O documento descreve os conceitos básicos de números naturais, operações matemáticas como adição, subtração e multiplicação. Ele também apresenta exemplos históricos de sistemas numerais como o romano e o hindu e propriedades dessas operações.

1. Números naturais operações
1 - ADIÇÃO,SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃOE DIVISÃO
A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS
Os númerosforaminventadospeloshomens.Massua
criação não aconteceude repente surgiuda
necessidadede contarcoisas.
O homemprimitivo,porexemplo, contavatraçando
riscosna madeiraou noosso,ou ainda,fazendonósem
uma corda.
Comoera difícil contarquantidadesgrandese efetuar
cálculoscom pedras,nósou riscossimples,a
necessidadede efetuarcálculoscommaiorrapidez
levouohomema criar símbolos,pararepresentar
quantidade.
Na antiguidade,nemtodosospovosusavamos
mesmossímbolos.Vamosconhecercomoalgunspovos
dessaépocacontavam.
A NUNERAÇÃODOS ROMANOS
Os romanosrepresentavamquantidadesusandoas
própriasletrasde seualfabeto:
I - valiaumaunidade
V - valiacinco unidades
X - representavadezunidades
L - indicavacinquentaunidades
C - valiacemunidades
D - representavaquinhentasunidades
M - indicavamil unidades
As quantidadeseramrepresentadascolocando-se os
símbolos unsao ladodos outros,conforme aseguinte
regra:
- Os símbolosiguaisjuntos,até três,significavasoma
de valores:
II = 1 + 1 = 2
XXX= 10 + 10 + 10 = 30
CCC = 100 + 100 + 100 = 300
- Doissímbolosdiferentesjuntos,comonúmeromenor
aparecendoantesdomaior,significavasubtraçãode
valores:
IV = 5 - 1 = 4
XL = 50 - 10 = 40
XC = 100 - 10 = 90
- Doissímbolosdiferentesjuntos,comomaior
aparecendoantesdomenor,significasomade valores:
LX = 50 + 10 = 60
CCXXX= 200 + 30 = 230
DC = 500 + 100 = 600
MMMD = 3000 + 500 = 3500
- Para indicarquantidadesapartirde 4000, os romanos
usavamum traço horizontal sobre asletras
correspondentesàquantidade de milhares:
_
IV = 4000
_
V = 5000
_
VCCCXX= 5320
_____
XXIII= 23000
obs:Os Romanosnão conheciamumsímbolopara
representaronúmerozero.
A NÚMERAÇÃODOS HINDUS
Foram oshindusque inventaramossímbolosque
usamosaté hoje :
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9
Essessímbolos,divulgadospelosárabes,são
conhecidoscomoalgarismosindo-arábicose comeles
escrevemostodososnúmeros.
Mais adiante vamosfalarsobre o sistemade
numeraçãoque usamos.Você sabe,porexemplo,que
51 e 15 representamquantidadesbemdiferentes.
NÚMEROS NATURAIS
Quandocontamosuma quantidade de qualquercoisa
(objetos,animais, estrelas, pessoas,etc.) empregamos
os números0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, 15,...
Essesnúmerossãochamadosde númerosnaturais.
Existeminfinitosnúmerosnaturaisosnúmerosque
aparecemjuntos,comona sequênciaacimasão
chamadosnúmerosconsecutivos.Porexemplo12e 13
são consecutivos13é o sucessor(vemdepois) de 12 e
12 é o antecessor(vemantes) de 13.
Observações:
1) todo númeronatural temumsucessor(é o que vem
depois)
2) todo númeronatural temumantecessor(é o que
vemantes),comexeçãodozero.
3) Um númeronatural e o seusucessorsão chamados
númerosconsecutivos.
PAR OU IMPAR
Um númeronatural é par quandoterminaem0,2,4,6
ou 8
Os númerosparessão:0,2,4,6,8,10,12,14,16......
Um númeroé ímpar quandoterminaem1,3,5,7, ou 9.
