adição. Os números são colocados um debaixo do outro, de
modo que as vírgulas fiquem uma embaixo da outra. Depois efetue a operação.
Ex.: a) 0,85 - 0,3 = 0,55 b) 0,7 - 0,48 = 0,22
0,85 0,70
- 0,30 - 0,48
0,55 0,22
Neste caso convém completar com zeros, para facilitar o cálculo.
Copie e resolva em seu caderno:
4) Abaixo, temos o mapa de um parque ecológico. Veja que o comprimento de
cada trilha está marcado em quilômetros e foram usados números decimais.
Quando o nº tem apenas o inteiro
não é necessário escrever a
vírgula depois do nº. Se quiser
preencha com zeros para
“montar” a conta.
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PARQUE ECOLÓGICO
Responda:
a) Para ir do lago até o moinho, passando pelo mirante e pela colina, quantos
quilômetros você andará?
b) O outro caminho do lago até o moinho (via bosque e criação de peixes) é mais
curto ou mais comprido? Em quanto?
5) Nesta figura foram usados números decimais para apresentar as medidas da
casa em metros.
a) Quanto mede a altura desta casa?
b)Quanto falta para essa altura atingir 6 metros?
c) O nº que representa o que está faltando é maior ou menor do que 1 metro?
6) O segmento AB mede 6,2 cm e o segmento BC mede 2,4 cm. Quanto mede o
segmento AC?
A B C
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7) A altura de uma casa era 3,42 m. Com a construção de um segundo andar,
passou a ter 7,05m. Quantos metros têm o 2º andar?
MULTIPLICAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS
Para multiplicar dois numerais decimais, você deve efetuar operação sem
considerar as vírgulas. No final, coloque a vírgula contando da direita para a
esquerda, a quantidade total (soma) de casas decimais que há nos dois fatores
que estão multiplicando.
Exs.: a) 3,2 x 6 = 19,2 b) 2,45 x 0,03 = 0,0735
3,2 (uma casa decimal) 2,45 (2 casas decimais)
x 6 (nenhuma casa decimal x 0,03 (2 casas decimais)
19,2 (uma casa decimal) 0,0735 (4 casas decimais)
No resultado 735 ao contar 4 casas decimais fica faltando uma. Por isso, são
acrescentados tantos zeros à esquerda quantos forem necessários para se
colocar a vírgula.
c) 0,34 x 3,2 = 1,088
0,34 (2 casas decimais)
x 3,2 (1 casa decimal)
068
102+
1,088 (três casas decimais)
Copie e resolva em seu caderno:
8) Cada metro de fio de arame custa R$ 17,20. Dê o preço de:
a) 3 metros de arame
b) 4,5 metros de arame
c) 0,75 metro de arame
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DIVISÃO DE DOIS NUMERAIS DECIMAIS
Lembre-se: - As divisões em que o resto é zero são chamadas de
divisões exatas e as que o resto é diferente de zero são chamadas de não
exatas.
Observe:
6 3 25 4
0 2 1 6
Nos exemplos acima os números 6 e 25 são denominados dividendos (o
que está sendo dividido).
Os nºs 3 e 4 são os divisores,
Os nºs 2 e 6 são chamados quocientes,
Os nºs 0 e 1 são os restos.
Para dividir dois numerais decimais, é necessário que o dividendo (nº
que está fora da “chave”) e o divisor tenham a mesma quantidade de casas
decimais. Quando são diferentes acrescentamos zeros onde for necessário
para que fiquem com a mesma quantidade de casas decimais dentro e fora
da chave.:
Exemplos:
1º) 34,6 : 0,02
Neste caso, acrescente um zero à parte decimal do dividendo 34,6 para
que fique com a mesma quantidade de casas decimais do divisor 0,02.
Após certificar-se de que as casas estão igualadas, cancele as vírgulas e
então efetue a operação, como se fossem dois números naturais.
Exemplos:
Assim: 3460 002 efetue a divisão como nº inteiro (sem vírgula)
1 casa decimal 2 casas decimais
14 1730
06
00
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2º) 34,603 : 0,3
Agora é no divisor ( 0,3) que você tem que acrescentar dois zeros para
ter a mesma quantidade de casas decimais do dividendo (34,603).
Assim: 34603 : 03 00 ( sem vírgulas)
3º) 87,5 : 1,25 =
Igualando as casas, você obtém: 87,5 0 : 1,25
Cancelando as vírgulas: 8750 : 125
8750 125
0000 70
Logo: 87,5 : 1,25 = 70
Copie e resolva em seu caderno:
9) Resolva os problemas efetuando as operações necessárias.
a) Quatro amigos foram a um restaurante e dividiram igualmente uma conta de
R$19,60 reais. Quanto coube a cada um?
b)Uma barra de ferro mede 2,24 cm. Quero cortar em pedaços de 0,28cm. Em
quantas partes ficará dividido?
c)Um boneco dá passos de 18,56 cm. Quantos passos ele deve dar para andar
55,68 cm?
Confira a resposta no GABARITO
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS POR 10, 100 OU POR 1000
Agora você irá aprender a multiplicar um numeral decimal por 10, 100 ou
1000 de uma forma mais simples e mais rápida.
Para multiplicar um nº decimal por 10, você deve mudar a vírgula uma
casa para a direita.
Para multiplicar um nº decimal por 100 , você deve mudar a vírgula duas
casas para à direita.
