AnáliseAnáliseCombinatóriaCombinatóriaProf. MarlonProf. Marlon
ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA é umaparte da matemática que estuda osagrupamentos de elementos semprecisar de en...
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ANÁLISE COMBINATÓRIAFATORIAL5! = 5.4.3.2.1 = 1204! = 4.3.2.1 = 243! = 3.2.1 = 62! = 2.1 = 21! = 10! = 1 CONVENÇÃOExemplo: ...
d)!49!49!50 −– 49!49!50.49!49!(50 – 1)49!49O conjunto solução de:210)!1()!1(=−+nné:(n – 1)!= 210(n + 1)! = (n + 1).n.(n – ...
Observação: n! = n (n – 1)!Ex.: 8! = 8 . 7!10! = 10 . 9!Exemplo:Simplificar a expressão:9900!98!9899100!98!100=⋅⋅=
56))(1(56)!1()!1)()(1(56)!1()!1(=+⇒=−−+⇒=−+xxxxxxxx.56)!1()!1(=−+xxResolva a equação:2225105656 22 ±−=⇒=−+⇒=+ xxxxx==⇒±...
Árvore de possibilidades – princípio geral que pode serusado para se resolver muitos problemas decontagem.EXEMPLO:Uma cria...
Trocando a seqüência de eventos:Escolha da balaEscolha do chicleteBAP R PR{A, P}{A, R} {V, R} {V, P} {B, R} {B, P}R PVNúme...
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS RESOLVIDOS01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias,de quantas maneiras ela poderá se vestir...
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KCKCCKCKCKCKCKC – C – CC – C – KC – K – CC – K – KK – C – CK – C – KK – K – CK – K - KPelo o Diagrama daÁrvore
03. Quantos números de 3 algarismospodemos formar com os algarismossignificativos (1 a 9)?↓ ↓ ↓9 x 9 x 9 = 729 númerosE se...
04. Quantos números de quatro algarismosdistintos podemos formar no sistema denumeração decimal?Resolução:Algarismos: 0, 1...
05. Em uma corrida de 6 carros,quantas são as possibilidades do 1º, 2ºe 3º lugares?1º lugar 2º lugar 3º lugar↓ ↓ ↓6 x 5 x ...
06. Quantos são os divisores de 72?Os divisores de 72 são do tipo 2x. 3y(pois 72 = 23.32) onde: x ∈ {0, 1, 2, 3} ey ∈ {0, ...
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EM RESUMO:EM RESUMO:1º) Quantas escolhas devem ser feitas.2º) Quantas opções cada escolha tem.3º) Multiplicar tudo!⇒ Se o ...
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16. Observe o diagramaO número de ligações distintas entre X e Zé:a) 39b) 41c) 35d) 45
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O Princípio da AdiçãoO Princípio da AdiçãoExemplo:Um consumidor deseja comprar um veículo de umaconcessionária. A concessi...
Usando os dois Princípios JuntosUsando os dois Princípios JuntosExemplo:Uma criança pode escolher uma entre duas balas, um...
17. A quantidade de números de trêsalgarismos, maiores que 500, que podem serformados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, co...
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18. Duas das cinqüenta cadeiras de umasala serão ocupadas por dois alunos. Onúmero de maneiras distintas possíveisque esse...
19. Com relação a palavra BRASIL, quantosanagramas podemos formar:a)No total?Resolução: 6! = 720b) Começados por BR?Resolu...
d) Com as letras BR juntas nesta ordem?Resolução:BR juntas significa que formarão uma únicaletra, logo o anagrama será com...
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20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e2 amarelas. Elas são extraídas uma a umasem reposição. Quantas seqüências decores p...
21. Uma cidade é formada por 12 quarteirõessegundo a figura abaixo. Uma pessoa sai doponto P e dirigi-se para o ponto Q pe...
22.O número de anagramas que podemser formados com as letras da palavraAPOSTA e que não apresentam as letrasA juntas é:a) ...
23.O jogo da Sena consiste em acertar 6dezenas sorteadas entre 60. O número depossíveis resultados está entre:a) 15.000.00...
24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles,8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2.Ele foi convidado para ir a uma f...
