Matemática e Xadrez

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Matemática e Xadrez

  1. 1. Matemática e Xadrez Rodrigo Romais, Adriana Vietmeier Nicoli
  2. 2. 1. Lenda de Sissa• Sissa, filósofo indiano, teria inventado o jogo de xadrez para curar o tédio do aborrecido rei Kaíde• O Rei prometeu uma Recompensa.• Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim sucessivamente, até chegar a 64ª casa.• O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu tão humilde e acedeu imediatamente à aparente insignificância deste pedido
  3. 3. 1. Lenda de Sissa• Mas, Feitos os cálculos, verificou-se que todos os tesouros da Mas qual a quantidade 𝑄 de grãos pedida? Índia não eram suficientes para pagar a recompensa pedida. Fazendo 𝑄 a soma dos grãos:• 𝑄 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯• 𝑄 = 20 + 21 + 22 + 23 + ⋯ + 263 Ou: 63 então: 𝑄 = �2𝑘 𝑘=0
  4. 4. 1. Lenda de Sissa 𝑄 = 264 − 1• Ou ainda: 𝑄 = 18.446.744.073.709.551.615• Para ter uma ideia de seu tamanho: o A produção de trigo no Brasil em 2003 foi de 6.029.396 toneladas de grãos. Supondo que, em média, mil grãos de trigo tenham massa de 35 g então seria necessário juntar a produção brasileira de mais de 107 mil anos para pagar a recompensa.
  5. 5. 2. Complexidade do Jogo de Xadrez• Claude Shannon fez uma estimativa numérica de possibilidades de jogos que podem ser realizados.• Uma partida tem em média 40 movimentos para brancas e (30 × 30)40 pretas, e que em cada movimento média 30 possibilidades. 90040 = 10 𝑥 𝑥 = 40 ∙ log 900 𝑥 ≈ 118,1697 A complexidade do Xadrez atualmente é avaliada em 10123 , é estimado entre 4 × 1078 e 6 × 1079 .• e como comparação com o número de átomos no universo
  6. 6. 3. Possibilidade de Aberturas• Qual o número de possibilidades de aberturas no jogo de xadrez?• O peão ou cavalo podem iniciar uma partida de xadrez.
  7. 7. 3. Possibilidade de Aberturas• O peão pode efetuar o movimento de uma a duas casas, então cada peão tem duas possibilidades no primeiro movimento.• Já o cavalo realiza o movimento em “L” saltando sobre as peças, também tem duas possibilidades cada um. Seja 𝑃 o número de possibilidade no movimento inicial. 𝑃 = 2. 𝑝 + 2. 𝑐• 𝑝 – número de peões Com: 𝑐 – número de cavalos
  8. 8. 3. Possibilidade de Aberturas 𝑃 = 2.8 + 2.2 Então: 𝑃 = 20• Levando em conta o primeiro movimento, temos 20 possibilidades para brancas e 20 possibilidades para as 𝑃 × 𝑃 = 20 × 20 pretas, logo: 𝑃𝑃 = 400• Portanto, há 400 possibilidades para o primeiro movimento do jogo.
  9. 9. 3.1 Mobilidade Após Aberturas• Qual a maior mobilidade de peças após o lance inicial?• Para isso deve-se analisar cada uma das 20 possibilidades do primeiro movimento, e respectivamente, calcular o número de possibilidades do segundo movimento. 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝒆𝒆 𝒇𝒇 𝒈𝒈 𝒉𝒉 𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝑪 A mobilidade das brancas após o primeiro movimento 𝑎𝑎 = 19 𝑏𝑏 = 21 𝑐𝑐 = 21 𝑑𝑑 = 27 𝑒𝑒 = 30 𝑓𝑓 = 19 𝑔𝑔 = 21 ℎ3 = 19 𝐶𝐶𝐶 = 20 𝐶𝐶𝐶 = 22 𝑎𝑎 = 21 𝑏𝑏 = 21 𝑐𝑐 = 22 𝑑𝑑 = 28 𝑒𝑒 = 30 𝑓𝑓 = 20 𝑔𝑔 = 21 ℎ4 = 21 𝐶𝐶𝐶 = 22 𝐶𝐶𝐶 = 20 De acordo com a Tabela 2, as melhores mobilidades após o coluna 𝑑 e 𝑒• primeiro movimento, concentram-se nas casas do centro, da
  10. 10. 3.2 Probabilidade do Mate do Louco• O xeque-mate do louco fica representado da seguinte maneira utilizando a notação algébrica: 𝑓𝑓 𝑒𝑒 Brancas Pretas 𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷 + + 1 2• Este é xeque-mate tem apenas dois movimentos, uma saída totalmente equivocada das brancas.• Calculando a probabilidade de cada movimento, sabendo que o movimento inicial há 20 possibilidades para brancas e 1 1 𝑃1 = ∙ pretas. 20 20• Onde 𝑃1 é a probabilidade do primeiro movimento.
  11. 11. 3.2 Probabilidade do Mate do Louco• A saída 𝑓3 para as brancas gera 19 possibilidades para o A saída das pretas na 𝑒6 gera 30 possibilidades, logo: segundo movimento. 1 1• 𝑃2 = ∙ 19 30• Onde 𝑃2 é a probabilidade do segundo movimento. Calculando uma sequencia de mobilidades, conforme 𝑃 𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2 × ⋯ × 𝑃 𝑛• expressão abaixo: 𝑃 𝑡 - Probabilidade de uma sequencia de jogadas;Onde: 𝑃1- Probabilidade da primeira jogada; 𝑃2- Probabilidade da segunda jogada; 𝑃 𝑛 -Probabilidade da jogada 𝑛.
  12. 12. 3.2 Probabilidade do Mate do Louco 𝑃 𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2• Calculando a probabilidade dos movimentos: 1 1 1 1 𝑃𝑡 = ∙ × ∙ 20 20 19 30• Então a probabilidade para que o xeque-mate do louco 𝑃 𝑡 ≅ 4,4 × 10−6 ocorra é:
  13. 13. 4. Oito Rainhas• Sabendo que a dama movimenta-se em todas as direções no tabuleiro, nas verticais, horizontais e diagonais:• Como dispor de 8 damas em um tabuleiro de 64 casas, de modo que com elas não se ataquem?
  14. 14. 4. Oito Rainhas• Por volta de 1950 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss e o astrônomo Heinrich Schumacher descobriram 12 soluções fundamentais, nas quais por rotação e reflexão geram até 92 soluções distintas.• As 12 soluções fundamentais são: (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4); (1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5); (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5); (2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4); (2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3); (2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5); (2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5); (2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4); (2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3); (3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6); (3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6); (3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4).
  15. 15. 4. Oito Rainhas• A representação numérica indica a posição de cada linha nas determinadas colunas conforme a figura: Primeira Solução Fundamental: (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4)
  16. 16. 4. Oito Rainhas• Reflexão Eixo 𝑦: Reflexão eixo y(vertical), Solução Fundamental 1
  17. 17. 4. Oito Rainhas• Reflexão Eixo 𝑥: Reflexão eixo x(horizontal), Solução Fundamental 1
  18. 18. 4. Oito Rainhas• Reflexão Diagonal: Reflexão diagonal principal, Solução Fundamental 1
  19. 19. 4. Oito Rainhas• Simetria: Rotação sentido horário, Solução Fundamental 1
  20. 20. 5. Travessia do Rei• Quantas possibilidades o rei pode atravessar o tabuleiro em 7 movimentos? De quantas maneiras o rei pode ir da 𝑒1 até a 𝑒8? O Rei inicia o jogo na casa 𝑒1 , e apresenta movimentos•• limitados• deseja-se calcular o número de possibilidades que o Rei pode realizar para atravessar o tabuleiro.
  21. 21. 5. Travessia do Rei• Em sete movimentos: Possibilidades para o rei atravessar o Tabuleiro• Somando todos os resultados da 8ª linha, encontra-se 1994 possibilidades para o rei atravessar o tabuleiro em 7 movimentos.
  22. 22. 6. Problemas de Longitude• Entendendo que o tabuleiro de xadrez, é considerado um espaço onde pode calcular áreas e distancias utilizando uma unidade de medida qualquer• Pode-se representar uma sequência de movimentos terminados em mate, como a soma de suas longitudes geométricas.• Mas quando a longitude é mínima?• Tomando uma casa como unidade de área, e um dos lados como unidade de medida, como representar um movimento de forma numérica?
  23. 23. 6. Problemas de Longitude• Se o Movimento é na horizontal ou vertical, apenas conta-se o descolamento das peças• Torre, deslocou-se da 2ª para a 8ª coluna, então sua longitude geométrica, equivale a 6.
  24. 24. 6. Problemas de Longitude descolamento das peças, multiplicado por 2.• Se o Movimento é na diagonal, apenas conta-se o geométrica equivale a 4 2.• Bispo deslocou-se da 3ª para a 7ª casa, então sua longitude
  25. 25. 6. Problemas de Longitude descolamento 5.• Se o Movimento é de cavalo, apenas conta-se o• Pense que o movimento do Cavalo é a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados 1 e 2.
  26. 26. 6. Problemas de Longitude• O enxadrista E. Bonsdorff propôs uma série de problemas para o XXXV Torneio de Temas Enxadrísticos (1960-1961).• Diagrama 1 é uma série de movimentos que termina em xeque-mate, proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela. 𝑑𝑑 𝑒𝑒 Brancas Pretas 𝐷𝐷𝐷 𝑅𝑅𝑅 1 𝐷𝐷𝐷 𝑒𝑒 2 𝐷x𝑒𝑒 + + 3Então a longitude 𝐿: 4 𝐿 = 1+1+1+1+ 2+1+2 𝐿 = 7 + 2 𝑢. 𝑚. 𝐿 ≈ 8,41 𝑢. 𝑚.
  27. 27. 6. Problemas de Longitude• Diagrama 2 também proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela: 𝑓𝑓 𝑒𝑒 Brancas Pretas 𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷 + + 1 2 𝐿 = 1+1+2+4 2 Realizando a soma das respectivas longitudes: 𝐿 = 4+4 2 𝐿 ≈ 9,66• Entende-se que, quanto menos for a soma das longitudes geométricas, mais preciso é o xeque-mate, pois utilizou-se de um número menor de jogadas.
  28. 28. Referências• RIIHIMAA, O. ; Bonsdorff, E. ; Fabel, K. – Ajedrez y Matemáticas.• ROMAIS, Rodrigo; NICOLI, Adriana V. – 2º Ciclo de Minicursos e Oficinas de Matemática, 2011.

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