Para multiplicar um nº decimal por 1000, você deve mudar a vírgula três
casas para a direita. OBSERVE que a vírgula estava entre os
números 4 e 6 e passou entre os nºs 6 e 5
(“andou” uma casa).
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Ex.: 34,65 x 10 = 346,5
6,2 x 10 = 62,0 (acrescente tantos zeros à, direita, quantos forem necessários).
3,456 x 100 = 345,6
24,5 x 100 = 2450,0 ou apenas 2450
3,4567 x 1000 = 3456,7
345,67 x 1000 = 345670,0 ou 345670
Copie e resolva em seu caderno:
10) Efetue as operações indicadas, conforme as regras que você já
estudou:
a) 2,64x10= f) 8,321 x 100 =
b) 4,3 x 10 = g) 4,3 x 1000 =
c) 0,3 x 10 = h) 8,13 x 1000 =
d) 2,64 x 100 = i) 8,321 x 1000 =
e) 0,3 x 100 = j) 0,03 x 1000 =
Confira a resposta no GABARITO
DIVISÃO DE NUMERAIS DECIMAIS POR 10, 100 OU 1000
A divisão de numerais por 10, 100 ou 1000 você pode efetuar de uma forma
simples e rápida, semelhante ao modo de multiplicação desses números por 10,
100 ou 1000. Veja:
Para dividir um numeral decimal por 10, 100 ou 1000, desloque a vírgula
para a esquerda, uma, duas ou três casas decimais, respectivamente.
Ex.:
34,5 : 10 = 3,45
0,3 : 10 = 0,03 (acrescente tantos zeros quantos forem necessários para colocar a vírgula)
34,5 : 100 = 0,345
34,5 : 1000 = 0,0345
Copie e resolva em seu caderno:
11) Efetue, no seu caderno, as operações indicadas a seguir:
a) 3,4 : 10 = f) 7,625 : 100 =
b) 0,8 : 10 = g) 3,4 : 1000 =
c) 0,625 : 10 = h) 7,62 : 1000 =
d) 3,4 : 100 = i) 762,5 : 1000 =
e) 0,8 : 100 = j) 625 : 1000 =
Confira a resposta no GABARITO
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GABARITO:
1) a) 0,8 b)7,2 c)180,2
2) a) 0,08 b)0,70 c)2,30 d)10,10
3) a) 0,332 b)0,045 c)2,030 d)6,004
4) a) 5 km b) mais comprido (5,8 km) em 0,8 Km
5) a) 5,25m
b) 0,75m
c) < que 1(menor)
6) 8,6 cm
7) 3,63m
8) a) R$ 51,60 b) R$ 77,40 c)R$ 12,90
9) a) R$ 4,90 b) 8 partes c) 3
10) a) 26,4 f) 832,1
b) 43 g) 4300
c) 3 h) 8130
d) 264 i) 8321
e) 30 j) 30
11) a) 0,34 f) 0,07625
b) 0,08 g) 0,0034
c) 0,0625 h) 0,00762
d) 0,034 i) 0,7625
e) 0,008 j) 0,625
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Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José
Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª
Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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Ceesvo (ensino fundamental) apostila 1

  • 1. Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
  • 2. www.ceesvo.com.br 2 MÓDULO 1 ROTEIRO DE ESTUDOS: Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a resolução dos exemplos. Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em que se apresentam. OBJETIVOS Ao final deste módulo você deverá saber: Utilizar os sinais =, , e para estabelecer relações entre dois números; Ordenar uma série de números naturais em ordem crescente ou decrescente; Solucionar expressões numéricas simples, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão; Determinar o valor de uma parcela desconhecida em adições, subtrações, multiplicações e divisões; Escrever corretamente a leitura de um número no sistema de numeração decimal; Escrever a leitura de um número no sistema de numeração Romano.
  • 3. www.ceesvo.com.br 3 ATENÇÃO... A leitura começa da esquerda para a direita. O sinal usado para a multiplicação é o ponto ( ) NÚMEROS... O QUE REPRESENTAM? O homem vive cercado pelos números: horário de trabalho, velocidade e consumo do automóvel, salário a receber, impostos e serviços a pagar, contagem de um jogo de futebol, recordes nas competições, etc. Portanto, os números representam um papel importante no mundo em que vivemos. Em qualquer situação os números representam quantidades que podem ser comparadas, isto é, podem ser iguais ou diferentes. 1º Exemplo: O dobro de três é igual a seis. 2 3 = 6 6 =6 Existe uma igualdade (=) entre os dois números, pois ambos representam a mesma quantidade. 2º Exemplo: O dobro de seis não é oito, então é diferente. 2 3 8 6 8 (não representam a mesma quantidade) Quando existe o “diferente” podemos pensar em duas situações: ou o número é maior (>) ou é menor (<) então, nesse caso 6 < 8 (seis é menor do que oito). Comparando os números abaixo podemos escrever usando os símbolos de matemática: 3 é menor do que 7 3 < 7 6 é maior do que 2 6 > 2