25.Se existem 11 pessoas em uma sala ecada pessoa cumprimenta todas asoutras uma única vez, o número deapertos de mão dado...
26.Um fisioterapeuta recomendou a umpaciente que fizesse, todos os dias, trêstipos diferentes de exercícios e lheforneceu ...
27. De quantas maneiras distintaspodemos distribuir 10 alunos em 2 salasde aula, com 7 e 3 lugares,respectivamente?a) 120b...
28.O número de múltiplos de 10,compreendidos entre 100 e 9999 e comtodos os algarismos distintos é:a) 250b) 321c) 504d) 57...
29.Uma sala tem 6 lâmpadas cominterruptores independentes. O númerode modos de iluminar essa sala,acendendo pelo menos uma...
30. O código Morse usa “palavras” contendode 1 a 4 “letras”. As “letras” sãorepresentadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-)...
31. O número de maneiras de sedistribuir 10 objetos diferentes em duascaixas diferentes, de modo quenenhuma caixa fique va...
32.(BB/2007) Considere que o BB tenhaescolhido alguns nomes de pessoaspara serem usados em uma propagandana televisão, em ...
Resolução:É uma questão de análise combinatóriaonde usaremos o princípio fundamental decontagem:Devemos fazer duas escolha...
33.(BB/2007)Considere que umdecorador deva usar 7 faixas coloridasde dimensões iguais, pendurando-asverticalmente na vitri...
Resolução:É um problema de permutação repetidaonde as cores são como letras e o totalde faixas(7) como uma palavra de 07le...
34. Há exatamente 495 maneirasdiferentes de se distribuírem 12funcionários de um banco em 3agências, de modo que cada agên...
35. Se 6 candidatos são aprovadosem um concurso público e há 4setores distintos onde eles podemser lotados, então há, no m...
36.(UFMG-2006) A partir de um grupo deoito pessoas, quer-se formar umacomissão constituída de quatrointegrantes. Nesse gru...
RESOLUÇÃO:Total de comissões – comissões (Gustavoe Danilo juntos)15.2615.26.37.48−1570 −55
SOLUÇÕES INTEIRAS NÃOSOLUÇÕES INTEIRAS NÃONEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃONEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃOLINEARLINEAREx.: Considere a equ...
Considere agora a equaçãox + y + z = 7resolvendo por tentativa, o trabalhoserá muito grande , e corremos orisco de esquece...
Indicaremos cada unidade por umabolinha e usaremos a barra para fazera separação, que corresponde aossinais de adição:
Logo teremos uma permutação comelementos repetidos (como emAARAARAAA), assim:36!2!7!92,79==PPortanto existem 36 soluções i...
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Analise combinatoria 1

  1. 1. AnáliseAnáliseCombinatóriaCombinatóriaProf. MarlonProf. Marlon
  2. 2. ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA é umaparte da matemática que estuda osagrupamentos de elementos semprecisar de enumerá-los.A origem desse assunto está ligada aoestudo dos jogos de azar, tais como:lançamento de dados, jogos de cartas,etc.
  3. 3. Atualmente, a estimativa de acertosem jogos populares como: loteriaesportiva, loto, loteria federal, etc.,além de utilizações mais específicas,como confecções de horários, deplanos de produção, de números deplacas de automóveis etc.
  4. 4. Ex.: 2! = 2 x 1 = 23! = 3 x 2 x 1 = 64! = 4 x 3 x 2 x 1 = 245! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1206! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720Convenção 0! = 1 1! = 1FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !
  5. 5. ANÁLISE COMBINATÓRIAFATORIAL5! = 5.4.3.2.1 = 1204! = 4.3.2.1 = 243! = 3.2.1 = 62! = 2.1 = 21! = 10! = 1 CONVENÇÃOExemplo: Calcular o valor de:a) 4! + 3! b) 7!24 + 6307.6.5.4.3.2.15040 Observe que:4!+3! ≠ 7!c)!8!10n! = n.(n − 1) . (n − 2) . (n − 3). .... 2 . 1=8!10.9.8! 90=
  6. 6. d)!49!49!50 −– 49!49!50.49!49!(50 – 1)49!49O conjunto solução de:210)!1()!1(=−+nné:(n – 1)!= 210(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!(n + 1).n.(n – 1)!(n + 1).n = 210n2+ n – 210 = 0n’ = 14 n’’ = - 15(n tem que ser natural)Determine a soma dos valoresde m que satisfazem aequação (m – 3)! = 1(m – 3)! = 1!ou (m – 3)! = 0!m – 3 = 1m = 4m – 3 = 0m = 3Logo a soma dos valores de mé 7210)!1()!1(=−+nn
  7. 7. Observação: n! = n (n – 1)!Ex.: 8! = 8 . 7!10! = 10 . 9!Exemplo:Simplificar a expressão:9900!98!9899100!98!100=⋅⋅=
  8. 8. 56))(1(56)!1()!1)()(1(56)!1()!1(=+⇒=−−+⇒=−+xxxxxxxx.56)!1()!1(=−+xxResolva a equação:2225105656 22 ±−=⇒=−+⇒=+ xxxxx==⇒±−=-8x7x2151xResposta: x = 7, pois não existe fatorial deum número negativo
  9. 9. Árvore de possibilidades – princípio geral que pode serusado para se resolver muitos problemas decontagem.EXEMPLO:Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosae uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo, umverde e um branco. Quantos conjuntos diferentes acriança pode ter?PRBVA BVA{R, V}{R, A} {R, B} {P, A} {P, V} {P, B}Escolha da balaEscolha do chicletePRINCÍPIO FUNDAMENTAL DEPRINCÍPIO FUNDAMENTAL DECONTAGEM – Princípio da MultiplicaçãoCONTAGEM – Princípio da Multiplicação
  10. 10. Trocando a seqüência de eventos:Escolha da balaEscolha do chicleteBAP R PR{A, P}{A, R} {V, R} {V, P} {B, R} {B, P}R PVNúmero de possibilidades é o mesmo: 2 x 3 = 3 x 2 = 6.Princípio da MultiplicaçãoSe existem n1 resultados possíveis paraum primeiro evento e n2 para um segundo,então existem n1 . n2 resultados possíveispara a seqüência de dois eventos.
  11. 11. EXEMPLO:A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos.Quantos desses números de quatro dígitos existem?EXEMPLO:Com relação ao Ex.23, quantos números de quatro dígitosexistem se um mesmo dígito não puder ser repetido?EXEMPLO:a) De quantas maneiras podemos escolher três representantesem um grupo de 25 pessoas?b) De quantas maneiras podemos escolher três representantes,para três comissões, um para cada comissão, em um grupode 25 pessoas, se um representante pode participar de maisde uma comissão?10 . 10 . 10. 10 = 10000 números diferentes10 . 9 . 8 . 7 = 5040 números diferentes25 . 24 . 23 =1380025 . 25 . 25 =15625
  12. 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS RESOLVIDOS01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias,de quantas maneiras ela poderá se vestir?A escolha de uma camisa poderá ser feita decinco maneiras diferentes. Escolhida a primeiracamisa poderá escolher uma das quatro saias.Portanto, o número total de escolhas será:4 x 5 = 20
  13. 13. 02. Uma moeda é lançada três vezes.Qual o número de seqüênciaspossíveis de cara e coroa?Indicaremos por C o resultado cara e Ko resultado coroa.Queremos o número de triplasordenadas(a,b,c) onde a ∈ {C,K},b ∈{C,K} e c ∈ {C,K}, logo, o resultadoprocurado é2.2.2 = 8
  14. 14. KCKCCKCKCKCKCKC – C – CC – C – KC – K – CC – K – KK – C – CK – C – KK – K – CK – K - KPelo o Diagrama daÁrvore
  15. 15. 03. Quantos números de 3 algarismospodemos formar com os algarismossignificativos (1 a 9)?↓ ↓ ↓9 x 9 x 9 = 729 númerosE se fossem com algarismos distintos?9 x 8 x 7 = 504 números
  16. 16. 04. Quantos números de quatro algarismosdistintos podemos formar no sistema denumeração decimal?Resolução:Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 99 x 9 x 8 x 7O número não começar por 0 (zero), logo:9 . 9 . 8. 7 = 4.536Resposta: 4.536 números
  17. 17. 05. Em uma corrida de 6 carros,quantas são as possibilidades do 1º, 2ºe 3º lugares?1º lugar 2º lugar 3º lugar↓ ↓ ↓6 x 5 x 4 = 120 possib.