Os númerosímparessão:1,3,5,7,9,11,13,15.......
EXERCICIOS
1) Determine
a) O sucessorde 199
b) o sucessorde 7.777
c) o sucessorde 1.005.000
d) o sucessorde 7.777.779
e) o sucessorde 4.060.999
f) o antecessorde 399
g) o antecessorde 6.666
h) o antecessorde 50.000
i) o antecessorde 6.084.000
j) o antecessorde 1.000.000
2) Adicione
a) 137 com o seu sucessor R: 137 + 138 = 275
b) 298 com o seuantecessor
3) Pense emtodososnúmerosnaturaisque se escreve
com doisalgarismos.É(45):
a) Quantossão pares?
b) Quantos sãoímpares?
ADIÇÃO

2. juntando,quantodá?
A professorade línguaPortuguesaindicouaosalunos
de 5° série oslivrosque elesdeverãolernoprimeiro
bimestre doanoletivo,oprimeirotem64 páginase o
segundotêm72 páginas.
Nessesdoislivros,quantaspáginas,aotodo,osalunos
vão ler?
Devemoscontaras 72 páginasde um livromaisas 64
páginasdo outro.
Partindode 72 e contandomais64 vemoschegarao
resultado.Essacontagemé demorada,nãoé? Porisso,
você aprendeuafazeresta conta:
72 + 64 = 136 ou
72 +
64
----
136
Adicionarsignificasomar, juntar, ajuntar,acrescentar.
No exemploacima,osnúmeros72 e 64 são parcelasda
adição.O resultado,136, é chamadosoma.
Vejaoutroexemplo:
600 + 280= 880—soma
I
parcelas
Na matemática,aoperação da adiçãoé usadaquando
devemosjuntarduasoumaisquantidades.
Consideremos,então,asseguintessituaçõesemque
vamosempregara operaçãode adição
1º EXEMPLO
Uma empresatem1748 pessoastrabalhandonasua
fábricae 566 pessoastrabalhandonoseuescritório.
Quantaspessoastrabalham,aotodo,nessaempresa?
Resolução
Para resolveresse problema,devemosfazer1748 +
566, ou seja:
1748---parcela
+566---parcela
--------
2314---soma ou total (resultadoda operação)
logo,podemosdizerque nessaempresatrabalham
2314 pessoas.
2º EXEMPLO
Em uma escola,oiníciodas aulasé às 7h 30min.Como
cada aula tem50 minutosde duração,a que horas
terminaa primeiraaula?
Resolução
Para resolveresse problema,devemosfazer7h30min +
50 min,ou seja
7h 30 min----parcela
+ 50 min----parcela
--------------
7h 80 min----somaoutotal
Como1 hora tem60 minutos,então 80 minutos
correspondema1h 20 min.
Então 7h 80 min= 7 h + 1h 20 min= 8 h 20 min
logo,podemosdizerque aprimeiraaulaterminaàs8 h
20 min.
3º EXEMPLO
Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu
49 partidas,empatou18 partidase perdeu5 partidas.
Quantaspartidasessaequipe disputoudurante oano
de 2008?
Resolução
Para resolveroProblema,devemoscalcular49+ 18 + 5,
ou seja:
49---parcelas
18---parcelas
+5---parcelas
------
72---soma ou total
Logo, podemosdizerque essaequipe disputou72
partidas
EXERCÍCIOS
1) Calcule assomas
a) 10 + 11 =
b) 10 + 21 =
c) 10 + 31 =
d) 10 + 41 =
2) calcule as somas
a) 110 + 100 =
b) 120 + 101 =
c) 130 + 111 =
d) 140 + 121 =
3) Efetue asadições
a) 1487 + 2365 =
b) 6547 + 5478 =
c) 4589 + 4587 =
d) 3258 + 9632 =
e) 7896 + 5697 =
4) Efetue asadições
a) 296 + 1634 + 98 =
b) 109 + 432 + 7482 =
c) 48 + 16409 + 287 =
d) 31 + 1487 + 641 + 109 =
5) Determine asomado número273 com o seu
sucessor.