  • 4. www.ceesvo.com.br 4 Copie e responda em seu caderno: 1) Complete com os sinais adequados fazendo as comparações entre os números: a) 4 ........ 8 b) 9 ......... 3 3 c) 15......10 Confira as respostas no GABARITO ( final do módulo) De acordo com a quantidade que representam, os números podem ser escritos em ORDEM CRESCENTE ou ORDEM DECRESCENTE. Uma série de números está em ordem crescente se o primeiro número for menor que o segundo, o segundo menor que o terceiro, o terceiro menor que o quarto, e assim por diante. Uma série de números está em ordem decrescente se o primeiro nº for maior que o segundo, o segundo for maior que o terceiro, o terceiro maior que o quarto, e assim sucessivamente. Ex.: A série (13, 10, 8, 4,2) está em ordem decrescente, pois: 13 > 10, 10 > 8, 8 > 4 e 4 > 2. Copie e resolva os exercícios em seu caderno: 2) Escreva em ordem crescente, as séries dos seguintes números:: a) (3,4,8,7,6) b) (9,3,7,4,10,0) 1º 1º
  • 5. www.ceesvo.com.br 5 3) Paula, Ana e Guilherme são irmãos e apresentam as seguintes alturas: Paula = 131 cm ; Ana = 90 cm e Guilherme = 158 cm. Coloque as pessoas citadas em ordem decrescente de acordo com suas alturas. Confira suas respostas no GABARITO. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Chama-se sistema de numeração as regras que permitem ler e escrever um número. Há vários sistemas de numeração. Ao contar unidades em grupos de 2, trabalha-se no sistema de numeração de base 2.Os computadores utilizam esse sistema, que é chamado sistema de numeração binário. O sistema de numeração usado em nosso País é o que agrupa de 10 em 10 ( sistema de numeração decimal). . SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O sistema de numeração decimal, é o sistema de numeração na base 10, isto é, aquele que agrupa de 10 em 10. Nesse sistema, utilizam-se 10 algarismos que são os símbolos matemáticos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 para se escrever qualquer número. Os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 são os algarismos significativos. Observe: Classes 1 4 5 6 4 8 Copie e responda o exercício em seu caderno: 4) Escreva a leitura dos números: 208, 1243, 45736, 2365970. Confira suas respostas no GABARITO. ANA GUILHERME PAULA unidadesmil ATENÇÃO... Não use o ponto ( ) para fazer a separação da classe dos “mil”. Isso não existe.
  • 6. www.ceesvo.com.br 6 SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO Até o século XIII, quando os árabes introduziram na Europa os símbolos indo-arábicos, os Europeus usavam o sistema romano de numeração para escrever os seus números. Guerreiros e conquistadores, os romanos eram donos de um vasto império, lidando com grandes quantidades. Essa necessidade levou-os a estabelecer um sistema de numeração baseado em sete letras de seu alfabeto. Quatro fundamentais: I X C M (1) (10) (100) (1000) Três intermediárias: V L D (5) (50) (500) Usando essas letras, os romanos escreviam seus números de acordo com as seguintes estruturas: a) Os símbolos ( ou letras) fundamentais podiam ser repetidos, no máximo três vezes. De acordo com essa idéia, os romanos escreviam: 1=I 10 = X 100 = C 1000 = M 2 = II 20 = XX 200 = CC 2000 = MM 3 = III 30 = XXX 300 = CCC 3000 = MMM b) Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indicava um, a subtração dos respectivos valores; assim, os romanos escreviam: 4 = 5 -1 = IV 40= 50-10 = XL 400 = 500 -100 = CD 9 = 10-1 = IX 90=100 -10 = XC 900 = 1000 - 100 = CM É conveniente notar que: I pode ser subtraído apenas de V e X. X pode ser subtraído apenas de L e C. C pode ser subtraído apenas de D e M. Os símbolos V, L, D nunca podem ser subtraídos. c) Para representação de outros números, os romanos usavam a adição, ou seja, os valores eram adicionados conforme você vai ver nos seguintes exemplos: 6 = 5 + 1 = VI 37 = 30 + 7 = XXXVII 15 = 10 + 5 = XV 254 = 200 + 50 + 4 = CCLIV Os romanos não usavam símbolos para representar o número natural zero.
  • 7. www.ceesvo.com.br 7 Atualmente, o sistema romano de numeração é pouco usado; ele é empregado: Nos mostradores de relógios; Na numeração dos capítulos de um livro; Na designação, pela ordem cronológica, de reis e papas de mesmo nome. Copie e responda em seu caderno: 5) Escreva usando os nossos algarismos os números romanos: XX, XXXII, CX, XXIV. Confira suas respostas no GABARITO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS Quando tem que resolver mais de uma operação (conta) para se chegar ao resultado, dizemos que existe uma expressão numérica. Exemplo 1: Maria foi ao açougue e comprou 2 quilos de carne moída, 3 quilos de frango e 1 quilo de costela. No almoço gastou 2 quilos de frango. Com quantos quilos de carne Maria ficou? 2 + 3 + 1 – 2 = 5 + 1 – 2= 6 – 2= 4 Logo Maria ainda tem 4 quilos de carne em sua casa. Uma seqüência de operações indicadas chama-se expressão numérica. Existe uma ordem para se resolver uma expressão numérica que envolva as quatro operações: - Primeiro as multiplicações e divisões, - Em seguida as adições (soma) ou subtrações na ordem que estão, da esquerda para a direita. Veja a resolução de uma expressão numérica que envolva apenas adição e subtração:
  • 8. www.ceesvo.com.br 8 3 + 4 + 6 – 2 – 3= 7 + 6 – 2 – 3= 13 - 2 – 3= 11 – 3 = 8 Copie e resolva em seu caderno escrevendo a expressão numérica: 6) Pedro trabalhou um dia e ganhou 15 reais, no outro dia ganhou 18 reais e gastou 13 reais. Quanto dinheiro Pedro possui? (Veja o exemplo da página anterior) Confira a resposta no GABARITO Leia com atenção o exemplo abaixo : RESOLVE A OPERAÇÃO QUE ESTÁ EM PRIMEIRO LUGAR ( da esquerda para a direita). O símbolo usado para a multiplicação não é X e sim o ponto ( )
  • 9. www.ceesvo.com.br 9 Para resolver uma expressão numérica que envolve adição, subtração multiplicação e divisão você deve efetuar: 1- As multiplicações e/ou divisões. 2- As adições e/ou subtrações, conforme os passos estudados no caso anterior. Copie e resolva em seu caderno: 7) Quatro amigos foram tomar lanche e devoraram 3 cheesburgers, 3 americanos e 2 porções de fritas. Tomaram também 2 sucos de melão e 3 de laranja. Depois dividiram igualmente as despesas. Quanto cada um pagou? Escreva a expressão numérica que representa a conta dos amigos e resolva de acordo com a tabela de preços abaixo. PRODUTO PREÇO Cheesburger 4,00 Americano 3,00 Fritas 2,00 Suco melão 2,00 Suco laranja 1,00 Exemplo de uma expressão numérica: 4 + 5 2 + 12 : 4 – 3 = A expressão acima contém as 4 operações ( + , - , , : ) e para resolvê-la deve-se iniciar pela multiplicação e/ou divisão . 4 + 5 2 + 12 : 4 – 3 = 4 + 10 + 3 - 3 = 14 + 3 - 3 = 17 - 3 = 14 Escreva o seguinte problema em forma de expressão numérica: Miguel foi a feira e comprou 2 quilos de tomate e 5 quilos de batata. Quanto gastou? 1 quilo de tomate 2 reais 1 quilo de batata 1 real Agora efetuam-se as adições e subtrações conforme a ordem apresentada. Tabela de Preços
  • 10. www.ceesvo.com.br 10 Se você encontrou 9, acertou. 2 2 + 5 1 pois são 2 quilos de tomate ( a 2 reais o quilo) mais 5 quilos de batata ( a 1 real o quilo). 4 + 5 = 9 logo Miguel gastou 9 reais. Copie e resolva em seu caderno: 8) Para fixar o que você aprendeu, resolva as expressões numéricas a seguir no seu caderno. a) 34 – 25 + 12 = b) 23 + 12 : 6 – 3 3 = c) 3 5 + 4 2 – 8 : 2 = d) 20 – 35 : 7 = 9) Represente e resolva a seguinte compra no açougue através de uma expressão numérica: 2 Quilos de Fraldinha, 3 quilos de carne moída, 1 frango de 2 Quilos. Tabela de preços: 1 Quilo fraldinha = 8 reais 1 Quilo de frango = 2 reais 1 Quilo de carne moída = 7 reais. Confira as respostas no GABARITO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM PARÊNTESES Para resolver expressões numéricas que possuam parênteses você deve resolver primeiramente a ou as operações indicadas que estão dentro do parênteses , assim: 1º Exemplo: 33 – 5 ( 4 + 2 ) 33 – 5 6 33 – 30 = 3 Logo, o resultado da expressão é 3.
  • 11. www.ceesvo.com.br 11 2º Exemplo: Acompanhe a resolução 4 + 7 (6 – 3 : 3 )= 1º a divisão do parênteses 4 + 7 (6 - 1 ) = 2º a subtração do parênteses 4 + 7 5 = 3º a multiplicação 4 + 35 = 39 4º a adição Copie e resolva em seu caderno: 10) Resolva as seguintes expressões, em seu caderno, lembrando que em primeiro lugar resolvem-se os parênteses (observando a ordem das operações que estão dentro dele), depois as multiplicações e/ou divisões e por último adições e subtrações, na ordem em que aparecem. a) 34 – ( 15 – 3 2 ) + 11 = b) 125 – 6 ( 4 + 1 ) = c) 15 + ( 17 – 8 – 5 ) – 3 = d) 32 : 8 – 1 4 Confira as respostas no GABARITO. DETERMINAÇÃO DE UM VALOR DESCONHECIDO Veja alguns exemplos de ações inversas: Calçar os sapatos e tirar os sapatos. Abrir a porta e fechar a porta. Na matemática, acontecem situações parecidas, em que uma ação desfaz a outra, mas tudo fica igual ao que era antes. Por isso dizemos que subtrair 3 e somar 3 são operações inversas. Adição e Subtração: são operações inversas A operação adição é inversa da operação subtração e vice-versa. Exemplo 1: Pensei em um nº; tirei 10 e deu 15. Em que nº pensei? A ação pode ser representada assim:
  • 12. www.ceesvo.com.br 12 Resolução: ? - 10 = 15 , para descobrir o nº, pensamos na ação inversa ou operação inversa da subtração que é a adição. 15 + 10 = ? 25 = ? Conclusão: pensei no nº 25 A adição consiste em juntar elementos e formar um todo, enquanto a subtração consiste em se tirar elementos do todo. Veja: 5+2 = 7 e 7 – 2 = 5 Nas duas operações os números envolvidos são os mesmos e, por isso, dizemos que, se 5 + 2 = 7, pela operação inversa, temos: 7 – 2 = 5. Se, numa adição, uma das parcelas for conhecida, é possível, através da operação inversa, determinar o valor da outra parcela . 1º Exemplo: Qual foi o troco que Pedro trouxe da feira, sabendo que gastou 6 reais e a quantia que possuía era de 10 reais ? Vamos representar a parcela desconhecida ( troco) por um símbolo qualquer que não seja um algarismo. + 6 = 10 Aplica-se a operação inversa 10 – 6 = 4 = Portanto, 4 é o valor da parcela desconhecida, no caso o troco de Pedro. Exemplo 2 : Qual o nº que subtraído de 2 é igual a 5 ? Vamos representar o nº desconhecido por K. K – 2 = 5 Aplicando a operação inversa da subtração, que é a adição, temos: 5 + 2 = K , logo o valor de K é 7. ou K = 7 Copie e resolva em seu caderno: 11) Determine o valor desconhecido: a) + 12 = 15 b) 5 + X = 13 c) - 8 = 3 d) X – 10 = 4
  • 13. www.ceesvo.com.br 13 12) Quantas bonecas Ana tinha se deu 3 para uma amiga e ainda ficou com 5? Confira as respostas no GABARITO. Multiplicação e Divisão: são operações inversas A operação divisão é inversa da multiplicação e vice-versa. Veja: 5 2 = 10 e 10 : 2 = 5 ou 10 : 5 = 2 Nas operações indicadas, os números envolvidos são os mesmos, por isso, dizemos que se: 5 2 = 10, pela operação inversa 10 : 2 = 5 ou 5 2 = 10, pela operação inversa 10 : 5 = 2 Se, numa multiplicação um dos fatores não for conhecido, é possível você determiná-lo através da operação inversa. 1º EXEMPLO: Qual o nº que multiplicado por 8 é 32 ? Representando o número desconhecido por um símbolo qualquer, que não seja um algarismo, temos: 8 = 32 Aplicando a operação inversa: 32 : 8 = 4 = Portanto, 4 é o valor do termo desconhecido. 2º Exemplo: Temos 12 litros de leite em cada caixa. Quantas caixas são necessárias para acomodar 60 litros? 12 ? = 60 onde ? = nº de caixas ? = 60 : 12 ? = 5 Assim os 60 litros estão distribuídos em 5 caixas. Copie e resolva os exercícios em seu caderno: 13) Determine o valor desconhecido: a) X : 7 = 63 b) 6 Q = 18 Confira suas respostas no GABARITO.
  • 14. www.ceesvo.com.br 14 GABARITO 1) a) 4 < 8 b) 9 = 3 3 c) 15 > 10 2) a) 3< 4 < 6 < 7 < 8 b) 0 < 3 < 4 < 7 < 9 < 10 3) Guilherme > Paula > Ana 4) Duzentos e oito ; Um mil, duzentos e quarenta e três; Quarenta e cinco mil, setecentos e trinta e seis. Dois milhões, trezentos e sessenta e cinco mil, novecentos e setenta; 5) 20, 32, 110, 24 6) 20 7) 8 8) a) 21 b) 16 c) 19 d) 15 9) 41 10) a) 36 b) 95 c) 16 d) 0 11) a) = 3 b) X = 8 c) = 11 d) X = 14 12) = 8 13) a) X = 441 b) Q = 3
  • 15. www.ceesvo.com.br 15 MÓDULO 2 OBJETIVOS: Associar a potência de números naturais à multiplicação de fatores iguais; Calcular as potências; Reconhecer e calcular potências de expoentes 0 e 1; Identificar a raiz quadrada como operação inversa da potenciação; Calcular a raiz quadrada; Calcular o valor de expressões numéricas com potenciação. ROTEIRO DE ESTUDOS - Leia atentamente as explicações do módulo e acompanhe os exemplos resolvidos. Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência que se apresentam e confira suas respostas no GABARITO.
  • 16. www.ceesvo.com.br 16 No módulo 1 você estudou as 4 operações ( adição, subtração, multiplicação e divisão) e já sabe resolver problemas simples de aplicação dessas operações. Agora, neste módulo, você vai aprender uma nova operação: a potenciação e sua operação inversa, a radiciação. POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma multiplicação com o mesmo número. Considere a seguinte situação : Numa Olimpíada Cultural participam 5 colégios. De cada colégio participam 5 turmas. Em cada turma há 5 alunos. Para você saber quantos alunos vão participar dessa Olimpíada, basta você fazer: 5 5 5 = 125 SAIBA QUE: 5 5 5 representa um produto ( multiplicação) de 3 fatores iguais. Em Matemática essa multiplicação de mesmo número é escrita usando a operação de potenciação e é representado por 53 . Então: 53 = 125 pois é a multiplicação do nº 5 por ele mesmo: 5 5 5 ELEMENTOS DA POTENCIAÇÃO O fator ( número ) que se repete chama-se base; no caso do exemplo acima é o 5. O número que mostra a quantidade de números que se repetem chama-se expoente, no caso o nº 3. O número 125 que é o resultado da operação chama-se potência.