  18. 18. 06. Quantos são os divisores de 72?Os divisores de 72 são do tipo 2x. 3y(pois 72 = 23.32) onde: x ∈ {0, 1, 2, 3} ey ∈ {0, 1, 2}.Logo teremos: 4 possibilidades para aescolha do expoente x e 3possibilidades para a escolha doexpoente y.Total: 4 x 3 = 12
  19. 19. 07. Quantos resultados podemos obter naloteria esportiva?Como são 14 jogos, e para cada um dos jogostemos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.Pelo P.F.C., teremos:Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14C1CmC2C1CmC2C1CmC23 x 3 x ... x 3 = 314
  20. 20. EM RESUMO:EM RESUMO:1º) Quantas escolhas devem ser feitas.2º) Quantas opções cada escolha tem.3º) Multiplicar tudo!⇒ Se o problema não depender da ordemnão depender da ordem(por exemplo: comissões, escolhas, jogos,equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão,casais, grupos, etc.) dividimos o resultadodividimos o resultadopelo fatorial das escolhas.pelo fatorial das escolhas.
  21. 21. 08. Existem 3 linhas de ônibus ligando acidade A à cidade B, e 4 outras ligando B àcidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C,passando por B. De quantos modosdiferentes a pessoa poderá fazer essaviagem?Resolução:de A para B = 3 possibilidadesde B para C = 4 possibilidadesLogo, pelo princípio fundamental de contagem,temos: 3 . 4 = 12Resposta: 12 modos
  22. 22. 09. A placa de um automóvel é formadapor duas letras seguidas por um númerode quatro algarismos. Com as letras A e Re os algarismos ímpares, quantas placasdiferentes podem ser constituídas, demodo que o número não tenha algarismorepetido?Pelo princípio fundamental da contagem, temos:2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480 Resposta: 480 placasResolução:Placa:2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2
  23. 23. 10. Quantos números de trêsalgarismos distintos podemos formarcom os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?5 x 4 x 3 → 5 x 4 x 3 = 60Respostas: 60 números
  24. 24. 11. Com os algarismos de 1 a 9,quantos números de telefone podemformar-se com 6 algarismos, demaneira que cada número tenhaprefixo 51 e os restantes sejamnúmeros todos diferentes, inclusivedos números que formam o prefixo?
  25. 25. Resolução:Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9Prefixo →7 x 6 x 5 x 4colocando-se o prefixo 51, restam 7algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840Resposta: 840 números
  26. 26. 12. Um tabuleiro especial de xadrezpossui 16 casas dispostas em 4linhas e 4 colunas. Um jogadordeseja colocar 4 peças no tabuleiro,de tal forma que, em cada linha ecada coluna, seja colocada apenasuma peça. De quantas maneiras as4 peças poderão ser colocadas?
  27. 27. Resolução:Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras.Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente,4 e 1 maneiras.Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576Resposta: 576 maneiras
  28. 28. 13. Um torneio esportivo entre duas escolasserá decidido numa partida de duplas mistasde tênis. A Escola E inscreveu nestamodalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipede tenistas da Escola F conta com 5rapazes e 3 moças. Calcule de quantasmaneiras poderemos escolher os quatrojogadores que farão a partida decisiva,sabendo que uma das jogadoras da equipeE não admite jogar contra seu namorado,que faz parte da equipe F.