6) Um objetocustaR$ 415.720,00. O comprador terá
aindaR$ 28.912,00 de despesade frete.Quantoo
compradorvai pagar?
7) Ao receberomeusaláriopaguei R$ 437,12 de
aluguel,R$68,14 de impostos.R$ 1.089,67 de gastos
com alimentaçãoe aindame sobraramR$ 749,18.
Quantorecebi de salário?
8) Um meninoestuda2horas e 45 minutospelamanhã
e 4 horas e 30 minutosàtarde.Quantos minutosestuda
diariamente?
9) Calcule:
a) 1705 + 395 =2100

3. b) 11.048 + 9.881 = 21.029
c) 4.907 + 62.103 =
d) 275.103 + 94.924 =
e) 545 + 2.298 + 99 =
f) 7.502 + 209.169 + 38.425 =
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Vamosobservara seguintessituações:
1º) consideremososnúmerosnaturais40e 24 e vamos
determinarasua soma? (R: 40 + 24 = 64)
trocandoa ordemdosnúmeros,vamosdeterminara
sua soma 24 + 40 = 64
De acordocom as situaçõesapresentadas,podemos
escrever 40 + 24 = 24 + 40
Esse fato sempre vai ocorrerquandoconsideremosdois
númerosnaturais.Daí concluímos
Numaadição de doisnúmerosnaturais,aordemdas
parcelasnão alteraa soma. Essa propriedade é
chamada PROPRIEDADE COMUTATIVADA ADIÇÃO
2º) Consideremososnúmerosnaturais16,20 e 35 e
vamosdeterminarasua soma:
16 + 20 + 35
=36 + 35
=71 16 + 20 + 35
= 16 + 55=
=71
De acordocom as situaçõesapresentadas,temos
(16 + 20) + 35 = 16 + (20 + 35)
Esse fato se repete quandoconsideramostrêsnúmeros
naturaisquaisquer. Então:
Numaadição de trêsou maisnúmerosnaturais
quaisquer,podemosassociarasparcelasde modo
diferentes. Essapropriedade é chamada PROPRIEDADE
ASSOCIATIVADA ADIÇÃO.
3º) Consideremososnúmerosnaturais15e 0 e vamos
determinarasua soma,independentemente daordem
dos números:
15 + 0 = 15 0 + 15 = 15
Você nota que o númeroonão influi noresultadoda
adição.Então
Numaadição de um númeronatural com zeroa soma é
sempre igual aesse númeronatural. Nessascondições,
o númerozeroé chamado ELEMENTO NEUTRO DA
ADIÇÃO.
SUBTRAÇÃO
Na matemática,aoperação da subtraçãoé empregada
quandodevemostirarumaquantidade de outrae a
quantidade. Vejaoexemplo:
O estádiodoPacaembu,nacidade de São Paulo,tem
capacidade para 40.000 pessoas.È tambémnacidade
de São Pauloque se encontrao estádiodoMorumbi
que temcapacidade para 138.000 pessoas.
Para se ter uma idéiadotamanhodo Morumbi,se
colocarmosnele 40.000 aindasobrarão muitoslugares.
Quantosobrarão?
Dos 138.000 lugaresdevemostiraros40.000 assim
138.000 - 40.000 = 98.000 sobrarão 98.000 lugares.
Subtrairsignificatirar,diminuir.
72 -
64
----
8
Na subtraçãoanterior,o número138.000 é chamado
minuendoe 40.000 é o subtraendo,oresultado,
98.000, é chamado diferençaouresto.