  • 17. www.ceesvo.com.br 17 A operação realizada, que é uma multiplicação de fatores iguais, chama-se potenciação. 53 = 125 Veja outro exemplo: 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 O nº 5 não entra na conta, apenas mostra quantas vezes se multiplica o número que está na base (o número de baixo) . Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Ex.: 51 = 5 71 = 7 101 = 10 Todo nº elevado a zero é igual a 1. Ex;: 50 = 1 40 = 1 100 = 1 Toda potência de base 10 tem como resultado o número 1 seguido de tantos zeros quanto indica o número da base Exemplo: 106 = 1000000 102 = 100 103 = 1000 LEITURA: Quando o expoente (número de cima) é 2, lê-se elevado ao quadrado. 7² = sete elevado ao quadrado Quando o expoente é 3, lê-se elevado ao cubo. 53 = cinco elevado ao cubo. Nos demais casos (expoentes maiores que 3 ), lemos: 24 = dois elevado a 4ª potência 105 = dez elevado a 5ª potência expoente base potência Mostra quantas vezes se repete a Multiplicação do número que está na base: 5 5 5 = 125 5 fatores
  • 18. www.ceesvo.com.br 18 Copie e resolva em seu caderno: 1 ) Determine as potências de: a) 3² = e) 4² = i) 5² = b) 2 elevado ao cubo = f) 10³ = j) 34 = c) 71 = g) 24 = k) 6³= d) 100 = h) 6² = l) 9² = EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO Para calcular o valor da expressão numérica você deve seguir os seguintes passos: 1º Resolver as potenciações em primeiro lugar. 2º Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem. 3º Efetuar as adições e subtrações obedecendo a ordem em aparecem. EXEMPLO: 4² : 8 + 34 = 16 : 8 + 81= 2 + 81 = 83 Copie e resolva em seu caderno: 2) Observando o exemplo acima calcule o resultado da expressão: a )103 : 5² 24 = b) 131 – 6² : 2² = Você estudou as operações inversas no módulo 1. O inverso da adição é a subtração, da divisão é a multiplicação e o inverso da potenciação é a radiciação. 4² = 4 4 = 16 34 = 3. 3 3 3 = 81
  • 19. www.ceesvo.com.br 19 Exemplos: 981 porque o inverso é 9² = 9 9 = 81 Pense em um nº que multiplicado por ele mesmo dá 81. 525 porque o inverso é 5² = 5 X 5 = 25 RADICIAÇÃO: é a operação inversa da potenciação. 2 16 = 4 lê-se : a raiz quadrada de 16 é igual a 4. Copie e resolva em seu caderno 3) Determine o resultado das raízes quadradas abaixo: a) 4 = e) 36 = i) 100 = b) 9 = f) 49 = c) 16 = g) 64 = d) 25 = h) 81= EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM RAIZ QUADRADA Exemplo: 20 + 64 3 = 20 + 8 3 = 20 + 24 = 44 índice radicando raiz radical O ÍNDICE 2 NÃO PRECISA SER ESCRITO 864 pois 8 8=64
  • 20. www.ceesvo.com.br 20 2º Exemplo: 40 – 32 2 + 36 = 40 - 9 2 + 6 = 40 – 18 + 6 = 22 + 6 = 28 Copie e responda em seu caderno: 4) Calcule o resultado da expressão numérica: 62 + 16 3 = Confira as respostas no GABARITO GABARITO 1) a) 9 d) 1 g) 16 j) 81 b) 8 e) 16 h) 36 k) 216 c) 7 f) 1000 i) 25 l) 81 2) a) 640 b) 4 3) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 7 g) 8 h) 9 i)10 4) 48 32 = 3 3 = 9 636 pois 6 6 = 36
  • 21. www.ceesvo.com.br 21 MÓDULO 3 OBJETIVOS: Ao final desta U.E., você deverá saber: Identificar décimos, centésimos e milésimos, como a décima, centésima e milésima partem de um inteiro; Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois numerais decimais com representação até milésimos; Multiplicar e dividir corretamente um numeral decimal com representação até milésimos por 10, 100, 1000. ROTEIRO DE ESTUDOS: Leia atentamente as explicações do módulo, copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência apresentada e confira suas respostas no GABARITO.
  • 22. www.ceesvo.com.br 22 0,5(metade de 10) INTRODUÇÃO Na sua vida cotidiana há muitas situações em que os números naturais (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...) não são suficientes. Por exemplo: Ao medir um objeto qualquer você sempre obtém um número exato ou normalmente “sobra” uma parte? Como você escreveria esse número para representar essa medida? Esse número formado pelo “inteiro” e as “partes” é denominado nº decimal e é usado para facilitar e uniformizar as medidas ou valores não inteiros. Os números que representam as “partes” do inteiro são chamados de casas decimais. NUMERAIS DECIMAIS Os numerais decimais podem apresentar “partes” em décimos, centésimos ou milésimos. DÉCIMOS Considere uma figura como um inteiro e divida em 10 partes iguais, cada parte será chamada 1 décimo e será representada por 0,1.(nº decimal) ou 10 1 (nº fracionário) que você estudará no módulo 7. Um décimo (0,1) é a representação de uma das partes de um inteiro dividido em 10 partes iguais. Cinco décimos (0,5) representam cinco fatias da pizza que foi dividida em 10 partes iguais (décimo) 25 décimos = 10 + 10 + 5 e por isso, 25 décimos são 2 inteiros e 5 décimos e sua representação é 2,5.