  29. 29. Resolução:Cálculo da quantidade de maneiras de formaçãodas equipes:Escola E → 6. 4 = 24 maneirasEscola F → 5 . 3 = 15 maneirasAssim, os quatro jogadores podem ser escolhidosde: 24 . 15 = 360 maneiras.Excluindo os casos nos quais os namorados jogamentre si, que são em números de:(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos:360 – 18 = 342Resposta: 342 maneiras
  30. 30. 14. De quantos modos pode-se pintar asfaces laterais de uma pirâmide pentagonalregular, utilizando-se oito cores diferentes,sendo cada face de uma única cor?Resolução:Supondo-se que todas as cinco faces laterais dapirâmide sejam pintadas com cores diferentesduas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, onúmero de modos de pintar suas faces laterais,utilizando 8 cores diferentes, será dado por:8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720Resposta: 6.720 modos
  31. 31. 15) (Cesgranrio-2005) A senha de certo cadeado écomposta por 4 algarismos ímpares, repetidos ounão. Somando-se os dois primeiros algarismosdessa senha, o resultado é 8; somando-se os doisúltimos, o resultado é 10. Uma pessoa que sigatais informações abrirá esse cadeado em nomáximo n tentativas, sem repetir nenhuma. Ovalor de n é igual a:a) 9b) 15c) 20d) 24e) 30
  32. 32. Resolução:Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ouseja, 04 opções;Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e1, ou seja, 05 opções.Total de tentativas : 04 x 05 = 20Portanto n = 20 tentativas.
  33. 33. 16. Observe o diagramaO número de ligações distintas entre X e Zé:a) 39b) 41c) 35d) 45
  34. 34. Resolução:Possíveis caminhosXRZ = 3.1 = 3XRYZ = 3.3.2 = 18XYZ = 1.2 = 2XSYZ = 3.2.2 = 12XSZ = 3.2 = 6Total = 41 (Princípio da ADIÇÃO)
  35. 35. O Princípio da AdiçãoO Princípio da AdiçãoExemplo:Um consumidor deseja comprar um veículo de umaconcessionária. A concessionária tem 23 automóveis e 14caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis oconsumidor tem?Princípio da AdiçãoSe A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultadospossíveis, respectivamente, então o número total depossibilidades para o evento “A e B” é n1 + n2.Suponha que queremos selecionar uma sobremesa entretrês tortas e quatro bolos. De quantas maneiras isso podeser feito?O número de escolhas possíveis é o número total deescolhas que temos, 3 + 4 = 7.23 + 14 = 37Se fosse o mesmo número de veículos mais 17 veículosvermelhos, não seria 23 + 14 + 17. Conjuntos não disjuntos!
  36. 36. Usando os dois Princípios JuntosUsando os dois Princípios JuntosExemplo:Uma criança pode escolher uma entre duas balas, umarosa e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo,um verde e um branco. Suponha que, neste caso,queremos encontrar de quantas maneiras diferentes acriança pode escolher o doce, ao invés do número deconjuntos de doces que ela pode ter.Exemplo:Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?Exemplo:Considere novamente o problema do Exemplo anterior.Vamos evitar usar o princípio da adição.6 + 6 = 121000 + 1000 = 20002 . 10 . 10 . 10 = 2000
  37. 37. 17. A quantidade de números de trêsalgarismos, maiores que 500, que podem serformados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, comrepetição, é igual a:a) 10b) 20c) 48d) 52e) 100Resolução:é um problema em que o português équem manda, a maioria das pessoascometeriam o erro de fazer o cálculo:4 x 5 x 5 = 100 (errado!)Porém, quando o problema fala comrepetição, os algarismos devem serrepetidos,assim:
  38. 38. Nº com algarismos repetido mais nº comalgarismos distintos é igual ao total de nº quepodem ser formados Usando o P.F.C. teremos:Nº com algarismos repetidos = xNº com algarismos distintos = 4.4.3 = 48Total de nº formados = 4.5.5 = 100Portanto, x + 48 = 100 x = 52Resposta : Letra D.