Para resolveroProblema,devemoscalcular49+ 18 + 5,
ou seja:
138.000---minuendo
40.000---subtraendo
- 98.000---resultado
--------------
72---diferençaouresto
Logo, podemosdizerque essaequipe disputou72
partidas
1) calcule as subtrações
a) 47 - 31=16
b) 58 - 45=13
c) 65 - 57=8
d) 89 - 65=24
e) 97 - 21=76
f) 78 - 34=44
2) Calcule asSubtrações:
a) 72224-6458=
b) 701-638=
c) 131003-88043=
d) 1138-909=
e) 80469-6458 =
3)Dom PedroII,imperadordoBrasil,faleceuem1891
com 66 anos de idade.Emque ano ele nasceu?R: 1825
4) Um aviãoBoeing747 pode transportar370
passageirose umaviãoDC-10 pode transportar285
passageiros.QuantospassageirosoBoeing747 pode
transportara maisque o DC10? R: 85 passageiros
5) À vistaum automóvel custa26.454 reais.À prazoo
mesmoautomóvel custa38.392 reais.A diferençaentre
o preçocobrado é chamadode juros.Qual é a quantia
que pagará de juros?R: 11.938
6) Qual a diferençaentre 10.000 e 5.995?
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicaçãoé umaadição de parcelasiguais.
veja 3+3+3+3 = 12
Podemosrepresentaramesmaigualdade por
4 x 3 = 12 ou 4 . 3 = 12
Essa operaçãochama-se multiplicaçãoe é indicadapelo
sinal . oux. Namultiplicação4x 3 = 12 dizemosque;
4 e 3 são os fatores
12 é o produto

4. 1º exemplo
Um edifíciode apartamentostem6 andares.Em cada
andar a 4 apartamentos.Quantosapartamentostemo
edifíciotodo?
Resolução
Para resolveresse problema,podemosfazer
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Essa mesmaigualdade pode serrepresentadapor:
6 x 4 = 24
Logo podemosdizerque o edifíciotem24
apartamentos
2° Exemplo
A fase final dotorneiode voleibol daliganacional é
disputadopor4 equipes.Cadaequipe pode inscrever12
jogadores.Quantosjogadoresserãoinscritospara
disputara fase final desse torneio?
resolução
Para resolveresse problemapodemosfazer12+ 12 +
12 + 12 = 48
Essa mesmaigualdade pode serrepresentadapor:
4 x 12 = 48
EXERCÍCIOS
1) Calcule asmultiplicações
a) 5 x 5 =
b) 15 x 3 =
c) 542 x 6 =
2) Efetue asMultiplicações
a) 153 x 2=
b) 1357 x 4 =
c) 49 x 3 =
3) Com 2 prestaçõesmensaisiguaisde 325 reaisposso
comprar uma moto.Quantovou pagar por essamoto?
4) Para cobrir o pisode um barracão foram colocados
352 placasde 35 metrosquadradoscadauma. Quantos
metrosquadradostemo pisodesse barracão?
5) Em uma multiplicação,osfatoressão134 e 296. Qual
o produto?
PROPRIEDADES ESTRUTURAIS DA MULTIPLICAÇÃO
1) FECHAMENTO
O produtode doisnúmerosnaturaisé um número
natural 5 x 3 = 15
2) COMUTATIVA
A ordemdosfatoresnão alterao produto.
2 x 7 = 14
7 x 2 = 14 assim:2 x 7 = 7 x 2
3) ELEMENTO NEUTRO
O número1´na multiplicaçãoé umnúmeroneutro
5 x 1 = 5
1 x 5 = 5
4) ASSOCIATIVA
A multiplicaçãode trêsnúmerosnaturaispode serfeita
associando-se osdoisprimeirosouosdois últimos
fatores:
(3 x 4 ) x 5 = 12 x 5 = 60
3 x ( 4 x 5 ) = 3 x 20 = 60
5) DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃOEM RELAÇÃO A
ADIÇÃO
Na multiplicaçãode umasoma porum númeronatural,
multiplica-se cadaumdostermospor esse número.
veja:
1) 2 x (5+3) = 2 x 8 = 16
2) 2 x 5 + 2 x 3 = 10 + 6 = 16
DIVISÃO EXATA
Consideremosdoisnúmerosnaturais,dadosnumacerta
ordem, 10 é o primeirodelese 2é o segundo.