  • 23. www.ceesvo.com.br 23 Observe: 25 décimos = 10 25 portanto é 25 10 O “inteiro” é representado pelo número escrito antes (à esquerda) da vírgula e a parte decimal após a vírgula, também chamado casas decimais. Copie e resolva em seu caderno: 1) Escreva no seu caderno os símbolos dos numerais decimais: a) oito décimos b) sete inteiros e dois décimos c) cento e oitenta inteiros e dois décimos. Confira as respostas no GABARITO. CENTÉSIMOS Se você considerar uma figura como inteiro e dividirmos essa unidade em 100 partes iguais, cada parte é chamada de 1 centésimo e é representada por 0,01. Um centésimo é a representação de uma das partes de um inteiro dividido em 100 partes iguais. Ex.: 2 centésimos = 0,02 30 centésimos = 0,30. 325 centésimos = 3,25 , portanto 325 100 –300 3 inteiros 25 centésimos. Como exemplo de inteiro dividido em centésimos (100 partes ) há: 1- O METRO: a unidade de medida dividida em 100 partes iguais (centímetro). Ex. 2,35m = 2 metros e 35 centímetros. 2- Nossa MOEDA ou dinheiro: um real está dividido em 100 centavos. Ex. R$ 5, 60 = cinco reais e sessenta centavos. -20 2 inteiros 5 décimos
  • 24. www.ceesvo.com.br 24 Copie e resolva em seu caderno: 2) Escreva em símbolos no seu caderno: a) oito centésimos b) setenta centésimos c) dois inteiros e trinta centésimos d) dez inteiros e dez centésimos Confira as respostas no GABARITO. MILÉSIMOS Ao definir décimos, você dividiu o inteiro em dez partes iguais e para centésimos dividiu o inteiro em 100 partes iguais. Para você definir milésimos, divida o inteiro em mil partes iguais. Cada parte é chamada de 1 milésimo e é representada por 0,001. Um milésimo é uma das partes do inteiro que foi dividido em mil partes iguais. Ex.: 2354 milésimos são representados por 2,354 e é lido dois inteiros, trezentos e cinqüenta e quatro milésimos. Copie e resolva em seu caderno: 3) Agora, escreva no seu caderno os numerais a seguir, usando símbolos: a) trezentos e trinta e dois milésimos b) quarenta e cinco milésimos c) dois inteiros e trinta milésimos d) seis inteiros e quatro milésimos Confira as suas respostas no GABARITO. 1 metro = 1000 mm
  • 25. www.ceesvo.com.br 25 ADIÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS Para adicionar dois ou mais numerais decimais você deve colocar um debaixo do outro, de modo que as vírgulas fiquem uma debaixo da outra. Depois efetue a operação. Ex.: a) 0,2 + 0,34 = 0,54 b) 0,7 + 3 + 0,283 = 3,983 0,2 0,700 + 0,34 + 3,000 0,54 0,283 3,983 SUBTRAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS Para subtrair dois numerais decimais, você deve proceder da mesma forma indicada para a adição. Os números são colocados um debaixo do outro, de modo que as vírgulas fiquem uma embaixo da outra. Depois efetue a operação. Ex.: a) 0,85 - 0,3 = 0,55 b) 0,7 - 0,48 = 0,22 0,85 0,70 - 0,30 - 0,48 0,55 0,22 Neste caso convém completar com zeros, para facilitar o cálculo. Copie e resolva em seu caderno: 4) Abaixo, temos o mapa de um parque ecológico. Veja que o comprimento de cada trilha está marcado em quilômetros e foram usados números decimais. Quando o nº tem apenas o inteiro não é necessário escrever a vírgula depois do nº. Se quiser preencha com zeros para “montar” a conta.
  • 26. www.ceesvo.com.br 26 PARQUE ECOLÓGICO Responda: a) Para ir do lago até o moinho, passando pelo mirante e pela colina, quantos quilômetros você andará? b) O outro caminho do lago até o moinho (via bosque e criação de peixes) é mais curto ou mais comprido? Em quanto? 5) Nesta figura foram usados números decimais para apresentar as medidas da casa em metros. a) Quanto mede a altura desta casa? b)Quanto falta para essa altura atingir 6 metros? c) O nº que representa o que está faltando é maior ou menor do que 1 metro? 6) O segmento AB mede 6,2 cm e o segmento BC mede 2,4 cm. Quanto mede o segmento AC? A B C
  • 27. www.ceesvo.com.br 27 7) A altura de uma casa era 3,42 m. Com a construção de um segundo andar, passou a ter 7,05m. Quantos metros têm o 2º andar? MULTIPLICAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS Para multiplicar dois numerais decimais, você deve efetuar operação sem considerar as vírgulas. No final, coloque a vírgula contando da direita para a esquerda, a quantidade total (soma) de casas decimais que há nos dois fatores que estão multiplicando. Exs.: a) 3,2 x 6 = 19,2 b) 2,45 x 0,03 = 0,0735 3,2 (uma casa decimal) 2,45 (2 casas decimais) x 6 (nenhuma casa decimal x 0,03 (2 casas decimais) 19,2 (uma casa decimal) 0,0735 (4 casas decimais) No resultado 735 ao contar 4 casas decimais fica faltando uma. Por isso, são acrescentados tantos zeros à esquerda quantos forem necessários para se colocar a vírgula. c) 0,34 x 3,2 = 1,088 0,34 (2 casas decimais) x 3,2 (1 casa decimal) 068 102+ 1,088 (três casas decimais) Copie e resolva em seu caderno: 8) Cada metro de fio de arame custa R$ 17,20. Dê o preço de: a) 3 metros de arame b) 4,5 metros de arame c) 0,75 metro de arame