  39. 39. 18. Duas das cinqüenta cadeiras de umasala serão ocupadas por dois alunos. Onúmero de maneiras distintas possíveisque esses alunos terão para escolherduas das cinqüenta cadeiras, paraocupá-las, é:a) 1225b) 2450c) 250d) 49! Resolução:50 x 49 = 2450
  40. 40. 19. Com relação a palavra BRASIL, quantosanagramas podemos formar:a)No total?Resolução: 6! = 720b) Começados por BR?Resolução: 4! = 24 ⇒ |BR| 4.3.2.1c) Começando por vogal e terminando emconsoante ?Resolução: 2.4.3.2.1.4 = 192
  41. 41. d) Com as letras BR juntas nesta ordem?Resolução:BR juntas significa que formarão uma únicaletra, logo o anagrama será composto de 5letras, portanto a resposta é:5! = 120e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem?Resolução:Em qualquer ordem, teremos:5! . 2 = 240
  42. 42. f) Quantos anagramas podemos formarcom a palavra ARARA?g) E com a palavra ITATIAIA ?h) E com a palavra APROVADO ?102.6120!2!3!5==!2!3!3!8!2!2!8
  43. 43. 20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e2 amarelas. Elas são extraídas uma a umasem reposição. Quantas seqüências decores podemos observar?Resolução: É como se fosse umaseqüência de bolas em fileira, do tipo:VVVAA, em qualquer ordem faremos comose fosse um anagrama com repetição, ouseja,10!2!.3!5=
  44. 44. 21. Uma cidade é formada por 12 quarteirõessegundo a figura abaixo. Uma pessoa sai doponto P e dirigi-se para o ponto Q pelocaminho mais curto, isto é movendo–se daesquerda para direita, ou de baixo para cima.Nessas condições, quantos caminhosdiferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas“horizontais” e 3 “verticais”?.QP.Idem solução anterior,é uma anagrama comrepetição do tipo:DDDDCCC, ou seja:35!3!.4!7=Resolução:
  45. 45. 22.O número de anagramas que podemser formados com as letras da palavraAPOSTA e que não apresentam as letrasA juntas é:a) 120b) 240c) 360d) 480e) 600Resolução:TOTAL – A juntas = A separadas!5!2!6−1202720−120360 −240
  46. 46. 23.O jogo da Sena consiste em acertar 6dezenas sorteadas entre 60. O número depossíveis resultados está entre:a) 15.000.000 e 25.000.000b) 25.000.000 e 35.000.000c) 35.000.000 e 45.000.000d) 45.000.000 e 55.000.000Resolução:50.063.860155256357458559660≈⋅⋅⋅⋅⋅
  47. 47. 24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles,8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2.Ele foi convidado para ir a uma festa e, aosair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos RollingStones e 3 do U2. O número de modosdistintos de se escolherem os discos é:a) 12b) 42c) 160d) 1.120e) 1.200Resolução:Beatles x Rol. Stones x U2122334x1728x1425⋅⋅⋅⋅1120
  48. 48. 25.Se existem 11 pessoas em uma sala ecada pessoa cumprimenta todas asoutras uma única vez, o número deapertos de mão dados será igual a:a) 55b) 65c) 110d) 121Resolução:Precisamos de mãos : 55110211=⋅
  49. 49. 26.Um fisioterapeuta recomendou a umpaciente que fizesse, todos os dias, trêstipos diferentes de exercícios e lheforneceu uma lista contendo sete tiposdiferentes de exercícios adequados aesse tratamento. Ao começar otratamento, o paciente resolve que, acada dia, sua escolha dos três exercíciosserá distinta das escolhas feitasanteriormente. O número máximo de diasque o paciente poderá manter esseprocedimento é:a) 35b) 3835152637=⋅⋅Resolução:
  50. 50. 27. De quantas maneiras distintaspodemos distribuir 10 alunos em 2 salasde aula, com 7 e 3 lugares,respectivamente?a) 120b) 240c) 14.400d) 86.400e) 3.608.800Resolução: Basta escolhermos 3 e osoutros irão para a outra sala;1201829310=⋅⋅
  51. 51. 28.O número de múltiplos de 10,compreendidos entre 100 e 9999 e comtodos os algarismos distintos é:a) 250b) 321c) 504d) 576Resolução:Para ser múltiplo de 10 o zero tem queestar fixo na casa das unidades, portanto:576total504078972089==⋅⋅=⋅
  52. 52. 29.Uma sala tem 6 lâmpadas cominterruptores independentes. O númerode modos de iluminar essa sala,acendendo pelo menos uma lâmpada é:a) 63b) 79c) 127d) 182e) 201Resolução:Sabemos que a condição para iluminara sala é que pelo menos uma lâmpadaesteja acesa.As opções de cadalâmpada são: acesa e apagada, logo:2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1(todas apagadas) = 63
  53. 53. 30. O código Morse usa “palavras” contendode 1 a 4 “letras”. As “letras” sãorepresentadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-).Deste modo, a quantidade de “palavras”possíveis através do código Morse é:a) 16b) 64c) 30d) 8e) 36Resolução:Pode-se formarpalavras de uma, duas, três ou quatro letrase as opções por letrasão duas (ponto outraço), logo: 30totalletras)(4162.2.2.2letras)(382.2.2letras)(242.2letra)(12====
  54. 54. 31. O número de maneiras de sedistribuir 10 objetos diferentes em duascaixas diferentes, de modo quenenhuma caixa fique vazia, é:a) 45b) 90c) 1022d) 101Resolução:São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)
  55. 55. 32.(BB/2007) Considere que o BB tenhaescolhido alguns nomes de pessoaspara serem usados em uma propagandana televisão, em expressões do tipoBanco do Bruno, Banco da Rosa etc.Suponha, também, que a quantidadetotal de nomes escolhidos para aparecerna propaganda seja 12 e que, em cadainserção da propaganda na TV, sempreapareçam somente dois nomes distintos.Nesse caso, a quantidade de inserçõescom pares diferentes de nomes distintosque pode ocorrer é inferior a 70.
