Os Teoremas de Euler e Wilson

1. Sum´ario
OS TEOREMAS DE EULER E WILSON
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
02 de dezembro de 2016

2. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Sum´ario
1 Teorema de Euler
2 Teorema de Wilson

3. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Outline
1 Teorema de Euler
2 Teorema de Wilson

4. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
. Objetivo: Determinar se a congruˆencia aX ≡ 1 mod m
possui alguma soluc¸ ˜ao em X
Proposic¸ ˜ao 10.1: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1. A congruˆencia
aX ≡ 1 mod m possui soluc¸ ˜ao se, e somente se, (a, m) = 1.
Al´em disso , se x0 ∈ Z ´e uma soluc¸ ˜ao, ent˜ao x ´e uma soluc¸ ˜ao
da congruˆencia se, e somente se, x ≡ x0 mod m
Uma soluc¸ ˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m determina e ´e
determinada por qualquer outra soluc¸ ˜ao. Se considerarmos
que duas soluc¸ ˜oes congruentes m´odulo m s˜ao,
essencialmente, a mesma, temos a unicidade da soluc¸ ˜ao

5. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Definic¸ ˜ao: Um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m ´e um
conjunto de n´umeros inteiros r1, ..., rs tais que:
(i) (ri , m) = 1, para todo i = 1, ..., s
(i) ri ≡ rj mod m, se i = j
(iii) Para cada n ∈ Z tal que (n, m) = 1, existe i tal que n ≡ ri mod m
. Pode-se obter um sistema reduzido de res´ıduos r1, ..., rs m´odulo m,
a partir de um sistema completo qualquer de res´ıduos a1, ..., am
m´odulo m, eliminando os elementos ai que n˜ao s˜ao primos com m
. Dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m tem o mesmo
n´umero de elementos

6. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Designaremos por ϕ(m) o n´umero de elementos de um sistema
reduzido de res´ıduos m´odulo m > 1, que corresponde `a quantidade
de n´umeros naturais entre 0 e m − 1 que s˜ao primos com m
Pondo ϕ(1) = 1, isso define uma importante func¸ ˜ao
ϕ : N → N
chamada func¸ ˜ao fi de Euler
Pela definic¸ ˜ao temos que ϕ(m) ≤ m − 1, para todo m ≥ 2
Al´em disso, se m ≥ 2, ent˜ao ϕ(m) = m − 1 se, e somente se, m ´e um
n´umero primo

7. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Exemplo 10.2: Se n = kd, com k, d ∈ N, ent˜ao a quantidade
de n´umeros naturais m tais que 1 ≤ m ≤ n e (n, m) = d ´e ϕ(k)
Exemplo 10.3: Gauss
Seja n ∈ N. Tem-se que d|n,d∈N ϕ(d) = n
Em particular, temos que
ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(3)+ϕ(4)+ϕ(6)+ϕ(9)+ϕ(12)+ϕ(18)+ϕ(36) =
36

8. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Proposic¸ ˜ao 10.4: Seja r1, ..., rϕ(m) um sistema reduzido de
res´ıduos m´odulo m e seja a ∈ Z tal que (a, m) = 1. Ent˜ao
ar1, ..., arϕ(m) ´e um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m
Euler
Teorema 10.5: Sejam m, a ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Ent˜ao
aϕ(m)
≡ 1 mod m
Pequeno Teorema de Fermat
Corol´ario 10.6: Sejam a ∈ Z e p um n´umero primo tais que
(a, p) = 1. Tem-se que
ap−1
≡ 1 mod p

9. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Exemplo 10.7: Da vers˜ao acima do Pequeno Teorema de Fermat,
obtem-se que ap
≡ a mod p, ∀a ∈ Z
Generalizac¸ ˜ao do Pequeno Teorema de Fermat
Se p ´e um n´umero primo ent˜ao ∀a ∈ Z e ∀k ∈ N tem-se que
ak(p−1)+1
≡ a mod p
No entanto, n˜ao ´e verdade em geral que para todo a ∈ Z e todo
k ∈ N se tenha
akϕ(m)+1
≡ a mod m
Certamente, essa congruˆencia ´e v´alida se (a, m) = 1, pois ´e
consequˆencia do Teorema de Euler. Mas se (a, m) = 1, ela pode ser
falsa
Exemplo 10.8: Seja m = 4 e a = 2. Logo,
aϕ(m)+1
= 22+1
= 8 ≡ 2 mod 4

10. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
. Aplicac¸ ˜ao do Teorema de Euler: c´alculo de ϕ(m)
Proposic¸ ˜ao 10.9: Sejam m, m ∈ N tais que (m, m ) = 1. Ent˜ao
ϕ(mm ) = ϕ(m)ϕ(m )
Corol´ario 10.10: Seja m um inteiro livre de quadrados. Ent˜ao
para todo a ∈ Z e todo k ∈ N tem-se que
akϕ(m)+1
≡ a mod m
Proposic¸ ˜ao 10.11: Se p ´e um n´umero primo e r, um n´umero
natural, ent˜ao tem-se que
ϕ(pr
) = pr
− pr−1
= pr
1 −
1
p

11. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Teorema 10.12: Seja m > 1 e seja m = pα1
1 ...pαn
n a decomposic¸ ˜ao de
m em fatores primos. Ent˜ao
ϕ(m) = pα1
1 ...pαn
n 1 −
1
p1
... 1 −
1
pn
Essa f´ormula ´e reescrita como:
ϕ(pα1
1 ...pαn
n ) = pα1−1
1 ...pαn−1
n (p1 − 1)...(pn − 1)
Para calcular o resto da divis˜ao de uma potˆencia an
por um n´umero
natural m > 1, ´e conveniente achar um expoente h ∈ N de modo que
ah
≡ 1 mod m, pois, se n = hp + r ´e a divis˜ao euclidiana de n por h,
teremos
an
= ahq
ar
≡ ar
mod m
Portanto, ´e clara a utilidade do Teorema de Euler para a resoluc¸ ˜ao
desse tipo de quest˜ao

12. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Exemplo 10.13: Vamos achar o resto da divis˜ao de 3100 por 34
. Em geral, nem sempre ´e poss´ıvel chegar a um n´umero h tal
que ah ≡ 1 mod m
Proposic¸ ˜ao 10.14: Sejam dados a, m ∈ Z, com m ≥ 2. Existe
h ∈ N tal que ah ≡ 1 mod m se, e somente se, (a, m) = 1
No Exemplo 10.13: (3, 34) = 1

13. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Suponha que a, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Nesse caso
{i ∈ N; ai ≡ 1 mod m} = ∅
Portanto, vamos definir a ordem de a com respeito a m como
sendo o n´umero natural
ordm(a) = min{i ∈ N; ai
≡ 1 mod m}
Lema 10.15: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Temos
que an ≡ 1 mod m se, e somente se, ordm(a) | n

14. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Corol´ario 10.16: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) = 1.
Temos que ordm(a) | ϕ(m)
Proposic¸ ˜ao 10.17: Todo divisor natural de Fn ´e da forma
2n+1k + 1, onde k ∈ N ∪ {0}
Exemplo 10.18: Uma prova mais conceitual do fato de que o
quinto n´umero de Fermat F5 = 225
n˜ao ´e primo

15. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Corol´ario 10.19: Na progress˜ao aritm´etica de primeiro termo 1
e raz˜ao 2r , para r ∈ N, fixo, existem infinitos n´umeros primos
Exemplo 10.20: Se n ´e um divisor de um n´umero da forma
Mp = 2p − 1, onde p ´e um n´umero primo, ent˜ao n ≡ 1 mod p
Lucas - rec´ıproca parcial do Teorema de Fermat (teste de
primalidade)
Teorema 10.21: Sejam a e m dois n´umeros naturais tais que
m > 1 e (a, m) = 1. Suponha que am−1 ≡ 1 mod m, e que
ak ≡ 1 mod m, ∀k, k < m − 1. Ent˜ao m ´e primo

16. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Outline
1 Teorema de Euler
2 Teorema de Wilson

17. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Wilson
Teorema 10.22: Se p ´e um n´umero primo, ent˜ao
(p − 1)! ≡ −1 mod p
Rec´ıproca do Teorema de Wilson - crit´erio de primalidade -
n˜ao eficiente
Proposic¸ ˜ao 10.23: Seja p ≥ 2 um inteiro. Se (p − 1)! ≡ −1
mod p, ent˜ao p ´e primo
Exemplo 10.24: Se p ´e um n´umero primo ´ımpar, ent˜ao
p | 2p−1 + (p − 1)!

18. Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Generalizac¸ ˜ao do Teorema de Wilson
Teorema 10.25: Sejam p um n´umero primo e m, n ∈ N{0} tais que
m + n = p − 1. Tem-se que
m!n! ≡ (−1)
n+1
mod p
Exemplo 10.26: Seja p = 2q + 1 um n´umero primo onde q ´e ´ımpar.
Vamos mostrar que q! ≡ ±1 mod p
Exemplo 10.27: Seja p um primo tal que p ≡ 1 mod 4. Tem-se que
p − 1
2
!
2
≡ −1 mod p
Em particular, ∃a ∈ Z, com 0 < a ≤ p−1
2 , tal que a2
≡ −1 mod p