  • 28. www.ceesvo.com.br 28 DIVISÃO DE DOIS NUMERAIS DECIMAIS Lembre-se: - As divisões em que o resto é zero são chamadas de divisões exatas e as que o resto é diferente de zero são chamadas de não exatas. Observe: 6 3 25 4 0 2 1 6 Nos exemplos acima os números 6 e 25 são denominados dividendos (o que está sendo dividido). Os nºs 3 e 4 são os divisores, Os nºs 2 e 6 são chamados quocientes, Os nºs 0 e 1 são os restos. Para dividir dois numerais decimais, é necessário que o dividendo (nº que está fora da “chave”) e o divisor tenham a mesma quantidade de casas decimais. Quando são diferentes acrescentamos zeros onde for necessário para que fiquem com a mesma quantidade de casas decimais dentro e fora da chave.: Exemplos: 1º) 34,6 : 0,02 Neste caso, acrescente um zero à parte decimal do dividendo 34,6 para que fique com a mesma quantidade de casas decimais do divisor 0,02. Após certificar-se de que as casas estão igualadas, cancele as vírgulas e então efetue a operação, como se fossem dois números naturais. Exemplos: Assim: 3460 002 efetue a divisão como nº inteiro (sem vírgula) 1 casa decimal 2 casas decimais 14 1730 06 00
  • 29. www.ceesvo.com.br 29 2º) 34,603 : 0,3 Agora é no divisor ( 0,3) que você tem que acrescentar dois zeros para ter a mesma quantidade de casas decimais do dividendo (34,603). Assim: 34603 : 03 00 ( sem vírgulas) 3º) 87,5 : 1,25 = Igualando as casas, você obtém: 87,5 0 : 1,25 Cancelando as vírgulas: 8750 : 125 8750 125 0000 70 Logo: 87,5 : 1,25 = 70 Copie e resolva em seu caderno: 9) Resolva os problemas efetuando as operações necessárias. a) Quatro amigos foram a um restaurante e dividiram igualmente uma conta de R$19,60 reais. Quanto coube a cada um? b)Uma barra de ferro mede 2,24 cm. Quero cortar em pedaços de 0,28cm. Em quantas partes ficará dividido? c)Um boneco dá passos de 18,56 cm. Quantos passos ele deve dar para andar 55,68 cm? Confira a resposta no GABARITO MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS POR 10, 100 OU POR 1000 Agora você irá aprender a multiplicar um numeral decimal por 10, 100 ou 1000 de uma forma mais simples e mais rápida. Para multiplicar um nº decimal por 10, você deve mudar a vírgula uma casa para a direita. Para multiplicar um nº decimal por 100 , você deve mudar a vírgula duas casas para à direita. Para multiplicar um nº decimal por 1000, você deve mudar a vírgula três casas para a direita. OBSERVE que a vírgula estava entre os números 4 e 6 e passou entre os nºs 6 e 5 (“andou” uma casa).
  • 30. www.ceesvo.com.br 30 Ex.: 34,65 x 10 = 346,5 6,2 x 10 = 62,0 (acrescente tantos zeros à, direita, quantos forem necessários). 3,456 x 100 = 345,6 24,5 x 100 = 2450,0 ou apenas 2450 3,4567 x 1000 = 3456,7 345,67 x 1000 = 345670,0 ou 345670 Copie e resolva em seu caderno: 10) Efetue as operações indicadas, conforme as regras que você já estudou: a) 2,64x10= f) 8,321 x 100 = b) 4,3 x 10 = g) 4,3 x 1000 = c) 0,3 x 10 = h) 8,13 x 1000 = d) 2,64 x 100 = i) 8,321 x 1000 = e) 0,3 x 100 = j) 0,03 x 1000 = Confira a resposta no GABARITO DIVISÃO DE NUMERAIS DECIMAIS POR 10, 100 OU 1000 A divisão de numerais por 10, 100 ou 1000 você pode efetuar de uma forma simples e rápida, semelhante ao modo de multiplicação desses números por 10, 100 ou 1000. Veja: Para dividir um numeral decimal por 10, 100 ou 1000, desloque a vírgula para a esquerda, uma, duas ou três casas decimais, respectivamente. Ex.: 34,5 : 10 = 3,45 0,3 : 10 = 0,03 (acrescente tantos zeros quantos forem necessários para colocar a vírgula) 34,5 : 100 = 0,345 34,5 : 1000 = 0,0345 Copie e resolva em seu caderno: 11) Efetue, no seu caderno, as operações indicadas a seguir: a) 3,4 : 10 = f) 7,625 : 100 = b) 0,8 : 10 = g) 3,4 : 1000 = c) 0,625 : 10 = h) 7,62 : 1000 = d) 3,4 : 100 = i) 762,5 : 1000 = e) 0,8 : 100 = j) 625 : 1000 = Confira a resposta no GABARITO
  • 31. www.ceesvo.com.br 31 GABARITO: 1) a) 0,8 b)7,2 c)180,2 2) a) 0,08 b)0,70 c)2,30 d)10,10 3) a) 0,332 b)0,045 c)2,030 d)6,004 4) a) 5 km b) mais comprido (5,8 km) em 0,8 Km 5) a) 5,25m b) 0,75m c) < que 1(menor) 6) 8,6 cm 7) 3,63m 8) a) R$ 51,60 b) R$ 77,40 c)R$ 12,90 9) a) R$ 4,90 b) 8 partes c) 3 10) a) 26,4 f) 832,1 b) 43 g) 4300 c) 3 h) 8130 d) 264 i) 8321 e) 30 j) 30 11) a) 0,34 f) 0,07625 b) 0,08 g) 0,0034 c) 0,0625 h) 0,00762 d) 0,034 i) 0,7625 e) 0,008 j) 0,625
  • 32. www.ceesvo.com.br 32 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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