Por meiodelesdetermina-se umterceironúmero
natural que,multiplicadopelosegundodácomo
resultadooprimeiro.Essaoperaçãochama-se divisãoe
é indicadapelosinal:
Assim,
10:2 = 5 porque 5x2 = 10
Na divisão10:2=5
dizemosque 10 é o dividendo
2 é o divisor
5 é o resultadoouquociente
EXEMPLO
Um colégiolevou72 alunosnumaexcursãoaojardim
zoológicoe para issorepartiuigualmente osalunosem
4 ônibus.Quantosalunosocolégiocolocouemcada
ônibus?
Para resolveresse problema,devemosfazeruma
divisão72 : 4 = 18 , sendoassimcada ônibustinha18
alunos.
EXERCÍCIOS
1) Calcule asdivisões
a)20:5= b)16:8=
c)12:1= d) 48:8=
2)Observe aigualdade 56:7=8 e responda:
a)Qual é o nome da operação?
b)Comose chama o número56?
c)Comose chama o número7?
d)comose chama o número8?
3)Efetue asdivisões
a)492:4=
b)891:9=
c)4416:6=
d)2397:17=
e)1584:99=

5. f)1442:14=103
g)21000:15=1400
h)7650:102=75
i)11376:237=48
4) Responda
a)Qual é a metade de 784?
R: 392
b)Qual é a terça parte de 144?
R: 48
c)Qual é a quintaparte de 1800?
R: 360
d)Qual é a décimaparte de 3500?
R: 350
5)Em um teatrohá 126 poltronasdistribuídas
igualmente em9fileiras.Quantaspoltronasforam
colocadasemcada fileira?
R: 14 poltronas
6)Quantosgarrafõesde 5 litrossãonecessáriospara
engarrafar315 litrosde vinho?
R: 63 garrafões
7)Uma pessoaganha R$ 23,00 por hora de trabalho.
Quantotempodeverátrabalharpara receberR$
391,00?
R: 17 horas
8)Uma torneiradespeja75 litrosde água por hora.
Quantotempolevarápara encherumacaixa de 3150
litros?
R: 42 horas9) Numapistade atlestismoumavoltatem
400 metros.Numacorridade 10.000 metros,quantas
voltaso atletatemde dar nessapista?
R: 25 voltas
10) Um livrotem216 páginas.Queroterminaraleitura
desse livroem18 dias,lendoomesmo númerode
páginastodosos dias.Quantaspáginasprecisolerpor
dia?
11) Quantosgruposde 18 alunospodemserformados
com 666 alunos?
12)Uma toneladade cana de açúcar produz
aproximadamente 85litrosde álcool.Quantas
toneladasde canasão necessáriasparaproduzir6970
litrosde álcool?
R: 82 toneladas
DIVISÃONÃOEXATA
Nemsempre é possivel realizaradivisãoexataemN
considerandoeste exemplo
7 : 2 = 3 sobra 1 que chamamosde resto
Numadivisão,orestoé sempre menorque odivisor
Exemplo
Uma industriaproduziu183 peças e quercolocá-lasem
12 caixas,de modoque todas as caixastenhamo
mesmonúmerode peças.Quantaspeçasserão
colocadasemcada caixa?
resolução
Para resolveresse problemadevemosfazer183 : 12,
tendocomoresultado15 e resto3.
Comoo resto é 3, dizemosque estaé umadivisãocom
restoou uma divisãonãoexata.
Logo na caixaserãocolocadas 15 peças,sobrandoainda
3 peças.
EXERCÍCIOS
1) Determine oquociente e orestodasseguintes
divisões:
a 79:8=9 resto=7
b)49:8=6 resto=1
c)57:8=7 resto=1
d)181:15=12 resto=1
e)3214:10=321 resto=4
f)825:18=45 resto=15
g)4937:32=154 resto=9
h)7902:12=658 resto=6
i)1545:114=13 resto=63