  56. 56. Resolução:É uma questão de análise combinatóriaonde usaremos o princípio fundamental decontagem:Devemos fazer duas escolhas dentre as 12pessoas disponíveis, ou seja:pares diferentes,ou ,portanto o item está correto.66111212=x66!2!.10!122,12 ==C
  57. 57. 33.(BB/2007)Considere que umdecorador deva usar 7 faixas coloridasde dimensões iguais, pendurando-asverticalmente na vitrine de uma lojapara produzir diversas formas. Nessasituação, se 3 faixas são verdes eindistinguíveis, 3 faixas são amarelase indistinguíveis e 1 faixa é branca,esse decorador conseguirá produzir,no máximo, 140 formas diferentes comessas faixas
  58. 58. Resolução:É um problema de permutação repetidaonde as cores são como letras e o totalde faixas(7) como uma palavra de 07letras, ou seja:formas,portanto o item está correto.140337733 ==!!.!P ,
  59. 59. 34. Há exatamente 495 maneirasdiferentes de se distribuírem 12funcionários de um banco em 3agências, de modo que cada agênciareceba 4 funcionários.Resolução:1ª agência x 2ª agência x 3ª agência34650170495112233441526374819210311412=××=⋅⋅⋅×⋅⋅⋅×⋅⋅⋅
  60. 60. 35. Se 6 candidatos são aprovadosem um concurso público e há 4setores distintos onde eles podemser lotados, então há, no máximo, 24maneiras de se realizarem taislotações.Resolução:4.4.4.4.4.4 = 46, maneiras,portanto o item está errado
  61. 61. 36.(UFMG-2006) A partir de um grupo deoito pessoas, quer-se formar umacomissão constituída de quatrointegrantes. Nesse grupo,incluem-seGustavo e Danilo, que, sabe-se, não serelacionam um com o outro. Portanto, paraevitar problemas, decidiu-se que essesdois,juntos, não deveriam participar dacomissão a ser formada. Nessascondições, de quantas maneiras distintasse pode formar essa comissão?a) 70 b) 35 c) 45 d) 55
  62. 62. RESOLUÇÃO:Total de comissões – comissões (Gustavoe Danilo juntos)15.2615.26.37.48−1570 −55
  63. 63. SOLUÇÕES INTEIRAS NÃOSOLUÇÕES INTEIRAS NÃONEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃONEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃOLINEARLINEAREx.: Considere a equação linearx + y = 5, quantas soluções inteirasnão negativas podemos obter:(0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0),portanto teremos 6 soluções inteirasnão negativas.
  64. 64. Considere agora a equaçãox + y + z = 7resolvendo por tentativa, o trabalhoserá muito grande , e corremos orisco de esquecer alguma solução.Temos que dividir 7 unidades em 3partes ordenadas, de modo que fiqueem cada parte um número maior ouigual a zero.
  65. 65. Indicaremos cada unidade por umabolinha e usaremos a barra para fazera separação, que corresponde aossinais de adição:
  66. 66. Logo teremos uma permutação comelementos repetidos (como emAARAARAAA), assim:36!2!7!92,79==PPortanto existem 36 soluções inteiraspositivas para a equação.

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